MATHÉMATIQUES MPSI LES MÉTHODES ET EXERCICES DE

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1 Jean-Marie Monier LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Les méthodes à retenir Plus de 5 énoncés d eercices Indications pour bien démarrer Corrigés détaillés

2 LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI

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4 LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Jean-Marie Monier Professeur en classes de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

5 Dunod, Paris, 8 ISBN

6 Table des matières Les nombres réels Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 5 Corrigés des eercices 6 5 Dérivation 59 Les méthodes à retenir 59 Énoncés des eercices 6 Du mal à démarrer? 66 Corrigés des eercices 67 Les nombres complees Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 4 Du mal à démarrer? 8 Corrigés des eercices 9 6 Intégration 79 Les méthodes à retenir 79 Énoncés des eercices 8 Du mal à démarrer? 85 Corrigés des eercices 87 3 Suites numériques 9 7 Fonctions usuelles 97 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 36 Corrigés des eercices 37 4 Fonctions réelles ou complees d une variable réelle 47 Les méthodes à retenir 47 Énoncés des eercices 49 Du mal à démarrer? 5 Corrigés des eercices 53 Les méthodes à retenir 97 Énoncés des eercices 99 Du mal à démarrer? Corrigés des eercices 3 8 Comparaison locale des fonctions 3 Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 6 Du mal à démarrer? 9 Corrigés des eercices V

7 Table des matières 9 Calculs de primitives 33 Les méthodes à retenir 33 Énoncés des eercices 36 Du mal à démarrer? 38 Corrigés des eercices 39 Équations différentielles 49 Les méthodes à retenir 49 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 55 Corrigés des eercices 57 Notions sur les fonctions de deu variables réelles 69 Les méthodes à retenir 69 Énoncés des eercices 7 Du mal à démarrer? 74 Corrigés des eercices 76 Compléments de calcul intégral 83 Les méthodes à retenir 83 Énoncés des eercices 85 Du mal à démarrer? 87 Corrigés des eercices 88 3 Vocabulaire de la théorie des ensembles 95 Les méthodes à retenir 95 Énoncés des eercices 96 Du mal à démarrer? 98 Corrigés des eercices 99 5 Nombres entiers, nombres rationnels 9 Les méthodes à retenir 9 Énoncés des eercices Du mal à démarrer? 3 Corrigés des eercices 5 6 Arithmétique dans Z 3 Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 33 Du mal à démarrer? 36 Corrigés des eercices 38 7 Polynômes, fractions rationnelles 47 Les méthodes à retenir 48 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 57 Corrigés des eercices 58 8 Espaces vectoriels 7 Les méthodes à retenir 7 Énoncés des eercices 73 Du mal à démarrer? 75 Corrigés des eercices 76 9 Applications linéaires 8 Les méthodes à retenir 8 Énoncés des eercices 83 Du mal à démarrer? 86 Corrigés des eercices 88 4 Structures algébriques 3 Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 9 Corrigés des eercices Matrices 95 Les méthodes à retenir 95 Énoncés des eercices 98 Du mal à démarrer? 34 Corrigés des eercices 37 VI

8 Table des matières Déterminants, systèmes linéaires 39 Les méthodes à retenir 39 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 35 Corrigés des eercices 36 Espaces vectoriels euclidiens 333 Les méthodes à retenir 333 Énoncés des eercices 336 Du mal à démarrer? 34 Corrigés des eercices Géométrie plane 353 Les méthodes à retenir 353 Énoncés des eercices 355 Du mal à démarrer? 359 Corrigés des eercices 36 4 Géométrie dans l espace 37 Les méthodes à retenir 37 Énoncés des eercices 374 Du mal à démarrer? 376 Corrigés des eercices Courbes du plan 385 Les méthodes à retenir 385 Énoncés des eercices 388 Du mal à démarrer? 39 Corrigés des eercices 39 Inde alphabétique 45 Dunod La photocopie non autorisée est un délit VII

9 Pour bien utiliser cet ouvrage La page d entrée de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les eercices, ainsi qu un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des eercices Les méthodes à retenir Cette rubrique constitue une synthèse des principales méthodes à connaître,détaillées étape par étape, et indique les eercices auquels elles se rapportent VIII

10 Énoncés des eercices De nombreu eercices de difficulté croissante sont proposés pour s entraîner La difficulté de chaque eercice est indiquée sur une échelle de à 4 α α α α β Du mal à démarrer? α Des conseils méthodologiques sont proposés pour bien aborder la résolution des eercices α α α α α α β α β γ } { Corrrigés des eercices Tous les eercices sont corrigés de façon détaillée IX

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12 Remerciements Je tiens ici à eprimer ma gratitude au nombreu collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit : Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Jacques Blanc, Gérard Bourgin, Sophie Cohéléach, Carine Courant, Hermin Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, Guillaume Haberer, André Laffont, Ibrahim Rihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier Jean-Marie Monier Dunod La photocopie non autorisée est un délit XI

13 Les nombres réels CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 5 Corrigés 6 Thèmes abordés dans les eercices Équations, inéquations, systèmes d équations Racine carrée, racines n-èmes Manipulation du symbole de sommation d un nombre fini de termes et du symbole de produit d un nombre fini de facteurs Utilisation de la fonction partie entière Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R Raisonnement par récurrence Définition de la fonction partie entière Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre une équation ou une inéquation à une inconnue dans les réels On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou du second degré voir cours Toujours tenir compte des particularités de l équation ou de l inéquation proposée : à ce niveau, s il y a une question, c est qu il y a une réponse eprimable Effectuer un changement d inconnue ou un changement de variable pouvant ramener l équation ou l inéquation à une autre plus simple On prendra souvent comme nouvelle inconnue un groupement intervenant plusieurs fois dans l équation ou l inéquation Eercices 3, 8, 9 Reconnaître un développement remarquable, par eemple celui du binôme de Newton Eercice

14 Chapitre Les nombres réels Montrer que l équation se ramène à f, où f est strictement monotone, ce qui établira que l équation admet au plus une solution Eercice 4 S il y a des radicau, essayer de les chasser par élévations au carré, ou faire intervenir la notion de quantité conjuguée Eercice Pour résoudre un système d équations symétrique ou presque symétrique à deu inconnues,y Essayer de faire intervenir la somme et le produit de et y, en notant S + y et P y, et en considérant S et P comme les nouvelles inconnues Eercice 5 Voir aussi chapitre 7 Effectuer un changement de variable pouvant ramener l inégalité voulue à une autre plus simple Eercice Tenir compte éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent Eercice 6 b Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls souvent des carrés de réels, pour conclure à une positivité Eercices 6, Appliquer convenablement l inégalité de Cauchy-Schwarz ou l inégalité de Minkowski Eercice Voir aussi chapitre 6 Pour établir une propriété faisant intervenir une entier n quelconque Pour résoudre une question portant sur une ou des parties entières Essayer de faire une récurrence sur n Pour y arriver, il faut que la propriété à l ordre n + s eprime simplement en faisant intervenir la propriété à l ordre n Eercice 3 Utiliser essentiellement la définition de la partie entière E d un réel : E Z et E < E +, ou encore : E Z et < E Eercices 7, 5

15 Énoncés des eercices Pour montrer qu un nombre réel α est irrationnel Raisonner par l absurde : supposer α Q et déduire une contradiction Eercices 7, 8, 9 Énoncés des eercices Eemple de résolution d une équation polynomiale à une inconnue dans R Résoudre l équation d inconnue R : Eemple de résolution d une équation avec racines carrées dans R Résoudre l équation d inconnue R : Eemple de résolution d une équation avec racine carrée dans R Résoudre l équation d inconnue R : Eemple de résolution d une équation avec racines n-èmes dans R Résoudre l équation d inconnue R : Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple de résolution d un système d équations algébriques dans les réels { + y + y 3 Résoudre le système d équations d inconnue,y R : S y + y + Des inégalités sur des réels a Montrer : a,b R a +, a + b 3a b 4 b En déduire : a,b,c R + 3, a a + b + b b + c + Une partie entière calculable Montrer : n N, E n + n + 4n + c c + a a + b + c Eemple de résolution d une équation polynomiale à une inconnue dans R Résoudre l équation d inconnue R : Eemple de résolution d une équation avec racines n-èmes dans R Résoudre l équation d inconnue R : Eemple de résolution d une inéquation à une inconnue dans R Résoudre l équation d inconnue R :

16 Chapitre Les nombres réels Une inégalité du second degré sur des réels Montrer : a,b,c R 3, a + b + c 4a + 4b + c Une inégalité sur des réels Soient n N, a,,a n, b,,b n R Montrer : n n n a k + b k ak k + b k k k 3 Une inégalité sur des réels Soient n N, a,,a n [,+ [ Montrer : n n + a i n + a i i i 4 5 Une inégalité portant sur une sommation Montrer, pour tout n N : < n + n + k k Somme de parties entières n Montrer : n Z, E + E n E n n 6 Un entier caché sous des radicau 3 Montrer que le réel A calculer est un entier et le 7 Étude d irrationnalité pour une somme de deu racines carrées Soient,y Q + tels que et y soient irrationnels Montrer que + y est irrationnel 8 a Soit n N tel que n ne soit le carré d'aucun entier Montrer : n / Q b Établir : + 3 / Q 9 Un eemple surprenant de rationnel issu d irrationnels par eponentiation Montrer qu il eiste a,b R + Q tel que a b Q Étude des sous-groupes additifs de R Soit G un sous-groupe de R,+, tel que G / {} Montrer que G R + admet une borne inférieure α dans R, et que α a On suppose ici α > Démontrer : G αz b On suppose ici α Démontrer que G est dense dans R On a donc établi le résultat suivant : Tout sous-groupe additif G de R est soit discret c'est-à-dire qu'il eiste α R tel que G αz, soit dense dans R 4

17 Du mal à démarrer? 3 Soient ω R et Gω {a + bω; a,b Z } a Vérifier que Gω est un sous-groupe additif de R b On suppose ici ω Q On note p,q le couple de Z N tel que : ω p q et pgcdp,q Démontrer : Gω q Z c On suppose ici ω / Q Démontrer que Gω est dense dans R Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit Faire apparaître le développement d un cube Essayer de faire disparaître les, par élévations au carré 3 Remarquer la présence, deu fois, de 4 Utiliser un argument de stricte monotonie d une fonction 5 Puisque les deu équations du système se ressemblent, on peut essayer de les additionner, par eemple 6 a Faire tout passer dans le premier membre, et étudier le signe de cette différence b Utiliser a trois fois 7 Revenir à la définition de la partie entière d un réel 8 Essayer de grouper les quatre facteurs du premier membre deu par deu, de manière à faire apparaître une même epression 9 Remarquer la présence, en plusieurs endroits, des epressions 4 9 et 4 Effectuer un changement de variable, en eploitant la présence de /4, /3, / Faire tout passer dans le deuième membre, et étudier le signe de cette différence La présence de carrés et de sommes fait penser à l inégalité de Cauchy-Schwarz 3 Récurrence sur n 4 Récurrence sur n 5 Chacune des trois fractions intervenant dans l énoncé se simplifie si l on connaît la forme de n modulo 4 6 En notant u et v les deu fractions de l énoncé, étudier u + v, u 3 + v 3, u 3 v 3, pour obtenir une équation satisfaite par A 7 Raisonner par l absurde 8 a Raisonner par l absurde et utiliser un argument d arithmétique b Raisonner par l absurde et utiliser le résultat de a Considérer 9 La notation R + Q désigne R + privé de Q, c est-à-dire : R + Q { R + ; / Q} de R Montrer que G R + est une partie non vide et minorée a Montrer α G, en raisonnant par l absurde Pour montrer que tout élément g de G est dans αz, considérer E, ce qui revient à diviser g par α g α b Montrer que G admet des éléments > aussi petits que l on veut 3 a Revenir à la définition ou à la caractérisation d un sousgroupe b Utiliser le théorème de Bezout c Raisonner par l absurde 5

18 Corrigés des eercices 6 On a successivement, par des calculs dans R, en faisant apparaître le développement de + 3 par la formule du binôme de Newton : On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est { } + D abord, les racines carrées qui interviennent dans l équation de l énoncé, notée, eistent si et seulement si 6, 3, + 5, 4 3 sont tous, ce qui revient à : On a alors, en élevant au carré, les deu membres étant : ou Enfin, les deu réels trouvés sont dans l intervalle de définition dégagé plus haut On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est, } { On peut d ailleurs contrôler ces deu résultats en reportant chacune de ces valeurs dans 3 On remarque que n intervient que par le groupement, donc on effectue le changement d inconnue y En notant l équation proposée, on a alors, pour y + 3 : 3y 4 y y 6 4 y + 3 { 3y 6 3y 6 6y + 3 { y 9y 5y y y 6 ou y 9 y 6, et la valeur 6 trouvée pour y vérifie y + 3 Ensuite : y On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {, 3} On peut d ailleurs contrôler ces deu résultats en reportant chacune de ces valeurs dans 4 D abord, les deu membres de l équation proposée sont définis si et seulement si : L application [ + [ R, est strictement croissante, donc l équation proposée admet au plus une solution D autre part, le réel est solution évidente On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule,

19 5 On a, par addition : S + y + y + + y + y + + y 4n + n + + nn + <4n + { n nn + nn + <n + Notons s + y On a alors : S s + s s s + s ou s Pour s, en remplaçant y par, on obtient : + y + y qui n a pas de solution, Pour s, on a y et : S On déduit : y On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule, qui est : 5 3, y 3 On peut d ailleurs contrôler ce résultat en reportant ces valeurs dans S 6 a On a, pour tout a,b R + : a a + b 3a b 4a a + b3a b 4 4a + b a ab + b 4a + b a b 4a + b, d où l inégalité voulue b On applique le résultat de a à a,b, b,c, c,a, puis on additionne : a a + b + b b + c + c c + a 3a b + 3b c + 3c a a + b + c 7 Par définition de la partie entière, puisque 4n + Z, on a : E n + n + 4n + 4n + n + n + < 4n + { n n + n 4n + 4n < 4n + 4n +, et ces deu dernières inégalités sont vraies, ce qui prouve, par équivalences logiques successives, le résultat voulu 8 On remarque que : et Ainsi, n intervient que par le groupement On effectue donc le changement d inconnue y En notant l équation proposée, on a alors : y 4y 68 y 6y + 3 Le discriminant de cette équation du second degré est : , d où les solutions en y : y 6 ± 54 y 4 ou y 58 On revient à, en résolvant deu équations du second degré : y 4 4 ± 7 y ± 33 On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est : { 7, + 7, 33, + } 33 9 D abord, les deu membres de l équation sont définis si et seulement si 9 et sont, ce qui revient à : 9 On remarque les groupements 4 9 et 4 et leurs carrés On effectue donc un changement de notation, en posant : u 4 9, v 4 On a alors : u 4 + v et, en notant l équation de l énoncé : uv + u + v 7 Puisque u et v interviennent de manière symétrique, posons S u + v et P uv 7

20 On a alors : u 4 + v 4 u + v u v S P P S 4 4S P + P { S On déduit : P 7 S 4 4S P + P 7 { P S 7, où : S 4 4S S 7 + S 7 7 car S u + v S S 3, Ainsi : S 3, P, donc u,v sont les solutions de t 3t +, d où, à l ordre près : u, v { { u 4 9 v 4 { { { u 4 9 v 4 { On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {3, 8} On peut d ailleurs contrôler ces résultats en reportant chacune de ces valeurs dans D abord, les termes de l inéquation eistent si et seulement si Puisque 4 et 3 interviennent, notons t, de sorte que : 4 t 4 t 3, 3 t 3 t 4, t t 6 On a alors, en notant l inéquation de l énoncé : t 3 + 3t 4 t 6 t 3 t 3 3t t 3 t + t t t 3 t + t + t t 3 t + t Puisque t, on a t + >, donc : t 3 t t 4 96 L ensemble des solutions de l inéquation proposée est donc l intervalle [ ; 4 96] On a, pour tout a,b,c R 3, en considérant qu il s agit d un trinôme en c, que l on met sous forme canonique : 4a + 4b + c a + b + c 3a + 3b + c ab ac bc c a + bc + 3a + 3b ab c a + b a + b + 3a + 3b ab c a b + a + b 4ab c a b + a b, d où l inégalité voulue On a, en développant les carrés comme produits de deu facteurs : n ak k + n n b a k b k k i, j n i, j n a i + b i d ij, où on a noté : d ij k k a j + b j i, j n a i a j i, j n ai + bi aj + b j a i a j b i b j b i b j D après l inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout i, j {,,n} : a i a j + b i b j ai + bi aj + b j, donc d ij, puis, en additionnant d ij, ce qui montre le résultat voulu i, j n 3 Récurrence sur n L inégalité est évidente pour n il y a même égalité Supposons l inégalité vérifiée pour un n N Soient a,,a n+ [ + [ On a : n+ n + a i + a i + a n+ i i hyp réc n + n + a n+ + n a i + a n+ i n n a i + a i a n+ i i 8

21 Remarquons :,y [ + [, + y + y En effet, pour tout,y [ ;+ [ : + y + y y D où, ici : a n+ + On déduit : i n n a i + a i a n+ i i n+ n + a i n + a i a n+ n+ n + a i, i ce qui montre l inégalité à l ordre n + On a établi l inégalité voulue, pour tout n N, par récurrence sur n 4 Récurrence sur n L inégalité est évidente pour n i Supposons l inégalité vraie pour un n N On a : n+ k n k k Il suffit donc de montrer : k + n + < n + n + + hyp rec n + n + n + + n + On a : n + + n + n + n + n n + n n + n + + n n + + n n + n + + n 4n + n + + nn + 4n + 4 nn + n + nn + n + Ceci montre, par équivalences logiques successives, que l inégalité est vraie, ce qui entraîne l inégalité voulue pour n + On a démontré l inégalité demandée, par récurrence sur n 5 Séparons en cas, selon le reste de la division euclidienne de n par 4, et présentons les résultats dans un tableau : n n + n + 4 n E E E Somme 4 4 4k k k k + 4k 4k + k k k + 4k + 4k + k k + k + 4k + 4k + 3 k + k + k + 4k + 3 Ceci établit le résultat voulu, par eamen de tous les cas modulo 4 6 Notons u On a alors A u + v et : u 3 + v u 3 v , v , 3 3 donc, comme uv R : uv D où : A 3 u + v 3 u 3 + 3u v + 3uv + v 3 u 3 + v 3 + 3uvu + v A Ainsi, A vérifie : A 3 7A 36 Une solution évidente est 4, donc: A 4A + 4A + 9 Le discriminant est <, donc, comme A est réel, A + 4A + 9 n est pas nul, et on conclut : A 4 7 Raisonnons par l absurde : supposons + y Q Comme et y sont des irrationnels, ils ne sont pas nuls, donc + y >, puis : y y + y Comme y Q et + y Q +, et que Q est un corps, on déduit, du résultat précédent : y Q Ensuite, comme Q est un corps : + y + y Q, contradiction 9

22 Ce raisonnement par l absurde établit que + y est un irrationnel Par eemple, comme et 3 sont irrationnels cf eercice 8 a, on déduit : + 3 / Q 8 Raisonnons par l'absurde ; supposons qu'il eiste p,q N tel que : p n q et pgcdp,q On a alors nq p Par unicité de la décomposition d'un entier en produit de nombres premiers, il en résulte que les eposants des facteurs premiers figurant dans la décomposition de n sont tous pairs, et donc n est le carré d'un entier, contradiction On conclut : n / Q Eemples : / Q, 3 / Q, 5 / Q, 6 / Q b Raisonnement par l'absurde Notons α + 3, et supposons α Q On a alors : α , d'où 6 α 5 Q, contradiction, d'après a Finalement : + 3 / Q Notons u,v 9 On sait cf eercice 8 a: R + Q Séparons en deu cas, selon que v est rationnel ou irrationnel Si v Q, alors le couple a, b convient Si v / Q, alors, comme : v Q, le couple a v, b convient Ceci montre qu il eiste a,b R + Q tel que a b Q : en effet, l un des deu couples,,, convient Mais on ne sait pas décider lequel au moins convient! Puisque G / {}, il eiste G tel que / Si >, alors G R + Si <, alors G R + Ainsi, G R + est une partie non vide et minorée par de R, donc théorème de la borne inférieure dans R G R + admet une borne inférieure α dans R Puisque est un minorant de G R + dans R, on a : α a Raisonnons par l'absurde : supposons α / G Puisque α > α, α n'est pas un minorant de G R + dans R ; il eiste donc β G tel que α < β < α De même, puisque β > α, β n'est pas un minorant de G R + dans R ; il eiste donc γ G tel que α < γ < β On a alors : β γ G R + et β γ < α, ce qui contredit la définition de α Ceci prouve : α G Comme G est un sous-groupe de R,+, il en résulte : n Z, nα G, c'est-à-dire : αz G g Soit g G En notant n E, on a nα g <n + α α et g nα G car g G, α G, n Z Si g / nα, alors g nα G R + et g nα < α, contradiction avec la définition de α Donc g nα αz Ceci montre G αz Finalement : G αz b Soit,y R tel que < y Puisque α, il eiste g G tel que < g < y ; notons n E + On a g alors n < n, d'où : g < ng n g + g + g < y et ng G Ceci montre que G est dense dans R 3 a + ω Gω Soient,y Gω Il eiste a,b,c,d Z tels que a + bω et y c + dω On a : y a c + b dω et a c, b d Z, donc : y Gω On conclut : Gω est un sous-groupe de R,+ b Soit a,b Z On a : a + bω aq + bp q q Z Puisque pgcdp,q, d'après le théorème de Bezout, il eiste u,v Z tel que : up + vq Alors : up + vq q q puis : q Z G ω On conclut : Gω q Z v + uω Gω, c Raisonnons par l'absurde : supposons que Gω ne soit pas dense dans R D'après, Gω est alors discret, c'est-à-dire qu'il eiste α R tel que Gω αz Comme + ω Gω et ω + ω Gω, il eiste p,q Z tel que : αp et ω αq Il est clair que α / et p /, et on a : ω αq αp q p Q, contradiction Ceci montre que Gω est dense dans R Par eemple, en admettant que π est irrationnel cf eercice 69, la partie {a + bπ; a,b Z } est dense dans R

23 Les nombres complees CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 4 Du mal à démarrer? 8 Corrigés 9 Thèmes abordés dans les eercices Calcul algébrique sur les nombres complees : sommes, produits, quotients, puissances, conjugués, modules, forme algébrique et forme trigonométrique Équations algébriques simples, systèmes d'équations algébriques Inégalités portant sur des modules, souvent en liaison avec une interprétation géométrique Utilisation des nombres complees pour la trigonométrie, formule d'euler, formule de Moivre Utilisation des nombres complees pour la géométrie plane, utilisation des rotations et des similitudes directes Manipulation des racines n-èmes de dans C Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Calcul dans C, en particulier les propriétés algébriques de la conjugaison et du module Résolution des équations du premier et du second degré dans C Propriétés de la forme trigonométrique d'un nombre complee non nul Définition et propriétés des racines n-èmes de dans C Formule d'euler et formule de Moivre Traduction sur les affies d'une translation, d'une rotation, d'une similitude directe Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complee présenté comme puissance d'un nombre complee Pour résoudre une équation à une inconnue dans les complees Utiliser la forme trigonométrique des nombres complees Eercice De manière générale, l'écriture algébrique + i y,,y R, est conseillée pour des calculs additifs, et l'écriture trigonométrique ρ e i θ,ρ,θ R + R, est conseillée pour des calculs multiplicatifs On sait résoudre les équations du premier degré ou du second degré voir cours Toujours tenir compte des particularités de l'équation proposée : à ce niveau, s'il y a une question, c'est qu'il y a une réponse eprimable Eercices, 3, 5

