Licence de biologie générale, L3 U.E. BEMU ( Mathématiques ) Mesures : longueur, surface, volume

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1 Licence de biologie générale, L3 U.E. EMU ( Mathématiques ) Géométrie élémentaire. Mesures : longueur, surface, volume dile Simon Université de Rennes I 11 janvier 007 Introduction eci est un aide-mémoire de la géométrie euclidienne élémentaire. Les définitions, théorèmes, propriétés concernant les différents objets géométriques sont rappelés sans démonstration. eux situations : 1. la géométrie plane,. la géométrie dans l espace. Si tous les éléments considérés dans le problème se trouvent dans un même plan, on travaille dans le plan du tableau ou de la feuille de papier. Le but de la géométrie est l étude et la caractérisation de sous-ensembles de points de l espace ou du plan à l aide de différents outils. Selon les connaissances acquises voici des exemples d outils : - les théorèmes de Pythagore ou de Thalès - les transformations : translation, symétrie, rotation,... - les expressions analytiques dans un repère - les vecteurs - les nombres complexes et leurs propriétes géométriques Ici, il suffira des connaissances acquises au collège. Quelques paragraphes, de niveau supérieur, ne sont à considérer que comme informations supplémentaires. 1

2 1 onfigurations dans le plan Une configuration du plan ou figure géométrique est un ensemble de points, morceaux de courbes ou de surfaces délimitées par des courbes. Les droites ou morceaux de droites sont des exemples de courbes 1.1 La droite xiome : par deux points distincts, il passe une droite et une seule. x M x x Notations : Soient, deux points, on note () la droite, [) ou [) les deux demi-droites, déterminées par ces deux points, [] le segment déterminé par les deux points sur cette droite, la longueur du segment [], le vecteur d origine et d extrémité. Soient et les deux points distincts donnés, on a différentes caractérisations de la droite, passant par et, vectoriel : est l ensemble des points M tels que M et soient colinéaires. = {M M = λ, λ R} analytique : ayant muni le plan P d un repère (, i, j ) dans lequel les points ont pour coordonnées = (x 1, y 1 ), = (x, y ), celles d un point M = (x, y) de vérifient x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 une autre manière, en exprimant y en fonction de x, = {(x, y) y = ax + b} avec a = y y 1 x x et b = x 1y + y 1 x 1 x x. 1 a est appelé la pente de la droite b est l ordonnée du point d intersection de avec l axe des ordonnées, appelée ordonnée à l origine. complexe : le plan est rapporté à un repère orthonormé, (, u, v ). Si,, M ont pour affixes respectives z 1, z, z, alors les vecteurs M et ont pour affixes z z1 et z z 1. ire que les points sont alignés équivaut à dire que les affixes des vecteurs ont même argument, ce qui se traduit par la différence des arguments est nulle ou un multiple de π, c est-à-dire le quotient est réel. n a donc = {M z z 1 R} z z 1 Proposition 1.1 Etant données deux droites ( 1 ) et ( ), alors soit elles se rencontrent en un seul point, leur point d intersection soit elles sont confondues (elles ont au moins deux points communs) soit elles sont parallèlles ( elles n ont aucun point commun)

3 3 éfinition 1. n appelle distance entre deux points et, notée d(, ), la longueur. n appelle distance d un point à une droite (), notée d(, ()), le minimum des longueurs M, où M parcourt la droite (). est la longueur du segment [H], où H est le point d intersection de () avec la perpendiculaire à () passant par. H (d) M H represente la distance de a (d) éfinition 1.3 n appelle la médiatrice du segment [] l ensemble des points M équidistants de et, c est-à-dire tels que M = M. Proposition 1.4 La médiatrice d un segment [] est la perpendiculaire à () passant par le milieu de []. M I (MI) est la mediatrice de [] Exercice : onstruire la médiatrice d un segment à la règle non graduée et au compas. éfinition 1.5 n dit que cinq points,,,, E définissent une configuration de Thalès si :,, sont alignés sur une droite ( 1 ),,, E sont alignés sur une droite ( ), respectivement dans le même ordre. n a les deux cas suivants : E E Les deux situations de Thales Théorème 1.6 de Thalès et sa réciproque Soient,,,, E cinq points définissant une configuration de Thalès. Si les droites () et (E) sont parallèles alors E = = E Réciproquement, si E = alors les droites () et (E) sont parallèles

