Topologie I. École Polytechnique Fédérale de Lausanne. Polycopié Professeur : Kathryn Hess. Auteur : Christophe Paillard

Transcription

1 École Polytechnique Fédérale de Lausanne Polycopié 2014 Topologie I Auteur : Christophe Paillard Professeur : Kathryn Hess christophe.paillard@epfl.ch 23 décembre 2014

2 Résumé Ce polycopié reprend le cours de topologie de deuxième année de mathémathiques à l EPFL. Il aborde en détail la notion de topologie, d espaces métriques, d espaces connexes et connexes par arcs. Table des matières 1 Quelques rappels de la théorie des ensembles Introduction Définitions de base et propriétés Généralisation aux collections d ensembles Relations et Ordres Applications entre ensembles Espaces topologiques et applications continues Topologie, base et sous-base Espaces métriques Autour de la notion de fermé Adhérence et points limites Espaces de Hausdorff Suites convergentes dans des espaces topologiques Applications continues Homéomorphismes Sous-espaces topologiques Espaces produit Préliminaires sur les produits cartésiens Application à la topologie Produit cartésien bis Généralisation aux produits quelconques Métrisabilité de produits (même infinis) Espaces connexes et espaces compacts Espaces connexes Connexité et sous-espaces Espaces connexes par arcs Composantes connexes (par arcs) Cas connexe Cas connexe par arcs Connexité (par arcs) locale

3 1 Quelques rappels de la théorie des ensembles 1.1 Introduction La topologie est l étude des propriétés qualitatives non métriques d objets géométriques. Nous nous posons alors deux questions comme base. Tout d abord quelles propriétés d objets sous déformation continue nous intéressent mais également comment donner un sens à la notion de continuité dans un cadre plus générale? Afin de mettre des images sur les mots donnons quelques exemples d objets géométriques. Nous connaissons par exemple les surfaces tout comme les courbes les volumes ou plus généralement R n. Avant de revenir à la notion de continuité, faisons quelques rappels. 1.2 Définitions de base et propriétés Commençons par la base de la théorie des ensembles. Définition 1.1 (Relations d ensembles). Soit A et B des ensembles. Nous avons alors les définitions suivantes. Réunion : A B = {a a A ou a B}, Intersection : A B = {a a A et a B}, Complémentaire : Si B A, A \ B = {a A a / B}, Produit cartésien : A B = {(a, b) a A, b B}. Après avoir défini ces relations d ensembles, nous pouvons facilement montrer les quelques propriétés suivantes. Propriétés 1.1. Soit A, B, C des ensembles, Distributivité de la réunion : A (B C) = (A B) (A C), Distributivité de l intersection : A (B C) = (A B) (A C), Lois de Morgan : Si B, C A, alors a) A\(B C) = (A\B) (A\C), b) A\(B C) = (A\B) (A\C). Démonstration. Par exemple pour la preuve b) des lois de Morgan nous avons x A\(B C) x A et x / (B C) x A et (x / B et x / C) (x A et x / B) et (x A et x / C) x A\B et x A\C x (A\B) (A\C). Les autres preuves se montrent de la même manière Généralisation aux collections d ensembles Nous pouvons maintenant généraliser ces concepts et leurs propriétés aux collections d ensembles. Prenons déjà quelques exemples de collections pour illustrer le concept. Soit A une collection d ensembles. Exemple 1.1. Il existe des collections finies ou infinies. 1. A = {A, B, C} où A, B, C sont des ensembles. 2. A = {{1,..., n} n 1}, collection finie d ensembles. 3. A = {[n, n + 1] n Z}, collection de sous-ensembles de R. 2

4 Il existe une collection plus importante que les autres que nous utiliserons régulièrement par la suite et que nous définissons maintenant. Définition 1.2 (Collection des parties d un ensemble). Soit A un ensemble. La collection des parties de A est définie comme suit P(A) = {B B A}. Par exemple, si A = {1, 2, 3} alors sa collection des parties est P(A) = {, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Remarque 1.1. Soit X un ensemble. Alors pour tout X, nous avons toujours, X P(X). Nous pouvons maintenant généraliser la notion de réunion et d intersection. Définition 1.3. Soit A une collection d ensemble, alors La réunion : A A A = {a A A tq a A}, L intersection : A A A = {a a A, A A}. Précédemment nous avons introduit le symbole de l ensemble vide. Il est important de décrire quelques propriétés de cet ensemble. Propriétés 1.2. Nous avons les propriétés suivantes 1. A = A, 2. A =, 3. A\ = A, 4. A\A =, 5. A =. Toutefois pour une collection d ensemble A =, remarquons que 6. A A A =, 7. A A A n est pas définie! Les collections d ensembles vérifient toujours les propriétés d ensembles. Propriétés 1.3. Nous avons donc les six règles suivantes. 1. Réunion : A B B B = B B (A B), 2. Intersection : A B B B = B B (A B), 3. Complémentaire : A\ B B B = B B (A\B), 4. Complémentaire bis : A\ B B B = B B (A\B), 5. Produit cartésien : A B B B = B B (A B), 6. Produit cartésien bis : A B B B = B B (A B). 1.3 Relations et Ordres Dans cette section, nous allons développer la notion de relation, plus particulièrement de relation d équivalence et d ordre strict ou total. Commençons tout d abord avec les relations. Définition 1.4 (Relation). Une relation entre deux ensembles X et Y est un sous-ensemble R X Y = {(x, y) x X, y Y }. Notation : R X Y xry ou x R y si (x, y) R. Si R X X, alors R est une relation sur X. 3

5 Exemple 1.2. Soit X = { étudiants de l EPFL } et Y = { section de l EPFL }. Nous pouvons définir la relation R = {(x, y) x appartient à la section y} X Y. Dans ce cours on va surtout s intéresser aux relations d ordre. Définition 1.5 (Ordre strict et total). Soit R une relation sur un ensemble X. Alors R est un ordre strict si on a 1. Non-réflexivité : (x, x) / R, x X, 2. Transitivité : (x, y), (y, z) R (x, z) R. Si de plus on la condition suivante 3. x y x < y ou y < x, i.e (x, y) R ou (y, x) R alors l ordre est aussi total. Une relation d ordre qui est stricte et totale est appelé un ensemble linéairement ou simplement ordonné (l ensemble (X, <)). Notation : Si R est un ordre strict, on la note <, et donc si (x, y) R, alors x < y. Exemple ) (R, <) est linéairement ordonné. 2) Soit X un ensemble et P(X) munie de la relation R = {(A, B) P(X) P(X) A B} P(X) P(X). Alors il est facile de voir que cet ensemble est strictement ordonné mais qu il n est pas un ordre total si X 2 (les singletons ne sont pas inclus l un dans l autre). Une autre relation très importante est la relation d équivalence. Définition 1.6 (Relation d équivalence). Soit X un ensemble. Une relation R X X est une relation d équivalence si on a 1. Réflexivité : (x, x) R, x X, 2. Symétrie : (x, y) R (y, x) R, 3. Transitivité : (x, y), (y, z) R (x, z) R. Exemple 1.4. Prenons X = Z et R = {(m, n) Z Z 2 m n}. Alors (m, m) R, m car m m = 0 qui est divisible par deux. (m, n) R (n, m) R car 2 m n 2 n m. (m, n), (n, p) R a, b Z tq m n = 2a, n p = 2b, d où m p = (m n) + (n p) = 2(a + b) et donc (m, p) R. Nous pouvons maintenant définir une autre notion liée à cette relation, la classe d équivalence. Définition 1.7 (Classe d équivalence). Soit R une relation d équivalence sur X. Soit x X. La classe d équivalence de X est [x] = {x X (x, x ) R}. Notation : On note l ensemble des classes d équivalences X/ R = {A P(X) x X tq A = [x]}. Terminologie : Lorsqu on a A = [x], x est appelé un représentant de la classe d équivalence A. Remarque 1.2. Attention, si l on a [x] = [x ], ce n est pas pour autant que x = x. 4

6 Exemple 1.5. Si nous reprenons l exemple précédent, les classes d équivalences de la relation R sur Z sont P = {n Z 2 divise n} et I = {n Z 2 ne divise pas n}. Nous avons alors P = [0] = [2346] = [ 324] et I = [3] = [741] = [ 13]. Observez que Z = P I et P I =. Proposition 1.1. Soit R une relation d équivalence sur X. Soient x, x X. Si [x] [x ], alors [x] = [x ]. Démonstration. Nous avons [x] [x ] x X tq x [x], x [x ], x X tq x R x tq x R x. Soit y [x], i.e., x R y. Montrons que y [x ]. On a y R x par symétrie, y R x par transitivité, mais x R x par symétrie, donc y R x par transitivité. Ainsi nous avons montré que y [x ] et donc que [x] [x ]. Par un argument semblable nous montrons l inclusion inverse et la preuve est ainsi finie. 1.4 Applications entre ensembles Nous allons dans cette section définir quelques notions d applications essentielles. Définition 1.8 (Application). Soient X, Y des ensembles. Une relation R X Y est une application (ou fonction) de X vers Y si x X,! y Y tq (x, y) R. Notation : f R : X Y : x y. Si f est une application, on notera la relation associée R f = {(x, f(x)) x X} X Y. Nous faisons également un rappel sur la notion d injectivité, de surjectivité et de bijectivité. Définition 1.9 (Bijectivité). Une application f : X Y est dite 1. injective si f(x) = f(x ) x = x, 2. surjective si y Y, x X tq f(x) = y, 3. bijective si elle est injective et surjective. Terminologie : Soit f : X Y une application. X est appelé le domaine de f et Y le codomaine de f. Deux autres notions cruciales de la théorie des ensembles sont celle d image et de préimage. 5

7 Définition 1.10 (Image et pré-image). Soit f : X Y une application. Soit A X et B Y. L image de A sous f est f(a) = {y Y a A tq f(a) = y} = {f(a) a A} Y. La pré-image de B sous f est f 1 (B) = {x X f(x) B} X. Cas particulier : L image de f est Im(f) = f(x). Attention, nous pouvons avoir un conflit de notation. Si f : X Y est une application bijective, il existe une application inverse f 1 : Y X : y x (l unique x X tq f(x) = y) qui satisfait f f 1 = Id Y et f 1 f = Id X. C est la même notation que pour la pré-image, mais ce n est pas trop grave. En effet si f : X Y est bijective et B Y, alors l image de B sous f 1 est la pré-image de B sous f. Finalement il nous reste la définition suivante. Définition 1.11 (Restriction et corestriction). Soit f : X Y une application. Soit A X et Im(f) B. La restriction de f à A est l application dont la relation associée est f A : A Y {(a, y) a A et (a, y) R} = {(a, f(a)) a A}. La corestriction de f à B est l application dont la relation associée est f B : X B {(x, f(x)) x X} X B. Remarque 1.3. Pour toute application f : X Y la relation associée vérifie R f X Im(f). 6

