Interpolation. Chapitre Introduction

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1 Chapitre 4 Interpolation Dans ce chapitre, on s intéresse au problème suivant Étant donné une fonction continue, comment peut-on l approcher par un polynôme? Plus précisément, on se donne une fonction continue sur un intervalle [a, b], et n + 1 points, x 0, x 1,, x n sur cet intervalle Comment trouver un polynôme qui coïncide avec f aux points (x i ) 0 i n? 41 Introduction Théorème 1 Soit x 0, x 1,, x n, n + 1 réels distincts et f : R R une fonction Alors il existe un unique polynôme P de degré au plus n qui vérifie P (x i ) = f(x i ), i {0,, n} Démonstration On cherche une solution P dans R n [X], l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, c est à dire, P (X) = a k X k Les équations qui doivent être satisfaites sont donc : a k x k i = f(x i ) i 0,, n (41) 1

2 2 CHAPITRE 4 INTERPOLATION Soit F l application linéaire : F : R n+1 R n+1 (a 0, a 1,, a n ) ( a k (x 0 ) k, a k (x 1 ) k,, a k (x n ) k ) D après le Théorème du rang, dim(ker(f )) + dim(i(a)) = n + 1, c est à dire : F injective F surjective F bijective On va montrer que F est injective Soit (b 0, b 1,, b n ), vérifiant, pour tout i 0, 1,, n, Alors le polynôme, b k (x i ) k = 0 Q(X) = b k X k possède n + 1 racines distinctes D après le Théorème fondamental de l algèbre, on a, Q(X) = 0 L application F est donc injective On peut donner une autre preuve L équation (41) est équivalente à : 1 x 0 x n a 0 0 f(x 0 ) 1 x 1 x n 1 a 1 = f(x 1 ) 1 x n x n n a n f(x n ) Soit 1 x 0 x n 0 1 x A = 1 x n 1 1 x n x n n

3 42 LE POLYNÔME D INTERPOLATION DE LAGRANGE 3 Montrons que A est inversible en calculant son déterminant On a, 1 x 0 x n 0 1 x det(a) = 1 x n 1 1 x n x n n En effectuant les opérations sur les colonnes de droite à gauche, C i C i x 0 C i 1, on obtient : x det(a) = 1 x 0 x n 1 1 (x 1 x 0 ) 1 x n x 0 xn n 1 (x n x 0 ) En développant par rapport la première ligne et en utilisant la multilinéarité du déterminant, on trouve : 1 x 1 x n 1 1 det(a) = (x 1 x 0 )(x 2 x 0 )(x n x 0 ) 1 x n x n 1 En réitérant l opération, on obtient finalement : det(a) = n 1 i=0 n j x i ) = j=i+1(x (x j x i ) 0 i<j Ce qui achève la démonstration Le polynôme exhibé dans le Théorème 1 est appelé le polynôme d interpolation de f aux points x 0, x 1,, x n n 42 Le polynôme d interpolation de Lagrange D après le Théorème 1, on sait qu étant donnés x 0, x 1,, x n, n + 1 réels distincts, et f(x 0 ), f(x 1 ),, f(x n ), n+1 réels associés, il existe un unique polynôme P R n [X] vérifiant, Soit L le polynôme défini par : P (x i ) = f(x i ), i 0, 1,, n n (x x j ) L(x) = f(x i ) (x i=0 j=0,j i i x j )

4 4 CHAPITRE 4 INTERPOLATION Alors L est de degré au plus n et il vérifie : L(x i ) = f(x i ), i 0, 1,, n Le polynôme L est donc le polynôme d interpolation Écrit sous cette forme, on l appelle le polynôme d interpolation de Lagrange Soit φ i (x) = n j=0,j i x x j x i x j Alors, les fonctions (φ i ) 0 i n, forment une base de R n [X] Cependant cette base de polynômes n est pas satisfaisante car l ajout d un point conduit à changer toutes les fonctions de la base 43 Interpolation de Newton et différences divisées On veut maintenant déterminer une nouvelle forme du polynôme d interpolation P qui ne nécessite pas de recalculer toutes les fonctions de base lors de l ajout d un nouveau point Si l on a qu un point d interpolation x 0 alors, Si l on ajoute un point x 1 alors P (x) = f(x 0 ) P (x) = f(x 0 ) + a 1 (x x 0 ), et, P (x 1 ) = f(x 1 ), implique, a 1 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 Si l on a n + 1 points, x 0, x 1,, x n, on cherche n 1 P (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + + a n (x x k ) Remarquer que si l on a déterminé a 0, a 1,, a i 1 alors de l égalité, P (x i ) = f(x i ) = a 0 + a 1 (x i x 0 ) + + a i (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 1 ),

