L24 : Proportionnalité

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1 L24 : Proportionnalité Table des matières 0) Introduction bis) Compléments sur la notion de grandeur (HORS LECON POUR QUESTIONS DU JURY) : 2 1) Définition ) Grandeur repérée: ) Grandeur mesurée: ) Mesurer une grandeur: ) Grandeurs produits, quotients: ) Tableau de proportionnalité, représentation graphique et fonction linéaire:... 2 Tableau de proportionnalité:... 2 Fonction linéaire: ) Propriétés et Techniques... 4 Tableau de proprotionnalité et fonctions linéaires :... 4 Quatrième proportionnelle, techniques: ) Exemples de situations de proportionnalité... 6 Échelle d'un plan... 6 Pourcentage... 6 Vitesse... 7 Géométrie dans l'espace... 7 Thalès ( Une version amoindrie avec réciproque) ) Exercices : ) Introduction La question de proportionnalité est abordée dès l'école primaire. Les élèves utilisent déjà les techniques relatives à la linéarité additive et multiplicative, le passage par l'unité, et la règle de trois. La proportionnalité fera l'objet d'une étude particulière durant tout le collège. La grande nouveauté en sixième est la formalisation par des tableaux de proportionnalité. En quatrième, la résolution d'équation nous permet de passer à un cadre plus abstrait, avec la technique du produit en croix. Cette étude trouve son aboutissement en 3ème avec les fonctions linéaires réelles qui permettent de passer du cas discret au cadre continu. Le passage de cette notion au cadre vectoriel se fera tout naturellement en classe de 1ère et dans les classes suivantes. Nous nous positionnons pour cette leçon, principalement dans le cadre de la troisième. (Avec pour pré requis principalement la représentation graphique de tableaux, la notion de grandeur et les fonctions) Nous nous permettrons cependant quelques incartades occasionnelles dans les classes de lycées. (Principalement pour ce qui concerne l'aspect vectoriel et les suites que nous mettons donc aussi en pré requis)

2 0bis) Compléments sur la notion de grandeur (HORS LECON POUR QUESTIONS DU JURY) : 1) Définition Une grandeur est une caractéristique physique, chimique, ou biologique qui peut-être repérée ou mesurée. 2) Grandeur repérée: Exemple: température, altitude. Des grandeurs repérées ne peuvent être additionnées. 3) Grandeur mesurée: Exemple: longueur, aire, volume. Des grandeurs mesurées peuvent être additionnées. Remarque : Longueur / distance La distance est un "écart", une longueur est déterminée par ses extrémités. 4) Mesurer une grandeur: Mesurer une grandeur consiste à se fixer un étalon à partir duquel on peut associer à une grandeur un nombre réel. 5) Grandeurs produits, quotients: Le prix au kilo est une grandeur quotient, l'aire est une grandeur produit, la linéarité entre deux colonnes est une grandeur sans dimension. 1) Tableau de proportionnalité, représentation graphique et fonction linéaire: Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre par une multiplication par un nombre fixe. Tableau de proportionnalité:

3 Définition: Un tableau est dit de proportionnalité lorsque l'on obtient chaque nombre d'une ligne en multipliant le nombre correspondant de l'autre ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Exemple: Masse ( en Kg) 2 5 7,6 Prix (en ) 7 17,5 26,6 Coefficient de proportionnalité : 3,5 Propriété : Représentation graphique Dans un repère, si des points représentent graphiquement une situation de proportionnalité, alors ils sont alignés avec l'origine. Réciproquement, si dans un repère, des points sont alignés avec l'origine de ce repère, alors ce graphique représente une situation de proportionnalité. Représentation graphique du tableau ci-dessus. Exemple de situation de non proportionnalité: La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à son âge. Si une personne mesure 1,7 m à 20 ans elle ne mesurera pas 3,40 m à 40 ans. Fonction linéaire: ( Introduction ( Classe de 2nde) Considérons un tableau de proprotionnalité à n colonnes, de coefficient a. Notons x(1),...x(n) les composantes de la première ligne, et y(n) les composantes de la seconde ligne. Alors pour tout entier naturel i tel que 0<i<n+1, on a y(i) = a*x(i) ) Définition: Si a désigne un nombre réel, la fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui à tout nombre réél x associe le nombre réel ax. F : x --> a*x Remarque : Si a = 0 alors pour tout x, f(x) = 0. On exclura ce cas par la suite. Remarque : f(0) = 0 f(1)=a Représentation graphique:

4 Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire f :x --> a*x est la droite (OA) où O est l'origine du repère et A le point de coordonnées (1, a). On dit que a est le coefficient directeur de la droite. Propriété d'une fonction linéaire: Pour tous réels x, x', k : f(x+x') = f(x) + f(x') f(k*x) = k* f(x) Propriété : Si f est une fonction linéaire de coefficient a non nul, alors tout nombre admet un unique antécédent par f. 2) Propriétés et Techniques Tableau de proprotionnalité et fonctions linéaires : Propriété: S'il existe une relation de proportionnalité entre deux grandeurs, alors l'une des grandeurs est l'image de l'autre par une fonction linéaire. Réciproquement si une grandeur est l'image d'une autre grandeur par une fonction linéaire alors ces deux grandeurs sont proportionnelles. Propriété : si on associe à la variable x les entrées de la première ligne et à f(x) les entrées de la seconde ligne alors le coefficient de proportionnalité du tableau correspond au coefficient de la fonction linéaire. Propriété : Si les éléments de la deuxième ligne d'un tableau de proportionnalité sont les images respectives des éléments de la première ligne par une fonction linéaire de coefficient a non nul, alors les éléments de la première ligne sont les images respectives par une fonction linéaire de coefficient 1/a des éléments de la première ligne. Quatrième proportionnelle, techniques: Propriété: On peut compléter un tableau de proportionnalité dès que l'on a deux nombres qui se correspondent. Exemple : Lorsqu'un tuyau fuit, la quantité d'eau qui s'écoule est proportionnelle à la durée de la fuite : Durée (en h) Quantité (en a b

