Chapitre 9 : fonctions du second degré descriptives. P : y = x 2. On dit que la courbe représentative de la fonction carré est une... de... O.

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1 Chapitre 9 : fonctions du second degré descriptives I. La fonction carré I. 1 Définition Définition La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe son carré x. Si on note f la fonction carré, on a : f : x x Autrement dit, la fonction carré, ici notée f, est telle que pour tout réel x, f(x) = x. L ensemble de définition de f est : D f =... Exemple 1 : f(3) =... f( 4) =... a pour image..., mais 4 a pour antécédents a... antécédents par f :... I. Représentation graphique x f(x) P : y = x On dit que la courbe représentative de la fonction carré est une... de... O. I. 3 Sens de variation de la fonction carré Nous avons vu dans l activité que les variations de la fonction carré sont les suivantes : x f(x)

2 Chapitre 9 : fonctions du second degré Propriété La fonction carré est strictement décroissante sur... et strictement croissante sur... Le minimum de la fonction carré est..., autrement dit : pour tout réel x, x... La preuve a été faite dans l activité d introduction. I. 4 Ordre et fonction carré Exemple : < 5, donc...5, car la fonction carré est... 6 < 3 donc ( 6)...( 3), car la fonction carré est... Propriété deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On dira que la fonction carré... l ordre sur.... deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. On dira que la fonction carré... l ordre sur.... I. 5 Parité de la fonction carré Définition Une fonction f définie sur un intervalle I de R sera dite paire si elle vérifie les deux conditions suivantes : pour tout x I, x I (on dit que l intervalle I est symétrique par rapport à 0) pour tout x I, on a : f(x) = f( x) On note f la fonction carré, c est à dire la fonction f telle que : pour tout x R, f(x) = x. Etudions la parité de f sur R : f(x) =... et f( x) =... =... Propriété La fonction carré est une fonction paire. La courbe représentative de la fonction carré admet donc l axe des... comme axe de symétrie. P : y = x 1 0 1

3 Chapitre 9 : fonctions du second degré 3 II. Les fonctions polynômes de degré Définition Une fonction polynôme de degré est une fonction f définie sur R et pouvant s écrire f(x) = ax +bx+c où a,b et c sont des réels et a 0 Exemple 3 : Pour les fonctions suivantes, déterminer si ce sont des fonctions polynômes du second degré et dans ce cas donner la valeur des différents coefficients : la fonction f : x 4x +5x 7 est n est pas une fonction polynôme du second degré la fonction g : x 8+6x 6x est n est pas une fonction polynôme du second degré la fonction h : x 4x +6 est n est pas une fonction polynôme du second degré la fonction i : x 4(x+) (x ) est n est pas une fonction polynôme du second degré II. 1 Représentation graphique Considérons les deux fonctions f et g suivantes sur [ 1.5;4.5]. Représentation graphique sur [ 1.5; 4.5] de f : x x 3x 1 Représentation graphique sur [ 1.5; 4.5] de g : x x +3x

4 Chapitre 9 : fonctions du second degré 4 Tracer sur votre calculatrice quatre autres fonctions polynômes du second degré, et noter ci-dessous leurs expressions : Observations : Propriété Soient a, b et c trois réels tels que a 0. la courbe représentative de la fonction x ax +bx+c est.... Elle admet pour sommet le point d abscisse.... elle admet également un.... C est la droite d équation.... Exemple 4 : la représentation de la fonction f définie sur R par f(x) = x 3x 1 est une... dont le sommet S a pour coordonnées : la fonction g définie définie sur R par g(x) = x + 3x + 4 est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées : Algorithme : Réaliser sur votre calculatrice un algorithme qui prend en entrée les coefficients a, b et c d une fonction polynôme et qui retourne les coordonnées du sommet. II. Sens de variations Soit f une fonction polynôme de degré avec f(x) = ax +bx+c où a,b et c trois réels tels que a 0. Alors on a les tableaux de variations suivants suivant le signe de a : si a > 0 si a < 0

5 Chapitre 9 : fonctions du second degré 5 théorème Soient a,b et c trois réels tels que a 0. Notons f la fonction f : x ax +bx+c. Alors : si a > 0 : on dit que la parabole est "tournée" vers le... f est d abord... sur..., puis... sur... si a < 0 : on dit que la parabole est "tournée" vers le... f est d abord... sur..., puis... sur... Exemple 5 : Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 4x +5x. Donner le tableau de variation complet de la fonction. théorème Toute fonction polynôme du second degré ax +bx+c peut s écrire sous la forme : f(x) = a(x α) +β où : α = b et β = f(α) Cette forme s appelle la forme... de la fonction f. Le sommet de la parabole représentative de f a alors pour coordonnées : S(...;...). Exemple 6 : Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 10x+1 1 Donner la forme canonique de f. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentative de f. 3 Factoriser f(x) en vous servant de la forme canonique. 4 En déduire le tableau des signes de la fonction f.

