Exercices de mathématiques MPSI et PCSI

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1 Exercices de mathématiques MPSI et PCSI par Abdellah BECHATA Table des matières Généralités sur les fonctions 2 2 Continuité 3 3 Dérivabilité 4 4 Fonctions de classes C k 5 5 Bijections 7 6 Développements limités 8 7 Groupes, anneaux, corps. 9 8 Polynômes 0 9 Fractions rationnelles 2 0 Arithmétique 3 Nombres complexes. 4 2 Suites 6 3 Suites u n+ = f(u n ) 9 4 Ensembles 2 5 Espaces vectoriels et applications linéaires 22 6 Familles génératrices, libres, bases Calcul matriciel 26 8 Intégration 28 9 Equations différentielles 30

2 Généralités sur les fonctions Exercice. Etudier les fonctions a. x ln(e 2x 2 ch()e x + ) b. x x( + x )x c. x arccos( x 2x + x ) + arcsin( + x ) d. x (x 3x+2 2)x2 e. x arccos( x 2 ) Exercice n.2 Calculer Cn k ch(kx), Exercice.3 Résoudre l équation n n Cn k sh(kx). sh(2 + kx) = 0 Exercice.4 Résoudre l équation arcsin(2x) = arcsin(x) + arcsin(x 2). Exercice.5 Calculer arctan 2 + arctan 5 + arctan 8 Exercice.6 Résoudre l équation tan(3 arcsin x) =. On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux. Exercice.7 Calculer arctan + arctan 2 + arctan 3. Exercice.8 Etude de la fonction arccos( t2 + t 2 ) + arcsin( 2t + t 2 ) Exercice.9 On donne deux entiers p et q vérifiant : 0 < p < q.. Calculer arctan p q + arctan q p q + p. 2. Calculer 4 arctan 5 et à l aide de la question précédente en déduire la formule de Machin Exercice.0. Expliciter un polynôme Q tel que sin 3x = sin xq(cos x) π 4 = 4 arctan 5 arctan Résoudre l équation sin 2x = sin 3x de deux manières différentes. 3. En déduire les valeurs de cos π 5 et cos 3π 5, puis celle de cos2π Montrer par récurrence (sans la formule du binôme) que n N, P n et Q n deux polynômes tels que cos nx = P n (cos x) et sin nx = (sin x)q n (cos x) Exercice. Déterminer inf t Rx [0;] sup x 2 + tx Exercice.2 L ensemble A suivant possède-t-il une borne sup, une borne inf, un max, un min. Si oui, les calculer. A = { n + ( )n n ( ) n, n 2} 2

3 2 Continuité Exercice 2. Soit f une fonction définie sur [0, ]. Montrer que (f continue et injective sur [0, ]) (f monotone) 2. Montrer que (f monotone sur [0, ] et z [f(0), f()], c [0, ] tel que f(c) = z) (f continue sur [0, ]) Exercice 2.2 Soit f une fonction continue sur [a, b] telle que x [0, ]. f(x) < g(x) alors m tel que x [0, ], f(x) + m g(x) 2. 0 < f(x) < g(x) alors C > tel que x [0, ], Cf(x) g(x) Exercice 2.3 Soit f la fonction définie sur R + par f(x) = ( + x) 4 x. Montrer que f se prolonge par continuité en Déterminer lim + f. 3. Montrer que f est bornée sur R + et atteint ses bornes. Exercice 2.4 Soit f une fonction continue en 0 et telle que f(x + y) + f(x y) = 2(f(x) + f(y)). Calculer f(0). Etudier la parité de f. 2. Montrer que f(nx) = n 2 f(x) pour tout entier n et tout réel x. 3. Montrer que f(px) = p 2 f(x) pour tout rationnel p et tout réel x. Indication : on calculera de deux façons b 2 f( a b x)) 4. Conclure Exercice 2.5 Soit f.une fonction croissante de R dans R telle que f(x + y) = f(x) + f(y).. Montrer que a) f(px) = pf(x) p N x R b) f(0) = 0 et f( x) = f(x) x R 2. En déduire que a) f(n) = nf() n N b) f(n) = nf() n Z c) f(x) = xf() x Q 3. Déterminer f. Exercice 2.6 Soit f une fonction continue sur [a, b] et telle que (f(x)) 2 = x [a, b] Montrer que f(x) = x [a, b] ou f(x) = x [a, b] Exercice 2.7 Soit f une fonction continues sur [a, b]. Montrer que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que x, y [a, b], f(x) f(y) < ε + α(x y) 2. Exercice 2.8 On considère la fonction f(x) = ( + x2 ) x si x 0 si x = 0. Etudier la continuité de f 2. Déterminer ses limites en + et 3