8 2 Espaces topologiques et applications continues Le but de cette section est d axiomatiser la notion de continuité. On va étudier des applications donc le domaine et le codomaine peuvent être différents de R n. Nos objets d études seront des espaces topologiques, qui sont des ensembles munis d une structure supplémentaire, par rapport à laquelle on définit la continuité. On peut faire une analogie avec l algèbre et les espaces vectoriels, qui sont également des ensembles munis d une structure supplémentaire et d une application linéaire (application qui préserve la structure supplémentaire d un espace vectoriel). Il est également intéressant de voir que nous avons de nombreux liens entre la topologie et d autres domaines passablement variés. En effet nous pouvons retrouver de la topologie en analyse ou géométrie bien sûr mais également en informatique, robotique ou statistique (analyse topologique des données). 2.1 Topologie, base et sous-base Dans cette section nous commencerons par décrire ce qu est une topologie et donnerons quelques exemples. Ensuite nous montrerons de quelle manière nous pouvons comparer deux topologies. Finalement nous décrirons la notion de topologie engendrée, de base et de sousbase. Mais avant cela quelle est la motivation derrière la notion de topologie? Rappelons quelques définitions de continuité découvertes en première année et équivalentes. Définition 2.1 (Continuité). Une application f : R R est continue en x si De manière équivalente, on peut dire que ou encore, ɛ > 0, δ > 0 tel que x y f(x) f(y) < ɛ. x R, ɛ > 0, δ > 0 tel que f(]x δ, x + δ[) ]f(x) ɛ, f(x) + ɛ[ x R, ɛ > 0, δ > 0 tel que ]x δ, x + δ[ f 1 (]f(x) ɛ, f(x) + ɛ[). On voit donc que la notion d intervalle ouvert est la clé de la définition de la continuité. Ainsi la généralisation de la notion d ouvert est au coeur de la topologie. Pour la suite de ce cours, l approche de la topologie sera essentiellement axiomatique basée sur la notion d ouverts et guidée par des exemples concrets tel que R n. Définition 2.2 (Topologie). Soit X un ensemble. Une topologie sur X est une collection T P(X) qui vérifie T 1 ), X T, T 2 ) Toute réunion d éléments de T est aussi dans T, i.e., A T, A T. A A T 3 ) Toute intersection finie d éléments de T est aussi dans T, i.e., {A 1,..., A n } T, n A i T. i=1 Le couple (X, T ) est alors un espace topologique. Si T est une topologie sur X, alors les éléments de T sont les ouverts de l espace topologique (X, T ). 7

9 Remarque 2.1. Les ouverts sont définis comme étant les éléments de T et nous verrons par la suite que les ouverts que l on connaît respectent bien cette définition. Ainsi les intervalles ouverts dans R n sont bien des éléments d une topologie. Notation : U, V, W T. Exemple 2.1. Les deux premiers exemples sont particulièrement importants et reviendront tout le long du cours. 0) La topologie grossière (ou triviale) sur un ensemble X C est une topologie car T 1 ) évident, T 2 ) X = X, donc ok, T 3 ) X =, donc ok. T gr = {, X}. L espace topologique formé par cette topologie est alors (X, T gr ). ) Soit X un ensemble quelconque. La topologie discrète sur X est T disc = P(X). C est bien une topologie sur X car T 1 ), X P(X), car, X X, donc ok, T 2 ) Toute réunion de sous-ensemble de X est un sous-ensemble de X, donc ok, T 3 ) Toute intersection de sous-ensemble de X est un sous-ensemble de X, donc ok. Dans ce cas, l espace topologique est appelé espace discret et se note (X, T disc ). Remarque 2.2. Si X 2, alors T gr T disc car si x 1 x 2 X, alors {x 1 }, {x 2 } T disc, mais {x 1 }, {x 2 } / T gr. 1) Soit X = {x, y}. Dans ce cas-là, Mais on a aussi T gr = {, {x, y}} et T disc = {, {x}, {y}, {x, y}}. T x = {, {x}, {x, y}} et T y = {, {y}, {x, y}} On peut remarquer que T gr T x, T y T disc mais que T x et T y sont incomparables. 2) Finalement, un exemple d une non-topologie sur X = {x, y, z}. Poser A 1 = {, {x, y}, {y, z}, X} P(X). Alors T 1 ) et T 2 ) sont respectés mais {x, y} {y, z} = {y} / A 1 donc T 3 ) n est pas respecté. De même si on avait A 2 = {, {x}, {y}, X} alors T 1 ) et T 3 ) sont respectés mais {x} {y} = {x, y} / A 2 et donc T 2 ) n est pas vérifié. Ainsi A 1 et A 2 ne sont pas des topologies sur X. Terminologie : (Comparaison de topologie) Soient T, T deux topologies sur X. Si T T, alors T est plus fine que T (ou T plus grossière que T ). Si T T et T T alors T et T sont incomparables. Remarque 2.3. Soit (X, T ) un espace topologique. Alors T gr T par T 1 ) et T T disc car T P(X) par la définition d une topologie. Question : Comment décrire une topologie sur X sans donner la liste de tous ces éléments? Première réponse : On l a décrit par une base de topologie. En effet, par analogie avec la notion de base d algèbre linéaire, il existe également une notion de base pour une topologie qui permet de spécifier un espace topologique sans donner explicitement tous ces ouverts. 8

10 Figure 1 Deuxième axiome de la base. Définition 2.3 (Base de topologie). Soit X un ensemble. Une base de topologie sur X est une collection des parties de X, B P(X) qui vérifie B 1 ) x X, B B tq x B ( X = B B B). B 2 ) B 1, B 2 B, x B 1 B 2, B 3 B tq x B 3 B 1 B 2. Remarque 2.4. Si T est une topologie sur X, alors T est aussi une base de topologie. En effet, nous avons B 1 ) Puisque X T par T 1 ) on peut prendre B = X, x X. Cet axiome est donc trivialement vrai. B 2 ) Soient B 1, B 2 T. Alors B 3 = B 1 B 2. B 1 B 2 T par T 3 ), donc x B 1 B 2 on peut poser Maintenant que la notion de base est définie nous pouvons introduire la notion de topologie engendrée. Définition 2.4 (Topologie engendrée). Soit B une base de la topologie sur un ensemble X. La topologie engendrée par B est T B = {U P(X) x U, B B tq x B U}. Définie de cette manière nous pouvons vérifier que c est effectivement bien une topologie. Lemme 2.1. Si B est une base de la topologie sur un ensemble X, alors T B est bien une topologie sur X. Démonstration. Vérifions les trois axiomes de la topologie. T 1 ) T B car la condition x, B B tq x B est trivialement vérifié car l ensemble vide ne contient aucun x. X T B car la condition x X, B B tq x B X est exactement l axiome B 1 ) (car B X, B B, puisque B P(X)). T 2 ) Soit A T B. On veut voir que U A U T B. Soit x U A U. Alors U A tq x U. Puisque U A T B, B B tq x B U U A U. Ainsi la condition est vérifié et T 2 ) également. x U A U, B B tq x B U A U 9

11 T 3 ) Il suffit de montrer que U 1, U 2 T B U 1 U 2 T B, car on peut conclure alors par récurrence que toute intersection finie d éléments de T B est dans T B. Soit x U 1 U 2. Alors x U 1, x U 2. Puisque U 1, U 2 T B, B 1, B 2 B tq x B 1 U 1 et x B 2 U 2 et donc x B 1 B 2. Par l axiome B 2 ), B 3 B tq x B 3 B 1 B 2 U 1 U 2. Ainsi la condition est vérifiée, d où U 1 U 2 T B. x U 1 U 2, B B tq x B U 1 U 2 Remarque 2.5. a) B T B. En effet, si B B, x B, B B tq x B. b) B B bases de topologie T B T B car puisque l on peut poser B = B. x U, B B tq x B U x U, B B tq x B B U c) Si T est une topologie sur X, vue comme une base de topologie, alors T T = T. Explication : T T = {U P(X) x U, V T tq x V U}. Par la remarque a) T T T. Il nous reste alors à montrer l inclusion suivante T T T. Soit U T T. x U, V x T tq x V x U. Alors U = x U V x, car ( ) V x U, x U x U V x U ( ) x U, x V x x U V x, donc U x U V x. Par T 2 ), x X V x T, car V x T, x X. Donc U T, U T T Motivés par cette exemple, on a une description équivalente de T B. Lemme 2.2. Soit B une base de topologie sur X. Alors T B = { B A B A B},i.e. la collection de toutes les réunions possibles d éléments de B. Démonstration. ( ) Puisque B T B et T B vérifie l axiome T 2 ), toute réunion d éléments de B appartient à T B. ( ) Soit U T B. Alors x U, B x B tq x B x U. Par conséquent, x U B x U car B x U, x U. U x U B x car x B x, x U. et donc nous avons U = x U B x. Ainsi U { B A B A B}. Exemple ) Soit X un ensemble. Si B = {X}, alors T B = T gr. Explication : Les seules sous-collections de {X} sont {X} et. Or si A = {X} alors A A A = X et si A =, alors A A =. ) Soit X un ensemble et T disc = P(X). Posons B = { {x} x X }. Alors B est une base de topologie car B 1 ) x {x}, x X, 10

12 Figure 2 Illustration du lemme de comparaison des bases. B 2 ) Soient {x 1 }, {x 2 } B. Alors soit x 1 = x 2 et donc {x 1 } {x 2 } = {x 1 } B. Sinon {x 1 } {x 2 } =. Dans les deux cas, B 2 ) est vérifié. Par ailleurs, observons que T disc = T B. T B P(X) T disc, A P(X), A = x A {x} T B. Remarque 2.6. Si X 2, alors B T disc. Par conséquent, on voit que si B, B sont des bases de topologie, T B = T B B = B, car pour la base B de cet exemple, on a T B = T disc = T Tdisc et B = T disc si X La topologie standard sur R Posons B st = { ]a, b[ a < b R} P(R). Vérifions que B st est bien une base de topologie. B 1 ) x R, si ɛ > 0, alors x ]x ɛ, x + ɛ[ B st. B 2 ) Soient ]a 1, b 1 [, ]a 2, b 2 [ B st. Nous avons alors plusieurs cas. Cas 1 : b 1 < a 2, il n y a alors rien à vérifier l intersection étant vide. Cas 2 : a 1 < a 2 < b 1 < b 2 ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ = ]a 2, b 1 [ B st Cas 3 : a 1 < a 2 < b 2 < b 1 ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ = ]a 2, b 2 [ B st Etc. Après avoir traité tous les cas, on voit que soit ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ = soit ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ B st et donc B 2 ) est vérifiée. Notation : T st = T Bst = la topologie standard sur R, donc les ouverts de T st sont toutes les réunions d intervalles ouverts. Question : Etant donné deux bases de topologie B, B de X, comment déterminer quand T B et T B sont comparables? Lemme 2.3 (Lemme de comparaison de bases). Soit X un ensemble et B, B deux bases de topologie sur X. Alors T B T B B B, x X, B B tel que x B B. Démonstration. Puisque B T B, si T B T B, alors B T B. En particulier, B B, x B, B B tq x B B, par la définition de T B appliquée à B. Soit U T B. Alors A B tq U = A A A. Puisque A B si A A, alors x A, B x B tq x B x A. On en conclut que A = x A B x T B, et donc U T B par T 2 ). 11

13 Figure 3 Preuve de la double inclusion. Exemple 2.3. Prenons X = R n, B = {B(x, r) x R n, r > 0} et B = { ]a 1, b 1 [,..., ]a n, b n [ a 1 < b 1,..., a n < b n R} R n. Affirmation : T B = T B. "Preuve" par dessin avec n = 2. La première figure représente T B T B et la seconde T B T B. Remarque 2.7. Puisque toute base de topologie est contenue dans la topologie qu elle engendre, étant donné un espace topologique (X, T ), si B P(X) engendre T (i.e. T = T B ) alors B T. Question : Comment trouver une base de topologie pour une topologie donnée? Lemme 2.4 (Lemme de test de base). Soit (X, T ) un espace topologique. Une sous-collection C T est une base de topologie tel que T C = T si Démonstration. U T, x U, C C tq x C U (1) C est une base de topologie. B 1 ) X T par T 1 ), donc on peut appliquer (1) à U = X, d où x X, C C tq x C X. B 2 ) Soient C 1, C 2 C. Puisque C T, on a que C 1 C 2 T par T 3 ). Appliquons (1) à C 1 C 2 x C 1 C 2, C 3 C tq x C 3 C 1 C 2. Et donc C est bien une base de topologie. Puisque C T, on a que T C T T = T. Il reste à voir que T T C. Soit U T. Appliquons (1) à U. x U, C x C tq x C x U. Par conséquent, U = x U C x T C T T C. Ainsi, on a T = T C. Simplifions encore notre façon de spécifier une topologie. Définition 2.5 (Sous-base). Soit X un ensemble. Une sous-base de topologie sur X est une collection S P(X) telle que Autrement dit, S S S = X. S 1 ) x X, S S tq x S Remarque 2.8. Puisque S 1 ) = B 1 ), toute base de topologie est une sous-base de topologie. Par contre, il existe des sous-bases de topologie qui ne sont pas des bases. 12

