Commentaires préliminaires. Partie I: cas de la dimension 1.

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1 Préparation au CAPES externe -, Correction succincte du problème sur le laplacien discret Commentaires préliminaires Ce document n est pas à proprement parler une correction, mais plutôt une série d indications que j espère suffisamment détaillées Ce sujet a été librement inventé à partir de la discrétisation du problème de Dirichlet en dimensions et par la méthode des différences finies, suite à une discussion avec Ludovic Rifford A Approche algèbrique Partie I: cas de la dimension Aa On démontre H N est le noyau de l application linéaire f N id N : v ker(f N id N ) i {,, N} f(v) i = v i i {,, N } v i + v i+ = v i v H N Ab La matrice F N de f N dans la base canonique de R N est: F N := On a en particulier F 3 = et F = Ac On a F N I N = La famille des vecteurs lignes est liée (elle contient le vecteur nul), donc le déterminant de cette matrice est nul Aa L équation homogène pour cette suite arithmético-géométrique est x + x + =, qui admet comme racine double On sait que la suite x n est alors de la forme ( )n (α + β n), et on trouve α = β = par identification sur les deux premiers termes, d où: ( n, x n = ) n ( + n) On voit facilement que x n pour tout n

2 Ab On remarque que det(g ) =, det(g ) = 3 Pour n, en développant le déterminant de G n+ par rapport à la première ligne on obtient det(g n+ ) = det(g n+ ) det G n, et en développant le déterminant de droite par rapport à la première colonne on obtient det(g n+ ) = det(g n+ ) det(g n) On en déduit que det(g n ) = x n pour tout n, et donc que det(g n ) est toujours non nul A3 On remarque que F N I N = G N : la famille des vecteurs lignes est de rang au plus N, et puisque la matrice extraite G N est inversible (car de déterminant non nul) on en déduit que le rang de F N I N est N Le théorème du rang indique que la dimension du noyau HN de f N id N est N (N ) = Aa Soit v R N, pour i {,, N} on note M i le point de coordonnées (x i, y i ) = (i, v i ) Si v est harmonique, alors pour tout i {,, N } le point M i est le milieu du segment [M i, M i+ ] et donc les points M i, M i et M i+ sont alignés Comme les points de V sont distincts deux à deux, on en déduit que les points M,, M N sont alignés Réciproquement, supposons que les points M,, M N sont alignés Soit alors i {,, N }, les points M i, M i et M i+ sont alignés, et comme x i = i = i +i+ = x i +x i+ on en déduit que y i = y i +y i+ et donc v i = v i +v i+ Ceci étant valable pour tout i {,, N }, le vecteur v est harmonique Ab Soit v harmonique tel que v = v N = Dans ce cas M = (, ) et M N = (, ), la droite qui passe par ces points est la droite R {}, donc M i = (i, ) pour tout i {,, N} Le seul vecteur harmonique v tel que v = v N = est donc le vecteur nul Ac De la même manière, l unique vecteur harmonique v R N pour lequel v = α et v N = β est tel que i {,, N} v i = α + β α (i ) N Ad Le sev HN est de dimension, une base de H N est donc une famille libre à deux éléments de HN On peut par exemple prendre la famille (v, v ) où v et v sont définis par et B Approche probabiliste i {,, N} vi = + i (i ) = N N i {,, N} vi = + N i (i ) = N N B Le résultat (R) affirme que le marcheur partant de la position j sortira presque sûrement (ie avec une probabilité ) de l intervalle [min(k, l), max(kl)], soit en passant par k soit en passant par l: il a une probabilité nulle de rester dans l intervalle [min(k, l) +, max(k, l) ]

