TD D3 - Correction. 3 Anneaux d'égale inclinaison

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1 PSI - 013/014 1 TD D3 - Correction 3 Anneaux d'égale inclinaison 1. Lorsqu'on utlise l'interféromètre de Michelson en lame d'air avec une source étendue, les franges d'interférences sont des anneaux qui sont localisés à l'inni. An d'observer ces anneaux, on doit donc placer l'écran à "grande distance" ou dans le plan focal image d'une lentille convergente.. L'ordre d'interférence au centre vaut : = n aire = 408, 6 Ici, n'est ni entier, ni demi-entier : les interférences au centre sont donc "quelconques" ni PSI - Lycéedestructives, Bellevue ni constructives. Optique ondulatoire -Corrigé du TD n 4 Physique Interféromètre de Michelson On note cependant que l'ordre d'interférence au centre est proche d'un demi-entier qui serait 408,5 : on peut donc armer que le centre de la gure d'interférence est "plutôt sombre". Les anneaux brillants correspondent à un ordre d interférence entier. Or, pour des rayons incidents faisant un angle i avec les miroirs, la différence de marche entre deux rayons qui interfèrent vaut δ = δ 0 cos i où δ 0 = n air e est la différence de marche au centre. L ordre d interférence est donc de la forme p = cos i À mesure que l on s éloigne du centre du système d anneaux, l angle i augmente et l ordre d interférence diminue. Les deux premiers anneaux brillants sont donc définis par les ordres d interférences entiers : = 408 = cos i 1 et p = 407 = cos i Les angles correspondant aux deux premiers anneaux valent donc i 1 = Arccos p1 On en déduit le rayon des anneaux sur l écran : et i = Arccos ρ 1 = f tan i 1 et ρ = f tan i où f est la distance focale de la lentille de projection. Or, pour i [0, π/], tan i = sin i 1 cos i = cos i, de sorte que cos i 1 p ρ 1 = f 0 = f p0 p0 1 et ρ = f 1 p p On en déduit les valeurs numériques suivantes ρ 1 = 17 mm et ρ = 8 mm Remarque : On aurait pu utiliser l approximation des petits angles en posant cos i 1 i et tan i i On trouve alors

2 TD D3 - Correction Remarque : On aurait pu utiliser l'approximation des petits angles en écrivant : cos i 1 i et tan i i On trouve alors : On en déduit : soit : PSI - Lycée Bellevue Physique ρ 1 = f tan i 1 f i 1 i 1 = avec 1 p 1 ρ 1 = f 1 p 1 = 1 i 1 Optique ondulatoire -Corrigé du TD n 4 = 17 mm Interféromètre de Michelson De même ρ = f 1 p = 8 mm On retrouve les même valeurs numériques. On pourrait s étonner d obtenir des expressions littérales aussi différentes. Toutefois, compte-tenu de la valeur des ordres d interférence, on a Numériquement ε = 1, On a donc p0 1 = De même = 1 ε avec 0 < ε = 1 + ε 1 + oε = ε + oε 1 ε 1 Ces expressions sont identiques au premier ordre en ε. 3. Lorsqu on diminue l épaisseur entre les miroirs, l anneau correspondant à l ordre d interférence donné rétrécit. En effet p = cos i Comme p est fixé à une valeur entière par exemple pour un anneau brillant et que = n air e/ diminue, il faut nécessairement que cos i augmente, c est-à-dire que i diminue. Le premier anneau brillant précédent disparaît au moment où son rayon est égal à 0, ce qui correspond à un angle d incidence nul. Son ordre d interférence est alors égal à l ordre d interférence au centre p 0 qui a une valeur différente de la précédente puisque la distance entre les miroirs a varié. On en déduit = p 0 = n air e Numériquement : e = 1, 0998 mm. = ε soit e = n air = e e = e À ce moment, le premier anneau brillant correspond à l ordre d interférence p 1 = p et possède un rayon : ρ p 1 = f 0 p1 1 = f 1 = mm p 1 Ce rayon est supérieur à ρ 1 : lorsque l on diminue la distance entre les miroirs, les anneaux sont de plus en plus gros. D autre part, les anneaux les plus centraux disparaissent en atteignant le centre : p

