Applications du produit scalaire

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1 Applications du produit scalaire Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Relations métriques dans un triangle quelconque 1.1 Quelques notations Formule des cosinus Équations de cercle 3.1 Connaissant le centre et le rayon Connaissant un diamètre Quelques compléments de trigonométrie Formules d addition Formules de duplication Table des figures 1 Notations Relations métriques dans un triangle quelconque Triangle inscriptible dans un demi-cercle Formules d addition Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE QUELCONQUE en préliminaire au cours : Activités : Activités 1 1 et page 41 [TransMath] 1 Relations métriques dans un triangle quelconque 1.1 Quelques notations Soit ABC un triangle quelconque (voir figure 1. On note : a = BC ; b = AC ; c = AB et  = BAC ; B = ÂBC ; Ĉ = BCA. Figure 1 Notations Relations métriques dans un triangle quelconque 1. Formule des cosinus (ou formule d Al-Kashi On a : BC = BA + AC = AB + AC = AC AB. Par suite : BC = BC ( a = AC AB a = AC AC. AB + AB Par un raisonnement analogue, on obtient : a = AC AC AB cos BAC + AB a = b bc cos  + c a = b + c bc cos  Théorème : Formule des cosinus Soit ABC un triangle quelconque. Avec les notations du 1.1, on a : a = b + c bc cos  b = a + c ac cos B c = a + a ab cos Ĉ Remarque : Si le triangle ABC est rectangle en A, alors cos  = 0. La formule d Al-Kashi devient alors : a = b + c On retrouve donc le résultat du théorème de Pythagore. Exercices : 1,, 3, 4 page 45 et 49, 5 page page 56 et 59 page 57 4 [TransMath] 1. Calculer cos π 1.. Calculer dans un triangle. 3. Calculs de longueurs et d angles. 4. Pour aller plus loin.

3 ÉQUATIONS DE CERCLE Équations de cercle Dans toute cette section, on se place dans un repère (O ; ı ; j orthonormal..1 Connaissant le centre et le rayon Exemple : On veut déterminer une équation du cercle C de centre Ω ( 1 ; et de rayon 3. M (x ; y C si et seulement si ΩM = 3, d où ΩM = 3 = 9. De plus, ( x + 1 ΩM donc ΩM y = ΩM = (x (y. Une équation du cercle C est donc : (x (y = 3. Remarque : Après développement et simplification, cette équation devient : x + y + x 4y 4 = 0. Propriété : Soit C le cercle de centre Ω (α ; β et de rayon R. Alors, une équation de C est : (x α + (y β = R Remarques : 1. La démonstration de cette propriété reprend exactement la même démarche que celle de l exemple. Elle peut être traitée en exercice.. Cette propriété montre que tout cercle admet une équation de la forme : x + y + ax + by + c = 0. Reste à étudier une tentative de réciproque : toute équation de la forme x + y + ax + by + c = 0 est-elle l équation d un cercle? Exemple : Montrer que l équation x + y x + 4y 0 = 0 est l équation d un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Méthode : On va essayer de mettre l équation sous la forme (x α + (y β = R. Pour cela, on va considérer x x et y + 4y comme les deux premiers termes du développement d un carré a. a. Voir le chapitre «Polynômes - Second degré» pour de plus amples renseignements sur la forme canonique. ( x x est le début du développement de (x 1 : (x 1 = x x + 1 donc x x = (x 1 1 ( y + 4y est le début du développement de (y + : L équation proposée devient donc : (y + = y + 4y + 4 donc y + 4y = (y + 4 x x + y + 4y 0 = 0 (x (y = 0 (x 1 + (y + = 5 (x 1 + (y ( = 5 Cette équation est donc l équation du cercle C de centre Ω (1 ; et de rayon 5. Remarque : Attention! Toute équation de la forme x + y + ax + by + c = 0 n est pas une équation de cercle. Voir exercices pour des contre-exemples. Exercices : 10, 11, 13, 14 page 47 et 63 page , 16, 18 page 48 et 64 page , 68, 69, 7 page , 71 page , 101 page page 6 10 [TransMath] 5. Déterminer une équation de cercle. 6. Reconnaître une équation de cercle. 7. Droite tangente à un cercle. 8. Cercle passant par trois points. 9. Intersection de deux cercles. 10. Une famille de cercles. 3