5 43 INTERPOLATION DE NEWTON ET DIFFÉRENCES DIVISÉES 5 on déduit que a i est déterminé par la formule : a i = f(x i) a 0 a 1 (x i x 0 ) a i 1 (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 2 ) (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 1 ) Ce qui montre que a i ne dépend que des points x 0,, x i On pose alors pour tout k {1,, n} : a k = f[x 0,, x k ] Avec cette notation, on a : n 1 P (x) = f(x 0 ) + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + + f[x 0,, x n ] (x x k ) Lemme 1 Soit n N, et soient x 0,, x n, n + 1 réels distincts Pour toute permutation σ sur {0,, n}, on a : f[x 0,, x n ] = f[x σ (0),, x σ (n)] Démonstration On pose pour tout j {0,, n} : y j = x σ(j) On considère la décomposition de P dans les deux bases : Et, n 1 1, (x x 0 ),, (x x k ) et 1, x y 0,, (a k ) 0 k n, (b k ) 0 k n, n 1 (x y k ) les coefficients de P dans ces deux bases Alors, le coefficient du terme x n est a n dans la première décomposition et b n dans la seconde Par unicité du polynôme d interpolation, on en déduit que a n = b n Lemme 2 On a la relation de récurrence f[x 0,, x n ] = f[x 1,, x n ] f[x 0,, x n 1 ] x n x 0 Démonstration On pose, y j = x n j

6 6 CHAPITRE 4 INTERPOLATION On a : n 1 P (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + + a n (x x k ) n 1 = b 0 + b 1 (x y 0 ) + + b n (x y k ) On sait déjà que a n = b n On identifie les termes de degré n 1, on trouve : n 1 a n 1 a n On a donc : n 1 x k = b n 1 b n n 1 y k = b n 1 a n a n 1 b n 1 = a n (x 0 x n ) x n k = b n 1 a n Or a n 1 = f[x 0,, x n 1 ] et b n 1 = f[x 1,, x n ] D où le résultat 44 Algorithme Évaluation d une fonction polynôme Soit à évaluer le polynôme a 0 + a 1 (x x 0 ) + + a n (x x 0 )(x x n 1 ) au point x On peut utiliser l algorithme suivant : S = a n Pour i allant de n 1 à 0 S = a i + (x x i )S Fin pour Retourner S Calcul des différences divisées Pour i allant de 0 à n a(i) = f(x i ) Fin pour Pour i allant de 1 à n Pour j allant de n à i a(j) = a(j) a(j 1) x j x j i Fin j Fin i n k=1 x k

7 45 ERREUR D INTERPOLATION 7 45 Erreur d interpolation Soit P n le polynôme d interpolation de f aux points x 0, x 1,, x n On pose : e n (x) = f(x) P n (x) Proposition 1 Pour tout réel x R, on a { 0 si x {x0,, x e n (x) = n } f[x 0,, x n, x] n j=0 (x x j ) sinon Démonstration On suppose que x / {x 0,, x n } Soit P n+1 le polynôme d interpolation de f aux points {x 0,, x n, x} Alors : n e n (x) = f(x) P n (x) = P n+1 (x) P n (x) = f[x 0,, x n, x] (x x j ) j=0 Théorème 2 Soient f une fonction définie sur R, de classe C k, et x 0,, x k des réels distincts On pose a = min{x 0,, x k } et b = max{x 0,, x k } Alors il existe ξ ]a, b[ tel que f[x 0,, x k ] = f k (ξ) k! Démonstration Dans le cas où k = 1, c est une application du théorème des accroissements finis Supposons k > 1 quelconque Soit P k le polynôme d interpolation de f aux points x 0,, x k Alors, la fonction : e k (x) = f(x) P k (x) s annule au moins en k + 1 points distincts : x 0,, x k Donc, d après le théorème de Rolle, la fonction (e k ) s annule au moins en k points dans ]a, b[ La fonction (e k ) s annule au moins en k 1 points dans ]a, b[ De même, la fonction (e k ) (k) s annule en au moins un point dans ]a, b[ Donc : Or, Donc : ξ ]a, b[ tel que (e k ) (k) (ξ) = f (k) (ξ) P (k) k (ξ) = 0 P (k) k (ξ) = k!f[x 0,, x k ] ξ ]a, b[ tel que f[x 0,, x k ] = f k (ξ) k!

