Livret de vacances. Thème 1 : Pourcentages. Exercice 1 : Taux d évolution et coefficient multiplicateur. Compléter le tableau suivant.

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1 Livret de vacances A faire par vos soins et non par vos parents, frères et sœurs ou autres Ce livret est un moyen de garder vos automatismes et vos acquis de première pour ainsi attaquer de façon sereine votre terminale. Thème 1 : Pourcentages Exercice 1 : Taux d évolution et coefficient multiplicateur. Compléter le tableau suivant. Taux d évolution Augmentation de % Diminution de, % Diminution de, % Coefficient multiplicateur,,,

2 Exercice 2 : Exprimer une évolution à partir d un pourcentage. 1. Le prix HT (hors taxes) d un objet est de 500. Le taux de TVA (taxe à valeur ajoutée) appliquées sur ce produit est de 19,6%. Quel est le prix TTC (toutes taxes comprises) de ce produit? 2. La population d un village lors du dernier recensement a diminué de 4,5%. Avant ce recensement, ce village comptait habitants. Calculer le nombre d habitants après le recensement et en déduire le nombre d habitants ayant quitté ce village? Exercice 3 : Exprimer un taux d évolution en pourcentage à partir d une évolution. 1. Dans un lycée, en classe de seconde, il y avait 30 inscrits en option «LV3 Chinois» en 2010 et 36 inscrits en Quel est le taux d évolution en pourcentage du nombre d inscrits en option chinois en 2 entre 2010 et Dans une entreprise, parmi les 50 salariés fumeurs, trois d entre eux ont cessé de fumer. Quel est le taux d évolution du nombre de salariés fumeurs dans cette entreprise. Exercice 4 : Déterminer le taux global d évolution connaissant deux taux d évolution successifs. 1. Dans une salle de cinéma, le nombre d entrées a diminué de 15% en Suite à une rénovation de la salle en 2010, ce nombre d entrées a augmenté de 30%. Quel est le taux global d évolution en pourcentage du nombre d entrées sur ces deux années? 2. Le prix d un article soldé subit une première baisse de 25% suivie d une nouvelle baisse de 20% en fin de soldes. Quel est le taux global d évolution en pourcentage du prix de cet article? Exercice 5 : Détermination le taux d évolution réciproque d une évolution dont on connait le taux. 1. Le chiffre d affaire d une entreprise a diminué de 20%. Quelle devrait être le pourcentage d évolution pour que le chiffre d affaires reprenne sa valeur initiale? 2. Le 2 novembre 2010, les émissions de générés par la production d électricité en France étaient de 5547 tonnes/heure, soit une augmentation de 75% des émissions de par rapport au 16 octobre Quelle quantité de était émise le 16 octobre 2010? Thème 2 : Second degré Exercice 1 : Résoudre une équation du second degré. Résoudre dans R les équations suivantes : a = 0 b = 0 c. + 1 = 0 Exercice 2 : Simplifier une expression. 1. Déterminer les racines, si elles existent, de En déduire la forme factorisée de Pour tout R{ 1; 4}, simplifier l expression.

3 Exercice 3 : Trouver le signe d un trinôme et résoudre une inéquation du second degré. 1. Dresser le tableau de signes de la fonction définie sur R par ( ) = En déduire les solutions de l inéquation ( ) > 0. Exercice 4 BONUS: Résoudre une inéquation avec une inconnue au dénominateur. Résoudre, pour 1; 3. : Thème 3 : Etude de fonctions Exercice 1 : Lectures graphiques. On donne ci-contre la courbe représentative d une fonction. Les droites, et sont les tangentes à, respectivement aux points, et. Le point (0; 3) est un point de la tangente. 1. Déterminer par lecture graphique : a. ( 2); ( 1); (1). b. ( 2) ; ( 1) ; (1). 2. Déterminer une équation des tangentes et. 3. Vérifier qu une équation de est = + A. Nombre dérivé Exercice 2 : Equation de tangente. Soit la fonction définie sur R par ( ) = + 1. On note la courbe représentative de dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente à à au point d abscisse en 3.. B. Fonctions dérivées Exercice 1 : Calculer les dérivées usuelles. Pour chacune des fonctions ci-dessous, calculer leur fonction dérivée. a. ( ) = 4, R. b. ( ) =, R c. ( ) =, ]0; + [ d. ( ) =, R\{0}. e. ( ) =, R\{0}.

