Information practique :

Transcription

1 Cours 3 1 Cours 3. Géométrie pseudo-riemannienne : les vecteurs de base, le produit scalaire, géométrie pseudo-riemannienne, transformations des coordonnées, le trou noir de Schwarzschild!

2 Cours 3 2 Information practique : Mail : robert.scott@univ-brest.fr Site web : Bureau : G017 Manuels scolaires de la physique : (Hobson et al., 2010) : Très claire mais à un niveau un peux élevé (disponible en francais et anglais) (Schutz, 2009) : Très claire et à un bon niveau mais disponible en anglais uniquement.

3 Cours 3 3 Résumé du cours d aujourd hui Résumé du dernier cours sur les variétés. ds 2 = g αβ dx α dx β. L intervalle de RR comme un produit scalaire : ds 2 = ds ds. Une nouvelle définition de l intervalle : g αβ e α e β. Les bases naturelles, la matrice de transformation. Quelques vecteurs importants en RR et RG.

4 Cours 3 4 Résumé du dernier cours sur les variétés La signature de la métrique est la différence entre le nombre d entrées positive et le nombre négative des valeur propre : Pour l espace-temps, c est = 2. (Dans le convention de Schutz, elle est = +2.) Une variété est une espace des points (ex. les points d un plan ou la surface d une sphère), et nous localisons les points avec les paramètres ou coordonnées, x a, où a = 1, 2,... N, et N est la dimension de la variété. Les coordonnées et les fonctions qui relient chaque ensemble de coordonnées avec un point unique de la variété est le système de coordonnées (ex. coordonnées cartésiennes pour le plan ou latitude et longitude pour la surface de la sphère.) En 4 dimensions, nous écrivons les coordonnées comme x µ, ou

5 Cours 3 5 µ = 0, 1, 2, 3 dont x 0 = c t (c est la vitesse de la lumière dans le vide, et t est temps). Nous utiliserons les variétés continues, et différentiables (on peut définir un champ scalaire sur la variété que l on peut différencier), et avec la géométrie pseudo-riemannienne. La géométrie d une variété est déterminée par la fonction, pour un système des coordonnées donné, qui relie la distance entre deux points et les coordonnées. Pour les variétés pseudo-riemannienne. ds 2 = g αβ dx α dx β g αβ est le tenseur métrique. C est une matrice de 16 valeurs dont seulement 10 sont indépendantes à cause de la symétrie g αβ = g βα. Nous pouvons changer le système de coordonnées (e.g. de cartésiennes à polaires ) sans affecter les points ou la distance

6 Cours 3 6 entre les points. (Mais évidement la fonction g αβ change avec le système coordonnées. ) Dans l espace euclidien de 2 dimensions en coordonnées cartésiennes, le tenseur métrique est (g αβ ) = et ds 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 (x 1 x, x 2 y) En RR, nous avons l espace plat de Minkowski, ou g αβ η αβ et (η αβ ) =

7 Cours 3 7 et c est un peu comme l espace euclidien, donc nous disons pseudo-euclidien. C est toujours possible de changer le système de coordonnées donc g αβ = η αβ (1) g αβ x µ = 0 (2) L espace-temps ressemble toujours localement à l espace de Minkowski. C est un résultat très fondamental grâce au principe d équivalence.

8 Cours 3 8 L intervalle ds 2 comme un produit scalaire. Rappelez-vous que l intervalle (au carré) ds 2 est une sorte de distance, en effet c est la limite infinitésimalle de l intervalle de RR lim s 0 s2 = ds 2 ds 2 est invariant sous les transformations de Lorentz ; c est l analogue de dl 2 dans le plan euclidien. [Draw both diagrams.] On peut écrire dl 2 = dl dl, où j ai introduit le produit scalaire et

9 Cours 3 9 les vecteurs de base cartesiens [give example A B] et donc dl 2 = dl dl = (dl x e x + dl y e y ) (dl x e x + dl y e y ) = (dl x ) 2 e x e x + dl x dl y e x e y + dl y dl x e y e x + (dl y ) 2 e y e y (3) Mais nous savons la géométrie du plan euclidien, dl 2 = dx 2 + dy 2 Ça implique quoi pour les vecteurs de base? e x e x = 1, e x e y = 0, (4) e y e x = 0, e y e y = 1. (5) En générale, le produit scalaire a toujours la forme d une forme quadratique : A B = A α B β g αβ Et parce que dl 2 = dl dl, les coefficients sont le tenseur métrique!