4 3 Dérivabilité { Exercice 3. f(x) = exp( x Soit f la fonction définie sur R par x 2 ) si x 0 f(0) = a Etudier la continuité et la dérivablilité de f selon les valeurs de a. f est-elle continue? Exercice 3.2 Soit f la fonction définie par f(t) = ( t) t 2. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son domaine de définition. 2. Calculer, le cas échéant, sa dérivée. Exercice 3.3 Soit f une fonction définie sur un certain intervalle I contenant 0. On suppose que f est continue et dérivable en 0 et que f(x + y) = f(x) + f(y) f(x)f(y). Calculer f(0). Montrer qu il existe un intervalle ] a, a[ sur lequel f(x) < Montrer que la fonction f est continue sur ] a, a[. 3. Montrer que la fonction f est dérivable sur ] a, a[ et calculer sa dérivée. 4. En déduire la fonction f recherchée. Pouvait-on l intuiter? Exercice 3.4 On considère, pour tout entier n, les fonctions f n (t) = e t dn dt n (tn e t ). Montrer que f n est un polynôme de degré n et expliciter ses coefficients. 2. Montrer que la famille (f k ) 0 k n est une base de R n [X]. pour tous x, y I 4

5 4 Fonctions de classes C k Exercice 4. Soit f(x) = sin(x) si x 0 x Appliquer le TAF sur [0, x] à t cos(t) et t t cos(t) sin(t). En déduire que f se prolonge de façon C sur R puis calculer f { Exercice 4.2 Quelle est la classe de la fonction x x 4 sin x si x 0 0 si x = 0? Possède t-elle un DL 3 (0)? Exercice 4.3 { ( x Pour n entier naturel, déterminer la classe de la fonction f(x) = 2 ) n si x [, ] 0 sinon (c est-à-dire déterminer le plus entier k tel que f soit C k sur R). Exercice 4.4 On considère la fonction f(x) =. Montrer que f est C sur R 2. Décomposer en éléments simples 3. On pose h(x) = exp x a. exp( ) si x ]a, b[ (x a)(x b) 0 sinon (x a)(x b). où a < b Montrer que pour tout entier n, il existe un polynôme P n tel que h (n) (x) = P n(x) (x a) n+ exp( x a ) 4. En déduire la forme de f (n) et montrer, par récurrence, que f est C n sur R pour tout n. Exercice 4.5 Soient a, b R et f(x) = (x a) n (x b) n. Calculer f (n) (x) 2. Si a = b, calculer f (n) (x) par une autre méthode 3. En déduire n (Cn) k 2 Exercice 4.6 Pour tout entier n, on pose L n (x) = ((x 2 ) n ) (n). Calculer ((x 2 ) n ) (k) x=± pour k {0,.., n } 2. Montrer que L n possède n zéros distincts appartenant à ], [. 3. Montrer que (L k ) 0 k n est une base de R n [X] Exercice 4.7 Soit f une fonction de classe C 3 sur ]a, b[. Montrer que pour tout x ]a, b[ et tout h suffisamment petit, il existe ξ x,h ]a, b[ tel que f(x + 3h) 3hf(x + 2h) + 3h 2 f(x + h) f(x) h 3 = f (3) (ξ x,h ) 2. Calculer lim h 0 f(x + 3h) 3hf(x + 2h) + 3h 2 f(x + h) f(x) h 3 Exercice 4.8 Soit f une fonction de classe C 2 sur [a, b]. 5

6 . Montrer qu il existe c ]a, b[ tel que 2. On suppose que f 0 sur ]a, b[ f(a) + f(b) 2 = f( a + b 2 (a) Montrer que x, y [a, b] f( x + y f(x) + f(y) ). 2 2 (b) En déduire que f est convexe sur [a, b] Exercice 4.9 Soit f une fonction C 3 sur [a, b]. Montrer qu il existe ξ ]a, b[ tel que f(b) = f(a) + (b a)f ( a + b 2 (on pourra considérer g(t) = f( a + b 2 t) f( a + b 2 + t) Exercice 4.0 Soit f une fonction de classe C sur R. Soit k un entier et a R. On pose ( k,a f)(h) = k h k ( ) q C q kf(a + qh) q=0. Calculer lim h 0 (,a f)(h) puis lim h 0 ( 2,a f)(h). 2. Calculer dans le cas général lim h 0 ( k,a f)(h) (b a)2 ) + f (c) 8 Exercice 4. Soit f une fonction de classe C n sur [a, b], a <.. < a n des points de [a, b]. Le polynôme interpolateur P de f en les (a i ) est défini par P (x) = Montrer que pour tout x [a, b], il existe ξ ]a, b[ tel que n k= f(a k ) j k (b a)3 ) + f (3) (ξ) 24 x a j a k a j f(x) P (x) = (x a )..(x a n ) f (n) (ξ) n! (on commencera par introduire une fonction g(x) = f(x) P (x) A (x a )..(x a n ) n! en choisissant A convenablement) Exercice 4.2 Soit f une fonction C et bornée sur R. On suppose que f possède une limite finie en +. Que peut-on dire de cette limite? 6

7 5 Bijections Exercice 5. Soit f définie sur R par f(x) = x + ln(x). Montrer que f réalise une bijection de R sur R 2. f est-elle dérivable sur R? Exercice 5.2 Soit g : x x + ln x.. Etudier g. Montrer que g possède une fonction réciproque f, strictement croissante, de classe C, strictement positive sur R. 2. Montrer que x ln x f(x) x x D f. En déduire que f(x) x 3. On considère la fonction h(x) = f(x) (x ln x). Montrer que h(x) h(x) 0 puis que h(x) = ln( + x + x ln x x ). En déduire la limite de h en + puis l asymptote de h en + 4. Tracer les courbes de f et g.. + Exercice 5.3 t Etudier la fonction f(t) = et montrer qu elle réalise une bijection de ]0; + [ sur un intervalle à déterminer e t 7