4 Exercice 2: Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctions. Pour chacune des fonctions ci-dessous, calculer leur fonction dérivée. a. ( ) = , R. b. ( ) = (3 1)( ), R. c. h( ) =, R\{3/5}. Exercice 3: Etudier les variations d une fonction par le calcul de la dérivée. On considère la fonction définie et dérivable sur R par : Etudier les variations de sur R. ( ) = Thème 4 : Suites numériques Exercice 1 : calculs de termes d une suite. Pour chacune des suites suivantes, calculer les quatre premiers termes. a. = b. = c. = 10 = = 4 = Exercice 2 : Suite Arithmétiques. Voir annexe Parmi les suites suivantes, trouver celles qui sont arithmétiques. On précisera alors la raison et le premier terme, ainsi que l expression en du terme général en fonction de. 1. = 2 et pour tout entier, = Pour tout entier naturel, = Pour tout entier naturel, = = 5 et pour tout entier, = 2 3. Exercice 3 : Suites Géométriques. Voir annexe Parmi les suites suivantes, trouver celles qui sont géométriques. On précisera alors la raison et le premier terme. Donner alors l expression en fonction de du terme général. 1. = 5 et pour tout entier, = Pour tout entier naturel, = Pour tout entier naturel, = 0, = 5 et pour tout entier, = ( ).

5 Exercice 4 : Suites Arithmétiques et Géométriques. Un patron propose à ses employés deux modes d augmentation de leur salaire mensuel. 1. Option A : une augmentation fixe du salaire de 50 au premier janvier de chaque année. Marie est embauchée dans l entreprise avec un salaire de par mois. Elle choisit d être augmentée suivant l option. On note son salaire après années passées dans l entreprise. On a : = a. Calculer et. b. Exprimer en fonction de. En déduire la nature de la suite ( ). c. Exprimer en fonction de. d. Calculer. e. A partir de combien d années son salaire mensuel sera-t-il d au moins 1 800? (on justifiera par un calcul). 2. Option B : une augmentation de 3% dy salaire mensuel de l année précédente au premier janvier de chaque année. Jean est embauché la même année que Marie avec un salaire de par mois. Il choisit d être augmenté suivant l option. On note son salaire après années passées dans l entreprise. On a : = a. Calculer et. b. Exprimer en fonction de. En déduire la nature de la suite ( ). c. Exprimer en fonction de. d. Calculer (arrondi au centime près). e. A l aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d années son salaire mensuel sera-t-il d au moins 1 800? 3. A partir de combien d années passées dans l entreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie?

6 Thème 5 : Probabilités A. Probabilités : Généralités Exercice 1 : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On appelle la variable aléatoire égale au chiffre obtenu. La loi de probabilité de est précisée dans le tableau suivant, dans lequel est un nombre. ( = ) a. Calculer. b. Le dé est-il truqué? Exercice 2 : Au cours d une fête, le jeu suivant est proposé au public : dans une urne sont placées : - 2 boules rouges 1 et 2, - 2 boules vertes 1 et 2. - Une boule blanche. Ces boules sont indiscernables au toucher. Le joueur prend une première boule au hasard, puis sans la remettre dans l urne, il tire une seconde boule.a la fin de la partie, si la boule blanche a été tirée, le joueur gagne 10, il perd dans les autres cas. Pour faire une partie, le joueur doit payer 5. On désigne par la va associée au gain algébrique du joueur à l issue d une partie, c est-à-dire la différence entre le gain éventuel du joueur et le prix du jeu. 1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation. 2. Quelles sont les valeurs prises par la va. 3. Déterminer la loi de la probabilité. 4. Calculer l espérance de.

7 B. Loi binomiale Voir les rappels de cours et l exercice corrigé en annexe Exercice 1 : Au bowling, la probabilité que Mike renverse toutes les quilles en un seul lancer de boule (strike) est =. Mike effectue 8 lancers successifs, indépendants les uns des autres. Soit la variable aléatoire qui compte combien de fois Mike a réussi un strike. On arrondira les résultats à 10 près. 1. Quelle loi suit la variable aléatoire? Préciser ses paramètres. 2. Calculer ( = 2) puis interpréter. 3. Quelle est la probabilité que Mike réalise au moins 2 strikes lors des 8 lancers? Penser à l évènement contraire. 4. Quel nombre moyen de strikes Mike devrait-il s attendre à réussir sur un grand nombre de séries de 8 lancers de boule? Exercice 2 : Un feu de signalisation à une intersection est successivement vert, orange et rouge pendant 30 secondes, 5 secondes et 15 secondes respectivement. 1. Un automobiliste arrive à un instant au hasard au feu. Déterminer les probabilités que le feu soit respectivement vert, orange et rouge. 2. Un automobiliste passe à cette intersection 5 fois par semaine ; il arrive à cette intersection à un instant au hasard dans le cycle du feu. On note : le nombre de fois où l automobiliste est arrivé au feu vert le nombre de fois où l automobiliste est arrivé au feu orange le nombre de fois où l automobiliste est arrivé au feu rouge a. On admet que les variables aléatoires, et suivent chacune une loi binomiale. Préciser leurs paramètres. b. Calculer la probabilité que, en une semaine, l automobiliste arrive toujours quand le feu est vert. c. Calculer la probabilité que, en une semaine, l automobiliste arrive exactement trois fois quand le feu est rouge. d. Calculer la probabilité que, en une semaine, l automobiliste arrive au moins une fois quand le feu est orange.

