TS FICHE D'EXERCICES SUR LES DERIVEES

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1 TS FICHE D'EXERCICES SUR LES DERIVEES Exercice : On considère la fonction définie sur [ ; 5] par f (x) = x x + 9 x et on donne sa courbe représentative C. On appelle T la tangente à la courbe C en O. ) Donner la signification géométrique du nombre dérivé f '(a). ) Par lecture grapique, sans aucun calcul: a) Donner les valeurs de f (0), f (), f () puis celles de f '(0), f '(), f '(). C f ( 0 ) ; f ( ) ; f ( ).. ; f ( 0 ).. ; f ( ) ; f ( )... b) Résoudre l équation f (x) =. S. c) Donner l ensemble des réels tels que 0 f (x). S. d) Donner deux solutions de l équation f (x) = f ( 0 ).. Exercice : Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x +. ) Soit a un réel. Montrer que la fonction f est dérivable en a et donner l'expression du nombre dérivé de f en a. ) Déterminer f (a) en utilisant les formules de dérivation du cours. ) La courbe de cette fonction f peut elle avoir des tangentes ayant pour coefficient directeur 5? Exercice : Déterminer la fonction dérivée de cacune des fonctions suivantes. ) f(x) = x x + 4 x + 7 ) g(x) = ( x + ) ( 0 x 9 ) ) (x) = x + 7 4) p(x) = 4x + 8 5) m(x) = ( 5 ) 6) n(x) = 7x 4 x x 7) k(x) = ( x + 7) 9 8) r(x) = 5x² x + Exercice 4 : Soit f la fonction définie par f (x) = 0,05 x + 0,5 x +, x. On note C f la courbe représentative de cette fonction dans un repère (O; i ; j ) ( unité le cm) ) Déterminer f (x). ) a) En utilisant votre calculatrice compléter le tableau ci-dessous. x f ( x ) f ( x ) b) Donner une équation de la tangente à C f en obtenue en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus. c) C f a-t-elle des tangentes orizontales? (Justifier votre réponse).

2 Exercice 5 : Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 7 ] par f (x) = + 6 et soit (C) sa courbe. x + ) Déterminer f (x), la fonction dérivée de cette fonction f. ) Etudier le signe de f (x). ) a) Soit A le point d abscisse de la courbe de f. Déterminer une équation de la tangente (T) à cette courbe en A. b) Résoudre l'équation f '(x) = 0. La courbe (C) peut-elle avoir des tangentes orizontales? 4) Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe (C) et la droite T. Exercice 7 : Une voiture effectue des essais de freinage sur un circuit. Entre l'instant t = 0 et l'instant t =5 s, où elle s'arrête, la distance parcourue ( en mètres ) est donnée par d(t) = 4t² + 40 t, où t s'exprime en secondes. Voici un algoritme : Saisir un réel t. Saisir un réel t. d prend la valeur 4t ² + 40 t d prend la valeur 4t ² + 40 t v prend la valeur d d t t afficer v. ) Expliquer le rôle de cet algoritme et ce que représente caque variable. ) Faire fonctionner cet algoritme pour t = et t =. Que représente ce nombre pour la voiture? ) Faire fonctionner cet algoritme pour t = et t = +. Que devient le résultat si tend vers 0? 4) a) Que représente ce nombre pour la fonction d? b) Que représente ce nombre pour la voiture? Exercice : QCM (6 points) 0,5 point par bonne réponse; une mauvaise réponse annule une bonne réponse. f est une fonction dérivable sur IR et on donne la courbe représentative de sa fonction dérivée f '. A B C f () < f (4) f ( ) < f ( ) f (5) > f (6) f admet un maximum en f est décroissante sur [ ; + [ f admet un minimum en f est croissante sur ] ; ] f admet un minimum en 6 f est croissante sur [ ; 6 ]

