Chapitre 3 : Second degré et fonction polynôme

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1 Lycée Jean Durand, Castelnaudary Classe de 1 ère S Chapitre 3 : Second degré et fonction polynôme D. Zancanaro C. Aupérin Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modification : 22 novembre

2 Table des matières 1 Trinôme du second degré 1 2 Résolution de l équation du second degré a 2 + b + c = forme canonique du trinôme Résolution de a 2 + b + c = Factorisation du trinôme 5 4 Signe du trinôme 5 5 Fonctions polynômes Fonction polynôme du second degré Définition Représentation graphique d une fonction polynôme du second degré Fonction polynôme de degré quelconque

3 Cours : Second Degré et Fonction Polynôme Type de problèmes que l on souhaite résoudre Situation : Un rectangle a pour périmètre P = 14 m et pour aire S = 12 m 2. Quels sont les dimensions de ce rectangle? Modélisation : Soient et y les dimensions de ce rectangle, on obtient : + y = P 2 et y = S = 12 En remplaçant y par 7 on obtient l équation 7 ) = 12 qui peut s écrire encore = 0 Comment résoudre une telle équation? Un peu d histoire Dans l eemple précédent, pour résoudre ce problème il s agit de trouver les solutions de l équation = 0. Au V ème siècle, la pensée mathématique s épanouit dans le moyen orient, sous l impulsion géniale d Al Khwarizmi. Son nom est à la base du mot algorithme! Il est le premier à résoudre couramment des équations du second degré. La nouveauté apporté par Al-Khwarizmi correspond à une véritable évolution des mentalités : il ne s agit plus de résoudre des problèmes arithmétiques ou géométriques que l on peut traduire en équations, mais de partir des équations dont chacune recouvre une classe infinie de problèmes variés. Autrement dit, Al Khwarizmi résout toutes les équations de la forme a 2 +b+c = 0, et lorsque l on tombe sur un problème qui aboutit à une telle équation, il n y a plus qu à lui appliquer le même algorithme qu au équations du même type! 1 Trinôme du second degré Définition 1. On appelle trinôme du second degré toute epression pouvant s écrire a 2 +b+c où a, b et c sont des réels avec a 0 Eemples : a = 1;b = 4;c = 1) a = 7;b = 4;c = 0) a = 2;b = 0;c = 0) ) 2 a = 1;b = 2;c = 1) Contre-eemples : est un binôme du premier degré est un polynôme du 3 ème degré ) 2 2 est un binôme du premier degré n est pas un trinôme du 2nde degré. Question : Soit P) = a 2 + b + c et Q) = a 2 + b + c deu trinômes du second degré. A quelles conditions sont ils égau? 1

4 On dit que P = Q si, et seulement si P) = Q) pour tout R, i.e : Supposons que P = Q, on a alors : a 2 + b + c = a 2 + b + c pour tout R Si on choisit = 0 on obtient : c = c et l égalité devient : a 2 + b = a 2 + b pour tout R Si on choisit = 1 on obtient : a + b = a + b Si on choisit = 1 on obtient : a b = a b En soustrayant, puis en ajoutant, membre à membre ces deu égalités, on obtient : Au final : a = a ;b = b et c = c 2b = 2b et = Propriété 1. Soit P) = a 2 +b+c et Q) = a 2 +b +c deu trinômes du second degré. P et Q sont égau si, et seulement si a = a ;b = b et c = c Eercice 1.1. Soit P) = 2 1 et Q) = ) ). Démontrer que P = Q Définition 2. On appelle racine du trinôme toute valeur de la variable solution de l équation du second degré : a 2 + b + c = 0 Eemple : 3 est racine du trinôme = 0 Eercice 1.2. Trouver les racines du polynôme 2 7 = 0 Question : D une manière générale, comment trouver les racines du polynôme a 2 + b + c? Eiste-t-il un algorithme permettant de trouver les racines de n importe quel trinôme? 2

5 2 Résolution de l équation du second degré a 2 + b + c = forme canonique du trinôme But : Comme dans l eercice précédent, on tente de factoriser le trinôme afin d obtenir les racines. On essaye de rendre l epression factorisable, à l aide de la troisième identité remarquable : Etude sur des cas particuliers : a 2 b 2 = a + b)a b) = + 1) 2. Ce trinôme admet donc comme seule racine = 4) = 4) 2 7. Ainsi, résoudre = 0 revient à résoudre : 4) 2 7 = 0, ce qui donne : 4 7) 4 + 7) D où : S = {4 7;4 + 7} Cas Général : transformation de l écriture a 2 + b + c On met a en facteur a 0) : a 2 + b + c = a 2 + b a + c ) a Or : 2 + b a = + b ) 2 b2 [ 4a 2 Au final : a 2 + b + c = a + b ) ] 2 b2 4a 2 + c = a + b ) ) 2 b2 4ac a 4a 2 Définition 3. On appelle discriminant du trinôme, le nombre réel noté, défini par : = b 2 4ac L epression précédente s écrit alors : a 2 + b + c = a + b ) ) 2 4a 2 Définition 4. Cette dernière epression, de la forme a + α) 2 + β s appelle la forme canonique du trinôme Intérêt : dire si le polynôme possède ou non des racines, et lesquelles s il en a factoriser le trinôme lorsque ce sera possible 3

