TD Dynamique du Point Saut à l Elastique

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1 TD Dynamique du Point Saut à l Elastique Objectif On se propose de choisir un élastique pour effectuer un saut depuis le pont de PONSONNAS présent une hauteur de chute de 03 m. Mise en situation d un saut à l élastique Le sauteur, assimilé à une masse (M) ponctuelle, se jette dans le vide sans vitesse initiale, depuis le point d accrochage de l élastique ( z = 0). La masse subit une chute libre t que l élastique n est pas en extension La masse est ensuite est retenue par l élastique. La raideur de l élastique n ét pas conste, on assimilera son comportement à celui d un élastique à raideur conste : de 0% à 00% d allongement, puis de 00% à 00% d allongement. Dans le choix du type d élastique et de sa longueur à vide, on s interdit de dépasser les 00% d allongement pour des questions de fiabilité de l élastique. L'élastique est constitué de extrémités identiques et d'une âme intermédiaire constituée d'un assemblage de fils ronds en latex naturel extrudé Pour effectuer votre choix, vous disposez chez les fabricants d élastique, de 4 types d'élastiques suivant les poids des sauteurs : type XS : pour un poids du sauteur de 5 à 45 g type S : pour un poids du sauteur de à 70 g type M : pour un poids du sauteur de 65 à 95 g type L : pour un poids du sauteur de 90 à 0 g Elasticités équivalentes des élastiques de saut : Pour un allongement de 00 % : type XS : tension de 00 g type S : tension de 60 g type M : tension de 00 g type L : tension de 50 g Pour un allongement de 00 % : type XS : tension de 60 g type S : tension de 55 g type M : tension de 35 g type L : tension de 0 g Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

2 On paramètre le mouvement par la verticale descendante : z z r G uuur r OG= zz - g = 9,8 m.s Questions. Dans la phase chute libre pendant «la longueur» de l élastique choisi ( L ), la personne de masse de 00g subit une accélération de la pesanteur égale à g=9,8 m/s. Déterminer l équation du mouvement et la durée de la chute libre.. Déterminer l expression analytique de la vitesse atteinte à la fin de cette phase en fonction de la longueur de l élastique L 3. En fonction de l élastique choisi (XS, S, M ou L) déterminer l équation du mouvement pendant la phase de décélération de 0 à 00% d allongement de l élastique. 4. En déduire la disce parcourue pendant cette phase de décélération. On reprendra l origine des z et des temps au début de cette phase La personne souhaite atteindre la vitesse de chute libre de 00 Km.h, déterminer la longueur minimale de corde à lui donner. Arrondir à une valeur entière. 6. Déterminer les disces totales de chute pour les quatre types d élastiques différents appliqué à une personne de 00Kg, avec ce modèle de raideur. Discuter les résultats!!! 7. Déterminer les valeurs numériques des raideurs valables pour des allongements de 00% à 00%. En les comparant aux valeurs de, discuter de la variation de raideur de l élastique avec l allongement. 8. Sans effectuer aucun calcul, conure sur la possibilité d effectuer un saut avec une corde de m permett d atteindre les 00 Km/h. Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

3 TD Dynamique du Point Saut à l Elastique CORRECTION Question : Déterminer l équation du mouvement et la durée de la chute libre. Equation du mouvement : Pendant la phase de chute libre, la personne n est soumise qu à son poids, le théorème de la résulte dynamique appliqué à cette personne donne donc : Ma r = Mg r uuur, soit en projection sur r dog r z :. z = g. D où l équation différentielle du mouvement : dt z& = g Durée de la chute libre : Intégrons deux fois l équation différentielle du mouvement : Une première fois, on obtient : z& = gt+ V0 Une seconde fois, on obtient : z = gt + Vt 0 + z0 Déterminons les constes d intégration V 0 et z 0 avec les conditions initiales. Or à t = 0s : La personne se jette sans vitesse initiale V( ) z( ) La personne se jette depuis le pont ( 0) z t L équation de la vitesse et donc : V( t) = z& ( t) = gt 0 = & 0 = 0, d où V 0 = 0 z =. Donc ( 0) 0 z0 = = =. L équation de la position est donc : z( t) = gt La durée de la chute libre correspond à l inst où la position atteint la longueur de l élastique L. On a donc comme durée t : z( t) = gt = L Soit : t = g Question : Déterminer l expression analytique de la vitesse atteinte à la fin de cette phase de la chute libre. Il suffit de reprendre l équation de la vitesse trouvée précédemment et de calculer cette vitesse à l inst t. On obtient donc : Page 3 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

