2. Variables aléatoires unidimensionnelles

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1 2. Variables aléatoires unidimensionnelles MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal A2016 (v1) MTH2302D: variables aléatoires 1/20

2 Plan 1. Définitions 2. Variables aléatoires discrètes (masse) 3. Variables aléatoires continues (densité) 4. Fonction de répartition MTH2302D: variables aléatoires 2/20

3 1. Définitions 2. Variables aléatoires discrètes (masse) 3. Variables aléatoires continues (densité) 4. Fonction de répartition MTH2302D: variables aléatoires 3/20

4 Exemple 1 On lance une pièce trois fois et on note le résultat. L espace échantillon de cette expérience aléatoire est Ω = {PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF}. Soit X : le nombre de P (piles) obtenus. X associe un nombre réel X(s) à chaque résultat s Ω. L ensemble des valeurs possibles pour X est R X = {0, 1, 2, 3}. On définit une probabilité sur X : P (X B) = P ({s Ω X(s) B}) avec B R X. MTH2302D: variables aléatoires 4/20

5 Définition Une variable aléatoire (v.a.) X d un espace échantillon Ω est une fonction qui associe à chaque résultat s Ω un nombre réel x = X(s). Définition L ensemble des valeurs possibles pour une v.a. X est appelé le support de X, dénoté R X. Définition Si le support d une v.a. X est dénombrable (ou fini) alors X est discrète. Si le support d une v.a. X est une collection d intervalles alors X est continue. MTH2302D: variables aléatoires 5/20

6 1. Définitions 2. Variables aléatoires discrètes (masse) 3. Variables aléatoires continues (densité) 4. Fonction de répartition MTH2302D: variables aléatoires 6/20

7 Fonction de masse Soit X une v.a. discrète de support R X = {x 1, x 2, x 3,...}. La fonction de masse (de probabilité) de X est la fonction p X définie par p X (x) = P (X = x) pour tout x R X. La fonction de masse satisfait 0 p X (x) 1 pour tout x R X. p X (x i ) = 1. x i R X P (X B) = p X (x i ) (avec B R X ). x i B MTH2302D: variables aléatoires 7/20

8 Exemple 2 Une boîte contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boîte. Soit X : le nombre de DVDs défectueux dans l échantillon. 1. Déterminer la fonction de masse de la v.a. X. 2. Évaluer les probabilités P (X > 1), P (X 1), P (X < 2). MTH2302D: variables aléatoires 8/20

9 1. Définitions 2. Variables aléatoires discrètes (masse) 3. Variables aléatoires continues (densité) 4. Fonction de répartition MTH2302D: variables aléatoires 9/20

10 Fonction de densité Soit X une v.a. continue de support R X. La fonction de densité (de probabilité) de X est la fonction f X définie par f X (x) 0 pour tout x R. P (X B) = f X (x) dx pour tout B R. En particulier B P (a X b) = b a f X (x)dx (= P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b)). MTH2302D: variables aléatoires 10/20

11 Fonction de densité (suite) La fonction de densité satisfait f X (x)dx = 1. Différences avec la fonction de masse : On peut avoir f X (x) > 1. f X (a) ne correspond pas à P (X = a). P (X = a) = a a f X(x)dx = 0. La probabilité que X prenne la valeur isolée a est nulle. On a plutôt εf X (a) P (a ε/2 X a + ε/2) qui correspond à la probabilité que X prenne sa valeur dans [a ε 2 ; a + ε 2 ]. MTH2302D: variables aléatoires 11/20

12 Exemple 3 L erreur commise lors de la mesure du diamètre d une pièce produite en série est approximée par une v.a. X (en mm) dont la fonction de densité est { c(1 x f(x) = 2 ) si 1 < x < 1, 0 sinon. 1. Déterminer la valeur du paramètre c. 2. Calculer la probabilité que l erreur d une mesure soit supérieure à 1/2 en valeur absolue. MTH2302D: variables aléatoires 12/20

13 Exemple 4 Soit X la durée de vie d une ampoule. La fonction de densité de la v.a. X est { λe λt si t 0, f(t) = 0 sinon. où λ est le taux de défaillance. 1. Déterminer, en fonction de λ, la probabilité que l ampoule fonctionne pendant au moins T heures. 2. Calculer la probabilité qu une ampoule ayant fonctionné pendant 100 heures fonctionne encore 150 heures additionnelles. 3. Sachant que pour ce type d ampoule P (X 100) = 0.99, déterminer λ. MTH2302D: variables aléatoires 13/20

14 1. Définitions 2. Variables aléatoires discrètes (masse) 3. Variables aléatoires continues (densité) 4. Fonction de répartition MTH2302D: variables aléatoires 14/20

15 Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire (discrète ou continue). La fonction de répartition F X de X est définie par F X (x) = P (X x) pour tout x R. Propriétés de la fonction de répartition : 1. 0 F X (x) 1 pour tout x R. 2. F X est non décroissante. 3. lim F X(x) = 0 et lim F X(x) = 1. x x + Une formule utile : si a < b alors P (a < X b) = F X (b) F X (a). MTH2302D: variables aléatoires 15/20

16 Si X est une v.a. discrète Soit X une variable discrète, R X = {x 1, x 2, x 3,...} son support et p X sa fonction de masse. Alors La fonction F X est une fonction en escalier. F X (x) = P (X x) = x i x p X (x i ). Si les éléments de R X sont triés (x 1 < x 2 <...), alors { px (x 1 ) = F X (x 1 ), p X (x i ) = F X (x i ) F X (x i 1 ) pour tout x i R X avec i 2. MTH2302D: variables aléatoires 16/20

17 Exemple 5 Une boîte contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boîte. Soit X : le nombre de DVDs défectueux dans l échantillon. Déterminer la fonction de répartition de la v.a. discrète X. MTH2302D: variables aléatoires 17/20

18 Si X est une v.a. continue Soit X une v.a. continue et f X sa fonction de densité. Alors F X (x) = P (X x) = Par le théorème fondamental du calcul : et F X est une fonction continue. x d dx F X(x) = f X (x) f X (t)dt. MTH2302D: variables aléatoires 18/20

19 Exemple 6 L erreur commise lors de la mesure du diamètre d une pièce produite en série est approximée par une v.a. X (en mm) dont la fonction de densité est { c(1 x f(x) = 2 ) si 1 < x < 1, 0 sinon. Déterminer la fonction de répartition de la v.a. continue X. MTH2302D: variables aléatoires 19/20

20 Notion de distribution La distribution d une variable aléatoire : est un terme général pour décrire le modèle suivi par la v.a. englobe les notions de densité/masse et de répartition. MTH2302D: variables aléatoires 20/20