Factorisation et études de signes

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1 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page # Factorisation et études de signes FONCTIONS Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre Résoudre une équation de type ab = une équation produit une inéquation de type ab > Représenter les solutions sur un ae gradué Factoriser avec les identités remarquables avec un facteur commun évident Auto-évaluation Résoudre les équations suivantes dans R. ) 3 = ) 3 = 7 3) 8 7 = Résoudre les équations suivantes dans R. ) ( 7)(54) = ) (3 )( 3 7) = 3 Reproduire quatre fois la droite. ) Hachurer les solutions de 4. ) Hachurer les solutions de < 4. 3) Hachurer les solutions de. 4) Hachurer les solutions de >. Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur manuel.sesamath.net 4 Résoudre dans R les inéquations suivantes. ) 4 5 ) 9 < Factoriser les epressions suivantes. ) ) ) ) ( ) 9 6 Factoriser les epressions suivantes. ) 4 8 ) 7 3) 3 3 4) ()(3 4)(3 4)(5 Voir solutions p. 9

2 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page # Activités d approche ACTIVITÉ Souvent signe varie On considère les epressions suivantes : ; ; ; 3 ; ;. ) Soit un nombre réel non nul. Parmi les epressions proposées, lesquelles sont positives? ) Soit un nombre strictement positif. a) Quelles sont les epressions positives lorsqu elles sont définies? b) Quelles sont les epressions négatives lorsqu elles sont définies? 3) Soit un nombre strictement négatif. a) Quelles sont les epressions positives lorsqu elles sont définies? b) Quelles sont les epressions négatives lorsqu elles sont définies? 4) Utiliser ces résultats pour associer chaque tableau de signes à l epression qui correspond a) c) e) b)... d)... f)... DÉBAT Les amis de mes amis sont mes amis On considère le programme suivant : ) Choisir une fonction F de variables. 3) Calculer A() = F () F (). ) Choisir une fonction F de variables. 4) Calculer P() = F () F (). ) Malik a choisi deu fonctions F et F puis il a représenté A et P dans un repère. Peut-on déterminer les signes de F et F? C A C P ) Coralie représente la fonction P qu elle a obtenue. a) Quels sont les signes possibles de F et F? b) Peut-on déterminer le signe de la fonction A qu elle a obtenue? C P Chapitre F. Factorisation et études de signes

3 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 3 #3 Activités d approche ACTIVITÉ 3 Signe d un produit, d un quotient On représente sur le graphique les fonctions f et g définies sur R par : f() = 3 5 g() = 6 5 On considère les fonctions h, k et l définies par h() = ( 3 5)( 65) l() = k() = À l aide du graphique, étudier les signes de h(), l() et k() ACTIVITÉ 4 Tableau de signe ) On considère la fonction f définie sur R par f() = 3. a) Pour quelles valeurs de, f() est-il un nombre : nul positif négatif b) Regrouper ces informations dans un tableau de signe. ) g est une fonction affine qui s annule en 5. a) Eiste-t-il plusieurs fonctions ayant ce critère? Pourquoi? b) Déterminer la fonction g telle que g() = 5. c) Établir son tableau de signe. 3) On considère la fonction P définie sur R par P() = ( 3)( 5). a) Quels doivent être le signe de 3 et celui de 5 pour que P() soit positif? b) Compléter le tableau de signes suivant P() 4) On considère la fonction Q définie par Q() = 3 5. a) Est-ce que la fonction est définie pour tout nombre réel? b) Déterminer le domaine de définition de la fonction Q. c) Peut-on utiliser le même tableau de signes que pour la fonction P? Chapitre F. Factorisation et études de signes 3