4 ( ) = gt soit : V( t ) V t = g ou bien encore : g ( ) = V t Lg Question 3 : Déterminer les raideurs de chacun des élastiques utilisables. De 0 à 00% d allongement, soit pour une disce parcourue de L (début de la décélération) à (00% d allongement), les valeurs des raideurs sont notées, avec les valeurs littérales suivantes pour chaques sortes d élastiques : Pour une tension de X Kg soit 9,8X N, on a un allongement de 00% soit un allongement qui 9,8X 9,8X correspond à la longueur de l élastique L = L. Or 9,8X = L, d où = =. L L On a donc les raideurs suivantes en fonction des longueurs des élastiques XS 00g 98 = = L L S 60g 569,6 = = L L M 00g 96 = = L L L 50g 45,5 = = L L Question 4 : Déterminer l équation du mouvement pendant la phase de décélération de 0 à 00% d allongement de l élastique. Pendant la phase de décélération, la personne est soumise à son poids et à la résisce exercée par l élastique. L application du théorème de la résulte dynamique en projection sur z r, s écrit donc : Mz& = Mgz Il nous faut donc trouver la solution de cette équation différentielle : Mz& + z = Mg La solution particulière (de même forme que le second membre, c'est-à-dire conste) Mg vaut zpart ( t) = Page 4 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

5 La solution générale sans second membre (régime transitoire) est la solution de M l équation : z & + z = 0, c'est-à-dire sinusoïdale, de la forme : zgéné ( t) = λ cos t + µ sin t La solution est donc de la forme : ( ) Mg cos z t t sin = + λ + µ t avec les deux constes d intégration λ et µ à déterminer en fonction des conditions initiales : ( 0) 0 ( ) &( ) ( ) z = V 0 = z 0 = V t = g L exploitation des conditions initiales donne les deux équations suivantes : Mg + λ = 0 λ sin t, soit + µ cos 0 g = 443 Mg λ =. gm µ = L équation du mouvement pendant la phase de décélération de 0 à 00% d allongement est donc : Mg gm z( t) = cos t sin t + Question 5 : En déduire la disce parcourue pendant cette phase de décélération. La disce parcourue correspond à la disce parcourue à l inst où la vitesse s annule (avant de s inverser : remontée). On cherche donc d abord l inst où la vitesse s annule : M z& ( t) = g sin t + g cos t = 0 t =, soit t gm M = π gm Page 5 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

6 = 0 donne une valeur négative ce qui n est pas cohérent, donc la valeur qui nous intéresse est celle pour =, soit : M t = π gm La disce parcourue pendant cette phase de décélération vaut donc : Mg gm z( t) = cos t + sin t Or comme cos t cos L π cos L = = gm sin t sin L π sin L = = gm On a : ( ) = + cos + sin zt Mg gm g et Question 6 : La personne souhaite atteindre la vitesse de chute libre de - 00 Km.h, déterminer la longueur minimale de corde à lui donner.. Il suffit d inverser la relation trouvée à la question : V( t ) = g, d où 3600 On prendra donc une corde de m 00 L = = 39,33 m g 3,6 = Lg. Soit : Question 7 : Déterminer les disces totales de chute pour les quatre types d élastiques différents appliqué à une personne de 00Kg, avec ce modèle de raideur. La disce parcourue correspond à la disce parcourue à l inst où la vitesse s annule (avant de s inverser : remontée). On cherche donc d abord l inst où la vitesse s annule : M z& ( t) = g sin t + g cos t = 0 t = M, soit t = π gm gm Page 6 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

