Rappels sur les fonctions. Fonctions polynômes du second degré

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1 Semaine 4 Rappels sur les fonctions. Fonctions polynômes du second degré 1. Rappels : étude de fonctions Généralités Fonctions de référence Études. 2. Fonction polynôme du second degré. Tableau de variation. Représentation graphique I) Rappels : études de fonctions 1- Généralités On est souvent amené à considérer les variations d une grandeur Y en fonction des variations d une autre grandeur X. Si, connaissant les valeurs x prises par la grandeur X, on peut en déduire les valeurs y prises par la grandeur Y. On dit alors que la grandeur Y est fonction de la grandeur X. a. Définition Plus généralement, y est fonction de la variable x si, à chaque valeur x correspond au plus une valeur y. On note y f x On dit que y est l image de x par la fonction f, x est un antécédent de f(x) par f. Graphe d une fonction : ensemble des couples x, f x Ainsi, une fonction numérique, est une relation qui à un nombre réel x associe, au plus, un réel noté f(x) et lu «f de x». La notation f : x f(x) pour x J indique que f est une fonction, que tout nombre de l ensemble J a une image par f.

2 Exemple. f : x f(x) = 4 pour x [3 ; 5] x f est la fonction qui, à tout nombre x compris (au sens large) entre 3 et 5, associe le nombre 4 x b. Ensemble de définition d une fonction La fonction est définie en x lorsque f(x) existe. Si f est définie pour toute valeur x d un intervalle I, on dit que f est définie sur I. I est alors l ensemble de définition de f. Exemple. Si f : x f(x) = 4 x ; pour x = 0, f(x) n existe pas ; on dit que f n est pas défini en 0. c. Variations - croissante sur I si elle conserve l'ordre de deux nombres quelconques de I, c'est-à-dire que lorsque a < b (a et b dans I) alors f(a) < f(b) (même ordre de f(a) à f(b)) - décroissante sur I si elle inverse l'ordre de deux nombres quelconques de I, c'est-à-dire que lorsque a < b (a et b dans I) alors f(a) > f(b) (ordre inversé de f(a) à f(b)) - constante sur J si pour tout réel x de J, f(x) garde toujours la même valeur. d. Extremums On dit qu'une fonction, définie sur un intervalle I, présente un maximum en x0 de I lorsque f(x) f(x0) pour tout x élément de I. f est alors dite «majorée» f(x0) On dit qu'une fonction, définie sur un intervalle I, présente un minimum en x0 de I lorsque f(x) f(x0) pour tout x élément de I. f est alors dite «minorée» Une fonction qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée. I x0

3 e. Parité Étudier la parité d une fonction, c est étudier conjointement les images des opposés quelconques x et x. La question n a de sens que si f est définie en même temps pour les valeurs de x et de son opposé x. f est une fonction paire si pour tout x de son ensemble de définition, f( x) = f(x) Il en résulte une symétrie d axe vertical pour la courbe de f. g est une fonction impaire si pour tout x de son ensemble de définition g( x) = g(x). Il en résulte une symétrie centrale autour de l origine pour la courbe de f. La plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires.

4 2- Fonctions de référence Fonctions affines Elles sont définies sur R tout entier et il existe a et b tels que f(x) = ax + b. Quand b est nul, on dit que la fonction est linéaire, la fonction exprime alors un lien de proportionnalité entre x et son image f(x). Représentation graphique : ce sont des droites de coefficient directeur a. Lorsque a > 0 Lorsque a < 0 a est la pente de la droite. La fonction est croissante la droite coupe l axe des ordonnées en b qui est l ordonnée à l origine. la droite coupe l axe des abscisses en a est la pente de la droite. La fonction est décroissante la droite coupe l axe des ordonnées en b qui est l ordonnée à l origine. la droite coupe l axe des abscisses en b a b a Fonction «carré» Elle est définie sur R tout entier et f(x) = x². C est une fonction paire. Représentation graphique : c'est la parabole (P) de sommet (0; 0), d'axe de symétrie l'axe des ordonnées (Oy), et passant par le point (1; 1).

5 Fonction «inverse» Elle est définie sur R «privé de 0», ce que l'on note R \{0} ou R *, et f(x) = 1 x C est une fonction impaire. Représentation graphique : c'est l'hyperbole (H) de centre (0; 0) et d'asymptotes les axes (Ox) et (Oy) du repère usuel. 6- Étude d une fonction Le but d une étude de fonction est d en connaître le maximum d informations pour en tracer la courbe représentative ; laquelle courbe pourra ensuite être utilisée pour résoudre des équations, des inéquations, etc. Dans l état actuel de vos connaissances à la sortie de la classe de seconde, étudier une fonction consiste à étudier les points suivants : 1) Déterminer son ensemble de définition, que l on note (Df). Ainsi nous savons si la courbe passe à la verticale de chaque valeur possible de l abscisse. Les valeurs pour lesquelles une fonction peut ne pas être définie sont celles qui mènent à des calculs impossibles ; il n y a que la division par 0 et le calcul de racines carrées de nombres négatifs qui posent ce genre de problème, à la sortie de la classe de seconde. 2) Étudier la parité de la fonction. Pour cela exprimer f( x) en fonction de f(x). Lorsque la fonction est paire ou impaire, cela permet par la suite de se contenter d étudier la fonction sur la moitié de son domaine de définition, les éléments de symétrie permettant ensuite de conclure pour l ensemble du domaine. 3) Étudier les variations. Pour cela, on étudie le signe de l expression [f(a) f(b)] en fonction du signe de (a b). C est la comparaison conjointe des signes des deux différences (a b) et [f(a) f(b)] qui permet de conclure pour les variations. Le rapport de ces deux différences va rendre compte de ces deux signes simultanément.