8 8 CHAPITRE 4 INTERPOLATION Théorème 3 Soient f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle [a, b], x 0,, x n des réels distincts de [a, b], et P n le polynôme d interpolation de f sur le support x 0,, x n Alors pour tout x dans [a, b] il existe ξ ]a, b[ tel que e n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x j ) j=0 Démonstration Elle découle de la proposition et du Théorème précédents 46 Extension au cas où les points du support ne sont pas disjoints Exercice 1 On suppose f assez régulière Quelle est la limite de f[x 0, x] lorsque x tend vers x 0? 2 Quelle est la limite de f[x 0, x, x 2 ] quand x tend vers x 0? On définit f[x 0, x 0, x 2 ] par cette limite 3 Quelle est la limite de f[x 0, x 0, x] lorsque x tend vers x 0? 4 Généraliser : montrer que de cette manière, on a, f[x 0,, x 0 ] = f (n) (x 0 ) n! où dans le membre de gauche x 0 apparait n + 1 fois Dans cette partie on suppose que les points du support ne sont pas nécessairement distincts Soit α i le nombre d occurence du réel x i dans le support Soit f une fonction de R dans R On suppose que f vérifie la condition suivante, i 0,, n, f admet une dérivée d ordre α i 1 au point x i (42) Définition 1 Soient x 0, x 1,, x n, n + 1 réels distincts ou non, on définit la différence divisée généralisée f[x 0, x 1,, x n ] comme suit, 1 si tous les x i sont distincts, la définition a été donnée plus haut 2 si tous les x i sont égaux, on pose, f[x 0,, x n ] = f (n) (x 0 ), n! sinon il existe i tel que x i x 0, on pose alors, f[x 0,, x n ] = f[x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n ] f[x 0,, x i 1, x i+1,, x n ] x i x 0

9 46 EXTENSION AU CAS OÙ LES POINTS DU SUPPORT NE SONT PAS DISJOINTS9 Théorème 4 La définition de f[x 0,, x n ] ne dépend pas du x i choisi De plus, quelque soit n et quels que soient les n + 1 points distincts ou non x 0,, x n, quel que soit la permutation σ sur 0,, n, on a f[x 0,, x n ] = f[x σ(0),, x σ(n) ] En particulier, pour tout couple (i, j) tel que x i x j, f[x 0,, x n ] = f[x 0,, x n, /{x i } f[x 0,, x n, /{x j }] x j x i Par ailleurs, si f est de classe C n sur R, l application de R n+1 dans R qui à (x 0, x 1,, x n ) associe f[x 0, x 1,, x n ] est continue sur R n+1 Démonstration Exercice Cela résulte d un passage à la limite du cas où les points du support sont deux à deux distincts Voir également [1, 2] Corollaire 1 Supposons f de classe C n sur R Alors, F (x) = f[x 0,, x n 1, x], est continue sur R Si de plus f est de classe C n+1 sur R, alors,f est dérivable sur R et, F (x) = f[x 0,, x n 1, x, x] Démonstration La continuité est un cas particulier du théorème 4 Si F est de classe C n+1 On écrit, f[x 0,, x n 1, x, x+h] = f[x 0,, x n 1, x + h] f[x 0,, x n 1, x] h Mais, est continue en t, donc, f[x 0,, x n 1, x, t], = F (x + h) F (x) h F (x + h) F (x) h f[x 0,, x n 1, x, x] quand h 0 Définition 2 On dit que le polynôme P interpole f sur le support x 0, x 1,, x n si, i 0,, n l 0,, α i 1 P (l) (x i ) = f (l) (x i )

10 10 CHAPITRE 4 INTERPOLATION Théorème 5 Pour toute fonction f vérifiant la condition (42), il existe un unique polynôme qui interpole f sur le support {x 0,, x n } Démonstration Soit F : R n+1 R n+1 l application qui à tout vecteur (a 0, a 1,, a n ) associe le vecteur constitué des valeurs de la fonction n a k (x i ) k et de ses dérivées jusqu à l odre α i 1, au points (x i ) 0 i n Montrons que F est injective Soit A = (a 0, a 1,, a n ) Supposons que Alors si, on a, Donc, F (A) = 0 P (x) = a k x k, P (l) (x i ) = 0 i 0,, n, l 0,, α i 1 n P (x) = Q(x) (x x i ) α i, i=0 or P est de degré au plus n, donc P = 0 et F est injective Théorème 6 Le polynôme P défini par, P (x) = f[x 0 ]+f[x 0, x 1 ](x x 0 )++f[x 0, x 1,, x n ](x x 0 )(x x 1 )(x x n 1 ), interpole f sur le support x 0,, x n Démonstration Si, x 0 = x 1 = = x n, le résultat est vrai par le développement de Taylor Sinon, on effectue une récurrence sur n Pour n = 0, le résultat est vrai Supposons le résultat vrai jusqu à l ordre n Sans perte de généralité, on suppose que x 0 x n+1 Soit p le polynôme d interpolation sur le support {x 0,, x n, x n+1 } On vérifie que : p(x) = x x 0 x n+1 x 0 q n (x) + x n+1 x x n+1 x 0 p n (x), où q n est le polynôme d interpolation sur le support x 1, x n+1 et p n est le polynôme d interpolation sur le support x 0, x n On en déduit grâce à l hypothèse de récurrence que le terme de degré n + 1 de p est égal à : 1 x n+1 x 0 (f[x 1,, x n+1 ] f[x 0,, x n ]) = f[x 0,, x n+1 ]

