TD Ondes. Équation de d Alembert, propagation

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1 TPC2 TD Ondes Équation de d Aembert, propagation Exercice n o 1 : Réfexion sur une corde tendue Une corde de masse inéique µ est tendue avec une tension T 0. On négige es effets de a pesanteur. La corde est supposée semi-infinie et s étend de x à x = 0. Une onde transversae s y propage dans e sens des x > 0. Son équation est représentée par a fonction y i (x, t) = F (t x c ). Déterminer éongation réféchie y r (x, t) quand : 1 extrémité x = 0 peut couisser sans frottement sur axe (Oy) ; 2 extrémité x = 0 est fixée en O. Exercice n o 2 : Guitare 1 Rappeer e ien entre a ongueur d onde λ et a fréquence f d une onde sinusoïdae, dans un miieu régi par une équation de d Aembert. Pour une corde de masse inéique µ, de ongueur L et fixée aux extrémités, reier a hauteur de a note jouée (c est à dire sa fréquence) à a tension de a corde. 2 Cacuer a tension à appiquer à une corde de guitare, de ongueur L = 62, 0 cm, pour accorder sur e so 2 (196 Hz). Cette corde en acier a un diamètre d = 0, 86 mm et une masse voumique ρ = 7, kg.m 3. Sans changer sa tension, comment faire pour jouer un so 3 dont a fréquence est doube de cee du so 2? Exercice n o 3 : Spectre sonore d une corde frappée Compte tenu des conditions aux imites imposées à une corde de ongueur, toute soution en osciations ibres de équation de d Aembert s écrit sous a forme d une superposition de modes de vibration y n (x, t). y(x, t) = [a n cos nπvt n=1 + b n sin nπvt ]sin nπx. 1 Montrer que a connaissance des conditions initiaes du mouvement de vibration, soit y(x, 0) et (x, 0), 0 y, permet de cacuer es coefficients a n et b n. { 0 si n m 1 si n = m Rappe : sin( nπx 0 )sin(mπx )dx = 2 δ n,m où δ n,m = 2 Corde de piano À instant t = 0, a corde est immobie dans a position d équiibre y(x, 0) = 0. Ee est frappée avec un petit marteau de argeur e (avec e ) situé entre es abscisses x = a et x = a + e, qui communique par e choc une impusion initiae à a partie frappée. Dans ces conditions, a vitesse de chaque point de a corde à instant t = 0 + est modéisée par a "fonction créneau" suivante : (x, 0) = u pour a x a + e et (x, 0) = 0 partout aieurs. a Déterminer es coefficients a n et b n en fonction de u, e, n,, v et a. b Trouver une appication musicae du fait que es coefficients dépendent de a. Que faut-i faire pour supprimer e premier harmonique dissonant défini par n = 7? Faire un dessin de a corde et expiquer. c Dans e cas a = /2, ques sont es harmoniques présents dans e son émis par a corde frappée? Ce résutat était-i prévisibe? Donner y(x, t). 1

2 Exercice n o 4 : Spectre sonore d une corde pincée Compte tenu des conditions aux imites imposées à une corde de ongueur, toute soution en osciations ibres de équation de d Aembert s écrit sous a forme d une superposition de modes de vibration y n (x, t). y(x, t) = [a n cos nπvt n=1 + b n sin nπvt ]sin nπx. 1 Montrer que a connaissance des conditions initiaes du mouvement de vibration, soit y(x, 0) et (x, 0), 0 y, permet de cacuer es coefficients a n et b n. Rappe : 0 sin( nπx )sin(mπx )dx = 2 δ n,m où δ n,m = { 0 si n m 1 si n = m 2 Corde de cavecin La même corde de ongueur est à présent pincée et âchée à t = 0 de tee manière que sa vitesse initiae (x, 0) soit nue. L endroit x = a où e pincement a ieu joue vis à vis des harmoniques présents e même rôe que ceui de a frappe. Aussi pour faire a comparaison sur es harmoniques impairs et afin de réduire es cacus, nous nous imitons au cas où a = /2 si bien que a position intiae de a corde est définie par a "fonction triange" suivante : y(x, 0) = 2h x pour 0 x 2 y(x, 0) = 2h ( x) pour 2 x a Déterminer es coefficients a n et b n en fonction de n, h et. b Comparer es spectres d une corde de piano et d une corde de cavecin et apprécier objectivement a différence de timbre sonore dans e cadre des études ci-dessus. 3 Le pincement de a corde peut être réaisé de manière pus déicate que précédemment ; orsqu i est effectué avec e doigt comme pour une corde de guitare ou de harpe, es conditions initiaes pus réguières suivantes sont adoptées : Reprendre es cacus de a question précédente. Concusion des trois études. y(x, 0) = 4h x( x) 2 (x, 0) = 0 2