10 Cours 3 10 Le tenseur métrique joue le double rôle d encoder la géométrie et de nous dit comme faire le produit scalaire. Une autre définition du tenseur métrique est g αβ e α e β

11 Cours 3 11 Vecteurs et tenseurs Juste pensez des tenseurs comme les généralisations des vecteurs. (On peut définir un tenseur comme une fonction qui prend des vecteurs ou mêmes les dual vecteurs comme arguments et qui donne un nombre réel. ) Les vecteurs et tenseurs sont les objets mathématiques qui sont indépendents des coordonnées. Quand je fait une rotation du système des coordonnées cartesien les composants d un vecteur changent, A α A α mais le vecteur reste le même. On représente un quadrivecteur par quatre valeurs A α. On représente un tenseur (de rang deux en N dimensions) par une matrice carrée avec N N composants. La matrice change avec système des coordonnées, mais le tenseur reste le même.

12 Cours 3 12 Outils importants : à apprendre par coeur! Donné deux systèmes des coordonnées, x α et x α, qui sont reliés par les fonctions inversibles x α = x α (x α ), (6) x α = x α (x α ). (7) on peut transformer un vecteur (contravariant) A α avec une matrice de transformation T α α (8) A α = T α αa α où T α α xα x α (9) Pour un vecteur covariant A α (ce que Schutz appelle un

13 Cours 3 13 one-form ) on a A α = xα x α A α (10) Pour un tenseur avec deux indice en bas, comme la métrique g αβ on a g α β = xα x α x β x β g αβ (11)

14 Cours 3 14 Justification brève L intervalle est invariant sous un changement des coordonnées Utilisant le calcul élémentaire ds 2 = g αβ dx α dx β (12) = g α β dx α dx β (13) x α = x α (x α ), (14) dx α = xα dx α. (15) x α Substituant Eq. (15) dans Eq. (26) on trouve immédiatement Eq. (13). [Write on board, or use as TD.]

15 Cours 3 15 Géométrie d un espace-temps courbe, le trou noir de Schwarzschild Qu est-ce que c est le tenseur métrique (la métrique) pour l élément de longueur (de Schwarzschild) ds 2 = (1 + 2φ)c 2 dt 2 1 (1 + 2φ) dr2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θdφ 2 Ici, la fonction φ(r) a la forme du potentiel gravitationnel de Newton : φ = Gm c 2 r et m est la masse relativiste. Dans la de faible gravitation il est le potentiel gravitationnel. Mais φ n est pas exactement le potentiel parce que r n est pas la distance du centre de l astre. Comment mesurer les distance dans l espace donné?

16 Cours 3 16 Exploration de la (surface de la) sphère Trouver la métrique une construction géométrique. Verifier la métrique transformer la métrique de l espace euclidien en 3D des coordonnées cartesiennes à coordonnées sphèriques. Puis garder r = r s, ça nous donne une sphère de rayon r s et la métrique aussi : dl 2 = r 2 sdθ 2 + r 2 s sin 2 θdφ 2. Calculer quelques longueurs sur la sphère.

17 Cours 3 17 Trouver la métrique sphère Pour trouver la métrique de la sphère nous commençons avec une construction géométrique de l élément de longueur. [Draw figure.] Construction analytique de l élément de longueur. x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (16) Éléments de la matrice de transformation : x r y r = sin θ cos φ x = sin θ sin φ y z r = cos θ θ θ z θ = r cos θ cos φ x = r cos θ sin φ y = r sin θ z φ φ = r sin θ sin φ = r sin θ cos φ φ = 0 (17)

18 Cours 3 18 Utilisez g α β = xα x α x β x β g αβ.

19 Cours 3 19 Les vecteurs : présentation générale

20 Cours 3 20 Changement de base pour les vecteur contravariants Pour chaque système de coordonnées, on peut définir une base. (Nous utiliserons toujours les base naturelles, obtenu par les vecteur tangents des lignes de coordonnées, expliqué dans quelques minutes). La base e µ est un ensemble de quatre vecteurs de l espace vectoriel de e µ et donc nous pouvons écrire chacun par une combinaison linéaire comme : e 0 = ae 0 + be 1 + ce 2 + de 3 où a, b, c, d R. Plus succinctement, on peut écrire, e µ = A α µ e α (18)

21 Cours 3 21 où A α µ est une matrice de 16 composantes, la matrice de transformation. Nous pouvons trouver la règle qui relie les composantes du même vecteur écrit avec les deux bases : A = x µ e µ = x ν e ν, par définition = x ν A α ν e α, en utilisant (18) (19) Remarquez que α est un indice muet, c est-a-dire qu il est répété dans le même monôme, et donc il y a une sommation implicite sur toutes les (4) valeurs possibles de α. Et donc nous pouvons utiliser n importe quelle lettre grecque pour ça, et pourquoi pas µ? Qu est-ce-que c est la relation entre x µ et x ν?