8 6 Développements limités Exercice 6. Déterminer les asymptotes (ainsi que leurs positions) en + et de f(x) = x( x 2 + x 4 + x 2) Exercice 6.2 Calulcer lim x 0 + (sin(x)) sh(x) (sh(x)) sin(x) (tan(x)) th(x) ((th(x)) tan(x) 8

9 7 Groupes, anneaux, corps. Exercice 7. Montrer que R munit des lois x y = x + y et x y = x + y xy est un anneau. Est-il commutatif? (R,, ) est-il un corps? Exercice 7.2 Les ensembles suivants sont-ils des groupes? Si oui, sont-ils commutatifs?. { R R x ax + b } 2. R 2 muni de la loi (x, x 2 ) (y, y 2 ) = (x y + 2x 2 y 2, x y 2 + x 2 y ) 3. ], [ muni de la loi x y = x + y + xy Exercice 7.3 Soit K = Q( 3i) = {a + b 3i, a, b Q}.. Montrer que K est un corps. 2. Pour tout x = a + b 3i K, on pose N(a + b 3i) = a 2 + 3b 2. Montrer que N est un morphisme du groupe (K, ) dans (R +, ). 3. Soit A = Z( 3i) = {a + b 3i, a, b Z}. (a) Montrer A est un anneau. Est-ce un corps? (b) Montrer que (x A et x A) N(x) = ±. (c) Déterminer les éléments inversibles de A. 9

10 8 Polynômes Exercice 8. Quelle est la multiplicité de a dans P (X) = (X a) n X n a n Exercice 8.2 Factoriser (X + ) n e 2iα (X ) n dans C puis dans R Exercice 8.3 Déterminer les polynômes P tels que le reste de la division de P par (X + ) 3 soit 5 (X ) 3 soit Exercice 8.4 Montrer que m, n, p, q 0 X 3 + X 2 + X + X 4m+3 + X 4n+2 + X 4p+ + X 4q Exercice 8.5 Soit P un polynôme de la forme P (X) = X 3 + px + q où p, q R. Montrer que P possède une racine double ssi 4p q 2 = 0 2. On suppose que P possède 3 racines réelles distinctes. (a) Montrer que 4p q 2 < 0. (b) La réciproque est-elle vraie? Exercice 8.6 On veut déterminer tous les polynômes P tels que P (X 2 ) = P (X)P (X ). (E). Justifier que si z est racine de P alors z 2 et ( + z) 2 est racine de P. 2. On supose que z est une racine de P distincte de 0. Montrer que z =. (on pourra étudier la suite z n+ = z 2 n avec z 0 = z. 3. Montrer que z j = si z j et z j 2 = si z j Déterminer les racines possibles de P 5. En déduire tous les polynômes solutions de (E) Exercice 8.7 Déterminer tous les polynômes complexes P tels que P ( 2X) = P (X) Exercice 8.8 Factoriser dans R le polynôme 3X 4 9X 3 + 9X 2 9X + 6 Exercice 8.9. Montrer que (X 5, X 2 + X + ) = 2. Déterminer explicitement une relation de Bezout entre X 5 et X 2 + X + Exercice 8.0 Montrer que n 0, (X 2)(X 3) (X 2) n + (X 3) n Exercice 8. P = X 5 3X X 3 7X X 08 Calculer (P, P ). En déduire la factorisation de P. 0

11 Exercice 8.2 On pose P (z) = (z + ) n exp(2ina) où a est un nombre réel.. Factoriser P 2. En déduire que exp(2ina) = ( ) n n 3. Calculer 4 cos( kπ 5 ) z k puis que n sin(a + kπ n ) = sin(na) 2 n. Exercice 8.3 Montrer qu il n existe pas de polynôme P Z[X] tel que P (n) soit un nombre premier pour tout entier n. (indication : on pourra considérer P (n + P (n)) et remercier Taylor) Exercice 8.4 Soit p(x) = n a i x i. On suppose que tous les a i sont des entiers. i=0. Montrer que si p a une racine rationnelle α β alors α divise a 0 et β divise a n. 2. On considère le nombre En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d un polynôme de degré 2. En déduire, à l aide du résultat précédent qu il n est pas rationnel

12 9 Fractions rationnelles Exercice 9. X 3 Décomposer (X 4 dans C puis dans R ) 2 Exercice 9.2. Soit P, Q R[X], deg Q = n, admettant n racines réelles distinctes x,.., x n et deg P < n Montrer que P (x) Q(x) = n P (x k ) Q (x k )(x x k ). k= 2. Soit P R[X], deg P = n, admettant n racines réelles distinctes x,.., x n (a) Montrer que n (b) Montrer que i= n k= x i P (x i ) = P (0) P (x k ) = 0 2