6 Chapitre 9 : fonctions du second degré 6 III. Equations et inéquations du second degré Propriété si k < 0 l équation x = k n a pas de solution ( un carré est toujours positif) l équation x = 0 a une seule solution : x = 0 si k > 0 l équation x = k a solutions k et k Exemple 7 : Résoudre : x = 5 x = Méthode 1 Résolution de (x+) = 5 Cette équation a la forme X = 5 avec X =... Or X = 5 admet solutions X = 5 et X = 5. On a donc : x+ = 5 et x+ = 5 D où les deux solutions de l équation x = 5 et x = 5 Exemple 8 : Résoudre : (x 3) = 7 (x 5) = 3 (x 1) = 10 Exemple 9 : En utilisant la représentation de la fonction carrée, donner l ensemble des solutions des inéquations suivantes : x > 5 x < 3 x 1 Méthode Résoudre (x+3) 5 > 0 On a donc à résoudre (x+3) > 5 ce qui correspond à X > 5 avec X = x+3 Or X > 5 admet comme ensemble de solutions ] ; 5[ ] 5;+ [ Donc X < 5 ou X > 5, donc x+3 < 5 ou x+3 > 5 Soit donc x < 5 3 ou x > 5 3 L ensemble des solutions de l inéquation de départ est donc ] ; 5 3[ ] 5 3;+ [ Nous verrons dans la pratique qu une factorisation peut s avérer plus simple!!! Exemple 10 : Résoudre (x 5) 9 > 0

7 Chapitre 9 : fonctions du second degré 7 Bilan Soient a,b et c trois réels tels que a 0. Notons f la fonction f : x ax +bx+c. Alors : a > 0 a < 0 α = b S c c S α = b La parabole est tournée vers le haut. La parabole est tournée vers le bas. Le point d intersection de la parabole avec son axe de symétrie est le sommet de la parabole. La droite d équation x = b est un axe de symétrie pour la parabole. Le sommet de la parabole a pour abscisse b. f atteint un minimum en b qui vaut f ( ) b f atteint un maximum en b qui vaut f ( ) b La forme canonique de f est a(x α) +β où α = b et β = f(α) x b + variations ց ( ր de f f b ) x ( b f b ) variations ր ց de f +

8 Chapitre 9 : fonctions du second degré 8 Exercice 1 : On considére la fonction carré définie par f : x x. 1 (a) Déterminer un intervalle d amplitude 10 sur lequel la fonction est croissante. (b) Déterminer un intervalle d amplitude 6 sur lequel la fonction est décroissante. (c) Déterminer un intervalle d amplitude 5 sur lequel le sens de variation de la fonction change. (d) Déterminer un intervalle d amplitude 7 sur lequel la fonction a pour minimum 0 et pour maximum 16. (a) Donner les extremums de f sur l intervalle I = [0, 5; 3]. (b) Même question pour l intervalle [ 3; 1]. (c) Même question pour l intervalle [ 3;]. Exercice : Associer à chaque affirmation (1 à 4) sa justification (5 à 8) : 1 Un carré est toujours positif. ( 5,) > ( 5,1). 3 ( 9,54) = 9, < f : x x est décroissante sur R. 6 f : x x admet pour minimum 0. 7 f : x x est croissante sur R +. 8 f : x x est paire. Exercice 3 : En s aidant éventuellement de la courbe de la fonction carrée ou de son tableau de variation, compléter par ce qu il est possible de déduire pour x : 1 Si x > 3 alors... Si x < 4 Si x < 3 alors... alors... 5 Si x < 4 alors... 3 Si x > alors... 6 Si x > 10 alors... 7 Si x < 1 alors... 8 Si x > 5 alors... Exercice 4 : En justifiant à l aide des variations de la fonction carré, donner un encadrement de x danc chacun des cas suivants : 1 0 x 1. 3 x. 3 x 4 x 1. Exercice 5 : Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1 x = 4; 5 x < 4; 9 4 x 9; x = 5; 3 x = 0; 4 x = ; 6 x 9; 7 x > ; 8 x 3; 10 1 x 9; 11 0 x 8; 1 4 > x > 1. Exercice 6 : L énoncé «si x, alors x 4» est appelé une implication. On dit aussi «x implique x 4» ou bien «x donc x 4». On note «x x 4». 1 L implication proposée est-elle vraie? Justifier. Parmi les implications suivantes, indiquer celles qui sont vraies et celles qui sont fausses. (a) x < 1 x > 1 (c) x < 0 x < 0 (b) x = 4 x = (d) x < (e) x = x = ou 3 x < 3 x = 3 Traduisez par une implication les propositions suivantes : (a) Un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à son carré. (b) Si le nombre x est tel que 1 x 1, alors 1 x est positif. (c) Un nombre supérieur à 1 a un carré supérieur à 1.