24 Chapitre Les nombres complees Effectuer un changement d'inconnue ou un changement de variable pour ramener l'équation à une autre équation plus simple On prendra souvent comme nouvelle inconnue un groupement intervenant plusieurs fois dans l'équation Eercice 8 Utiliser les formules, pour tout z C : Pour traduire qu'un nombre complee est réel, qu'un nombre complee est imaginaire pur Ainsi : Ré z z + z, Im { z R z z z z z i z i R z z Eercice 4 Essayer d'utiliser l'inégalité triangulaire : z,z C, z + z z + z ou l'inégalité triangulaire renversée : z,z C, z z z z Pour établir une inégalité portant sur des modules de nombres complees De manière générale, il est conseillé de partir du membre le plus compliqué Eercices 6,,, 3 Essayer de faire intervenir des carrés de module au lieu des modules eu-mêmes, de façon à pouvoir utiliser la formule : z C, z zz Eercice Si des modules de produits ou des modules de carrés interviennent, essayer d'appliquer l'inégalité de Cauchy et Schwarz Eercice 9 On peut être amené à séparer en cas et à traiter les différents cas par des méthodes différentes Eercice Pour résoudre un système d'équations symétrique à deu inconnues,y Pour traduire, en géométrie plane, qu'un point est sur un cercle Essayer de faire intervenir la somme et le produit de et y, en notant S + y et P y, et en considérant S et P comme de nouvelles inconnues Eercice 7 Par les nombres complees, si les points A,M ont pour affies respectives a,z, alors : M est sur le cercle de centre A et de rayon R si et seulement si z a R Eercice 9

25 Les méthodes à retenir Essayer d'utiliser, pour tout z C : Pour faire des calculs sur des nombres complees de module z z z, ce qui permet, lorsque z, de remplacer z par, ou inversement z Eercices, 3, 6 Pour résoudre une question portant sur des cosinus et des sinus Pour déterminer l'image dans C, par une application f, d'une partie P de C Pour calculer une epression faisant intervenir des coefficients binomiau Pour établir une propriété faisant intervenir un entier n quelconque Essayer de faire intervenir les nombres complees, en utilisant la formule : R, cos + i sin e i Pour transformer + e i θ ou e i θ,θ R, mettre e iθ en facteur : + e i θ e iθ cos θ, ei θ i e iθ sin θ Eercice 5 Essayer, si possible, en notant Z f z, d'eprimer z en fonction de Z, puis remplacer z en fonction de Z dans les conditions définissant P Eercice 7 Essayer d'appliquer la formule du binôme de Newton Si les coefficients binomiau sont régulièrement espacés de trois en trois, par eemple, faire intervenir des racines par eemple cubiques de dans C Eercice 8 Essayer de faire une récurrence sur n Pour y arriver, il faut que la propriété à l'ordre n + s'eprime simplement en faisant intervenir la propriété à l'ordre n Eercice 4 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer une somme faisant intervenir une ou des racines n-èmes de dans C Essayer d'appliquer la formule du binôme de Newton : n N n, a,b C, a k b n k a + b n k k ou la formule sur la sommation d'une progression géométrique : n N, z C {}, k z k zn+ z Eercices 5, 3 3

26 Chapitre Les nombres complees Essayer de faire apparaître des rotations ou, plus généralement, des similitudes directes C B Pour traduire une configuration de géométrie plane par les nombres complees A θ Figure Rappelons que, si A,B,C sont trois points du plan, d'affies respectives a,b,c, et si θ R, alors : C Rot A,θ B AC Rot θ AB c a e i θ b a Eercices 7, 8 Énoncés des eercices Eemple de calcul de la partie réelle et de la partie imaginaire d'un nombre complee donné par une puissance + i 3 5 Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complee A + i Eemple de résolution d'une équation particulière du 3 e degré dans C a Résoudre l'équation d'inconnue z C : z 3 6 iz iz + 89 i b Quelle particularité présente le triangle formé par les trois points dont les affies sont les solutions de? 3 Eemple de résolution d'une équation particulière du 4 e degré dans C Résoudre l'équation, d'inconnue z C : E z + 4z + + 3z Étude de conjugaison et de module + z Soit z C {} Montrer : i R z z 4

27 Énoncés des eercices 5 6 Résolution d'une équation dans C faisant intervenir un conjugué Résoudre l équation d inconnue z C : z z 3 Étude d'inégalités sur des modules de nombres complees a Montrer, pour tout z C : z + i z 4 + b Traduire géométriquement le résultat de a Eemple de résolution d'un système de deu équations à deu inconnues dans C { y + y 6 Résoudre le système d équations, d'inconnue,y C : S 3 + y 3 9 Eemple de résolution d'une équation particulière du 4 e degré dans C Résoudre l équation d inconnue z C : zz + z z 3 63 Étude de cocyclicité pour quatre points du plan Est-ce que les points A,B,C,D d'affies respectives 9 + 3i, 6 + i, 4 + 4i, + i sont cocycliques? Si oui, déterminer le centre et le rayon du cercle qui les contient Étude de conjugaison et de modules de nombres complees Montrer : u U, z C, u u z z z Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 4 Inégalités sur des modules de nombres complees Soit a,b C tel que a < et b < Montrer : a b ab < Un eemple d'involution d'un disque Montrer que l'application f : z z z est une involution de z D { z C ; z < } Propriétés des fonctions symétriques élémentaires de quatre nombres complees de modules égau à Soient a,b,c,d U On note σ,σ,σ 3,σ 4 les fonctions symétriques élémentaires de a,b,c,d a Montrer : σ σ 3 σ 4 et σ σ σ 4 b En déduire : σ σ 3 σ 4 R + et σ σ 4 R + Eemple d'intervention de la géométrie dans la résolution d'une équation faisant intervenir des nombres complees Résoudre l'équation e i + e i y + e i z, d'inconnue,y,z R 3 5

28 Chapitre Les nombres complees 5 6 Un calcul important et utile : somme des cosinus et somme des sinus de réels en progression arithmétique Pour n N et a,b R, calculer C cosa + kb et S sina + kb k k Utilisation de la conjugaison pour des nombres complees de module Soient a,b,c U tels que b / c On note A bc a ac b Montrer : A R Un eemple d'image d'un quart de plan par une fonction homographique Déterminer l'image par l'application f : z z + du quart de plan z { } P z C ; Ré z > et Imz > Calcul de sommes de coefficients binomiau de trois en trois Calculer, pour n N tel que n 3, les sommes : n n n n n n A + + +, B + + +, n n n C Eemple d'obtention d'inégalités portant sur des modules de nombres complees Soient n N, z,,z n C, M R + tels que : z k et z k M Montrer : k k n k {,,n}, z k M n Eemple d'inégalité portant sur des modules de nombres complees Montrer, pour tout z C : z z + z Calcul d'une borne supérieure faisant intervenir des nombres complees Déterminer Sup z 3 + i z z Étude d'inégalité sur des sommes de modules de nombres complees z Soient n N, z,,z n C k On suppose z k k a Montrer : z C, z k z k z z k z k k k b En déduire : z C, z k z k z k k 6

29 Énoncés des eercices 3 Obtention d'inégalités portant sur des modules de nombres complees a Montrer, pour tout u,v C : u + v u + v + u v b En déduire, pour tout z,z,z 3,z 4 C 4 : z + z + z 3 + z 4 z + z + z + z 3 + z + z 4 + z + z 3 + z + z 4 + z 3 + z Eemple d'utilisation du raisonnement par récurrence pour l'obtention d'une inégalité portant sur les modules de plusieurs nombres complees Soient n N, D { z C ; z }, a,,a n, b,,b n D Montrer : n n a k b k a k b k k k Eemple de calcul d'une somme faisant intervenir des racines n-èmes de Soient n N {,}, z C On note ω e iπ n n et S n z + ω k n Calculer S n Étude de cocyclicité ou alignement de quatre points du plan Soient A,B,C,D quatre points du plan deu à deu distincts, a,b,c,d leurs affies respectives On suppose : a + bc + d ab + cd k Montrer que A,B,C,D sont cocycliques ou alignés Triangle équilatéral dans le plan Soient A,B,C trois points du plan affine euclidien, d'affies respectives a,b,c k a Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a + jb + j c b En déduire que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si : a + b + c ab + ac + bc Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple d'utilisation des nombres complees pour la résolution d'une question de géométrie plane Dans le plan affine euclidien orienté, on construit, etérieurement à un parallélogramme ABCD, les triangles équilatérau BCE et CDF Montrer que le triangle AEF est équilatéral Eemple de traduction d'une configuration géométrique par une condition sur des nombres complees Soit z C On note u,v les racines carrées complees de z Déterminer l'ensemble des z C tels que les points d'affies z,u,v forment un triangle rectangle de sommet le point d'affie z Eemple de calcul d'une somme double faisant intervenir des racines n-èmes de dans C Soit n N On note ω e iπ n n q n et S n ω p+q Calculer S n p p qp 7

30 Chapitre Les nombres complees Du mal à démarrer? Utiliser la forme trigonométrique des nombres complees a Grouper les deu termes contenant 6 et les deu termes contenant 89 3 Remarquer que, pour tout a,b C : Utiliser : a + b a + i ba i b A C, A i R A A Passer par la forme trigonométrique de z Faire apparaître z + i dans z 4,et utiliser l'inégalité triangulaire et l'inégalité triangulaire renversée 7 Eploiter les rôles symétriques de et y, en prenant comme nouvelles inconnues la somme et le produit de et y 8 En groupant les facteurs z et z 3 d'une part, z + et z d'autre part, faire apparaître la même epression z 3z et utiliser alors un changement d'inconnue 9 Résoudre ΩA ΩB ΩC ΩD, d'inconnue Ω d'affie z + i y,,y R Remarquer que, puisque u U ensemble des nombres complees de module, on peut remplacer u par u Après avoir vérifié l'eistence de l'epression proposée, mettre des modules au carré Se rappeler qu'une involution d'un ensemble D est, par définition, une application f : D D telle que f f Id D 3 Par définition, les fonctions symétriques élémentaires de a,b,c,d sont : σ a + b + c + d, σ ab + ac + ad + bc + bd + cd, σ 3 abc + abd + acd + bcd, Eploiter : z U, z z 4 5 σ 4 abcd Traduire par une configuration géométrique Passer par les nombres complees, en formant C + i S, puis faire apparaître une progression géométrique 6 Utiliser l'égalité u, pour tout u U, ensemble des u nombres complees de module Pour établir A R +, on peut essayer de faire apparaître A comme carré du module d'un nombre complee 7 Pour traduire z P par une condition portant sur f z, eprimer z en fonction de Z f z, puis passer à la partie réelle et à la partie imaginaire de z 8 Puisque les coefficients vont de trois en trois, on peut penser au racines cubiques de dans C, d'où l'idée de former A + B + C, A + jb + j C, A + j B + jc 9 Puisque des carrés de modules interviennent, essayer d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz Appliquer judicieusement l'inégalité triangulaire et séparer en cas selon la position de z par rapport à, à cause de la présence de z et de z Obtenir une majoration convenable, par l'inégalité triangulaire, puis choisir z pour réaliser l'égalité dans l'inégalité obtenue a Partir du membre le plus compliqué, le second b Utiliser l'inégalité triangulaire 3 a Utiliser convenablement l'inégalité triangulaire b Appliquer le résultat de a à z,z, à z 3,z 4, puis à z z, z 3 z 4 4 Récurrence sur n 5 Utiliser le binôme de Newton, une propriété de permutation de deu symboles et enfin la sommation d'une progression géométrique 6 Utiliser la caractérisation de quatre points deu à deu distincts cocycliques ou alignés : d a c a : d b c b R 7 a Traduire la configuration à l'aide d'une rotation, par eemple de centre B b Un triangle est équilatéral si et seulement s il est équilatéral direct ou équilatéral indirect 8 Passer par les nombres complees Traduire la configuration à l'aide de rotations 9 Se rappeler que le produit scalaire de deu vecteurs d'affies complees a,b est donné par Ré ab 3 Utiliser une propriété de permutation de deu symboles de sommation, le binôme de Newton, et enfin la sommation d'une progression géométrique 8

31 Corrigés des eercices Mettons + i 3 et + i sous forme trigonométrique : + i , donc : + i 3 + i 3 D où : Puis : e i π 3, + i, donc + i + i + i 3 + i ei π 3 e i π 4 e i π 4 e i π π 3 4 e i π A e i π 5 5 e i 5π On calcule cette dernière eponentielle complee : e i 5π e i 5π e i π π ie i π ie i π π 4 3 ie i π 4 e i π 3 On obtient : i + i i 3 i i i A i et on conclut que la partie réelle de A est 6 3 et que la partie imaginaire de A est a On a : z 3 + i z 6z + i z + 89z + i z z + i 6zz + i + 89z + i z 6z + 89z + i z 6z + 89 ou z i Le discriminant de l'équation du second degré est : i Les solutions de dans C sont donc : 6 i 8 5i et 6 + i 8 + 5i On conclut que l'ensemble des solutions de est { i, 8 5i, 8 + 5i } b On peut éventuellement commencer par faire un schéma situant les trois points en question, pour deviner quelle réponse apporter à cette question y 5 5 i 8 + 5i 8 8 5i Puisque { 8 + 5i i 8 + 6i i 8 5i i, le triangle formé par les trois points dont les affies sont les solutions de est isocèle, de sommet d'affie 8 + 5i 3 On a : E z + 4z + + i 3z + 5 ou z + 4z + i 3z + 5 9

32 z iz + + 5i ou z + 4 3iz + 5i L'équation est du second degré Son discriminant est : 4 + 3i 4 + 5i i 4 i 3 + 4i On remarque que 3 + 4i + i, ou bien on calcule les racines carrées complees de 3 + 4i par la méthode habituelle On en déduit les solutions de : 4 + 3i + i 6 4i 3 i 4 + 3i + + i i i D'autre part, un nombre complee z est solution de si et seulement si son conjugué z est solution de, donc les solutions de sont les conjuguées des solutions de Finalement, l'ensemble des solutions de est : 6 Soit z C tel que z + i On a : z 4 z + i i z + i i + z 4 z + i 3 i z + i + 3 i + On conclut : z 4 + b Le résultat de a se traduit géométriquement par : le disque fermé de centre + i et de rayon est inclus dans la couronne fermée de centre 4 et de rayons et + qui est d'ailleurs tangente au disque précédent en deu points y { 3 i, i, 3 + i, + i } i + i 4 Notons A + z z On a : O 4 A i R A A + z + z z z + z z + z z 5 + z z z + z zz zz z z Remarquer que le nombre est solution Soit z C Notons z ρ e i θ, ρ R +, θ R On a : ρ e i θ ρ 3 e 3i θ { ρ { ρ ρ 4θ [π] θ θ 3θ [π] [ ] π On conclut que l'ensemble des solutions de est {,, i,, i } 7 Puisque et y jouent des rôles symétriques, notons S + y et P y On a : { { PS 6 PS 6 S S 3 3PS 9 S { { { S 3 S 3j S 3j ou ou P P j P j Connaissant S et P, d'après le Cours, et y sont les solutions de l'équation du second degré t St + P, d'inconnue t C S, P Équation en t Solutions en t S 3, P t 3t + t, t S 3j, P j t 3jt + j t j, t j S 3j, P j t 3j t + j t j, t j Finalement, l'ensemble des solutions de S est : {,, j,j, j,j,,, j,j, j,j }

33 8 On a : zz 3 z + z 63 z 3zz 3z 63 En notant Z z 3z, on a donc : ZZ 63 Z Z 63 Il s'agit d'une équation du second degré Le discriminant est : Les solutions en Z sont donc : 6 7 et + 6 D où : z 3z 7 ou z 3z 9 9 z 3z + 7 ou z 3z 9 3 Il s'agit maintenant de deu équations du second degré Le discriminant de est , donc les 3 i i 47 solutions de sont et 4 4 Le discriminant 3 de 3 est , donc 3 9 les solutions de 3 sont 3 4 et Finalement, l'ensemble des solutions de est { 3, 3, 3 i 47, 3 + i } Soient Ω un point du plan, z son affie,,y R tel que z + i y On a : ΩA ΩB ΩC ΩD 9 + y y y y + y 8 6y y y y + 8 8y + + y + y y y y y y y + 5 { 3 7y y { y 58 { 3 y Ceci montre qu'il eiste un point Ω du plan et un seul, celui d'affie 3 + i, tel que Ω soit équidistant de A,B,C,D Autrement dit, A,B,C,D sont cocycliques, sur un cercle de centre Ω Le rayon de ce cercle est ΩA ou ΩB, ou ΩC, ou ΩD On a : ΩA , donc le rayon du cercle est 45 On peut d'ailleurs contrôler : ΩB , ΩC , ΩD Par ailleurs, la notion de nombre complee n'intervient pas de manière essentielle dans cet eercice Puisque u U, on a u u, donc u u, d où : u z u z z u uz z u u z u z z Montrons d'abord que l'epression proposée eiste On a, pour tout a,b C tel que a < et b < : ab ab a b ab, eclu, car a b <, ce qui montre que ab /, donc a b ab eiste On a, pour tout a,b C tel que a < et b < : a b ab < a b < ab a b < ab a ba b < ab ab aa ab ba + bb < ab ab + abab + a b a b > a b >, et cette dernière inégalité est vraie, car a < et b <

34 On conclut : a b ab < 4 y Remarque : Le même calcul permet, plus généralement, d'obtenir la position stricte de a b ab par rapport à en fonction des positions strictes de a et de b par rapport à B A Soit z D On a alors z /, donc f z z z z eiste, et : f z z z z z z z z z z <, z G O donc f z D Ceci montre que f est une application de D dans D C Pour montrer f f Id D, on va calculer f f z pour tout z D On a, pour tout z D : f f z f f z f z f z f z z z + z z z z + z z z z z z + z zz z z z + z zz z z On obtient f f Id D et on conclut que f est une involution de D 3 a σ a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d bcd + acd + abd + abc abcd σ ab + ac + ad + bc + bd + cd ab + ac + ad + bc + bd + cd ab + ac + ad + bc + bd + cd cd + bd + bc + ad + ac + ab abcd b Il s'ensuit : σ σ 3 σ 3 σ σ σ σ R + σ 4 σ 4 σ σ 4 σ σ σ 4 σ σ σ R + σ σ 4 σ 3 σ 4 Notons A,B,C les points d'affies respectives e i, e i y, e i z Ainsi, A,B,C sont sur le cercle de centre O et de rayon L'affie du centre de gravité G du triangle ABC est e i + e i y + e i z Ainsi,,y,z est solution de si et seulement si G O 3 Si G O, c est-à-dire si le centre de gravité G de ABC est confondu avec le centre O du cercle circonscrit à ABC, alors les médiatrices et les médianes du triangle ABC sont confondues, donc ABC est équilatéral La réciproque est évidente On conclut que,y,z est solution de si et seulement si le triangle dont les sommets ont pour affies e i, e i y, e i z est équilatéral Autrement dit, l'ensemble des solutions de est : {, + π3 +kπ, + 4π3 } +lπ ;,k,l R Z Z 5 {, + 4π3 +kπ, + π3 } +lπ ;,k,l R Z Z On a : C + is e ia+kb e ia k Si b / πz, alors e ib /, donc : C + is e ia ein+b e ib in+b e e ia e ia+ nb e ib k k e in+b e in+b e ib e ib e ib i sin n + b i sin b

35 On déduit C et S en prenant la partie réelle et la partie imaginaire Si b πz, l'étude est immédiate On conclut : cos a + nb n + b sin C sin b si b / πz n + cos a si b πz sin a + nb n + b sin S sin b si b / πz n + sin a si b πz 6 Remarquer d'abord que l'epression proposée eiste, puisque a / et c / b Notons z c a On a, puisque a,b,c U : c b z c a c b c a c a c bc ca b c b a z b D où : bc a ac b b c a b a c b a z b a z z zz z R + 7 Eprimons, pour tout z C {}, z en fonction de Z f z On a : Z z + Zz Z z + z en remarquant que Z / Zz z Z + z Z + Z, Notons z + i y,,y R, Z X + i Y,X,Y R Calculons,y en fonction de X,Y : d où : On a alors : z P On conclut : + i y X + i Y + X + i Y X + + i Y X i Y X + i Y X i Y X + Y i Y X + Y, X + Y X + Y, y Y X + Y { > y > X + Y X + Y > et Y X + Y > { X + Y { > X + Y > Y > Y < { { X + Y } > f P Z X + i Y ; X,Y R, Y < Ainsi, f P est la partie du plan etérieure au cercle de centre O et de rayon, et située au-dessous de l'ae des abscisses Voir schémas ci-dessous y y P O f O fp 3

36 8 En utilisant la formule du binôme de Newton : n n n n A + B + C A+j B +j C k n n + n n k +j n j k k k n n +j j n j n n j n n A+j B+jC +j n j n n j n On résout ensuite un système d'équations, en utilisant les coefficients indiqués : A + B + C n A + jb + j C n j n j j A + j B + jc n j n j j d'où les valeurs de A,B,C : A n + n j n + n j n 3 n + n cos nπ 3 3 B n + n j n+ + n j n+ 3 n + n cos 9 C 3 3 n + n j n+ + n j n+ 3 Soit k {,,n} Puisque z k n + n cos z p, on a : p p n, p / k z p n + π 3 n π 3 D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, appliquée à z p p n,p / k et p n, p / k, on a : p n, p / k z p p n, p / k n p n, p / k p n, p / k z p z p D où : + z k z k + n n donc : z k + z k et finalement : p n, p / k M + n p n, p / k z p n M, n n z k M n z p z p M, p Soit z C On a, par l'inégalité triangulaire : z z z + z z z + z z z + z Si z, on déduit le résultat voulu : z z + z Si z, alors z z, donc a fortiori : z z + z On a, pour tout z C tel que z, en utilisant l'inégalité triangulaire : z 3 + i z z 3 + i z z 3 + z 3 Voyons si on peut choisir z de façon qu'il y ait égalité dans chacune des deu inégalités précédentes On sait qu'il y a égalité dans l'inégalité triangulaire ici si et seulement si z 3 et i z sont positivement liés, c'est-à-dire : z 3 i λz, λ R + Pour z, on déduit, en passant au modules, λ, λ Puis : z 3 i λz z 3 i z z i, car z / Une racine carrée complee de i e i π est e i π 4 + i En prenant z + i, on a : z, z i, z 3 i z, z 3 + i z 3i z 3 z 3 On conclut : Sup z 3 + i z 3 z a On a, pour tout z C : k z k z z k z k k z k z k z k z k z k k zz k z k z k z k k k z k 4

37 b D'après a, z k z z k z k z k R +, k et, par l'inégalité triangulaire : z k k k k z k z z k z k z k z z k z k k z k z z k z k z k z k k On a, en notant A n k n a k, B n k n b k : k n+ n+ a k b k A n a n+ B n b n+ k A n a n+ b n+ + A n B n b n+ A n a n+ b n+ + A n B n b n+ 3 a En utilisant l'inégalité triangulaire : u u + v + u v u + v + u v v u + v u v u + v + u v, D'une part, A n, car : k {,,n}, a k D'autre part, d'après l'hypothèse de récurrence : A n B n a k b k k 4 d'où, en additionnant puis en simplifiant par : u + v u + v + u v b D'après a appliqué à z,z et à z 3,z 4 à la place de u,v, on a : et puis en additionnant : z + z + z 3 + z 4 z + z z + z + z z z 3 + z 4 z 3 + z 4 + z 3 z 4, z + z + z 3 + z 4 + z z + z 3 z 4 D'après a appliqué à z z,z 3 z 4 à la place de u,v, on a : z z + z 3 z 4 z z + z 3 z 4 + z z z 3 + z 4 z + z 3 z + z 4 + z + z 4 z + z 3 d où le résultat voulu : z + z + z 3 + z 4 z + z 3 + z + z 4 + z + z 4 + z + z 3, z + z + z + z 3 + z + z 4 + z + z 3 Raisonnons par récurrence sur n La propriété est triviale pour n + z + z 4 + z 3 + z 4 Supposons la propriété vraie pour un n N, et soient a,,a n+, b,,b n+ D Enfin : b n+ n+ n+ On déduit : a k b k a n+ b n+ + k k ce qui montre la propriété pour n + a k b k k n+ a k b k, On a établi la propriété voulue, pour tout n N, par récurrence sur n 5 On a, en utilisant le binôme de Newton, puis une permutation de deu symboles de sommation : n n S n z + ω k n k n l k k l n ω kl z n l l n ω k l z n l l l k n n z n l ω l k l On calcule cette dernière somme portant sur l'indice k, en séparant en cas selon que ω l est égal à on non : k n si l ou l n, alors ω l, donc ω l k n si l / ou l / n, alors, comme <l<n, on a ω l /, d où : k k n ω l ωl n ωn l ω l ω l Ainsi, dans S n, il ne reste que les termes d'indices l, n n l n,d où : S n z n n + z n nz n + n 5