13 0 Arithmétique Exercice 0. Montrer que 2 n 2 nm. En déduire que 2 n premier n est premier. Exercice 0.2 Pour tout entier n, on pose F n = 2 n +.. Montrer que n est impair alors F n n est pas un nombre premier. 2. On suppose que n est de la forme 2 q (2k + ) avec k. Montrer que F n n est pas un nombre premier. 3. En déduire que si F n est nombre premier, alors n est une puissance de 2. Exercice 0.3 Montrer que n, n q q (2n+) + q 0 Exercice 0.4 Soit p un nombre premier.. Montrer que k {,.., p } p C k p 2. Montrer que n 0 p n p n puis que p n p Exercice 0.5 Déterminer les solutions entières (x, y) de 323x 39y = 62 Exercice 0.6 Soit n et m deux nombres premiers entre eux. On note (E) l équation nx + my = nm. Déterminer la forme générale des solutions entières de (E) 2. Montrer que (E) ne possède pas de solutions entières positives. Exercice 0.7. Soient n, m, q, r quatre nombres entiers positifs. tel que n = qm + r. Montrer que (a n, a m ) = (a m, a r ) où (, ) désigne le pgcd 2. Montrer que (a m, a n ) = a (n,m) 3

14 Nombres complexes. Exercice. Soit u C\{} et z C. Montrer que z uz u R u = Exercice.2 Résoudre l équation ( + iz iz )n = + ia ia où a R et n N Exercice.3 Résoudre l équation sin(4x) 3 sin(3x) + 2 sin(2x) = 0 Exercice.4 On considère l équation (E) : z 4 + z 3 + z 2 + z + = 0. Résoudre cette équation en posant Z = z + z 2. Montrer que les racines 5ème (sauf ) sont solutions de (E). En déduire la valeur de cos( 2π 5 ) Exercice.5. Résoudre l équation + z + z 2 + z 3 + z 4 = Montrer que e ia + e ib = 2 cos( a b a + b 2 )ei( 2 ) et e ia e ib = 2i sin( a b a + b 2 )ei( 2 ). 3. Retrouver ainsi des formules trigonométriques remarquables. 4. Résoudre l équation + ( i z i + z ) + (i z i + z )2 + ( i z i + z )3 + ( i z i + z )4 = 0. Exercice.6. Montrer que n 0, il existe un polynôme P n de degré n tel que P n (X + X ) = Xn + X n 2. En déduire cos(3x) et cos(5x) en fonction de cos(x). 3. En déduire les valeurs exactes de cos( 2π 3 ) et cos(2π 5 ) Exercice.7 Soient z,.., z n n nombres complexes. Montrer que n z k n z k 2. A quelle condtion a-t-on l égalité (on traitera pour commencer le cas n = 2)? Exercice.8 On pose ζ = exp( 2πi n ). Calculer n ζ k Exercice.9 Donner une CNS sur n N pour que ( + i 3) n + ( i 3) n soit un nombre entier positif. Exercice.0 Soient Π = {z C tel que Im(z) > 0} et D = {z C tel que z < }.. Montrer que z Π, z i z + i D. 2. Montrer que l application f : Π D z z i z + i est une bijection puis calculer sa réciproque. 4

15 Exercice. Simplifier l expression Exercice.2 Résoudre l équation n cos(6x) + 6 cos(4x) + 5 cos(2x) + 0 cos(5x) + 5 cos(3x) + 0 cos(x) cos(kx) cos k (x) = 0 Exercice.3. Soit z un nombre complexe différent de, calculer 2. Démontrer que n N, n k= n x k. ki k = i nin (n + )i (n+) 2 3. En déduire les sommes S = ( ) p (2p + ) et S 2 = ( ) (p+) 2p. 5

16 2 Suites Exercice 2. Soient u et v deux suites telles que u n+ = 3 u n v n + 2n v n+ = 2 3 u n + 3 v n + On introduit les deux suites t et s définies par t n = u n + v n et s n = u n v n.. Exprimer une relation de récurrence satisfaite par t et s. 2. Calculer de deux façons différentes n (t k+ t k ). En déduire t n en fonction de n et de t Montrer que la relation de récurrence vérifiée par s est satisfaite pour une suite de la forme an + b. 4. Etudier la suite s n (an + b) où a et b ont été déterminer par la question précédente. En déduire s n. 5. Expliciter u n et v n en fonction de n, u 0 et v 0. Exercice 2.2 On considère la suite v n = n ( k3 + 3k 2 + 2k + 2 k 3 + 3k 2 + 2k ) k=. Etudier la monotonie de v. 2. Montrer que x [0, ], ln( + x) x. 3. Décomposer en éléments simples x3 + 3x 2 + 2x 2 x 3 + 3x 2 + 2x. 4. Montrer que la suite v est bornée. Conclusion Exercice 2.3 Soit u une suite définie par u n+ = 2 3 u n avec u 0 > 0.. Montrer que n 0, u n > Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite (indication : on pourra s aider la suite v n = ln u n ) Exercice 2.4 Etudier la suite u n = Exercice 2.5 On pose u n = ( n k= n Cn k. Etudier les suites u et v. k ) ln(n) et v n = ( n 2. En déduire un encadrement de ( n Exercice 2.6 Soit α 2. On pose S n = n k= k α k= k= k ) n ln(n). ) puis un équivalent k. Montrer que la suite S converge si α = 2 (on pourra comparer k 2 et k k ) 2. Si α > 2, que peut-on dire de la suite S? Exercice 2.7 Montrer que la suite u n = n! n k! converge vers. Exercice 2.8. Montrer que pour tout entier n non nul, on a n n + 6 2(n + ) n +