4 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 4 #4 Cours - Méthodes. Signe d une fonction affine PROPRIÉTÉ Soit a et b deu nombres réels avec a =. La fonction affine définie sur R par f() = ab s annule et change de signe une fois dans son domaine de définition pour = b a. Si a >, elle est négative puis positive. Si a <, elle est positive puis négative. PREUVE Soit f une fonction affine définie sur R par f() = ab avec a =. f() = implique a b = soit a = b et = b a. Si a >, la fonction f est croissante. ( ) Pour < b a, f() < f b (. Or, f b ) = donc f() <. a a Pour > b ( a, f() > f b ) (. Or, f b ) = donc f() >. a a Donc f est négative sur ] ; b/a[ puis positive sur ] b/a; [. Si a <, la fonction f est décroissante. ( ) Pour < b a, f() > f b. Or, f a ( ) Pour > b a, f() < f b. Or, f a ( b ) = donc f() >. a ( b ) = donc f() <. a Donc f est positive sur] ; b/a[ puis négative] b/a; [. MÉTHODE Dresser le tableau de signes d une fonction affine E. 8 p. 9 Le tableau de signe d une fonction affine comporte deu lignes. Sur la première ligne on indique les bornes du domaine de définition de la fonction et la valeur qui annule la fonction. Sur la deuième ligne, par des pointillés verticau sous la valeur qui annule, on crée deu cases dans lesquelles on indique le signe de la fonction. Eercice d application Dresser le tableau de signes de la fonction g définie sur R par g : 3 4. Correction Le coefficient directeur, 3, est négatif donc g est décroissante. Recherche de la valeur qui annule : 34 = soit = 4 3 soit = Chapitre F. Factorisation et études de signes

5 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 5 #5 Cours - Méthodes. Factorisation REMARQUE : En classe de seconde, on a déjà des outils pour factoriser une grande partie des epressions de degré. D autres outils seront étudiés en Première. En Terminale, certaines séries, toutes les epressions seront factorisables. MÉTHODE Factoriser une epression littérale E. 3 p. Soit a, b, k trois nombres réels. Si un facteur est apparent, on utilise : ka kb = k(a b) Si un facteur n est pas apparent, on utilise les identités remarquables : a b = (ab)(a b) a abb = (a b) a abb = (ab) Eercice d application Factoriser les epressions suivantes : ) 4ac 6ab ) ( )(5 )( 7)( ) 3) 6 9 4) 36 8 Correction ) 4ac 6ab = a(c 3b) ) ( )(5 )( 7)( ) = ( )((5 )( 7)) = ( )(7 6) 3) 6 9 = 33 = ( 3) 4) 36 8 = (6) 9 = (69)(6 9) 3. Signe du produit de deu fonctions affines MÉTHODE 3 Étudier le signe du produit de deu fonctions affines E. 34 p. Pour déterminer le signe du produit de deu fonctions affines, on construit un tableau de signes à 4 lignes. ) La e ligne indique les bornes de l ensemble de définition et les valeurs qui annulent la fonction. ) Les e et 3 e lignes indiquent le signe de chacune des deu fonctions affines. 3) La 4 e ligne se remplit avec la règle des signes du produit de deu nombres relatifs : a) des facteurs de même signe donnent un produit positif ; b) des facteurs de signes contraires donnent un produit négatif. Eercice d application Résoudre l inéquation(3 4)( 6) Correction On étudie le signe de la fonction h définie sur R par h() = (34)( 6). Recherche des valeurs qui annulent : 3 4 = implique = = implique = h() Les solutions de ] cette inéquation sont les nombres de l ensemble ; 4 ] [3; [ 3 Chapitre F. Factorisation et études de signes 5