6 connaître le signe du trinôme suivant les valeurs de étudier les variations de la fonctions définie par f) = a 2 + b + c et tracer sa représentation graphique avec précision Eemple : «Canoniser»le trinôme Résolution de a 2 + b + c = 0 On a vu que : a 2 + b + c = a + b ) ) 2 4a 2 Autrement dit, résoudre a 2 + b + c = 0 revient à résoudre a + b ) ) 2 4a 2 + b ) 2 = 4a 2 Dans cette epression, tous les facteurs sont positifs sauf, d où : = 0 i.e : THÉORÈME Si < 0 : l équation n a pas de solution réelle 2. Si = 0 : l équation a une solution 0 = b 3. Si > 0 : l équation a deu solutions réelles : 1 = b et 2 = b + En effet, lorsque est positif, l équation est factorisable : + b ) ) + b ) + ) Remarque : Les formules obtenues pour > 0 s étendent à 0 Si les coefficients a et c sont de signes opposés, alors le trinôme admet deu racines ; en effet, dans ce cas = b 2 4ac > 0 Eercice 2.1. Résoudre dans R les équations suivantes : = = = 0 4. Répondre au problème initial = = 0 4

7 3 Factorisation du trinôme THÉORÈME 2. Soit = b 2 4ac le discriminant du trinôme a 2 + b + c. Le trinôme se factorise ainsi : Si = 0 : a 2 + b + c = a + b ) 2 Si > 0 : a 2 + b + c = a 1 ) 2 ) où 1 et 2 sont les racines du trinôme Démonstration : Si = 0 : le trinôme s écrit, à l aide de la forme canonique : a + b Si > 0 on a a 1 ) 2 ) = a b ) b + ) ) 2 = a 2 + b + c Remarque : Lorsque < 0, comme le trinôme n a pas de racine réelle, il faut abandonner l espoir de pouvoir le factoriser du moins dans R) 4 Signe du trinôme But : Étudier le signe de P) = a 2 + b + c suivant les valeurs de. Cas 1 - > 0 : Soit 1 et 2 ses racines, avec 1 < 2. On a alors : Établissons le tableau de signe : P) = a 2 + b + c = a 1 ) 2 ) ) 2 ) P) signe de a 0 opposé de a 0 signe de a Cas 2-0 : On utilise la forme canonique : P) = a [ + b ) ] 2 4a 2 Comme est négatif, l epression entre crochets est positive, le signe de P) est donc le même que celui de a 5

8 THÉORÈME 3. Le trinôme a 2 + b + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu elles eistent. En particulier, lorsque < 0, le trinôme est de signe constant. Eercice 4.1. Résoudre l inéquation Fonctions polynômes 5.1 Fonction polynôme du second degré Définition Définition 5. On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur R, pouvant se ramener à la forme : P) = a 2 + b + c où a, b et c sont des réels avec a Représentation graphique d une fonction polynôme du second degré Dans un repêre O; i, j), notons C P la courbe d équat y = P) = a 2 + b + c THÉORÈME 4. La représentation graphique d une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Son ae de symétrie est la droite verticale d équation = b et son sommet S b ; ) 4a Démonstration : D après la forme canonique l équation de la courbe s écrit encore : [ y = a + b ) ] 2 4a 2 ce qui s écrit encore Y = ax 2 dans le repère où Y = y + 4a 2 et X = + b. Ceci est donc l équation d une parabole. Le signe de a conditionne donc l orientation de cette parabole. Comme + b ) 2 > 0, on a : + b ) 2 4a 2 4a2. On conclut en multipliant par a suivant le signe de a 6

9 7 Résumé : f) = a 2 + b + c avec a 0 = b 2 4ac Racines Signe de a 2 + b + c Représentation parabole Factorisation Deu racines 1 et 2 : b b + Une racine : 1 = b Aucune racine réelle f) sa) 0 sa) 0 sa) 1 + f) sa) 0 sa) + f) sa) a > 0 b 1 2 S S 1 2 a < 0 a > 0 1 = b 1 = b a < 0 a > 0 b b a < 0 f) = a 1 ) 2 ) > 0 f) = a 1 ) 2 = 0 pas de factorisation < 0 Chapitre 1 Second Degré et Fonction Polynôme

10 5.2 Fonction polynôme de degré quelconque Définition 6. On appelle fonction polynôme à coefficients réels) de degré n) n N) toute fonction P définie sur R dont l écriture peut se ramener à la forme : P) = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 où a 0, a 1,..., a n sont des réels avec a n 0 Le terme a p p s appelle monôme de degré p. On note n = DegP) Eemples : La fonction P définie par : P) = est une fonction polynôme de degré 8 Toutes les fonctions puissances d eposants entiers : P) = p avec p N sont des fonctions polynômes de degré p. Les fonctions affines et constantes différente de la fonction nulle) sont des fonctions polynômes de degré 1 et 0 Contre-eemples : La fonction Q définie par Q) = n est pas une fonction polynôme La fonction g définie par g) = n est pas une fonction polynôme car non définie pour = 1 1 ou = 1 En revanche la fonction h définie par h) = est une fonction polynôme de degré 2 puisque + 1 h) = 2 1 Propriété 2. Deu polynômes non nuls sont égau, si et seulement si, ces polynômes ont le même degré et les coefficients de leurs termes de même degré deu à deu égau Remarque : Cette propriété est admise Eemple : Pour tout réel, a 3 + b 2 + c + d = si, et seulement si, a = 7, b = 4, c = 2 et d = 1 Définition 7. On appelle racine d un polynôme P tout réel λ tel que Pλ) = 0 Eemple : Trouver les racines du polynôme P définie sur R par P) = 1) 2 1) Remarque : Les fonctions polynôme de degré 1 a + b) admettent toutes une seule racine λ = b a Certaines fonctions polynômes n ont aucune racine réelle, par eemple P avec P) =