22 Cours 3 22 Changement de base pour les vecteur contravariants... Ce choix nous permet de voir immédiatement que x µ = x ν A µ ν Les vecteurs dont les composantes se transforment ainsi sont appelés des vecteur contravariants.

23 Cours 3 23 Changement de base pour les vecteur On peut aussi écrire, contravariants... e µ = A ν µ e ν (20) Quelle est la relation entre A α ν et A ν µ? Ils sont des transformations inverses. Pourquoi?

24 Cours 3 24 Parce que : Transformations inverses e µ = A ν µ e ν utilisant (20) = A ν µ A α ν e α utilisant (18) Mais les vecteur de base sont indépendants, donc A ν µ A α ν = δα µ L écrire comme une équation matricielle!

25 Cours 3 25 Nouvelles composantes par rapports aux ancients Nous pouvons trouver l autre règle qui relie les composantes du même vecteur écrit dans les deux bases : Donc, A = x µ e µ = x ν e ν, voir (??) = x µ A ν µ e ν, en utilisant (20) (21) x µ = x µ A µ µ (22)

26 Cours 3 26 Résumé : composantes contravariantes Si les vecteurs de base sont reliés par les deux matrices de transformation : e µ = A α µ e α e µ = A α µ e α (23) puis les matrices de transformation doivent être inverses : A ν µ A α ν = δα µ et les composantes contravariantes sont reliés par x µ = x µ A µ µ (24) x µ = x ν A µ ν (25)

27 Cours 3 27 Comment obtenir les e α? Les bases naturelles Supposons que nous avons un système de coordonnées, x µ, pour une variété quadridimensionnelle. Nous pouvons facilement définir les courbes, dites courbes ou lignes de coordonnées, fixant toutes les coordonnées sauf une seule, x α (où ici α est fixe). Permettons x α de changer avec le temps-propre τ (ou un autre paramètre commode) : x α = x α (τ) est la ligne de coordonnée, et l ensemble de 4 courbes (il y a 4 valeurs possibles de α ) sont les 4 lignes de coordonnées dans la variété, voyez Fig. 3.4 de (Hobson et al., 2010). Le vecteur tangent au point P de la variété à la ligne de coordonnée x α nous donne un vecteur de base e α.

28 Cours 3 28 Comment obtenir un vecteur tangent? À un point x(p ) sur la ligne de coordonnée, un point voisin Q situé sur la même ligne a les coordonnées, x(q) = x(p ) + δs où δs est le vecteur de déplacement infinitésimal séparant P et Q. Le vecteur tangent e α de la ligne coordonnée x α au point P est e α = lim δx α 0 δs δx α

29 Cours 3 29 Comment obtenir la matrice de transformation A α µ? Considérons deux points P et R voisins pas forcément sur une ligne coordonnée. Le vecteur de déplacement infinitésimal séparant P et R est ds ds = e µ dx µ Remarquez que µ est ici un indice muet, et donc il y a une sommation implicite de 4 vecteur ci-dessus. Si nous changeons les coordonnées de x µ à x µ nous changeons les vecteur de base de e µ à e µ, mais bien sûr nous ne changeons pas le vecteur de déplacement infinitésimal séparant P et R. ds = e µ dx µ = e µ dx µ (26)

30 Cours 3 30 Les nouvelle coordonnées sont les 4 fonctions de coordonnées originales, x µ = x µ (x µ ) et nous supposons que les fonctions sont les bijections (sont d un à un) donc nous avons aussi x µ = x µ (x µ ) C est un résultat du calcul différentiel que dx µ = xµ dx µ x µ En utilisant la formule ci-dessus dans (26) nous trouvons immédiatement e µ = xµ x µ e µ = A µ µ e µ (27)

31 Cours 3 31 Donc : A µ µ = xµ x µ C est très important, donc n oubliez pas!

32 Cours 3 32 Les espaces duaux Pour un ensemble de vecteurs de base e µ, nous pouvons toujours définir un second ensemble de vecteurs de base e ν par la relation e ν e µ δ ν µ = 0 quand µ ν = 1 quand µ = ν (28) e ν sont nommés l ensemble de vecteurs de base duaux ou duale. Attention! (Hladik, 2006, Section 2.2.2) parle de l ensemble de vecteurs de base duale comme les composants des vecteurs contravariants, x ν. Moi, je le trouve déroutant. Hobson et al. (2010, Section 3.4) et Schutz (2009, Section 3.3) sont beaucoup plus simples et clairs.