17 2. En déduire que la suite d n = n n converge Exercice 2.9 On pose P n (x) = + n k= x k.. Montrer que l équation P n (x) = 0 possède une unique solution x n appartenant à [0; ]. 2. Montrer la suite x est décroissante, minorée par 2 3. Montrer que la suite x converge vers 2 Exercice 2.0 u n = n k! et v n = u n + n n!. Montrer que u et v converge vers la même limite l (= e). 2. On suppose que l Q. Que peut-on dire de n!l lorsque n est assez grand. 3. Encadrer n!l et en déduire une contradiction Exercice 2. On pose a n = (n ) 2 + n 2 et b n = a n + n.. Montrer que ces deux suites convergent. 2. Soit α un réel 2. Montrer que la suite c n = α + 2 α (n ) α + n α converge Exercice 2.2 Soit k un nombre entier non nul et u n = kn l=n+ l. Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite Exercice 2.3 Soit u n = n ( + k n 2 ). k=. Vérifier que x x2 2 ln( + x) x x [0, ] 2. Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite 3. Montrer que pour tout α, la suite v n = n ( + kα ) converge. nα+ Exercice 2.4. Montrer que la suite ( n k= 2. Montrer que la suite ( n k= n + k ) n est convergente. 2n + 2k + ) n est convergente. Exercice 2.5 Soient a un nombre réel positif et u la suite définie par u n+ = + au n a + u n (u 0 0) Vérifier que v n = u n u n + Exercice 2.6 On pose u n = n k= k Montrer que ln(n + ) u n ln(n) + En déduire un équivalent de u n définie une suite géométrique. En déduire lim + u 7

18 Exercice 2.7 Soit α / Z. Montrer que la suite (e 2πiαn ) n 0 n est pas convergente Exercice 2.8 soit x R et u n = n cos( x 2 k ). Simplifier sin(x)u, sin(x)u 2, sin(x)u 3. Que remarque-t-on? 2. En déduire une forme simplifiée de u n puis déterminer lim + u Exercice 2.9 Soit α un nombre irrationnel. On pose u n = nα E(nα).. Montrer que u n [0; ] n N et que u n u m si n m 2. Montrer que N N, n, m {,.., N + } tels que u n u m N. (on écrira [0; ] comme la réunion de N intervalles de longueurs N ). 3. En déduire que ε > 0, p, q Z tel que 0 < pα + q < ε. x 4. Encadrer x (pα + q)e( ). En déduire que l ensemble {nα + m, n, m Z} est dense dans R. pα + q Exercice 2.20 Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On définit deux suites u et v par. Montrer que n 0, 0 < u n < v n. u 0 = a, v 0 = b et n 0, u n+ = 2. Démontrer que n 0, v n+ u n+ 2 (v n u n ). 3. Montrer que les deux suites u et v sont convergentes. 2u nv n, v n+ = u n + v n u n + v n 2 4. Calculer de deux façons différentes la limite de u n+ v n+. En déduire la limite de u et v. 8

19 3 Suites u n+ = f(u n ) Exercice 3. Etudier les suites suivantes. u n+ = u n + 3 2u n u 0 > 0 2. u n+ = 3 2 u n (étude complète) 3. u n+ = u n + a u n avec a > 0 et u 0 0. Exercice 3.2 Soit f définie sur R par f(x) = x + ln(x). Montrer que f réalise une bijection de R sur R 2. On pose u n = f (n) pour n > 0. (a) Etudier la monotonie de u puis lim n + u n (b) Montrer que n ln(n) u n n. En déduire un équivalent de u n (c) On pose v n = u n n. Montrer que v n ln(n) + (d) Montrer que u n = + n ln(n) ln(n) n + o( n ) { Exercice 3.3 x On considère f(x) = e x si x > 0 si x = 0. Montrer que la fonction f est C sur R + puis dresser ses variations. 2. Montrer que f est bornée par 2 sur R + 3. On considère la suite x n+ = f(x n ) avec x 0 = 0. Montrer que la suite est bien définie et qu elle converge. { Exercice 3.4 x On considère la fonction f(x) = e x si x 0 si x = 0. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle à déterminer. 2. Résoudre l inéquation f (x) x.. 3. On considére la suite u définie par u n+ = f (u n ) et u 0 ]0, ln 2[. (a) Montrer que n 0, u n ]0, ln 2[. (b) Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite. Exercice 3.5 Etude complète de la suite u n+ = u n u 2 n avec u 0 R Exercice 3.6 Etude complète de la suite u définie par u n+ = 2u n + u n avec u 0 > 0. Exercice 3.7 On considère la suite x n+ = 2 (x n + a x n ) avec x 0 = a et a > 0. 9