3 Exercice n o 5 : Création et stabiisation d une OPPH On considère une corde métaique de ongueur L, de masse inéique µ, tendue avec a tension T 0. On s intéresse à a propagation de petites déformations transversaes. On note c eur céérité. Une onde incidente imprime à extrémité x = L une déformation de a forme y(l, t) = y 0 sin(ω(t + L/c)). L extrémité x = 0 est iée à un anneau de masse négigeabe, mobie sur une tige verticae (d équation x = 0) et soumis à a force de frottement : F = f dy dt u y où Y (t) représente a position de anneau sur a tige. 1 On écrit onde réféchie sous a forme : y r (0, t) = ry 0 cos(ωt + φ). Déterminer r et φ en fonction de T 0, c et f. 2 Montrer que on peut choisir e coefficient de frottement f pour qu i n y ait pas d onde réféchie. Commenter. 3 Dans cette question, on ne négige pus a masse M de anneau. Montrer que si on ajoute un ressort exerçant sur anneau a force F r = KY (t) u y, i existe une unique pusation (à déterminer) pour aquee i n y a pas d onde réféchie. Exercice n o 6 : Corde vibrante conductrice dans un champ magnétique On étudie es petits mouvements dans a direction (Oz) d une corde métaique de ongueur L fixée en ses deux extrémités d abscisses x = 0 et x = L. On négige a pesanteur. La corde est parcourue par un courant d intensité I = I 0 cosωt et pongée dans a champ magnétique B = B 0 sin(πx/l) u y. 1 Étabir équation du mouvement de a corde et en rechercher es soutions en régime forcé. 2 Discuter a résonance éventuee. Exercice n o 7 : Corde pombée La corde représentée sur e schéma est pombée en son miieu M par une masse m. On négige a pesanteur et a corde est tendue avec a tension T 0 quand ensembe est au repos. Étudier es petits mouvements transversaux de a masse m, repérés par a position Y (t). Déterminer en particuier es pusations propres de a corde et étudier es cas imites m << µl et m >> µl. Exercice n o 8 : Vibrations ongitudinaes d un cyindre métaique Une tige cyindrique en acier est suspendue horizontaement par deux anneaux. On frappe d un côté de a tige avec un marteau et on enregistre e son émis avec un micro de autre côté de cee-ci. On effectue anayse de Fourier du signa enregistré. Les fréquences de résonance mesurées sont : 3

4 Les fréquences sont mesurées à ±1, 35 Hz près. Les caractéristiques du barreau sont : - ongueur : L = 70, 15 ± 0, 05 cm ; - diamètre : D = 11, 65 ± 0, 02 mm ; - masse : M = 578, 2 ± 0, 1 g. Utiiser ces données expérimentaes pour déterminer e modue d Young E de acier. Exercice n o 9 : Vibrations d une barre Une barre homogène AB est encastrée à son extrémité A et ibre à son autre extrémité B. De section circuaire S = 0, 5 cm 2, en méta de masse voumique ρ = 8, 9 g.cm 3, et de modue d Young E = 2, P a, ee est e siège de vibrations ongitudinaes, entretenues par un moyen convenabe. On donne AB = L = 10 cm. On prendra, comme origine des abscisses, extrémité ibre de a barre au repos. 1 Donner, sans démonstration, expression de a vitesse de propagation des ondes ongitudinaes dans a barre et a cacuer numériquement. Déterminer a fréquence propre fondamentae ν 1 des ondes stationnaires susceptibes de s étabir dans a barre (a pus petite des fréquences de résonance). 2 La barre vibrant à cette fréquence ν 1, donner expression du dépacement oca s(x, t) correspondant à a vibration, en désignant par a ampitude du dépacement de extrémité ibre B. En déduire expression de effort de traction oca F (x, t) (on se servira de aongement reatif oca). Cacuer ampitude a maximae toérabe pour que effort de traction s exerçant en A n excède pas 500 N. Exercice n o 10 : Déformations ongitudinaes d un ressort On considère un ressort à spires non jointives de masse m 0, de ongueur à vide L 0 et de raideur k 0. I est fixé en x = 0 et ié à autre bout à un objet P de masse M. Le mouvement de P est sans frottements sur e support horizonta (Ox). La masse inéique du ressort est µ = m 0 /L. Si on considère un point du ressort à abscisse x au repos, son abscisse devient x + ξ(x, t) en mouvement (dû au mouvement de M). On suppose que ξ(x, t) reste très inférieur à a ongueur d onde des ondes dans e ressort. On considère a tranche de ressort {x, x + dx}. 1 Montrer quaitativement que sa raideur est k 0 L 0 /dx. 2 Montre qu en un point x, a force qu exerce e côté droit du ressort sur e côté gauche est de a forme : F (x, t) = R ξ x (x, t) u x. Exprimer R. 3 Étabir équation aux dérivées partiees vérifiée par ξ(x, t). Déterminer a céérité c des ondes de déformation. 4

5 Exercice n o 11 : Tige soide et modue d Young On étudie a propagation de vibrations ongitudinaes dans une tige cyindrique d axe (Ox). On appee µ a masse voumique, S a section et L a ongueur du cyindre. On modéise e réseau cristain par une chaîne infinie d osciateurs harmoniques paraèes à (Ox). Les atomes sont modéisés par des masses ponctuees m reiées entre ees par des ressorts sans masse et de constante de raideur k. À équiibre, toutes es masses sont équidistantes de d, appeée "pas du réseau". Un atome d indice n a pour abscisse x = nd à équiibre. On note y n son éongation à un instant t. 1 Écrire équation différentiee reiant y n, y n 1 et y n+1. 2 On étudie e passage du discret au continu en supposant que éongation varie très peu d un atome à un autre atome voisin. On définit a fonction y(x, t) par y n (t) = y(nd, t). Montrer que si d 0, équation différentiee précédente peut se mettre sous a forme d une équation de d Aembert. Exprimer a céérité c en fonction de k, d et m. 3 Si on appique entement une force F aux deux extrémités du cyindre, on a un aongement δl de ce cyindre. Le modue d Young E est défini par : F S = E δl. Exprimer E en fonction de µ, k, d et m. En déduire L a céérité des ondes en fonction de E et µ. 4 Une onde sonore pane progressive harmonique se propage dans a tige étudiée précédemment. Le modue d Young vaut E = P a et a masse voumique µ = 7, kg.m 3. Cacuer a céérité c des ondes. La condition pour pouvoir passer du discret au continu est-ee vérifiée? À quoi bon aer sur a Lune si nous sommes incapabes de franchir abîme qui nous sépare de nous-mêmes? Voià e pus important de tous es voyages d exporation et, sans ui, tous es autres sont non seuement vains, mais causes de désastre. Thomas Merton. 5