MTH1101 CALCUL I. Devoir # 2 Automne Département de mathématiques et de génie industriel 1. /4 2. /3 3. /5 4. /4 5. /4 6. /4. 7.

Transcription

1 Nom : Prénom : Groupe : Matricule : Département de matématiques et de génie industriel Nom : Prénom : Groupe : Matricule : Réservé. /4 MTH0 CALCUL I Devoir # 2 Automne /3 3. /5 4. /4 5. /4 6. /4 7. /5 Clarté / TOTAL: SUR /30

2 École Polytecnique de Montréal Page 2 DIRECTIVES Vous devez remettre un rapport par équipe de deux étudiant(e)s (au maximum), au plus tard le vendredi 27 novembre avant am, dans le casier de votre groupe pour le cours MTH0, près du local A Dans le cas d'une équipe composée d'étudiant(e)s provenant de deux groupes, déposez le rapport dans le casier d'un des groupes et indiquez très clairement le groupe de caque étudiant(e). Caque membre d'une équipe recevra la même note. Utilisez obligatoirement la page de présentation ci-jointe pour la remise de votre rapport et inscrivez tous les renseignements demandés. Lors de la correction, il sera tenu compte de la qualité et de l'initiative manifestée dans le travail et de sa présentation ( point). Tout plagiat sera sévèrement sanctionné.

3 École Polytecnique de Montréal Page 3 QUESTION # (4 points) Considérons le plan muni du système de coordonnées cartésiennes. 2x y+ Soit la fonction f( xy, ) =. 2 x a) Déterminer et dessiner Dom( f ), le domaine de définition de f. b) Identifier et dessiner la courbe de niveau 0 de f(, ) c) Identifier la portion du plan où f( xy, ) > 0. xy. d) Identifier et dessiner les courbes de niveau c = et c = (ne faire qu un dessin). e) Vérifier que P = (, 3) appartient à une des courbes de niveau précédentes. Calculer f (, 3) et reporter ce vecteur sur le dessin. f) Calculer la dérivée directionnelle de f en P = (, 3) dans la direction du vecteur reliant P = (, 3) et Q = (, 0). g) Donner la dérivée directionnelle maximale de f au point P = (, 3). QUESTION # 2 (3 points) Une poutre rectangulaire est supportée à ses 2 extrémités, telle qu illustrée à la figure ci-jointe.

4 École Polytecnique de Montréal Page 4 En soumettant cette poutre à une force constante p, agissant verticalement et distribuée uniformément, alors l affaissement v de la poutre peut être calculée à l aide de la relation (,,, ) v pxw px = c w 4 3 où c est une constante caractérisant le matériau constituant la poutre; p : force; x : longueur de la poutre; w : largeur de la poutre; : auteur. a) Calculer la différentielle de la fonction v au point (,,, ) 4 px 0 0 en posant v0 = v( p0, x0, w0, 0) = c. w b) Évaluer l expression trouvée en a) pour x0 = 4 m w0 = 0, m 0 = 0, 2 m p0 = 00 N m et interpréter le signe des coefficients de : dp, dx, dw, d. p x w. Simplifier votre réponse c) En supposant que la longueur de la poutre et la carge ne cangent pas et que vous devez diminuer l affaissement v, quel paramètre, w ou, devriez-vous modifier? Justifier. QUESTION # 3 (5 points) Soit la fonction f(, ) xy où x = et uv y =. v 2 f Calculer u v également. en fonction des variables x et y et des dérivées de f par rapport à x et y

5 École Polytecnique de Montréal Page 5 QUESTION # 4 (4 points) Soit la fonction 2 2 ( ) 3 (, ) ( ) f xy = x+ + y a) Donner une fonction Lxy (, ) qui linéarise la fonction f( xy, ) au point ( ) b) Si x 0, et 0, Lxy. (, ) P 0 = 0,0. y, estimer l erreur maximale commise en approximant f(, ) c) Donner une fonction quadratique Qxy (, ) qui approxime f(, ) point P 0 = ( 0,0). xy par xy autour du d) Évaluer Lxy (, ) et Qxy (, ) en P = (, ) et calculer pour cacune de ces 2 estimations l erreur obtenue par rapport à la valeur exacte f (, ) =. Comparer ces erreurs entre elles et discuter en fonction du degré des approximations correspondantes. QUESTION # 5 (4 points) Par une caude journée, nous ressentons la température plus élevée qu elle n est en réalité à cause du degré d umidité, en revance, nous pensons que la température est plus basse que ne l indique le termomètre lorsque l air est sec. Les services météorologiques ont conçu l indice caleur (appelé aussi indice température-umidité) pour refléter les effets conjugués de la température et de l umidité. L indice caleur I désigne la température de l air ressentie alors que la température réelle est T et l umidité relative H. Ainsi, I est une fonction de T et H, ce qui s écrit I = f T, H. La table suivante est empruntée aux services métérologiques. ( ) Table Indice de caleur I comme fonction de la température et de l umidité Température réelle ( F) Humidité relative (%) H T

6 École Polytecnique de Montréal Page 6 Les dérivées avant d une fonction f par rapport à x et à y au point ( ab, ) sont définies par : f f ' x ' y ( ab), = lim ( ab) 0, = lim 0 ( +, ) (, ) f a b f a b (, + ) (, ) f a b f a b a) Est-ce que f ( T, H ) est une fonction linéaire? Justifier. b) En utilisant des dérivées avant, donner un polynôme de Taylor de degré 2, noté P2 (, ) qui approxime les données du tableau au point ( 96,70 ). xy, c) Estimer une borne maximale sur l erreur commise en approximant f ( T, H ) au point 2 ( 96,70) par P( xy ) sur le domaine D= ( T, H) 94 T 98, 65 H 75, 2, { } sacant que ( 3 ) ( xy) 2 f, 6 xxx ( 3 ) fxxy ( xy, ) 0 ( 3 ) fxyy ( xy, ) 2 ( 3 0 f ) yyy ( xy, ).

7 École Polytecnique de Montréal Page 7 QUESTION # 6 (4 points) Considérons une plaque mince de base b et de auteur telle qu illustrée ci-dessous. y Axe AB B= b, 2 A= (0,0) b x Un capteur de vitesse placé sur la plaque indique que les vitesses de dilatation sont de 2 mm et sec 3mm selon les axes x et y, respectivement. sec a) Trouver la vitesse de dilatation de la plaque selon l axe AB à l aide de la règle de dérivation en caîne en vous basant sur la distance entre les points A et B. b) Vérifier votre réponse obtenue en a) avec = 0. Vous devriez obtenir 2 mm. sec QUESTION # 7 (5 points) Soit le problème d optimisation sans contraintes f x, x, x = 2x x x 2x x + x x + x x Min ( ) a) Donner les conditions nécessaires d optimalité du er ordre. b) Trouver tous les points critiques de (,, ) f x x x tels que x = c) Déterminer la nature (maximum, minimum, point de selle) des points critiques trouvés en a). d) Est-ce qu un de ces points critiques correspond à un minimum global?