6 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 6 #6 Cours - Méthodes 4. Signe d une fonction homographique DÉFINITION : Fonction homographique On appelle fonction homographique toute fonction h qui peut s écrire comme quotient de fonctions affines. Sa courbe représentative est une hyperbole qui comporte deu branches disjointes. PROPRIÉTÉ Une fonction homographique est définie sur R privé de la valeur qui annule son dénominateur dite «valeur interdite». Soit a, b, c, d quatre réels tels que ad bc = et c =. Pour h définie par h() = ab {, l ensemble de définition est R\ d }. cd c MÉTHODE 4 Donner le domaine de définition d une fonction homographique E. 45 p. Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver la valeur interdite. Eercice d application Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par f() = ? Correction Recherche de la valeur interdite : 3 7 = = 7 3 Le domaine de définition de la fonction f définie par f() = est R\{ 7 3 } MÉTHODE 5 Donner le tableau de signes d une fonction homographique E. 46 p. La méthode est similaire à celle du produit de deu fonctions affines. La annule le dénominateur ne faisant pas partie du domaine de définition de la fonction doit être indiquée par une double barre. Eercice d application Résoudre l inéquation >. Correction On étudie le signe de la fonction l définie par l() = Recherche de la valeur interdite : 7 = implique = 7 {. Donc l est définie sur R\ 7 }. Recherche de la valeur qui annule l : 3 5 = implique = 5 3 Comparaison des valeurs trouvées pour les ranger sur la re ligne du tableau : 7 < l() Les solutions de l inéquation 3 5 > sont les 7 ] nombres de l ensemble ; 7 [ ] [ 5 3 ;. 6 Chapitre F. Factorisation et études de signes

7 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 7 #7 S entraîner Activités mentales Tableau de signe d une fonction Voici le tableau de signes d une fonction f définie sur ] 5; 5[. Que peut-on dire de : f(3)? f( 4)? f()? f(4)? ) ) f() Compléter les tableau de signes suivants Déterminer 4 fonctions affines qui s annulent ) en 3 ; ) en ; 3) en 3 ; 4) en Factoriser les epressions suivantes : ) A = 4 9 ) B = Factoriser les epressions suivantes : ) A = 3 7 ) B = Factoriser les epressions suivantes : ) A = ( )(3 )(4 7)( ) ) B = (5 7)(6 )(6 ) 7 Pour quelle(s) valeur(s) la fonction f définie par f() = (3 4)(5 7) s annule-t-elle? 8 Pour quelle(s) valeur(s) la fonction f définie par f() = 4 s annule-t-elle? 9 Compléter le tableau de signes de la fonction f définie sur R par f() = (6 5)( 7) f() Sur quel intervalle a-t-on ) ( ) >? 4) 5 >? ) (3 4)? 5) 6 <? 3) 5 >? 6) 3 (5) <? Signe À partir du tableau de signes suivants : 3 f() ) donner les signes des nombres suivants : f(5) ; f( ) ; f( 7). ) Résoudre les inéquations suivantes : f() > ; f() ; f() <. Signalé! À partir du tableau de signes suivant : g() ) donner les signes des nombres suivants : g() ; g( 5) ; g(). ) Résoudre les inéquations suivantes : g() > g() g() < 3 À qui le tour? Une fonction h est définie sur [ 5; 8]. Elle s annule en, et 5 et est positive pour tout appartenant à l intervalle[ ; 5]. Elle est négative sinon. Dresser le tableau de signes de cette fonction. 4 Tableau de signes Voici deu tableau de signes : 7 f() 6 34 g() ) Proposer deu fonctions vérifiant chacun des tableau de signes. ) À l aide de ces tableau, résoudre : f() g() < 3) Peut-on comparer f et g? Si oui, sur quel intervalle? Chapitre F. Factorisation et études de signes 7

8 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 8 #8 S entraîner 5 Fonctions définies sur R Dresser les tableau de signes des fonctions représentées ci-dessous. C f 6 Des valeurs interdites! À partir de chaque représentation graphique : ) déterminer la ou les valeur(s) pour la(les)quelle(s) : a) la fonction n est pas définie ; b) la fonction est éventuellement nulle ; ) établir le tableau de signes de cette fonction. C f ) C g ) C g ) C h 6 4 3) ) C m C h 4) 3) 8 Chapitre F. Factorisation et études de signes