14 Définition 2.6. La base engendrée par une sous-base S P(X) est B S = {S 1... S n S i S, 1 i n, n 1}. C est la collection de toutes les intersections finies d éléments de S. Lemme 2.5. B S est bien une base de topologie. Démonstration. B 1 ) Puisque B 1 ) = S 1 ) et S 1 ) est vérifiée par S, B 1 ) est aussi vérifiée par B S, car S B S. B 2 ) Soient B 1, B 2 B S. Alors S 1,..., S m, S 1,..., S n S, tq B 1 = S 1... S m et B 2 = S 1... S n. Donc B 1 B 2 = S 1... S m S 1... S n B S. Par conséquent, B 2 ) est vérifié, car on peut toujours poser B 3 = B 1 B 2. Notation : T S = T BS est la topologie engendrée par la sous-base S. 13

15 2.2 Espaces métriques Idée : On veut construire une topologie sur un ensemble X à partir d une notion de distance entre deux points. Prenons l exemple suivant comme motivation. Exemple 2.4. R n avec T st,n = T B, où B = {B(x, r) x R n, r > 0}. Définition 2.7 (Métrique). Soit X un ensemble. Une métrique sur X est une application d : X X R telle que les axiomes suivants soient vérifiés. M 1 ) Positivité : d(x, y) 0, x, y X et d(x, y) = 0 x = y, M 2 ) Symétrie : d(x, y) = d(y, x), x, y X, M 3 ) Inégalité du triangle : d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z X. Définition 2.8 (Boule). Soit X un ensemble muni d une métrique. Soient x X, r > 0. Alors on définit la boule ouverte de rayon r autour de x comme suit La base de topologie associée à d est B d (x, r) = {y X d(x, y) < r} X. B d = {B d (x, r) x X, r > 0}. Lemme 2.6. B d est bien une base de topologie. Démonstration. B 1 ) Soit x X, soit r > 0. Alors x B d (x, r), car d(x, x) = 0 < r. B 2 ) Soient B d (x 1, r 1 ), B d (x 2, r 2 ) B d. Soit y B d (x 1, r 1 ) B d (x 2, r 2 ). Alors d(x 1, y) < r 1, d(x 2, y) < r 2. Posons r 3 = min{r 1 d(x 1, y), r 2 d(x 2, y)}. Dans ce cas, B d (y, r 3 ) B d (x 1, r 1 ) B d (x 2, r 2 ). En effet prenons z B d (y, r 3 ) et donc d(z, y) < r 3, d où d(x 1, z) d(x 1, y) + d(y, z) < r 1. De la même manière, nous obtenons que d(x 2, z) < r 2. Finalement nous avons bien y B d (y, r 3 ) B d (x 1, r 1 ) B d (x 2, r 2 ). Notation : T d = T Bd est la topologie métrique associée à d. Définition 2.9 (Métrisable). Si d est une métrique sur X, alors (X, T d ) est un espace métrique. Un espace topologique (X, T ) est métrisable s il existe une métrique d sur X telle que T = T d. Remarque 2.9. Un espace métrisable est un espace tel qu on sait qu il existe une métrique tandis qu un espace métrique est un espace muni d une métrique choisie. Lemme 2.7 (Caractérisation de la topologie métrique). Soit X un ensemble muni d une métrique d. Alors T d = {U P(X) x U, r > 0 tq x B d (x, r) U}. Démonstration. On écrit T pour le côté droit de l égalité ci-dessus. T T d car U T, x U, r x > 0 tq B d (x, r x ) U, d où par l argument habituel, U = x U B d(x, r x ) T d. T d T car si U T d, alors x U, B d (y, r) tq x B d (y, r) U. Poser r = r d(y, x). Alors B d (x, r ) B d (y, r) car d(x, z) < r d(y, z) d(y, x) + d(x, z) < r. Donc on a x B d (x, r ) B d (y, r) U, d où T d T. 14

16 Exemple ) Soit X un ensemble. Il n existe pas de métrique d sur X ( X 2) tel que T d = T gr. Explication : Soit d une métrique sur X. Soient x, x X tel que x x. Alors d(x, x ) <. Soit r ]0, d(x, x )[. Alors x B d (x, r), mais x / B d (x, r). Donc B d (x, r) / T gr car B d (x, r) et B d (x, r) X. ) Soit X un ensemble tel que X 2. Alors il existe une infinité (non-dénombrable) de métriques d sur X tel que T d = T disc (donc en particuliert d = T d d = d ). Soit a R, a > 0. On définit d a : X X R par { d a (x, x 0 si x = x, ) := a si x x. On vérifie facilement les axiomes de la métrique (mini-exo). Alors x X, r > 0, { {x} si r a, B d (x, r) = X si r > a. Donc {{x} x X} B da, d où T da = T Bda = T disc, car T disc = T {{x} x X}. 1) X = {x, y}, T x = {, X, {x}}. Alors il n existe pas de métrique d sur X telle que T d = T x. Explication : Soit d une métrique sur X. Alors r ]0, d(x, y)[, et B d (y, r) = {y}, mais {y} / T x. 2) Si d : R n R n R est la métrique euclidienne d euc (x, y) := ( n i=1 (x i y i ) 2) 1/2, alors T deuc = T st,n. 3) La métrique carrée sur R n, ρ : R n R n R est définie par ρ(x, y) = max 1 i n { x i y i }. Alors ρ est bien une métrique et B ρ (x, r) = ]x 1 r, x 1 + r[... ]x n r, x n + r[ est un hypercube. Or on a la même relation entre B ρ et B deuc que sur la figure 3. Donc T ρ = T st,n par le lemme de comparaison de bases. Lemme 2.8 (Comparaison de métriques). Soit X un ensemble muni de deux métriques d, d. Alors nous avons T d T d x X, r > 0, x B d (x, r), r > 0 tq B d (x, r ) B d (x, r). Démonstration. On utilise le lemme de comparaison de bases, B B d, x B, B B d tq x B B. En particulier pour B = B d (x, r), B d (x, s ) B d on a vu que tq x B d (x, s ) B d (x, r). Or x B d (x, s ) r > 0 tq x B d (x, r ) B d (x, s ). Donc x B d (x, r ) B d (x, r). Pour appliquer le lemme de comparaison et conclure que T d T d, il faut montrer que B B d, x B, B B d tq x B B. Autrement dit, il faut montrer que x X, r > 0, x B d (x, r), B d (y, s) B d tq x B d (y, s) B d (x, r). (2) 15

17 Or x B d (x, r) r > 0 tq B d (x, r ) B d (x, r). Par hypothèse, r > 0 tq B d (x, r ) B d (x, r ). Par conséquent, x B d (x, r ) B d (x, r ) B d (x, r). On peut donc poser y = x, s = r et satisfaire à (2). Ainsi T d T d. Question : Quels espaces topologiques sont métrisables? Il s avère que si (X, T ) est métrisable, alors il existe des métriques bornées d ( M R tq d(x, y) M, x, y X) telle que T = T d. Lemme 2.9. Soit d une métrique sur X. Soit M R 0. Alors l application d M : X X R, définie par { d M (x, x d(x, x ) si d(x, x ) M, ) = M si d(x, x ) > M. est une métrique et T d = T dm. Démonstration. La vérification que d M est bien une métrique est laissée en exercice. Observons que { B d (x, r) si r M, x X, r > 0, B dm (x, r) = X si r > M. Par conséquent, il est évident que T dm T d. Pour voir que T d T dm, on applique le lemme de comparaison de métriques. Soient x X, r > 0, x B d (x, r). Posons r = min{r d(x, x ), M}. Alors B dm (x, r ) = B d (x, r ) B d (x, r), et donc la condition est vérifiée, d où T d T dm. 16

18 2.3 Autour de la notion de fermé Motivation : Soient a < b R. Alors [a, b] = R\( ], a[ ]b, + [ ), où ], a[ = a <a ]a, a[ T st et ]b, [ = b<b ]b, b [ T st. Définition 2.10 (Fermé). Soit (X, T ) un espace topologique. Un fermé de (X, T ) est un sous-ensemble A X tel que X\A T. Exemple ) (X, T gr ), les seuls fermés sont X\X =, X\ = X, donc les ouverts de (X, T gr ) sont les fermés. ) (X, T disc ), tout sous-ensemble de X est fermé par rapport à T disc, car A X, X\A P(X) = T disc. Toutes les parties de X sont ouvertes et fermées. Propriétés 2.1 (Propriétés élémentaires des fermés). Soit (X, T ) un espace topologique. Alors F 1 ) et X sont toujours fermés, F 2 ) Toute intersection de fermés est fermée, F 3 ) Toute réunion finie de fermés est fermée. Démonstration. F 1 ) X = X\ et T par T 1 ) donc X est fermé. = X\X et X T par T 1 ), donc est fermé. F 2 ) Soient {A j } j J une collection de fermés, donc X\A j T, j J. Alors X\( j J A j ) = j J(X\A j ) T par T 2 ), et donc j J A j est fermé. F 3 ) Soient A 1,..., A n des fermés. Donc X\A i T, 1 i n. Alors n X\( A i ) = i=1 par T 3 ) et donc n i=1 A i est un fermé. n (X\A i ) T i= Adhérence et points limites Question : Etant donné un espace topologique (X, T ) et A X, quel est "le plus petit fermé" qui contient A? Définition 2.11 (Adhérence et intérieur). Soit (X, T ) un espace topologique, et soit A X. Posons A = {C X C fermé et A C}. L adhérence (closure) de A est A = C A C. Donc A est l intersection de tous les fermés contenant A. Posons A 2 = {U T U A}. L intérieur de A est Int(A) = U A 2 U T. C est donc le plus grand ouvert contenu dans A. Remarque A est fermé par F 2 ). 2. Puisque A C, C A, alors A A. 3. A = A A est fermé. Justification : 17

19 A est fermé par 1). A est fermé A A, d où C A C A, d où A = A. 4. De la même manière, Int(A) = A A est ouvert. 5. Int(A) A. Exemple 2.7. Int([a, b]) = ]a, b[. Lemme 2.10 (Caractérisation des adhérences). Soit (X, T ) un espace topologique et soit A X. Alors 1. x A U T tq x U, U A. 2. Si B est une base de T, x A B B tq x B, B A. (3) Démonstration. 1. On démontrera la contraposée Nous avons donc x / A = x / A U T tq x U et tq U A =. C fermé, A C Dans la dernière équivalence, notre U est X\C. 2. Soit B une base de T. A voir : C C fermé tq A C, mais x / C C fermé tq A C et x X\C U T tq A U = tq x U. x A B B tq B B, A B. On a déjà par la caracatérisation dans le cas général avec B = U T. Montrons maintenant l implication inverse. Soit x X tel que la condition (3) est vérifiée B B, tq x B. Soit U T tq x U. Puisque B est une base de T, A B tq U = B A B. Puisque x U, B A tq x B, donc par la condition (3), B A, d où U A car B U. Donc la caractérisation de A en terme de T implique que x A. Exemple ) Soit (X, T gr ) et soit A X, A. Alors A = X, car {, X} sont les seuls fermés par rapport à T gr. ) Soit (X, T disc ) et soit A X. Alors A = A, car tout sous-ensemble de X est fermé par rapport à T disc. 1) Soit (R, T st ) et a < b R. Alors ]a, b[ = [a, b], car A A, A, donc ]a, b[ ]a, b[. Il reste à voir i) a, b ]a, b[, ii) Si x < a ou x > b, alors x / ]a, b[. Démonstration. i) Appliquons la caractérisation, en utilisant la base B = { ]c, d[ c < d R}. Si a ]c, d[, alors c < a < d, donc ]a, b[ ]c, d[. Plus précisément, si a < d < b, alors ]a, b[ ]c, d[ = ]a, d[. Si b < d, alors ]a, b[ ]c, d[ = ]a, b[ a ]a, b[. De même, b ]a, b[ car si b ]c, d[, alors c < b et donc ]a, b[ ]c, d[ b ]a, b[. 18

