NOM : Terminale ES Devoir n 9 Mardi 19 mai 2015

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1 NOM : Terminale ES Devoir n 9 Mardi 9 mai 5 Eercice. QCM sur 4 points Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est eacte. Entourer la réponse eacte sur le sujet. On ne demande pas de justification. Chaque réponse eacte rapportera point, une réponse fausse ou l absence de réponse n apporte ni n enlève de point.. On appelle X la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 5 et p =.. a) La probabilité à -3 près d avoir X est : b) L espérance de X est : La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- 5 ; 5] a) Sur l intervalle [-5,5] f est une densité de probabilité f n est pas continue f est positive l équation f() = admet deu solutions. b) f () = f () = f () = f () = c) On admet qu une équation de la tangente à (C) au point d abscisse 4 est Le nombre dérivé de f en 4 est : f (4) = 5 e² d) On pose A = f ( ) d. f (4) = e² f (4) = e² f(4) < A < < A < 3 < A < 4 4 < A < 5 e 5 y e² e² 3. On considère une fonction f définie et continue sur l intervalle [ ;5] et on donne son tableau de variations variations 3 - de f - -3 Soit F une primitive de f sur l intervalle [ ; 5]. On peut être certain que : F est négative sur l intervalle [3 ;4] F est positive sur l intervalle [4 ;] F est décroissante sur [4 ; ] F est décroissante sur l intervalle [ ; 3] 4. Pour tout réel de l intervalle ] ; + [, l équation ln ln( 3) 3ln est équivalente à l équation : ² 3 3 8

2 Eercice sur 3 points Partie A : Chaque jour, Antoine s entraine au billard américain pendant une durée comprise entre minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l intervalle [ ; ].. Calculer la probabilité p pour que l entrainement dure plus de 3 minutes.. Calculer l espérance de X. Interpréter ce résultat Partie B : Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième. Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s entraine sont dites de premier choi si leur diamètre est compris entre 5,75 mm et 57,5 mm; sinon elles sont dites de second choi. On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l entreprise, associe son diamètre, en millimètres. On suppose que D suit la loi normale d espérance 57 et d écart-type,.. Déterminer la probabilité p que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57mm.. Déterminer la probabilité p que la boule prélevée soit une boule de premier choi. 3. En déduire la probabilité p3 que la boule prélevée soit une boule de second choi. Eercice 3 : Le bénéfice d une entreprise en milliers d euros en fonction de la quantité d objets vendus, en milliers d unités est modélise par : B( ) 3 ² 5 pour ;5 3. a) Calculer B (), étudier son signe. b) En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [ ;5].. Déterminer la quantité d objets à vendre pour que le bénéfice soit maimal. 3. Calculer le bénéfice moyen de l entreprise, à euros près, lorsqu elle fabrique et vend entre et 5 unités.

3 Eercice 4 On considère deu fonctions f et g définies sur, et (C) et () leurs représentations graphiques sur 9 points respectives. On donne ci-dessous (C) en traits pleins, et () en pointillés ; le point A est leur point d intersection.. Lecture graphique Par lecture graphique, et sans justification, a) Résoudre f () b) Etudier la conveité de f sur.. Etude de la fonction g La fonction g est définie sur par g( ) 4e a) Calculer la dérivée g de g sur. En déduire le sens de variation de la fonction g sur. b) On admet que la dérivée seconde g de g sur est définie par ( ) ( 4). Justifier g e que la courbe () admet un point d infleion B. Donner la valeur eacte des coordonnées de B. 3. Aire entre deu courbes. Soit h la fonction définie par h( ) f ( ) g( ). On admet que h est définie sur par h( ) (4 ) e. a) Résoudre algébriquement l équation h ( ). En déduire les coordonnées eactes du point A. b) Etudier le signe de h ( ) sur et en déduire la position relative des courbes (C) et (). c) Justifier que g est une primitive de h sur. d) Calculer l aire, en unités d aire, du domaine limité par les deu courbes (C) et (), la droite verticale d équation = et l ae des ordonnées. On donnera la valeur eacte puis une valeur approchée arrondie à. près.

4 Corrigé du n. a).99 b) 3.. a) f est positive b) f () = c) f (4) d) 3 < A < 4 e² 3. F est décroissante sur [4 ; ] 3 4. ln ln( 3) 3ln ln ( 3) ln( ) ² 3 8 sur 4 par réponse eacte Corrigé du n Partie A. X suit la loi uniforme sur [ ; ] p(x 3)=p(X [3 ; ]) = ab. D après le cours E(X) = 4 Le temps moyen d entraînement, par jour, est 4 min. Partie B. 57 est la moyenne donc p(d 57) =. p(5.75 D 57.5).977 à la calculatrice La probabilité que la boule soit de premier choi est La probabilité que la boule soit de second choi est donc.977 =,3 sur 3 Corrigé du n 3. a) B'( ) 3 ² ² 3 C est un polynôme du second degré. = 49 ; deu racines = et =.5. Il est du signe du coefficient de ² donc négatif sauf entre les racines. 5 signe de B () + b) Tableau de variation : 5 signe de B () + variation de B D après le tableau ci-dessus, il faut vendre objets pour que le bénéfice soit maimal. 3. Le bénéfice moyen quand l entreprise fabrique et vend entre et 5 objets est la valeur moyenne de B sur l intervalle [ ;.5] B d ( ) 3 ² Ce bénéfice moyen est donc 9 euros à près. sur 4.5