9 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 9 #9 S entraîner Signe d une fonction affine Factorisation 7 Étudier les signes des fonctions affines ci-dessous et dresser leurs tableau de signes. ) f() = 3 7 3) g() = 4 3 Réduire les epressions suivantes : ) A = ) B = ) h() = ) m() = ) C = MÉTHODE p. 4 On considère la fonction f définie sur R par f() =. ) Dresser son tableau signe. ) Sans faire de calcul, que dire du signe de : a) f(, 9)? b) f(, 57)? 9 On considère la fonction f définie sur R par f() = 4 7 ) Dresser son tableau de signes. ) Quel est le signe de f sur l intervalle I = [; 3]? 3) Proposer un intervalle du type J = [n; n], avec n entier naturel, où la fonction f change de signe. À partir de la représentation graphique ci-dessous de la fonction affine f. ) Déterminer l epression algébrique de la fonction f. ) Déterminer le tableau de signes de la fonction. Même énoncé que l eercice 4) D = 5, , Factoriser les epressions suivantes : ) A = 7 8 ) B = ) C = ) D = ) E = 5(3 ) 5 (3 ) 6 4 Souligner le facteur commun puis écrire la factorisation. ) A = ( 3)(4 3)( 3)( 5) ) M = (5 7)(3 )(5 7)( 5) 3) U = (7 6)( 8) (7 6)( 4) 4) S = (3 5)( 5 ) (3 5)(8 5) 5) E = 8 y 4y 6y 5 En mettant en évidence un facteur commun, factoriser les epressions suivantes. ) M = (3 )( 7 )(3 ) ) A = (3 4)(5 ) (3 4) 3) N = (8 8) (6 3)(8 8) 4) U = ( )(9 7)( )( ) 5) E = (6 3)(6 5) (9 6)(5 6) 6) L = (6 3)( 3)(6 3) 7) S = ( 4 5) (4 7)( 4 5) 6 En mettant en évidence une différence de deu carrés, factoriser les epressions suivantes. ) H = ) E = ( 4) 36 3) R = 5 4) T = 5 ( ) 5) Z = ( 3) ( 4) 7 Calcul mental ) Factorise () ( ). ) Calcule Chapitre F. Factorisation et études de signes 9

10 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page # S entraîner 8 Factorise en utilisant une identité remarquable. ) T = 9 4 ) H = ) A = ) L = ) E = ) S = 9 Choisis la bonne méthode pour factoriser les epressions suivantes. ) P = (6 4)( 5) (3 )( 5) ) Y = (4 5) (9 3) 3) T = ) H = (5 7)(3 ) ( 8)(3 ) 3 MÉTHODE p. 5 Factoriser les epressions suivantes. ) M = (4 3) 8 ) A = 5 7(7 5) 3) T = ) H = (5 3) (3 ) 3 En deu étapes Factoriser les epressions suivantes : ) S = (3)(4 )(8 )(7 8) ) T = (6 )(3 ) 36 3) R = (4 4)( 5)(3 3)( 9) 4) O = ( )(7 ) ( )(7) 5) P = 6 9 ( 3)( 3) 6) H = (3 4)( 5) ( 6 )(5) 7) E = (8 ) (5 )(8 ) 3 Écrire sous la forme d une seule fraction de la manière la plus simple possible. ) A = ) B = ) C = ) D = (3 5) 33 Triangle rectangle 46 ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 7 et AC = 5 où désigne un nombre positif. Eprimer AB en fonction de sous forme factorisée. Signe d un produit 34 MÉTHODE 3 p. 5 On considère la fonction f définie sur R par f() = (3 4)( ) ) Déterminer le signe de 3 4 et de. ) Dresser le tableau de signes de la fonction f. 3) Représenter graphiquement la fonction. 35 Établir les tableau de signes des fonctions. ) h() = ( 3)( 3 5) ) u() = ( 4)(6 4) 3) v() = (5 65)(7 ) 4) w() = ( 3 7)( 4 96) 36 On considère la fonction g définie sur R par g() = (4 5)( 7) ) Dresser le tableau de signes de la fonction g. ) En déduire les signes des fonctions suivantes. a) h() = (4 5)( 7) b) k() = 3(4 5)( 7) c) t() = (5 4)( 7) d) p() = (5 4)( 7) 37 Résoudre les inéquations suivantes. ) (9 )(4 ) < ) (3 )(4 8) 3) ( )(3 ) 4) (3 )(5 7)(6 ) > 38 Déterminer les signes des fonctions suivantes. ) f() = ( 6) 5 ) g() = (5 3) ( 4) 3) h() = 7 4) k() = ( 3 8)(7 4) ( 3 8)(5 ) 39 Résoudre les inéquations suivantes : ) > 6 3) 64 > ) 6 8 > 4) 49 (3 ) 4 Signe d un trinôme ) Démontrer que 6 7 = ( 3) 6. ) Déterminer le signe de la fonction T() = Dresser les tableau de signes des fonctions. ) f() = (8 ) ( 7) ) g() = ( 4)(9 )(5 ) 3) h() = 3(5 )( )(4 6) Chapitre F. Factorisation et études de signes