20 ii) Soit x < a. A voir : ]c, d[ B tq x ]c, d[ et ]c, d[ ]a, b[ =. Posons ɛ = (a x)/2. Alors x ]x ɛ, x + ɛ[ B et ]x ɛ, x + ɛ[ ]a, b[ =, car x + ɛ < a. Donc x / ]a, b[. De même si x > b, alors on pose ɛ = (x b)/2, et on a x ]x ɛ, x + ɛ[ B et ]x ɛ, x + ɛ[ ]a, b[ =. Donc x / ]a, b[. Nous abordons maintenant la notion de point limite, directement liée à celle de l adhérence. Elle nous permet justement de mieux comprendre l adhérence mais également de nous donner un premier lien entre l adhérence et la convergence de suites. Définition 2.12 (Point limite). Soit (X, T ) un espace topologique et soit A X. Un élément x X est un point limite de A si U T tq x U, U (A\{x}). Notation : L ensemble des points limites se note A. Exemple ) Soit (X, T gr ) et soit A X. Si A = 1, alors A = {a} et donc x X, le seul ouvert qui le contient est X. Pour voir si x A, on doit calculer X (A\{x}). Nous avons donc { si x = a, X (A\{x}) = {a} si x a. Donc A = X\{a}. Si A 2, alors A\{x}, x X et donc A = X. ) Soit (X, T disc ) et soit A X. Alors A =. Soit a A. Alors {a} T disc, a {a}, mais (A\{a}) {a} =, et donc a / A (a X\A ). Si x X\A, alors {x} T disc et x {x} mais {x} (A\{x}) = {x} A =, car x X\A. 1) Soit (R n, T st ) et A = { 1 n n 1}. Alors A = {0}. Si 0 ]a, b[, alors b > 0. Donc n 0 1 tq 1/n 0 < b. Par conséquent, ]a, b[ (A\{0}) {1/n n n 0 } et donc ]a, b[ A. D où 0 A. Si x R\{0}, alors x / A. Cas i) x < 0 x ] 3x 2, x 2 [ et ]x + x 2, x 2 [ (A\{x}) = car A\{x} = A et x 2 < 0. Et donc x / A. Cas ii) x A n tq x = 1/n. Alors x = 1 n ] 1 n 1 2 ( 1 n 1 n + 1 ), 1 n ( 1 n 1 n + 1 ) Et U (A\{x}) =, d où x / A. Cas iii) x > 1. De la même manière que le cas i). 2) Soit (R, T st ) et A = Q, alors Q = R. En effet, soit r R, ɛ > 0, r ]r ɛ, r + ɛ[ et ]r ɛ, r + ɛ[ (Q\{r}), par densité de Q dans R. Remarque Soit (X, T ) et soit A X. Le bord de A est A = A \Int(A). Proposition 2.1. Soit (X, T ) un espace topologique et soit A X. Alors A = A A. Démonstration. Nous savons déjà que A A. Ensuite, par la définition de A et la caractérisation de l adhérence on trouve immédiatement que A A. Soit x A et x / A. Alors par la caractérisation U T tq x U on a que U A. Or x / A A = A\{x}, donc on a U (A\{x}), d où x A. [ = U Remarque Par conséquent, A fermé A = A A. 19

21 2.3.2 Espaces de Hausdorff Nous allons maintenant introduire les espaces de Hausdorff. Motivation : Dans (R, T st ), x R, {x} = [x, x] = R\( ], x[ ]x, + [ ) est un fermé. Mais il existe des espaces topologiques (X, T ) tels que les singletons ne sont pas tous fermés. Exemple ) X 2. Alors les singletons ne sont pas fermés dans (X, T gr ). 1) Soit X = {x, y} et T y = {, {y}, X}. Alors {y} n est pas fermé car {x} / T y. Pour éviter ce genre de "pathologie", on considère les espaces du type suivant. Définition 2.13 (Espace de Hausdorff). Un espace topologique est de Hausdorff si x, x X tq x x, U, U T tq i) x U, x U, ii) U U =. On peut séparer les points x, x de X par des ouverts. Figure 4 Espace de Hausdorff. Exemple ) X 2. Alors (X, T gr ) n est pas de Hausdorff. En effet, x, x X (x x ), le seul ouvert qui les contient est X. ) (X, T disc ) est toujours de Hausdorff. En effet, x, x X tq x x on a {x}, {x } T disc et x {x}, x {x } et {x} {x } = car x x. 1) ({x, y}, T y ) n est pas de Hausdorff, car le seul ouvert qui contient x est {x, y} et {y} {x, y} = {y}. 2) Tout espace topologique métrisable est de Hausdorff. Soit (X, T ) métrisable. Alors il existe une métrique d sur X tq T = T d. Soient x, x X tq x x. Alors δ = d(x, x ) > 0. Donc B d (x, δ/3), B d (x, δ/3) T et x B d (x, δ/3), x B d (x, δ/3), B d (x, δ/3) B d (x, δ/3) =, par l inégalité du triangle. Proposition 2.2. Soit (X, T ) un espace topologique de Hausdorff. Soit A X. i) Si A <, alors A est fermé par rapport à T. En particulier, tout {x 0 } X est fermé. ii) x A U T tq x U, (U A) =. (Caractérisation des points limites dans un espace topologique de Hausdorff) Démonstration. contraposée i) Il faut montrer que A = A, i.e., x A x A. On démontrera la x / A x / A. Poser A = {a 1,..., a n } et supposons que x / A. Puisque (X, T ) est de Hausdorff, 1 i n, U i, V i T tq x U i et a i V i et U i V i =, 20

22 car x a i puisque x / A. Poser U = n i U i T par T 3 ). Puisque x U i, 1 i n, x U. Alors U A =. En effet 1 j n, U V j U j V j =, car U U j. En particulier, a j / U, 1 j n, puisque a j V j et U V j =. Autrement dit U A =, et par conséquent x / A par la caractérisation de l adhérence. Donc x A x A, et donc A est fermé. i) (preuve alternative) Il suffit de montrer que tout {x 0 } est fermé. En effet A = x 0 A {x 0}, A <, alors A sera fermé car toute réunion finie de fermé est fermée. Soit x 0, x X et x x 0. Puisque (X, T ) est de Hausdorff, U, V T tq x U et x 0 V avec U V =. En posant V = {x 0 }, nous avons U {x 0 } = et alors x / {x 0 }. Comme x est quelconque, nous obtenons alors que {x 0 } = {x 0 }, i.e., x 0 est fermé. ii) x A U T tq x U, U (A\{x}). Or par hypothèse, on a que U T tq x U, (U A) =, d où (U (A\{x}) =. Donc U (A\{x}), d où x A. On établira la contraposée, i.e. on montrera que si U T tq x U et (U A) < alors x / A. Il faut donc trouver V T tq x V et tq V (A\{x}) =. Supposons que U T vérifie x U mais (U A) <. Nous avons alors deux cas. a) Si U A = {x}, alors U (A\{x}) =, et donc on peut poser V = U. b) Si U A {x}, alors U (A\{x}), mais (U (A\{x})) (U A) <. Par i), U (A\{x}) est fermé. Donc X\(U (A\{x})) est ouvert et x X\(U (A\{x})) puisque x / U (A\{x}). Poser V = U (X\(U (A\{x}))) T. Alors x V et V (A\{x}) = U (X\(U (A\{x}))) (A\{x}) Donc V T tq x V et V (A\{x}) =. = (U (A\{x})) (X\(U (A\{x}))) =, car W (X\W ) =, W X. Corollaire 2.1. Si (X, T ) est de Hausdorff et X <, alors T = T disc. Démonstration. A X, A X <, donc A est fermé par rapport à T (par la proposition précédente). En particulier, B X, X\B est fermé, donc B T, i.e., T = T disc Suites convergentes dans des espaces topologiques Définition 2.14 (Convergence de suite). Soit (X, T ) un espace topologique. Soit (x n ) n N une suite dans X (i.e., x n X, n N). La suite (x n ) n N converge x X si U T tq x U, N U N tq x n U, n N U. Exemple Prenons (X, T y ) comme décrit dans l exemple précédent. Considérons la suite (y, y,...). Alors cette suite converge vers y... et vers x! Vers y : Tout ouvert qui contient y contient tous les termes de la suite. Vers x : Le seul ouvert qui contient x est {x, y}, lequel contient également y et donc tous les termes de la suite. Pour éviter ce genre de pathologie, on fait appel aux espaces de Hausdorff. Proposition 2.3. Soit (X, T ) un espace de Hausdorff. Soit (x n ) n N une suite dans X. Si (x n ) n N converge, alors!x X, vers lequel elle converge (i.e., la limite est unique). vers 21

23 Figure 5 Exemple pathologique. Démonstration. Faisons la démonstration par contradiction. Si x, x X tq x x et tel que (x n ) n N converge vers x et x, alors on choisit U, V T tq x U, x V et U V =. Puisque (x n ) n N converge vers x et x, N U, N V N tq { xn U, n N U, x n V, n N V, d où x n U V, n max(n U, N V ). Or U V =, donc on a une contradiction. Ainsi il existe au plus un élément de X vers lequel la suite (x n ) n N converge. Nous allons maintenant nous intéresser à la relation entre les notions de "fermé" et de convergence. Proposition 2.4. Soit (X, T ) un espace topologique. Soit A X. i) Si (a n ) n N est une suite dans A qui converge vers x X, alors x A. ii) Si (X, T ) est métrisable et x A, alors suite (a n ) n N dans A qui converge vers x. Donc si (X, T ) est métrisable, x A suite (a n ) n N dans A qui converge vers x. Démonstration. i) Soit (a n ) n N une suite dans A qui converge vers x. Soit U T tq x U. Par la définition de la convergence, N U N tq a n U, n N U. Donc {a n n N U } U A, d où U A, donc x A, par la caractérisation de l adhérence. ii) Soit (X, T ) métrisable. Soit x A. Pour tout n 1, B d (x, 1/n) A, (où d est une métrique sur X tq T = T d ). Choisissons un élément de a n B d (x, 1/n) A, pour chaque n. Affirmation : La suite (a n ) n N converge vers x. Preuve : Soit U T tq x U. Puisque B d = {B d (x, r) x X, r > 0} est une base de T, r > 0 tq x B d (x, r) U. Soit N N tq r > 1/N. Alors a n B d (x, 1/n) B d (x, r) U, n N. On peut donc poser N U = N, et on a n N U. Nous obtenons alors que a n U et donc (a n ) n N converge vers x. 22

