Exercice 1 sur 8 points STATISTIQUES temps 25 min

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1 Exercice 1 sur 8 points STATISTIQUES temps 25 min Le tableau suivant donne le salaire brut mensuel, par catégorie socioprofessionnelle simplifiée dans une entreprise : Salaire Effectif ECC Compléter le tableau ci-dessus par les effectifs cumulés croissants de cette série. Combien cette entreprise a-t-elle de salariés? Cette entreprise a 89 salariés. 2. Calculer l arrondi, à l uro près, du salaire moyen brut. Le calcul du salaire moyen brut noté s = s = Calculer l étendue du salaire dans cette entreprise. L étendue du salaire dans cette entreprise est de = euros. 4. Quel est le montant du salaire médian? Déterminer les montants du premier et du troisième quartile. L effectif total (N= 89) est impair 89 = , le salaire médian est donc la donnée de rang 45, ce qui donne un salaire médian de euros. Détermination de Q 1 : N 4 = 89 4 =22.25 l entier qui lui est immédiatement supérieur est 23, Q1 occupe le 23ème rang, la valeur de Q 1 est Détermination de Q 3 : 3N 4 = = l entier qui lui est immédiatement supérieur est 67, Q3 occupe le 67ème rang, la valeur de Q 3 est Calculer, à 1% près, le pourcentage du nombre de salaires compris dans l intervalle interquartile. Le nombre de salaires compris dans l intervalle interquartile est le nombre de salaires compris entre (inclus) et (inclus). Il y en a donc : = 46 or en arrondissant à 1 % près % des salaires sont compris dans l intervalle interquartile. 6. Dans la série initiale, une erreur a été commise : il y a en fait 8 salaires de 1500 uros et 18 salaires de 1700 uros. Décrire, sans utiliser la calculatrice, l influence de cette erreur sur le salaire moyen, le salaire médian et l étendue. (sans les calculer). Cette erreur ne concerne pas les valeurs extrêmes de la série et ne change donc pas l étendue de la série qui reste de Le salaire médian est toujours la donnée de rang 45 de la série, qui reste toujours égale à d après le tableau ci-dessous où l on a commencé à calculer les effectifs cumulés croissants : Salaire Effectif ECC Le salaire médian ne change donc pas. En revanche, le salaire moyen augmente, puisque dix salaires sont passés de à

2 Exercice 2 sur 7 points FONCTIONS AFFINES temps 15 mn 1. Déterminer, par lecture graphique les équations des droites,, et ci-dessous : : y = 3x + 1 : y = x + 1 : y = x + 4 : y = 2 2. Tracer sur le graphique ci-contre les droites suivantes : A : y = 2x 1 : la droite d ordonnée à l origine 5 et de coefficient directeur 1 3. : la droite de coefficient directeur 3 et passant par le point A( 2 ; 1).

3 Exercice 3 sur 15 points FONCTIONS temps 40 mn Partie A Etude graphique sur 4 points La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur IR. Compléter sur le sujet 5. Construire le tableau de variations de f 1. f ( 8 ) = L image de 10 par f est Le ( ou les ) antécédents de 48 par f sont : 4 et Résoudre l inéquation : f ( x ) > 16 S = ] 1 ; 15 [ f(x) x Construire le tableau de signes de f x f(x) Partie B Etude algébrique sur 4 points La courbe de la partie A est la représentation graphique de la fonction f définie sur IR par : f ( x ) = x² + 16 x. 1. a) Calculer l image de 8 par f. f( 8) = 8² = = 64 b) Calculer, factoriser: 64 f ( x ). 64 f ( x ) = 64 ( x² + 16x ) = 64 + x² 16x = ( x 8)² puis déterminer le signe de 64 f ( x ). 64 f ( x ) = ( x 8)². Or un carré est toujours positif. Donc 64 f ( x ) 0 pour tout réel x En déduire ce que représente 64 pour f. On en déduit que f(x) 64 pour tout x de IR. Soit f(x) f (8) pour tout réel x. Par conséquent f présente un maximum en 8 égal à a) Factoriser f ( x ). f ( x ) = x² + 16 x = x ( x +16) b) A l aide d un tableau de signes, en déduire le signe de f ( x ). f ( x ) = x ( x +16) Le signe de f dépend du signe des 2 facteurs x et x + 16 qui sont des fonctions affines dont les antécédents de 0 sont : 0 et 16. x x x f( x) Donc f(x) = 0 si x = 0 ou si x = 16 f(x) > 0 si x ] 0 ; 16[ f(x) < 0 si x ] ; 0[ ]16 ; + [