5 Corrigé du n 4. a) S = ] ; ] quand la fonction est croissante b) f est concave sur ] ; [ et convee sur ] ; +[. a) On pose u = 4 et v = e - d où u' 4 et v' e g '( ) 4e 4 ( e ) e 4 4 ( 4 e On étudie le signe de g pour avoir les variations de g, sachant qu une eponentielle est toujours positive et que 4 s annule pour =. - + signe de 4- + signe de e signe de g () + variations de g 8e - sur 9 On pense à vérifier la cohérence du tableau obtenu avec la courbe de g qui est donnée. b. La courbe admet un point d infleion si g s annule en changeant de signe signe de 4 + signe de e signe de g () + La courbe de g admet donc un point d infleion B d abscisse 4 et d ordonnée g(4) = e - 3. a) h( ) 4 ou e car une eponentielle n est jamais nulle. Le point A a donc pour abscisse et pour ordonnée g() = 8e - b) On remarque que h( ) g '( ) Le signe de h() a donc été étudié à la question. On en déduit que sur ]- ; [ h() > donc f ( ) g( ), C est au-dessus de, et sur ] ; +[, h() < donc f ( ) g( ), C est au-dessous de. c) On a vu que g '( ) h( ) donc g est une primitive de h. d) L aire du domaine hachuré est égale à h( ) d g() g() 8e 8e L aire cherchée est donc 8e - soit environ.94 en unités d aire

6 NOM : Terminale ES Devoir n 9 Mardi 9 mai Eercice. QCM sur 4 points Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est eacte. Entourer la réponse eacte sur le sujet. On ne demande pas de justification. Chaque réponse eacte rapportera point, une réponse fausse ou l absence de réponse n apporte ni n enlève de point.. On appelle X la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 5 et p =.. a) La probabilité à -3 près d avoir X est : b) L espérance de X est : La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- 5 ; 5] a) Sur l intervalle [-5,5] f n est pas continue f est positive l équation f() = admet deu solutions. f est une densité de probabilité b) f () = f () = f () = f () = c) On admet qu une équation de la tangente à (C) au point d abscisse 4 est Le nombre dérivé de f en 4 est : f (4) = e² d) On pose A = f ( ) d. f (4) = e² f (4) e f (4) = 5 e² < A < 3 < A < 4 4 < A < 5 < A < 5 y e² e² 3. On considère une fonction f définie et continue sur l intervalle [ ;5] et on donne son tableau de variations variations 3 - de f - -3 Soit F une primitive de f sur l intervalle [ ; 5]. On peut être certain que : F est décroissante sur [4 ; ] F est décroissante sur l intervalle [ ; 3] F est négative sur l intervalle [3 ;4] F est positive sur l intervalle [4 ;] 4. Pour tout réel de l intervalle ] ; + [, l équation ln ln( 3) 3ln est équivalente à l équation : 3 8 ²

7 NOM : Terminale ES Devoir n 9 9 mai 5 Eercice. QCM sur 4 points Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est eacte. Entourer la réponse eacte sur le sujet. On ne demande pas de justification. Chaque réponse eacte rapportera point, une réponse fausse ou l absence de réponse n apporte ni n enlève de point.. On appelle X la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 5 et p =.. a) La probabilité à -3 près d avoir X est : b) L espérance de X est : La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- 5 ; 5] a) Sur l intervalle [-5,5] f est positive f n est pas continue l équation f() = admet deu solutions. f est une densité de probabilité b) f () = f () = f () = f () = c) On admet qu une équation de la tangente à (C) au point d abscisse 4 est Le nombre dérivé de f en 4 est : f (4) = f(4) e f (4) = 5 e² e ² d) On pose A = f ( ) d. f (4) = e² 4 < A < 5 3 < A < 4 < A < < A < 5 y e² e² 3. On considère une fonction f définie et continue sur l intervalle [ ;5] et on donne son tableau de variations variations 3 - de f - -3 Soit F une primitive de f sur l intervalle [ ; 5]. On peut être certain que : F est décroissante sur l intervalle [ ; 3] F est décroissante sur [4 ; ] F est négative sur l intervalle [3 ;4] F est positive sur l intervalle [4 ;] 4. Pour tout réel de l intervalle ] ; + [, l équation ln ln( 3) 3ln est équivalente à l équation : ²