11 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page # S entraîner 4 Sans tableau de signes! Le graphique ci-dessous donne les représentations graphiques des fonctions f et g définies par : f() = 3 g() = On définit la fonction h par h() = ( 3)( ). ) Attribuer chaque courbe à la bonne fonction. ) Déterminer graphiquement les valeurs qui annulent la fonction h. 3) Résoudre graphiquement h(). 4) En déduire le tableau de signes de h. 5) Proposer une courbe représentative possible de la fonction h. 43 Les fonctions f, g et h sont représentées cidessous. Elles sont le produit de deu fonctions parmi les fonctions affines suivantes : u () = 3 u 4 () = 3 u () =, 5 u 5 () =, 5 u 3 () = 3 u 6() = 3 Retrouver les epressions des fonctions f, g et h. C f C h C g Signe d un quotient 44 Fonctions homographiques Parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont homographiques. ) f() = ( )( ) 4) i() = 4 ) g() = 7 3) h() = MÉTHODE 4 p. 6 5) j() = 3 (3 ) 6) k() = Déterminer pour quelle(s) valeur(s) les fonctions suivantes ne sont pas définies et pour quelle(s) valeur(s) elle s annulent. ) f() = 5 ) g() = ) h() = MÉTHODE 5 p ) k() = 3 7 5) l() = 9 6) m() = ) Étudier le signe de ( )( 3) et dresser le tableau de signe de cette epression, que l on note M. ) En déduire le tableau de signe des epressions. a) O = 3 b) L = 3 c) E = ( 3) 3 d) S = 5( ) 3 47 Établir le tableau de signes des fonctions suivantes. ) f() = ) g() = 5 7 3) h() = 5 3 4) k() = 5) m() = 6) p() = 48 Résoudre dans R : 3 4 ) > 4) 4 ) 5 3 3) 4 5) < 6) ( 8 ) < ( )( ) 9 5 ( 6)(7 8) Chapitre F. Factorisation et études de signes

