vk j k pointe verticalement vers le ciel.

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1 Problème : Modélisation simplifiée (à dimensions) d une éolienne par aile de kite. Optimisation de la vitesse de déroulement du câble pour maximiser l énergie produite. (Thème : calcul algébrique, dérivation, équation du nd degré, optimum d une fonction, étude de l influence de paramètres avec GeoGebra).skysails.de vent (ind) k kite vue de face : i câble de longueur r et de tension C ( x) i vue de dessus : j i vent (ind) i câble de longueur r et de tension C, se déroulant à la vitesse x e γ kite vk j γ On considère un repère orthonormé { i, j, k } : k pointe verticalement vers le ciel. k j e vent souffle horizontalement à la vitesse dans la direction de i i e kite vole à vitesse constante v k dans la direction de j et à altitude constante. a force aérodynamique dans la direction de i est toujours compensée par le câble. Ce câble, horizontal, est toujours parallèle à i lorsqu il se déroule à la vitesse x.

2 a force de portance et la force de traînée sont dans le plan horizontal ( i, j ). u fait de son mouvement à la vitesse vk (généralement très élevée, avoisinant 80 m.s - soit 88 km.h - ), l aile de kite «voit» une vitesse relative de vent et - vk j : e = ( - x) i - vk j. e égale à la somme vectorielle de ( - x) i En négligeant le poids du kite et du câble, les forces aérodynamiques s exerçant sur le kite sont : - la force de portance (aerodynamic ift) de norme = ρair C A e², qui tire sur l aile et le câble par effet Venturi (dépression sur le dessus de l aile), où C est le coefficient de portance de l aile (et du câble), A est la surface de l aile de kite et ρ air la masse volumique de l air (on prendra ρ air =,5 kg.m - ). - la force de traînée (aerodynamic rag) de norme = ρair C A e², qui freine le déplacement de l aile, où C est le coefficient de traînée de l aile (et du câble), A est la surface de l aile de kite et ρ air la masse volumique de l air. vent (ind) j i On a et lors d un vol stable, + ) Exprimez tan γ en fonction de et. En déduire que tan γ = G où le nombre G = = C C c est dans la direction du câble., rapport de la force de portance et de la force de traînée, désigne la finesse de l aile. Pour les ailes de sport (kite surf, sno kite, ), la finesse G est comprise entre et 8. ) Exprimez tan γ en fonction de ( - x) et v k. En déduire que v k = G.( - x) Si x = 0 (le câble ne se déroule pas), la vitesse de l aile de kite ne dépend donc que de sa finesse G et de la vitesse du vent. ) Expression de l effort exercé par l aile : On admet la relation = + tan ² γ. cosγ a) émontrer que c =. cosγ En utilisant v k = G.( - x), démontrer que : e² = ( - x)² + G² ( - x) ² = ( + G²) ( - x)² puis que c = ρair C A ( + G²) + ( - x)². G ² Comme G 8, dire pourquoi on peut approximer c par c = ρair C A G² ². kite γ c Si x = 0 (le câble reste à longueur constante), la force c exercée par l aile de kite sur le câble est donc proportionnelle au carré de la vitesse du vent, et dépend du carré de la finesses G² de l aile. a finesse G est donc un paramètre important dans la conception d une aile. Pour les ailes de sport (kite surf, sno kite, ), la finesse G est comprise entre et 8. Pour les ailes d avions, la finesse G est bien plus élevée et il semble possible de construire des ailes de kites de haute finesse. a raison principale pour laquelle les ailes sportives de kite n ont pas une finesse plus élevée réside dans la relation v k = G. avec x = 0 (: le kite aurait une vitesse v k trop élevée et difficile à

3 contrôler) et dans la dernière expression de c ( c serait trop grande d où un grand danger pour le kite surfer, comme le démontreront les calculs en fin de problème). En outre, la stabilité de l aile diminue si sa finesse augmente. 4) Maximisation de la puissance de l aile : Nous souhaitons ici maximiser la puissance P de l aile de kite en vue de produire de l énergie électrique grâce à un alternateur entraîné par le déroulement du câble. Nous pouvons pour cela agir sur la vitesse de déroulement (ou de sortie) du câble x. Cette puissance P est donnée par P = force vitesse donc P = c x = ρair C A ( + G²) + ( - x)² x G ² Comme G 8, on peut approximer P par P = c x = ρair C A G² ( - x)² x Pour une aile donnée, avec une vitesse de vent donnée, ρ air C A G² est une constante, de même que. a puissance P ne dépend donc que de x. a) On considère que le vent souffle à = m.s -. éterminez l expression de la fonction P, dérivée de la fonction P définie par P(x) = ρair C A G² ( - x)² x. En déduire le tableau de variation de la fonction P pour x [0 ; ]. éterminez pour quelle(s) valeurs de x la puissance P est maximale. b) Reprendre la question précédente avec un vent soufflant à = 5 m.s -. c) Quelle relation semble vérifier x et lorsque la puissance est maximale? d) Sur un fichier GeoGebra, créer : - un curseur A allant de 0 à 000 m² avec un incrément de 50 m² - un curseur G allant de 0 à 90 avec un incrément de - un curseur, allant de 0 à 50 avec un incrément de - un curseur C, allant de à avec un incrément de 0. ans le logiciel GeoGebra, tapez P(x) = *,5*C*A*G^*(-x)^*x qui permet de tracer la représentation graphique de la puissance P en fonction de la vitesse x de déroulement du fil. Réglez les paramètres du graphique afin de représenter P pour x [0 ; ]. c) En modifiant les curseurs A et, indiquer quelle relation semble vérifier x et lorsque la puissance est maximale. Il est possible de tracer une famille de courbes avec GéoGebra en double-cliquant sur la courbe, puis en choisissant «Propriétés» puis «Basique», et en cochant «Afficher la trace». Il est alors possible d effacer toutes les courbes avec «Affichage» (en haut de l écran) puis «Rafraîchir l affichage». d) onner l expression de la puissance maximale P maxi. Que peut-on dire de cette puissance maximale et du cube de la vitesse du vent?