6 a b > 0 ; a b a > b f(a) f(b) > 0 f(a) > f(b) f(a) f(b) f est croissante > 0 a b a b > 0 ; a b a > b f(a) f(b) < 0 f(a) < f(b) f(a) f(b) f est décroissante < 0 a b a b < 0 ; a b a < b f(a) f(b) > 0 f(a) > f(b) f(a) f(b) f est décroissante < 0 a b a b < 0 ; a b a < b f(a) f(b) < 0 f(a) < f(b) f(a) f(b) f est croissante > 0 a b f(b) f(a) f(a) f(b) Remarque : =. Le rapport doit être exprimé avec numérateur et b a a b dénominateur dans le même «ordre», peu importe lequel. II) Fonctions polynômes du second degré Définition : Soit la fonction f : x ax² + bx + c où a, b et c sont des réels quelconques, a non nul. On dit que f est une fonction polynôme (ici un trinôme) de degré 2, de coefficients a, b et c. Proposition 1 La fonction f admet le tableau de variations suivant : si a > 0 : x b 2a + f(x) f ( b 2a ) si a < 0 : x b 2a + f(x) f ( b 2a )

7 Démonstration Soit x > y. Comparons f(x) et f(y) c est-à-dire étudions le signe du réel f(x) f(y). f(x) f(y) = ax² + bx + c (ay² + by + c) = a(x² y²) + b(x y). x² y² = (x y)(x + y) d où f(x) f(y) = (x y)[a(x + y) + b]. x > y donc (x y) > 0, le signe de f(x) f(y) est donc le même que celui de a(x + y) + b, que l on peut encore écrire a(x + y + b ), puisque a est non nul. a Deux cas sont alors à considérer : pour a > 0 : si x b 2a alors y < b 2a et x + y + b a < b 2a b 2a + b a et b 2a b 2a + b a = 0 d où f(x) f(y) < 0 : f est strictement décroissante sur ] ; b 2a ]. si y b 2a alors x + y + b > 0 et f(x) f(y) > 0. a f est strictement croissante sur [ b 2a ; + [. pour a < 0 : La démonstration est similaire. Proposition 2 La représentation graphique de f est la parabole (P), de sommet S d'abscisse b 2a, dont l'orientation dépend du signe de a. si a est négatif alors le sommet est un maximum (parabole orientée vers le bas), si a est positif alors le sommet est un minimum (parabole orientée vers le haut). De plus, dans un repère orthogonal, la droite x = b est l'axe de symétrie de (P). 2a Exemple. y = 3x² 5x + 1 (P1) y = 2x² + 6x 3 (P2) (P1) (P1) (P2) (P2)

8 Exercices Exercice 27 Déterminez la valeur minimale de f : x x² + 6x + 5. Exercice 28 Soit la fonction f : x 3x + 1 x + 2 Donnez l'ensemble de définition de f. Montrez que l'on peut écrire f(x) = 3 Déduisez-en les variations de f. Exercice 29 5 x + 2 Montrez que f(x) = x + 1, x > 0 admet un minimum. x Exercice 30 Trois entreprises de location de voitures pratiquent les tarifs suivants, pour un modèle donné : entreprise A 3 le kilomètre entreprise B 300 de forfait + 2,25 le kilomètre entreprise C 5 le kilomètre pour les 100 premiers kilomètres parcourus, le kilomètre pour les kilomètres compris entre 100 et 300, ,80 le kilomètre pour les suivants. 1) Déterminez l'entreprise la moins chère pour un parcours de 200 km, de 300 km puis de 400 km. 2) Quelle entreprise permet d'aller le plus loin avec un budget de 750? 3) Pour quels kilométrages les entreprises proposent-elles les mêmes tarifs? Exercice 31 Tracez la courbe représentative de f : x x (6 x) 2 Exercice 32 Déterminez les sommets et les points d'intersection des paraboles (P1) et (P2) dont les équations sont (P1) : y = (x 3)² 6 et (P2) : y = 2x² + 8x + 2. Exercice 33 Un groupe réserve un voyage pour un montant total de Pour 30 participants de plus, ils auraient eu une réduction de 20 par personne, et auraient payé un total de Déterminez le prix du billet et le nombre de participants à ce voyage.

9 Exercice 34 Une cagnotte d'un jeu de hasard s'élève à et doit être partagée en parts égales entre les gagnants. S'il y avait eu 3 gagnants de moins, chacun aurait reçu de plus. Déterminez le nombre de gagnants et la part qu'ils obtiendront. Exercice 35 Soit la parabole d équation y = f(x) de sommet S ( 2 ; 3). Déterminez les solutions de l équation f(x) = 0.