38 6 On a : a + bc + d ab + cd ac + ad + bc + bd ab + cd ac + bd ab cd ab + cd ad bc F a dc b a cb d a d a c b d b c a d a c : b d a d b c a c : b d b c R, D C E 7 ce qui montre que les quatre points A,B,C,D sont cocycliques ou alignés a ABC est équilatéral direct si et seulement si A se déduit de C par la rotation de centre B et d'angle π 3, c'est-à-dire : On a : A BCE équilatéral indirect BE Rot π 3 BC B B a b e i π 3 c b + π 3 A C e b e iπ 3 c b jc b e b jc b + jb jc j b jc, cf aussi l'eercice 7 De même, puisque CDF est équilatéral indirect, on a : f j c jd Pour montrer que AEF est équilatéral direct, on calcule : f + ja + j e j c jd + ja + j j b jc j c jd + ja jb c Mais e i π 3 j, donc : a b + j c b a + jb + j c ABC équilatéral direct b ABC est équilatéral ou ABC équilatéral indirect a + jb + j c ou a + jc + j b a + jb + j ca + j b + jc a + b + c ab + ac + bc 8 Notons a,b,c,d les affies complees de A,B,C,D respectivement Puisque ABCD est un parallélogramme, on a : a + c b + d ja jb + j c jd ja jb + jc jd ja b + c d On conclut que AEF est équilatéral direct 9 Première méthode algébrique Puisque u,v sont les racines carrées complees de z, on a: v u et z u On a : z,u,v rectangle en z Ré u zv z Ré u u u u u u u u +u u u u uu+u u uu +u u uu uu +u u+u u u + u 4 u eclu ou u u z 6

39 On conclut que l'ensemble cherché est U, ensemble des nombres complees de module Deuième méthode géométrique y M Q 3 On a, en utilisant une permutation de deu symboles et la formule du binôme de Newton : n n S n p qp q p q p n q ω p+q q p n q q ω p ω q p n q + ωω q q ω p+q p n + ω q ω q q O Pour calculer cette sommation de progression géométrique, voyons si + ωω peut être égal à ou non On a : P Notons M,P,Q les points d'affies respectives z,u,v Pour que le triangle MPQ soit rectangle en M, il faut et il suffit que M soit sur le cercle de diamètre PQ, ce qui équivaut à OM OP Et : OM OP z u u u u eclu ou u z + ωω ω + ω ω ± 5 Mais + 5 et 5 ne sont pas des racines n-èmes de dans C car de modules différents de, donc + ωω / On a alors, par sommation d'une progression géométrique et puisque ω n : S n + ωω n + ωω + ωn ω ω 7

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41 Suites numériques 3 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 9 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 36 Corrigés 37 Thèmes abordés dans les eercices Convergence, divergence d une suite, détermination de son éventuelle limite Séparation d une suite en termes d indices pairs, d indices impairs, et, plus généralement, étude de suites etraites Montrer que deu suites réelles sont adjacentes Calcul du terme général pour une suite usuelle, en particulier le cas des suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants et sans second membre Étude d une suite du type u n+ f u n Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Propriétés des suites convergentes et des suites de limite infinie, pour les opérations algébriques et l ordre usuel, en particulier le théorème d encadrement Calcul du terme général pour les suites usuelles : suites arithmétiques, suites géométriques, suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants et sans second membre Définition et propriétés des suites etraites, en particulier le cas des suites formées par les termes d indices pairs, d indices impairs Définition et propriétés des suites réelles monotones, des suites adjacentes Plans d étude des suites du type u n+ f u n Dunod La photocopie non autorisée est un délit 9

42 Chapitre 3 Suites numériques Les méthodes à retenir Pour montrer qu une suite converge et trouver sa limite Essayer d eprimer le terme général u n de façon à pouvoir appliquer les théorèmes générau théorème d encadrement, opérations sur les suites convergentes Eercices 3, 3, 34, 35, 36 De manière générale, privilégier l application des énoncés des théorèmes du cours Pour étudier la convergence d une suite Pour étudier la convergence d une suite dans laquelle apparaît une distinction entre les termes d indices pairs et les termes d indices impairs Eercice 34 Ne revenir au «epsilons» que dans les cas où les énoncés des théorèmes du cours ne s appliquent pas directement Eercices 36, 33 Eaminer le comportement des deu suites etraites, indices pairs, indices impairs Eercice 33 Essayer de : trouver deu suites etraites et ayant des limites différentes Eercice 36 b 3 Pour montrer qu une suite diverge Pour étudier une suite etraite d une suite convergente Pour montrer que deu suites réelles u n n,v n n sont adjacentes Pour calculer le terme général d une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants et sans second membre montrer que le terme général tend vers + ou tend vers raisonner par l absurde : supposer que la suite converge et amener une contradiction Eercice 3 Appliquer le résultat du cours : la suite etraite considérée converge et a la même limite que la suite donnée Eercice 35 Établir que : l une est croissante l autre est décroissante 3 la différence v n u n tend vers lorsque l entier n tend vers l infini Eercice 37 Former l équation caractéristique et appliquer les formules du cours Eercices 38, 39, 38 a

43 Les méthodes à retenir Pour calculer le terme général u n d une suite récurrente linéaire du premier ordre ou du second ordre, à coefficients constants et avec second membre Chercher une suite particulière v n n satisfaisant la même relation de récurrence que u n n et de la même forme à peu près que le second membre Former w n u n v n, qui est le terme général d une suite récurrente linéaire du premier ordre ou du second ordre à coefficients constants et sans second membre, calculer w n et en déduire u n par u n v n + w n Eercices 3, 3 S inspirer des eemples traités dans le cours Souvent, on pourra trouver la ou les valeurs nécessaires de l éventuelle limite l de la suite u n n En effet, si u n l et si f est continue n en l, alors f l l Eercices 33 a, b, c Pour étudier une suite récurrente du type u n+ fu n Il se peut que u n n soit croissante et majorée, ou décroissante et minorée, donc convergente En particulier, si f est croissante et si l intervalle d étude est stable par f, alors u n n est monotone Eercices 33 a, c Un dessin permet souvent de prévoir le comportement de la suite u n n et guide la marche à suivre Eercice 33 c Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour étudier une suite ressemblant au types usuels de suites Pour étudier deu suites u n n,v n n définies simultanément par des relations de récurrence les combinant Une séparation en cas, selon la position du premier terme u de la suite par rapport au points fies de f, peut être nécessaire, suivie de l étude de la monotonie de la suite u n n Eercice 33 c On peut essayer d utiliser une majoration de type géométrique Eercice 33 b Essayer de se ramener au types usuels de suites, souvent par changement d inconnue, en ramenant l étude de u n à celle, par eemple, de nu n, de ln u n, Eercice 34 Essayer de : calculer les termes générau u n et v n Eercice 3 étudier la monotonie éventuelle des suites u n n,v n n Eercices 3, 3 raisonner sur les valeurs nécessaires des limites éventuelles Eercices 3, 3 3

44 Chapitre 3 Suites numériques Énoncés des eercices 3 Eemples de calcul de limites de suites réelles Dans chacun des eemples suivants, montrer que la suite, dont on donne le terme général u n, converge, et calculer sa limite : a Ek, R b n k k k k + n c k n k 3 Eemple de calcul de limite d une suite complee Étudier la convergence de la suite complee u n n N définie par u C et : n N, u n+ u n u n 3 33 Suites etraites d indices pairs, d indices impairs Soient a,b C,z n n N une suite complee telle que : z n a et z n+ b n n Montrer que la suite z n z n+ n N converge et déterminer sa limite Étude de limite pour une suite construite à partir de deu suites Soient u n n N,v n n N deu suites à termes dans R + On note, pour tout n N : w n u3 n + u n v3 n n u n + Montrer : w n v n n v n n Limites de trois suites Soient u n n,v n n,w n n trois suites réelles, a R On suppose : Montrer : u n + v n + w n n u n n 3a et u n + v n + w n 3a n a, v n n a, w n a n 36 Limites de deu suites réelles à partir des limites de leur somme et de leur produit Soient n n N,y n n N deu suites réelles On suppose : n + y n n S R et n y n n P R a Montrer : S 4P b Si S 4P >, montrer qu on ne peut pas conclure que n n N et y n n N convergent c Si S 4P, montrer que n n N et y n n N convergent et déterminer leurs limites 3

45 Énoncés des eercices Eemple de deu suites adjacentes Montrer que les suites définies, pour n, par : n u n + et v n kk! k sont adjacentes + u n, nn! Eemple de condition sur une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre Déterminer l ensemble des λ C tels que la suite u n n N, définie par u, u λ et : vérifie : n N, u n n N, u n+ u n+ 4 u n, 39 Suite de Fibonacci et coefficients binomiau { φ, φ Soit φ n n N la suite réelle définie par : n N, φ n+ φ n+ + φ n a Calculer φ n en fonction de n, pour tout n de N b Montrer : n N, φ n+ φ nφ n+ n φn+ c Etablir que converge et trouver sa limite d Montrer : n N, n N, φ n k n n φ k k φ n n k φ k k φ n k Dunod La photocopie non autorisée est un délit Relation de récurrence vérifiée par le carré du terme général d une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre Montrer que, si u n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants dans K, sans second membre, alors la suite u n n N est une suite récurrente linéaire du troisième ordre à coefficients constants et sans second membre, que l on précisera Eemple de calcul du terme général d une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et avec second membre Calculer u n pour tout n N, sachant u, u et : n N, u n+ u n+ u n + n Eemple de calcul des termes générau de deu suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants et avec second membre On considère les deu suites réelles u n n N,v n n N définies par u v et : { un+ u n + v n + n N, v n+ 4u n + 5v n + n Calculer u n et v n en fonction de n 33

46 Chapitre 3 Suites numériques Trois eemples de suites du type u n+ fu n Étudier les suites réelles u n n N définies par : [ [ u { u a u n+ u u 3 + n b u n + u n+ c + u n u n+ u n 9 Eemple de suite réelle pour laquelle u n+ est donné en fonction de u n et de n Étudier la suite réelle u n n N définie par u > et : n N, u n+ nun n Utilisation de plusieurs suites etraites Soit u n n N une suite complee telle que les suites etraites u p p N, u p+ p N, u 3p p N convergent Montrer que u n n N converge Caractérisation de la convergence des suites à termes dans Z Soit u n n N une suite à termes dans Z Montrer que u n n N converge si et seulement si elle est stationnaire c'est-à-dire : il eiste N N tel que u n n N soit constante Un eemple de suite dans lequel u n est donné en fonction de u n Soit u n n N une suite complee bornée telle que : n N, u n u n Montrer que u n n N est constante égale à 38 Eemple de suite récurrente non linéaire Soit u n n N la suite réelle définie par u u u et : n N, u n+3 u n+u n+ + u n a Établir : n N, u n+4 4u n+ u n b En déduire : n N, u n N 39 Étude d une relation de récurrence non linéaire d ordre Eiste-t-il une suite réelle u n n N telle que : { n N, un ] + [ n N, u n+ u n+ u n? 3 Eemple de deu suites récurrentes simultanées Soit a,b ] ; [ tel que a b On considère les deu suites réelles u n n,v n n définies par u a,v b et : n N, u n+ u vn n, v n+ v un n Montrer que u n n converge et que v n n converge vers 34

47 Énoncés des eercices 3 Eemple de deu suites récurrentes simultanées} On considère les deu suites réelles u n n,v n n définies par u >,v > et, pour tout n N : u n+ u n + v n, v n+ u n + u n v n + v n 3 Montrer qu elles convergent, ont la même limite et que cette limite l vérifie : v l u 3 33 Suites de termes générau sin nα, cos nα, pour α R πz fié Soit α R πz Montrer que l'eistence d'une des deu limites lim sin nα, lim cos nα n n entraîne celle de l'autre, et que l'eistence des deu entraîne une contradiction Conclure Moyenne de Césaro, lemme de l escalier, applications a Moyenne de Césaro Soient u n n N une suite dans C, et v n n N la suite définie par : n N, v n u + +u n n Montrer que, si u n n N converge vers l C, alors v n n N converge aussi vers l b Lemme de l'escalier Soit u n n N une suite dans C telle que u n+ u n l C Montrer : u n n n l n c Soit u n n N une suite à termes dans R + Montrer que, si un+ converge vers u n n N un réel l >, alors n u n converge aussi vers l n N d Déterminer les limites, quand n tend vers l'infini de : n n, n n n, n nn + n + n, n 3 n, n 3n! n! n n n n! Dunod La photocopie non autorisée est un délit 34 Étude du dénominateur dans une suite de rationnels convergeant vers un irrationnel Soient R Q et u n n N une suite de rationnels convergeant vers ; pour tout n de N, on note u n p n q n,avec p n,q n Z N Démontrer : q n n + et p n n + 35

48 Chapitre 3 Suites numériques Du mal à démarrer? 3 a Utiliser l encadrement de définition de la partie entière pour déduire un encadrement de u n k b Le terme u n ressemble à v n, car k semble négligeable devant n dans k + n n k c Isoler les termes d indices k,, n, n 3 Vu que la définition de u n+ en fonction de u n est essentiellement additive, on peut essayer de passer au parties réelles et imaginaires 33 Étudier z n z n+ en séparant en cas selon la parité de n 34 Essayer d obtenir des encadrements permettant d appliquer le théorème d encadrement On pourra envisager la suite de terme général Ma u n,v n 35 Considérer S n u n a + v n a + w n a 36 a Étudier n y n b Utiliser des suites formées, alternativement, par les deu solutions de l équation t St + P, d inconnue t R c Calculer n y n 37 Revenir à la définition de deu suites adjacentes 38 Calculer u n en fonction de n 39 a Il s agit d une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre : appliquer la méthode du cours On notera, par eemple, r 5, r + 5 b Utiliser a, ou bien faire une récurrence sur n c Utiliser a d Utiliser a et le binôme de Newton 3 En notant v n u n et en supposant u n+ au n+ + bu n pour tout n N, déterminer α,β,γ K 3 pour que, pour tout n N : v n+3 αv n+ + βv n+ + γv n 3 Chercher une suite v n n N, de la forme v n an + b, satisfaisant la même relation de récurrence que u n n N En notant w n u n v n,w n n N est alors une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants et sans second membre, et on peut donc calculer w n en fonction de n, puis u n en fonction de n On notera l analogie avec l étude des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et avec second membre 3 Montrer que u n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants, avec second membre, et calculer u n en fonction de n, comme dans l eercice 3 33 a Étudier le signe et la monotonie de u n b Résoudre l équation f, qui a une solution et une seule, notée α, puis majorer u n+ α en faisant intervenir u n α, de façon à amener une suite géométrique convergeant vers c Résoudre l équation f, qui a deu solutions α,β Séparer en cas selon la position de u par rapport à α et β Considérer v n nu n Considérer les suites etraites u 6q q N et u 6q+3 q N 36 Pour montrer que, si u n n N, à termes dans Z, converge, alors u n n N est stationnaire, revenir à la définition en ε,n de la convergence d une suite réelle 37 Calculer, pour N fié et p variable, u p N en fonction de u N 38 a et b Récurrences sur n 39 Supposer qu une telle suite eiste et obtenir une contradiction en étudiant sa monotonie et sa convergence 3 Étudier la monotonie des deu suites et la position relative de u n et v n 3 Étudier la position relative de u n et v n, et la monotonie des deu suites 3 En supposant sin nα l R, utiliser la suite etraite n de terme général sin n + α et déduire : cos nα l l l cos α Réitérer le raisonnement sur n sin α cos nα pour déduire l l cos α l Résoudre le système de sin α deu équations à deu inconnues l,l et déduire l l D autre part, utiliser la formule fondamentale reliant cos et sin pour déduire une contradiction 33 a Revenir à la définition en ε,n de u n l, et scinder n u k en utilisant l indice intermédiaire N k b Appliquer a à la suite de terme général u n+ u n à la place de u n c Prendre le logarithme et utiliser b d Appliquer c 34 Étudier, pour N N l ensemble { a E N ; a,k Z {,,N} et k a k },puis l ensemble } { r ; r E N, et le plus petit élément de celui-ci 36

49 Corrigés des eercices 3 a Puisque : t R, t < Et t, on déduit : n N, n c'est-à-dire : n N, k <u n n k n + n k, k n < u n n + n On conclut, par le théorème d'encadrement : u n n b Puisque k n, k est négligeable devant n, ce qui nous invite à considérer v n se comporte comme v n k D une part, pour tout n N : v n donc : k k n n v n n k D autre part, pour tout n N : u n v n k k k donc u n v n n Enfin : k n et à essayer de montrer que u n k n nn + k k + n k n k k k + n k n n n n 4 n k k n +, n k k + n n 4 n +, n, d où u n v n n u n u n v n + v n + n c Pour tout n de N tel que n 5 : u n n n n n k n k n n + + n n n k n k Comme : k {,,n }, n on a : On conclut : k n n 3 k n k n k u n n n k n nn,, et donc : nn n 3 Notons, pour tout n N : n Ré u n, y n Im u n On a, pour tout n N, en séparant partie réelle et partie imaginaire : u n+ u n u n+ n 3 n n 3 n 3 y n+ 3 y n + y n y n Ainsi, n n N est géométrique, donc, pour tout n N, n n, et y n n N est constante égale à y 3 On déduit : u n 3 + iy n iy, et on conclut : n u n iimu n 33 Notons, pour tout n N : u n z n z n+ On a : u p z p z p+ ab p et u p+ z p+ z p+ ba ab p On conclut, d après un théorème du cours : 34 On a : Supposons u n n w n u3 n + v3 n u n + v n donc, par théorème d encadrement : et v n n u n ab n u3 n + v3 n + u n v n + u n v n u n + v n u n + v n, n w n n 37

50 Réciproquement, supposons w n n Considérons, pour tout n N : M n Ma u n,v n On a : n N, w n u3 n + v3 n u n + v n M3 n M n car : u 3 n + v3 n M 3 n et u n + v n M n M n, D après le théorème d encadrement, on déduit : M n n Puis, comme u n M n et v n M n, on déduit, encore par le théorème d encadrement : u n n 35 On a : Considérons, pour tout n N : et v n n S n u n a + v n a + w n a S n u n + v n + w n au n + v n + w n + 3a 3a a 3a + 3a n Comme : n N, u n a S n, il en résulte, par le théorème d encadrement : u n a, n puis u n a, u n a n n De même : 36 a On a : v n n a, w n a n n y n n + y n 4 n y n S 4P n Comme, pour tout n N, n y n, on déduit, par passage à la limite : S 4P b Puisque S 4P >, l équation t St + P, d inconnue t R, admet deu solutions notées t,t et on a : t / t Considérons les suites n n N et y n n N définies, pour tout n N, par : { { t si n est pair t si n est pair n t si n est impair, y n t si n est impair Alors : n N, n + y n S et n y n P, donc : n + y n n S et n y n n Cependant, les suites n n N et y n n N, qui alternent deu éléments distincts, divergent c On a : n y n n + y n 4 n y n n donc n y n n P S 4P, Puis : n S n + y n + n y n n, y n n + y n n y n n S On conclut que les suites n n N et y n n N convergent et ont pour limite S 37 On a, pour tout n : u n+ u n + donc u n n est croissante On a, pour tout n N : v n+ v n + n + n +! u n n + n +!, n + n +! u n u n u n+ + u n nn! + u n + u n n + n +! nn! n + n +! + n + n u n nn! +! n n+ n + u n nn + n +! n + n +! Comme : n, n + n n + n +! n + n + n + on déduit : n, v n+ v n, donc v n n est décroissante 3 On a, pour tout n : v n u n u n nn! Il s ensuit, puisque v n n est décroissante : puis : n, u n v n v, v n u n u n nn! v nn! n, On déduit, par le théorème d encadrement : v n u n n On conclut, d après la définition de deu suites adjacentes, que les suites u n n et v n n sont adjacentes 38

51 38 La suite u n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second membre L équation caractéristique r r +, admet une solution 4 double égale D après le cours, il eiste donc α,β C tel que : n n N, u n αn + β De plus : { u β { β u λ α + β λ α λ On obtient : n n N, u n λn λn n n Calculons les premières valeurs de : n n La suite n n 3 4 n n 3 4 n est décroissante, car, pour tout n : n + n n + n n n Il en résulte que la suite u n n est décroissante On a donc : n N, u n u λ et on conclut que l ensemble cherché est {λ C ; λ } 39 a Il s'agit d'une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants L'équation caractéristique r r admet deu solutions réelles r 5, r + 5 Il eiste donc λ,λ R tel que : n N, φ n λ r n + λ r n De plus : { { φ φ λ + λ λ r + λ r λ r r 5 λ r r 5 D'où : n N, φ n + 5 n 5 b re méthode utilisant a : φ n+ φ nφ n+ 5 puisque r r 5 n r n+ r n+ r n r n n+ r r n+ 5 r r n r r n, ème méthode n'utilisant pas a : Récurrence sur n La propriété est immédiate pour n Si elle est vraie pour un n de N, alors : φ n+ φ n+φ n+3 φ n+ φ n+φ n+ + φ n+ c φ n+ r n+ r n+ φ n r n r n φ n+ φ n+ φ n+ φ n+ φ n+ φ n φ n+ n n+ φ n+ φ n r, car r < < r Ainsi : n n + 5 d On a, pour tout n N : n n φ k k k 5 r k r k k k 5 n k n k r k k 5 + r n + r n 5 r n r n 5 r n r n φ n, n r k k en utilisant + r r et + r r, car r et r sont les solutions de l équation caractéristique r r De même, pour tout n N : n n 5 k φ k k k k r k r k k 5 n k k n r k k k n r k k 5 r n r n 5 r n r n φ n, 39

52 en utilisant r + r, car r et r sont les solutions de l équation caractéristique r r 3 Par hypothèse, il eiste a,b K tel que : n N, u n+ au n+ + bu n Soit α, β, γ K 3 On a, pour tout n N : v n u n, v n+ u n+, v n+ u n+ au n+ + bu n, D où : v n+3 u n+3 au n+ + bu n+ aau n+ + bu n + bu n+ a + bu n+ + abu n n N, v n+3 αv n+ + βv n+ + γv n n N, a + bu n+ + abu n αau n+ + bu n + βu n+ + γu n n N, a + b u n+ + a + babu n+ u n + a b u n αa + βu n+ + αabu n+u n + αb + γu n a + b αa + β a + bab αab a b αb + γ α a + b β a + b a + ba ba + b γ a b a + bb b 3 On a donc : n N, v n+3 a + bv n+ + ba + bv n+ b 3 v n, ce qui montre que la suite v n n N est une suite récurrente linéaire du troisième ordre, à coefficients constants, sans second membre 3 La suite u n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants, avec second membre Cherchons une suite v n n N de la forme v n an + b, satisfaisant la même relation de récurrence que u n n N On a : n N, v n+ v n+ v n + n n N, an + + b an + + b an + b + n n N, a n + b 8a { a a b 8a b 3 Ainsi, la suite v n n N définie par : n N, v n n + 3, satisfait la même relation de récurrence que u n n N Notons, pour tout n N, w n u n v n On a alors : n N, w n+ w n+ w n, donc w n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants et sans second membre L équation caractéristique r r + est de discriminant 4 6 >, donc elle admet deu solutions qui sont 4 3 et D après le cours, il eiste donc λ,µ R tel que : et on a donc : n N, w n λ3 n + µ7 n, n N, u n w n + v n λ3 n + µ7 n + n Enfin, en utilisant les coefficients indiqués : { u λ + µ + u λ + 7µ Finalement : { 4λ + 3 { λ 4µ 3 µ 3 n N, u n 3 n + 3 7n + n + 3 On peut contrôler les valeurs de u et de u, par eemple 3 On a, pour tout n N : u n+ u n+ + v n+ + u n+ 8u n + v n + n+ + u n+ 8u n + 5u n+ + u n + n+ + 4u n+ 3u n + n+ 4 Ainsi, la suite u n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants, avec second membre Cherchons une suite a n n N de la forme a n α n + βn + γ, α,β,γ R 3, satisfaisant la même relation de récurrence que u n n N On a : n N, a n+ 4a n+ 3a n + n+ 4 n N, α n+ + βn + + γ 4α n+ +4βn + +4γ 3α n 3βn 3γ + n+ 4 n N, α n + β + 4 { { α α β + 4 β 4

