Fonctions de référence et fonctions associées, cours, première STI2D

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Eugénie Morency
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1 Fonctions de référence et fonctions associées, cours, première STI2D F.Gaudon 28 juin 215 Table des matières 1 Fonctions de référence Fonction carré Fonction inverse Fonctions anes Fonction racine carrée Fonction valeur absolue Fonctions associées 5 1

2 1 Fonctions de référence 1.1 Fonction carré D f = R ; dénie pour tout x réel par x x 2 ; strictement décroissante sur ] ; ] et strictement croissante sur [; + [ ; positive sur ] ; + [ ; représentée graphiquement par une parabole. 5 4 x f(x) f(x) Fonction inverse D f = R {} ; dénie pour tout x par x 1 x ; strictement décroissante sur ] ; [ et strictement décroissante sur ]; + [ ; strictement négative sur ] ; [ et strictement positive sur ]; + [ ; représentée graphiquement par une hyperbole ; 4 3 f(x) f(x) http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 1.3 Fonctions anes D f = R ; dénie pour tout x réel par x ax + b où a et b sont deux réels xés ; a > : x + f(x) a > : x b a + signe de - + ax + b a < : x + f(x) a < : x b a + signe de + - ax + b Représentée graphiquement par une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. 1.4 Fonction racine carrée Dénition : On appelle fonction racine carrée la fonction dénie sur R + par x x. x + x x + x + Preuve des variations : Soient x 1 et x 2 deux réels positifs tels que x 1 < x 2. Alors x 2 x 1 >. Or, x 2 x 1 = ( x 2 x 1 )( x 2 + x 1 ) x2 + x 1 = x 2 x x Comme x 1 x 2 + x 1 > et x 2 x 1 > on a donc x2 x 1 > c'est à dire x 2 > x 1 ce qui signie que la fonction racine carrée est une fonction strictement croissante sur [; + [. Représentation graphique : http: // mathsfg. net. free. fr 3

1.5 Fonction valeur absolue Dénition : On appelle fonction Valeur absolue la fonction dénie sur R par { x si x x x = x si x < x x + + Représentation graphique : Remarque : La

4 1.5 Fonction valeur absolue Dénition : On appelle fonction Valeur absolue la fonction dénie sur R par { x si x x x = x si x < x x + + Représentation graphique : Remarque : La fonction valeur absolue est une fonction paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées dans tout repère orthogonal du plan. http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 2 Fonctions associées Propriété : Soit u une fonction dénie sur un intervalle I = [a; b]. Soient k et λ deux réels. La fonction u+k dénie pour tout réel x de I par (u+k)(x) = u(x)+k a les mêmes variations que la fonction u sur I ; si λ >, la fonction λu dénie pour tout réel x de I par (λu)(x) = λu(x) a les mêmes variations que u sur I ; si λ <, la fonction λu a des variations contraires à celles de u sur I. La fonction x u(x + λ) est dénie sur [a λ; b λ] et a les mêmes variations que la fonction u. Preuve : On ne traitera que le cas où u est monotone strictement décroissante sur I, les autres cas se traitant de la même manière. Soient x 1 et x 2 deux réels de I tels que x 1 < x 2. u étant strictement décroissante sur I, on en déduit que u(x 1 ) > u(x 2 ). u(x 1 ) + k > u(x 2 ) + k ce qui montre que u + k est aussi décroissante sur I ; Soient x 1 et x 2 deux réels de I tels que x 1 < x 2. u étant strictement décroissante sur I, on en déduit que u(x 1 ) > u(x 2 ). λ > donc λu(x 1 ) > λu(x 2 ) donc λu est strictement décroissante aussi sur I ; Soient x 1 et x 2 deux réels de I tels que x 1 < x 2. u étant strictement décroissante sur I, on en déduit que u(x 1 ) > u(x 2 ). λ < donc λu(x 1 ) < λu(x 2 ) donc λu est strictement croissante sur I ce qui montre la propriété dans ce cas. Soient x 1 et x 2 deux réels de [a λ; b λ] avec x 1 < x 2. Alors x 1 +λ et x 2 +λ appartiennent à [a; b] et x 1 +λ < x 2 +λ D'où par stricte décroissance de la fonction u sur cet intervalle u(x 1 +λ) > u(x 2 +λ) ce qui montre que la fonction dénie par x u(x + λ) est strictement décroissante sur l' intervalle I. Exemple de savoir faire : [Déterminer les variations d'une fonction associée à une fonction de référence] Soit f la fonction dénie sur I = [; + [ par f(x) = 3 x 2. La fonction x 3 x a des variations contraires à celles de la fonction racine carrée sur I donc elle est strictement décroissante sur cet intervalle. En outre, la fonction x 3 x 2 a les mêmes variations que x 3 x sur I donc f est strictement décroissante sur I. Propriété : Soit u une fonction dénie sur un intervalle I. Si u(x), alors u(x) = u(x) ; si u(x), alors u(x) = u(x). http: // mathsfg. net. free. fr 5

La courbe représentative C u(x+λ) de la fonction dénie par x u(x + λ) est l'image de C u par la translation de vecteur λ i.

6 Propriété : Soit (O; i; j) un repère du plan et C u la représentation graphique d'une fonction u dénie sur un intervalle I dans ce repère. Soit k un réel. La courbe représentative C u+k de la fonction u + k sur I est l'image de C u par la translation de vecteur k j. Soit λ un réel. La courbe représentative C u(x+λ) de la fonction dénie par x u(x + λ) est l'image de C u par la translation de vecteur λ i. La courbe représentative C u de la fonction u sur I est l'image de C u par la symétrie d'axe (Ox). La courbe représentative C u de la fonction u est confondue avec celle deu sur tous les intervalles où u est positive et est symétrique à celle de u sur tous les intervalles où u est négative. Exemple de savoir faire : [Reconnaître l'expression de la fonction associée à partir d'une courbe donnée] Sur la représentation graphique ci-contre, la fonction u est la fonction carré dénie par u(x) = x 2. La fonction f a sa courbe obtenue par la translation de vecteur 3 j de la courbe de la fonction u. Son expression algébrique est donc u(x) = x [Tracer la courbe de la fonction dont associée à une fonction de référence dont l'expression est donnée] Soit u la fonction dénie par u(x) = x 2 et g la fonction dénie par g(x) = (x+3) 2 pour tout réel x. On a g(x) = u(x + 2) donc la courbe de la fonction g est obtenue par la translation de vecteur i à partir de la courbe de la fonction carré. http: // mathsfg. net. free. fr 6

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