12 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page # Approfondir 49 L objectif est de résoudre 7. 9 ) Quelle est la valeur que ne peut pas prendre? ) Déterminer une epression A() pour que l inéquation se ramène à A(). 3) Résoudre A(). 5 Résoudre : 3 < 3. 5 Résoudre : >. 5 Inéquations avec fractions rationnelles Résoudre dans R les inéquations suivantes : ) 5 7 ) 3 5 3) > Vrai/Fau Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. ) Pour tout réel, ( ) 4 = ( 5)( ). ) Il eiste un réel tel que = 4. 3) Pour tout, (3) = ( ) ) Il eiste un réel tel que( )( ) = Positions relatives de deu courbes Soit f la fonction définie sur R {3} par : f() = En eprimant différemment le membre de gauche, résoudre les inéquations suivantes : ) ) ( ) < ) 5 < 5) C f 3) 9 6) ( 3) 3 > 54 L offre et la demande Le pri d un article est compris entre e et 5e. L offre est le nombre d articles qu une entreprise décide de proposer au consommateurs à ce pri de e. La demande est le nombre probable d articles achetés par les consommateurs quand l article est proposé à ce même pri de e. La demande se calcule avec d() = pour en milliers d articles. L offre se calcule avec f() = Le but de cet eercice est de trouver pour quels pri l offre est supérieure à la demande. ) Écrire une inéquation traduisant le problème posé. ) Démontrer que l inéquation f() > d() s écrit aussi 5 > 75 3) Démontrer alors qu elle peut aussi s écrire 3 4 > 4) a) Démontrer que pour tout : 3 4 = ( )(3 ) b) En déduire les solutions de f() > d(). c) Conclure. ) En utilisant le graphique ci-dessous, résoudre : a) f() b) f() > ) Résoudre ces inéquations par le calcul. 57 Renée cherche à résoudre l inéquation : 3 > 3. Pour cela, il utilise un logiciel de calcul formel. Voici ci-dessous ce qu il obtient. Aider Renée à résoudre cette inéquation. simpli fier( 3 ( 3)) 3 f actoriser( 3) ( ) ( ) f actoriser( 3 ) ( ) f actoriser( 3 ) () Chapitre F. Factorisation et études de signes

13 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 3 #3 Approfondir 58 positions relatives de 3 courbes INFO On représenté sur le graphique ci-dessous les fonctions f, g et h définies sur R par : f() =, 3( 7) g() = 8 7 h() =, 3, 5, 7, C h 6 Etremum et étude de signes Soit f la fonction définie sur R par f() = 4 3 ). À l aide de votre calculatrice, dresser un tableau de variations de f. ) f admet-elle un etremun sur R? 3) Étudier le signe de f(). 4) En déduire que est bien un minimum de f sur R. C f 6 En s inspirant de l eercice 6, étudier les etremums des fonctions suivantes : ) f() = 33 ) g() = 9 8 3) h() = 6 3 C g ) a) Montrer qu étudier les positions relatives des courbes C f et C g équivaut à étudier le signe de l epression 8, 3 9,. b) À l aide d un logiciel de calcul formel, on obtient : f actoriser( 8, 39, ) (, 3) ( 7) En déduire le signe de 8, 39, et les positions relatives des courbesc f et C g. ) À l aide d un logiciel de calcul formel, étudier les positions relatives des courbes a) C f et C h ; b) C g etc h. 59 Une formule ) Effectuer chacun des calculs ci-dessous ) Émettre une conjecture. 3) La démontrer. 4) À l aide de la calculatrice, effectuer le calcul [ ] 5) Que penser de la réponse affichée? 4) k() = 8 5) j() = ( 3) 4 6 Signes et variations Soit f la fonction définie sur R {} par f() =. ) Conjecturer le sens de variations de f. 5(a b) ) Vérifier que f(b) f(a) = (b )(a ). 3) Soit a et b deu nombres réels tels que < a < b. Étudier le signe de f(b) f(a). 4) Démontrer que f est décroissante sur ] ; [. 63 En s inspirant de l eercice 6, montrer que ) f() = 3 est strictement croissante ( 5) sur ]5; [. ) g() = 3( ) est strictement croissante sur ]; [. 64 Un carré parfait On dit d un nombre que c est un carré parfait lorsqu il s agit du carré d un entier. Par eemple 4, 9, 6 sont des carrés parfaits car ce sont les carrés respectifs de, 3 et 4. On considère le nombre A(n) = (n ) n(3n ). ) Calculer A(), A(), A(3), A(5) et A() ) Que peut-on conjecturer? 3) Démontrer-la. Chapitre F. Factorisation et études de signes 3