53 Ainsi, la suite a n n N définie par : n N, a n n+ +n, satisfait la même relation de récurrence que u n n N on peut choisir, par eemple, γ Notons, pour tout n N : w n u n a n On a alors : n N, w n+ 4w n+ 3w n, donc w n n N est une suite récurrente linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second membre L équation caractéristique r 4r + 3 admet pour solutions et 3 D après le cours, il eiste donc λ,µ R tel que : et on a donc : n N, w n λ + µ3 n n N, u n w n + a n λ + µ3 n n+ + n On a alors : { { u λ + µ u u + v + λ + 3µ 4 + { λ + µ λ 3 λ + 3µ 3 µ On a donc : n N, u n 3 + 3n n+ + n Enfin, on calcule v n : n N, v n u n+ + u n 3 + 3n+ n+ + n n n+ + n n 3 n+ + 4n + 3 n 3 n + n 33 a D'abord, il est clair que, pour tout n de N, u n eiste et u n > Comme n N, u n+ u n, u n n est décroissante Puisque u n n est décroissante et minorée par, elle converge ; notons l lim n u n On a, en passant au limites dans l égalité de définition de la suite u n n : l l, d'où l l + Finalement : u n n b D'abord, il est clair que, pour tout n de N, u n eiste et u n > Si u n n converge vers un réel l, alors, en passant au limites dans l égalité de définition de la suite u n n, l + l, d'où l + 5 Notons α + 5 On a, pour tout n de N : u n+ α + u n + α u n α + un + + α u n α, + α n d'où : n N, u n α u α + α Comme < <, il en résulte : u n α + α n Finalement : u n n + 5 c Considérons l application f : I f 9 [ [ 3 ;+ R, f est dérivable sur I et : I, f >, 9 donc f est strictement croissante sur I En particulier : I, f f 3 3, donc I est stable par f 9 Puisque I est stable par f et que f est croissante sur I, on déduit, par une récurrence immédiate, en séparant en deu cas selon la position relative de u et de u, que la suite u n n N est monotone On cherche les points fies de f ; on a, pour tout I : f ou 3 3 Comme f est continue sur I, si u n n N converge, sa limite l est nécessairement 3 ou 3 Comme f est croissante sur I, les intervalles [ [ 3 ;+ sont stables par f [ 3 ; ] 3 De plus, en reprenant ces calculs avec des inégalités, on en déduit le signe de f selon la position de par rapport à 3 : et 4

54 3 3 f + + Ainsi, pour tout n N : v n v n v n n v u n, y 3 y y f d où : u n n u n On déduit : ln u n ln n + ln u n, n et donc, par limite de l eponentielle en, on conclut : u n n 3 O 3 u u u u u u 3 35 Notons l lim p u p, l lim p u p+, l 3 lim p u 3p La suite u 6q q N, qui est etraite de u p p N et de u 3p p N, converge vers l et l 3, d'où l l 3 La suite u 6q+3 q N, qui est etraite de u p+ p N et de u 3p p N, converge vers l et l 3, d'où l l 3 On en déduit l l et donc u n n N converge Si u 3, alors u n n N est constante égale à 3, donc converge vers 3 Si 3 < u 3, alors u n n N est croissante et majorée par 3, donc converge Sa limite l vérifie 3 < u l 3 et { l 3, }, donc l 3 3 Si u 3, alors u n n N est décroissante et minorée par 3, donc converge Sa limite l vérifie l { 3 et l 3, }, donc 3 l 3 On conclut que u n n N converge vers 3 si u 3, et vers 3 si u > 3 34 D abord, par une récurrence immédiate sur n, pour tout n N, u n eiste et u n > Considérons, pour tout n N : v n nu n On a, pour tout n N : v n+ n + u n+ nu n v n v n 36 Il est clair que, si u n n N est stationnaire, alors elle converge vers l'élément sur lequel elle stationne Réciproquement, supposons u n l R n Il eiste donc N N tel que : n N, n N u n l 3 Soit n N tel que n N ; on a : u n u N u n l + l u N < Comme u n,u N Z, il en résulte u n u N Ceci montre que u n n N est stationnaire 37 On a : n N, u n u n Soit N N fié On a alors, par une récurrence immédiate : p N, u p N p u N Si u N /, alors p u N +, donc p u p N +, en contradiction, si N /, avec u n n N p bornée Il s ensuit u N, pour tout N N D autre part, en remplaçant n par dans l énoncé, on obtient u Finalement u n n N est constante égale à 4

55 38 D abord, une récurrence immédiate montre que, pour tout n N, u n eiste et u n > a Récurrence sur n Pour n, on a : u 3 u u + u, u 4 u 3u + u 3 3, 4u u 4 3, donc u 4 4u u, la propriété est vraie pour n Supposons la propriété vraie pour un n N On a, en raisonnant par équivalences logiques successives et puisque u n+ / : u n+5 4u n+3 u n+ u n+5 u n+ 4u n+3 u n+ u n+ u n+ u n+4 u n+3 + 4u n+3 u n+ u n+ u n+ 4u n+ u n u n+3 + 4u n+3 u n+ u n+ u n+ u n+ u n+ + u n u n+3, et cette dernière formule est vraie, ce qui montre la propriété pour n + On conclut, par récurrence sur n : n N, u n+4 4u n+ u n b D une part, comme u u u Z et u 3 Z, une récurrence immédiate, utilisant le résultat de a et quatre termes successifs, montre : n N, u n Z D autre part, comme on l a vu au début : n N, u n > On conclut : n N, u n N 39 Supposons qu une telle suite eiste On a, pour tout n N : u n+ u n u n+ >, donc un+ > u n, puis u n+ > u n, ce qui montre que u n n N est strictement croissante Supposons que u n n N converge vers un réel noté l On a alors l R + et, en passant à la limite dans l égalité de définition de u n n N : l l l D autre part, comme u n n N est croissante et u >, on a l u >, contradiction Ceci montre que u n n N diverge Puisque u n n N est croissante et divergente, u n + n En particulier, il eiste N N tel que : u N+ On a alors : u N+ u N+ u N u N+ u N+, en contradiction avec la stricte croissance de u n n N Finalement, on conclut qu il n eiste pas de suite u n n N convenant 3 Par récurrence immédiate, pour tout n N, u n et v n eistent et u n,v n ] ; [, en remarquant que : a,b ] ; [, a b e blna ] ; [ Il en résulte, pour tout n N : < u n < u n+ < et <v n <v n+ < Montrons, par récurrence sur n : n, u n v n La propriété est vraie pour n, par hypothèse Supposons la propriété vraie pour un n N On a : { < un v n < u n v n < ln u n ln v n < { < un v n < ln v n ln u n u n ln v n v n ln u n v un n u n+ v n+, ce qui établit la propriété pour n + u vn n On a donc montré, par récurrence sur n : n N, u n v n 3 Puisque u n n est croissante et majorée par, u n n converge et sa limite λ vérifie : < u λ De même, v n n converge et sa limite µ vérifie : <v µ Comme u n λ, v n µ, et que, pour tout n N, n n u n v n,on déduit, par passage à la limite : λ µ { ln un+ v n ln u n D autre part : n N, d où, en passant ln v n+ u n ln v n, { ln λ µln λ à la limite, par continuité de ln : ln µ λln µ Et : { µ ln λ λ ln µ λ ou µ { λ ou µ Puisque on a : µ < λ µ On conclut que u n n converge et que v n n converge vers 3 Une récurrence immédiate montre que, pour tout n N, u n et v n eistent et sont > On a, pour tout n N : u n+ v n+ u n + v n u n + u n v n + v n 3 u n u n v n + v n 6 u n v n, 6 ce qui montre, par décalage d indices : n N, u n v n 43

56 On a, pour tout n N : u n+ u n u n + v n donc u n n N est décroissante u n v n u n De même, pour tout n N : v n+ v n u n + u n v n + v n v n 3 u n + u n v n v n 3 donc v n n N est croissante, 3 un v n un + v n, On obtient, pour tout n N : v v v n v n u n u n u u Ainsi, v n n N est croissante et majorée par u, donc converge vers un réel µ et v µ u, et u n n N est décroissante et minorée par v, donc converge vers un réel λ, et λ v > En passant à la limite dans la première égalité de définition des suites, on obtient : λ λ + µ, donc λ µ On conclut : u n n N et v n n N convergent, ont la même limite et cette limite l λ µ vérifie : v l u 3 Supposons sin nα l R n On a : n N, sinn + α sin nα cos α + sin α cos nα, d'où, puisque sin α / : n N, cos nα sinn + α sin nα cos α sin α Comme sin nα l et sinn + α l car etraite n n de la précédente, il s'ensuit : cos nα n l l cos α sin α De même, si cos nα l R, alors n cos nα cos α cosn + α sin nα sin α n Supposons sin nα n on a donc : l l cos α + cos α sin α l cos α sin α l et cos nα l D'après, n et l cos α l On déduit sin α sin α l, d'où l, l Mais : n N, cos nα + sin nα, d'où, en passant à la limite : l + l, contradiction On conclut : pour tout α de R πz, les deu suites sin nα n N et cos nα n N divergent Remarque : Le résultat de cet eercice est utile dans la résolution d eercices sur les séries entières en è année, souvent sous la forme affaiblie : sin nα et cos nα ne tendent pas vers lorsque l entier n tend vers l infini Par eemple, on peut montrer que sin nα ne tend pas vers lorsque l entier n tend vers l infini par un raisonnement analogue, simplifié Raisonnons par l absurde : supposons sin nα Alors, par suite etraite : n sin n + α D où : n puis : 33 que : cos nα sin n + α sin nα cos α sin α, n cos nα + sin nα, contradiction n a Soit ε > Puisque u n l, il eiste N N tel n n N, n N u n l ε Soit n N tel que n N + On a : v n l u k l n n n D autre part, comme n tel que : n N, k N k N k u k l + n n N n u k l k kn + u k l u k l, il eiste N N n N k u k l ε En notant N MaN,N, on a alors : n N, n N v n l ε + ε ε, et donc : v n l n b Notons, pour n N, α n u n+ u n ; donc : α n l n D'après a : α + + α n n Mais, pour tout n de N {, } : α + + α n n l n u n u n u n n u n 44

57 Comme u n n u n n, on déduit u n n n n c On a : ln u n+ ln u n ln u n+ u n ln u n d'où, d'après b : ln l, n n n et donc : ln un u n ep n n d u n, n n n n 4 n u n nn n!, u n+ ep n donc n + o u n n n n e n! n u n n n l n l n u n+ n + u n n + + n n ep nn + n + n 3 u n, n n u n+ n + u n n donc n ln l, n l, puis : 4, donc n n ln + n ep + o e, n + n 4 n n e, n nn + n + n n 3 n 4 u n, n n u n+ n + u n n + donc n 4 e + n n n e, n 3 n n e 5 u n 3n! n n n!, u n+ 33n + 3n + u n n + n 3n! 7 donc n n! n e 34 Soit N N + n 7 n n e, Pour chaque k de {,,N}, l'ensemble des rationnels de la forme a k a Z tels que a est fini, puisque a ne k peut prendre qu un nombre fini de valeurs : a k a k + k Il en résulte que l'ensemble { a E N k ; a,k Z {,,N} et a } k est fini Comme / Q, nécessairement / E N L'ensemble { r ; r E N } est une partie finie non vide de R +, donc admet un plus petit élément α On a donc : r E N, r α > Comme u n, il eiste n N tel que : n n N, n n u n α < α On a alors : n n, u n / E N, d'où : n n, q n > N On a ainsi prouvé : N N, n N, n N, n n q n N, c'est-à-dire : q n n + Enfin, puisque : n N, p n q n, et que R, on obtient : p n n + 45

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59 Fonctions réelles ou complees d une variable réelle 4 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 47 Énoncés des eercices 49 Du mal à démarrer? 5 Corrigés 53 Thèmes abordés dans les eercices Résolution d équations, de systèmes d équations à inconnues réelles Résolution de certaines équations fonctionnelles Manipulation des fonctions remarquables : paires, impaires, majorées, minorées, bornées, périodiques, croissantes, décroissantes Étude de la continuité d une fonction, de l eistence et de la valeur éventuelle d une limite Eistence de solutions d équations, de majorants de minorants pour une fonction Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Propriétés des fonctions ayant des limites finies ou des limites infinies, pour les opérations algébriques et pour l ordre usuel Propriétés générales des fonctions continues Propriétés de limite des fonctions monotones Théorème des valeurs intermédiaires, théorème de la bijection monotone, théorème de continuité sur un segment Tout intervalle ouvert non vide de R rencontre Q et rencontre R Q Définition de la continuité uniforme, de la lipschitzianité Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour résoudre une équation fonctionnelle Raisonner clairement par implication puis réciproque, ou eceptionnellement par équivalences logiques Essayer d appliquer l équation à des valeurs ou des formes particulières de la des variables, ou passer à une limite Par eemple, si l équation fait apparaître et, essayer de l appli- quer à et à Voir aussi les méthodes du chapitre 5 Eercices 4, 47, 48, 47 47

60 Chapitre 4 Fonctions réelles ou complees d une variable réelle Pour résoudre une équation à une inconnue réelle Essayer d étudier les variations d une fonction associée à l équation, par eemple celle obtenue en faisant tout passer dans le premier membre Eercice 4 Pour montrer qu une fonction est périodique Revenir à la définition Eercice 43 Pour montrer qu une fonction f n a pas de limite ni finie ni infinie en un point a Pour manipuler la fonction partie entière Pour montrer qu une fonction f admet une limite finie l en un point a Pour obtenir une propriété d une fonction d une variable réelle, faisant intervenir l ensemble Q des rationnels Pour montrer l eistence d une solution d une équation f, où f est à variable réelle et à valeurs réelles Pour étudier les points fies d une fonction f Chercher deu suites u n n,v n n dans l ensemble de départ de f, de limite a, de façon que les suites f u n n, f v n aient des limites n différentes Cf aussi les méthodes du chapitre 3 Eercice 45 Se rapporter à la définition de la partie entière d un réel : { E < E + R, E Z ou encore : R, { < E E Z Eercice 46 Essayer de : appliquer les théorèmes générau sur les limites montrer que f l a Eercice 49 Utiliser le fait que Q est dense dans R, c est-à-dire :,y R, < y r Q, < r < y, ou, ce qui est équivalent : tout réel est limite d au moins une suite de rationnels Eercices 4, 46 Essayer de : étudier les variations de f, si f est donnée par une formule eplicite appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, si f est continue sur un intervalle et prend des valeurs et des valeurs Eercices 4, 49, 4 Essayer d étudier la fonction auiliaire g : f Eercices 4, 4, 43 48

61 Énoncés des eercices Pour montrer qu une fonction f : X R est bornée Essayer de : revenir à la définition, c est-à-dire montrer qu il eiste M R + tel que : X, f M appliquer le théorème du Cours, si f est continue et si X est un segment de R Eercice 44 Énoncés des eercices 4 4 Eemple d équation fonctionnelle résolue par simple remplacement Trouver toutes les applications f : R R telles que : R, f + 3 f Eemple de résolution d une équation ayant une solution évidente, par utilisation de la stricte monotonie Résoudre dans R + l équation : Obtention d une périodicité à partir d une équation fonctionnelle Soit f : R R une application telle que : R, f / 3 et f + f 5 f 3 Montrer que f est 4-périodique Dunod La photocopie non autorisée est un délit Étude d applications données par séparation de cas + si < On note f : R R, f si si < a Tracer la représentation graphique de f On note g : R R, y gy Inf { R f >y } b Montrer que g est correctement définie et calculer gy pour tout y R Tracer la représentation graphique de g c Préciser g f et f g et tracer leurs représentations graphiques Eemple de fonction n ayant pas de limite en + Montrer que la fonction cos n a pas de limite en + 49

62 Chapitre 4 Fonctions réelles ou complees d une variable réelle Étude de composition pour une application donnée par séparation de cas E si / On note f :[] R, f si Démontrer : [ ; ], f f f Eemple d équation fonctionnelle à plusieurs inconnues, résolue par simple remplacement Trouver tous les triplets f,g,h d applications de R dans R tels que :,y R, f y + gy + h + y Eemple d inéquation fonctionnelle avec utilisation d une limite Trouver toutes les applications f :];+ [ R telles que :,y ] ;+ [, f f y + y Obtention d une limite par une condition sur la fonction Soit f :]; ] ] ;+ [ une application telle que : f + f Montrer : f Continuité et densité Soit f : R R continue sur R et s'annulant en tout point de Q Montrer : f Étude de point fie pour une application continue de [ ; ] dans lui-même Soit f :[; ] [; ] continue Montrer qu'il eiste [; ] tel que f Un lien entre les points fies de f et ceu de f f Soit f : R R continue On suppose que f n a pas de point fie Montrer que f f n a pas de point fie Étude de point fie pour une application continue et décroissante Soit f : R R continue et décroissante Montrer que f admet un point fie et un seul Une propriété des fonctions continues et périodiques Soit f : R C continue et périodique Montrer que f est bornée Étude de points fies pour une application telle que f f f Soit f :[; ] [ ; ] une application continue telle que f f f Montrer que l ensemble des points fies de f est un segment non vide de [ ; ] Obtention de la croissance d une fonction par utilisation de la densité et de la continuité Soient I un intervalle de R, f : I R une application On suppose que f est continue sur I et que f Q I est croissante Montrer que f est croissante 5

63 Énoncés des eercices Eemple d équation fonctionnelle avec utilisation d une itération et de la continuité en un point Trouver toutes les applications f : R R continues en et telles que :,y R, + y f 3 f + f y Eemple d équation fonctionnelle avec utilisation de la continuité sur un segment Soit f :[; ] R une application continue telle que : [ ; ], f + f + 3 f Montrer : f 49 Eemple d utilisation d une fonction auiliaire Soit f : R R continue et -périodique Montrer : a ] ;+ [, c R, f c + a f c 4 Utilisation de l injectivité dans l étude de composées de fonctions Eiste-t-il f,g : R R telles que : R, f g et g f 3? 4 Une propriété de deu fonctions atteignant la même borne supérieure Soient a,b R tel que a < b, f,g :[a ; b] R continues telles que : Sup f Sup g [a;b] [a;b] Montrer qu il eiste c [a ; b] tel que : f c gc 4 Une équation fonctionnelle classique : applications continues conservant l addition Trouver toutes les applications f : R R continues telles que :,y R, f + y f + f y Dunod La photocopie non autorisée est un délit 43 Eemple d application uniformément continue, par utilisation de la définition Montrer que l'application f : est uniformément continue sur R + 5

64 Chapitre 4 Fonctions réelles ou complees d une variable réelle Du mal à démarrer? 4 4 monotonie Appliquer l hypothèse à et à Remarquer une solution évidente et utiliser une stricte Calculer f +, puis f + 4 Séparer convenablement en cas, vu la définition de f Raisonner par l absurde et utiliser des suites Remarquer : [ ], f > Appliquer l hypothèse à,y, y,,,y,,y, 48 Pour fié, faire tendre y vers + Considérer f 49 et relier cette epression f avec f + f 4 Utiliser l epression séquentielle de la densité de Q dans R 4 Considérer l application auiliaire g :[; ] R, g f et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires 4 Considérer l application auiliaire g : R R, f 43 Considérer l application auiliaire g : R R, f Se ramener à un segment et utiliser un théorème du cours Montrer que l ensemble des points fies de f est l image du segment [ ; ] par l application continue f 46 Pour a,b I fié tel que a < b, approcher respectivement a et b par des suites a n n N et b n n N dans Q I telles que : n N, a n b n 47 Considérer l application g : f f et obtenir gt g 3 t, puis réitérer Considérer des points en lesquels f atteint ses bornes Considérer, pour a ] ;+ [ fié, l application auiliaire g : R R, f + a f 4 Montrer que, si f,g eiste, alors f est injective, puis étudier f pour {,, } 4 Considérer des points en lesquels f et g atteignent leur borne supérieure, puis étudier f g 4 Pour f convenant, montrer f f, successivement pour N, Z, Q, R 43 Montrer :, R +,, puis revenir à la définition de l uniforme continuité 5

65 Corrigés des eercices 4 Soit f convenant Soit R En appliquant l hypothèse à et à à la place de, on a: f + 3 f f + 3 f 3 d où, en combinant avec les coefficients indiqués, pour faire disparaître f : 8 f 3 On obtient : R, f Réciproquement, considérons l application f : R R, f On a, pour tout R : 43 puis : Soit R Notons y f On a : f + f + + y 5 y 3 5 4y + y 5 y 3 3 y + 4 y 5 y, f + 4 f + + f + 5 f + y y f f + 5 f + 3 y 5 y 5 y 5 y f + 3 f , donc f convient On conclut qu il y a une application et une seule convenant, f : R R, On conclut que f est 4-périodique 44 a y O y f 4 On remarque que est solution L application f :[ + [ R, est strictement croissante, donc injective Il en résulte que l équation proposée admet au plus une solution Finalement, l ensemble des solutions de l équation proposée est {} b Soit y R L ensemble { R f >y } est une partie de R, non vide car elle contient y +, et minorée, par eemple par y D après un théorème du cours, il en résulte 53

66 que cet ensemble admet une borne inférieure dans R, d où l eistence de gy Soit y R Pour calculer gy, on sépare en cas selon la position de y par rapport à On peut, à cet effet, s aider du schéma du a, en coupant la représentation graphique de f par une droite parallèle à l ae des abscisses Hypothèse sur y { R ; f >y } gy y < ]y ;+ [ y y ] ;+ [ y > ]y + ;+ [ y + On conclut : y R, gy z { y si y < y + si y On conclut : y R, f gy y, ou encore : f g Id R z z g f O z gy t O y t f gy O y c On calcule, pour tout R, g f en séparant en cas selon la position de par rapport à et à f g f < f + < g f + f g f g < f > g f + On conclut : si < R, g f si si < On calcule, pour tout y R, f gy en séparant en cas selon la position de y par rapport à y gy f gy y < gy y < f gy y + y y gy f gy y > gy y + > f gy y + y 45 Raisonnons par l absurde Supposons que la fonction cos admette une limite l en + Alors, pour toute suite réelle n n N telle que n +, on aurait : cos n l n n π Mais : n N, cos nπ et cos + nπ, d où l et l, contradiction On conclut que la fonction cos n a pas de limite en + Remarque : De la même façon, la fonction sin n a pas de limite en + 46 de f On peut commencer par tracer la représentation graphique Soit [ ; ] Séparons en cas selon la position de par rapport et à 54

67 y On a, en appliquant l hypothèse à,y : y R, f hy On a, en appliquant l hypothèse à,y : y f y R, f y + gy + h + y yg + f, et donc, en appliquant cette formule à y à la place de y : y R, f y y g + f yg + f g En notant a f et b g, on a donc, pour tout y R : f y by + a b, gy by, hy a O Réciproquement, soient a,b R et f,g,h : R R les applications définies par les formules ci-dessus On a alors, pour tout,y R : f y + by + + a b by + a Si, alors f f, f f f f Si <, alors : <, E, f E, f f f Si <, alors : f E f E >, donc < f, puis, d après ce que l on a vu dans l étude du cas < en remplaçant par f, on a : f f f On conclut : [ ; ], f f f 47 Soit f,g,h convenant On a, pour tout,y R, en appliquant l hypothèse à,y et à y, : et d où : f y + gy + h + y y + yg + hy +, gy yg En particulier, en remplaçant par : y R, gy yg donc f,g,h convient gy + h + y, Finalement, l ensemble des triplets convenant est : { f : R b + a b R,g : R b R, h : R a R ; a,b R } 48 Soit f convenant Soit ] ;+ [ fié On a : f f y + y et + y, donc, par théorème d encadrement : y + f f y y +, et donc f y y + f Ceci montre que f admet une limite en + et que cette limite est f Par unicité de la limite de f en +, il s ensuit que f ne dépend pas de, et donc f est constante Réciproque évidente On conclut : les applications convenant sont les applications constantes 49 On a : f f + f f f f, 55

