I. Repère du plan. Chapitre 2 Repérage dans le plan

Transcription

1 Chapitre Repérage dans le plan. Repère du plan Définition Un repère du plan est constitué de trois points non alignés, et. Considérons le repère du plan noté ( ;, ) le point est appelé origine du repère les droites () et () sont les axes du repère L ordre des points dans l écriture est très important, il détermine le rôle de chacun des axes : l axe () est l axe des abscisses l axe () est l axe des ordonnées L origine ainsi que les unités et permettent de graduer les axes () et (). Exemple 1 : Repère rigine xe des abscisses xe des ordonnées ( ;, ) () () ( ;, C) () (C) ( ;, ) () () (T ;, ) T (T ) (T ) (Z ; F, R) Z (ZF) (RZ) Définition Soit ( ;, ) un repère si les axes () et () sont perpendiculaires on dit que le repère est orthogonal Cela revient à dire que le triangle est rectangle en ; si les axes () et () sont perpendiculaires et que =, on dit que le repère est orthonormal Cela revient à dire que le triangle est rectangle isocèle en. Exemple : représenter ci-dessous un repère (R; E, P) orthogonal et un repère (M;, T) orthonormé. repere orthogonal repere orthonormal P (RE) (RP) RE RP (M) (MT) M = MT T R E M

2 Méthode 1 : Coordonnées dans un repère orthogonal Pour repérer un point du plan dans un repère orthogonal (;, ), on projette ce point orthogonalement sur chacun des deux axes gradués du repère. la graduation correspondant au projeté sur le premier axe () est appelée l abscisse du point. la graduation correspondant au projeté sur le deuxième axe () est appelée l ordonnée du point. n note le projeté orthogonal de sur l axe (). n lit que = 1,5. n note le projeté orthogonal de sur l axe (). n lit que =. Dans l exemple ci-dessus : le point a pour abscisse 1,5 et pour ordonnée dans le repère ( ;, ). n note (1,5 ; ) le point a lui pour abscisse -1 et pour ordonnée -1. n note ( 1; 1) n note habituellement les abscisses des points avec la lettre x, suivie en indice du nom du point, et les ordonnées avec la lettre y, suivie en indice du nom du point. insi, pour le point, on notera x et y respectivement son abscisse et son ordonnée dans le repère (;,). Vocabulaire : le couple (x ;y ) forment les coordonnées du point. l ordre dans lequel on considère les deux axes, pour établir un repère du plan, est fondamental, puisqu il permet de décider quelle graduation est l abscisse du point, et quelle graduation en est l ordonnée. insi dans le repère (;,) les coordonnées du point sont ( ; 1,5). Méthode : Coordonnées dans un repère qui n est pas orthogonal Si le repère n est pas orthogonal, pour trouver les coordonnées d un point, on projette parallèlement sur chacun des deux axes. Donner les coordonnées des points dans le repère ( ;, ). D (4; 0.5) ( ; 3) C(; 0.5) D(3; 1.5) C

3 . Coordonnées du milieu d un segment Propriété Soit (;,) un repère du plan (x ;y ), (x ;y ) deux points du plan. lors le point M milieu de [] a pour coordonnées : x M = x +x y M = y +y ( x +x M moyenne des abscisses de et moyenne des ordonnees de et ; y +y y +y ) x M x +x x Exemple 3 : déterminer les coordonnées du milieu M du segment [] où (3; ) et ( 1;6) : x = 3 y = x = 1 y = 6 ( ) x +x y +y ( ) 3+( 1) +6 M (1 ; ) déterminer les coordonnées du milieu K du segment [E] où ( 6; ) et E(1; 6) : x = 6 y = x E = 1 y E = 6 ( ) x +x E y +y E K ; ( ) 6+1 +( 6) K ; K ( 5 ) ; lgorithme : on peut chercher à automatiser ce calcul pour demander à une machine (ordinateur, calculatrice...) de nous retourner les coordonnées du milieu du segment [] connaissant les coordonnées de et de. on souhaite pouvoir saisir les valeurs des coordonnées de et de. on veut que la machine fasse les calculs (on lui donnera donc des formules), et qu elle les stocke quelque part pour pouvoir utiliser les résultats. on veut que la machine nous retourne la valeur des coordonnées du milieu (résultats des calculs précédents). Saisir x, y, x et y ffecter à x M la valeur x +x ffecter à y M la valeur x +x fficher x M et y M Un exemple d implémentation sous lgobox est donné en annexe.