4 Remarque : A titre de comparaison, B. Houska et M. iehl prévoient avec une modélisation en dans ces conditions (une aile de 500 m² sous un vent à m/s) une vitesse moyenne optimale de sortie du fil d environ 4,0 m/s (également) et une puissance moyenne de 6 MW (lors de la phase de traction) en prenant en compte la traînée parasite de 00 m de fil (de diamètre 6,7 cm et de masse 660 kg). Ils prévoient 8,5 MW (lors de la phase de traction) dans une configuration en «dancing kites» avec 80 m de fil au-delà du fil principal, essentiellement grâce à la réduction de la traînée parasite des fils. Bibliographie : - M. iehl. Modelling and Optimal Control of Tethered Airfoils for Wind Poer Generation, Optimization in Engineering Center (OPTEC) & ESAT, K.U. euven, Belgium, B. Houska. Robustness and Stability Optimization of Open-oop Controlled Poer Generating Kites, Universität Heidelberg, B. ansdorp, B. Remes and W.J. Ockels. esign and testing of a remotely controlled surfkite for the laddermill. In World Wind Energy Conference, Melbourne, M.. oyd. Crossind Kite Poer. arence ivermore National aboratory, California, 980. ) ans le triangle rectangle formé par et x ) tan γ = v k et donc cos + ) a) = cos ²γ b) c = v k ² γ sin ² γ cos ² = cos ² γ cos ² c car cos γ = cosγ Correction, on a tan γ = x = donc vk = G. ( - x). G = C C = G. γ sin ² γ sin γ + = + ( )² = + tan²γ donc γ cos ² γ cosγ v k = G ( - x) et e² = ( - x)² + v k² d après le théorème de Pythagore cosγ = + tan ² γ donc e² = ( - x)² + G² ( - x) ² = ( + G²) ( - x)² On a alors c = ρair C A e² = ρair C A e² + tan ² γ = ρair C A ( + G²) cosγ + ( - x)² G ² que l on peut approximer par c = ρair C A G² ( - x)² c) Sous un vent à m/s, c =,5,5, 0² ( - 0)² N ou 588 dan (équivalent au poids d un objet de 588 kg). Sous un vent à 5 m/s, c =,5,5, ( + 0²) + (5-0)² N ou 689 dan 0² (équivalent au poids d un objet d environ 7 tonnes). 4

5 orce de traction c en N vitesse du vent en m/s 4) a) P(x) = ρair C A ( + G²) + ( - x)² x = ρair C A ( + G²) + (² - x + x²) x G ² G ² = ρair C A ( + G²) + (² x - x² + x ) G ² donc la dérivée de P est définie par P (x) = ρair C A ( + G²) + (² - 4 x + x²) G ² P (x) = 0 (² - 4 x + x²) = 0 car ρair C A ( + G²) + est une constante > 0 G ² x²- 4 x + ² = 0 la variable étant bien x (et non ) = 4 ² donc l équation possède solutions réelles qui sont x = = et x = = P (x) est du signe de a (= ) à l extérieur de ces racines 6 6 et du signe opposé à celui de a entre les racines x P (x) P(x) P maxi 0 0 a puissance P(x) fournie par le kite à l alternateur est donc maximale pour x =, c'est-à-dire pour une vitesse de «sortie» du câble égale au tiers de la vitesse du vent. Cette puissance maximale est P maxi = ρair C A ( + G²) + (² - ( )² + ( ) ) G ² 9 P maxi = ρair C A ( + G²) + ( - + ) = ρair C A ( + G²) + ( - G ² 9 7 G ² ) 7 7 5

6 4 = ρair C A ( + G²) + ( ) =. ρair C A ( + G²) G ² 7 7 P maxi est proportionnel au cube de la vitesse du vent 4 +. G ² b) P(x) =,5,5, ( + 0²) + ( - x)² x 0² puissance P de l aile en W sous un vent à = m/s vitesse x de déroulement du fil en m/s puissance P de l aile en W sous un vent à = 5 m/s vitesse x de déroulement du fil en m/s puissance P de l aile en W 6

7 sous un vent à = 55 m/s vitesse x de déroulement du fil en m/s c) P maxi = 7 4. ρair C A ( + G²) P maxi en W +. G ² vitesse du vent en m/s d) Pour une aile de 500 m² : - Sous un vent à m/s, c =,5,5 500 ( + 0²) + ( - 4)² N ou ² dan (équivalent au poids d un objet de 98 tonnes) et 4 P maxi =.,5,5 500 ( + 0²) W soit,9 MW 7 0² 5 - Sous un vent à 5 m/s, c =,5,5 500 ( + 0²) + (5 - )² N ou 00 0² 000 dan (équivalent au poids d un objet de 00 tonnes!) et 4 P maxi =.,5,5 500 ( + 0²) W soit 08 MW (!). 7 0² P maxi en W 7

8 vitesse du vent en m/s 8