68 donc : f f 4 Ensuite : f Ceci montre : f + f f Comparer avec l eercice 36 c + f f + Soit R Puisque Q est dense dans R, pour tout n de N, il eiste r n Q tel que n < r n < + n On a donc : r n Comme f est continue en, il en résulte n f r n f Mais : n N, f r n, d'où : n f 4 Considérons g : [; ] R ; g est continue sur f l intervalle [; ] et g f, g f, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste [; ] tel que g, c'est-à-dire f 4 Considérons l application g : R R, g f Par hypothèse : R, g / Comme g est continue sur l intervalle R car f l est, il en résulte, d après le théorème des valeurs intermédiaires : g > ou g <, c est-à-dire : R, g > ou R, g < Si g >, alors : R, f >, donc, en appliquant ceci à f et a : R, f f f f > f >, et donc f f n a pas de point fie Si g <, alors : R, f <, donc, en appliquant ceci à f et à : 43 R, f f f f < f <, et donc f f n a pas de point fie On conclut finalement que f f n a pas de point fie Considérons l application g : R R, g f g est strictement décroissante, puisque f est décroissante et que Id R est strictement décroissante g est continue sur R, car f et Id R sont continues sur R Puisque f est décroissante, f admet en une limite finie ou la limite +, donc g + Puisque f est décroissante, f admet en + une limite finie ou la limite, donc g + D après un théorème du cours théorème de la bijection monotone, on déduit que g admet un zéro et un seul, donc f admet un point fie et un seul 44 Notons T R + une période de f Puisque f est continue sur le segment [; T ], f est bornée sur ce segment : il eiste M R + tel que : [; T ], f M Puis, pour tout de R, il eiste n Z tel que nt [; T ], et on a : f f nt M Finalement, f est bornée sur R 45 Notons F { [ ; ] ; f } l ensemble des points fies de f Montrons F f [ ; ] Soit F On a alors f f [ ; ] Ceci montre : F f [ ; ] Réciproquement, soit f [ ; ] Il eiste t [ ; ] tel que f t, et on a : f f f t f f t f t, donc F Ceci montre : f [ ; ] F On obtient ainsi : F f [ ; ] L ensemble F est donc l image du segment [ ; ] par l application continue f, donc théorème du cours, F est un segment non vide de [ ; ] 46 Soit a,b I tel que a < b Puisque Q est dense dans R, il eiste alors des suites a n n N, b n n N dans Q I telles que : a n n a, b n b, n N, a n b n n Comme f Q I est croissante, on a : n N, f a n f b n Puisque a n a, b n b et que f est continue en a et n n en b, on déduit, par passage à la limite dans une inégalité : f a f b On conclut que f est croissante 47 Soit f convenant Considérons l application g : R R, g f f 56

69 On a alors g et, pour tout,y R : + y + y g f f 3 3 f + f y f f f + f y f g + gy En remplaçant y par, on obtient : R, g g 3 Soit R Par récurrence immédiate, on a alors : n N, g g 3 g 3 g 3 n n Comme et que g est continue en puisque 3 n f l est, on déduit, par passage à la limite lorsque l entier n tend vers l infini : g g Ceci montre que g est constante, et donc f est constante Réciproquement, il est évident que toute application constante convient Finalement, les applications cherchées sont les applications constantes 48 Puisque f est continue sur le segment [ ; ],d après un théorème du cours, f est bornée et atteint ses bornes Il eiste donc, [ ; ] tels que : f Inf f, [;] On a : + 3 f f + f donc : f + 3 f f + f donc : f On obtient : f f, d où f f et donc f f Sup f [;] Inf [;] f f, Sup f f, [;] Puisque f est continue sur R, donc sur le segment [ ; ], d après un théorème du cours, la restriction de f à [ ; ] est bornée et atteint ses bornes Il eiste donc, [ ; ] tels que : f Inf f, [;] f Sup f [;] Comme f est -périodique, on a alors cf aussi l eercice 4 : f Inf R f, f Sup R f On a : g f + a f, par définition de, et g f + a f, par définition de Ainsi, g est continue sur l intervalle R et g, g D après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste c R tel que gc, c est-à-dire : f c + a f c 4 Soit f,g convenant Puisque l application R R, 3 est injective, g f est injective, donc propriété connue f est injective On a, pour tout R : f 3 f g f f g f f g f f On remarque : {,, }, 3, d où : {,, }, f f 3 f, et donc : {,, }, f {, } Ceci montre : f {,, } {, }, ce qui contredit l injectivité de f Finalement, on conclut qu il n eiste pas de couple f,g convenant 4 Puisque f et g sont continues sur le segment [a ; b], d après un théorème du cours, f et g sont bornées et atteignent leurs bornes Il eiste donc, a ; b] tels que, en notant M Sup f Sup g, on ait : f M et [a;b] [a;b] g M On a alors : { f g f g M g f g f g f M 49 Soit a ] ;+ [ fié Considérons l application g : R R, g f + a f Comme f g est continue sur l intervalle [a; b], il en résulte, d après le théorème des valeurs intermédiaires, qu il eiste c [a ; b] tel que f gc, donc f c gc 57

70 4 Soit f convenant Une récurrence immédiate montre : n N, R, f n nf En particulier : n N, f n nf En appliquant l hypothèse à,, on déduit que f est impaire Il en résulte : Z, f f Soit r Q Il eiste p,q Z N tel que : r p q On a : qfr f qr f p pf, d où : f r p f rf q Soit R Puisque Q est dense dans R, il eiste une suite r n n N de rationnels convergeant vers Alors : f r n r n f f D'autre part, puisque f est continue en : f r n f n n On en déduit : R, f f Réciproquement, pour tout λ de R, l'application R R λ convient Finalement, les applications cherchées sont les R R, λ R λ 43 On a : a,b R +, a + b a + b, comme on le voit en élevant les deu membres au carré Soit, R + tel que, par eemple, On a : + +, d'où : Soit ε > On a alors, pour tout, de R + tel que : ε f f ε On a ainsi montré : ε >, η >,, R +, η ε η f f ε, c'est-à-dire : f est uniformément continue sur R + 58

71 Dérivation 5 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 59 Énoncés des eercices 6 Du mal à démarrer? 66 Corrigés 68 Thèmes abordés dans les eercices Eistence et calcul éventuel d une dérivée première, d une dérivée n-ème Eistence de zéros d une équation, par emploi du théorème de Rolle ou du théorème des accroissements finis Étude des variations d une fonction, représentation graphique Séparation des zéros d une fonction, résolution d équations et d inéquations Résolution de certaines équations fonctionnelles Obtention d inégalité à une ou plusieurs variables Conveité Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés algébriques de la dérivabilité, de la dérivée, de la dérivée n-ème Formule de Leibniz pour la dérivée n-ème d un produit Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis Lien entre dérivée et sens de variation Conveité pour une fonction réelle définie sur un intervalle de R : définition, inégalité de Jensen, lien avec la croissance de f si f est dérivable, lien avec le signe de f si f est deu fois dérivable Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour étudier la dérivabilité d une fonction en un point, et éventuellement calculer la dérivée en ce point Essayer d appliquer les théorèmes sur les opérations sur les fonctions dérivables théorèmes générau Eercices 5, 5, 5 En un point en lequel les théorèmes générau ne s appliquent pas : déterminer la limite d un tau d accroissement définition de la dérivée Eercices 53 à 55, 53, 5 b, c 59

72 Chapitre 5 Dérivation ou déterminer la limite de la dérivée à côté théorème limite de la dérivée Voir aussi l eercice 74 Eercice 55 Calculer f si f est dérivable et étudier le signe de f pour I Pour décider si une fonction f est monotone sur un intervalle I, ou pour étudier les variations de f Pour déterminer le nombre et la situation des zéros d une fonction f : I R, où I est un intervalle de R Eercices 5, 5, 55, 56 a On pourra être amené à étudier le signe de f ou celui d autres fonctions liées à f Eercice 5 Étudier les variations de f, en étudiant le signe de f, pour I, si f est dérivable sur I Eercices 5, 56 b Essayer de : appliquer la formule de Leibniz si f s eprime comme produit de deu fonctions du type polynôme de bas degré et eponentielle simple Eercice 53 a Pour calculer une dérivée n-ème utiliser une décomposition en éléments simples si f est une fonction rationnelle de Eercice 53 b linéariser si f est un produit de cos et sin, ou de ch et sh Eercice 53 c conjecturer une formule pour f n et l établir par une récurrence sur n Pour montrer qu une fonction f est constante sur un intervalle Montrer que f est dérivable et que f Essayer de : appliquer le théorème de Rolle à f Eercice 56 Eercices 57, 58, 56 Pour montrer que la dérivée d une fonction s annule en au moins un point appliquer le théorème de Rolle à une fonction auiliaire Eercices 59, 53 appliquer le théorème des accroissements finis à f ou à une fonction auiliaire Eercice 54 6

73 Les méthodes à retenir Pour montrer qu une dérivée successive s annule en au moins un point Pour résoudre une équation fonctionnelle dans laquelle la fonction inconnue est supposée dérivable Pour déterminer la borne inférieure ou la borne supérieure si elles eistent d une fonction f : I R Appliquer le théorème de Rolle de façon répétée, à la fonction donnée ou à une fonction auiliaire Eercices 5, 5 Dériver une ou plusieurs fois par rapport à une des variables du contete Eercices 5, 54 Étudier les variations de f, en étudiant le signe de f, pour I, si f est dérivable sur I Eercices 53, 55 Pour résoudre une équation à une inconnue réelle Faire tout passer dans le premier membre et étudier les variations de la fonction définie par ce premier membre Eercice 57 Voir aussi les méthodes du chapitre 4 Pour établir une inégalité à une variable réelle Faire tout passer dans le premier membre et étudier les variations de la fonction définie par ce premier membre Eercices 58, 55, 57 Voir aussi les méthodes du chapitre 4 Fier toutes les variables sauf une, et étudier les variations d une fonction de cette variable Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour établir une inégalité à plusieurs variables réelles Pour montrer q une fonction f : I R est convee sur un intervalle I Eercice 59 Essayer de montrer qu il s agit d une inégalité de conveité, par eemple l inégalité de Jensen appliquée à une fonction convee bien choisie et à certains points et coefficients Eercices 5, 59, 53 Montrer f, si f est deu fois dérivable sur I Montrer que f est croissante, si f est dérivable sur I Revenir à la définition de la conveité Eercice 5 a 6

74 Chapitre 5 Dérivation Énoncés des eercices 5 Étude des variations d une fonction Soit a,b ] ;+ [ tel que a < b Montrer que l application ln + a f :];+ [ R, f ln + b est strictement croissante 5 53 Nombre et situations des zéros d une fonction par étude des variations de cette fonction Combien le polynôme P X 5 8X + 7 a-t-il de zéros réels? Eemples de calculs de dérivées n-èmes Calculer, pour tout n N, la dérivée n-ème des fonctions suivantes : a f : R R, f + e b f :] ; [ R, f c f : R R, f cos sin Eemple d étude de dérivabilité Étudier la continuité, la dérivabilité, et la continuité de la dérivée pour f : R R définie par : { f sin si / si Étude et représentation graphique d une fonction eplicitée Étude et représentation graphique de la fonction f d une variable réelle donnée par : f On pourra remarquer : 56 Utilisation de la dérivation pour déduire qu une fonction est constante Soit f : R R une application telle que, pour tout,y R tel que / y : f f y y 3 ln y Montrer que f est constante 57 Eemple d utilisation du théorème de Rolle Soit f :[ ; ] R de classe C, s annulant en,, On note : g :[ ; ] R, g f Montrer qu il eiste c ] ; [ tel que g c 6

75 Énoncés des eercices Eemple d utilisation du théorème de Rolle appliqué à une fonction auiliaire Soient n N, a,,a n R tels que a k Montrer que l équation k ka k k admet au moins une solution ] ; [ k Eemple d utilisation du théorème de Rolle appliqué à une fonction auiliaire Soient λ R,a,b R tel que < a < b, f :[a ; b] R continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[, telle que f a f b Montrer qu il eiste c ]a ; b[ tel que : f c λ f c c Eemple d utilisation répétée du théorème de Rolle Soit f :[ ; ] R de classe C sur [ ; ], deu fois dérivable sur ] ; [, telle que : f, f, f Montrer : c ] ; [, f c Eemple d utilisation répétée du théorème de Rolle Soient a,b R tel que a < b, f :[a ; b] R de classe C sur [a ; b], deu fois dérivable sur ]a ; b[, telle que : f a f a f b Montrer : c ]a ; b[, f c Eemple de résolution d une équation fonctionnelle par dérivation Trouver toutes les applications f : R R dérivables telles que :,y R, f + y f + f y Calcul d une borne inférieure par étude des variations d une fonction Calculer Inf R Eemple d équation fonctionnelle dans laquelle la fonction inconnue est supposée dérivable Trouver toutes les applications f : R R dérivables telles que : Dunod La photocopie non autorisée est un délit 55 56,y R, f 4 + y 3 f + f f y Meilleur endroit pour transformer un essai au rugby Au rugby, où placer le ballon, sur une ligne perpendiculaire à la ligne d essai et à gauche des deu poteau ou à droite des deu poteau, pour avoir un angle maimal dans le plan? Eemple de résolution d une équation à une inconnue réelle, par étude des variations d une fonction a Montrer que, pour tout a,b R tel que < a < b, l application f : b a est strictement décroissante sur [ ;+ [ b Application : Résoudre dans R l équation :

76 Chapitre 5 Dérivation Eemple de résolution d une équation à une inconnue réelle, par étude des variations d une fonction Résoudre dans R + : Eemple d inégalité à une variable réelle Montrer : R, Eemple d inégalité à plusieurs variables réelles Soient a, b, α, β ] ;+ [ Montrer : αa α + βb β α + βab α+β, et étudier le cas d égalité Par eemple : a,b ] ;+ [, a b 5 5 ab Eemple d utilisation de la conveité sans intervention de la dérivation Soit f :[;+ [ R convee Montrer que, s il eiste a,b ] ;+ [ tel que a < b et f a < f b, alors : f + + Comparaison de la moyenne arithmétique et de la moyenne géométrique de n réels > a Vérifier que l application f :];+ [ R, f ln est convee b En déduire, pour tout n N et tout,, n R + n : n n + + n n Autrement dit, la moyenne géométrique n n est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique + + n n Étude de la dérivabilité de f Soient a R, f : R R dérivable en a a Montrer que, si f a /, alors f est dérivable en a et : f a sgn f a f a, où la fonction signe sgn est définie par : si t < t R, sgn t si t si t > b Montrer que, si f a et f a /,alors f est dérivable à gauche en a, dérivable à droite en a, et non dérivable en a c Montrer que, si f a et f a,alors f est dérivable en a et f a 53 Eemple d utilisation du théorème de Rolle Soient n N,a,,a n R n+ {,,}, b,,b n R deu à deu distincts On note : f : R R, f Montrer que f s annule en au plus n réels a k e b k k 64

77 Énoncés des eercices Eemple d utilisation du théorème des accroissements finis Soient a ] ;+ [, f :[; a] R de classe C telle que f Montrer : c ] ; a], f c f a + af a 3a Un encadrement de sin et de cos entre des polynômes On note, pour tout n N, C n,s n : R + R les applications définies, pour tout R +, par : k k C n n + + n k!! n! Montrer : S n k k k k+ k +! 3 3! + + n n+ n +! n N, R +, n+ cos C n et n+ sin S n Par eemple, pour tout R + : cos et 3 3 sin Si un polynôme P est scindé sur R, alors P l est aussi Soit P R[X] tel que degp a Montrer que, si les zéros de P sont tous réels et simples, alors il en est de même pour P b Montrer que, si P est scindé sur R, alors P est aussi scindé sur R Eemple d inégalité à une variable réelle ] Montrer : ; π [ sin 3, > cos 58 Eemple d inégalité à plusieurs variables réelles Montrer, pour tout,y R tel que < < y π : y < sin sin y < π y Dunod La photocopie non autorisée est un délit Obtention d une inégalité à une variable réelle par utilisation d une conveité Montrer : ] ;+ [, Eemple d utilisation de la conveité avec intervention de la dérivation Soit f :[;+ [ R dérivable et convee Montrer que l application g :[;+ [ R, g f f est décroissante Eemple d inégalité de conveité Soient n N, a,,a n ] ;+ [ tels que a i Montrer : i a i + ai n + n i 65

78 Chapitre 5 Dérivation 53 Théorème de Darbou Soient I un intervalle de R, f : I R dérivable sur I Montrer que f I est un intervalle de R À cet effet, pour a,b I tel que a < b et f a < f b et pour c ] f a ; f b[, on pourra considérer l application g : f c Du mal à démarrer? 5 5 Calculer f et étudier le signe de f Étudier les variations de P 53 a Utiliser la formule de Leibniz b Décomposer en éléments simples c Linéariser 54 Montrer que f est dérivable en par étude du tau d accroissement, et montrer que f n est pas continue en 55 À l aide de l indication fournie dans l énoncé, obtenir Déf f [ ; ] et f Étudier le signe de 56 Pour R fié, étudier, lorsque y variable tend vers,le tau d accroissement de f entre et y 57 Calculer g, g, g et utiliser le théorème de Rolle 58 Appliquer le théorème de Rolle à la fonction f : a k k k 59 Utiliser le théorème de Rolle appliqué à la fonction auiliaire g : λ f 5 Considérer l application auiliaire g : f et utiliser le théorème de Rolle de manière répétée 5 Utiliser le théorème de Rolle de manière répétée 5 53 Pour y fié, dériver par rapport à Étudier les variations de la fonction intervenant dans l énoncé 54 Soit f convenant Déduire : y R, f f y f y, puis une équation fonctionnelle plus simple que celle de l énoncé et dériver par rapport à y, pour fié 55 Choisir un repère orthonormé adapté à la question, choisir un paramètre pour situer le ballon, et étudier les variations d une fonction d une variable réelle 56 a Mettre a en facteur dans f b Étudier la monotonie stricte de et de Étudier les variations de f : Étudier les variations de la fonction donnée par le premier membre de l inégalité de l énoncé 59 Simplifier un peu l étude en notant u ln a,v ln b Pour u R fié, étudier les variations d une fonction de la variable v 5 Comparer les tau d accroissement de f entre a et b et entre a et, pour ]b ;+ [ variable 5 Appliquer l inégalité de Jensen 5 a Remarquer que, si f a, f est de signe fie au voisinage de a b et c Étudier le tau d accroissement de f entre a et, pour variable tendant vers a 53 Récurrence sur n 54 À l aide du théorème des accroissements finis, remplacer f a par af b dans la fraction intervenant dans l énoncé Récurrence sur n, avec étude de variations de fonctions a Utiliser le théorème de Rolle b Reprendre l étude du a en tenant compte des ordres de multiplicité des racines Étudier les variations de sin 3 cos 3 Étudier les variations de f : t sin t t sur ] ; π [ 59 Pour ] ;+ [, fié, montrer que l application f : t ] ;+ [ t est convee 53 Pour, [ ;+ [ tel que <, comparer f, f et le tau d accroissement de f entre et Utiliser la conveité de la fonction + 53 sur ] ;+ [ et l inégalité de Jensen 53 Utiliser un point en lequel g atteint sa borne inférieure 66

79 Corrigés des eercices 5 L application f est dérivable sur ] ;+ [ et, pour tout ] ;+ [ : f en notant a b ln + b ln + a + a + b ln + b N, + a + b ln + b N :];+ [ R, Na + b ln + b b + a ln + a, et l étude du signe de f se ramène à l étude du signe de N L application N est dérivable sur ] ;+ [ et, pour tout ] ;+ [ : N ab ln + b + ab ba ln + a + ba ab ln + b ln + a >, donc N est strictement croissante sur ] ;+ [ De plus : N + Il en résulte : ] ;+ [, N > On a donc : ] ;+ [, f >, et on conclut que f est strictement croissante 5 L application polynomiale P : R R, P est dérivable sur R et, pour tout R : P , d où l on déduit le signe de P selon la position de par rapport à et à De plus : P > et P < On dresse le tableau des variations de P : P' + > + P < + + D après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de P par intervalles, on conclut que P admet eactement trois zéros réels De plus, ces zéros a,b,c vérifient : a < < b < < c 53 a En notant u : + et v : e, on a f uv Ainsi, par produit, l application f est de classe C sur R, et, d après la formule de Leibniz, pour tout n N et tout R : n f n u k v n k k k Mais, comme u est un polynôme de degré, on a u k pour tout k 3, d où, si n : n f n u k v n k k k De plus, v : e a pour dérivée elle-même, d où, si n : f n n u e + n u e + n u e nn + + n + e + n + n n + e Enfin, il est immédiat que cette dernière formule est aussi vraie pour n et pour n b On factorise le dénominateur de f :

80 Par décomposition en éléments simples dans RX, il eiste a,b,c R 3 tel que : X X + a X + b X + c X + En multipliant par par X puis en remplaçant X par, on obtient : a En multipliant par X + puis en remplaçant X par,on obtient : c 4 En multipliant par X puis en faisant tendre X vers l infini, on a : b + c, d où b c 4 Ainsi, on obtient la décomposition en éléments simples de f : ] ; [, f , que l on peut d ailleurs contrôler par réduction au même dénominateur Notons u,v,w :] ; [ R les applications définies, pour tout ] ; [, par : u +, v, w Ces applications u,v,w sont de classe C sur ] ; [ et w v On a, par une récurrence immédiate, pour tout n N et tout ] ; [ : On conclut : u n n n! + n+, vn n n! n+, w n v n+ n n +! n+ f n wn 4 vn + 4 un n n +! n+ 4 c Par linéarisation, on a, pour tout R : n n! + n n! n+ 4 + n+ f cos sin + cos sin Il en résulte, par addition, que f est de classe C sur R et que, pour tout n N et tout R : f n 4 sin + n π + 4 3n sin 3 + n π, Ou encore, en séparant en cas selon la parité de n, pour tout p N et tout R : f p 4 p sin + 4 p 3 p sin 3 f p+ 4 p cos + 4 p 3 p+ cos 3 54 D'une part, f est continue en tout point de R par les théorèmes générau D'autre part : f f, donc f est continue en Ainsi, f est continue sur R D'après les théorèmes générau, f est dérivable en tout point de R et : D'autre part : R, f sin cos f f sin, donc f est dérivable en, et f Ainsi, f est dérivable sur R et : { f sin cos si / si 3 D'après les théorèmes générau et le résultat précédent, f est continue en tout point de R D'autre part, puisque sin et que cos n'a pas de limite en, f n'a pas de limite en, et donc f n'est pas continue en Ainsi, f est continue en tout point de R, et discontinue en 55 Eistence et epression de f On a, pour tout [ ; ] : + sin + cos sin sin + sin 3 sin 4 donc :, f 4 sin + sin 3 4 D autre part, si R [ ; ], alors n eiste pas, donc f n eiste pas 68

81 Ainsi : Déf f [ ; ] et : [ ; ], f Pour supprimer l intervention de la valeur absolue, étudions le signe de Soit [ ; ] Si [ ; ], alors, donc f Si [ ; ], on a : On conclut à l epression de f, par séparation en cas : si f si Continuité D après la formule donnant f dans l énoncé, et par théorèmes générau, f est continue sur [ ; ] 3 Dérivabilité, dérivée D après les formules obtenues ci-dessus, f est de classe C sur ] [ ] [ ; et sur ; et : ] ; [, f ] [ ;, f + > On détermine le signe de f pour ] [ ; : donc f n est pas dérivable en, mais la représentation graphique C de f admet en, une demi-tangente parallèle à y y De même, f n est pas dérivable en et C admet en, une demi-tangente parallèle à y y On a : f f +, +, donc, d après le théorème limite de la dérivée, f admet en une dérivée à gauche égale à et une dérivée à droite égale à, donc f n est pas dérivable en La représentation gra- phique C de f admet en ce point deu demi-tangentes On dresse le tableau des variations de f : f' f y y f f > > + < { < < ] > ; [ ] [ D autre part, pour ; : f f , O Remarque : C est formée de morceau d ellipses En effet : y y ou y + y ou + y 69