14 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 4 #4 Je teste mes connaissances À la fin de ce chapitre, je dois être capable de : Interpréter un tableau de signes donner le signe d une fonction résoudre des inéquations Factoriser une epression avec un facteur commun en faisant apparaître un facteur commun avec les identités remarquables Dresser le tableau de signes d une fonction d après son graphique d une fonction carré d une fonction inverse d une fonction affine du produit de fonctions affines du quotient de fonctions affines QCM d auto-évaluation Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. Voici le tableau de signes d une fonction h. h() Sur lequel de ces intervalles a-t-on h() >? a ] 5; 4[ b ] 5; [ c ] 5; ] 68 Que peut-on dire de h()? a h() = 5 b h() = 66 Sur lequel de ces intervalles a-t-on h() <? a ] ; 5[ b ]; 4[ c ]; [ 69 Que peut-on dire de h()? a h() est positif b h() = 4 67 Résoudre h(). a S =] ; 5] [; [ b S =] ; 5] [; 4[ ]4; [ 7 Que peut-on dire de h(4)? a h(4) est négatif b h(4) n eiste pas 7 Parmi ces tableau, lequel est celui de la fonction k définie sur R par k() = 3? 3 3 a h() c h() 3 3 b h() d h() 4 Chapitre F. Factorisation et études de signes

15 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 5 #5 7 Quelles epressions sont des formes factorisées de 4 8? a 7( 4) b 4 c 4( ) 75 Quelle epression est une forme factorisée de 4 4? a ( 4) b ( ) 73 Quelles epressions sont des formes factorisées de 3 9? a (3 9) b 3( 3) c 3( 3) 76 Quelle epression est une forme factorisée de 36 64? a (6 8)(6 8) b 4(3 4)(34) 74 Quelle epression est une forme factorisée de ( )(4 5) ()(6 9)? a ( )( 4) b ( )( ) 77 L epression 5 3 est-elle factorisable? a oui b non Voici le tableau de signes, incomplet, de la fonction p définie sur R par p() = (3 5)( 7). 78 Quelle valeur annule 3 5? a 3 5 b 3 5 c ] Sur lequel de ces intervalles a-t-on p() <? a ; 7 [ ] [ 7 b ; Voici le tableau de signes, incomplet, de la fonction q définie sur R par q() = Que peut-on dire de q( 4)? a Il vaut b Il n eiste pas Que peut-on dire de q(3)? a Il vaut b Il n eiste pas 8 Sur lequel de ces intervalles a-t-on q()? a ] ; 4] b [ 4; 3] c [3; [ Chapitre F. Factorisation et études de signes 5

16 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 6 #6 Travau pratiques TP Dans le Cantal Le père Bono a un champ rectangulaire et n arrive pas à regrouper ses vaches quand il faut les ramener à l étable. Il décide de rajouter une parcelle triangulaire à son champ, comme sur le schéma ci-dessous) pour faciliter le regroupement de ses bêtes. Il déclare alors : «Mon champ aura cette forme ou je ne m appelle pas Jean!». Cependant, il est nécessaire de prévoir une surface minimale de 5 m pour que les vaches puissent paître. 56 ) À l aide d un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer le résultat. ) Montrer que le Père Bono doit résoudre l inéquation 8 5 >. 3) Démontrer que 8 5 = ( 36)( 8). Déterminer les dimensions du champ de Bono. TP En cascade L objectif du TP est de résoudre ( I ) : <. Eistence de l inéquation ( I ) ) Étudier le signe de. ) Pour quel intervalle de l inéquation est-elle définie? Plus simple! ) Établir le tableau de signes de l epression X X. ) En déduire les solutions de l inéquation X < X. 3 Encadrement ) Montrer que résoudre X< X. Epliciter X. <, c est résoudre ) En déduire les inégalités que doivent vérifier 4 Résoudre. > ) Montrer que résoudre > c est résoudre ( )( ) > ) Etablir que cela revient à résoudre >. 5 Résoudre > ) Conjecturer la solution à l aide de votre calculatrice. ) Développer ( )( ). 3) Chercher les solutions de l inéquation > 4) En déduire les solutions de ( I ) : <. 6 Chapitre F. Factorisation et études de signes