7 = 0 donne une valeur négative ce qui n est pas cohérent, donc la valeur qui nous intéresse est celle pour =, soit : M t = π gm La disce parcourue pendant cette phase de décélération vaut donc : Mg gm z( t) = cos t + sin t Or comme cos t cos L π cos L = = et gm sin t sin L π sin L = = gm On a : ( ) = + cos + sin zt Mg gm g 98 - Pour l élastique XS, on obtient : XS = = 4,5 N.m : Soit : L 54,73 gm =, d où z( t ) = [ + cos54,73] + sin54,73= 09,3 m. Soit un allongement de 4,5 4,5 l élastique de 09,3 = 73% hors de la validité du modèle (allongement de 00%) et par ailleurs, entraînant une chute théorique de +08,5=48,5 m bien supérieure à la hauteur du pont (03 m) AIE AIE AIE - Pour l élastique S, on obtient : S = 39,4 N.m Soit : L 60,79 gm =, d où zt ( ) = [ + cos60,79] + sin60,79= 76, m. Soit un allongement de ,4 39, , 39,03 l élastique de 76, = 90% hors de la validité du modèle (allongement de 00%) et par ailleurs, entraînant une chute théorique de +76,=6, m supérieure à la hauteur du pont (03 m) AIE AIE AIE Page 7 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

8 98 - Pour l élastique M, on obtient : M = = 49,05 N.m Soit : = ( ) = 63,43, d où gm zt ( ) = [ + cos63,43] + sin63,43= 64,7 m. Soit un allongement de ,05 49, ,95 35,77 l élastique de 64,7 = 6% hors de la validité du modèle (allongement de 00%) et par ailleurs, entraînant une chute théorique de +64,7=04,7 m légèrement supérieure à la hauteur du pont (03 m) AIE AIE AIE 98 - Pour l élastique L, on obtient : L = = 6,3 N.m Soit : = 5 = 65,9, gm zt = + cos65,9 + sin65,9 = 55, m. Soit un allongement de ,3 6, d où ( ) [ ],53 3,66 l élastique de 55, = 38% hors de la validité du modèle (allongement de 00%) et par ailleurs, entraînant une chute théorique de +55,=95, m inférieure à la hauteur du pont (03 m), mais reste à connaître l influence de la variation de raideur au-delà des 00% d allongement. Question 8 : Déterminer les valeurs numériques des raideurs valables pour des allongements de 00% à 00%. De 00 à 00% d allongement, soit pour une disce parcourue de L (00% d allongement) à 3L (00% d allongement), on obtient: Pour une tension de X Kg soit 9,8X N, on a un allongement de 00% soit un allongement qui 9,8X correspond à la longueur de l élastique L=. Or 9,8X = L, d où =. On a donc les raideurs suivantes pour des élastiques de m. XS 60g = = 9,6 N.m - Page 8 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07

9 S M 55g = = 3,7 N.m 35g = = 39,85 N.m - - 0g = = 49,05 N.m Conusion : En fait puisque ces valeurs sont inférieures à celle tro uvées pour des allongements inférieurs à 00%, les élastiques «perdent» de la raideurs en s allongeant. - Question 9 : Sans effectuer aucun calcul, conure sur la possibilité d effectuer un saut avec une corde de m permett d atteindre les 00 Km/ h. Puisque l on constate que l élastique L (le plus raide) présente pour des allongements inférieurs à 00% une raideur égale à celle de l élastique M pour des allongements inférieurs à 00%, les résultats seront ceux obtenus précédemment avec l élastique M, soit : Un allongement de 6% cohérent avec le modèle (résultats valides) Une disce parcourue totale de 04,7m trop grande (de peu) pour ne pas se «fracasser» le corps. En théorie, il ne vaut donc mieux pas «sauter» dans de telles conditions!!! En pratique, nous n avons pas tenu compte de la résisce de l air, difficilement quantifiable car dépendant de la position du sauteur dans l espace. Cette action mécanique diminuant la disce parcourue lors du saut, la longueur trouvée est surévaluée, ce qui est un élément de sécurité, à condition de la respecter!!! En pratique, il suffit de «lâcher» un leste inerte de poids supérieur au sauteur pour vérifier qu il n y a aucun risque Dans notre cas, il faut raccourcir l élastique de m ce qui donnera une disce parcourue inférieure à 04,7 - = 0,7 m puisque la vitesse atteinte en fin de chute libre sera aussi inférieure à celle atteinte avec un élastique L de m. Page 9 Emmanuel FARGES EduKlub S.A. Fichier généré pour Visiteur (), le 09/03/07