82 7 56 y ou + y y + y ou + y + y Soit R On a, pour tout y R {} : f y f y y ln y y, par prépondérance de la puissance sur le logarithme Ceci montre que f est dérivable en et que f Puisque f est dérivable sur l intervalle R et que f, on conclut que f est constante 57 On a : g + f, g f, g 3 + f 3 Puisque g est continue sur l intervalle [ ; ] et que g et g 3, d après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste a ] ; [ tel que ga Comme g est continue sur [ ; a], dérivable sur ] ; a[ et que g ga, d après le théorème de Rolle, il eiste c ] ; a[ ] ; [ tel que g c 58 L application f :[; ] R, f a k k est continue sur [ ; ], dérivable sur ] ; [ et f, f a k D après le théorème de Rolle, k il eiste donc c ] ; [ tel que f c, c est-à-dire que l équation ka k k admet au moins une solution dans ] ; [ k 59 Considérons l application g :[a ; b] R, g λ f L application g est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et ga gb D après le théorème de Rolle, il eiste donc c ]a ; b[ tel que g c On a, pour tout ]a ; b[ : k g λ λ f + λ f λ λ f + f D où : λ f c + cf c, c est-à-dire : f c λ f c c 5 Considérons l application g :[ ; ] R, g f On a : g g g Puisque g est continue sur [ ; ] et sur [ ; ], dérivable sur ] ; [ et sur ] ; [ et que g g et g g, d après le théorème de Rolle, il eiste u ] ; [ et v ] ; [ tels que : g u et g v Puisque g est continue sur [u ; v], dérivable sur ]u ; v[ et que g u g v, d après le théorème de Rolle, il eiste c ]u ; v[ ] ; [ tel que g c Mais, pour tout ] ; [ : g f, g f, g f On conclut : c ] ; [, f c 5 Puisque f est continue sur [a ; b],dérivable sur ]a ; b[ et que f a f b, d après le théorème de Rolle, il eiste d ]a ; b[ tel que f d Puisque f est continue sur [a ; d], dérivable sur ]a ; d[ et que f a f d, d après le théorème de Rolle, il eiste c ]a ; d[ ]a ; b[ tel que : f c 5 Soit f convenant En dérivant par rapport à, on déduit :,y R, f + y f, et donc f est constante Il eiste donc a,b R tel que : R, f a + b Réciproquement, pour tout a,b de R, l'application f : R R est dérivable et satisfait a + b,y R, f + y f + f y, si et seulement si b Finalement, l'ensemble des solutions est {R R a ; a R} 53 ère méthode : utilisation des variations d une fonction Notons f : R R l application définie, pour tout R, par : f L application f est de classe C sur R et on a, pour tout R : f ,

83 f On conclut : Inf f f R ème méthode : intervention de la géométrie La question revient, dans R usuel, à la recherche de AM + BM, où A,3, B8, 4, M, Inf R y + + 3/ / > 3/ / 3 O A 4 M 8 Il en résulte que f est strictement croissante sur R De plus, f est continue sur l intervalle R et : f < et f + > D après le théorème de la bijection monotone, f s annule en un réel et un seul On a, pour tout R : f ou ou 4 Pour, les deu membres de l équation du départ de ce calcul sont de signes stricts contraires, donc f / Et : f On en déduit le tableau des variations de f : f '' Il est alors clair, par l inégalité triangulaire, que la borne inférieure cherchée eiste et qu elle est égale à AB, lorsque M [AB], c est-à-dire pour 4 Et : AB 7 Soit f convenant En remplaçant par, on obtient : y R, f y f f y, puis, en reportant dans l énoncé :,y R, B f 4 + y 3 f + f y Puisque f est dérivable, on a alors, en dérivant par rapport à y, pour fié :,y R, Déduisons-en que f est constante f 4 + y f y En remplaçant y par, on a : R, f 4 f, donc : t R +, f t f, et, en remplaçant y par 4, on obtient : R, f f 4, donc : t R, f f t f ' f + Il en résulte que f est constante Il eiste donc a,b R tel que : R, f a + b Réciproquement, soient a,b R et f : R R, f a + b 7

84 On a :,y R, f 4 + y 3 f + f f y,y R, a 4 + y + b 3 a + b + aay + b + b,y R, a a y b 3 ab a a { a { a b ou b b ab On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {, Id R },c est-à-dire qu il y a deu solutions et deu seulement, qui sont l application nulle et l identité où : Pu a + ub + u ab + ua + b + u a + b abu + abab a b a b u ab On en déduit le tableau des variations de f : u f'u fu ab y M, t Ainsi, f atteint sa borne inférieure en u ab, donc cos AM, BM atteint sa borne inférieure en t ab [ Comme l application cos est décroissante sur ; π ],on conclut que l angle AMB est maimal pour t ab On peut choisir un repère orthonormé O ; i, j de façon que les poteau correspondent au points Aa,, Bb,, où < a < b, et le point cherché M est sur l ae Oy, M,t, t > On a : cos AM, AM BM BM AM BM Notons : a t a t b t b t ab + t a + t b + t f :[;+ [ R, u f u ab + u a + ub + u L application f est dérivable sur [ ;+ [ et, pour tout u [ ;+ [ : f u ab+ua +ub +u ab+u b +u+a + u a + u b + u O ab + u a + u b + u Pu, Aa, Bb, 56 a Le calcul du signe de f ne semble pas commode b On a : [ ;+ [, f a a Comme a >, l application a est strictement croissante et > Comme b a >, l application b a est strictement croissante et > D après le cours, par produit, f est donc strictement croissante b On a, pour tout < : >, 8 5 >, 4 <, car < 8 5 < et donc n est pas solution de l équation proposée On peut donc supposer Notons u,v :[;+ [ R les applications définies, pour tout [ ;+ [, par : u D autre part, comme < croissante et v 8 5 On a : ,88 donc < < 4 D après a, il en résulte que u est strictement croissante 8 5 <, vest strictement Donc ϕ u + v : 4 est strictement croissante Il en résulte que l équation proposée, équivalente à ϕ, admet au plus une solution 7

85 D autre part, on remarque : ϕ On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule, qui est 57 L application f :[;+ [ R, f est de classe C sur [ ;+ [ et, pour tout [ ;+ [ : f ln 4, f ln On a : f ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Notons α,57 ln On a : f ln 4 < et f + + Dressons le tableau des variations de f : α β + f '' + < + f ' + < f D après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie sur [α ;+ [, il eiste β ]α ;+ [ unique tel que f β On en déduit que f admet au plus deu zéros réels On remarque : f et f , et on conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {3, 5} 58 Notons f : R R, f L application f est de classe C sur R et, pour tout R : f Si, alors et +, donc f Supposons Alors : f On en déduit le tableau des variations de f : f ' f v f ' v fv + + βu α + + Comme f, on conclut : R, f, ce qui est l inégalité voulue 59 Inégalité En notant u ln a, v ln b, l inégalité, notée, de l énoncé se re-écrit : αe α u + βe β v α + βe α+β u+v Soit u R fié Considérons l application f : R R, v f v αe u α + βe vβ α + βe u+v α+β L application f est dérivable sur R et, pour tout v R : On a donc : f v e vβ e u+v α+β f v > v β > u + v αv >βu α + β On en déduit le tableau des variations de f : + 73

86 74 De plus : f βu αe α u + βe u u+ βu α α α + βe α+β α On conclut : v R, αe u α + βe u α α + βe u α f v, d où l inégalité demandée Étude du cas d égalité D après le tableau précédent, il y a égalité dans l inégalité si et seulement si v βu α Et : 5 v βu α ln b β α ln a α ln b β ln a b α a β Ainsi, il y a égalité dans si et seulement si b α a β 3 Eemple En prenant α, β 3, on obtient : 5 a,b ] ;+ [, a + 3b 3 5ab 5 y fb fa O a b Soit ]b ;+ [ y f Puisque f est convee, par croissance des pentes, on a : d où : f Comme f f a a f b f a b a f b f a, b a f b f a a + f a b a >, on a : f b f a a + f a +, b a + et donc, par minoration : f + + a L application f est deu fois dérivable sur ] ;+ [ et : ] ;+ [, f >, donc f est convee b Puisque f est convee, on a, d après l inégalité de Jensen appliquée au coefficients λ λ n, qui sont tous n et de somme : n Et : f k n k k n ln n k n k k n f k k ln k k n ln n n n k ln k k n k n n k, par croissance de l eponentielle, et on conclut à l inégalité demandée 5 a Si f a >, alors, comme f est continue en a car f est dérivable en a, il eiste η > tel que : [a η ; a + η], f On a alors : [a η ; a + η], f f, c est-à-dire que f coïncide avec f au voisinage de a Puisque f est dérivable en a, f l est alors aussi, et f a f a Si f a <, de même, comme f coïncide avec f au voisinage de a, on conclut que f est dérivable en a et que f a f a On peut regrouper ces deu résultats en utilisant la fonction signe : f a sgn f a f a b Supposons f a >, le cas f a < étant analogue, ou si l on préfère, s y ramenant en remplaçant f par f Comme f f a a k f a >, a il eiste η > tel que : f f a [a η ; a + η],, a { [a η ; a], f d où, puisque f a : [a ; a + η], f Autrement dit, f coïncide avec f au voisinage à gauche de a et f coïncide avec f au voisinage à droite de a On a alors : et f f a a f f a a f a a f a, a +

87 y y y fa O a O a O a y f y f 53 donc f est dérivable à gauche en a,dérivable à droite en a, et non dérivable en a car f a / f a, puisque f a / c On a, pour R {a}, en utilisant l inégalité triangulaire renversée : f f a f f a a a f f a f f a a a f a, a f f a donc a, a dérivable en a et que f a Effectuons une récurrence sur n et on conclut que f est Pour n, f : R R, a e b ne s annule en aucun point, car a /, donc la propriété est vraie pour n Supposons la propriété vraie pour un n N Soient a,,a n+ R n+ {,,}, b,,b n+ R deu à deu distincts n+ Notons f : R R, f a k e b k k Considérons l application g : R R, n+ g e bn+ f a k e b k b n+ k On a, en isolant le terme d indice n + : R, g a k e b k b n+ + a n+ k L application g est dérivable sur R et : R, g a k b k b n+ e b k b n+ k Si a,,a n,,, alors a n+ / et f : a n+ e bn+ ne s annule en aucun point, donc s annule en au plus n + points Supposons donc a,,a n /,, Alors, comme b,,b n+ sont deu à deu distincts, les réels a k b k b n+, pour k n, sont non tous nuls, et les réels b k b n+, pour k n, sont deu à deu distincts On peut donc appliquer l hypothèse de récurrence au familles ak b k b n+ k n et b k b n+ k n à la place de a k k n et b k k n respectivement, ce qui montre que g admet au plus n zéros dans R D après le théorème de Rolle, appliqué à g, il en résulte que g admet au plus n + zéros dans R, et finalement, f admet au plus n + zéros dans R On a ainsi établi le résultat demandé, par récurrence sur n 54 Puisque f est continue sur [ ; a] et dérivable sur ] ; a[, d après le théorème des accroissements finis, il eiste b ] ; a[ tel que : f a f af b, c est-à-dire, puisque f : f a af b On a alors : f a + af a 3a af b + af a 3a 3 f b + 3 f a Comme 3 [ ; ] et que 3, le réel 3 3 f b + 3 f a est entre f a et f b Enfin, puisque f est continue sur l intervalle [b ; a],d après le théorème des valeurs intermédiaires, f atteint toute valeur entre f b et f a, donc en particulier, f atteint 3 f b + 3 f a Ainsi, il eiste c [b ; a] ] ; a] tel que : f c 3 f b + 3 f a f a + af a 3a 75

88 55 Notons, pour tout n N, ϕ n,ψ n : R + R les applications définies, pour tout R +, par :,, n R n tels que : 56 a Par hypothèse, il eiste n N {,}, λ R, ϕ n n+ cos C n n << n et P λ X k et ψ n n+ sin S n Montrons, par récurrence sur n : n N, ϕ n et ψ n Pour n, on tombe sur des inégalités connues : { ϕ cos cos R +, ψ sin sin Supposons, pour un n N : ϕ n et ψ n On remarque : En effet, pour tout R + : C n+ S n et S n+ C n+ n+ C n+ k k k k k! Pour tout k de {,,n }, P est continu sur [ k ; k+ ], dérivable sur ] k ; k+ [,et P k P k+, donc théorème de Rolle il eiste y k ] k ; k+ [ tel que P y k Puisque < y < << y n < n, y,,y n sont deu à deu distincts Comme P est de degré n, il en résulte que les zéros de P sont tous réels et simples ce sont y,,y n b Par hypothèse, il eiste N N, λ R,,, N R N, α,,α N N N tels que : N << N et P λ X k α k Comme en a, il eiste y,,y N R tels que : k {,,N }, yk ] k ; k+ [ et P y k k k 76 n+ k pk k k k! p n+ S n+ k k On a donc, pour tout R + : p+ p+ p +! k k + k k +! S n n+ k k C n+ k! ϕ n+ n+ sin C n+ n sin + S n n+ sin S n ψ n ψ n+ n+ cos S n+ n+ cos C n+ ϕ n+ Comme ϕ n+ ψ n, ϕ n+ est croissante De plus, ϕ n+, donc ϕ n+ Alors, ψ n+ ϕ n+, donc ψ n+ est croissante De plus, ψ n+, donc ψ n+ Ceci montre que la propriété est vraie pour n + Finalement, la propriété est vraie pour tout n N, par récurrence sur n D'autre part, pour tout k de {,,N} tel que α k, k est zéro de P d'ordre α k On met ainsi en évidence des zéros de P, deu à deu distincts : { y,,y N d ordre α,, N d ordre α N, avec une convention évidente si α k Comme N + N N α k α k k k on conclut que P est scindé sur R N Plus précisément, en notant n α k : N P nλ X y k k degp degp, k N X k α k k [ 57 Considérons l application f : [ pour tout ; π [, par : ; π f sin 3 cos 3 sin cos 3 cos [ R définie, tan sin cos 3 tan sin 3

89 58 L application f est de classe C sur [ ; π [ : On sait : d où : f + tan cos 3, f tan + tan + sin 6 tan + tan 3 + sin 6, [ ; π [ et, pour tout f + 6 tan + tan + 4 cos 6 8 tan + 6 tan cos 4 8 tan + 6 tan 4 8 sin 8tan sin + 6 tan 4 ] ; π [, < sin < < tan, ] ; π [, f > On remonte alors les tableau de variations : f '" f '' f ' f On obtient : ] ; π [, f >, et on conclut : ] ; π [, sin 3 > cos Considérons l application ] f : ; π [ R, t f t sin t t On a, pour tout,y R tel que < < y < π : y < sin sin y < π y sin y y sin y y < sin > π sin f < f y < f π π Étudions les variations de f ] L application f est dérivable sur ; π [ et : ] t ; π [, f t cos t sin t t t [ L application A : ; π [ R, t t cos t sin t [ est dérivable sur ; π [ [ et, pour tout t ; π [, A t t sin t et < si t /, donc A est strictement décroissante Comme A, il en résulte ] t ; π [ ], At <, puis : t ; π [, f t <, et donc f est strictement décroissante De plus, f t sin t t t f ' t f''t et f t + π π Puisque f est strictement décroissante, on a, pour tout,y R tel que < < y π : D une part, on obtient : D autre part : donc f y f > π > f > f y π f y < f f y > f y car < f <, f D où les inégalités demandées 59 π π Pour ] ;+ [ fié, considérons l application f :];+ [ R, t f t t e t ln e et ln ln L application f est deu fois dérivable sur ] ;+ [ et, pour tout t ] ;+ [ : f t t ln ln e t ln, f t t ln ln ln ln e t ln + ln e t ln t ln ln e t ln ln e t ln + > Il en résulte que f est convee 77

90 On a donc, par définition de la conveité de f : a,b ] ;+ [, λ [ ; ], f λa + λb λ f a + λ f b En particulier, pour λ, a, b 3, on a : donc : λa + λb a + b, + 3, c est-à-dire : On a alors, d après l inégalité de Jensen : f a i f a i, n n c est-à-dire, puisque et on conclut : i a i : i n + n n i i i a i + a i, a i + n a i n + n n + n 53 Soit, [ ;+ [ fié tel que < 53 Soit a,b I tel que, par eemple a < b et Puisque f est convee et dérivable, on a : f a < f b Soit c ] f a ; f b[ f f f f D où, en particulier, par l inégalité de droite : Considérons l application g :[a ; b] R, g f c f f f, L application g est dérivable sur [a ; b] car f est dérivable sur I, donc g est continue sur le segment [a ; b] D après un donc : f f f f théorème du cours, g admet donc une borne inférieure et atteint De plus, comme f f et, on a : celle-ci : il eiste d [a ; b] tel que gd Inf [a;b] 53 f f On obtient : f f f f, c est-à-dire g g On conclut que g est décroissante Remarque : Si on suppose de plus f deu fois dérivable sur [ ;+ [, on peut donner une résolution plus courte En effet, g est alors dérivable sur [ ;+ [ et : [ ;+ [, g f f f f, donc g est décroissante L application f :];+ [ R, f est deu fois dérivable et, pour tout ] ;+ [ : f 3, f >, donc f est convee Comme g ga a au voisinage de a + : g a f a c <, on a, a + g ga <, donc g <ga a Ceci montre que g n atteint pas sa borne inférieure en a, donc d / a g gb Comme b g b f b c >, on a, b g gb au voisinage de b : >, donc g <gb b Ceci montre que g n atteint pas sa borne inférieure en b, donc d / b On a donc : d ]a ; b[ Puisque g atteint sa borne inférieure en d, que d ]a ; b[ et que g est dérivable en d,on a:g d, c est-à-dire f d c Ceci montre : c ] f a ; f b[, d ]a ; b[ I, f d c, donc ] f a ; f b[ f I Autrement dit, dès que f I contient deu points, il contient le segment qui les joint, et on conclut que f I est un intervalle 78

91 Intégration 6 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 79 Énoncés des eercices 8 Du mal à démarrer? 85 Corrigés 87 Thèmes abordés dans les eercices Obtention d inégalités portant sur des intégrales Calcul simples d intégrales Détermination de certaines limites liées à des intégrales Recherche de limites d intégrales Étude et représentation graphique d une fonction définie par une intégrale, le paramètre au bornes Résolution de certaines équations fonctionnelles Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Propriétés algébriques et propriétés relatives à l ordre usuel, pour les intégrales, en particulier l étude du cas où une intégrale est nulle, et l inégalité de Cauchy et Schwarz Les méthodes usuelles pour transformer l écriture d une intégrale : intégration par parties, changement de variable, relation de Chasles Les propriétés de l application f t dt Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor et Lagrange Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour obtenir une inégalité portant sur une ou des intégrales Essayer d appliquer les théorèmes du Cours portant sur les inégalités sur des intégrales En particulier, si des intégrales de carrés ou de produits interviennent, essayer d appliquer l inégalité de Cauchy-Schwarz Eercices 6, 69, 6, 65, 68 79

92 Chapitre 6 Intégration Pour conclure qu une fonction est nulle, ayant un renseignement sur une intégrale Pour trouver une limite d intégrale Pour changer la forme de l écriture d une intégrale, ou pour calculer ou évaluer une intégrale dans des cas simples Essayer d appliquer un théorème du Cours : si a < b et si f :[a ; b] R est continue, positive ou nulle, telle que b a f, alors f On peut aussi essayer d utiliser une contraposée Eercices 6, 6, 6 On peut conjecturer la limite, qui est souvent dans les eemples simples l intégrale de la limite, et montrer que la différence entre l intégrale de l énoncé et la limite présumée tend vers Eercices 66, 67, 63, 6 Appliquer les méthodes de calcul d intégrales et de primitives : primitives usuelles linéarité de l intégration relation de Chasles changement de variable intégration par parties On se ramène alors à la formule fondamentale de l analyse : b a f d Fb Fa, où f est continue sur [a ; b] et F est une primitive de f Eercices 63, 64, 64, 68, 69, 6, 6, 69 On peut quelquefois eploiter un changement de variable qui échange les bornes Eercice 68 Pour amener une intégrale ayant des bornes différentes de celles qui interviennent dans l énoncé Pour étudier ou dériver une intégrale dépendant d un paramètre au bornes Pour chercher la limite d une suite dont le terme général u n est une somme indeée par k et dont les termes dépendant de k et n Essayer d appliquer la relation de Chasles ou d effectuer un changement de variable Eercice 68 Appliquer le théorème du Cours sur les dérivées de v u f a f et Eercice 66 Essayer de faire apparaître une somme de Riemann Dans des cas simples, il s agit eactement d une somme de Riemann Mais souvent, u n n est pas eactement une somme de Riemann Essayer alors de construire v n qui soit une somme de Riemann et qui ressemble à u n, de façon que u n v n et que l on puisse n trouver la limite de v n, d où l on déduira la limite de u n 8

93 Énoncés des eercices Si le terme général u n proposé contient un symbole de produit, on peut essayer de se ramener à une somme en utilisant un logarithme Eercices 65, 6 Pour obtenir une inégalité portant sur une fonction ou une intégrale Pour obtenir un résultat portant sur une intégrale Pour résoudre une équation fonctionnelle faisant intervenir une intégrale à borne variable Essayer d utiliser une fonction auiliaire, dont on étudiera les variations, ou l inégalité des accroissements finis, ou l inégalité de Taylor- Lagrange Eercices 65, 64, 66 On peut quelquefois essayer d obtenir un résultat analogue portant sur des sommes de Riemann, puis passer à une limite Eercices 67, 67 On peut essayer de dériver et faire apparaître une équation différentielle Eercice 63 Énoncés des eercices 6 Inégalité sur une intégrale Soit f :[; ] R continue On note M Sup f Montrer : [;] 3 f + f d M Dunod La photocopie non autorisée est un délit Changement de signe pour une fonction continue d intégrale nulle Soient a,b R tel que a < b, et f :[a ; b] R continue telle qu il eiste [a ; b] tel que f >, et f < b Eemple de calcul simple d une intégrale π + cos Calculer I d a f Montrer qu il eiste [a ; b] tel que Eemple de calcul simple d une intégrale puis d une borne inférieure Déterminer Inf a R a d 8

94 Chapitre 6 Intégration Limites de sommes de Riemann Dans chacun des eemples suivants, montrer que la suite, dont on donne le terme général u n, converge, et calculer sa limite : n /n a b + k n + kn n k Eemples simples de détermination de limites d intégrales Déterminer les limites suivantes : n π sin π a lim d b lim n + n + n d n sin c lim n + n d k Eemple simple de détermination de la limite d une intégrale Déterminer lim + n d n 68 Eemple de calcul d une intégrale à l aide d un changement de variable π 4 Calculer I ln + tan d Eemple d utilisation de l inégalité de Cauchy-Schwarz Soient f,g :[; ] R continues, telles que : f, g, fg Montrer : f g Obtention d une majoration à l aide d une intégrale a Montrer : n N, + ln n k k b En déduire : d n + ln n d n Déductions sur une fonction à partir de renseignements sur des intégrales Soit f :[; ] R continue telle que : où f désigne f f Montrer : f ou f f f 3 Limites de suites ressemblant à des sommes de Riemann Dans chacun des eemples suivants, montrer que la suite, dont on donne le terme général u n, converge, et calculer sa limite : a n + k α n + k + β,α,β R +, α + β b sin k n sin k n k Eemples assez simples de détermination de limites d intégrales Déterminer les limites suivantes : π 3u a lim e u sin cos d b lim d u + u + u f 4, k 8

95 Énoncés des eercices Obtention d une inégalité sur une intégrale par changement de l écriture de l intégrale π Soit f :[; π] R de classe C et convee Montrer : f cos d Détermination des fonctions satisfaisant une inégalité faisant intervenir une intégrale, par utilisation d une fonction auiliaire Déterminer l ensemble des applications f :[;+ [ R continues, telles que f et que : [ ;+ [, f f t dt Eemple d étude de fonction définie par une intégrale dépendant d un paramètre au bornes Étude et représentation graphique de la fonction f d une variable réelle donnée par : f e t dt Obtention d une inégalité sur des intégrales par passage à la limite à partir d une inégalité sur des sommes de Riemann Soient f :[; ] R continue et ϕ : R R convee Montrer : ϕ f ϕ f Inégalité sur des intégrales par transformation de l écriture Soient k R et f :[;+ [ R une application k-lipschitzienne On considère l application f t dt si / F :[;+ [ R, F f si Montrer que F est k -lipschitzienne Dunod La photocopie non autorisée est un délit Inégalité sur une intégrale par transformation de l écriture Soit f :[; ] R continue telle que :,y [ ; ], fy + yf Montrer : f d π 4 Eemples de détermination de limites d intégrales Déterminer les limites suivantes : π a lim e u sin d b lim e d u + u u + e u Résolution d une équation fonctionnelle par intervention d intégrales Soit f : R R continue telle que :,y R, f + y f + f y Montrer : R, f f 83