4 Partie C Rectangles de même périmètre sur 7 points 1. Construire sur votre copie les rectangles définis précédemment et déterminer leur aire sachant que : a) x = 5 cm donc 2(5 + y) = 32 soit 5 + y = 16 soit y = 11 cm Rectangle de dimensions 5 cm et 11 cm et d aire 5 11 = 55 cm² b) x = 10 cm donc 2( 10 + y) = 32 soit 10 + y = 16 soit y = 6 cm Rectangle de dimensions 10 cm et 6 cm et d aire 10 6 = 60 cm² 2. Entourer sur le sujet la bonne réponse parmi celles proposées : l expression de y en fonction de x est : x 16 x 32 x x 32 L ensemble des valeurs possibles pour x est l intervalle : ]0 ; + [ ]0 ; 16[ ] 0 ; 8[ ]16 ; 32[ [ 8 ; 16[ 3. Etablir que l aire d un rectangle vérifie : a( x ) = x² + 16 x. a( x ) = x y = x ( 16 x )= x² + 16 x 4. En utilisant la partie A, déterminer la ( ou les ) valeurs de x pour laquelle a ( x ) = 48. On constate que a(x) = f(x) donc a ( x ) = 48 si x = 4 ou si x = a) Vérifier que : a ( x ) 48 = 16 ( x 8)². 16 ( x 8)² = 16 ( x² 16x + 64) = 16 x² + 16x 64 = x² + 16x 48 = a(x) 48 b) En déduire une factorisation de a ( x ) 48. a (x) 48 = 16 (x 8)² = 4² (x 8)² = [4 + (x 8)][4 (x 8)] = (x 4)(4 x + 8) = (x 4)( x + 12) c) En déduire, par la résolution d une équation, la ( ou les) valeurs de x telles que l aire du rectangle soit égale à 48 cm². Il s agit de résoudre a(x) = 48 a(x) 48 = 0 ( x 4) ( x + 12) = 0 x 4 = 0 ou x + 12 = 0 x = 4 ou x = 12 On en déduit donc que l aire du rectangle est égale à 48 cm² si x = 4 cm ou x = 12 cm

5 Correction secondes Exercice 4 10 points Dans le cube ABCDEFGH d arête 4 cm représenté ci-dessous, on considère la pyramide de base ABCD et de sommet H. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [HA] et [HB]. H G E F I J D P C A B 1. (a) Le point D appartient-il au plan (HIJ)? Non, le point D n appartient pas au plan (HIJ) car ABCDEFGH est un cube. (b) Que peut-on en déduire sur les points H, D, I et J? D après la question précédente, on peut affirmer que les points H, D, I et J ne sont pas coplanaires. (c) Les droites (IJ) et (HD) sont-elles sécantes? Justifier. Les droites (IJ) et (HD) ne sont pas sécantes, car si c était le cas, elles seraient coplanaires, les points H, D, I et J le seraient alors également, ce qui est exclu d après la question précédente. 2. Justifier que les droites (IJ) et (AB) sont parallèles. On se place dans le plan (HAB) : I est le milieu de [HA], J est le milieu de [HB], on peut appliquer le théorème des milieux dans le triangle HAB et affirmer que les droites (IJ) et (AB) sont parallèles. 3. (a) Les droites (IJ) et (DC) sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires? Justifier. ABCDEFGH étant un cube, ABCD est un carré, les droites (AB) et (DC) sont donc parallèles. On vient d établir que les droites (AB) et (IJ) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles entre elles, on peut donc affirmer que les droites (IJ) et (DC) sont parallèles. (b) En déduire la position relative de la droite (IJ) et du plan (DGH). 1 devoir commun du 8 avril 2014

6 Correction secondes ABCDEFGH étant un cube, DCGH est un carré, les droites (DC) et (HG) sont donc parallèles, la droite (DC) est donc incluse dans le plan (DGH). La droite (IJ) étant parallèle à la droite (DC) est parallèle à une droite du plan (DGH), elle est donc parallèle au plan (DGH). 4. (a) Quelle est la position relative des droites (AC) et (BD)? Les droites (AC) et (BD) sont les diagonales du carré ABCD, elles sont donc sécantes en le centre du carré. (b) Citer un point d intersection des plans (HBD) et (HAC). Il est clair que le point H est un point commun aux plans (HBD) et (HAC). (c) Construire sur la figure un deuxième point d intersection des plans (HBD) et (HAC) que l on nommera P. Justifier. On a établi à la question 4a) que les droites (AC) et (BD) étaient sécantes. Notons P leur point d intersection. Le point P appartient à la droite (AC), donc au plan (HAC), il appartient également à la droite (BD) donc au plan (HBD). Le point P est donc un point d intersection des plans (HBD) et (HAC). (d) En déduire l intersection des plans (HBD) et (HAC). ABCDEFGH étant un cube, les plans (HBD) et (HAC) ne sont pas confondus, H et P sont deux points communs aux deux plans, on en déduit donc que (HBD) et (HAC) sont sécants selon la droite (HP). 5. Calculer le volume de la pyramide ABCDH. Soit V le volume cherché, on a : V = base h où base = aire du carré ABCD et h est la hauteur issue de 3 H de la pyramide. On a donc base=4 4 = 16 et h = 4, ce qui conduit à V = 16 4 = cm3. 6. Calculer la valeur exacte de la longueur HA. Sachant que HB = 4 3 cm, déterminer la nature du triangle HAB. AEHD est un carré de côté 4 cm, on a donc, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ADH rectangle en D : AD 2 +HD 2 = HA 2. On obtient donc : HA 2 = = 32 = 16 2 et par conséquent HA = 4 2 cm. Par ailleurs, HA 2 +AB 2 = = 48 = 16 3 = HB 2. La réciproque du théorème de Pythagore permet d affirmer que le triangle HAB est rectangle en A. 2 devoir commun du 8 avril 2014