Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

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1 Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV. Reconnaitre une combinaison linéaire. 2 Etant donné deux vecteurs v, v 2, par exemple 0 et 3, ainsi 2 que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s v + t v 2. Par exemple ( ) 3 = (facile...). 2

2 Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV. Reconnaitre une combinaison linéaire. 2 Etant donné deux vecteurs v, v 2, par exemple 0 et 3, ainsi 2 que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s v + t v 2. Par exemple ( ) 3 = (facile...). 2 Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur b, par 8 exemple 9, est-il une combinaison linéaire de v et v 2? 7

3 Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV. Reconnaitre une combinaison linéaire. 2 Etant donné deux vecteurs v, v 2, par exemple 0 et 3, ainsi 2 que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s v + t v 2. Par exemple ( ) 3 = (facile...). 2 Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur b, par 8 exemple 9, est-il une combinaison linéaire de v et v 2? 7 Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,t pour tenter de retrouver b avec s v + t v 2. Est-ce la bonne méthode?

4 Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur b, par 8 exemple 9, est-il une combinaison linéaire de v et v 2? 7 Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,t pour tenter de retrouver b avec s v + t v 2. Est-ce la bonne méthode?

5 Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur b, par 8 exemple 9, est-il une combinaison linéaire de v et v 2? 7 Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,t pour tenter de retrouver b avec s v + t v 2. Est-ce la bonne méthode? NON, il y a trop (une infinité) de coefficients à tester. La bonne méthode est de : poser des coefficients comme des inconnues, et traduire la question en : Est-ce que le système x v + y v 2 = b admet une solution? Dans notre exemple concret, la question devient : 2 8 Est-ce que le système x 0 +y 3 = 9 admet une solution? 2 7

6 2 8 Est-ce que le système x 0 +y 3 = 9 admet une solution? 2 7 On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x = 2,y = 3.

7 2 8 Est-ce que le système x 0 +y 3 = 9 admet une solution? 2 7 On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x = 2,y = 3. Ainsi, la réponse de la question initiale est :

8 2 8 Est-ce que le système x 0 +y 3 = 9 admet une solution? 2 7 On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x = 2,y = 3. Ainsi, la réponse de la question initiale est : 8 2 oui, 9 s exprime bien en combinaison linéaire de 0 et 3, en effet 9 = Question similaire : En dimension 4, le vecteur e 4 est-il une combinaison linéaire de e, e 2 et e 3? Justifier votre réponse.

9 2 8 Est-ce que le système x 0 +y 3 = 9 admet une solution? 2 7 On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient x = 2,y = 3. Ainsi, la réponse de la question initiale est : 8 2 oui, 9 s exprime bien en combinaison linéaire de 0 et 3, en effet 9 = Question similaire : En dimension 4, le vecteur e 4 est-il une combinaison linéaire de e, e 2 et e 3? Justifier votre réponse. Non. Car le système x e + y e 2 + z e 3 = e 4 n a pas de solution.

10 2. Sous espace vectoriel engendré L équation x y 2z = 0 a pour solution x = y + 2z, où y,z peuvent prendre n importe quelles valeurs réelles. Sous forme vectorielle, l ensemble des solutions s écrit { y + 2z } { 2 } S = y,y,z R = y +z 0,y,z R z 0 { 2 } = a +b 0,a,b R (on a remplacé y,z par a,b) 0 = { toutes les combinaisons linéaires de 2 =, 0 0 nouvelle notation et }

11 { 2 } = a +b 0,a,b R (on a remplacé y,z par a,b) 0 = { toutes les combinaisons linéaires de 2 =, 0 0 nouvelle notation et } Définition et Notation. On utilise v,, v m pour désigner l ensemble de toutes les combinaisons linéaires des v i, ou bien, en écriture ensembliste : v,, v m = { k a k v k,a k R} = {a v + a 2 v 2 + +a m v m a,,a m R}. On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré (SEV) par les vecteurs v,, v m.

12 { 2 } = a +b 0,a,b R (on a remplacé y,z par a,b) 0 = { toutes les combinaisons linéaires de 2 =, 0 0 nouvelle notation et } Définition et Notation. On utilise v,, v m pour désigner l ensemble de toutes les combinaisons linéaires des v i, ou bien, en écriture ensembliste : v,, v m = { k a k v k,a k R} = {a v + a 2 v 2 + +a m v m a,,a m R}. On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré (SEV) par les vecteurs v,, v m. Ainsi, demander si b est une combinaison linéaire des v i revient à demander si b est un élément de l ensemble v,, v m, revient à demander si un système (lequel?) admet une solution (ou plus).