24 2.4 Applications continues Motivation : Etudier des applications entre espaces topologiques qui préservent leur structure essentielle, i.e., les ouverts. La forme exacte de la définition de la continuité est motivée par f : (R, T st ) (R, T st ) continue en x R ssi ɛ > 0, δ > 0 tq ]x δ, x + δ[ f 1 (]f(x) ɛ, f(x) + ɛ[). Définition 2.15 (Continuité). Soient (X, T ) et (X, T ) des espaces topologiques. Soit f : X X une application. Alors i) f est continue par rapport à T et T si f 1 (U ) T, U T. Autrement dit, la pré-image par f de tout ouvert de (X, T ) est un ouvert de (X, T ). ii) f est continue en x (où x X) si U T tq f(x) U, U T tq x U f 1 (U ). Lemme Soient (X, T ) et (X, T ) des espaces topologiques. Soit f : X X une application. i) Si B est une base de T, alors f est continue par rapport à T et T ssi B B, f 1 (B ) T. ii) Si S est une sous-base de T, alors f est continue par rapport à T et T ssi S S, f 1 (S ) T. Démonstration. i) Puisque B T, si f est continue, alors f 1 (B ) T, B B. U T, A B tq B A B = U. Donc f 1 (U ) = f 1 ( B A B ) = B A f 1 (B ) T par T 2 ), car f 1 (B ) T, B A. ii) S T f 1 (S ) T, S S si f est continue. Par i), f est continue par rapport à T et T ssi B B S, f 1 (B ) T. Or B S = {S 1... S n S i S, i, n 1}. Donc si f 1 (S ) T, S S, alors f 1 (S 1... S n) = f 1 (S 1)... f 1 (S n) T par T 3 ). Exemple ) Toute application vers un codomaine muni de la topologie grossière est continue, i.e., } (X, T ) espace topologique quelconque f : X X f : (X, T ) (X, T gr ) est continue. application quelconque Explication : f 1 ( ) =, f 1 (X) = X T par T 1 ). ) Toute application entre espaces topologiques où le domaine est muni de la topologie discrète est continue, i.e., } (X, T ) espace topologique quelconque f : X X f : (X, T disc ) (X, T ) est continue. application quelconque Explication : U T, f 1 (U ) P(X) = T disc. 1) Soit X un ensemble et T, T deux topologies sur X. Question : Quand est-ce que Id X : (X, T ) (X, T ) est continue? Pour que Id X soit continue par rapport à T et T, il faut que U = Id 1 X (U ) T, U T. Ainsi Id X est continue (par rapport à T et T ) si et seulement si T T. 23

25 2) Soient (X, T ), (X, T ) des espaces topologiques. Soit x 0 X. Soit c x 0 : X X : x x 0, x X (C est l application constante en x 0). Alors c x 0 est toujours continue par rapport à T et T. Explication : Soit U T. Il y a alors deux cas. Si x 0 U, alors c 1 x 0 T 1 ). Si x 0 / U, alors c 1 x 0 (U ) = X, car x X, c x 0 (x) = x 0 U. Donc c 1 x 0 (U ) =. Donc c 1 x (U ) T par T 1 ). 0 (U ) T par Proposition 2.5. Soient (X, T ), (X, T ) des espaces topologiques. Soit f : X X une application. Alors les conditions suivantes sont équivalentes. 1) f est continue par rapport à T et T. 2) A X, f(a) f(a). 3) C X fermé par rapport à T, f 1 (C ) est fermé par rapport à T. 4) Version locale de la continuité : f est continue en x, x X par rapport à T et T, i.e., x X, U T tq f(x) U, U T tq x U f 1 (U ). Démonstration. Stratégie : Nous allons d abord prouver les équivalences entre 1), 2) et 3) puis nous montrerons 1) 4). 1) 2) Soit f : (X, T ) (X, T ) une application continue. Soit A X, et soit x A. A voir : f(x) f(a), i.e., U T tq f(x) U, U f(a). Soit U T tq f(x) U. Alors par la continuité de f, f 1 (U ) T. De plus, x f 1 (U ) car f(x) U. Puisque x A, on a que f 1 (U ) A. Or a ( f 1 (U ) A ) f(a) (U f(a)). Par conséquent, U f(a), d où f(x) f(a). 2) 3) Soit C X fermé par rapport à T A voir : f 1 (C ) fermé par rapport à T, i.e., f 1 (C ) = f 1 (C ). Observons que 2) A f 1 (f(a)), A X. Pour notre f 1 (C ), on a donc f 1 (C ) f 1 (C ) f 1 (f(f 1 (C ))) f 1 (C ) = f 1 (C ). Par conséquent, f 1 (C ) = f 1 (C ). 3) 1) Rappel : f 1 (X \B ) = X\f 1 (B ), B X. Soit U T. Alors X \U est fermé par rapport à T, donc par hypothèse X\f 1 (U ) = f 1 (X \U ) est fermé par rapport à T, d où f 1 (U ) T, par la définition de fermé. 1) 4) Soient x X, U T tq f(x) U. Par la continuité (globale) de f, f 1 (U ) T. Par ailleurs, x f 1 (U ). On peut donc poser U = f 1 (U ). 4) 1) Soit U T. Soit x f 1 (U ). Alors f(x) U, donc par la continuité locale de f, U x T tq x U x f 1 (U ). Par conséquent, f 1 (U ) = x f 1 (U ) U x T par T 2 ). Proposition 2.6 (Caractérisation ɛ δ). Soient (X, T d ), (X, T d ) des espaces métriques. Une application f : X X est continue par rapport à T d et T d ssi x X, ɛ > 0, δ > 0 tq d(x, x ) < δ d (f(x), f(x )) < ɛ. 24

26 Démonstration. Cette preuve se trouve dans les exercices. Proposition 2.7 ( ). Si f : (X, T ) (X, T ) et g : (X, T ) (X, T ) sont continues, alors g f : (X, T ) (X, T ) est continue. Démonstration. Soit U T. Alors (g f) 1 (U ) = f 1 (g 1 (U )) T car g 1 (U ) T par continuité de g et ainsi f 1 (g 1 (U ) T par continuité de f Homéomorphismes Les homéomorphismes sont des "isomorphismes" d espaces topologiques. Rappel : Si T : V W est une application linéaire entre espaces vectoriels et T est une bijection, alors son inverse T 1 : W V est aussi linéaire. Cela ne marche pas pour les espaces topologiques. Exemple Soit X un ensemble tel que X 2. Alors Id X : (X, T disc ) (X, T gr ) est continue MAIS Id 1 X : (X, T gr) (X, T disc ) n est pas continue, car Id 1 X ({x}) = {x} / T gr, car X 2. Donc l inverse d une application continue bijective n est pas forcément continue. Définition 2.16 (Homéomorphisme). Une application continue h : (X, T ) (X, T ) est un homéomorphisme si elle est bijective et son inverse h 1 : (X, T ) (X, T ) est continue. Remarque Si h est un homéomorphisme, alors h 1 est également un homéomorphisme car (h 1 ) 1 = h. Notation/Terminologie S il existe un homéomorphisme h : (X, T ) (X, T ), alors (X, T ) et (X, T ) sont homéomorphes, et on le note (X, T ) = (X, T ). Remarque Si h : (X, T ) (X, T ) est un homéomorphisme, alors h : X X est une bijection et induit une bijection entre les topologies T T U (h 1 ) 1 (U) = h(u) T T U h 1 (U). Ceci est une bijection, puisque h en est une. Exemple ) Nous avons un homéomorpisme entre (X, T gr ) et (X, T gr ) si et seulement s il existe une bijection h : X X. En effet, il est facile de montrer la double implication. Si h : (X, T gr ) (X, T gr ) est un homéomorphisme, alors par définition h est une bijection. Soit h : X X une bijection avec h 1 : X X. Alors h et h 1 sont continues car ce sont des applications avec un codomaine muni de la topologie grossière. Et donc nous avons bien un homéomorphisme. ) De la même manière, nous avons un homéomorphisme entre (X, T disc ) et (X, T disc ) si et seulement si h : X X est une bijection. En effet, toute application entre espace topologique dont le domaine est muni de la topologie discrète est continue. Définition 2.17 (Propriété topologique). Une propriété d un espace topologique est dite propriété (ou invariant) topologique si elle est préservée sous homéomorphisme, i.e., si (X, T ) = (X, T ) et (X, T ) vérifie la propriété, alors (X, T ) la vérifie aussi. Exemple Nous pouvons montrer que la propriété "Etre de Hausdorff" est une propriété topologique, i.e., (X, T ) = } (X, T ) (X, T ) de Hausdorff. (X, T ) de Hausdorff 25

27 Démonstration. Soit h : (X, T ) (X, T ) un homéomorphisme. Soient x 0, x 1 X. Considérons h 1 (x 0), h 1 (x 1) X. Comme (X, T ) est de Hausdorff, U, V T tq U V =, h 1 (x 0) U, h 1 (x 1) V. Par conséquent, x 0 h(u) T, x 1 h(v ) T et h(u) h(v ) = car U V =. 26

28 2.5 Sous-espaces topologiques Définition 2.18 (Topologie de sous-espace). Soit (X, T ) un espace topologique. Soit Y X. La topologie de sous-espace sur Y est la plus petite (plus grossière) topologie sur Y qui rend l inclusion ι : Y X : y y continue. Question : Existe-t-il une telle topologie sur Y? Réponse : Oui, elle est construite de la manière suivante. Soit T une topologie sur Y. Alors l inclusion ι : Y X est continue si et seulement si ι 1 (U) T, U T. Or, ι 1 (U) ={y Y ι(y) U} ={y Y y U} =Y U. (4) Donc ι est continue par rapport à T et T ssi Y U T, U T. Posons T Y = {Y U U T }. Alors T Y est une topologie et donc par (4) la plus petite topologie telle que ι soit continue. Vérifions que T Y est effectivement une topologie. T 1 ) Y = Y X, = Y et donc Y, T Y. T 2 ) j J (Y U j) = Y ( j J U j) T Y par T 2 ) pour T, avec {U j j J} T. T 3 ) Si U 1,..., U n T, alors (Y U 1 )... (Y U n ) = Y ( n i=1 U i) T Y par T 3 ) pour T. En résumé, ι : (Y, T Y ) (X T ) est continue, et si ι : (Y, T ) (X, T ) est continue, alors T Y T. Nous pouvons également voir que les fermés dans la topologie de sous-espace correspondent à F = Y F, où F est fermé par rapport à T. De la même manière, l adhérence d une topologie de sous-espace correspond à A Y = Y A, où A est l adhérence de A par rapport à T. Exemple Soit (X, T ) = (R, T st ). Nous nous intéressons au sous-espace Z et donc à la topologie de sous-espace (T st ) Z. Pour faire ce calcul nous allons utiliser la base de T st et donc la base de sous-espace (B st ) Z = { ]a, b[ Z a < b R}. En particulier, (B st ) Z contient ]n 1/2, n + 1/2[ Z = {n}, n N. Ainsi (T st ) Z = (T disc ) Z. Proposition 2.8. Soit f : (X, T ) (X, T ) une application continue. Alors 1. Y X, f Y : (Y, T Y ) (X, T ) est aussi continue. 2. Y X tq Im(f) Y, f Y : (X, T ) (Y, T Y ) est aussi continue. Démonstration. 1. Observons que f Y = f ι : Y X X Donc f Y est continue par rapport T Y et T car f est une fonction continue par rapport à T et T et ι est une fonction continue par rapport à T Y et T et toute composée d applications continues est continue. 2. Soit U T et considérons U Y T Y. Alors (f Y ) 1 (U Y ) = f 1 (U ) T, car f est continue et Im(f) Y. ι f Sous les bonnes conditions, on peut démontrer la continuité d une application en vérifiant sa continuité sur des parties du domaine. Lemme 2.12 (Lemme de Recollement). Soient (X, T ) et (X, T ) des espaces topologiques. Soit f : X X une application. i) Si X = j J U j où U j T, j J, et f Uj : (U j, T Uj ) (X, T ) est continue j J, alors f est continue par rapport à T et T. 27