20 . Montrer que n 0, x n > Ecrire un algorithme qui demande la valeur de a ainsi que n et qui calcule x n. 3. On pose v n+ = x n a x n + a. (a) Montrer que la suite v satisfait une relation de récurrence que l on explicitera. (b) Montrer que la suite x converge vers a. Exercice 3.8 Soit a [0, [. On considère la suite u définie par u n = n a k k!.. Montrer que la suite u est majorée (indication : k 0, ak k! ak ). 2. Montrer que la suite u converge. 3. Ecrire un algorithme qui calcul ak k!. 4. Ecrire un algorithme qui calcule n a k k!. 5. On admet que la suite u converge vers e a. Comment calculer e x si x 0? si x 0? Exercice 3.9 On considère la suite définie par u n+ = 2 + u2 n 2 avec u 0 ], [.. Ecrire un algorithme qui demande la valeur de u 0 et de n et qui calcule u n. 2. Montrer que n, u n [0, ]. 3. Etudier la monotonie de u. 4. Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite 20

21 4 Ensembles Exercice 4. Soit R une relation symétrique et réflexive sur un ensemble X. On définit une relation S sur X par xsy ssi n N et z 0,.., z n X tel que z 0 = x, z n = y et i {0,.., n } z i Rz i+ Montrer que R est une relation d équivalence sur X. Exercice 4.2. Combien y-a-t-il de multiples de p α dans {,.., n}? 2. Quelle est la puissance de p dans n!? Exercice 4.3 Soient n dans N et E un ens fini à n éléments. Déterminer le nombre de couples (X, Y ) dans P(E) 2 tq X Y. Exercice 4.4 Soit E un ensemble de cardinal n.. Combien y-a-t-il de couples (A, B) de parties de E tels que (a) A B =? (b) A B = E? 2. Combien y-a-t-il de triplets (A, B, C) de parties de E tels que A B C = E? 2

22 5 Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 5. Montrer que F F 2 = R 3 avec F = Vect( 3, 2 ) et F 2 = Vect( 3 2 ) 2 3 Exercice 5.2 F = {(x, y, z) R 3 tel que x + y + z = 0}. Montrer que F est un espace vectoriel et déterminer une famille génératrice 2. Montrer que G = Vect((2,, 0)) est un supplémentaire de F. Est-ce le seul? 3. Déterminer la projection de R 3 sur F parallèlement à G 4. Déterminer la symétrie de R 3 sur F parallèlement à G Exercice 5.3 Soit f l application définie par f : R 4 R 2 (x, y, z, t) (x + 3y 2z 5t, x + 2y + z t). Montrer que f L(R 4, R 2 ). 2. Déterminer son noyau et son image. Exercice 5.4 Soit f : R 3 R 3 telle que f(x, y, z) = (x + 2y, 4x y, 2x + 2y + 3z). Montrer que f est un endomorphisme de R Montrer que f est une symétrie et la caractériser L application f est-elle bijective? Si oui, déterminer f. Exercice 5.5 On considère l application de R 4 dans R 2 définie par f(x, y, z, t) = (x y + z + 2t, x + 2y + 3z + t). Montrer que f est linéaire. 2. Déterminer son noyau et son image 3. Montrer que ker f et F = Vect((, 0, 0, ), ((0, 0,, 0)) 4. Déterminer le projecteur de R 4 sur ker f parallèlement à F. 0 Exercice 5.6 Soient e = 0, e 2 =, e 3 = 0, e 4 = 0 0 et e 5 = des vecteurs de R Posons F = Vect{e, e 2 }, G = Vect{e 3, e 4 }, G = Vect{e 3, e 4, e 5 }.. Montrer que E = F G et E F G. 2. Déterminer le projecteur de R 4 sur F parallèlement à G. Exercice 5.7. Peut-on déterminer des réels x, y pour que le vecteur v = ( 2, x, y, 3) appartienne au s.e.v. engendré dans R 4 par le système (e, e 2 ) où e = (,,, 2) et e 2 = (, 2, 3, )? 2. Déterminer la symétrie de R 4 sur Vect(e, e 2 ) parallèlement à Vect((, 0, 0, 0), ((,, 0, 0)) Exercice 5.8 E = R n [X] 22

23 . Montrer que f : 2. f GL(L(E))? E E P (X )P 2P appartient à L(E) Exercice 5.9 R Soit u : n [X] R n [X] P P (X) + P (X + ) Déterminer Ker u, Im u, Ker(u 2Id), Im(u 2Id) Exercice 5.0 E = R n [X] et si P R n [X], on pose u(p ) = X n P ( X ).. Montrer que u L(E). 2. Calculer u 2 puis caractériser u (on tiendra compte de la parité de n) Exercice 5. E = R n [X]. Soit λ R. On pose ϕ λ : E E P XP λp. Montrer que ϕ λ L(E) 2. Lorsque n = 3, Déterminer une CNS sur λ pour que ϕ λ GL(L(E)) 3. Traiter le cas général Exercice 5.2 Soit f(x, y) = ( x + 2y, 2x + 4y). 3 Montrer que f L(R 2 ) puis déterminer ker(f λid) et Im(f λid) en fonction de λ Exercice 5.3 Soit f L(E) tel que f 3 = f 2 + f Montrer que Ker(f) Ker(f 2 f Id) = E Exercice 5.4 Soit E = R N et : E E u (u n+ u n ) n 0. Déterminer Ker( ), Ker( 2 ). 2. Déterminer Ker( k ) k 3. Déterminer toutes les suites tels que u n+4 4u n+3 + 6u n+2 4u n+ + u n = 0 23

