QUELQUES NOTIONS MATHEMATIQUES

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1 Annee 1 page 1 QUELQUES NTINS MATHEMATIQUES A. Les mesures algébriques 1. De la droite à l ae normé ' u fig. A1.1 : l'ae () Nous considérons une droite ( ) sur laquelle nous choisissons une origine, notée, un sens, de vers et une unité u. La droite devient ainsi l ae normé ( ) voir figure A1.1. emarque : en Physique, l unité légale de distance est le mètre (m). Cependant tous les multiples (dam, hm, km ) et sous-multiples 1 (dm, cm, mm,, µm,, nm ) peuvent aussi être utilisés. 2. Vecteur unitaire ' fig. A1.2 : l'ae () i Nous pouvons définir le vecteur unitaire i attaché à l ae normé ( ). Sa direction est celle de la droite ( ), son sens celui de l ae ( ) et sa norme i vaut 1. (Voir figure A1.2) L ae normé ( ) peut alors être défini par la donnée de l origine et du vecteur unitaire i. 3. Mesure algébrique ' M i fig. A1.3 : mesure algébrique Considérons un point M appartenant à l ae normé ( ). (Voir figure A1.3.) Le vecteur M est colinéaire au vecteur i (ils sont portés par la même droite), nous pouvons donc écrire : M = i Dans cette égalité, est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul. Par définition, la mesure algébrique de M, notée M, est égale à : M = 1 Voir l annee 3 sur les unités.

2 Annee 1 page 2 Lorsque M appartient à la demi-droite ]), M est positive. Lorsque M appartient à la demidroite ( [, M est négative. Lorsque M est en, M est nulle. B. Les valeurs absolues Considérons un nombre réel, sa valeur absolue notée est définie ainsi : Lorsque est positif, alors égale : 0 Lorsque est nul, alors égale 0 : 0 0 Lorsque est négatif, alors égale moins : 0 Deu remarques : La valeur absolue est toujours positive. La distance M est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique de M : d(,m) = M C. Les unités d angle 1. Introduction 2 s fig. A1.4 le périmètre du cercle fig. A1.5 un arc de cercle Pour introduire ces unités, nous considérons le cercle de centre et de rayon. La circonférence de ce cercle a pour longueur 2. (Voir figure A1.4.) Un angle au centre de valeur délimite un arc de cercle dont la longueur est proportionnelle au rayon : si le rayon double, l arc aussi ; si le rayon triple, l arc aussi, etc. (Voir figure A1.5.) La longueur de cet arc est aussi proportionnelle à l angle : si l angle double, l arc aussi ; si l angle triple, l arc aussi, etc. Ces deu propriétés se traduisent par la relation : longueur de l arc = constante rayon angle s = cste.. Vous pouvez vérifier que les deu propriétés ci-dessus sont bien respectées par cette relation. 2. Le radian Par définition, lorsque l angle est eprimé en radian, la constante vaut 1 : s =

3 Annee 1 page 3 emarque : s et sont toutes deu des longueurs qui s epriment de ce fait légalement en mètres. Donc l homogénéité de la relation impose que le radian est une unité sans dimension. Eemples : = 2 rad s = 2 s = fig. A1.6 le cercle entier fig. A1.7 un demi-cercle Lorsque s = 2 (le cercle entier), alors l angle au centre vaut = 2 rad. (Voir figure A1.6.) Lorsque s = (le demi-cercle), alors l angle au centre vaut = rad. (Voir figure A1.7.) 3. Le degré, la minute, la seconde 2 Par définition, le degré est tel que : 360 = 2 rad. n a donc aussi en divisant par 2 : 180 = rad puis en divisant par = /180 rad et en divisant par la relation rad = rad = 180/ Par définition de la seconde et de la minute d angle : 1 minute = 60 secondes soit 1 = 60 1 degré = 60 minutes = 3600 secondes soit 1 = 60 = 3600 D. Les fonctions trigonométriques Ces fonctions se définissent d abord usuellement dans un triangle rectangle. Nous choisissons un triangle ABC rectangle en A et nous posons ABC =. Ces définitions se généralisent ensuite à l aide du cercle trigonométrique, cercle de centre et de rayon unité. 2 Il s agit de minutes et de secondes d angle, ne pas confondre avec les minutes (min) et secondes (s) de temps.

4 Annee 1 page 4 C y K M H A B fig. A1.8 le triangle ABC fig. A1.9 le cercle trigonométrique 1. La fonction cosinus a) Définition du cosinus Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) : côté adjacent à AB cos hypoténuse BC Cette définition introduit des valeurs du cosinus positives et inférieures à un. Positives car les deu longueurs AB et BC le sont par nature ; inférieures à un car l hypoténuse est toujours plus grande que les côtés de l angle droit. Sur le cercle trigonométrique, pour définir cos nous traçons la perpendiculaire à l ae () passant par M (voir figure A1.9): cos côté adjacent à H H hypoténuse Nous considérons ensuite tous les angles (, M ) possibles. La définition est alors généralisée et devient algébrique : cos H Avec cette généralisation, les valeurs du cosinus sont telles que : -1 < cos < +1 L étude de la fonction et dérivable. b) eprésentation graphique de la fonction cosinus y = cos() montre qu elle est définie sur l ensemble des réels, continue Elle est périodique de période 2 rad (ou 360 ) : cos( + 2π) = cos(). De plus c est une fonction paire : cos(-) = cos().