5 L) Les inconnues a et b sont appelées "quatrième proportionnelle" : Remarque : Pour la mise en œuvre des différentes techniques, on s'arrangera pour choisir des valeurs numériques qui impose une méthode plutôt qu'une autre. 1ère méthode : «combinaisons linéaires» Masse (en kilo) Prix ( en euro) 1,5 a b On a : a = f(10)= f(2*5) = 2* f(5) = 2*1,5 = 3 b = f(15) = f(5+10) = f(5) + f(10) = 1,5+ 3 = 4,5 2ème méthode : Règle de trois / Passage par l'image de l'unité. Masse ( en kilo) 3 5 Prix( en euros) 21 a On cherche f(1) : f(1) = f(3/3) = f(3)/3 = 21 / 3 = 7 On a: a= f(5)= f(5*1)= 5*f(1) = 5* 7 rmq : La différence entre le passage est la règle de trois est minime pour cette dernière on écrira directement a= (21/3) * 5 ; en d'autre termes on saute une étape. 3ème méthode : Coefficient de proportionnalité. Pour 3 kilogrammes, il faut payer 21 euros, donc il faut payer 7 euros par kilogramme. Le coefficient de proportionnalité est 7. (grandeur quotient) Le prix de 5 kilo est donc 7*5 = 35. 4ème méthode : Produit en croix Soit c le coefficient de proportionnalité. Pour tout x non nul c= F(x) /x donc c= f(40)/ 40 = b/45 donc b = 45*f(40) /40= 45 *52/40 La technique du produit en croix est une technique purement mathématique, il s'agit de résoudre une équation à une inconnue.

6 3) Exemples de situations de proportionnalité Échelle d'un plan Définition : L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles exprimées dans la même unité. Exercice d'application : Un groupe d'amis randonne sur le GR20. Ils utilisent une carte IGN à l'échelle 1/ Sur la carte, leur première étape à une longueur de 60 cm. Quelle distance cela représente-t-il dans la réalité? Pourcentage Calculer une pourcentage revient à compléter un tableau de proportionnalité. exemple : sur 523 élèves du collège 340 sont des externes. Nombre d'élèves Nombre d'externes 340 a Alors a est le pourcentage d'externes. De manière équivalente, si f est la fonction linéaire associée, calculer un pourcentage équivaut à calculer l'image de 100 par f. Exemple : Sachant que la population mondiale est de hts Pays Nbre Hbts Superficie ( m²) Chine Inde France EUA a) Le nombre d habitants et la superficie sont elles des grandeurs proportionnelles b) Calculer pour chaque pays le pourcentage de la population mondiale?

7 Vitesse Définition : La vitesse en m/s est le coefficient de proportionnalité entre les distances parcourues exprimées en mètres et les durées exprimées en seconde. Remarque : Si l'on modifie l'ordre de grandeur d'une des deux entrées du tableau, il y a toujours situation de proportionnalité mais le coefficient de proportionnalité est modifié en conséquence. Exercice d'application : LA ligne TGV reliant Paris à Lyon a une longueur de 409 km. a) Un TGV part de Paris à 11h54 et arrive à Lyon à 13h51. Calculer sa vitesse moyenne v en km/h b) Calculer sa vitesse moyenne en m/s c) Sachant que la ligne TGV Paris-Marseille à une longueur de 863 km, à quelle heure arriverait-il à Marseille en partant à la même heure et roulant à la même vitesse moyenne? Géométrie dans l'espace On se place dans un repère de l'espace. Définition : Deux vecteurs sont dit colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Soient deux plans P et P' d'équations cartésiennes respectives ax + by + cz + d = 0 et a'x + b'y + c'z + d = 0 alors les plans sont parallèles si et seulement si il y a une relation de proportionnalité entre les coefficients a, b, c et a', b', c' Thalès ( Une version amoindrie avec réciproque) Théorème : Soient deux droites sécantes (d) et (d') et A leur point d'intersection. Soient B, C deux points de (d) et B', C' deux points de (d') tels que A,B,C et A,B',C' soient alignés dans le même ordre alors : (BB') // (CC') <=> AB/AC =AB'/AC' = BB' /CC' 4) Exercices : Exercice 1 : (1ère S) Moyenne proportionnelle a) Etant donnée trois longueurs a, b, c construire un segment de longueur d tel que a/b=c/d b) Étant donné deux longueurs a et b, construire la longueur c telle que a/c = c/b

8 Exercice 2: (3ème) Exercice 3 : (Proportionnalité simple composée, exercice de recherche 6e/5e) On a 14 cartons de boîtes de 18 œufs chacune. Au total, il y a 2016 œufs. Combien de boîtes y a t-il d œufs dans chaque boîtes? Exercice 4: (3ème)

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