4 1. Quelques courbes et surfaces éfinition 1.7 n appelle polygone à n côtés, pour n 3, on note 1... n, une configuration du plan constituée, selon le contexte, soit des segments [ i, i+1 ], i {1,..., n 1} et [ n, 1 ],appelé les côtés. soit de la surface du plan délimitée par ces segments. L ordre des sommets dans la notation est importante, car elle définit les segments qui sont les côtés du polygone. Si n = 3, on a un triangle et si n = 4, on a un quadrilatère. éfinition 1.8 Soit E un sous-ensemble du plan, on dit que E est convexe si pour tout, dans E, le segment [] est contenu dans E Polygone convexe Polygone non convexe Un triangle est toujours convexe, ce qui n est pas le cas d un quadrilatère. éfinition 1.9 Un cercle est défini par la donnée d un point et d un nombre réel positif R, c est l ensemble des points M du plan tels que d(, M) = M = R. Le point est le centre, R le rayon et = R est appelé le diamètre. La surface délimitée par cette courbe est le disque de centre et de rayon R. Un disque est un ensemble convexe. 1.3 Le cercle, le disque et les angles géométriques éfinition 1.10 Soient,, trois points non alignés du plan. n appelle secteur angulaire ou angle géométrique de sommet la partie du plan convexe déterminée par les deux demi-droites [) et [). n le note  ou Ô, s il n y a pas de confusion possible. Si,, sont alignés, on définit aussi l angle Â, si [) et [) sont confondues, c est l angle nul, sinon c est un angle plat. éfinition 1.11 Si on considère un cercle de centre dont le rayon est de longueur 1, alors on définit : le nombre réel π comme la longueur du demi-cercle. n a π 3, 14 un radian comme la mesure de l angle Â, avec et sur ce cercle et l arc de cercle de longueur n mesure aussi les angles en degrés ou en grades, avec la correspondance entre les unités, pour l angle plat :

5 180 degrés = π radians = 00 grades 5 Exemple : Un angle droit mesure 90 degrés = π radians. Par abus d écriture, on peut écrire ÂM pour mesure(âm). éfinition 1.1 n appelle bissectrice de l angle  une droite () passant par telle, que pour tout M sur (), on a mesure(âm) = mesure( M) (d) (d) est bissectrice de l angle Proposition 1.13 La bissectrice d un angle  est l ensemble des points équidistants des deux droites () et (). Pour tout M (), on a d(m, ()) = d(m, ()) émonstration en utilisant les triangles isométriques. Exercice : onstruire la bissectrice d un angle à la règle non graduée et au compas. Soient un cercle de centre et de rayon R et, deux points du cercle, ils déterminent deux arcs de cercle. éfinition 1.14 Soit un cercle de centre et de rayon R,,, trois points sur ce cercle. n dit que  est un angle inscrit interceptant l arc contenu dans le secteur angulaire. n dit que  est un angle au centre. ans les deux cercles, est un angle inscrit Proposition 1.15 Soit un cercle de centre et de rayon R et,, trois points du cercle, on a si  90 degrés, alors mesure(â) = mesure (Â) si  > 90 degrés, alors mesure(â) = 360 mesure (Â), en degrés. Proposition 1.16 Soit un cercle de centre et de rayon R et, deux points du cercle, pour tout point sur un même arc, la mesure de  est constante. Proposition 1.17 Soit un cercle de rayon R. Le périmètre de ce cercle est P = πr = π L aire du disque est S = πr = π 4. La longueur d un arc et l aire d un secteur angulaire du disque sont proportionnelles à la mesure de l angle au centre. Si l angle au centre mesure α degrés, alors : longueur de l arc = π α 360, aire du secteur = πr α 360.