3 B On remarque que C S (j, j, j + ) = {X S = } et C S(j, j +, j ) = {X S = } car le fait de passer d abord par j ou j + en partant de j se décide dès le premier pas, donc P (C S (j, j, j + )) = P (C S (j, j +, j )) = P (X S = ) = P (X S = ) = B3a On définit la suite de variables aléatoires (Y σ i ) i sur (Ω, P ) par i Y σ i := X S i+ Ces va sont toutes définies sur le même espace probabilisé, sont deux à deux indépendantes, de même loi et on a i P (Y σ i = ) = P (Y σ i = ) = j Z n σ j n := j + Donc (σ j n) j Z,n est une marche aléatoire sur Z B3b On écrit n i= Y σ i P (C S (j, j, l)) = P (C S (j, j, l) X S = ) P (X S = ) + P (C S (j, j, l) X S = ) P (X S = ) = P (C S(j, j, l) X S = ) + P (C S(j, j, l) X S = ) = + P (C σ(j +, j, l)) car si l évènement X S = se produit alors il en est de même de l évènement C S(j, j, l) (d où P (C S (j, j, l) X S = ) = ), et lorsque XS = alors le marcheur suit la marche (σj n) j Z,n en partant de la position j + (d où P (C S (j, j, l) X S = ) = P (C σ(j +, j, l))) En appliquant (R) on obtient donc P (C S (j, j, l)) = + P (C S(j +, j, l)) B3c En raisonnant comme précédemment on obtient P (C S (j, k, l)) = P (C S (j, k, l) X S = ) P (X S = ) + P (C S (j, k, l) X S = ) P (X S = ) = P (C σ(j, k, l)) + P (C σ(j, k +, l)) = P (C S(j, k, l)) + P (C S(j, k +, l)) Ba La va Y suit la loi de Bernoulli de paramètre Bb On remarque que pour tout j {,, N } on a E(Y j ) = P (C S (j, N, )) = P (C S (j, N, )) = P (C S (j,, N)) Pour j =, on utilise B3b pour obtenir E(Y ) = E(Y )+E(Y 3 ) (remarque: E(Y ) = ) Pour j {3,, N }, on utilise B3c pour obtenir E(Y j ) = E(Y j )+E(Y j+ ) Pour j = N, on utilise un raisonnement analogue à celui de B3b pour obtenir que P (C S (N, N, )) = + P (C S(N, N, )) et conclure que E(Y N ) = E(Y N )+E(Y N ) (remarque: E(Y N ) = )

4 B5a Pour i {,, N } on a v i = E(Z i ) = E(α + (β α)y i ) = α + (β α)e(y i ) = α + (β α) E(Y i ) + E(Y i+ ) = α + (β α)e(y ) i + α + (β α)e(y ) i+ et donc v est harmonique = E(Z) i + E(Z) i+ = v i + v i+ B5b Puisque v est harmonique, v = α et v N = β, on obtient par identification dans la formule Ac que i {,, N } E(Y i ) = i N et donc i {,, N } P (C S (i,, N)) = E(Y i ) = N i N Partie II: cas de la dimension A Approche algèbrique A On vérifie que a, = = a, + a,3 + a 3, + a, et a,3 = = a,3 + a, + a 3,3 + a, donc A est harmonique Comme b, = 5 = b,+b,3 +b 3, +b,, B n est pas harmonique On vérifie que c, = = c, + c,3 + c 3, + c, donc C est harmonique Aa Puisque A est harmonique, on sait que et c,3 = = c,3 + c, + c 3,3 + c, a i,j = a i,j + a i+,j + a i,j + a i,j+ Si a i,j = max{a i,j, a i+,j, a i,j, a i,j+ } alors a i,j = a i,j + a i+,j + a i,j + a i,j+ max{a i,j, a i+,j, a i,j, a i,j+ } = a i,j et donc a i,j = a i,j = a i+,j = a i,j = a i,j+ Ceci est donc une condition nécessaire, qui est évidemment suffisante Ab Question dure! On raisonne par l absurde: on pose α := max {a i,j : (i, j) I} et on suppose que α > max {a i,j : (i, j) J \ I} On remarque que cela implique que α = max {a i,j : (i, j) J} On définit k := min {i : (i, j) I a i,j = α} et on choisit l {,, N } tel que a k,l = α On démontre d abord par l absurde que k = Si on suppose k >, on déduit de la question précédente et du fait que α = max {a i,j : (i, j) J} que a k,l = a k,l = a k,l+ = a k+,l = a k,l