17 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 7 #7 Travau pratiques TP 3 Convee ou concave? Une fonction est convee si sa représentation graphique «est tournée vers le haut». Mathématiquement, cela signifie que si A et B sont deu points de la représentation graphique de la fonction, le segment [AB] est entièrement situé au-dessus du graphe. Si le segment [AB] est entièrement situé en-dessous du graphe, la fonction est concave. Un eemple : la fonction carrée On considère P la courbe de la fonction carré. On appelle A et B les points de P d abscisses respectives a et b B A 3 a b 3 On cherche à prouver sur des eemples que le segment[ab] est au dessus de P. ) Dans cette question, on prendra a = et b =. a) Donner la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite(ab). b) Développer( )( ). c) En déduire que P est en dessous de (AB) sur l intervalle[; ]. ) Démontrer que, pour a = et b =, le segment[ab] est au-dessus de P. En toute généralité Dans cette partie, on considère que a < b et on souhaite démontrer que la fonction carré est convee sur R. ) Quelles sont les coordonnées des points A et B? ) Que vérifient les coordonnées d un point du segment[ab]? 3) Déterminer la fonction affine f dont la droite(ab) est la représentation graphique. a) Que peut-on dire du signe du coefficient directeur? Pourquoi? b) Que peut-on dire du signe de l ordonnée à l origine? Pourquoi? 4) Quelle inéquation faut-il résoudre pour prouver que la fonction carrée est convee? 5) Montrer que : (ab)ab = ( a)( b). 6) Établir le tableau de signes de l epression f(). 7) Conclure. Chapitre F. Factorisation et études de signes 7

18 MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page 8 #8 Travau pratiques 3 Une autre fonction! Soit la fonction g définie sur R {3} par : g() = et sa représentation graphique. 3 ) Sur quel intervalle la fonction g semble-t-elle concave? Soit A et B deu points de la représentation graphique de g. Leurs abscisses respectives sont notées a et b tels que a < b < 3. ) Déterminer la fonction affine h dont la représentation graphique est la droite(ab). a) Quel est le signe du coefficient directeur? Pourquoi? b) Peut-on déterminer le signe de l ordonnée à l origine? Pourquoi? 3) Quelle inéquation faut-il résoudre pour démontrer que la fonction g est convee sur] ; 3[? 4) Démontrer que cela revient à résoudre (b 3)(a 3)3( 3) ab( 3) <. 5) En factorisant, prouver que (b 3)(a 3) 3( 3) ab( 3) = 3( a)( b). 6) Conclure. Récréation, énigmes L adresse de Toto le Héros Toto le Héros vous a laissé un indice pour trouver son Toto-repère : «J habite rue de l escargot. L un de mes enfants est âgé de 4 fois le numéro de mon repère plus et l autre est âgé de ce numéro plus 3. De plus, si je soustrait 5 fois le numéro de ma maison au produit des âges de mes enfants, je trouve un nombre négatif.» ) Si est le numéro du toto-repère : que vaut le produit des âges des enfants de Toto? ) Quelle inéquation est vérifiée par ce numéro? 3) Conjecturer l adresse du Toto-repère à l aide de votre calculatrice. 4) En remarquant que = ( )( 3), dresser le tableau de signes de ) En déduire l adresse de Toto le Héros. 8 Chapitre F. Factorisation et études de signes

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