6 1.4 Le triangle Soient,, trois points non alignés, ces trois points définissent un triangle noté, on notera a =, b =, c = les longueurs des trois côtés et Â, ˆ, Ĉ les trois angles de ce triangle. Proposition 1.18 La somme des mesures des angles d un triangle vaut 180 degrés roites remarquables dans un triangle éfinition 1.19 ans un triangle, on définit, pour un sommet, par exemple : la hauteur issue de : droite passant par et perpendiculaire à () la médiane issue de : droite joignant au milieu du segment []. et de même pour les deux autres sommets. 6 H M (H) est la hauteur (M) est la mediane n peut aussi considérer dans un triangle, les bissectrices des trois angles, et les médiatrices des trois côtés. Théorème 1.0 n a les propositions suivantes : les trois médiatrices sont concourrantes en un même point, c est le centre du cercle circonscrit au triangle. les trois hauteurs sont concourrantes en un même point H appelé orthocentre du triangle. les trois médianes sont concourrantes en un même point G appelé centre de gravité du triangle. e point est situé aux de chaque médiane à partir du sommet. 3 les trois bissectrices sont concourrantes en un même point I, c est le centre du cercle inscrit dans le triangle. I cercle circonscrit cercle inscrit H G H est l orthocentre G est le centre de gravite

7 7 Proposition 1.1 ans tout triangle, les points, G, H sont alignés, la droite qu ils définissent s appelle la droite d Euler du triangle. Proposition 1. Le périmètre d un triangle est P = a + b + c. L aire d un triangle est S = base h, où base est la longueur d un côté et h celle de la hauteur issue de l angle opposé au côté choisi. Si,, sont les points d intersection des hauteurs issues de,, avec les côtés opposés, on a S = a = b = c orollaire 1.3 Propriété de la médiane ans un triangle, une médiane divise ce triangle en deux triangles d aires égales. H M (H) est la hauteur (M) est la mediane Pour une médiane issue d un sommet choisi, les deux triangles déterminés ont ce sommet en commun. Les hauteurs issues de ce sommet sont communes pour les deux triangles et les deux bases correspondantes sont de longueurs égales Triangles remarquables éfinition 1.4 Un triangle est équilatéral si l une des propriétés suivantes, équivalentes, est vérifiée : les trois côtés sont égaux, a = b = c les trois angles sont égaux, Â = ˆ = Ĉ = 60 degrés deux angles sont égaux chacun à 60 degrés éfinition 1.5 Un triangle est isocèle si l une des propriétés suivantes, équivalentes, est vérifiée : deux côtés sont égaux, a = b ou a = c ou b = c deux angles sont égaux éfinition 1.6 Un triangle est rectangle en un sommet si l angle correspondant à ce sommet vaut 90 degrés. Le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. Théorème 1.7 de Pythagore et sa réciproque : Un triangle est rectangle en si et seulement si a = b + c. Exercice : émontrer ce théorème. Proposition 1.8 Les droites remarquables dans ces triangles : dans un triangle isocèle en, la bissectrice de Â, la hauteur et la médiane issues de et la médiatrice de [] sont confondues. dans un triangle équilatéral les quatre notions de droites remarquables sont confondues. dans un triangle rectangle en, les hauteurs issues de et sont les côtés () et (), l orthocentre est. dans un triangle rectangle, le point de concours des médiatrices,, est le milieu de l hypoténuse.

8 8 Proposition 1.9 Un triangle est rectangle si et seulement si son cercle circonscrit a pour diamètre l un de ses côtés.,, sont des triangles rectangles d hypotenuse [] Trigonométrie du triangle rectangle. éfinition 1.30 ans un triangle rectangle en, on définit pour un angle aigu α = Â ses formes trigonométriques : cosα = sin α = tan α = = côté adjacent hypoténuse = côté opposé hypoténuse = côté opposé côté adjacent n a les relations suivantes : tan α = sin α cosα et cos α + sin α = 1 ertaines valeurs remarquables sont à connaître, elles se déduisent à l aide du théorème de Pythagore des figures remarquables du carré et du triangle équilatéral :