4 . Distance entre deux points Propriété Soit (;,) un repère orthonormé du plan. Soient (x ;y ) et (x ;y ) deux points du plan. lors la distance est donnée par : n a également : = (x x ) +(y y ) (x x ) +(y y ) x x C y y = (x x ) +(y y ) Remarque : pour démontrer cette formule, il suffit d appliquer le théorème de Pythagore. attention cette formule n est valable que si le repère est orthonormé! Exemple 4 : Le plan est muni d un repère orthonormé (;,). Soit ( 1; ), (3; 3), C(0; 6). 1 Calculer les distances et C. x = 1 y = x = 3 y = 3 x = 1 y = x C = 0 y C = 6 = (x x ) +(y y ) = (3 ( 1)) +(3 ) = 4 +1 = 16+1 = 17 C = (x C x ) +(y C y ) = (0 ( 1)) +(6 ) = 1 +4 = 1+16 = 17 Le triangle C est-il isocèle? D après la question précédente, = C. Le triangle C est donc isocèle de sommet. 3 Le triangle C est-il équilatéral? Pour répondre à cette question, il nous faut calculer C : x = 3 y = 3 x C = 0 y C = 6 C = (x C x ) +(y C y ) = (0 3) +(6 3) = ( 3) +3 = 9+9 = 18 lgorithme : C donc le triangle n est pas équilatéral. on peut chercher à automatiser ce calcul pour demander à une machine (ordinateur, calculatrice...) de nous retourner la distance entre et connaissant les coordonnées de et de. on souhaite pouvoir saisir les valeurs des coordonnées de et de. on veut que la machine fasse le calcul (on lui donnera donc la formule) de la distance d on veut que la machine nous retourne la valeur de d Saisir x, y, x et y ffecter à d la valeur (x x ) +(y y ) fficher d Un exemple d implémentation sous lgobox est donné en annexe.

5 V. pplications et exercices classiques Exercice 1 : Dans un repère, on donne (; 4), ( 4;5) et L ( 1; 1 ). Montrer que est le symétrique de par rapport à L. dire que est le symétrique de par rapport à L revient à considérer le schéma suivant (schéma à main levée, pas besoin de respecter les coordonnées pour se rendre compte de la situation). utrement dit, cela revient à dire que L est le milieu de []. L cherchons les coordonnées du milieu M de [] : x = y = 4 x = 4 y = 5 ( ) x +x y +y ( ) +( 4) 4+5 ( ) 1 M 1 ; on observe que les coordonnées de M sont les mêmes que celles de L. Par conséquent, les points M et L sont confondus, ainsi : L milieu de [] et donc est le symetrique de par rapport a L Exercice : Dans un repère, on donne T(7;5), U( 3;1) et F (;3). Montrer que U est le symétrique de T par rapport à F. Exercice 3 : Dans un repère orthonormé (;, ) on donne (3; ) et ( 1; 6). Montrer que est un triangle rectangle. l est ici important de faire un dessin dans un repère orthonormé car la formule de la distance n est vraie que dans ce type de repère. calculons, et dans le but d utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Repérons les coordonnées qui nous serons utiles : x = 3 y = x = 1 y = 6 x = 1 y = 0 = (x x ) +(y y ) = ( 1 3) +(6 ) = ( 4) +4 = = 3 = (x x ) +(y y ) = (1 3) +(0 ) = ( ) +( ) = 4+4 = 8 = (x x ) +(y y ) = (1 ( 1)) +(0 6) = +( 6) = 4+36 = 40 dans le triangle, le côté le plus long est []. n a : = +, donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en.

6 Exercice 4 : Le plan est muni d un repère orthonormé (;, ). Soit (; 3), L(1; 1). Déterminer par le calcul les coordonnées du point, symétrique de par rapport à L. Méthode 3 : trouver les coordonnées d un symétrique : 1 on se ramène à une étude du milieu d un segment (on pourra à cet effet faire un schéma pour ne pas se tromper, et vérifier notre résultat) on écrit des égalités de coordonnées en se servant de la formule donnant les coordonnées du milieu d un segment 3 on résout les deux équations séparément 1 dire que est le symétrique de par rapport à L revient à dire que : L milieu de [] 5 4 ou encore x L = x +x et y L = y +y 3 1 L x L = x +x et y L = y +y 3 x L = x +x 1 = +x x = = y L = y +y 1 = 3+x y = +3 = 5 donc le point a pour coordonnées (0;5) Exercice 5 : Dans un repère orthonormé (;, ), on donne Y(5; 3), T( 1; 5). Déterminer par le calcul les coordonnées du point C, symétrique de T par rapport à Y. Réponse : C(11; 11) ( ) ( 1 Exercice 6 : Dans un repère orthonormé (;,), on donne L ;3, C 1; ). 3 Déterminer par le calcul les coordonnées du point T, symétrique de C par rapport à L. Réponse : T ( ; 0 3 ) 3 Exercice 7 : Le plan est muni d un repère (;,). n donne les points (; 3), (1; 1), C(6; ) Montrer que le triangle est rectangle et isocèle. Réponse : = 17, C = 17 et C = 34 n a : = C donc le triangle est isocèle de sommet. n a : C = + C donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, Exercice 8 : Le plan est muni d un repère (;,). n donne les points (; 3), (0; 5), C( ; ) et D(4; 0). Montrer que DC est un parallélogramme. le triangle est rectangle en. Méthode 4 : montrer qu un quadrilatère est un parallélogramme à l aide des milieux 1 on commence par faire un schéma pour repérer les diagonales on cherche par le calcul le milieu de chacune des diagonales 3 on utilise la propriété "si un quadrilatère a ses deux diagonales qui se coupent en leurs milieux, alors c est un parallélogramme" 1 un schéma à main levée suffit pour repérer les diagonales C D les diagonales de DC sont donc [CD] et [].

