Introduction à la physique des plasmas cours 2: collisions dans les plasmas

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1 à la physique des plasmas cours 2: collisions dans les plasmas S. Mazevet Laboratoire de Structure Electronique Département de Physique Théorique et Appliquée Commissariat à l Energie Atomique Bruyères-Le-Châtel, France p-1/12

2 Table of contents 1 Collisions avec des neutres/ particules chargées 2 Collisions dans un plasma complétement ionizé Collisions coulombiennes Section efficace de collision élastique Section efficace de Section efficace de transfert Calcul de Logarithme Coulombien p-2/12

3 On parle de collisions lorsque deux particules animées d un mouvement rectiligne change de direction et reprennent un mouvement rectiligne aprés Une section efficace peut être définie pour tous les types de collisions Dans le cas le plus simple d une collision avec un atome neutre on peut distinguer entre : * les collisions élastiques: les deux particules gardent leur identitée et l atome reste dans le même état d énergie * les collisions inélastiques: l atome et l électron change d état d énergie, excitation, ionisation,... : * on considére une matériau d épaisseur dx et contenant n n atomes neutres par unité de volume * on considére les atomes comme des sphéres opaques de section efficace σ qui bloquent les électrons p-3/12

4 II * un faisceau d électrons incidents de flux Γ émerge de l autre coté avec un flux Γ(1 n n σdx) Γ dx = n nσγ d où Γ = Γ 0 exp( x/λ mfp ) (1) λ mfp = (n n σ) 1 est appelé le libre parcours moyen. C est la distance parcourue par un électron avant qu il ne retrouve une probabilité importante de rentrer en collision avec un autre atome. Pour un électron se déplacant à une vitesse v, le temps moyen entre deux collisions est τ = λ mfp /v On définit la fréquence de collisions (l inverse de τ) comme une moyenne sur la distribution des vitesses dans le plasma (Maxwellian) ν =< τ 1 >= n n < σv >= (n n /n e ) f e (v)σ(v)vd 2 v (2) La section efficace est elle même dépendente de la vitesse p-4/12

5 Collisions avec des neutres/ particules chargées Pour une collisions avec un atome neutre la section efficaces est σ n πa m 2 (3) Lorsqu un électron arrive à une distance r d un ion il subit une force attractive F r = e2 4πɛ 0 r 2 (4) l angle de déflection va être important lorsque l énergie cinétique et potentielle sont comparables e 2 4πɛ 0 b T e mv 2 (5) On définit ainsi une section efficace coulombienne σ i πb 2 πe 4 /(4πɛ 0 ) 2 T 2 e /T 2 e (ev )m 2 Les collisions coulombiennes dominent largement dans un plasma même faiblement ionisé p-5/12

6 Collisions coulombiennes proches On considère un électron de masse m e, charge e, et vitesse v approchant un ion fixe de charge Ze Si Z = 0, on peut définir un paramètre d impact b qui peut être considéré comme la distance la plus proche L attraction coulombienne entraine une déflection. L électron décrit une trajectoire hyperpolique (force en 1/r 2 ) tan θ 2 = b 0 b = Ze 2 4πɛ 0 mv 2 (6) b Pour une déflection θ = 90 o, le paramètre d impact b doit avoir la valeur b 0 = Ze2 4πɛ 0 mv 2 (7) La section efficace pour une diffusion à 90 o est donc σ i = πb 2 0 = πz 2 e 4 (4πɛ 0 ) 2 m 2 v 4 (8) p-6/12

7 s dω: surface de la couronne plane comprise entre b et b + db pour laquelle un e à la vitesse v est dévié à θ dans l angle solide dω dω = 2πsinθdθ = 2πbdb (9) Pour un flux de particules φ = particules déviées est nbrepart. unitt.unitsurf. le nombre de dn = φdωdt (10) Pour N diffuseurs, le nombre de particules déviées à θ vaut en négligeant les collisions multiples Probabilité de diffusion p = dn = φ dt σdω N (11) dn diff dn incident = NσdΩ ds p-7/12

8 Section efficace de On cherche à exprimer en fonction de θ et b 0 { 2πbdb = 2πsinθdθ tan( θ 2 ) = b b 0 (12) une différentation de la deuxième équation donne b 3 dθ 2cos 2 (θ/2) = b.b 0db (13) cos(θ/2) en utilisant b = b 0 sin(θ/2) et sinθ = 2cos(θ/2)sin(θ/2) on obtient pour la section efficace de Section efficace totale σ 0 = π 0 = dθ = b 2 0 4sin 4 (θ/2) π 0 b 2 0 4sin 4 (θ/2) σ 0 diverge lorsque θ 0: aux grands paramètres d impacts (14) (15) p-8/12

9 Section efficace de transfert Pour une particule diffusée sur un ion de charge Ze, le moment suivant x varie: δp x = p(1 cosθ) On cherche la variation en fonction du temps dp dt dn = φdtσdω part. diffusées à θ dp = dn.p(1 cosθ) variation de la quantité de mouvement dp dt = φp(1 cosθ)σdω variation de p(t) (16) En intégrant sur tous les angles θ, on obtient dp dt = π 0 (1 cosθ)dω (17) On obtient la section efficace de transfert de qte de mvt = π 0 (1 cosθ)dω (18) p-9/12

10 Section efficace de transfert En utilisant la section efficace de et On obtient = π 0 b 2 0 (1 cosθ) 4sin 4 2πdθ (19) (θ/2) cosθ = cos 2 (θ/2) sin 2 (θ/2) sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2) u u dt = lnu b a b a (20) = 4πb 2 0[lnsin(θ/2)] π 0 (21) diverge lorsque θ 0. Il faut donc introduire un θ min ou un b max : un cut-off p-10/12

11 Logarithme Coulombien Dans un plasma, les charges sont écrantées au dela de λ d Il faut donc poser on obtient alors tan( θ 2 ) = b 0 b θ 2 = b 0 b (22) = 4πb 2 0ln( λ D b 0 ) = 4πb 2 0ln (23) = λ D b 0 = Ze2 4πɛ 0 mv 2 (24) est le logarithme Coulombien On peut prendre une valeur moyenne de b 0 en posant mv 2 = 3k b T dépend de la température et de la densité ln et varie faiblement en température et densité. Cette quantité est tabulée. La fréquence de collisions est donnée par ν ei = n i v p-11/12

12 Importance des collisions proches/lointaines Les collisions proches sont donnée par σ proche ei = 4πb 2 0[lnsin(θ/2)] π π/2 (25) = 4πb 2 0ln(2/ 2) (26) = πb 2 0 (27) On obtient alors le rapport collisions proches/lointaines σ proche ei = 0.35 ln (28) Nous voyons donc que les collisions lointaines dominent dans un plasma Pour que les ondes plasmas dominent la dynamiques il faut que ω p >> ν ei p-12/12