29 ii) Si X = n i=1 C i, avec C i fermé par rapport à T, 1 i n, et f Ci : (C i, T Ci ) (X, T ) continue 1 i n, alors f est continue par rapport à T et T. Remarque En fait, on a si et seulement si dans i) et ii). ( provenant de la proposition 2.8). Démonstration. i) Soit U T. Par hypothèse, f 1 Uj (U ) T Uj ( ). Or f 1 Uj (U ) = f 1 (U ) U j, donc ( ) V j T tq f 1 (U ) U j = V j U j T par T 3 ). Puisque X = j J U j, on obtient f 1 (U ) = j J (f 1 (U ) U j ) donc f 1 (U ) T par T 2 ). Ainsi f : (X, T ) (X, T ) est bien continue. ii) Rappel : Une application entre espaces topologiques est continue si et seulement si la pré-image de tout fermé est fermée. Soit C X fermé par rapport à T. Par hypothèse, f 1 Ci (C ) est fermé par rapport à T Ci. Or f 1 Ci (C ) = f 1 (C ) C i. Par ailleurs, si B C i est fermé par rapport à T Ci, alors U T tq B = C i \(C i U) = C i (X\U). Par conséquent, B est fermé par rapport à T Ci si et seulement s il existe un fermé C par rapport à T tel que B = C i C. Remarque Cette équivalence est vraie pour toute topologie de sous-espace (pas besoin d avoir C i fermé). Donc puisque f 1 Ci (C ) est fermé par rapport à T Ci, B i X fermé par rapport à T tel que f 1 Ci (C ) = C i B i est fermé par rapport à T car c est une intersection de fermés. Puisque X = n i=1 C i, on obtient f 1 Ci (C ) = n i=1 f 1 Ci (C ) qui est fermé car toute réunion finie de fermés est fermée. Ainsi f : (X, T ) (X, T ) est bien continue. Application du lemme de recollement : Soit R = ], 0] [0, 1] [1, + [, une réunion de trois fermés par rapport à T st. Posons f 1 :], 0] R : x 0, f 2 : [0, 1] R : x x, f 3 : [1, + [ R : x 1. Alors ces trois fonctions sont continues et f 1 (0) = f 2 (0), f 2 (1) = f 3 (1). Et donc par le lemme de recollement, il existe une fonction f : R R qui est continue et qui vérifie f ],0] = f 1, f [0,1] = f 2, f [1, [ = f 3. 28

30 2.6 Espaces produit Préliminaires sur les produits cartésiens Soient X, X des ensembles. Alors le produit cartésien entre X et X est X X = {(x, x ) x X, x X }. Soient A, B X et A, B X. Alors A A, B B X X. Observons que (A A ) (B B ) = (A B) (A B ) car (x, x ) (A A ) (B B ) (x, x ) A A et (x, x ) B B x A, x B et x A, x B x A B et x A B (x, x ) (A B) (A B ). MAIS (A A ) (B B ) (A B) (A B ) en général. Explication : philosophiquement, (x + y) 2 x 2 + y 2, ou plûtot (x + x )(y + y ) xx + yy. (A B) (A B ) = (A A ) (B B ) (A B ) (B A ). Ainsi (A A ) (B B ) (A B) (A B ). Figure 6 Illustration de l union de produit cartésien. Définition 2.19 (Projections). Les applications de projection de X X vers X ou X sont pr 1 : X X X : (x, x ) x, pr 2 : X X X : (x, x ) x. Remarque A X, on a De même, A X, pr 1 2 (A ) = X A Application à la topologie pr 1 1 (A) ={(x, x ) X X pr 1 (x, x ) A} ={(x, x ) X X x A} =A X Définition 2.20 (Topologie produit). Soient (X, T ) et (X, T ) des espaces topologiques. La topologie produit sur X X est la plus petite topologie qui rend les projections continues. Autrement dit, si T T est la topologie produit sur X X, et T est une autre topologie sur X X telle que pr 1 : (X X, T ) (X, T ) et pr 2 (X X, T ) (X, T ) sont continues, alors T T T. 29

31 Existence de T T : Si } pr 1 : (X X, T ) (X, T ) pr 2 : (X X, T ) (X, T ) sont continues, alors { U T, pr 1 1 (U) T U T, pr 1 2 (U ) T, i.e., U X, X U T, U T, U T. Motivé par cette observation, on pose S = {U X U T } {X U U T } P(X X ). Alors S est une sous-base de topologie sur X X car X T et X T donc X X S. Soit B S la base de topologie engendrée par S. B B S S 1,..., S n S tq B = S 1... S n. Sans perdre de généralité, il existe k [1, n] tq Ainsi nous obtenons 1 i k, U i T tq S i = U i X et k < i n, U i T tq S i = X U i. B =(U 1 X )... (U k X ) (X U k+1)... (X U n) = (U 1... U k ) (U k+1... U }{{} n) }{{} T par T 3) T par T 3) Donc B S = {U U U T, U T }. Définition La topologie produit est la topologie T T = T BS. Remarque ) Nous avons alors, par la définition de topologie engendrée, T BS = { α J U α U α U α T, U α T, α J, J quelconque } Mais attention α J (U α U α) ( α J U α) ( α J U α). 2) Si pr 1 : (X X, T ) (X, T ) et pr 2 : (X X, T ) (X, T ) sont continues alors T T T car, par l analyse précédente, on sait que S T, donc par T 3 ), B S T et donc par T 2 ) T T T. Le résultat suivant est analogue au fait que f : (X, T ) (X, T ) continue implique que f Y : (Y, T Y ) (X, T ) est aussi continue. Propriétés 2.2 (Propriété-clé de la topologie produit). Soient (X, T ), (X, T ), (Y, T ) des espaces topologiques. Soient f : Y X et g : Y X des applications, et soit (f, g) : Y X X : y (f(y), g(y)). Alors (f, g) : (Y, T ) (X X, T T ) est continue f : (Y, T ) (X, T ) et g : (Y, T ) (X, T ) sont continues. (Il suffit donc de vérifier la continuité composante par composante). Démonstration. Observons que f = pr 1 (f, g) et g = pr 2 (f, g). Donc si (f, g) : (Y, T ) (X X, T T ) est continue, alors f et g sont continues car pr 1 et pr 2 sont continues et toute composition d application continue est continue. 30

32 Supposons f, g continues. Pour montrer que (f, g) est continue, il suffit de vérifier que (f, g) 1 (U U ) T, U U B S. Or (f, g) 1 (U U ) = {y Y f(y) U, g(y) U } = f 1 (U) g 1 (U ) T. }{{}}{{} T T Exemple ) Soient (X, T gr ), (X, T gr). Alors T gr T gr est la topologie grossière sur X X. En effet, la sous-base est { X, X X } {X, X X } = {, X X }. ) Soient (X, T disc ), (X, T disc ). Alors T disc T disc est la topologie discrète sur X X. En effet, la base de la topologie produit est {U U U T disc, U T disc } = {U U U P(X), U P(X )}. En particulier, cette base contient {{x} {x } x X, x X }, donc T disc T disc est forcément discrète, car sa base contient tous les singletons {(x, x )}. 1) Considérons (R m, T st,m ) et (R n, T st,n ). Alors R m R n = R n+m, et T st,m T st,n = T st,m+n. En effet, k N, T st,k admet une base (hyperrectangles) { ]x 1 a 1, x 1 + a 1 [... ]x k a k, x k + a k [ x R k, a 1,..., a k > 0}, et par les exercices (série 7), si B est une base de T, B est une base de T, alors {B B B B, B B } est une base de T T. Puisque le produit d un hyperrectancle de dimension m avec un hyperrectangle de dimension n est un hyperrectangle de dimension n + m et que tout hyperrectangle de dimension m + n est égal à un tel produit, on a que d où T st,m T st,n = T st,n+m. {B B B B m, B B n } = B m+n, Remarque Etant donné la définition de la topologie produit pour deux espaces topologiques (X 1, T 1 ) et (X 2, T 2 ), on peut étendre la définition aux produits de n espaces (n N, n 2) par récurrence. Mais on fera en fait une généralisation beaucoup plus vaste de la notion de topologie produit. Pour ce faire, commençons par changer de perspective sur les produits cartésiens d ensembles Produit cartésien bis Soient X 1,..., X n des ensembles, X 1... X n = {(x 1,..., x n ) x i X i, 1 i n}. Considérons l ensemble d applications {f : {1,..., n} n X i f(i) X i, 1 i n} := χ 1=1 et les applications ev i : χ X i : f f(i) avec ev i représentant la fonction "évaluation en i". Lemme Il existe une bijection σ : X 1... X n χ tq ev i σ = pr i, 1 i n. Démonstration. Définissons σ(x 1,..., x n ) : {1,..., n} n i=1 X i par σ(x 1,..., x n )(i) = x i X i, (x 1,..., x n ) X 1... X n. Donc σ(x 1,..., x n ) χ. Pour montrer que l application qui envoie (x 1,..., x n ) sur σ(x 1,..., x n ) est une bijection, montrons qu il y a un inverse. On définit τ : χ X 1... X n de la manière suivante. Soit f χ, i.e., f : {1,..., n} n i=1 X i tq f(i) X i, 1 i n, On pose alors τ(f) = (f(1),..., f(n)) X 1... X n. Calculons 31

33 σ τ(f) = σ(f(1),..., f(n)) : {1,..., n} n i=1 X i qui envoie i sur f(i), 1 i n, par définition de σ. Donc σ τ(f) = f, f χ. τ σ(x 1,..., x n ) = τ(σ(x 1,..., x n )) = (σ(x 1,..., x n )(1),..., σ(x 1,..., x n )(n)) = (x 1,..., x n ). Et donc τ σ = Id. Donc σ et τ sont des bijections mutuellement inverses. Par ailleurs (x 1,..., x n ) X 1... X n, ev i σ(x 1,..., x n ) = σ(x 1,..., x n )(i) = x i = pr i (x 1,..., x n ), où on a utilisé successivement la définition de ev i et de σ. Conséquence : On peut voir les éléments du produit cartésien X 1... X n comme des applications f : {1,..., n} n i=1 X i tq f(i) X i, 1 i n Généralisation aux produits quelconques Soit J un ensemble. Soit {X α α J} une collection d ensembles. On pose α J X α = {f : J α J X α f(α) X α, α J}, le produit cartésien des X α. On définit β J, pr β : α J X α X β : f f(β). Remarque ) Soit U X β, Alors pr 1 β (U) = α J U α, où { Xα, α β U α = U, α = β, car f pr 1 β (U) pr β(f) U, i.e., f(β) U. Il n y a aucune condition sur f(α) si α β (à part f(α) X α ). Soit f : J α J X α tq f(α) X α, α. Donc pr 1 β (U) ={f : J α J X α f(α) X α si α β, f(β) U} ={f : J ( = α J U α, où α β, α J X α ) U f(α) Xα si α β, f(β) U} U α = { Xα, α β U, α = β, Rappel : pour pr 1 : X 1 X 2 X 1, U X 1, pr 1 1 (U) = U X 2. 2) Soit {X α α J} une collection d ensembles. Soient U α, V α X α, α J. Alors α J U α, α J V α α J X α, car f α J U α f : J α J U α tq f(α) U α, α J. Or α J U α α J X α. Donc on peut voir f comme une application f : J α J X α qui vérifie f(α) U α X α, α J. Donc tout f α J U α peut être vue comme un élément de α J X α. Lemme ( α J U α) ( α J V α) = α J (U α V α ) 32