3 = p 0 = n air e soit e = = e = e n air PSI - 013/014 3 Numériquement : e = 1, 0998 mm. À ce moment, le premier anneau brillant correspond à l ordre d interférence p 1 = p et possède un rayon : ρ p 1 = f 0 p1 1 = f 1 = mm p 1 Ce rayon est supérieur à ρ 1 : lorsque l on diminue la distance entre les miroirs, les anneaux sont de plus en plus gros. D autre part, les anneaux les plus centraux disparaissent en atteignant le centre : on dit que les anneaux "rentrent". 4. Le diamètre de la tache lumineuse sur l écran étant d = 10 cm, l angle d incidence maximal pour les rayons arrivant sur l écran est d i max = Arctan d PSI - Lycée Bellevue f f Optique ondulatoire -Corrigé du TD n 4 Physique Interféromètre de Michelson L ordre d interférence varie en au centre et p min = cos i max à la périphérie. L éclairement étant maximal au centre et le contact optique étant quasiment atteint, on peut supposer que l ordre d interférence est entier au centre. D autre part, comme l éclairement n est jamais minimal sur Tristanl écran, Brunier p ne peut jamais atteindre une valeur Page demi-entière. 4/5 Comme est entier, on aannée p min < 1/. D après la formule des interférences à deux ondes, l éclairement est de la forme p E = E max [1 + cosπp] où E max est la valeur maximale de l éclairement. On veut que E E max soit 1 + cosπp 0, 9 cosπp 0, 8 Or p = δp avec 1/ > δp > 0. On en déduit cosπp = cos [π δp] = cosπδp 0, 8 avec πδp [0, π] où l on a utilisé le fait que est entier. La fonction Arccos étant une fonction décroissante, on a Mais Finalement, on obtient la contrainte πδp Arccos0, 8 soit δp e Arccos0, 8 π δp max = p min = e 1 cos i max = e Arccos0, 8 π 1 cos i max = 81, 9 et e = n air, 3 µm Exercice IV : Défaut de planéité d un miroir 1. La lentille sert à projeter sur l écran l image des miroirs où sont localisées les franges d égale épaisseur la source est étendue. La valeur de la distance focale f peut être déduite de la formule de Newton pour le grandissement : γ = D f soit f = D = 18 mm f γ + 1. Au contact opique, l épaisseur de la lame d air et l angle du coin d air sont nuls, la différence de marche est donc nulle pour tout rayon incident sur la surface des miroirs s ils sont parfaitement plan. L éclairement sur l écran est uniforme on n observe aucune frange : on parle de teinte plate.

4 4 TD D3 - Correction 1 Mesure de l'épaisseur d'une lame 1. a Pour réaliser le faisceau de lumière parallèle, on utilise une lampe qui éclaire un diaphragme que l'on place dans le plan focal objet d'une lentille convergente. b Avec un faisceau de lumière parallèle, la diérence de marche en un point quelconque de l'écran est δm = e. Cette valeur est la même en tout point de l'écran elle ne dépend pas de la position de M, on a donc un éclairement uniforme sur l'écran. c L'éclairement en M est donné par la formule des interférences à deux ondes : ] π EM = E 0 [1 + cos δm d L'éclairement est maximal lorsque le cosinus est égal à un, et vaut alors : E max = 4E 0. a Lorsque l'interféromètre est éclairé par une source ponctuelle à distance nie, les diérents rayons arrivent sur les miroirs avec des angles d'incidence diérents. On montre que dans ce cas la diérence de marche en point M de l'écran repéré par un angle α vaut : δm = e cos α On observe alors des anneaux cercles concentriques sur l'écran. b La diérence de marche dépend de α, c'est-à-dire de la position du point M sur l'écran : on ne peut donc pas avoir un éclairement uniforme sur l'écran, sauf en prenant e = 0. Dans ce cas, l'éclairement est maximal et vaut : E max = 4E 0 Dans cette conguration, les miroirs M 1 et M sont perpendiculaires et à égale distance de la séparatrice puisque e = 0 : l'interféromètre de Michelson est au contact optique. Attention : dans la question 3, on garde une épaisseur nulle pour la lame d'air, comme à la question contrairement à ce qui est indiqué dans l'énoncé.

5 PSI - 013/014 5 Franges d'égale épaisseur 1. Le Michelson est réglé en coin d'air et éclairé par une source étendue : les franges d'interférence sont donc des franges rectilignes qui sont localisées au voisinage des miroirs. Pour observer ces franges d'égale épaisseur, il faut projeter l'image des miroirs sur l'écran, ce qu'on fait avec la lentille de distance focale f.. Pour le coin d'air éclairé par une source étendue en incidence quasi-normale, le calcul approché de la diérence de marche au niveau des miroirs donne : δx αx où X est l'abscisse du point considéré sur le miroir. Cela correspond à un interfrange sur les miroirs qui s'exprime : i λ α La valeur de i donnée par l'énoncé est l'interfrange mesuré sur l'écran, qui correspond à l'image donnée par la lentille des franges formées sur les miroirs. Pour en déduire la valeur de l'interfrange sur les miroirs, on utilise la formule du grandissement de Newton, c'est-à-dire avec origine au foyer cf. cours de première année : On obtient donc : γ = i ecran = F A i miroir f = D f f α = λ i miroir = λ i ecran γ A.N. : Le grandissement vaut : γ = D f 1, 3 0, f = = 1, 1 0, 0, On obtient alors : α rad soit 1,5 minute d'arc. soit γ = 5, 5 3. L'interfrange i étant la distance entre deux franges brillantes, N franges correspondent à une largeur Ni. Le nombre de franges visible sur le miroir de diamètre d est donc environ : N = d i 30 franges. 4. Notons OX l'axe perpendiculaire aux franges sur un des miroirs, avec O correspondant à la frange brillant la plus proche du centre du miroir. Par dénition, l'ordre d'interférence en O est un entier frange brillante, notons-le. L'ordre d'interférence en X est : L'éclairement en X vaut : px = + δx = + αx EX = E cos [ πpx ] = E0 [1 + cos π + π ] αx L'énoncé demande un éclairement uniforme à 10% près sur le miroir de diamètre d, ce qui revient à imposer : Ed/ 0, 9 E max Il vient, sachant que est un entier et que E max = 4 E 0 : ] π E 0 [1 + cos αd 0, 9 4 E 0 On en déduit : π cos αd 0, = 0, 8 soit α πd arcos0, rad 0, 6 seconde d'arc Cette valeur est très faible : on obtient donc des miroirs M 1 et M quasiment parallèles.

6 6 TD D3 - Correction 4 Expérience de Michelson et Morlaix