5 Annee 1 page 5 Voici sa représentation graphique sur l intervalle [- rad ; + rad] : c) Quelques valeurs particulières (rad) 0 /6 /4 /3 /2 ( ) cos() 1 3 0, ,707 1/2 = 0, La fonction sinus a) Définition du sinus Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) : côté opposé à AC sin hypoténuse BC Cette définition introduit des valeurs du sinus positives et inférieures à un. Positives car les deu longueurs AC et BC sont par nature positives ; inférieures à un car l hypoténuse est toujours plus grande que les côtés de l angle droit. Sur le cercle trigonométrique, pour définir sin nous traçons la perpendiculaire à l ae (y) passant par M (voir figure A1.9) : sin côté opposé à K K hypoténuse Nous considérons ensuite tous les angles (, M ) possibles. La définition est alors généralisée et devient algébrique : sin K Avec cette généralisation, les valeurs du sinus sont telles que : -1 < sin < +1 L étude de la fonction et dérivable. b) eprésentation graphique de la fonction sinus y = sin() montre qu elle est définie sur l ensemble des réels, continue,

6 Annee 1 page 6 Elle est périodique de période 2 rad (ou 360 ). De plus c est une fonction impaire : sin(-) = - sin(). Voici sa représentation graphique sur l intervalle [- rad ; + rad] : c) Quelques valeurs particulières (rad) 0 /6 /4 /3 /2 ( ) sin() 0 1/2 = 0,5 2 0, , La fonction tangente a) Définition de la tangente Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) : tan côté opposé à côté adjacent à AC AB Cette définition introduit des valeurs positives de la tangente, car les deu longueurs AC et AB sont par nature positives. emarque : tan sin cos y B t C c K M T H A fig. A1.10 tangente et cotangente

7 Annee 1 page 7 Sur le cercle trigonométrique (Voir figure A1.10), pour définir tan nous traçons la perpendiculaire (At) à l ae () passant par A et prenons l intersection T de la droite (M) avec (At) : tan côté opposé à côté adjacent à AT Nous considérons ensuite tous les angles (, M ) possibles. La définition est alors généralisée et devient algébrique : tan AT Avec cette généralisation, les valeurs de la tangente sont telles que : L étude de la fonction tan ]- ; + [ AT b) eprésentation graphique de la fonction tangente y = tan() montre qu elle est définie sur l ensemble des réels. Elle est continue et dérivable, sauf en /2 + n (n entier relatif). Elle est périodique de période rad (ou 180 ). De plus c est une fonction impaire. Voici sa représentation graphique sur l intervalle [- rad ; + rad] privé de - /2 et + /2 : c) Quelques valeurs particulières (rad) 0 /6 /4 /3 /2 ( ) tan() 0 3 0, , La fonction cotangente a) Définition de la cotangente Par définition la cotangente est l inverse de la tangente (voir figure A1.8) : cot côté adjacent à côté opposé à AB AC

8 Annee 1 page 8 Sur le cercle trigonométrique, (Voir figure A1.10.) pour définir cot nous traçons la perpendiculaire (Bc) à l ae (y) passant par B et prenons l intersection C de la droite (M) avec (Bc) : cot BC BC Nous considérons ensuite tous les angles (, M ) et devient algébrique : possibles. La définition est alors généralisée cot BC Avec cette généralisation, les valeurs de la tangente sont telles que : cot ]- ; + [ b) eprésentation graphique de la fonction cotangente L étude de la fonction y = cot() montre qu elle est définie sur l ensemble des réels. Elle est continue et dérivable, sauf en /2 + n (n entier relatif). Elle est périodique de période rad (ou 180 ). De plus c est une fonction impaire. Voici sa représentation graphique sur l intervalle ]- rad ; + rad[ privé de 0 : c) Quelques valeurs particulières (rad) 0 /6 /4 /3 /2 ( ) cot() + 3 1, , E. Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques 1. La fonction arcsinus Sur l intervalle [- /2 ; + /2], la fonction sinus est définie, continue et monotone ce qui permet de définir sa fonction inverse : y = arcsin() telle que sin(y)= sin[arcsin()] =

9 Annee 1 page 9 La fonction arcsinus est définie sur [-1 ; +1] et à valeur sur [- /2 ; + /2]. Voici sa représentation graphique avec y en radians : Sur la calculatrice on utilise la touche sin -1. Ne pas confondre y = arcsin() = sin -1 () et 1/sin(). Les notations sont totalement trompeuses car sin 2 () est lui, vraiment égal à [sin()] La fonction arccosinus Sur l intervalle [0 ; + ], la fonction cosinus est définie, continue et monotone ce qui permet de définir sa fonction inverse : y = arccos() telle que cos(y) = cos[arccos()] = La fonction arccosinus est définie sur [-1 ; +1] et à valeur sur [0 ; + ]. Voici sa représentation graphique avec y en radians : Même remarque sur la touche cos -1 de la calculatrice. 3. La fonction arctangente Sur l intervalle ]- /2 ; + /2[, la fonction tangente est définie, continue et monotone ce qui permet de définir sa fonction inverse : y = arctan() telle que tan(y) = tan[arctan()] = La fonction arctangente est définie sur [- ; + ] et à valeur sur ]- /2 ; + /2[. Voici sa représentation graphique avec y en radians :

10 Annee 1 page 10 Même remarque sur la touche tan -1 de la calculatrice. n pourrait définir la fonction arccotangente