96 Chapitre 6 Intégration Résolution d une équation fonctionnelle faisant intervenir des intégrales Trouver toutes les applications f :[; ] R continues telles que : f d 3 + f d Résolution d une équation fonctionnelle faisant intervenir une intégrale Trouver toutes les applications f : R R de classe C telles que : R, f f t + f t dt + Obtention d une inégalité portant sur des intégrales par utilisation d une fonction auiliaire Soient a,b R tel que a < b, f :[a ; b] R de classe C telle que f a et : [a ; b], f b b Montrer : f 3 f a a 65 Inégalités sur des intégrales Soient a,b R tel que a < b, f :[a ; b] R de classe C telle que f a a On note : F :[a ; b] R, F Montrer : [a ; b], f F a f t dt b En déduire : b a f f d b a b a f d 66 Inégalités sur les bornes de f, f, f Soit f : R R deu fois dérivable sur R et telle que f et f soient bornées sur R ; on note M Sup f et M Sup f R R a Démontrer : a R +, R, f M a + M a b En déduire que f est bornée sur R, et que, en notant M Sup f, on a : R M M M Calcul de l intégrale de Poisson, par utilisation de sommes de Riemann π Pour ] ;+ [, calculer ln cos t + dt Étude d une limite de suite d intégrales nécessitant le retour à la définition d une limite Soient a,b R tel que a < b, f :[a ; b] R continue et Montrer : b n n f d f n a Sup [a ;b] 84

97 Du mal à démarrer? 69 Irrationnalité de π a Pour a,b,n N 3, on note P n π n! Xn bx a n et I n P n sin d α Montrer que, pour tout a,b,n de N 3, P n et ses dérivées successives prennent en et a des valeurs entières dans Z b β Montrer que, pour a,b N fié : I n n b On suppose qu'il eiste a,b N tel que π a b α Avec les notations de a, montrer : n N, I n Z β En utilisant l'eercice 36, déduire une contradiction On a ainsi démontré que π est irrationnel π / Q Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 6 Utiliser les théorèmes sur les inégalités sur les intégrales 6 Raisonner par l absurde 63 Remarquer que + cos cos, pour transformer l epression dans l intégrale 64 Calculer, pour tout a R, l intégrale envisagée, puis chercher la borne inférieure lorsque a décrit R 65 a Reconnaître une somme de Riemann b Après avoir pris le logarithme, reconnaître une somme de Riemann 66 Conjecturer la limite et montrer que la différence entre l intégrale proposée et la limite conjecturée tend vers 67 On peut conjecturer que la limite de l intégrale I n + n d est l intégrale de la limite, c est-à-dire I d Pour montrer I n I, on essaie de montrer : n I n I n 68 Après s être assuré de l eistence de I, essayer d utiliser un changement de variable qui échange les bornes 69 6 Utiliser l inégalité de Cauchy-Schwarz a Comparer une somme et une intégrale de la fonction b Remarquer que tout diviseur de n est de la forme n E, k {,,n} k 6 Développer f f et déduire f f Attention : si le produit de deu fonctions continues est la fonction nulle, on ne peut pas déduire directement que l une des deu fonctions est la fonction nulle Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires 6 u n Faire intervenir une somme de Riemann v n ressemblant à 63 Conjecturer la limite et montrer que la différence entre l intégrale proposée et sa limite conjecturée tend vers, en transformant l écriture de cette différence ou en majorant convenablement sa valeur absolue 64 Puisque f est supposée de classe C, pour faire intervenir f dans l intégrale, intégrer par parties deu fois 65 Étudier les variations de la fonction auiliaire e f t dt 66 Étudier successivement : ensemble de définition, dérivée, limites au bornes L outil essentiel est le théorème du Cours sur l étude d une intégrale dépendant d un paramètre au bornes, v f t dt u 67 Montrer l inégalité analogue sur des sommes de Riemann, puis passer à la limite 68 Transformer l écriture de F sous forme d une intégrale à bornes fies et puis revenir à la définition d une application lipschitzienne 69 Effectuer, dans f d, chacun des deu changements de variable sin u, cos v, de façon à pouvoir utiliser l hypothèse 85

98 Chapitre 6 Intégration 6 [ a Se ramener sur [ ; π ], sin π ; π ] et utiliser l inégalité classique : b Essayer de faire intervenir e u au lieu de e u 6 Considérer F : f et obtenir des relations simples sur f et F 6 Effectuer dans l intégrale f d le changement de variable t, t, de façon à la rapprocher de la deuième intégrale de l énoncé Dériver pour faire apparaître une équation différentielle Remplacer b par une variable, pour considérer une fonction, et étudier les variations de cette fonction 65 a Utiliser la formule eprimant f à l aide d une intégrale portant sur f : f f a + f t dt a b Comme un produit et un carré interviennent à l intérieur d intégrales, penser à l inégalité de Cauchy-Schwarz 66 a Pour faire intervenir f, f, f, appliquer l inégalité de Taylor-Lagrange à f sur [ a ; ] et sur [ ; + a] b Étudier les variations de a M a + M a 67 On peut calculer des sommes de Riemann associées à l intégrale de l énoncé, et obtenir cette intégrale par limite d une suite de sommes de Riemann 68 L application f, continue sur le segment [a ; b], est bornée et atteint sa borne supérieure M en au moins un point,et f est proche de M lorsque est proche de 69 a α Utiliser la formule de Leibniz pour calculer les dérivées successives dep n β Majorer convenablement I n b α Intégrer par parties, de façon itérée β Montrer que I n à partir d un certain rang, et amener une π contradiction en considérant P n 86

99 Corrigés des eercices 6 D abord, d une part, f est continue sur le segment [ ; ], d où l eistence de M, et, d autre part, l application f + f est continue sur le segment [ ; ], d où l eistence de l intégrale envisagée On a : f + f d f + f d 6 Puisque M f + f d M + M d + d M [ + Raisonnons par l absurde : supposons : b a [a ; b], f ] 3 M f et que f est continue et positive ou nulle sur [a ; b], on a alors f, en contradiction avec l hypothèse d eistence de [a ; b] tel que f > On conclut qu il eiste [a ; b] tel que f < 63 D abord, l intégrale envisagée eiste, car l application + cos est continue sur [ ; π] π + cos π On a : I d cos d Puisque l application cos est π-périodique et paire, on a : π cos π d cos π π d cos d π cos [ d 4 sin ] π 4 On conclut : I 4 64 On calcule, pour tout a R : I a a d 4 a 3 + a d [ 5 5 a ] 3 a 3 5 a + a 3 Ainsi, I a est un trinôme en a Pour chercher la borne inférieure de I a lorsque a décrit R, on met I a sous forme canonique on pourrait aussi étudier les variations de la fonction a I a : I a 3 3 Il en résulte Inf a R a 3 a + 3 a a a d 8, obtenu pour a 3 4 a On a : n N, u n 65 n k + k n On reconnaît une somme de Riemann L application [ ; ] R, + est continue sur [ ; ], donc : u n n [ ] d ln + k b On a : n N, u n > et ln u n n k On reconnaît une somme de Riemann L application [ ; ] R, ln + est continue sur [ ; ], donc : ln u n n Il reste à calculer cette intégrale ln + d n 87

100 Utilisons une intégration par parties, pour faire disparaître le logarithme : [ ] ln + d ln + + d ln d + ln + + d ln + [ Arctan ] ln + π Enfin, comme l eponentielle est continue sur R, on conclut : u n ep ln + π e π n 66 a Puisque, pour tout [ ; [, on conjecture que la limite est On a : donc : n + d n d n lim d n + n + n [ ] n+ n + n + n sin b Puisque, pour tout [ ; π], + n, n on conjecture que la limite est π sin π On a : + n d n d π n, n π sin donc : lim d n + n c Puisque, pour tout [ ; π], n sin + n sin, n π on conjecture que la limite est sin d On a : π n sin π + n d π sin d sin + n d π sin π + n d π π d n n n π n sin π donc : lim n + n d sin d [ cos ] π,,, 67 On a, pour tout n N, par utilisation d une epression conjuguée : + n d d + n d n + n + d [ ] n n+ d n + n + n Il en résulte : + n d, n et donc : lim + n d n 68 D abord, l intégrale envisagée eiste, car l application [ ln + tan est continue sur le segment ; π ] 4 On a, par le changement de variable y π, qui échange 4 les bornes : I π 4 π 4 ln π + tan 4 y dy ln + tan y + tan y π 4 dy π 4 ln ln + tan y dy π 4 π ln I 4 π 4 ln dy Il en résulte : I π 4 ln + tan y dy ln + tan y dy ln, et finalement : I π ln 8 69 Les applications f, g, fg sont continues sur [ ; ], d après les théorèmes générau On a, en appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz à f et g : f g Comme fg, on a fg, puis d où le résultat voulu f g fg fg, 88

101 6 a Comme l application est continue et décroissante sur [ ;+ [, on a, pour tout k N {} : k k k k d, d où, pour tout n N {}, par sommation : k + k + k k k k d n + d + [ln]n + ln n De plus, l inégalité obtenue est aussi vraie pour n b Soit n N Puisque les diviseurs entiers de n sont n parmi les nombres de la forme E lorsque k décrit k {,,n}, on a : n n d E k k n n + ln n k d n k k Remarque : L inégalité semble assez fine lorsque n admet beaucoup de diviseurs, et semble assez grossière lorsque n admet peu de diviseurs, en particulier lorsque n est premier 6 Eemples : pour n : pour n 3 : On a : f f k d 8 et n + ln n 4,8 d n d 4 et n + ln n 46,3 d n f f 3 + f 4 f f 3 + f 4 Comme f f est continue et, on déduit f f, puis f f, c est-à-dire f f Ceci montre : [ ; ], f ou f Pour montrer f ou f, raisonnons par l absurde : supposons f / et f / Il eiste donc a [ ; ] tel que f a / et il eiste b [ ; ] tel que f b / On a alors f a et f b Comme f est continue sur l intervalle [ ; ], d après le théorème des valeurs intermédiaires, f prend, par eemple la valeur, contradiction On conclut : f ou f 6 a Notons, pour tout n N : v n + k kn n k + k, n qui est une somme de Riemann et ressemble à u n Puisque l application est continue sur [ ; ], + on a, d après l étude des sommes de Riemann : v n n On a, pour tout n N : u n n + k α n + k β et k u n [ ] + d ln + ln n + k v n k n + k + α n + k + β k n+ n + k + n + p pk+ k p v n n + n + Ainsi : n N, v n n + n + u n v n Comme v n n + n + ln n on en déduit, par le théorème d encadrement : et v n n u n n ln, ln b Pour k n, et n assez grand, on a k n petit, donc sin k n ressemble à k n D où l idée de considérer, pour n N : k v n n sin k k n k n n sin k n k Puisque l application sin est continue sur [ ; ], d après l étude des sommes de Riemann : v n n ipp sin d [ cos ] + cos d sin cos Pour comparer u n et v n, on va comparer, pour [ ;+ [, sin et Plus précisément, on va montrer : [ ;+ [, 3 sin 6 L application ϕ : sin est de classe C sur [ ;+ [ et, pour tout [ ;+ [ : ϕ cos, 89

102 9 d où le tableau des variations de ϕ, et donc : [ ;+ [, ϕ + ϕ ϕ L application ψ : sin est de classe C sur [ ;+ [ et, pour tout [ ;+ [ : ψ cos + ψ sin + ϕ, d où le tableau des variations de ψ, et donc : [ ;+ [, ψ + y + y y On a donc l encadrement conjecturé On a alors, pour tout n N, en appliquant le résultat précédent à k n à la place de, puis en multipliant par sin k qui est n, et enfin en sommant de k à k n : k n k3 sin k k 6n 6 n u k n n sin k k n Comme : k k 3 6n sin k 6 n 6n 6 k + + k 3 6n 6 k n 3 n4 6n 6 6n, on déduit : n N, v n 6n u n v n Comme v n 6n sin cos et v n sin cos, n n on en déduit, par le théorème d encadrement : u n sin cos n [ a Puisque, pour tout ; π ] 63, e u sin π on conjecture que la limite est d u +, On a, pour tout u [ ;+ [ : π π π e u sin d d On dispose de l encadrement : e u sin d π e u sin d t [ ;+ [, e t t En effet, la première inégalité est évidente, et la deuième résulte simplement, par eemple, de l étude des variations de la fonction t e t + t D où : π e u sin d π π u sin d On conclut : π u d π u π lim e u sin d π u + u + b Puisque cos, on conjecture que la limite cher- chée est aussi celle de On a : 3u u 3u On a, pour u ] ;+ [ : 3u u 3u u cos u d d [ln]3u u ln 3u ln u ln 3 3u d u d sin 3u d 3u u d On conclut : 3u u [ 4 ] 3u u cos u 3u u cos d 3u u 4 d ln 3 u + d u u + 64 On a, à l aide d une intégration par parties pour des fonctions de classe C, avec, : { { u f u f v cos v sin π [ f cos d f sin ] π π f sin d π f sin d On effectue une deuième intégration par parties pour des fonctions de classe C, mais en choisissant v à partir de v, de façon

103 { u f que le crochet soit nul, v sin π f sin d [ ] π f cos { u f, : v cos π f cos d π f cos d } {{ } Comme f est de classe C et convee, on a f, et on π conclut : f cos d 65 Soit f convenant Considérons l application g :[;+ [ R, g e f t dt Puisque f est continue sur [ ;+ [, g est de classe C sur [ ;+ [ et, pour tout [ ;+ [ : g e f t dt + e f e f donc g est décroissante sur [ ;+ [ Comme g, il en résulte : g f t dt, Mais, d autre part, par hypothèse, f, donc g On déduit g, d où : [ ;+ [, puis, en dérivant : [ ;+ [, f f t dt, Réciproquement, il est clair que l application nulle convient On conclut que l ensemble cherché est {}, où est l application nulle de [ ;+ [ dans R D après le Cours, puisque t e t est continue et que et sont de classe C, l application f est de classe C sur R et : R, f e e e e 3 On a, pour tout : Notons α f e 3 ln 3,48 On a, pour tout : donc : f 3 ln e t dt e e f + ln 3, + Des valeurs particulières sont : f, f et, en utilisant la calculatrice : f α,86 α α + f + f y y f O α 66 L application t e t est continue sur R, donc, pour tout R, f On a, pour tout R : f e t dt donc f est impaire e t dt eiste Ainsi : Déf f R e u du f, [u t] 67 Puisque ϕ est convee sur R, d après l inégalité de Jensen, on a : k n N, ϕ f k ϕ f n n n n k D après l étude des sommes de Riemann, puisque f est continue sur [ ; ] : k f f n n n k k 9

104 Puisque ϕ est convee sur l intervalle ouvert R, d après le Cours, ϕ est continue sur R, donc : k ϕ f ϕ f n n n k Puisque f est continue sur [ ; ] et que ϕ est continue sur R, ϕ f est continue sur [ ; ], donc, d après l étude des sommes k de Riemann : n ϕ f ϕ f n n On obtient donc, par passage à la limite dans une inégalité : ϕ f ϕ f et π I f cos v sin v dv f cos v sin v dv, π d où, en additionnant et en utilisant l hypothèse : π I f sin u cos u + f cos u sin u du π du π On conclut : I π On a, pour tout ] ;+ [, par le changement de variable u t, t u : F f t dt f u du f u du D autre part : F f f du Ainsi : [ ;+ [, F f u du On a, pour tout,y [ ;+ [ : F Fy f u du f yu du f u f yu du f u f yu du k u yu du k y [ u ] k y k y, ce qui montre que F est k -lipschitzienne u du 69 Notons I f d On a, par les changements de variable u Arcsin et v Arccos : π I f sin u cos u du 6 a Le changement de variable y π montre : π π e u sin d e u sin d, π π π d où : e u sin d e u sin d [ Montrons : ; π ], sin π L application ϕ : sin π est de classe C sur [ ; π ] [, et, pour tout ; π ] : ϕ cos π, ϕ sin α ϕ > ϕ + ϕ π < Comme ϕ π π > et ϕ <, il eiste π ] α ; π [ unique tel que ϕ change de signe en α, d où les variations de ϕ π Comme ϕ ϕ, on conclut ϕ,ce qui montre l inégalité proposée

105 On a alors, pour tout u R + : π π e u sin d e u sin d π [ e u π d π ] π u e π u Finalement : π e u sin d b On a, pour tout u ] ;+ [ : d où : u + u u e u e t dt e u e tu dt e u [ e tu u ] u u e u e t dt e u eu u u + e u u π u e u π u u, 6 Considérons F : R R, F f t dt, qui est de classe C sur R et vérifie : F f 6 On a : t, R, f t + f t + f, d où, en intégrant entre et y :,y R, y f t + dt y f t dt + yf Mais, par le changement de variable u t +, pour fié : y f t + dt On obtient ainsi :,y R, +y En échangeant et y, on a aussi : d où :,y R, f u du F + y F F + y F + Fy + yf F + y Fy + F + fy,,y R, yf fy En particulier, on conclut, en remplaçant y par : R, f f Soit f :[; ] R continue On a, par le changement de variable t, t, d t dt : f d f t t dt D autre part, on remarque : 3 [ f d f d d + 3 ] d D où : f d f d f d Ainsi, puisque f est continue et positive sur [ ; ] : f d 3 + f d f d [ ; ], f [ ; ], f t [ ; ], f t t On conclut qu il eiste une application f et une seule convenant : 63 f :[; ] R, Soit f : R R de classe C On a, en dérivant et en prenant la valeur en : R, f f t + f t dt + R, f f f + f f R, f f f Puisque l application f f est continue sur R, on a, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires : f f f f ou f f Soit ε {,} On résout l équation différentielle E y y ε 93

106 Il s agit d une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre La solution générale de l équation différentielle linéaire sans second membre associée y y est y : λ e, λ R Une solution particulière de E est y ε La solution générale de E est donc y : λ e ε, λ R Alors : f λ ε λ ελ + ε 64 λλ ε λ ou λ ε On conclut qu il y a eactement quatre applications f : R R convenant, correspondant à ε ou, et à λ ou ε :,, e, e + Considérons ϕ :[a ; b] R définie par : [a ; b], ϕ f f 3 a a L application ϕ est de classe C sur [a ; b] et : [a ; b], ϕ f f f 3 f ψ, a où on a noté ψ :[a ; b] R, ψ a f f L application ψ est de classe C sur [a ; b] et : [a ; b], ψ f f f f f } {{ } Puisque f, f est croissante ; comme de plus f a, on a f, puis ψ, donc ψ est croissante Comme ψa, on déduit ψ, ϕ, ϕ est croissante Enfin, comme ϕa, on conclut ϕ En particulier, ϕb, ce qui est l inégalité voulue b On déduit : b a f f d b a f f d b F f d a b [ ] FF b d F a a Fb Fa Fb Enfin, en appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz à et f : b Fb f b d f d a b b d f d a b a d où le résultat voulu : 66 b a b a a f d, f f d b a a Soient a R +, R a b a f d Appliquons l inégalité de Taylor-Lagrange à f sur [ a ; ] et sur [ ; + a] : f a f + af a M f + a f af a M D où, par l inégalité triangulaire : f + a f a af f + a f af f a f + af f + a f af + f a f +af a On a, pour tout [a ; b] : f f a + f t dt f t dt a a f t dt F a a M, puis, encore par l inégalité triangulaire : a f f + a f a f + a f a af f + a f a + a M M + a M

107 67 et donc : f M a + M a b L application ϕ :];+ [ R, a ϕa M a est de classe C et, pour tout a ] ;+ [ : ϕ a M a + M, d où le tableau des variations de ϕ On déduit : a M M + ϕ a + ϕa Inf a ] ;+ [ ϕa ϕ M M + M a M M et donc, d après a : R, f M M Ainsi, f est bornée sur R et : M M M Soit ] ;+ [ Remarquer d abord, par une mise sous forme canonique : t [ ; π], cos t + cos t + sin t >, donc l application f : t ln cos t + est continue sur [ ; π], d où l eistence de l intégrale envisagée Notons, pour tout n N, u n π n kπ f, qui est une n n k somme de Riemann, de sorte que π π u n n f t dt ln cos t + dt On a, pour tout n N et tout k {,,n }, par factorisation d un trinôme dans C : n cos kπn + n e i kπ n k pn k n k e n k i kπ n + e k i kπ n n n k pn+ e n k e e i kπ n e n kiπ n i pπ n i kπ n + n, et donc : n N, u n π n n ln cos kπn + d où : Finalement : π n k π n ln n + n ln + ln u n π ln n ] ;+ [, +, n π ln cos t + dt π ln 68 D abord, puisque f est continue sur le segment [a ; b], d après un théorème du Cours, f est bornée Notons M Sup f et, pour tout n N, [a ;b] b u n a f n d n b n On a : n N, u n M n Mb a n a Soit ε > fié Puisque f est continue sur le segment [a ; b], d après un théorème du Cours, f atteint sa borne supérieure M Il eiste donc [a ; b] tel que f M Puis, comme f est continue en, il eiste η > tel que : [ η ; + η] [a ; b], f M ε En notant S le segment [ η ; + η] [a ; b] et λ la longueur de S donc λ >, on a alors : n n n N, u n f d S Comme Mb a n M ε n n M ε λ n S n M et il eiste N N tel que : n N, M ε λ n M ε n, Mb a n M + ε M ε λ n M ε 95

108 On a alors : n N, M ε u n M, et on conclut : u n n M 69 a α Soient a,b,n N 3, k N D'après la formule de Leibniz : P k n k k k i X n i bx a n n! i i On a, pour tout i de N : et X n i { si i / n n! si i n { k i a si i / k n bx a n b b n n! si i k n Si k < n, alors, pour tout i de {,,k}, X n i et k i a bx a n, b d'où : P k n P k Si k n, alors : d'où : P k n n! n a P n k b n! k n a b Z k n n! bx a n Z k k n a P n k Z, P n k Z b a X n k n b n n! Z, b β Notons M Sup b a On a, pour tout n de N : [;π] I n π n b a n d n! n! πn+ M n Comme la factorielle l emporte sur l eponentielle, π n+ M n, et on déduit : I n n! n n b α Soit n N Intégrons I n par parties, de façon itérée : [ ] π π I n P n cos + P n cos d [ P n cos π ] π + P n sin d [ ] π P n cos [ + P [ P n sin ] π [ ] π + P n sin ] π [ ] π n cos + P n sin + [ ] π + n+ P n n cos, puisque P n est de degré n, et donc P n+ n Comme P n,p n,,pn n prennent en et a des valeurs entières b cf a α et que cos et sin prennent aussi en et a π b des valeurs entières, on conclut : I n Z β Puisque I n n N est à valeurs dans Z et converge vers, d'après l'eercice 36, il eiste N N tel que : n N, I n En particulier : I N Mais l'application P N sin est continue sur [; π] et à valeurs car a π et N est b pair Il en résulte : [; π], P N sin π En particulier P N, en contradiction avec : π a P N P N π 4N> b N! 96

109 Fonctions usuelles 7 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 97 Énoncés des eercices 99 Du mal à démarrer? Corrigés 3 Thèmes abordés dans les eercices Résolution d équations ou d inéquations à une ou plusieurs inconnues réelles Calculs de certaines sommes et de certains produits Obtention d égalités ou inégalités à une ou plusieurs variables réelles Étude et représentation graphique de fonctions faisant intervenir les fonctions usuelles Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés des fonctions usuelles : ln, ep, ln a, ep a, puissances, fonctions hyperboliques directes ou réciproques, fonctions circulaires directes ou réciproques Étude et représentation graphique de chaque fonction usuelle Comparaison locale des fonctions logarithmes, puissances, eponentielles Formulaire de trigonométrie circulaire, à savoir par coeur Déduction du formulaire de trigonométrie hyperbolique à partir du formulaire de trigonométrie circulaire, en remplaçant cos par ch et sin par ish Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour manipuler des logarithmes de base quelconque Pour manipuler des fonctions hyperboliques directes, ch, sh, th, coth On peut se ramener à des logarithmes népériens par la formule : log a ln ln a Eercice 7 On peut quelquefois essayer de se ramener à des eponentielles mais ce n est pas toujours nécessaire ni utile Eercice 7 97

