3 ; 0. Chapitre 5 : I Coordonnées d un vecteur : 1 ) Définition : Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points de coordonnées.

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1 Chapitre 5 : I Coordonnées d un vecteur : 1 ) Définition : Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points de coordonnées. On note : ; ; ı = ȷ =1 ı et ȷ sont les vecteurs unitaires. Par définition, le vecteur AB a pour coordonnées % &' =% ( % * et + &' =+ ( + * Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points du repère tels que A 3 2 et B 2. Quelles sont les coordonnées du vecteur AB? 1 ; / 0; 1 / /+0 ; 1 / 3 ; 0 3 ; 0 29

2 2 ) Vecteurs égaux : Si deux vecteurs sont égaux alors ils ont les mêmes coordonnées. Soit % :5;659<= 65>=?95 4 % + 56 % + A. 3 ) Somme de deux vecteurs : Si 4 % % + A et %" +" A sont trois vecteurs tels que 4 =7+C alors % =% +%" et + =+ ++". 4 ) Produit d un vecteur par un réel : Soit 4 % + 56 % + Adeux vecteurs et k un réel tel que 4 = k.7 alors % =N% 56 + =N+ 5 ) Vecteurs opposés : Les coordonnées de deux vecteurs opposés sont opposées. Si 4 % + 56 % + A sont deux vecteurs opposés alors % = % et + = + 6 ) Vecteurs colinéaires: Deux vecteurs 4 % + 56 % + A sont colinéaires si et seulement si %+ +% = 0. Dans un repère orthonormé O; ; ı, ȷ on donne : A 2 1, B 1 2, C 4 1 et D2 1. Démontrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires. 30

3 Les vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si =0 % *( + TU + *( % TU On a AB 1+2 CD CD 2 1 AB % *( + TU + *( % TU = = 6 6 = 0 % *( + TU + *( % TU = 0 alors les vecteurs AB et CD sont colinéaires 7 ) Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs 4 % + 56 % + A sont orthogonaux si et seulement si %%X +++ X = 0. Dans un repère orthonormé O; ; ı, ȷ on donne : A 4 Démontrer que les vecteurs AB et BC 2, B2 5 et C4 1. sont orthogonaux. Les vecteurs AB et BC sont orthogonaux. si et seulement si % *( % (T ++ *( + (T = 0 On a AB AB 6 3 BC BC 2 4 % *( % (T ++ *( + (T = % *( % (T ++ *( + (T = 12 12=0 % *( % (T ++ *( + (T = 0 les vecteurs AB et BC sont alors orthogonaux. 31

4 II Coordonnées du milieu d un segment: Soit un repère orthonorméo; ; ı, ȷ A et B deux points tels que A % * + et B % ( * +. ( Si I % Z + Z est le milieu du segment [AB\ alors on a : ] = + / ] = + / Soit un repère orthonorméo; ; ı, ȷ A et B deux points tels que A 3 1 et B 2 3. Calculer les coordonnées du point C milieu du segment [AB\. C est le milieu du segment [AB\ alors : % T = ^_`^a et + T = c _`c a % T = d`e et + T = fd % T = g et + T = fe h2 ; fe III Distance entre deux points : Soit un repère orthonormé O; ; ı, ȷ A et B deux points tels que A % * + et B % ( * +. ( Soit I un point tel que ABI soit un triangle rectangle en I. D après le théorème de Pythagore on a : AB = AI +IB Or AI=% ( % * et BI=+ ( + * Alors AB = % ( % * ++ ( + * D où AB =j% ( % * ++ ( + * 32

5 Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points du repère tels que A 3 2 et B 2. Calculer la distance AB. 1 =j / + / =j/+0 / + 1 / / =j3 / + 0 / = /3+l= 0m=m D où AB = 6 IV Equation générale d une droite : On appelle équation générale d une droite toute écriture de la forme (D) : n+o+p = q Où a, et c sont des réels donnes (a, ) (0, 0); x et y les variales. Toute droite peut être représentée à partir de son équation générale en choisissant deux points sur cette droite. Remarque : La droite (D ) d équation n+o+p=q est notée : (D ) : n+o+p = q Dans un repère orthonormé O; ; ı, ȷ on donne : A 4 2 et B ) Donner l équation générale de la droite AB. 2 ) Représenter dans le même repère la droite (D ) d équation 2% + 1=0. 3 ) Quelles sont les coordonnées de K, point d intersection des droites (D ) et AB? 33

6 Solution: 1 ) (D ) Déterminons l équation générale de la droite AB. Soit M % + un point de la droite (AB). Les vecteurs rs 56 rt sont donc %+4 rs rs 6 et rt 3 A. Les vecteurs rs 56 rt étant colinéaires alors : + 2 % *( + *u + *( % *u = %+4 = % 12 = 0 3% = 0 En multipliant par ( 1 ) et en divisant par 3 les deux memres de l équation, on otient : 2 ) Représentons (D ) : 2% + 1=0 dans le même repère. On dresse un taleau de valeurs : 2% + 1=0 +=2% 1 Si x = 0 alors y = 1 h 0 1 (D ) Si x = 1 alors y = 1 x 1 1 (D ) La droite (D ) passe donc par les points h 0 1 et x ) Calcul des coordonnées de K. Les coordonnées de K, point d intersection des droites (D ) et AB sont solutions du système formé par les équations des deux droites (D ) et AB. On a donc le système : 34

7 + = ey d e{ d D où Kzey. d VII Equation réduite (ou affine) d une droite : On appelle équation réduite ou affine d une droite toute équation de droite écrite sous la forme =}+~. x et y sont les variales ; a et deux réels donnés : a étant le coefficient directeur et l ordonnée à l origine et (a, ) (0, 0). Donner l équation réduite de AB : % 2++8=0 et (D ) : 2% + 1=0 (AB) : % 2++8=0 (AB) : % 2++8= 2+= % 8 (AB) : 2+ =%+8 (AB) : + = ^` (AB) : + = e % +8 L équation réduite de la droite est : (AB) : += +8 (D ) : 2% + 1 =0 (D ) : + = 2%+1 (D ) :+ = 2% 1 L équation affine de la droite (D ) est : (D ) :+ =2% 1 VIII Position relative de deux droites d équations données : Soit (D ) et (D ) deux droites telles que : (D ) :+ = %+ƒ et (D ) :+ = %+ƒ * Les droites (D ) et (D ) sont parallèles si et seulement si = 35

8 * Les droites (D ) et (D ) sont perpendiculaires si et seulement si X = 1 Donner la position des droites (x):3% ++1 =0; x X : 3%++ 2=0 et x": %+3+ = 1 Solution : On doit toujours prendre l équation affine de la droite pour déterminer la position relative. x:+ = 3%+1; x X : + = 3%+2 et x": + = fe - Position entre (D) et (D ) : d % e d (D) et (D ) ont un même coefficient directeur alors elles son parallèles : (D) // (D ). - Position entre (D) et (D ) : Le produit des coefficients directeurs des droites (D) et (D ) est égal à -1 ; (D) et (D ) Sont alors perpendiculaires. 36