TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité
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- Jean-Noël Carignan
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1 * 1. Rappels sur la dérivation 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel de I. Soit h un nombre très petit et non nul. Alors Dire que f est dérivable en a de I signifie que le rapport tend vers un réel quand h tend vers 0. Ce réel est le nombre dérivé de f en a, noté f (a). 2. fonction dérivée Lorsque f est dérivable en tout point a de D, où D désigne un intervalle ou une réunion d intervalles, on dit que f est dérivable sur D. Lorsque f est une fonction dérivable sur D, la fonction dérivée de f sur D est la fonction f ' qui, à tout nombre a, associe f '(a). 3. tangente à une courbe La tangente à Cf au point A(a ; f(a)) est la droite passant par A et qui a pour coefficient directeur f '(a). Une équation de est : y = f (a) (x a) + f(a) 4. Dérivées de fonctions usuelles fonction (f) dérivées domaine d'étude domaine de dérivabilité k, une constante (un 0 R R nombre) x 1 R R k x où k est un nombre k R R réel x² 2x R R x n n x n-1 R R 1 x x -1 x² 1 2 x R*=R-{0} R*=R-{0} R + R +* Opérations : 1 v u v fonction f u - v u + v k u u v et v non nulle et v non nulle dérivée f ' u' - v' u' + v' k u' u'v + uv' - v' v² u'v - uv' v² touchap1tescontinuitp2 1/6
2 5. Dérivée et sens de variation 1. Propriété f est une fonction dérivable sur un intervalle I si pour tout x de I, f (x) 0 alors f est croissante sur I si pour tout x de I, f (x) 0 alors f est décroissante sur I si pour tout x de I, f (x) = 0 alors f est constante sur I si pour tout x de I, f (x) > 0 sauf en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I si pour tout x de I, f (x) < 0 0 sauf en un nombre fini de points où elle s annule alors f est strictement décroissante sur I 2. Exemple ( x -2 - F' F' 2 * 2. Convexité 1. Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et C sa courbe représentative sur I. Si pour tous points A et B distincts sur C, le segment [AB] est situé au-dessus de la courbe C alors on dit que la fonction f est convexe sur I. touchap1tescontinuitp2 2/6
3 Exemple : F(x) = 2. Propriétés admises- La fonction carré est convexe sur R La fonction cube est convexe sur [0 ;+ La fonction inverse est convexe sur ]0 ;+ 3. Propriété caractéristique Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I La fonction f est convexe sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, Dém f est convexe sur I Le milieu de [AB] est M ( ) or M est un point de [AB] donc il est au-dessus de la courbe C puisque f est convexe donc son abscisse a une image sous son ordonnée ie Dém touchap1tescontinuitp2 3/6
4 * 3. Concavité 1. Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et C sa courbe représentative sur I. Si pour tous points A et B distincts sur C, le segment [AB] est situé au-dessous de la courbe C alors on dit que la fonction f est concave sur I. Exemple : F(x) = 2. Propriétés admises- La fonction racine carrée est convexe sur [0 :+ La fonction cube est convexe sur ]- La fonction inverse est convexe sur ]- 3. Propriété caractéristique Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I La fonction f est concave sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, f est concave sur I ssi f est convexe sur I 4. lien entre dérivée et convexité Propriété admise Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I La fonction f est convexe sur I si et seulement si la fonction dérivée f est croissante sur I La fonction f est concave sur I si et seulement si la fonction dérivée f est décroissante sur I touchap1tescontinuitp2 4/6
5 La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa représentation graphique est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si et seulement si sa représentation graphique est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes. Exemple : f(x) = x² +3 (bleu) au dessus de toutes les tangentes. 5. Point d inflexion Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et C sa représentation graphique. S il existe un point A de C tel que la tangente à C en A traverse la courbe en A alors on dit que A est un point d inflexion. Exemple1 : la fonction cube en A(0 ;0) touchap1tescontinuitp2 5/6
6 Exemple2 : la fonction en A(0 ;1) Propriétés : Si la dérivée f change de sens de variation sur [a ;b] en k compris entre a et b, alors la courbe C de f admet un point d inflexion au point d abscisse k. Si la fonction f change de convexité en k de [a ;b] alors C admet un point d inflexion au point d abscisse k. touchap1tescontinuitp2 6/6
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