34 Démonstration. f ( U α ) ( V α ) f : J X α vérifie f(α) U α et f(α) V α, α J α J α J α J f : J X α vérifie f(α) U α V α, α J α J f α J(U α V α ) Notation : Souvent, les éléments de α J X α seront notés x : J α J X α avec x(α) X α, α J. On écrit aussi parfois x α = x(α) X α et x = (x α ) α J. Si X α = X, α J, on écrit X J := α J X α = {x : J X x application}. Propriétés 2.3 (Propriété importante des produits généralisés). Pour toute collection d applications {g α : Y X α }, il y a une unique application g : Y α J X α tq g β = pr β g, β J. Démonstration. On définit g : Y α J X α comme suit y Y, g(y) : J α J X α : β g β (y) X β. Autrement dit, g(y)(β) := g β (y) X β, i.e., g(y) = (g β (y)) β, y Y. Par définition de g, pr β g(y) = g(y)(β) = g β (y), y Y, donc g β = pr β g. Notation : g = (g α ) α J. Définition 2.22 (Topologie produit). Soit {(X α, T α ) α J} une collection d espaces topologiques. La topologie produit, notée α J T est la plus petite topologie sur α J X α telle que pr β est continue β. Autrement dit, si T est une topologie sur α J X α telle que pr β : ( α J X α, T ) (X β, T β ) continue β, alors α J T α T, et pr β est continue β si T = α J T α. Construction de α J T α pr β : ( α J X α, T ) (X β, T β ) est continue pr 1 β (U) T, U T β. Posons S = α J {pr 1 α (U) U T α } P( α J X α). Alors S est une sous-base de topologie, car pr 1 β (X β) = α J X α et X β T β. Soit B la base de topologie engendrée par S B = {S 1... S n S i S, 1 i n}. Pour notre S, on considère S i = pr 1 β i (U i ), U i T βi, 1 i n, pour un choix β 1,..., β n J. Alors S 1... S n = α J U α, où U α = { Xα, α β i, 1 i n, U i, α = β i, si β i β j, quand i j. (Dans le cas où il existe i j avec β i = β j le calcul est semblable.) Conséquence : B = { α J U α {α U α X α } < et U α X α U α T α }. Définition 2.23 (Topologie produit). La topologie sur α J X α engendrée par cette base B est la topologie produit α J T α. 33

35 Propriétés 2.4 (Propriété universelle de la topologie produit). Soit {(X α, T α ) α J} une collection d espaces topologiques. Soit (Y, T ) un espace topologique. Soit {g α : Y X α α J} une collection d applications. Alors (g α ) α J : (Y, T ) ( ) X α, α J T α est continue α J si et seulement si g α : (Y, T ) (X α, T α ) est continue α J. Démonstration. Si (g α ) α J est continue, alors pr β (g α ) α J est continue β, car α J T α est telle que pr β est continue, β. Or y Y, pr β ( (g α ) α J (y) ) (β) = g β (y) Et donc, pr β (g α ) α J = g β, β J, donc g β est continue β J. Si (g α ) α J est continue, alors S S, (g α ) 1 α J (S) T. De plus S S β J, U T β tq S = pr 1 (U). Donc (g α ) 1 α J( prβ ) 1 (U) ) = ( pr β (g α ) α J }{{} g β Remarque Etant donné A B V C, h 1 (k 1 (V )) = (k h) 1 (V ). h β ) 1(U) = g 1 β (U) T. k C des applications composables, et Ainsi, (g α ) 1 α J (S) T, S S, et donc (g α) α J est bien continue Métrisabilité de produits (même infinis) Nous allons d abord regarder le cas des produits dénombrables avant de regarder la métrisabilité des produits quelconques. Proposition 2.9. Tout produit dénombrable d espaces métrisables est métrisable. Démonstration. Soit {(X n, T n ) n N} une collection d espaces métrisables (0 / N). Alors pour tout n N, il existe une métrique d n sur X n telle que T n = T dn. Sans pertes de généralités, on peut supposer que d n (x, x ) 1, x, x X n, n N (voir Lemme 2.9). Définissons D : n N X n n N X n R par D(x, y) = sup n N { 1 n d n(x n, y n )}, avec x = (x n ) n N, y = (y n ) n N. Exercice : Vérifier que D est bien une métrique. On veut voir que T D = n N T n. Observons que x n N X n, r > 0, B D (x, r) ={y n N X n D(x, y) < r} {y n N X n 1 n d n(x n, y n ) < r, n N} ={y n N X n d n (x n, y n ) < rn, n N}. Appliquons le lemme de test de comparaison de bases T D n N T n Soit B D (x, ɛ) un élément de la base de T D, ɛ > 0. Soit N N tq 1/N < ɛ. Considérons B = B d1 (x 1, ɛ)... B dn (x N, ɛ) X N+1 X N

36 Alors x B et B B prod. Nous voulons voir que B B D (x, ɛ). Si y B, alors y i B di (x i, ɛ) 1 i N, d où { di (x i, y i ) < ɛ 1 i N, d i (x i, y i ) 1 i > N Par conséquent 1 i d i(x i, y i ) < ɛ i ɛ 1 i N, 1 i d i(x i, y i ) 1 i < 1 ɛ i > N, N d où D(x, y) < sup 1 n d n(x n, y n ) < ɛ, i.e., y B D (x, ɛ) B B D (x, ɛ) Nous obtenons donc bien T D n N T dn par le lemme de comparaison. n N T n T D Soit B B prod. Alors B = n N U n, où U n T n n et {n U n = X n } <. Soit {n 1,..., n k } l ensemble des indices tels que U ni X ni (donc si n / {n 1,..., n k }), alors U n = X n ). Soit x B, donc x n U n n. En particulier, 1 i k, B dni (x ni, ɛ i ) U ni pour un certain ɛ i > 0. Posons ɛ = min { ɛ i n i } 1 i k > 0. Alors x B D (x, ɛ) B D et si y B D (x, ɛ), alors D(x, y < ɛ), d où 1 n d n(x n, y n ) < ɛ n N. En particulier, 1 n i d ni (x ni, y ni ) < ɛ 1 i k, i.e., d ni (x ni, y ni ) < ɛn i ɛ i n i n i = ɛ i, d où y ni B dni (x ni, ɛ ni ) U ni 1 i k. Par conséquent y B, donc B D (x, ɛ) B. Ainsi, nous avons montré que n N T n T D et donc notre preuve est finie. Dans le cas où notre produit est quelconque, le sujet est plus délicat. Nous commençons par introduire une métrique sur ce produit et ensuite nous démontrerons un résultat. Définition 2.24 (Métrique uniforme). Soit {(X α, T α ) α J} une collection d espaces métriques. La métrique uniforme sur α J X α est définie par où ρ : α J X α X α R : (x, y) sup{ d α (x α, y α )}, α J α J d α (x α, y α ) = Exercice : ρ est bien une métrique. { dα (x α, y α ) si d α (x α, y α ) 1 1 sinon. Question : Qu est-ce que T ρ? Quelle est sa relation avec α J T α? Remarque Si x α J X α et r > 0, alors B ρ (x, r) = {y α J X α ρ(x, y) < r} {y α J X α d α (x α, y α ) < r, α J} = α J B dα (x α, r). 35

37 Proposition Pour toute collection d espaces métriques {(X α, T α ) α J}, α J T dα T ρ. Remarque Si J est infini, il existe des exemples où α J T dα T ρ. Démonstration. Comme dans la deuxième partie de la preuve précédente, on prend B B prod, B = α J U α, {α 1,..., α k } = {α J U α X α }, et x B, 1 i k, ɛ i > 0 tq B dαi (x αi ), ɛ i ) U αi. Posons ɛ = min{ɛ 1 i k}. Alors B ρ (x, ɛ) B, car y B ρ (x, ɛ) d α (x α, y α ) < ɛ, α J. Donc d αi (x αi, y αi ) < ɛ ɛ i, 1 i k. Ainsi nous avons y αi B dαi (x αi, ɛ i ) U i, 1 i k B ρ (x, ɛ) B. D où α J T α T ρ par le lemme de comparaison. 36

38 3 Espaces connexes et espaces compacts Question : Quelles sont les propriétés topologiques de [a, b], vu comme sous-espace de (R, T st ), qui font que le théorème suivant soit vrai? Théorème 3.1. Soit f : ([a, b], (T st ) [a,b] ) (R, T st ) une application continue. Alors 1) (Valeur intermédiaire) Si f(a) f(b), alors r [f(a), f(b)], c [a, b] tq f(c) = r, 2) (Valeur maximale) c [a, b] tq f(x) f(c) x [a, b], 3) (Continuité uniforme) ɛ > 0, δ > 0 tq si x, y [a, b], alors x y < δ f(x) f(y) < ɛ. 3.1 Espaces connexes Définition 3.1 (Séparation). Soit (X, T ) un espace topologique. Une séparation de (X, T ) consiste en un couple (U, V ) où U, V T, U V = X, U V =, U, V. L espace est connexe s il n admet aucune séparation. Exemple ) (X, T gr ) est toujours connexe. En effet les seuls ouverts sont, X donc il n existe pas deux ouverts disjoints tels qui soient les deux non vides. ) Si X 2, alors (X, T disc ) n est pas connexe. Soit x X. Posons U = {x}, V = X\{x} P(X) = T disc. Alors U et V car X 2. U V = {x} X\{x} =. U V = {x} X\{x} = X. Ainsi ({x}, X\{x}) est bien une séparation de (X, T disc ). 1) Q R, (Q, (T st ) Q ) n est pas connexe. Soit r R\Q. Posons U = Q ], r[, V = Q ]r, + [. Alors U, V (T st ) Q U V = U V U V = (Q ], r[) (Q ]r, + [) = Q (R\{r}) = Q. Donc (U, V ) est bien une séparation de (Q, (T st ) Q ). Remarque 3.1. car 1) Si (U, V ) est une séparation de (X, T ), alors U et V sont aussi fermés } U V = X\V = U, X\U = V. U V = X Donc U et V sont fermés car ce sont des complémentaires d ouverts. 2) (X, T ) est connexe ( si U P(X) est ouvert et fermé, alors U {, X}). Explication : La remarque 1) implique que si X n est pas connexe, il existe une séparation (U, V ) et donc on a des ouverts-fermés différents de et X. Donc la remarque 1) nous donne la contraposée de. On établit de nouveau la contraposée. Si U est ouvert et fermé et U / {, X}, alors pour V = X\U on a V T, car U est fermé, U V = X, car V = X\U, U V =, car V = X\U, V, car U X. 37