5 Or puisque k > on remarque que (k, l) appartient à I, et comme a k,l = α on obtient une contradiction avec la définition de k On a donc prouvé que k = On applique à nouveau le fait que α = max {a i,j : (i, j) J}, et on obtient de même que Or (, l) appartient à J \ I, et donc a,l = a,l = a,l+ = a 3,l = a,l α max {a i,j : (i, j) J \ I} en contradiction avec l hypothèse de départ, ce qui conclut la preuve Ac On pose B = A Puisque B est harmonique, en lui appliquant le résultat de Ab on obtient min {a i,j : (i, j) I} min {a i,j : (i, j) J \ I} Ad Si a i,j = pour tout (i, j) J \ I alors min {a i,j : (i, j) J \ I} = max {a i,j : (i, j) J \ I} = D après les deux questions précédentes on obtient alors que et donc tous les coefficients de A sont nuls min {a i,j : (i, j) I} max {a i,j : (i, j) I} Aa Par définition de g, si A est dans son noyau alors en particulier g(a) i,j = pour tout (i, j) I, et donc (i, j) I a i,j = a i,j + a i+,j + a i,j + a i,j+ Ainsi si g(a) = alors A HN,K Ab Si A est dans le noyau de g, alors en particulier g(a) i,j = pour tout (i, j) J \ I De plus, A est harmonique d après la question précédente On conclut alors de Ad que tous les coefficients de A sont nuls: le seul élément du noyau de g est donc la famille A dont tous les coefficients sont nuls, donc l application linéaire g est injective Ac L endomorphisme g : E E étant injectif, il est bijectif Soit alors (b i,j ) (i,j) J\I, on définit l élément C = (c i,j ) (i,j) J de E par { (i, j) J \ I ci,j = b i,j, (i, j) I c i,j = Puisque g est bijectif, C a un unique antécédent par g, qui est l un unique élément A = (a i,j ) (i,j) J de E harmonique et tel que (i, j) J \ I a i,j = b i,j Ad On déduit de la question précédente que la dimension de H N,K est N + K 8 B Approche numérique B On obtient A = 3 3, A = , A 3 = B Comme A est harmonique, on obtient directement des définitions que h(a) = A, donc A est un point fixe de h sur E b Soit C = (c i,j ) (i,j) J un point fixe de h sur E b Comme h(c) = C, on en déduit que C est une matrice écornée harmonique De plus, comme C appartient à E b on sait que c i,j = b i,j pour tout

6 (i, j) J \ I D après la question Ac, on obtient que C = A On a donc obtenu que A est l unique point fixe de h sur E b Ba Soit D E Pour alléger les notations, on note (c i,j ) (i,j) J := h(d A) On a alors: sup c i,j = max d i,j a i,j + d i+,j a i+,j + d i,j a i,j + d i,j+ a i,j+ (i,j) I (i,j) I et comme on obtient l inégalité demandée d i,j a i,j + d i+,j a i+,j + d i,j a i,j + d i,j+ a i,j+ max (i,j) I max (i,j) J d i,j a i,j = D A max c i,j = (i,j) J\I max (i,j) J\I d i,j a i,j D A Bb Puisque h est linéaire et A est un point fixe de h on a n A n+ A = h(a n ) h(a) = h(a n A) A n A et donc la suite ( A n A ) n est décroissante On en déduit que n A n A n A + A A A + A =: M B3a Soit D E b avec D A On sait par la question Ba que h(d A) D A, et on montre par l absurde que h(d A) D A Pour alléger les notations, on note (c i,j ) (i,j) J := h(d A) Puisque D E b, on a c i,j = pour tout (i, j) J \ I, donc h(d A) = max{ c i,j : (i, j) I} Soit k := min{i : l, c i,j = h(d A) } et soit l tel que c k,l = h(d A) Comme D A et c,j = pour tout j {,, N } on a nécessairement k et donc k De même, l appartient forcément à {,, N } Alors si h(d A) = D A on a : D A = h(d A) = c k,l = d k,l a k,l + d k+,l a k+,l + d k,l a k,l + d k,l+ a k,l+ d k,l a k,l + d k+,l a k+,l + d k,l a j,l + d j,l+ a k,l+ max d i,j a i,j = D A (i,j) J et donc les inégalités sont des égalités En particulier c k,l = d k,l a k,l = h(d A) ce qui contredit la définition de k, et termine la preuve B3b Soit α ], M], alors l application D h(d A) D A est bien définie et continue sur le compact {D E B : D A [α, M]} (il faut remarquer que cet ensemble est fermé et borné dans E, qui est de dimension finie), donc elle atteint son maximum β en un élément D de ce compact Comme α > on a D A, et d après la question précédente, on a nécessairement β = h(d A) D A < B3c La suite ( A n A ) n est positive et décroissante, donc elle a une limite positive

7 On démontre par l absurde que cette limite est nulle Supposons que cette limite soit α >, alors en appliquant le résultat de la question précédente on obtient qu il existe β ], [ tel que D E B D A [α, M] h(d A) β D A Puisque A n E B et A n A [α, M] pour tout n, on a donc n A n+ A β A n A β n+ A A Comme < β <, on en déduit que ( A n A ) n tend vers, ce qui contredit l hypothèse de départ, et achève la démonstration FIN