24 6 Familles génératrices, libres, bases. Exercice 6. E = {f F(R, R) tel qu il existe quatres réels a, b, c, d pour lesquels f(x) = a + bx + cx 2 + dx 3 x R} V = {f E tel que f() = 0} et W = {f E tel que f (2) = 0}.. Montrer que E, V et W sont des espaces vectoriels. 2. Déterminer des familles génératrices pour chacune de ces parties ainsi que pour V W. 3. Montrer que E = V + W. Exercice 6.2 On considère E n = R n [X] ainsi que la famille (P k ) 0 k n de E définie par P 0 (X) =, et si k, P k (X) =. Montrer que, si n = 3, (P k ) 0 k n est une famille libre de E n. 2. Montrer que ce résultat reste vrai pour n quelconque. X(X )(X 2)..(X k + ) k! 3. On dit qu une famille de polynômes (P k ) 0 k n de E = R[X] est échelonnée en degré si k {0,.., n}, deg P k+ > deg P k. Montrer que toute famille échelonnée en degré de E est libre dans E. Exercice 6.3 Soient a <.. < a n des nombres réels. Montrer que la famille (x e aix, i n) est une famille libre. Exercice 6.4 Soit E un ev de dimension n et f L(E) tel que f n = 0 et f n 0.. Montrer qu il existe x 0 E tel que (x 0, f(x 0 ), f 2 (x 0 ),.., f n (x 0 )) soit une base de E. 2. Montrer que Id E f GL(L(E)) et calculer (Id E f) Exercice 6.5 Soient u et v deux endomorphismes d un espace vectoriel E de dimension finie tel que u v = 0 et u + v GL(E).. Que peut-on dire de Im v et ker u? 2. Montrer que rg u + rg v = dim E Exercice 6.6 Soient E = R 2 [X] et a 0, a, a 2 trois nombres réels distincts. On définit des applications ϕ i sur E par P E et i =, 2, 3 ϕ i (P ) = P (a i ).. Montrer que la famille B = (ϕ i ) i=,2,3 est une base de E. 2. Montrer que H : E R 3 définie par H(P ) = (P (a ), P (a 2 ), P (a 3 )) est un isomorphisme. Déterminer H. 3. On considère l application ϕ : P b a P (t)dt. Déterminer les constantes (α i ) tels que ϕ = 3 a i ϕ i. Exercice 6.7 X(X )..(X k + ) E = R n [X]. Considérons P 0 (X) = et k {,.., n}, P k (X) = k!. Montrer que la famille (P k ) 0 k n est une base de E. i= 2. Soit : R n [X] R n [X] P P (X + ) P (X). 24

25 (a) Calculer soigneusement P k, 2 P k puis l P k pour k, l {0,.., n} (b) En déduire ( l P k )(0) (c) En déduire que P E, P = n (d) Déterminer la base duale de (P k ) 0 k n ( l P k )(0)P k Exercice 6.8 Soit E un ev de dimension n. Un endomorphisme f de E est dit cyclique s il existe x 0 E tel que la famille (x 0, f(x 0 ),.., f n (x 0 )) soit une base de E.. Montrer que si f n = 0 et f n 0 alors f est cyclique 2. Soit f L(E) cyclique. Montrer qu il existe des nombres réels (a k ) 0 k n tel que f n + a k f k = 0 0 k n 25

26 7 Calcul matriciel Exercice 7. On considère la matrice A = Montrer que (A 6I 3 ) ( A 2 3I 3 ) = Montrer que n 0, P n R 2 [X] tel que A n = P n (A) Exercice 7.2 Calculer A n lorsque a. A = 0 (2) 0 b. A =... 0 (2) Exercice 7.3 Soient u, v, w les suites définies par u n+ = 3u n + 2 u n + 2 v n+ = 3v n + 2w n et w n+ = v n + 2w n. On suppose que u 0 0, v 0 = u 0 et w 0 =. Montrer que n 0, u n = v n 2. Soit A = ( ) 3 2, P = 2 (a) Vérifier que w n ( 2 ) et D = p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vn+ vn vn = A puis n 0, = A w n+ w n w n v0 n w 0 (b) Montrer que A = P DP puis que n 0, A n = P D n P (c) En déduire v n, w n puis lim n + u n Exercice 7.4 Calculer A n lorsque n est un entier positif et A = Exercice 7.5 Soit la matrice réelle A = Montrer que (A 6I 3 ) ( A 2 3I 3 ) = Déterminer une matrice B telle que AB = BA = I 3 3. Calculer A n Exercice 7.6 Soit ϕ l endomorphisme de R n [X] définie par (ϕ(p ))(X) = P (X + ).. Déterminer la matrice A de ϕ dans la base (X k ) 0 k n 2. A l aide de ϕ, déterminer A 3. Application. On veut dénombrer l ensembles des surjections de {,.., n} dans {,.., p} (avec n p) On note F n,p l ensemble des applications de {,.., n} dans {,.., p} S n,p l ensembles des surjections de {,.., n} dans {,.., p} F (n, p) = card(f n,p ) et S(n, p) = card(s n,p ) 26