4 . Connaissant un diamètre 3 QUELQUES COMPLÉMENTS DE TRIGONOMÉTRIE. Connaissant un diamètre Propriété : Soit C le cercle de diamètre [AB]. M est sur le cercle C si et seulement si MA. MB = 0. Démonstration : Si M est en A ou en B, le résultat est évident. Sinon, M C si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M (voir figure, c est-à-dire (M A et (M B perpendiculaires. On a donc bien MA. MB = 0. Figure Triangle inscriptible dans un demi-cercle Exemple : Déterminer l équation du cercle C de diamètre [AB] avec A ( 1 ; et B (1 ; 3. M (x ; y C si et seulement si MA. MB = 0. Or, ( 1 x MA et ( 1 x MB. On a donc : y 3 y Une équation de C est x + y 5y + 5 = 0. ( 1 x (1 x + ( y (3 y = x x + x + 6 y 3y + y = 0 Exercices : 1 page 47 et 67 page [TransMath] x + y 5y + 5 = 0 3 Quelques compléments de trigonométrie 3.1 Formules d addition Théorème : a et b sont deux réels. cos (a b = cos a cos b + sin a sin b cos (a + b = cos a cos b sin a sin b sin (a b = sin a cos b cos a sin b sin (a + b = sin a cos b + cos a sin b Démonstration : Soit (O ; ı ; j un repère orthonormal ( direct et C le cercle trigonométrique. Soient A et B deux points de C tels que ı ( ; OA = a [π] et ı ; OB = b [π] (voir figure Équation d un cercle connaissant un diamètre. 4

5 3 QUELQUES COMPLÉMENTS DE TRIGONOMÉTRIE 3. Formules de duplication Figure 3 Formules d addition ( ( ( OB ; OA = OB ; ı + ı ( ; OA = ı ( ; OB + ı ; OA = b + a = a b. De plus, par définition du cosinus et du sinus, A (cos a ; sin a et B (cos b ; sin b. On peut calculer le produit scalaire OB. OA de deux façons : Forme trigonométrique : ( OB. OA = OB OA cos OB ; OA = 1 1 cos (b a A l aide descoordonnées : OB. OA = cos a cos b + sin a sin b On obtient donc : cos (b a = cos a cos b + sin a sin b. Pour trouver les autres formules, il suffit d utiliser les angles associés : cos (a + b = cos (a ( b = cos a cos ( b + sin a sin ( b = cos a cos b sin a sin b ( π sin (a b = cos (a b (( π a = cos = cos + b ( π a cos b sin = sin a cos b cos a sin b ( π a sin b sin (a + b = sin (a ( b = sin a cos ( b cos a sin ( b = sin a cos b + cos a sin b Exercices : 0, 1, 3, 5 page 49 ; 87, 88 page 60 et 94 page 61 1 [TransMath] 3. Formules de duplication Propriété 1 : Soit x un réel. cos (x = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x sin (x = cos x sin x 1. Formules d addition. 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Démonstration : cos (x = cos (x + x = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x De plus, comme cos x + sin x = 1, sin x = 1 cos x, donc : cos (x = cos x ( 1 cos x = cos x 1. De même, cos x = 1 sin x, donc cos (x = ( 1 sin x sin x = 1 sin x. sin (x = sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x. Propriété : Soit x un réel. cos x = 1 + cos (x et sin x = 1 cos (x Remarque : Ces deux dernières formules se trouvent très rapidement à l aide des relations cos (x = cos x 1 et cos (x = 1 sin x. Exercices : 6, 7, 30 page 50 et 85, 86, 9 page page 5 14 [TransMath] Références [TransMath] transmath 1 re S, édition 011 (Nathan, 3, 4, 5, Formules de duplication. 14. Pentagone régulier. 6