7 déterminons les milieux de [CD] et [] ( xc +x D le milieu de [CD] a pour coordonnées : ; ( x +x le milieu de [] a pour coordonnées : ; ) ( y C +y D +4, soit ; ) ( y +y +0, soit ; ) +0 et donc (1;1) ) et donc (1;1) par conséquent, les diagonales [CD] et [] ont même milieu. r, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc DC est un parallélogramme. Exercice 9 : Le plan est muni d un repère (;,). n donne les points (1; 3), (; ), C(7; 0) et D( 4;1). Montrer que DC est un parallélogramme. Exercice 10 : Le plan est muni d un repère (;,). n donne les points ( ; 5), (; 1), C(5; 1) et D(1;7). Montrer que CD est un rectangle. Exercice 11 : Le plan est muni d un repère (;, ). n donne les points D(1; ), ( ; 3), R( 6; 0). Déterminer les coordonnées du point L tel que DRL soit un parallélogramme. Méthode 5 : déterminer les coordonnées du quatrième sommet d un parallélogramme 1 on commence par faire un schéma à main levée pour considérer le bon parallélogramme (on veillera à cet effet à respecter l ordre des points) on calcule les coordonnées du milieu M de la diagonale connue (dont on connait les deux extrémités) 3 sachant que l on a affaire à un parallélogramme, les diagonales ont même milieu. n écrit donc une égalité de coordonnées impliquant le milieu et la seconde diagonale 1 D R L pour que DRL soit un parallélogramme, il faut donc que les diagonales [R] et [LD] se coupent en leurs milieux. Calculons le milieu M de la diagonale connue, c est à dire [R]. ( x +x R y +y R ) soit M( 4; 1.5) 3 DRL étant un parallélogramme, les diagonales [R] et [LD] ont même milieu. utrement dit : M est milieu de [LD], ce qui se traduit par les égalités suivantes : ou encore x M = x L +x D et y M = y L +y D x M = x L +x D et y M = y L +y D n résout alors les équations d inconnues respectives x L et y L : x M = x L +x D ( 4) = x L +1 x L = 9 y M = y L +y D 1.5 = x L + y L = 1 L( 9; 1) Exercice 1 : Le plan est muni d un repère (;, ). n donne les points ( 1; ), (3; 5), C(3; 0). Déterminer les coordonnées du point D tel que CD soit un parallélogramme. Réponse : D( 1; 3) Exercice 13 : Le plan est muni d un repère (;, ). n donne les points (4; 4), (5; ), C(; 3). Déterminer les coordonnées du point D tel que DC soit un parallélogramme. Réponse : D(7;3)

8 lgoox : lgo Milieu Code de l'algorithme 1 VRLES x_ EST_DU_TYPE NMRE 3 x_ EST_DU_TYPE NMRE 4 y_ EST_DU_TYPE NMRE 5 y_ EST_DU_TYPE NMRE 6 x_m EST_DU_TYPE NMRE 7 y_m EST_DU_TYPE NMRE 8 DEUT_LGRTHME 9 LRE x_ 10 LRE y_ 11 LRE x_ 1 LRE y_ 13 x_m PREND_L_VLEUR (x_+x_)/ 14 y_m PREND_L_VLEUR (y_+y_)/ 15 FFCHER "Les coordonnées de M sont :" 16 FFCHER "(" 17 FFCHER x_m 18 FFCHER ";" 19 FFCHER y_m 0 FFCHER ")" 1 FN_LGRTHME Résultats ***lgorithme lancé*** Entrer x_ : -6 Entrer y_ : Entrer x_ : 1 Entrer y_ : -6 Les coordonnées de M sont : (-.5;-) ***lgorithme terminé*** Généré par lgoox lgoox : lgo Distance Code de l'algorithme 1 VRLES x_ EST_DU_TYPE NMRE 3 y_ EST_DU_TYPE NMRE 4 x_ EST_DU_TYPE NMRE 5 y_ EST_DU_TYPE NMRE 6 d EST_DU_TYPE NMRE 7 DEUT_LGRTHME 8 LRE x_ 9 LRE y_ 10 LRE x_ 11 LRE y_ 1 d PREND_L_VLEUR sqrt(pow(x_-x_,)+pow(y_-y_,)) 13 FFCHER "La distance vaut :" 14 FFCHER d 15 FN_LGRTHME Résultats ***lgorithme lancé*** Entrer x_ : -1 Entrer y_ : Entrer x_ : 3 Entrer y_ : 3 La distance vaut : ***lgorithme terminé*** Généré par lgoox