3 Exercice : Une entreprise fabrique et vend un produit imperméabilisé pour vêtements et équipements de randonnée. La quantité ebdomadaire produite en litres est x. Elle varie entre 0 et 000. x Le coût de fabrication, en euros de x litres est donnée par : C(x) = 000 x² + 40x La recette, en euros, est donnée par R(x) = 0, x² + 640x.. On appelle B(x) le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle fabrique et vend x litres de produit. Exprimer B(x) en fonction de x et étudier les variations de la fonction B. Quelle quantité doit fabriquer l'entreprise pour que son bénéfice soit maximal? Quel est alors ce bénéfice? Exercice : La fonction f est définie sur [ 5 ; ] par f (x) = x² + 7x 4. On notera C f sa courbe représentative. La fonction g est définie sur [ 5 ; x + 4 ] par g(x) = x. On notera C g sa courbe représentative.. A l'aide de votre calculatrice, conjecturer la position relative de C f par rapport à C g.. Etudier les variations de la fonction f.. Etudier les variations de la fonction g. 4. Calculer la différence f (x) g(x). Etudier la position relative de C f par rapport à C g. Exercice 4 :. Soit g la fonction définie sur I = [ ; 0 ] par g(x) = x + x² + a) Etudier les variations de g sur l'intervalle I. b) En déduire le signe de g(x) sur I.. Soit f la fonction définie sur I par f (x) = x x + 4. a) Expliquer pourquoi f est dérivable sur I et calculer sa dérivée. b) En s'aidant de la question précédente, déduire le signe de f '(x) sur I puis les variations de la fonction f. Exercice 5 : Un jeune agriculteur bio veut fabriquer une serre pour protéger ses cultures de tomates dont les dimensions sont : La distance HK = x avec H milieu de [AB] est appelé la flèce. Le rayon de cintrage est noté R. Ainsi R = OA = OB = OK. On veut déterminer pour quelle valeur de x le rayon R de cintrage est minimal.. a) Exprimer, de deux façons différentes, R en fonction de x et de OH x² b) En déduire que OH = c) Exprimer alors R en fonction de x.. Soit f la fonction définie sur [00 ; 00 ] par f (x) = x x. a) Etudier les variations de f sur [00 ; 00 ] b) Déterminer la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un minimum.. a) Pour quelle valeur de la flèce x, le rayon est-il minimal? b) Quelle est alors la particularité de l'arc AB?

4 S CORRECTION FICHE D'EXERCICES DERIVEES Exercice : On considère la fonction définie sur [ ; 5] par f (x) = x x + 9 x et on donne sa courbe représentative C. On appelle T la tangente à la courbe C en O. ) Donner la signification géométrique du nombre dérivé f '(a) : c'est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d abscisse a. ) Par lecture grapique, sans aucun calcul: a) Donner les valeurs de f (0), f (), f () puis celles de f '(0), f '(), f '(). f ( 0 ) 0 ; f ( ) ; f ( ) 0 ; f ( 0 ) ; f ( ) 0 ; f ( ) 0 4 b) Résoudre l équation f (x) = S { ; 4 } c) Donner l ensemble des réels tels que 0 f (x). S [ 0 ; 4 ] d) Donner deux solutions de l équation f (x) = f ( 0 ) 0 et 4. C Exercice : Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x +. ) Soit a un réel. Montrer que la fonction f est dérivable en a et donner l'expression du nombre dérivé de f en a. f ( a + ) f ( a ) = ( a + ) ( a + ) + ( a a + ) = 4a + = a + 4a + a + a + a = 4a + qui tend vers 4a lorsque tend vers 0. Ainsi f ( a ) = 4a ) Déterminer f (a) en utilisant les formules de dérivation du cours. f (x) = x + on a f (x) = = 4x donc f ( a ) = 4a. ) La courbe de cette fonction f peut elle avoir des tangentes ayant pour coefficient directeur 5? Il faut résoudre f (x)=5 4x =5 x =.Oui il y a une seule tangente ayant pour coefficient directeur 5 : la tangente en. Exercice : Déterminer la fonction dérivée de cacune des fonctions suivantes. ) f(x) = x x + 4 x + 7 f (x) = + x + 4 x + 0 = 6x + x + x ) g(x) = ( x + ) ( 0 x 9 ) g (x) = ( x + ) ( 0 x 9 ) + ( x + ) ( 0 x 9 ) g (x) = 6x ( 0 x 9 ) + ( x + ) 0 g (x) = 90x² 54x + 0 ) (x) = x + (x) = () ( x + ) () ( x + ) ( x + ) ( x + ) () x x + (x) = ( x + ) = ( x + ) 5) m(x) = ( 5 ) m (x) = ( 5 ) ( 5 ) m (x) = ( 5 ) m (x) = 6 ( 5 ) 8) r(x) = 5x² x + 0x r '(x) = 5x² x + 6) n(x) = 7x 4 x x 7 4) p(x) = 4x + 8 p (x) = 7 ( 4x + 8) ( 4x + 8 ) = 7 n (x) = 7 x 4 5 x n (x) = 7x + 0 x 6 7) k(x) = 8x ( 4x + 8 ) = ( x + 7) 9 k (x) = [ ( x + 7)9 ] [ ( x + 7) 9 ] 56x ( 4x + 8 ) 9 ( x + 7)8 k (x) = ( x + 7) 8 7 k (x) = ( x + 7) 0