8 Annexe Thème 4 : Suites numériques Suites arithmétiques Une suite ( ) est dite arithmétique lorsqu il existe un nombre réel r tel que pour tout N, on a : = + Le nombre r est alors appelé la raison de la suite. Autrement dit, une suite ( ) est arithmétique si et seulement si la différence est constante, quelque soit l entier naturel. On a dans ce cas : = + et = + ( ), quelques soient les entiers naturels et. Suites géométriques Une suite ( ) est dite géométrique lorsqu il existe un nombre réel q tel que pour tout N, on a : = Le nombre est alors appelé la raison de la suite. Autrement dit, si tous les termes sont non nuls, la suite ( ) est géométrique si et seulement si le rapport st constant quel que soit l entier n. On a dans ce cas : = et =, quelques soient les entiers naturels et. Exercice corrigé : 1. Soit ( ) la suite définie par son premier terme = 10 et par la relation de récurrence = 2( + 1). Montrer que la suite ( ) n est pas géométrique. 2.Soit ( ) la suite définie sur N par =. Montrer que la suite ( ) est géométrique. Solution : 1. = 10 = 2 1 = 2 10 = 20 = 2 2 = 4 20 = 80

9 = = 2 et = = 4 Ainsi la suite ( ) n est pas géométrique. 2. Pour tout N, on a = = = La suite ( ) est donc géométrique de raison. Thème 5 B. Loi binomiale Une épreuve de Bernoulli de paramètre est une expérience aléatoire à deux issues : -l une appelée succès (notée ) dont la probabilité est -l autre appelée échec ( ) dont la probabilité est 1- Lorsque l on répète fois une même épreuve de Bernoulli de paramètre, on dit que l on réalise un schéma de Bernoulli de paramètres et. Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre pondéré Cas où n=3 : Dans un schéma de Bernoulli de paramètres et, on peut obtenir un nombre de succès compris entre 0 et. Le nombre de chemins réalisant exactement succès parmi les répétitions se note (appelé coefficient binomial, se lit «parmi») Les coefficients binomiaux peuvent être déterminés à la calculatrice : Par exemple, pour calculer 10 7 : Casio Taper 10 Appuyer sur OPTN Choisir sur l écran PROB puis ncr Taper 7 TI Taper 10 Appuyer sur math Choisir sur l écran PRB puis Combinaison Taper 7

10 On trouve : 10 = Cela signifie que dans un schéma de Bernoulli Dans un schéma de Bernoulli de paramètres et, la loi de la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des répétitions est appelée loi binomiale de paramètres et. On la note B(, ). Pour tout entier compris entre 0 et, on a : L espérance de est donnée par ( ) = ( = ) = ( ) Exercice corrigé : Un test d aptitude consiste à poser une série de dix questions indépendantes. Pour chacune d elles, 4 réponses sont proposées et une seule est correcte. Un candidat répond chaque fois au hasard. Soit la variable aléatoire qui correspond au nombre de réponses correctes obtenues par le candidat. On arrondira les résultats à 10 près. 1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer ( = 6). Interpréter. 3. Calculer la probabilité que le candidat obtienne au plus deux réponses correctes. Solution : 1. On répète 10 fois et de façon indépendante une même expérience aléatoire à deux issues : succès et échec. Le succès est est l évènement «le candidat obtient une réponse correcte à la question». Sa probabilité vaut = = 0,25. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de l expérience suit donc la loi binomiale de paramètres = 10 et = 0, ( = 6) = ,25 (1 0,25) = 210 0,25 0,75 0,0162 La probabilité que le candidat obtienne exactement 6 bonnes réponses est environ 0, On détermine ( 2). ( 2) = ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = (1 0,25) ,25 (1 0,25) ,25 (1 0,25) = 0, ,25 0, ,25 0,75 ( 2) 0,5256 La probabilité que le candidat obtienne au plus deux réponses correctes est d environ 0,5256.