9 Chapitre 9 : fonctions du second degré 9 Exercice 7 : Les nombres a et b sont positifs. L énoncé «a < b équivaut à a < b» signifie que a < b a < b et que a < b a < b. On dit aussi «a < b si et seulement si a < b. On note a < b a < b. Parmi les équivalences suivantes, indiquer celles qui sont vraies et celles qui sont fausses. 1 Pour tous réels a et b, a < b a < b Pour tous réels négatifs a et b, a < b a > b 3 Pour tous réels a et b, a = b a = b ou a = b 4 x < 1 x < 1 Exercice 8 : On donne : f(x) = 5 (x+1) ; g(x) = (x 1)(+3x); h(x) = (x 1)(x+1) (x+1). 1 Montrer que les 3 fonctions sont des fonctions trinômes. Dresser leurs tableaux de variation. Exercice 9 : On donne f(x) = x +x 1. 1 Montrer que f(x) = (x+1). En déduire les solutions de l équation f(x) = 0. 3 Dresser son tableau de variation en y faisant apparaître les solutions précédentes. 4 En déduire les solutions de l inéquation f(x) 0. 3 Indiquer les éléments de symétrie de leurs courbes représentatives. Exercice 10 : On donne f(x) = x + x 15 pour tout x. 1 Montrer que f(x) = (x 3)(x+5). Montrer que f(x) = (x+1) En utilsant la forme la plus adaptée : (a) Résoudre f(x) = 0. (b) Résoudre f(x) 9. Exercice 11 : On donne f(x) = x + x 6 pour tout x. 1 Montrer que f(x) = (x 3 )(x+ ). Montrer que f(x) = (x ) 8. 3 En utilsant la forme la plus adaptée : (a) Résoudre f(x) = 4. (b) Résoudre f(x) 0. Exercice 1 : Dans cet exercice, on s intéresse à la fonction f définie sur R par f(x) = x x 3 1 Décrire les variations de cette fonction, en justifiant rapidement mais sans préciser aucune valeur. La formule permet-elle de déterminer le nombre de solutions de l équation f(x) = 0? 3 Vérifier que f(x) = (x+1)(x 3) et que f(x) = (x 1) 4. Nous avons maintenant trois formules différentes pour la fonction f. Dans les questions suivantes, il faudra choisir quelle formule permet de répondre le plus facilement. 4 Calculer l image de 0 par la fonction f. 5 Calculer l image de 1 par la fonction f. 6 Calculer l image de 1 par la fonction f. 7 Déterminer les solutions de l équation f(x) = 0. 8 Déterminer le minimum ou le maximum de la fonction f et préciser la valeur de x pour laquelle il est atteint. 9 Dresser le tableau de signes de f sur R. 10 Dresser le tableau de variations de f sur R.