9 / 1/ α 30 degrés 60 degrés 45 degrés 90 degrés α en radians π 6 π 3 π 4 π cosα sinα tanα Les triangles isométriques éfinition 1.31 n dit que deux triangles sont isométriques si leurs trois côtés ont respectivement la même longueur. n dit aussi superposables. Proposition 1.3 eux triangles isométriques ont leurs angles respectivement de même mesure deux à deux. La réciproque est fausse. Pour voir que la récproque est fausse, il suffit de prendre deux triangles dont l un est un agrandissement de l autre, par exemple dans une situation de Thalès. Proposition 1.33 as d isométrie des triangles. eux triangles sont isométriques si et seulement si l une des conditions suivantes est vérifiée : deux côtés de l un ont même longueur que deux côtés de l autre et les angles définis par ces côtés ont même mesure. deux angles de l un ont même mesure que deux angles de l autre et les côtés communs à ces angles ont même mesure. Proposition 1.34 L une des données suivantes détermine un seul triangle à une isométrie près : la longueur des trois côtés. la longueur de deux côtés et la mesure de l angle défini par ces côtés. la longueur d un côté et les mesures des deux angles ayant ce côté en commun. Exercice : onstruire trois triangles à partir de données correspondant aux trois cas ci-dessus. Remarquer que toute donnée numérique ne permet pas de construire un triangle.

10 1.5 Le quadrilatère Soient,,, quatre points distincts du plan, non alignés trois à trois. Si est un quadrilatère, il a pour côtés [], [], [], []. 10 convexe non convexe non convexe et croise éfinition 1.35 n appelle diagonales du quadrilatère, les segments [] et []. n note le point d intersection de () et (), s il existe. Proposition 1.36 Si le quadrilatère est convexe, le point appartient aux segments [] et [] Proposition 1.37 La somme des mesures des angles d un quadrilatère vaut 360 degrés. En effet, un quadrilatère est une juxtaposition de deux triangles Quadrilatères remarquables éfinition 1.38 Un quadrilatère est un trapèze s il possède deux côtés parallèles. es deux côtés sont appelés les bases et la distance entre ces deux droites est appelée hauteur du trapèze. Proposition 1.39 L aire d un trapèze est S = + b h, où et b sont les longueurs des bases et h la hauteur du trapèze. 1 b h 4 3 H

11 11 éfinition 1.40 Un quadrilatère est un parallélogramme si l une des propriétés suivantes, équivalentes, est vérifiée : les côtés sont parallèles deux à deux les côtés sont de longueurs égales deux à deux deux côtés sont parallèles et de même longueur ou ()//() ()//(). = =. ()//() = ()//() =. les diagonales se coupent en leur milieu est le milieu de [] et est le milieu de []. les angles opposés sont égaux deux à deux. Proposition 1.41 L aire d un parallélogramme est S = ase h, où ase est la longueur d un côté et h la distance entre ce côté et celui qui lui est parallèle. S = H 1 = H H H1 éfinition 1.4 Un quadrilatère est un losange si l une des propriétés suivantes, équivalentes, est vérifiée : les quatre côtés sont de longueurs égales = = =. il est un parallélogramme et deux côtés non parallèles sont de même longueur ( = ) ou ( = ). les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Proposition 1.43 L aire d un losange est S = d, où et d sont les longueurs des diagonales.

12 1 éfinition 1.44 Un quadrilatère est un rectangle, si l une des propriétés suivantes, équivalentes, est vérifiée : trois angles mesurent 90 degrés il est un parallélogramme et possède un angle droit les diagonales se coupent en leur milieu et sont de longueurs égales Proposition 1.45 L aire d un rectangle est S = L l, où L et l sont les longueurs des côtés adjacents éfinition 1.46 Un quadrilatère est un carré, si l une des propriétés suivantes, équivalentes, est vérifiée : il est un rectangle et deux côtés non parallèles sont de même longueur il est un losange et possède un angle droit les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de longueurs égales Proposition 1.47 L aire d un carré est S = c, où c est la longueur des côtés. l c c L n a les inclusions suivantes pour les ensembles de quadrilatères : losanges quadrilatères trapèzes parallélogrammes carrés rectangles e qui peut s exprimer sous forme d implication de propriétés : losange carré parallélogramme trapèze quadrilatère rectangle 1.6 Les autres polygones Pour les polygones à plus de quatre côtés, leur nom se construit en général avec un préfixe grec indiquant le nombre de côtés, suivi de gone. Par exemple : 5 côtés = pentagone 6 côtés = hexagone 8 côtés = octogone éfinition 1.48 n appelle diagonale d un polygone toute droite joignant deux sommets, distincte des côtés. Proposition 1.49 Un polygone convexe à n côtés possède n(n 3) diagonales.

