Radian et cercle trigonométrique

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1 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- I Radian et cercle trigonométrique I. Le radian Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l angle plat de 8 degrés ait une mesure de radians. Ainsi, un arc de cercle de rayon R et d angle α en radians a pour longueur L = αr. Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de degrés en un angle de α radians et inversement degrés 8 radians α Eemple Convertir en radians les mesures d angles usuelles, 5,, 9,, 5,. À quelle mesure en degrés correspond 5 9 rad? I. Le cercle trigonométrique n considère le plan P (constitué de points), le plan V (vecteurs) et (; i ; j ) un repère de ce plan. I.. rientation Définition et convention : Le plan V est orienté lorsque l on a choisi un sens positif de rotation. Par convention, on définit le sens positif comme l inverse de celui des aiguilles d une montre. Il est appelé sens trigonométrique. Dans le plan muni d un repère (; i ; j ) et orienté, le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon. I.. Plusieurs mesures d angle pour un point du cercle À un point du cercle trigonométrique, on peut faire correspondre une valeur α de mesure d angle (positive ou négative) permettant de le positionner sur le cercle trigonométrique. Propriété : Si α permet de repérer un point sur le cercle trigonométrique, alors α, α +, plus généralement α + k (k Z) donnera le même point sur le cercle trigonométrique. Eemple Positionner sur le cercle trigonométrique un point A «image» de la mesure 5. Voir enroulement de la droite des réels : y aths Space sur 7

2 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- II Angles orientés II. esures d un angle orienté de vecteurs Soit u et v deu vecteurs non nuls de V. Soit et N, deu points de P tels que u = et v = N. et N sont les points d intersection des demi-droites [) et [N) avec le cercle trigonométrique de centre. Si est l image du réel t (on écrit (t)) et N est l image du réel t (on écrit N (t )) sur le cercle trigonométrique, alors t t est une mesure en radians de l angle appelé angle orienté de vecteurs ( u, v ). Remarque n écrit ( u, v )=t t () et cela se lit t t «modulo». Ceci pour indiquer que toute valeur différant de t t d un multiple de est aussi une mesure de l angle orienté de vecteur ( u, v ). n privilégiera la mesure appartenant à ] ; ], mesure appelée mesure principale. (il en eiste une seule!) Remarque L angle vu au collège est qualifié d angle géométrique (compris entre et ). Si α est la mesure principale de l angle orienté (, N) alors α est la mesure de l angle géométrique N. EXERCICE C t le cercle trigonométrique orienté et (; i ; ( ) 5 j ) le repère associé. Soit F 8 Déterminer une mesure de l angle orienté ( F, G). ( et G ). EXERCICE Déterminer la mesure principale de l angle ( u, v ) = 7 (). II. Propriétés des angles orientés de vecteurs u et v, non nuls, sont colinéaires de même sens si et seulement si ( u, v )= () ; u et v, non nuls, sont colinéaires de sens contraires si et seulement si ( u, v )= () Relation de CHASLES Pour tous vecteurs u, v et w non nuls, ( u, v )+( v, w )=( u, w ) () D autres propriétés : ( v, u ) = ( u, v ) () ( u, v ) = ( u, v ) + () (k u, k v ) = ( u, v ) () pour tout k et en particulier, ( u, v ) = ( u, v ) () y aths Space sur 7

3 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- II. Des eercices EXERCICE : ABCD est un carré de centre direct (la lecture des sommets se fait dans le sens trigonométrique). Lire graphiquement : mesures de l angle ( AB, AD) ; les mesures principales de ( C, B),( C, A) et de ( DA, C). EXERCICE : NP est un triangle équilatéral direct et I est le milieu de [N]. Lire graphiquement les mesures principales des angles : ( N, P) ( P N, P I) EXERCICE 5 : E D Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. C A B III III. Cosinus et Sinus Cosinus et sinus d un nombre réel n considère le repère (; i ; j ). Soit α un nombre réel et le point de C t tel qu une mesure de ( i, ) soit égale à α. L abscisse et l ordonnée du point sont indiquées par les points H et K, projetés orthogonau de respectivement sur les deu aes. Le cosinus du nombre réel α est l abscisse du point ; cette valeur se note cos(α). Le sinus du nombre réel α est l ordonnée du point ; cette valeur se note sin(α). Remarque : Les coordonnées du point sont alors (cos(α), sin(α)). Si α et β sont deu mesures en radians d un angle orienté ( u, v ), alors il eiste k Z tel que β = α + k (α et β différent d un multiple de ). Les deu points (α) et N(β) sont donc confondus sur le cercle trigonométrique, ce qui permet d écrire que, cos(β) = cos(α) cos(α + k ) = cos(α) sin(β) = sin(α) sin(α + k ) = sin(α) n écrit également cos( u, v ) pour le cosinus d un angle orienté, il s agit du cosinus de l une des mesures de l angle ( u, v ). (ou avec le sinus) y aths Space sur 7