11 46 EXTENSION AU CAS OÙ LES POINTS DU SUPPORT NE SONT PAS DISJOINTS11 Soit : R(x) = p(x) f[x 0,, x n+1 ](x x 0 )(x x 1 )(x x n ) Alors R(x) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n Par ailleurs, R(x) interpole f sur le support, {x 0,, x n } car φ(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x n ) vérifie, φ (l) (x i ) = 0 pour tout l 0,, α i 1 Par hypothèse de récurrence, donc, R(x) = f[x 0 ] + + f[x 0, x 1,, x n ](x x 0 )(x x n 1 ), p(x) = f[x 0 ]++f[x 0, x 1,, x n ](x x 0 )(x x n 1 )+f[x 0,, x n+1 ](x x 0 )(x x 1 )(x x n )

12 12 CHAPITRE 4 INTERPOLATION

13 Bibliographie [1] J Bastien and JN Martin Introduction à l analyse numérique Applications sous Matlab Dunod, 2003 [2] JS Conte and C D Boor Numerical analysis An algorithmic approach Springer,

14 14 BIBLIOGRAPHIE L2, Méthodes numériques 2 Université du Havre Feuille de TD1 Exercice 1 Soit f une fonction définie sur R vérifiant : f(1) = 1, f(2) = 8, f(3) = 27, f(4) = 64 Que vaut P 3 (x), le polynôme d interpolation de f de degré 3 sur le support {x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4}? Écrire sa forme de Lagrange puis sa forme de Newton Exercice 2 Soit (x i ) 0 i n, n + 1 réels distincts, et (φ i ) 0 i n la base des polynômes de Lagrange Vérifier que les Φ i forment une base de R n [X] Exercice 3 Soit (x i ) 0 i n, n + 1 réels distincts On considère la matrice suivante (matrice de Vandermonde) : 1 x 0 x n 0 1 x D n = 1 x n 1 1 x n x n n 1 Montrer que D n est inversible 2 Soit (φ i ) 0 i n la base des polynômes de Lagrange On suppose que pour tout i {0,, n}, on a : φ i (x) = α ij x j j=0 Soit α la matrice de taille (n + 1) (n + 1) définie par : α = (α ij ) 0 i,j n Déterminer une relation entre D n et α 3 Expliciter D 1 n dans le cas n = 2

15 BIBLIOGRAPHIE 15 Exercice 4 1 Montrer que f[x 0 ] = det(f(x 0)), det(1) ( ) 1 f(x0 ) det 1 f(x 1 ) f[x 0, x 1 ] = ( ), 1 x0 det 1 x 1 1 x 0 f(x 0 ) det 1 x 1 f(x 1 ) 1 x 2 f(x 2 ) f[x 0, x 1, x 2 ] = 1 x 0 x2 det 0 1 x 1 x x 2 x Généraliser On pourra utiliser les formules de Cramer

16 16 BIBLIOGRAPHIE L2, Méthodes numériques 2 Université du Havre Feuille de TP1 Le but de ce TP est de calculer numériquement le polynôme d interpolation de Newton et de le tester sur quelques exemples 1 Écrire une fonction scilab, A=diffdiv(X,Y) qui renvoie le vecteurs des différences divisées à partir des données X et Y correspondants aux points d interpolation x 0,, x n et aux valeurs de f en ces points f(x 0 ),, f(x n ) 2 Écrire une fonction scilab z=evhornersca(x,x,a) qui renvoie la valeur du polynôme i A(i + 1) (x X(k)) au point x i=0 3 Écrire une fonction scilab z=evhorner(x,x,a), similaire à la précédente mais qui est à valeurs vectorielles C est à dire que cette fois le paramétre x est un vecteur 4 A l aide des fonctions précédentes, écrire une fonction InterpNewton(n), permettant de représenter sur un graphique une fonction f sur l intervalle [ 5, 5] ainsi que son polynôme d interpolation de Newton de degré n On prendra des points d interpolation équirépartis sur l intervalle [ 5, 5] Et on fera ce travail pour les fonctions particulières suivantes : (a) f(x) = ln(6 + x) (b) f(x) = exp(x) k=1 5 Reprendre la question précédente avec la fonction Que constate-t-on? f(x) = x 2 6 Reprendre maintenant la question précédente avec les points d interpolation suivants : ( 5 cos( iπ n )) 0 i n Que constate-t-on?