27 (a) Calculer F (n, p). (b) Montrer que F (n, p) = p k= C k p S(n, k). F (n, n) S(n, n) F (n, n ). (c) Vérifier que. = A S(n, 2). En déduire S(n, p) F (n, ) S(n, ) 0 0 Exercice On pose A = Pour quelle valeurs de λ, A λi 3 GL 3 (R)? 2. Montrer que Ker(A I 3 ) est de dimension 2 et Ker(A + 3I 3 ) est de dimension 3. Soit (e, e 2 ) une base de Ker(A I 3 ) et (e 3 ) une base de Ker(A + 3I 3 ). (a) Montrer que P = ( e e 2 e 3 ) GL3 (R) (b) Calculer P AP. En déduire A n Exercice 7.8 On pose A = Pour quelles valeurs de λ, A λi 3 GL 3 (R)? 2. Déterminer selon λ, Ker(A λi 3 ) et Im(A λi 3 ). Exercice 7.9 Soit A une matrice de M n (R). On note C(A) l ensemble des matrices M de M n (R) vérifiant : MA = AM.. Montrer que C(A) est un R-espace vectoriel ( ) On suppose que n = 2 et A =. 3 5 (a) Expliciter C(A). (b) On considère l équation (E) : X 2 = A. Montrer que X C(A) et déterminer l ensemble des solutions de (E). (c) Combien y-a-t-il de solutions? Est-ce normal? ( ) Refaire les questions précédentes avec

28 8 Intégration Exercice 8. Déterminer une primitive de f(x) = + x 2 + x 4 Exercice 8.2. Déterminer une primitive de 2. Déterminer une primitive de Exercice 8.3 Déterminer une primitive de + sin t + cos t + sin t t 2 ( + t 2 )(t + 2) 2 Exerciceπ8.4 2 dx Calculer ( π < θ < π) + cos(x) cos(θ) 0 Exerciceπ8.5 2 x sin(x) cos(x)dx Soit I = tan 2 x + cotan 2 x 0. A l aide du changement de variable x π 2 x, montrer que I = π 2 2. En déduire I Exercice 8.6 Calculer les primitives suivantes a. dx sin 4 b. x 2x x 2 c. x + x + cos 4 x x + x x dx Exercice2 8.7 Calculer ( + x 2 ) arctan(x)dx 2 Exercice 8.8 Déterminer lim + n 4 2n k= (n 2 + k 2 ) n Exercice 8.9 π 2 sin(x) On pose I = dx et J = + sin(x) cos(x) 0. Calculer I + J π 2 0 cos(x) + sin(x) cos(x) dx 2. Montrer que I = J (utiliser le changement de variable x π 2 x) 3. En déduire I et J Exercice 8.0 Soit f une fonction continue sur [0, ] telle que Montrer que f possède un point fixe sur [0, ]. Exercice 8. Soit a ], ] et n un entier. On pose I n =. Calculer lim n + I n. a 0 f = 2. 0 x n + x dx π 2 0 sin(x) cos(x)dx tan 2 x + cotan 2 x 28

29 a 2. Calculer de deux façons différentes n ( ) k x k En passant à la limite, quelle égalité remarquable obtient-on? Exercice 8.2 Soit f une fonction continue et strictement monotone de [0, a] dans [0, b] (avec f(0) = 0 et f(a) = b). Montrer que ab = a f + 0 b f 0 2. Montrer que u [0, a] et v [0, b], uv Exercice 8.3 Soit f une fonction C 0 sur [0, ]. On pose I n (f) = u v f + 0 f 0 t n f(t)dt pour n. (a) Calculer lim n + I n(f) en fonction de f lorsque f est un polynôme. (b) Montrer que ceci reste vrai pour une f une fonction quelconque C 0 sur [0, ] 2. On suppose f() = 0 et f C sur [0, ] (a) Calculer lim ni n(f) en fonction de f lorsque f est un polynôme. n + (b) Montrer que ceci reste vrai pour une f une fonction quelconque C sur [0, ] 0 29

30 9 Equations différentielles Exercice 9. On considère l équation différentielle (E) : x 2 y 2y = x. Soit y une solution de (E). (a) Montrer que z(t) = y(e t ) est solution d une certaine équation différentielle (b) En déduire y sur R + 2. Déterminer y sur R (on posera z(t) = y( e t )) 3. Existe-t-il des solutions de (E) de classe C 2 sur R? Exercice 9.2 Résoudre xy 2y = x 4 Exercice 9.3 Résoudre x(x 2 + )y = y 30