4 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- III. Propriétés du cosinus et du sinus Pour tout nombre réel α, (sin(α)) + (cos(α)) = () cos(α) () sin(α) () Remarque n s autorise une notation «allégée» pour le terme (cos(α)), on le remplace par cos α. Réécrire la formule (). EXERCICE Soit R avec / et cos() =. Calculer sin() et donner une valeur approchée de à près. Donner une autre valeur de, non comprise entre et, dont le cosinus vaut également. III. Valeurs remarquables du cosinus et du sinus 5 n résume ces valeurs ( er quartier) dans un tableau sin cos Å Ú Ð Ù Ö Ó Ò Ø Ó ÒÆÒ Ø Ö Ô Ö Ù Ö º 5 Æ Ó Ø ÆÑÆÑ Ò Ø Ô Ó Ù Ö Ô Ö ÅÔ Ö Ö Ð ÆÒÆÒ Ô Ö Ó ÆÒ Ö ÙÆÑ Ò Ø ³ ÙÆÒ Ò Ó Ñ Ö Ó Ñ Ô Ð Ü º III. Cosinus et sinus d angles associés Soit un point de C t. Soit une mesure de l angle ( i, ). j i,, et sont les symétriques de respectivement par rapport à l ae des abscisses, l origine, l ae des ordonnées et la première bissectrice. Les placer sur le schéma ci-contre. Donner une mesure pour les angles ( i, ), ( i, ), ( i, ) et ( i, ), appelés angles associés. Donner les coordonnées des points,, et en fonction de. y aths Space sur 7

5 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- ( + EXERCICE 7 n sait que cos =. ) (. Calculer la valeur eacte de sin ( on pourra utiliser le fait que ) = ( ) ) ;. Calculer les valeurs eactes des cosinus et sinus de et de 5. IV Équations trigonométriques Soit α un réel fié, alors les équations d inconnues, sin() = sin(α) et cos() = cos(α) sont qualifiées d équations trigonométriques. α α Elles ont chacune une infinité de solutions dans R : sin() = sin(α) a pour solutions = α + k et = α + k, k Z α cos() = cos(α) a pour solutions = α + k et = α + k, k Z Remarque 5 Compte-tenu de l infinité de solutions de chaque équation, il est souvent demandé dans les eercices de chercher les solutions dans un intervalle donné. La démarche consiste à trouver les solutions dans R et à ne «garder» que celles qui sont dans l intervalle. Résoudre dans ] ; ] l équation cos() =, 5. EXERCICE 8. Résoudre l équation cos() = dans l intervalle [; [.. Résoudre dans R l équation sin () sin() + =. Donner les solutions dans l intervalle [; ] puis représenter ces solutions sur le cercle trigonométrique. V Calculs trigonométriques V. Formule d addition Quels que soient les réels a et b cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) EXERCICE 9 Utilisation des formules précédentes pour calculer cos V. Formule de duplication Pour tout réel a, ( ) ( ) 7 7 et sin (écrire 7 =? +? ) cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) = sin (a) sin(a) = sin(a) cos(a) démonstrations : y aths Space 5 sur 7

6 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- VI Repérage polaire d un point du plan Dans un repère (; i ; j ), est traditionnellement positionné grâce à un couple de coordonnées (; y) cartésiennes. Il est possible d adopter un autre système de coordonnées. VI. Définition des coordonnées polaires Soit un point du plan distinct de et i un vecteur unitaire. Un couple de coordonnées polaires de dans le repère (, i ) est un couple (r, θ), où r est la distance et θ une mesure de l angle orienté ( i, ). i θ r VI. Passage d un couple de coordonnées à l autre Pour tout point du plan distinct de, de coordonnées polaires (r, θ) dans le repère ( i, ) et de coordonnées cartésiennes (, y) dans le repère orthonormal direct (; i ; j ). n a, = r cos(θ) et y = r sin(θ) ; r = + y ; cos(θ) = r et sin(θ) = y r. y j i θ r Remarque Le point a des coordonnées uniques dans le repère (; i ; j ) donc : = r cos(θ) i + r sin(θ) j. EXERCICE : ( ) Construire le point A de coordonnées polaires ; dans le repère (; i ). n donne le point (; ) dans le repère orthonormal direct (; i ; j ). Déterminer les coordonnées polaires de dans (, i ). VII Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel VII. Définitions Soit R. n définit deu fonctions, cos : R R cos() sin : R R sin() De cos( ) = cos(), il résulte que deu nombres ont la même image. D un point de vue graphique la courbe représentative de la fonction cosinus C cos est par rapport à l ae des De sin( ) = sin(), il résulte que deu nombres ont des images opposées. D un point de vue graphique la courbe représentative de la fonction sinus C sin est par rapport à De cos( + k) = cos(), il résulte que deu nombres «distants» d un multiple de ont la même image. De sin( + k) = sin(), il résulte que deu nombres «distants» d un multiple de ont la même image. D un point de vue graphique les courbes représentatives des fonctions cosinus C cos et sinus C sin sont composées d un «motif» qui se répète : on dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période. y aths Space sur 7

7 Seconde Chapitre 7 : Angles et Trigonométrie 5- VII. Variations des fonctions cosinus et sinus / / Variations de cos Variations de sin VII. Courbes Courbes C cos et C sin / / Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et, R, (cos) () = sin() et (sin) () = cos() y aths Space 7 sur 7