10 Chapitre 9 : fonctions du second degré 10 Exercice 13 : On s intéresse dans cet exercice aux 1 fonctions polynômes du second degré définies ci-dessous. g 1 (x) = x 1 ; g (x) = (x 3 ) + 9 ; g 3 (x) = (x 1)(x 5); g 4 (x) = (x )(x+); g 5 (x) = x +x 3 ; g 6 (x) = x 4 ; g 7 (x) = (x +1); g 8 (x) = (x 1) ; g 9 (x) = (x 3) 4 ; g 10 (x) = x +6x; g 11 (x) = x(x 6); g 1 (x) = x 6x+5 ; 1 Repérer les fonctions égales dans la liste ci-dessus. Pour chaque fonction, répondre à chacune des questions suivantes en utilisant la formule la mieux adaptée. (a) Déterminer les antécédents de 0. (b) Dresser le tableau de signes de la fonction. (c) Déterminer l extremum de la fonction en précisant sa nature et la valeur de x pour laquelle il est atteint. (d) Dresser le tableau de variations de la fonction. Exercice 14 : Sur le graphique ci-contre sont tracées une droite D et une parabole P. Cette dernière représente la fonction f définie sur R par f(x) = 3 x. 1 (a) Résoudre l équation f(x) = 0. (b) En déduire, graphiquement, le signe de f(x) en fonction de x. (a) Déterminer la fonction affine g représentée par D. (b) Résoudre, graphiquement, l inéquation f(x) > g(x). 3 On désire retrouver par le calcul le résultat précédent. (a) Prouver que f(x) > g(x) équivaut à x + x+ > 0. (b) Vérifier que (x+1)( x) = x +x+. Problème 1 : ABCD est un carré de côté 4cm. M est un point de [AB] et N un point de [AD] tel que AM = DN. P est le point tel que AMPN est un rectangle. On cherche à trouver la position de M telle que l aire du rectangle AMPN soit maximale. On note AM = x et on appelle f(x) la fonction qui donne l aire du rectangle AMPN en fonction de x. 1 Sur quel intervalle f est-elle définie? Donner l expression de f(x). (c) Résoudre alors l inéquation f(x) > g(x) O 1 x 3 En déduire la réponse au problème. A M B D N 1 3 P C Problème : Un jardinier dispose d un terrain rectangulaire de 1m sur 8 m. Il désire le partager en quatre parcelles bordées par deux allées perpendiculaires de même largeur x. Il estime que l aire des deux allées doit représenter 1 6 de la superficie de son terrain. Le but de ce problème est de déterminer la largeur x des allées. 1 Exprimer en fonction de x l aire des deux allées. (a) Prouver que le problème revient à résoudre l équation x 0x+16 = 0. (b) Vérifier que x 0x+16 = (x 10) 84. (c) En déduire x. 8 m 1 m x

11 Chapitre 9 : fonctions du second degré 11 Problème 3 : Une entreprise produit de la farine de blé. On note q le nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0 < q < 80. On appelle C(q) le coût total de fabrication, R(q) la recette obtenue par la vente et B(q) le bénéfice obtenu par la vente de q tonnes de farine. 1 Sachant que chaque tonne est vendue 10, exprimer R(q) en fonction de q. Sachant que C(q) = q +10q +900 : (a) Déterminer l expression de B(q). (b) Montrer que B(q) = (q 10)(q 45). 3 Déterminer la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable. 4 Déterminer la production correspondant au bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice. Problème 4 : Le propriétaire d un cinéma de 1000 places estime, pour ses calculs, qu il vend 300 billets à 7 par séance. Il a constaté qu à chaque fois qu il diminue le prix du billet de 0,1, il vend 10 billets de plus. Il engage une campagne de promotion. 1 Il décide de vendre le billet 5. (a) Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance? (b) Quelle est alors la recette pour une séance? À quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la salle? Commenter. 3 Le propriétaire envisage de proposer x réductions de 0,1. (a) Quel est alors le prix d un billet en fonction de x? (b) Exprimer en fonction de x la recette, notée r(x), pour une séance et vérifier que r(x) = x +40x+100. (c) En déduire la recette maximale, le prix du billet et le nombre de spectateurs à cette séance. Problème 5 : Une société de livres par correspondance a actuellement abonnés qui paient, chacun, 50 par an. Une étude a montré que chaque fois qu on augmente d 1 le prix de l abonnement annuel, cela entraîne une diminution de 100 abonnés et chaque fois qu on baisse d 1 le prix de l abonnement annuel, cela entraîne une augmentation de 100 abonnés. On se propose de trouver comment modifier le prix de l abonnement annuel pour obtenir le maximum de recette. n désigne la variation du prix de l abonnement annuel en euros (n est un entier relatif). 1 Exprimer en fonction de n le prix de l abonnement annuel, et le nombre d abonnés correspondant. Exprimer en fonction de n la recette annuelle de cette socité, notée R(n). 3 Déterminer la valeur de n pour laquelle R(n) est maximum. Quel est alors le montant de l abonnement annuel, le nombre d abonnés et la recette totale correspondante?