5 Exercice 4 : Soit f la fonction définie par f (x) = 0,05 x + 0,5 x +, x. On note C f la courbe représentative de cette fonction dans un repère (O; i ; j ) ( unité le cm) ) Déterminer f (x). f (x) = 0,05 x + 0,5 +, = 0,5 x + 0,x +, ) a) En utilisant votre calculatrice compléter le tableau ci-dessous. x f ( x ),4,6,5 f ( x ) 0, 0,75 0,05 b) Donner une équation de la tangente à C f en obtenue en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus. y = 0,75( x ) +,6 soit y = 0,75 x,5 +,6 soit y = 0,75 x + 0, 5 c) C f a-t-elle des tangentes orizontales? (Justifier votre réponse). f (x) = 0 0,5 x + 0,x +, = 0 trinôme de = 0,8 = ( 0,9) 0, 0,9 x = = 4 et x 0, = Donc deux tangentes orizontales ( coefficient directeur = 0 ) : en et en 4. 0, + 0,9 0, = Exercice 5 : Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 7 ] par f (x) = + 6 x + et soit (C) sa courbe. ) Déterminer f (x), la fonction dérivée de cette fonction f. f (x) = ( x + ) ( + 6 ) ( x + ) = ) Etudier le signe de f (x) : Pour x on a x + non nul et le dénominateur de f ( x ) est positif car c'est un carré. Quant à son numérateur il est négatif donc f ( x ) est négatif sur [ 0 ; 7 ] ; Cette fonction sera donc strictement décroissante sur [ 0 ; 7 ]. ) a) Soit A le point d abscisse de la courbe de f. Déterminer une équation de la tangente (T) à cette courbe en A. + 6 ( x + ) = 4 ( x + ) f ( ) = 4 4 = et f ( ) = 8 = 4 donc cette tangente a pour équation y = ( x ) + 4 soit y = x + 5. b) Résoudre l'équation f '(x) = 0. La courbe (C) peut-elle avoir des tangentes orizontales? f '(x) = 0 4 ( x + ) = 0 qui n a pas de solutions. Une fraction de numérateur non nul ne sera jamais égale à 0. Donc pas de tangente ayant un coefficient directeur nul soit pas de tangente orizontale. 4) Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe (C) et la droite T. Exercice 7 : Une voiture effectue des essais de freinage sur un circuit. Entre l'instant t = 0 et l'instant t =5 s, où elle s'arrête, la distance parcourue ( en mètres ) est donnée par d(t) = 4t² + 40 t, où t s'exprime en secondes. ) Expliquer le rôle de cet algoritme et ce que représente caque variable. t : valeur du premier instant t : valeur du deuxième instant d : distance parcourue à l instant t d : distance parcourue à l instant t ) Faire fonctionner cet algoritme pour t = et t = +. Qu'obtient-on? on obtiendra v = 4(+)² + 40 (+) ( 4 ² + 40 ) + ) Que devient le résultat si tend vers 0? réponse : v : vitesse moyenne entre les instants t et t. C'est elle que calcule l'algoritme. = 4 + 4) a) Que représente ce nombre pour la fonction d? est le nombre dérivée de la fonction d en. On a d'() =. b) Que représente ce nombre pour la voiture? est la vitesse instantanée de la voiture à l instant.