13 3. Réduction suivant les colonnes On peut résoudre un système A x = b en cinq( étapes ) suivantes : A. On forme la matrice compagnon verticale. Id 2. On l échelonne suivant les colonnes pour obtenir x Exemple : Résoudre 0 2 y = 2. 3 z C 3 2 C 2 +C C 3 C 3 C Alors B =??, H =??, b =?? C 3 C 3 C 2 ( B H )

14 3. On résout B u = b. 4. On multiplie la solution u par H pour obtenir H u. C est la solution! 5. Vérification finale. Dans notre exemple B = b = , H = 0 et 0 0

15 3. On résout B u = b. 4. On multiplie la solution u par H pour obtenir H u. C est la solution! 5. Vérification finale Dans notre exemple B = 0, H = 0 et b = 2. 3 Soit u un nouveau vecteur inconnu en dimension 3 qu on donne un nom à chaque entrée, par exemple u u = v. w

16 3. On résout B u = b. 4. On multiplie la solution u par H pour obtenir H u. C est la solution! 5. Vérification finale Dans notre exemple B = 0, H = 0 et b = 2. 3 Soit u un nouveau vecteur inconnu en dimension 3 qu on donne un nom à chaque entrée, par exemple 3. On résout B u = b et on trouve u = u u = v. w

17 3. On résout B u = b. 4. On multiplie la solution u par H pour obtenir H u. C est la solution! 5. Vérification finale Dans notre exemple B = 0, H = 0 et b = 2. 3 Soit u un nouveau vecteur inconnu en dimension 3 qu on donne un nom à chaque entrée, par exemple w 3. On résout B u = b et on trouve u = u u = v. w, avec w pouvant prendre n importe quelle valeur. 2 2w 4. Multiplication par H : H u = w. Ou bien, sous forme { w vectorielle : +w sous forme,w R} = +. SEV Vérification.

18 Théorème de réduction suivant les colonnes. Etant donné une matrice A (non nécessairement ( ) carrée), lorsqu on A réduit la matrice compagnon verticale à une matrice Id ( ) B par des opérations des colonnes, H. la matrice H est carrée et inversible,

19 Théorème de réduction suivant les colonnes. Etant donné une matrice A (non nécessairement ( ) carrée), lorsqu on A réduit la matrice compagnon verticale à une matrice Id ( ) B par des opérations des colonnes, H. la matrice H est carrée et inversible, 2. la matrice B n est rien d autre que AH,

20 Théorème de réduction suivant les colonnes. Etant donné une matrice A (non nécessairement ( ) carrée), lorsqu on A réduit la matrice compagnon verticale à une matrice Id ( ) B par des opérations des colonnes, H. la matrice H est carrée et inversible, 2. la matrice B n est rien d autre que AH, 3. l ensemble { x,a x = b} est égale à {H u,b u = b},

21 Théorème de réduction suivant les colonnes. Etant donné une matrice A (non nécessairement ( ) carrée), lorsqu on A réduit la matrice compagnon verticale à une matrice Id ( ) B par des opérations des colonnes, H. la matrice H est carrée et inversible, 2. la matrice B n est rien d autre que AH, 3. l ensemble { x,a x = b} est égale ( à {H u,b u ) = b}, ( A Id 4. la matrice A est inversible ssi se réduit à Id H dans ce cas H = A, ), et

22 Théorème de réduction suivant les colonnes. Etant donné une matrice A (non nécessairement ( ) carrée), lorsqu on A réduit la matrice compagnon verticale à une matrice Id ( ) B par des opérations des colonnes, H. la matrice H est carrée et inversible, 2. la matrice B n est rien d autre que AH, 3. l ensemble { x,a x = b} est égale ( à {H u,b u ) = b}, ( A Id 4. la matrice A est inversible ssi se réduit à Id H dans ce cas H = A, ), et 5. Un vecteur b est dans le SEV engendré par les vecteurs colonnes de A ssi A x = b admet une solution (ou plus), ssi le nouveau système avec des nouvelles inconnues B u = b admet une solution (ou plus). et bien plus d autres propriétés...

23 Preuve du théorème Chaque opération élémentaire suivant les colonnes correspond à multiplier la matrice à droite par une matrice (dite élémentaire) E qui ( est) inversible. ( Ainsi ) la( suite de réduction ) se lit A AE AE E 2 Id E E E ( ) ( ) 2 AE E 2 E m AH =. E E 2 E m H ( ) ( A B Ceci montre que si se réduit à Id H est toujours inversible. ), alors B = AH et H De plus, si B = id alors AH = Id, donc H = A, et B u = b (AH) u = b A(H u) = b H u est solution de A x = b. Réciproquement, si x est une solution de A x = b, alors, par l invisibilité de H, on peut former u = H x. Ainsi B u = B(H x) = AHH x = A x = b.

24 Interprétation géométrique et applications