13 13 Exemples : un triangle ne possède aucune diagonale, un quadrilatère en possède, un pentagone en possède Un pentagone et ses 5 diagonales n peut déterminer la somme des mesures des angles en fonction du nombre de côtés, en juxtaposant des triangles. Exercice : Montrer que la somme des mesures des angles d un polygone convexe à n côtés vaut (n )180 degrés. éfinition 1.50 Un polygone régulier à n côtés est un polygone ayant tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure. Exemples : pour n = 3, c est un triangle équilatéral, pour n = 4, c est un carré, un losange n est pas un polygone régulier. Proposition 1.51 Etant donnés un cercle de centre, un point 1 sur ce cercle, on peut construire un polygone régulier à n côtés, avec i i+1 = 360 degrés. Le point est appelé centre du polygone. n Il s agit de découper le cercle en n arcs égaux. Pour certaines valeurs de n, la construction peut se faire à la règle non graduée et au compas. Exemple : Pour n = 5, on a le pentagone régulier avec i i+1 = 7 degrés. Pour n = 6, on a l hexagone régulier avec i i+1 = 60 degrés. éfinition 1.5 ans un polygone régulier, on appelle apothème un segment, ou sa longueur, joignant le centre au milieu d un côté. omme longueur, l apothème est la hauteur des triangles isocèles i i+1 et 1 n. 3 H grandissement - Echelle Proposition 1.53 Si on agrandit ou représente une configuration du plan à une certaine échelle, c està-dire en multipliant toutes les longueurs par une constante k, sans changer les angles, alors on multiplie le périmètre de cette configuration par k et son aire par k.

14 onfigurations dans l espace 14 Une configuration ou figure géométrique de l espace est un ensemble de points, morceaux de courbes, de surfaces délimitées par des courbes ou de solides délimités par des surfaces. Les plans ou morceaux de plans sont des exemples de surfaces. ans l espace, on retrouve les configurations du plan. ans chaque plan, celles-ci retrouvent leurs propriétés. Pour les solides délimités par des surfaces, on aura à distinguer : leur volume leur aire latérale, définie par la somme des aires des surfaces les délimitant..1 roites et plans dans l espace xiome : par trois points distincts, il passe un plan et un seul. Soient M 1, M, M 3 trois points distincts, ils définissent un repère dans le plan associé ce plan peut se décrire de façon vectorielle : (M 1, M 1 M, M 1 M 3 ) P = {M M 1 M = λ M 1 M + µ M 1 M 3, λ, µ R} M 3 M 1 M Réciproquement, étant donné un plan P, toute donnée de trois points dans P définit un repère de P. n peut aussi l exprimer analytiquement : dans un repère (0, i, j, k ) de l espace, pour tout plan P, il existe des nombres réels, non tous nuls a, b, c, d tels que un point M de coordonnées (x, y, z) appartient à P si et seulement si ax+by+cz+d = 0. Proposition.1 Etant données deux droites 1 et, elles sont soit coplanaires et alors elles peuvent être parallèles sécantes soit non coplanaires Si les deux droites sont non coplanaires, elles ne sont ni sécantes ni parallèles. Proposition. Etant donnés un plan P 1 et un plan P, alors soit ils ont au moins trois points non alignés en commun, alors ils sont confondus soit ils se rencontrent et n ont pas trois points non alignés communs, alors ils ont exactement une droite commune, leur droite intersection, ils sont sécants. soit ils n ont aucun point commun, alors ils sont parallèles Proposition.3 eux plans sont parallèles si : deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. Proposition.4 Etant donnés une droite et un plan P alors soit a deux points communs avec P, alors est contenue dans P soit a un seul point commun avec P, alors n est pas contenue P et rencontre P, en leur point d intersection, ils sont sécants. soit ils n ont aucun point commun, alors et P sont parallèles.