33 Cours 3 33 Nous pouvons écrire le même vecteur avec les deux bases, A = x µ e µ = x µ e µ (29) ou x µ sont les composantes covariantes. Dans quelque minutes nous allons voir pourquoi.

34 Cours 3 34 Les vecteur covariants Pourquoi x µ sont dites composantes covariantes? Comment les composantes covariantes se transforment quand nous changeons les coordonnées, et donc les base e µ et aussi les base duaux e µ? Répétant les arguments ci-dessus, nous trouvons les résultats suivants :

35 Cours 3 35 Résumé : composantes covariantes Si les vecteurs de base sont reliés par la matrice de transformation e µ = A α µ e α (30) e µ = A α µ e α avec, (31) A ν µ A α ν = δα µ (32) puis les vecteurs de base duaux sont reliés par e µ = A µ α e α e µ = A µ α e α (33)

36 Cours 3 36 et les composantes contravariantes sont reliés par x ν = x µ A µ ν (34) x µ = x ν A ν µ (35) Comparant (30) avec (34) [ou (31) avec (35) ] nous voyons que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de base. (Mais d après mois c est une raison bête parce que les vecteurs de base duaux se transforme contra des composantes covariantes!) On voit aussi le terme «one-form» ou «une forme monolinéaire» pour vecteur covariant (Misner et al., 1973; Schutz, 2009) ou et peut-être c est mieux, mais nous suivons les livres de (Hobson et al., 2010; Hladik, 2006).

37 Cours 3 37 Vecteurs importants en relativité En relativité (RR et RG) nous voulons généraliser la notion de vitesse en espace euclidien 3D à celle de l espace-temps de Minkowski en quatre dimensions où plus généralement de l espace tangent d une variété pseudo-riemannienne en quatre dimensions. Rappelez-vous du cours 1 où nous définissons la quadrivitesse comme u d dτ (xµ e µ ) (36) dont les composantes contravariantes, dans un espace-temps plat,

38 Cours 3 38 sont données par u µ e µ u = e µ d dτ (xν e ν ) = e µ d e ν dτ (xν ) = δ µ ν d dτ (xν ) = d dτ (xµ ) (37) Rappelez-vous que le temps-propre était défini dans le cours 1 comme : dτ = dt (38) γ TD : Qu est-ce-que c est la grandeur de la vitesse carrée? u u = g µν u µ u ν = u µ u µ

39 Cours 3 39 TD : Écrivez la quadrivitesse en termes de la 3-vitesse (le vecteur vitesse usuel) et γ.

40 Cours 3 40 TD : solutions TD : La grandeur carrée de la vitesse? u u = g µν u µ u ν = g µν ( dx µ dτ dx ν dτ ) = g µνdx µ dx ν dτdτ = ds2 dτ 2. (39) Mais c 2 dτ 2 = ds 2 parce que τ est, par définition, le temps mesuré par une horloge qui ce déplace avec une particule, et dont l intervalle de laquelle est ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = c 2 dt 2 = c 2 dτ 2 Donc, u u = c 2

41 Cours 3 41 Quadri-impulsion d une particule massive Le quadrivecteur d impulsion d une particule de masse m 0 (c est-a-dire la masse au repos, pas la masse relativiste), est défini simplement par p = m 0 u TD : Qu est-ce-que c est la grandeur de la quadri-impulsion carrée? p p = g µν p µ p ν

42 Cours 3 42 Pour lundi Lire 6.1 et 6.2 de Schutz (2009). N inquitez-vous pas si vous ne pas comprendre tous. Essayer les exercices 1, 2, 3 de 6.9 de Schutz (2009).

43 Cours 3 43 Références Hladik, J. (2006), Introduction à la Relativité Générale, Ellipses, Paris. Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité Générale, de boeck, Bruxelles. Misner, C. W., K. S. Thorne, and J. A. Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman and company, San Francisco. Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK.

44 Cours 3 44 Things I missed Scalar fields on manifolds (helpful not critical) Tangent space (could also have covered in Lecture 2 on manifolds) Raising and lower indices, connection of dot product and metric tensor (very important, but maybe cover in tensors lecture?) Sections 3.8, 3.9, 3.10 (affine business, will need later when talking about geodesics!) Section 3.11 Geodesics Section 3.12 Covariant derivative of a vector!!!! 3.13 Vector operators in component form? Parallel transport!!! (will need this to talk about curvature) 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20 more on geodesics.