39 Et donc (U, V ) est une séparation de (X, T ). Donc s il existe U ouvert et fermé et U, X, alors (X, T ) n est pas connexe. 3) "Etre connexe" est une propriété topologique, i.e. si (X, T ) et (X, T ) sont homéomorphes, alors (X, T ) connexe implique que (X, T ) est également connexe. Explication : On va montrer (X, T ) n est pas connexe (X, T ) n est pas connexe. Si (X, T ) et (X, T ) sont homéomorphes, alors il existe un homéomorphisme h : (X, T ) (X, T ). Ainsi, h est continue et admet un inverse continu h 1 : (X, T ) (X, T ). Si (X, T ) n est pas connexe alors il existe une séparation (U, V ). Considérons (h 1 (U ), h 1 (V )). Alors h 1 (U ), h 1 (V ) T, car h est continue, h 1 (U ) h 1 (V ) car U V et h est surjective, X = h 1 (U ) h 1 (V ), car U V = X, et h : X X, donc pour tout x, soit h(x) U, soit h(x) V, h 1 (U ) h 1 (V ) =, car U V = et x h 1 (U ) h 1 (V ) h(x) U V. Et donc (h 1 (U ), h 1 (V )) est une séparation de (X, T ). Ainsi si (X, T ) n est pas connexe, alors (X, T ) n est pas connexe. En appliquant le même argument à h 1 : X X, on obtient que si (X, T ) n est pas connexe, alors (X, T ) n est pas connexe Connexité et sous-espaces Lemme 3.1 (Lemme utile). Soit (X, T ) un espace topologique. Soit Y X. Soit (U, V ) une séparation de (X, T ). Si (Y, T Y ) est connexe, alors soit Y U, soit Y V. Démonstration. Si (U, V ) est une séparation de (X, T ), alors U Y, V Y T Y, (U Y ) (V Y ) U V =, donc (U Y ) (V Y ) =, (U Y ) (V Y ) = (U V ) Y = X Y = Y. Si on avait aussi que U Y = V Y, alors (U Y, V Y ) serait une séparation de (Y, T Y ). Or (Y, T Y ) est connexe, donc U Y = ou V Y =. Si U Y =, alors Y V et si V Y =, alors Y U. Propriétés 3.1 (Propriétés élémentaires des espaces connexes). Nous allons présenter quelques règles qui permettent de construire des espaces connexes. 1) Soit (X, T ) un espace topologique. Soit {A α α J} P(X). Si α J A α et (A α, T Aα ) connexe, α J, alors en posant A = α J A α, nous avons que (A, T A ) est aussi connexe. 2) Soit (X, T ) un espace topologique et soit A X. Si (A, T A ) est connexe et A B Ā, alors (B, T B) est aussi connexe. En particulier, (Ā, TĀ) est aussi connexe si (A, T A) est connexe. 3) Si f : (X, T ) (X, T ) est continue et (X, T ) est connexe, alors (Imf, T Imf ) est aussi connexe. 4) Si (X 1, T 1 ),..., (X n, T n ) sont des espaces topologiques connexes tels que X j, j, alors (X 1... X n, T 1... T n ) est connexe. Démonstration. 1) Soit A = α J A α. Si (A, T A ) n était pas connexe, alors il y aurait une séparation (U, V ). 38

40 Par le lemme utile, α J, soit A α U, soit A α V, car (A α, T α ) est connexe et A α A. Puisque α J A α, a 0 α J A α. Puisque U V =, soit a 0 U, soit a 0 V. Sans pertes de généralité, a 0 U. Donc A α U, α J, d où A α U, α J, et donc A = α J A α U, d où V =. Donc (U, V ) ne peut pas être une séparation. 2) Si (B, T B ) admettait une séparation (U, V ), alors soit A U, soit A V par le lemme utile, puisque (A, T A ) est connexe et A B. Sans perte de généralité, A U. Puisque (U, V ) est une séparation, V, donc il existe un b V et V T B W T tq V = W B. Puisque b B Ā, on doit avoir W A. Or A B et V = B W, donc A W B W = V. Mais A U et U V =, donc A W =. Contradiction : Il n est pas possible que b Ā et b V. Donc V = et (U, V ) ne peut pas être une séparation. Ainsi (B, T B ) n admet aucune séparation, i.e., il est connexe. 3) Si (Imf, T Imf ) n était pas connexe, il y aurait une séparation (U, V ), i.e., il existe U, V T tels que U = U Imf et V = V Imf, U V =, U V = Imf, U V. Considérons (f 1 (U ), f 1 (V )). Observons que f 1 (U ) = f 1 (U Imf) = f 1 (U ) T. De même f 1 (V ) T. Par ailleurs, f 1 (U ) f 1 (V ), car U V, et U, V Imf, f 1 (U ) f 1 (V ) =, car U V =, f 1 (U ) f 1 (V ) = X, car U V = Imf, donc x X, soit f(x) U, soit f(x) V. Et donc (f 1 (U ), f 1 (V )) serait une séparation de (X, T ). Or (X, T ) est connexe, donc (Imf, T Imf ) ne peut pas admettre de séparation et est donc également connexe. 4) Il suffit de faire le cas n = 2. Ensuite on peut conclure par récurrence. Soient (X, T ), (X, T ) des espaces connexes. Considérons le sous-espace de (X X, T T ) donné par T x0,x 0 = X {x 0} {x 0 } X = { (x, x 0) x X } { (x 0, x ) x X }. Remarquons que { (X {x 0}, (T T ) X {x 0 }) = (X, T ), ({x 0 } X, (T T ) {x0} X ) = (X, T ), car une base de T T est {U U U T, U T } donc une base de (T T ) X {x 0 } est donnée par { (U U ) (X {x }{{ 0}) U T, U T } } ={U {x 0 } si x 0 U, sinon.} Donc une base de (T T ) X {x 0 } est {U {x 0} U T }. On peut donc définir les homéomorphismes suivants h :(X {x 0}, (T T ) X {x 0 }) (X, T ) : (x, x 0) x, h 1 :(X, T ) (X {x 0}, (T T ) X {x 0 }) : x (x, x 0) On vérifie facilement leur continuité, puis on procède de même pour {x 0 } X. Ainsi, puisque (X, T ) et (X, T ) sont connexes et "être connexe" est une propriété topologique, on sait que (X {x 0}, (T T ) X {x 0 }) et ({x 0 } X, (T T ) {x0} X ) 39

41 sont des sous-espaces connexes de (X X, T T ). Par ailleurs (X {x 0}) ({x 0 } X ) = {(x 0, x 0)} =, donc par la propriété 1), on a que (T x0,x 0, (T T ) Tx0,x 0 ) est connexe. Observons que X X = x X T x,x 0 et x X T x,x 0 = X {x 0} = (X X ). Par la propriété 1) on déduit que (X X, T T ) est connexe. Grâce à ces propriétés, nous pouvons montrer l exemple-clé suivant. Théorème 3.2. Pour tout a < b R, (]a, b[, (T st ) ]a,b[ ) est connexe. Démonstration. Par contradiction supposons que (U, V ) soit une séparation de (]a, b[, (T st ) ]a,b[ ) Nous avons donc U V =, U V =]a, b[, U V, et U, V (T st ) ]a,b[. Soient u U, v V. Sans perte de généralité, on prend u < v et on a donc a < u < v < b, d où [u, v] ]a, b[. Posons U = U [u, v], V = V [u, v]. Observons que (U, V ) est une séparation de ([u, v], (T st ) [u,v] ). En particulier, U (car u U ), V (car v V ), U V = [u, v], car U V = ]a, b[, U V =. Posons w = sup U. Puisque [u, v] est fermé, alors w [u, v], donc w U ou w V. Premier cas : w U Puisque U est ouvert dans la topologie de sous-espace induite par T st, w < w < w tq w ]w, w [ U. Puisque w < w, u ]w, w [, et u U car ]w, w [ U. Ainsi, u U tq w < u, donc w ne peut pas être le sup. CONTRADICTION Donc si w = sup U, alors w / U. Deuxième cas : w V Puisque V (T st ) [u,v], w < w < w tq w ]w, w [ V. Puisque w < w, v ]w, w[, et v V, car ]w, w[ ]w, w [ V. En fait, [v, w] ]w, w [ V. Ainsi, si w = sup U et donc w u u U, alors on a aussi que v u, u U, car [v, w] U =. CONTRADICTION avec la minimalité de w. Donc si w = sup U, alors w / V. Ainsi, si w = sup U alors w / [u, v] ce qui est une contradiction. Conclusion : Il ne peut pas y avoir de séparation de ]a, b[ car une telle séparation mènerait à une séparation de [u, v] et donc à une contradiction. Nous avons donc bien que (]a, b[, (T st ) ]a,b[ ) est connexe. Corollaire 3.1. ]a, b[, ]a, b], [a, b[, ], a], ], a[, [b, [, ]b, [ sont tous connexes en tant que sous-espaces de (R, T st ) et (R, T st ) est aussi connexe. Démonstration. Appliquons la propriété 2) à ]a, b[ ]a, b] [a, b] et ]a, b[ [a, b[ [a, b]. Appliquons ensuite la propriété 1) à ], a[ = c<a ]c, a[, etc. Corollaire 3.2. (R n, T st,n ) est connexe pour tout n 1. Démonstration. Tout produit fini de connexes est connexe et nous savons que T st... T }{{ st = T } st,n. n fois 40

42 3.2 Espaces connexes par arcs Définition 3.2 (Connexe par arcs). Soit (X, T ) un espace topologique. Un chemin dans (X, T ) est une application continue λ : ([0, 1], (T st ) [0,1] ) (X, T ). λ est un chemin de λ(0) à λ(1). L espace topologique (X, T ) est connexe par arcs si x 0, x 1 X, il existe un chemin λ : ([0, 1], (T st ) [0,1] ) (X, T ) tel que λ(0) = x 0 et λ(1) = x 1. Proposition 3.1. Tout espace topologique connexe par arcs est connexe. Démonstration. Soit (X, T ) un espace topologique connexe par arcs. Si (X, T ) n était pas connexe, alors il y aurait une séparation (U, V ) telle que U = V, d où il existe u U et v V. Puisque (X, T ) est connexe par arcs, il existe un chemin λ : ([0, 1], (T st ) [0,1] ) (X, T ) tel que λ(0) = u et λ(1) = v. Considérons I(λ) X. Puisque λ est continue et ([0, 1], (T st ) [0,1] ) est connexe, nous savons que (Im(λ), (T ) Im(λ) ) est connexe. Par le lemme utile, soit Im(λ) U, soit Im(λ) V. Si Im(λ) U, alors en particulier v = λ(1) U. Or v V et U V =. CONTRADICTION. Nous avons donc Im(λ) U. De même, si Im(λ) V, alors on aurait u = λ(0) V. Or u U et U V = et donc nous avons aussi une contradiction et donc Im(λ) V. Nous avons donc une contradiction au fait que soit Im(λ) U, soit Im(λ) V. Conclusion : (X, T ) n admet aucune séparation, car l existence d une telle séparation mène à une contradiction. Exemple ) (X, T gr ) est connexe par arcs, car x 0, x 1 X, il existe un chemin λ : ([0, 1], (T st ) [0,1] ) (X, T gr ) défini par λ(0) = x 0, λ(1) = x 1, t > 0. Alors λ est bien continue puisque toute application dont le codomaine est muni de la topologie grossière est continue. ) (X, T disc ) n est pas connexe par arcs, car il n est pas connexe (avec X 2). 1) Soit A R n convexe, i.e, a 0, a 1 A le segment a 0 a 1 qui les relie est contenu dans A. Alors (A, (T st ) A ) est connexe par arcs (et donc connexe), car a 0, a 1 A, le chemin λ : ([0, 1], (T st ) [0,1] ) (A, (T st ) A ) défini par λ(t) = (1 t)a 0 + ta 1 a 0 a 1 A est continu et λ(0) = a 0, λ(1) = a 1. 2) La courbe sinus du topologue, illustré sur la Figure 7 est une exemple d un espace connexe mais non connexe par arcs. Figure 7 Courbe sinus du topologue. Considérons l application σ : (]0, 1], (T st ) ]0,1] ) (R 2, T st,2 )) définie par σ(x) = (x, sin(1/x)). σ est continue car les deux composantes le sont. Puisque (]0, 1], (T st ) ]0,1] ) est connexe, nous savons que (Im(σ), (T st ) ]0,1] ) est également connexe. Posons S = Im(σ). Nous avons alors (S, (T st,2 ) S ) connexe et donc ( S, (T st,2 ) S) est également connexe. Or S = S ({0} [ 1, 1]). On veut montrer que ( S, (T st,2 ) S) n est pas connexe par arcs. 41