15 Théorème.5 Théorème du toit Si on a : deux droites parallèles 1 et un plan P 1 contenant 1 un plan P contenant P 1 et P sécants suivant une droite 3 alors 3 est parallèle aux droites 1 et 15 3 P P1 1 Théorème.6 Théorème d incidence Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles éfinition.7 Etant donnés une droite 3 et un plan P contenant deux droites 1 et sécantes en. Si la droite 3 est perpendiculaire à 1 en la droite 3 est perpendiculaire à en alors on dit que la droite 3 est perpendiculaire à P en 3 1 P Proposition.8 Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan passant par. éfinition.9 Etant donnés une droite et deux droites 1 et parallèles, si est perpendiculaire à 1 en, on dit que est orthogonale à. Si est perpendiculaire à P en, alors est orthogonale à toutes les droites de P. Pour étudier les propriétés d une figure plane dans l espace, (par exemple un triangle), on l étudie dans le plan la contenant.. Les polyèdres éfinition.10 n appelle polyèdre une configuration de l espace constituée, selon le contexte, soit d un solide délimité par un nombre fini de surfaces planes polygonales, soit la réunion de ces surfaces planes. n appelle sommets du polyèdre les sommets des surfaces polygonales, arêtes les côtés de ces surfaces et faces les surfaces.

16 Selon le nombre de faces, ils se nomment par le préfixe grec traduisant ce nombre suivi de èdre : 4 faces = tétraèdre 6 faces = hexaèdre 8 faces = octaèdre... éfinition.11 Une diagonale d un polyèdre est une droite joignant deux sommets, non contenue dans une face..3 La pyramide, le cône éfinition.1 Une pyramide est un polyèdre obtenu à partir d un polygone convexe 1... n contenu dans un plan P et d un point S n appartenant pas à P, comme réunion des triangles S i i+1, i {1,..., n}, S n 1 et du polygone (appelé base de la pyramide) 16 S S H H Pyramide a base triangulaire a base quadrilaterale Proposition.13 Si une pyramide est définie par un polygone à n côtés, elle possède n + 1 sommets, n + 1 faces, n arêtes et aucune diagonale. Exemple : une pyramide à base triangulaire est un tétraèdre. éfinition.14 Etant donnés une courbe fermée dans un plan P et un point S en dehors de P, un cône est le solide délimité par le plan P et tous les segments [SM] où M est un point de. La surface délimitée par est la base du cône. Exemple : Une pyramide est un cône où est le polygone de base. Si est un cercle de centre, on a un cône circulaire. Si, de plus, S est sur la perpendiculaire au plan P en, on a un cône de révolution. S S H H= éfinition.15 n appelle hauteur d une pyramide ou d un cône la longueur de [SH], où H est le point d intersection de la perpendiculaire au plan P passant par le sommet S. Proposition.16 Le volume d une pyramide ou d un cône est h, où est l aire de la base et h la 3 hauteur. Exemple : le volume d un cône circulaire de hauteur h dont la base est un cercle de rayon R est πr h. 3

17 .4 Le prisme, le cylindre éfinition.17 n considère deux polygones convexes 1... n, et 1... n, contenus chacun dans un plan, tels que les vecteurs i i, i {1,..., n} soient tous égaux, ( le second polygone est le translaté du premier par le vecteur 1 1 et les plans des deux polygones sont parallèles). Un prisme est un polyèdre obtenu à partir de deux polygones comme ci-dessus et des n parallélogrammes s appuyant sur leurs côtés. Les polygones sont appelés les bases du prisme n distingue le prisme droit si les vecteurs i i sont perpendiculaires à la base, sinon il est dit oblique. Exemple 1 : le prisme à base triangulaire Exemple : un prisme à base parallélogramme s appelle un parallélépipède. Proposition.18 Si un prisme est défini par un polygone à n côtés, il possède n sommets, n+ faces, 3n arêtes et n(n 3) diagonales. Proposition.19 Un parallélépipède a 6 faces parallèles deux à deux. Il peut être défini comme un prisme de trois façons différentes. n peut y définir quatre diagonales 1 3, 4, 3 1, 4, elles se coupent en un même point et en leur milieu as particulier : un parallélépipède dont toutes les faces sont des rectangles est appelé parallélépipède rectangle ou pavé. Si toutes les arêtes sont égales, on obtient le cube. éfinition.0 Soient deux plans parallèles P 1 et P, une courbe fermée dans P 1 délimitant une surface S et une droite non contenue dans P 1. n appelle cylindre de base S et d axe le solide délimité par les deux plans et toutes les droites parallèles à passant par les points de. Exemples : Un prisme est un cylindre où la courbe est un polygone. Si la courbe est un cercle, on obtient le cylindre usuel.