6 Exercice :QCM ère partie :. a.. b..c. Exercice :. B(x) = R(x) C(x) = 0, x² x ( x 000 x² x ) = x Etude de la fonction B: B ' (x) = 000 x² 0 x # signe de B '(x): Δ = ( 0 )² 4 ( 79 ) 600 = = (7 0 )² x = x² + 600x = 400 ; x = 000 x Signe de B '(x) + 0 Variations de B Pour que le bénéfice soit maximal, il faut que l'entreprise produise 400 L. Ce bénéfice s'élève à Exercice : = La fonction f est définie sur [ 5; ] par f (x) = x² + 7x 4. La fonction g est définie sur [ 5; x + 4 ] par g(x) = x.. Sur [0; ], C f est au dessus de C g. 4. f (x) g(x) = x² + 7x 4 x + 4 x = x + 8x² x Sur [ 5; 0], C f est au dessous de C g x( x² + 8x ) = x x² + 8x = 0 : Δ = 8² 4 ( ) ( ) = =6 = 4² x = 8 4 = 6 x = =. f '(x) = +7 x Signe de f '(x) 5 + x 5 0 x 0 + x² + 8x x Signe de f(x) g(x) 0 + Sur [ 5; 0 [, f(x) g(x) <0: C f est en dessous de C g Sur ]0; ], f(x) g(x) >0: C f est en dessus de C g Variations de f 4. g ' (x) = x 64 (x ) ( x + 4 ) = ( x )² 5 5 (x )² + Signe de g '(x) Variations de g 6 5 ( x )² 9

7 Exercice 4:. Soit g la fonction définie sur I par g(x) = x + 6 x² + 4 Variations de g sur l'intervalle I: g ' (x) = 6x² + = 6x (x + ) g'(x) = 0 x = 0 ou x = Donc sur I, g(x) >0 x 0 0 6x 0 + x Signe de g '(x ) 0 + Variations de g Soit f la fonction définie sur I =[ ; 0] par f (x) = x 4 x + f est dérivable sur un intervalle où x + ne s'annule pas. x + = 0 pour x = donc f est dérivable sur I = [ ; 0] et f ' (x) = x²( x + ) ( x 4) ( x + )² 4 = + 6 x² + 4 = (x + )² g(x) (x + )². En s'aidant de la question précédente, déduire le signe de f '(x) sur I puis les variations de la fonction f x 0 g(x) + (x + 4)² + Signe de f '(x) + 8 Variations de f 5 Exercice 5: La distance HK = x avec H milieu de [AB] est appelé la flèce. Le rayon de cintrage est noté R. Ainsi R = OA = OB = OK.. a) # R = OH + x # Dans le triangle OHB rectangle en H: d'après le téorème de Pytagore, on a OB² = OH² + HB² R² = OH² + 00² R² = OH² b) R= OH + x R² = OH² d'où R²= (OH + x)² R² = OH² OH² + x OH + x² = OH² OH = x² OH = c) R = OH + x = x² x² + ² + x = = alors (OH + x)² = OH² x² = x x x². Soit f la fonction définie sur [00.00] par f(x) = x x a) f '(x) = x² = x² ² x² = 0 x = 00 ou x = 00 x x² 0 + ² + + Signe de f ' (x) 0 + Variations de f b) La fonction f admet un minimum pour x = 00. a) Le rayon est minimal lorsque la flèce mesure 00 cm b) L'arc AB est un demi cercle car R = x = 400 donc OH = 0 O est le milieu de [AB]