18 18 1 H1 H 1H1 = H est la hauteur du cylindre éfinition.1 La hauteur d un prisme ou d un cylindre est la distance entre les deux plans parallèles de ses bases. La hauteur est donnée par la longueur du segment déterminé par les deux plans parallèles de ses bases sur leur perpendiculaire commune. Si est perpendiculaire aux plans des bases, on dit que le prisme ou le cylindre est droit et la hauteur est déterminée sur. Proposition. Le volume d un prisme ou d un cylindre est h, où est l aire de la base et h la hauteur. as particuliers : un parallélépipède rectangle dont les longueurs des arêtes sont L, l, h, a pour volume : L l h, si c est un cube d arête a, son volume est a 3. Si la base du cylindre est un cercle de rayon R, son volume est πr h..5 La sphère éfinition.3 n appelle sphère de centre et de rayon R l ensemble des points M vérifiant d(, M) = M = R, le diamètre = R. Proposition.4 Le volume d une sphère de rayon R est 4πR 3 3 = π3 6 L aire latérale d une sphère est 4πR. R R Sphere de rayon R.6 grandissement - Echelle Proposition.5 Si on agrandit ou représente une configuration de l espace à une certaine échelle, c est-à-dire en multipliant toutes les longueurs par une constante k, sans changer les angles, alors on multiplie le volume de cette configuration par k 3.

19 19 Pour approfondir certains points, il est conseillé de consulter des livres de niveau collège et de classe de seconde. Références [lsace] IUFM d lsace, dmission en 1ère année, 1er degré 1994 [nnales] nnales corrigées des QM d admission en 1re année d IUFM, 000, G. arussaud et T. Marquetty, Editeur Foucher. [quitaine] IUFM d quitaine. Epreuve préalable d admission, préparation au concours P.E [quitaine 003] IUFM d quitaine. Epreuve préalable d admission, préparation au concours P.E [quitaine 004] IUFM d quitaine. Epreuve préalable d admission, préparation au concours P.E [es] IUFM de esançon [lermont-ferrand] Tests d admission à l IUFM de lermont-ferrand [NE] Les ahiers mathématiques du NE, iagonales n 0 et n 0 3. [] oncours de ontroleur de la concurrence de la consommation et de répression des fraudes 1998 [Limousin 001] IUFM du Limousin, Tests d entrée pour le professorat des écoles [Loire] IUFM des Pays de Loire 1994 [Loire 001] IUFM des pays de Loire. dmission professorat des écoles [Loire 00] IUFM des pays de Loire. dmission professorat des écoles - 00 [Loire 004] IUFM des pays de Loire. dmission professorat des écoles [Lyon 001] IUFM de l académie de Lyon. Préparation au concours professorat des écoles [Lyon 00] IUFM de l académie de Lyon. Préparation au concours professorat des écoles - 00 [Nathan] Tansmath 1998 Livres de terminales, spécialité maths (chapitres d arithmétique) [rléans-tours 001] IUFM rléans-tours, dmission P.E. 001 [rléans-tours 00] IUFM rléans-tours, dmission P.E. 00 [rléans-tours 004] IUFM rléans-tours, dmission P.E. 004 [Poitiers] IUFM de l cadémie de Poitiers. [Prop] La proportionnalité et ses problèmes. uteurs :. oisnard, J. Houdebine, J. Julo, M-P Kerbœuf, M. Merri. Hachette. [Rennes 1995] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E [Rennes 1996] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E [Rennes 1997] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E [Rennes 1998] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E [Rennes 1999] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E [Rennes 000] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E. 000 [Rennes 001] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E. 001 [Rennes 00] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E. 00 [Rennes 003] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E. 003 [Rennes 004] IUFM- retagne dmission en 1ère année, Filière P.E. 004 [Tangente] Tangente n , 1997 p.60 [Tangrith] Secrets de Nombres, Tangente Hors série n 0 6 ; Editions rchimède,1998. [TangGeo] Géométrie au ac, Tangente Hors série n 0 8; Editions rchimède,1999. [Terracher] Enseignement de spécialité terminale S, collection Terracher, Hachette [car] http ://carredas.free.fr/