110 Chapitre 7 Fonctions usuelles Pour manipuler des fonctions hyperboliques réciproques, Argsh, Argch, Argth, Argcoth Essayer de : se ramener à des logarithmes, en utilisant les epressions logarithmiques de ces fonctions composer par des fonctions hyperboliques directes Eercice 73 Se rappeler que, pour tout R : Pour manipuler les fonctions circulaires directes sin, cos Pour résoudre une équation ou un système d équations dans laquelle interviennent des fonctions usuelles Pour l étude et la représentation graphique d une fonction f faisant intervenir des fonctions circulaires réciproques Pour montrer que deu fonctions sont égales sur un intervalle Pour résoudre une équation dans laquelle interviennent des fonctions circulaires réciproques Pour établir une inégalité à une variable réelle cos + sin, sin, cos, sin Eercices 74, 75, 76, 75 Penser à utiliser le formulaire de trigonométrie circulaire Eercices 77, 78, 79 Faire tout passer dans le premier membre et étudier les variations d une fonction, avec souplesse, c est-à-dire en remplaçant éventuellement l équation par une équation équivalente Eercices 7, 7 Essayer un changement de variable qui pourrait permettre de simplifier la fonction circulaire réciproque avec une fonction circulaire directe Eercices 7, 73, 7 Calculer la dérivée de f et essayer, dans certains cas, de reconnaître la dérivée d une fonction plus simple Montrer que les dérivées sont égales si les fonctions sont dérivables sur un intervalle et que les fonctions prennent la même valeur en au moins un point Eercice 73 Essayer de composer par une fonction circulaire directe, de façon à faire disparaître les fonctions circulaires réciproques On essaiera de maintenir des équivalences logiques, ou bien on raisonnera par implication et réciproque lorsque la ou les valeurs obtenues sont assez simples Eercice 74 Voir les méthodes du chapitre 4 La présence d une racine carrée peut inciter à essayer d appliquer l inégalité de Cauchy et Schwarz pour des intégrales Eercices 77, 79 98

111 Énoncés des eercices Énoncés des eercices 7 7 Eemple d équation à une inconnue réelle, faisant intervenir des logarithmes dans diverses bases Résoudre dans ] ;+ [ : log + log 4 + log 8 Eemple de système de deu équations à deu inconnues réelles, faisant intervenir ch et sh { ch + ch y 4 Résoudre dans R : S sh + sh y 73 Eemple d équation à une inconnue réelle, faisant intervenir des fonctions hyperboliques réciproques Résoudre dans R : Argth Argch 74 Eemple de résolution d une équation à une inconnue réelle, faisant intervenir cos et sin Résoudre dans R : cos sin 75 Eemple de résolution d un système de deu d équations à deu inconnues réelles, faisant intervenir des sinus { sin + y Résoudre dans R : sin y y 76 Calcul d une limite faisant intervenir des cosinus en produit [ Déterminer, pour a ; π ] n fié, lim cos ka n n k Dunod La photocopie non autorisée est un délit Calcul d un produit de cosinus n k π Calculer, pour tout n N : A n cos n Un calcul de cos π 5 a On considère l application k f :] π ; π[ {} R, f sin 3 sin sin Montrer que f admet un prolongement continu g à ] π ; π[ et eprimer g sans fraction b En déduire la valeur de cos π 5 99

112 Chapitre 7 Fonctions usuelles 79 Eemple d utilisation des formules de trigonométrie circulaire ] Soient a,b ; π [,,y ] ;+ [ Montrer : a b sin a sin b tan y tan a + b y + y Eemple d équation portant sur des eponentielles Résoudre dans R : Eemple de résolution d un système de deu équations à deu inconnues réelles, faisant intervenir des eponentielles { + e y + e y Résoudre dans R : + y + y 7 Eemple d étude de fonction faisant intervenir Arccos Étude et représentation graphique de la fonction f d une variable réelle donnée par : f Arccos Eemple d étude de fonction faisant intervenir Arcsin sin Étude et représentation graphique de f : Arctan + sin Une égalité entre fonctions composées de fonctions circulaires et hyperboliques, directes et réciproques Montrer : [ ;+ [, Arctansh Arccos ch Eemple de résolution d une équation à une inconnue réelle, faisant intervenir des Arcsin Résoudre dans R : Arcsin + Arcsin π 76 Eemple d inégalité sur des sinus et des cosinus a Soient n N {,}, a,,a n, b,,b n [ ;+ [ Montrer : n n n a i + b i a i + b i i i i b En déduire, pour tout,y,z R 3 : sin sin y sin z + cos cos y cos z 77 Lien entre tan θ et cos θ Soit P R[X] Montrer que les deu propriétés suivantes sont équivalentes : i P est pair ii Q R[X], θ ] π ; π [, Ptan θ Q cos θ

113 Énoncés des eercices 78 Eemple d inégalité sur sin [ a Montrer : ; π ], sin π b En déduire : t [ ; π], sin t π 4 tπ t 79 Eemple d inégalités faisant intervenir des logarithmes y a Montrer, pour tout,y R tel que < < y : ln y ln < + y k nn + 4n + 5 b En déduire, pour tout n N : k ln + < k 7 Eemple d inégalité à une variable réelle, faisant intervenir un logarithme Montrer : ] ;+ [, ln Eemple d équation à une inconnue réelle, faisant intervenir des puissances Résoudre dans R : 7 Une fonction de deu variables réelles qui se simplifie y Simplifier, pour,y R : f,y Arccos + + y 73 Sommes d Arctan a Montrer, pour tout a,b [ ; [ : Arctan a + Arctan b Arctan a + b ab b En déduire la valeur de : S 5 Arctan 8 + Arctan Arctan 57 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Équivalence logique entre des égalités faisant intervenir des intégrales ] Montrer, pour tout,y R π ; π [ : dt y y ch t dt cos t Un eemple de fonction de classe C, autre que la fonction nulle, qui s annule, ainsi que toutes ses dérivées successives, en { e si / Montrer que l'application f : R R définie par : f si est de classe C sur R, et que : n N, f n Eemple de famille libre de trois fonctions, faisant intervenir des eponentielles et sin On note f : R R, f e sin Montrer que la famille f, f, f f est libre

114 Chapitre 7 Fonctions usuelles 77 La fonction sin n est pas une fonction rationnelle Montrer que la restriction de sin à tout intervalle I de R, non vide ni réduit à un point, n est pas une fonction rationnelle, c est-à-dire n est pas le quotient de deu polynômes à coefficients réels Du mal à démarrer? 7 Utiliser la formule : log a ln ln a 7 Se ramener à des eponentielles et faire le changement d inconnues X e, Y e y 73 Composer, par eemple, par th pour se ramener à une équation algébrique Montrer qu on peut réduire l intervalle d étude, et comparer avec cos + sin Élever au carré et utiliser l inégalité classique : t R, sin t t, ou encore : sin t t 76 Remarquer que tous les facteurs sont dans [ ; ] et que si a la deuième moitié d entre eu sont assez loin de sin a 77 Remarquer, pour tout a R πz : cos a sin a et effectuer un télescopage multiplicatif 78 a Développer sin 3 et sin, puis simplifier la fraction obtenue 79 Raisonner par équivalences logiques successives, en utilisant des formules de trigonométrie circulaire On pourra noter, pour la commodité : u a b,v a + b 7 Remarquer une solution particulière En divisant par 5, amener la stricte monotonie d une fonction 7 7 Remarquer que t t + e t est injective, d où y Transformer l écriture de f en utilisant : cos t cos t π 73 Remarquer sin cos de f et transformer l écriture 74 Montrer que les deu membres sont dérivables, ont la même dérivée, et prennent la même valeur en au moins un point 75 Faire passer un terme de l autre côté, situer les deu membres dans certains intervalles, et composer par sin 76 a Récurrence sur n Le cas n résulte de l inégalité de Cauchy et Schwarz 77 Séparer clairement les deu sens de l équivalence logique Pour i ii, eprimer la forme d un polynôme pair et eprimer tan θ à l aide de cos θ 78 a La présence d une racine carrée peut inciter à essayer d appliquer l inégalité de Cauchy et Schwarz b Appliquer a à t et à π t 79 a En posant t y, se ramener à l étude des variations d une fonction b Remarquer : ln + ln k + ln k k 7 La présence d une racine carrée peut inciter à essayer d appliquer l inégalité de Cauchy et Schwarz Si on n y pense pas, on peut étudier les variations d une fonction, après divers changements de variable éventuellement 7 Montrer >, puis poser t pour se ramener à une équation plus simple, pour la résolution de laquelle on pourra étudier les variations d une fonction 7 La présence de + fait penser à une formule de trigonométrie contenant + tan t En notant y t Arctan, u Arctan y, eprimer en y fonction de t et u Séparer ensuite en cas selon la situation de t + u [ a Montrer que les deu membres sont dans ; π [ 73 et ont la même tan b Grouper les termes de façon à appliquer a plusieurs fois 74 Calculer les deu intégrales de l énoncé 75 Calculer, pour R, f et f, et en déduire la forme de f n, par un raisonnement par récurrence Eploiter le théorème limite de la dérivée 76 Écrire une combinaison linéaire nulle, dériver, simplifier, dériver à nouveau 77 Raisonner par l absurde et considérer les degrés

115 Corrigés des eercices 7 On a, pour tout ] ;+ [ : log + log 4 + log 8 ln ln + ln ln 4 + ln ln 8 ln ln + ln ln + ln 3ln ln ln ln ln ln 3ln ln On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule, qui est 8 7 On a, par addition et par soustraction : { e + e y 5 S e + e y 3 Notons X e, Y e y On a : X + Y 5 { X + Y 5 S X + Y 3 X + Y 3XY X + Y 5 XY 5 3 L équation du second degré t 5t + 5 a pour discriminant , donc admet pour solutions ± t 3 5 ± 65, qui sont tous les deu > 6 On obtient X et Y, à l ordre près, puis et y par ln X, y ln Y On conclut que le système proposé a deu solutions eactement, le couple ln 5 65, ln et le couple 6 6 renversé de celui-ci 73 Les termes de l équation sont définis si et seulement si : ] ; [, /, [ ;+ [, ce qui revient à : ] ; [ On a, pour tout ] ; [, puisque th est injective, en notant l équation proposée : th Argth th Argch sh Argch ch Argch, car ] ; [ On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule, On contrôle, pour : et Argth Argth ln + ln + ln + ln +, Argch Argch ln + ln + 3

116 74 Soit R une solution Notons t On a alors : cos t + sin t Comme cos t + sin t, on déduit : d où cos t cos t + sin t sin t, } {{ } } {{ } { cos t cos t, puis sin t sin t t [π] ou t π [π], puis [π] ou π [π] La réciproque est immédiate { cos t {,} sin t {,}, donc On conclut que l ensemble S des solutions de l équation proposée est : S π + πz πz 75 Soit,y une solution On a alors : sin + y + sin y 4 + 4y Mais, d autre part, on sait : t R, sin t t, d où : sin + y + sin y + y + y + y On déduit : 4 + y + y, d où + y, puis y Réciproque évidente On conclut que le système proposé admet une solution et une seule :, 76 Notons, pour tout n N : u n n cos ka n Si a, alors u n n Supposons a / Scindons pour n 4 le produit définissant u n en deu parties : u n v n w n, où : E n v n cos ka n n, w n cos ka n n k ke D une part : v n, car chaque facteur de v n est dans [ ; ] { } n D autre part, pour tout k E,,n : k + n E n + k n a ka n a π cos ka n cos a <, [ puisque la fonction cos est décroissante sur ; π ] On a donc, par produit : w n cos a n E n Comme cos a <, n et que n E n n n +, n on déduit : w n n D où : u n v n w n n n On conclut : lim cos ka n n k 77 On a, pour tout a R : sin a sin a cos a, sin a donc, pour tout a R πz : cos a sin a Soit n N tel que n On a : k {,,n }, D où, par télescopage : Comme on a : sin n A n cos k n n k k π ] ; π[ R πz n k n π n sin k+ π n sin k π n n π n π + π n, k n π n sin π n, et donc : A n n sin k+ π n sin k π n sin n π n n π sin n D autre part : A cos π si n On conclut : n N, A n n si n 4

117 78 a On dispose des formules de trigonométrie : sin sin cos, cos cos, d où : sin 3 sin + sin cos + sin cos sin cos + sin cos sin 4 cos On en déduit, pour tout ] π ; π[ {} : f L application sin 3 sin sin sin 4 cos sin cos sin 4 cos cos g :] π ; π[ R, g 4 cos cos est continue et prolonge f à ] π ; π[, ce qui montre le résultat demandé b Notons a π On a : a ] π ; π[ {} 5 sin 3π et f a 5 sin π 5 sin π, 5 car sin 3π 5 sin π 3π sin π 5 5 D où, d après a : ga f a, donc : 4 cos a cos a On résout cette équation du second degré Le discriminant est : 4 + 6, donc cos a ± 8 Mais cos a, et on conclut : cos π ± 5 4,89 79 Notons u a b,v a + b On a alors a u + v, b v u et cos u cos v / D où : sin a sin b y sin u + v sin v u y y sin u cos v + sin v cos u sin v cos u sin u cos v sin u cos v + sin v cos u y cos u cos v sin v cos u sin u cos v cos u cos v ytan u + tan v tan v tan u + ytan u ytan v tan u tan v y + y, d où le résultat demandé 7 On remarque que est solution : On a, pour tout R : Considérons l application f : R R définie, pour tout R, par : 3 4 f + e ln e ln L application f est dérivable sur R et, pour tout R : f ln 3 e ln } {{ } + ln 4 e ln } {{ } < } {{ } > } {{ } > < < Il en résulte que f est strictement décroissante sur R, donc injective, et donc l équation proposée admet au plus une solution Finalement, l équation proposée admet une solution et une seule, 7 L application f : R R, t t + e t est dérivable sur R et : t R, f t + e t >, donc f est strictement croissante, donc injective D où : + e y + e y y y Puis : + y + y ±3 On conclut que l ensemble des solutions du système proposé est { 3, 3, 3, 3 } 7 Ensemble de définition On a, pour tout R : [ ; ], donc Déf f [ ; ] On remarque que f est paire, et on peut donc restreindre l étude à [ ; ] Transformation de l écriture de f [ Soit [ ; ] Notons t Arccos ; π ] On a : f Arccos Arccos cos t Arccos cos t Comme t [ ; π], on obtient : f Arccos 5

118 3 Tracé de la représentation graphique de f Pour [ ; ], on trace la représentation graphique de Arccos, puis on multiplie les ordonnées par affinité d ae, de direction y y, de rapport, puis on effectue la symétrie par rapport à y y y π y f π y π O π 3π 73 π/ y f y Arccos, [ ; ] Il est clair que Def f R { π } + kπ ; k Z, et que f est π-périodique On peut donc restreindre l'étude à ] π ; 3π [ De plus : Def f, f π f ] On fera donc varier dans π ; π ], puis on effectuera la symétrie par rapport à la droite d'équation π ] Soit π ; π ] On a : π sin cos + sin π + cos π sin 4 π π cos 4 tan 4, π et donc : f Arctan tan 4 Comme π 4 [ ; π [, on déduit : f π 4 3 On a alors, pour tout de et donc : [ π ; 3π [ ], π π ; π ], f f π π 4 π π 4 74 Notons f,g :[;+ [ R les applications définies, pour tout [ ;+ [, par : f Arctan sh, g Arccos ch Par composition, f et g sont continues sur [ ;+ [, dérivables sur ] ;+ [, et, pour tout ] ;+ [ : f ch + sh ch ch ch, g ch donc f g ch, Il eiste donc C R tel que : sh ch ch ch sh ch [ ;+ [, f g + C En remplaçant par, comme f et g Arccos, on déduit C et on conclut : f g 75 On a, pour tout [ ; ] : Arcsin π Arcsin Comme le premier membre de cette équation est dans [ π ; π ] et que le second est dans [ ; π], on a : π Arcsin sin Arcsin On a : [ π ; π ] π sin Arcsin 3 cos Arcsin 3 { {

119 Ainsi, l équation 3 a une solution et une seule, 5, et on a alors, pour cette valeur de : [ π Arcsin ; π ] [ π ; π ], donc est aussi solution de Finalement, l équation proposée a une solution et une seule, qui est 5 76 a Récurrence sur n Pour n, on a, en utilisant l inégalité de Cauchy et Schwarz : a a + b b a a b a b b a b a + b a + b Supposons la propriété vraie pour un n N {,} Soient a,,a n+, b,,b n+ [ ;+ [ On a : n+ i i n+ a i + b i i cas n i n n a i a n+ + i i b i b n+ n n a i + b i a n+ + b n+ i Il est clair que : α,β [ ;+ [, α + β α + β, comme on le voit en développant le carré au second membre D où : n+ n+ n n a i + b i a i + b i a n+ + b n+ hyp récn i i i n n+ a i + b i a n+ + b n+ a i + b i i Ceci établit la propriété voulue, par récurrence sur n b On applique a à n 3, a sin, a sin y, a 3 sin z, b cos, b cos y, b 3 cos z, d où : sin sin y sin z + cos cos y cos z i sin sin y sin z + cos cos y cos z sin + cos sin y + cos y sin z + cos z, et on conclut, en prenant les racines carrées, à l inégalité demandée 77 i ii : On suppose P pair Il eiste n N, a,,a n R tels que P a k X k k ] On a, pour tout θ π ; π [ : Ptan θ a k tan k θ k k a k tan θ k k cos θ k a k cos θ Pour chaque k {,,n}, Q k cos θ k k a k cos θ k cos θ se développe en, où Q k est un polynôme de R[X] On a alors, en notant Q Ptan θ k a k Q k : k a k Q k Q cos θ cos θ ii i : On suppose qu il eiste Q R[X] tel que : ] θ π ; π [, Ptan θ Q cos θ Soit R En notant θ Arctan, on a tan θ et : P P tan θ P tan θ Q Q cos θ cos θ donc P est pair 78 [ a L application f : est de classe C sur Ptan θ P, [ ; π ; π ] R, f sin ] [, donc, pour tout ; π ] : sin f f + f t dt cos t dt On applique l inégalité de Cauchy et Schwarz : sin cos t dt dt cos t dt cos t dt 7

120 8 π [ t π cos t dt ] π sin t + 4 π 4 + cos t [ D autre part, sin, car ; π ] [ On conclut : ; π ], sin π b Soit t [ ; π] Notons t En appliquant a à et à [ π, qui sont dans ; π ], on obtient : et sin π π cos sin π π, d où, par produit : sin cos π π 4, et donc : sin t sin π t π t π tπ t 4 79 a On a, avec les notations de l énoncé, et en notant l inégalité voulue : y < + y ln y ln y < + y ln y En notant t y ] ;+ [, on a : t <t + ln t ln t > t t + Considérons f :[;+ [ R, t f t ln t t t + L application f est dérivable sur [ ;+ [ et, pour tout t [ ;+ [ : f t t dt t + t t + t 4 t + t + 4t t tt + tt + et > si t / Il en résulte que f est strictement croissante sur [ ;+ [ De plus, f, d où : t ] ;+ [, f t >, ce qui montre l inégalité voulue b On a, pour tout n N, en utilisant a appliqué à k, k + à la place de,y : k ln + k k < k k k k + k ln k + ln k k + k + k nn + n + 6 nn + k + k n nn + 4n nn + k 7 Première méthode : utilisation de l inégalité de Cauchy et Schwarz On a, pour tout y [ ;+ [ : +y ln + y t dt +y +y dt t dt ] +y + y [ t y y + y + y D où, pour tout ] ;+ [, en remplaçant y par : ln + + et donc, puisque ln + : ln + + +, Seconde méthode : utilisation des variations d une fonction Par le changement de variable t + >, t, on a, en notant l inégalité demandée : ln t t t t k ln t t t

121 Puis, en posant u t >, t u : ln u u u L application 7 lnu u u f :[;+ [ R, u f u u u lnu est dérivable sur [ ;+ [ et, pour tout u [ ;+ [ : f u + u u u + u u u u Il en résulte que f est croissante sur [ ;+ [ De plus, f On a donc f, d où le résultat demandé Si R est solution, alors eiste, donc De plus, n est pas solution, car : / D autre part, si, alors, puis, donc n est pas solution On peut donc supposer : ] ; [ Notons t > On a : ln ln t ln t ln t ln t + ln Considérons f :]; ] R, t f t t ln t + ln L application f est dérivable sur ] ; ] et : t ] ; ], f t + ln t, d où le tableau des variations de f : t f ' t f t e ln Et : f e e + ln + <, < ln Il en résulte que f s annule en deu points eactement De plus, on remarque : f f 4 4 ln 4 + ln Ainsi : f t t { 4, } ln + ln, Enfin, comme t, on conclut que l ensemble des solutions { de l équation proposée est 6, } 4 On peut contrôler : pour 6, on a : 6 4, 4 6 pour 4, on a : 4, 4 7 Soit,y R Notons t Arctan,u Arctan y On a donc : tan t, y tan u, t,u ] π ; π [ On calcule : y + + y tan t tan u + tan t + tan u tan t tan u tan t tan u cos t cos u cos t cos u cos t cos u sin t sin u cos t + u Il en résulte, puisque cos t + u [ ; ] et que Arccos est définie sur [ ; ], que f est définie sur R De plus : t + u ] π ; π[ Séparons en deu cas : Premier cas : t + u [ ; π[ Alors : f,y Arccos cos t + u t + u Arctan + Arctan y Second cas : t + u ] π ; ] Alors, t + u [ ; π[, donc : f,y Arccos cos t + u Arccos cos t + u t + u Arctan + Arctan y Enfin : On conclut :,y R, t + u Arctan Arctan y Arctan Arctan y y + y f,y sgn + yarctan + Arctan y, 9

122 où sgn : R R est la fonction signe, définie par : si a < a R, sgn a si a si a > 73 a Soit a,b [ ; [ Notons u Arctan a v Arctan b On a alors, par une formule de trigonométrie sur tan : tan u + v tan u + tan v tan u tan v a + b ab [ Comme u,v ; π [, on a u + v 4 [ ; π [ et on déduit : u + v Arctan a + b, d où le résultat voulu ab b On applique a de façon répétée : S Arctan 8 + Arctan Arctan 8 + Arctan 57 Arctan Arctan Arctan + 3 Arctan 7 Arctan + Arctan + Arctan 7 7 Arctan Arctan 7 7 Arctan 3 + Arctan 7 Arctan 3 + Arctan + Arctan 7 3 Arctan Arctan 3 3 Arctan + Arctan 3 Arctan Arctan π 4 74 On a, pour tout R : et, pour tout y y dt ch t ch t ch t dt ush t sh du + u [Arctan u] sh Arctan sh ] π ; π [ : dt y cos t cos t cos t dt v sin t sin y dv v [Argth v] sin y Argth sin y ] Soit,y R π ; π [ On a : y Arctan sh tan y sh tan y sin y tan y cos y + tan y Argth sin y Argth sin y th sin y tan y sin y cos y y Arctan sh sin y sin y sh + sh sh ch th th th On conclut à l équivalence logique demandée th ch sh 75 Montrons, par récurrence, que, pour tout n de N, f est de classe C n sur R et qu'il eiste un polynôme P n de R[X] tel que : f n R, f n P n e 3n La propriété est immédiate pour n, en posant P, puisque e Supposons-la vraie pour un n de N D'après les théorèmes générau, f est de classe C n+ sur ] ;[ et sur ];+ [, et : R, f n+ P n e 3n 3n P n 3n+ e + P n 3n 3 e

123 En notant P n+ le polynôme de R[X] défini par : P n+ X 3 P n 3nX P n + P n, on a : R, f n+ P n+ 3n+ e Comme f n est continue sur R,dérivable en tout point de R, et que f n f n+ par prépondérance de l'eponentielle sur les polynômes, on déduit théorème limite de la dérivée que f n est de classe C sur R et f n+ Finalement, f est de classe C sur R et : n N, f n Remarque : Nous verrons dans le Cours d'analyse de e année que cette application f, bien qu'étant de classe C sur R, n'est pas développable en série entière autour de 76 Soit a,b,c R 3 tel que : af + bf + cf f Comme f est C sur R, par opérations, f, f, f f sont C sur R et on a, par dérivation : On a : af + bf f + c f f f R, f e sin cos On déduit, en simplifiant par f lorsque f / : π R + πz, a + bf + c f f Comme l application figurant dans le premier membre est continue sur R, on déduit, par prolongement par continuité, que ce premier membre est nul sur tous les réels : a + bf + c f f À nouveau par dérivation : bf + c f f f, puis, par le même raisonnement que ci-dessus : b + c f f À nouveau, par dérivation : c f f f, et donc, par le même raisonnement que plus haut : c f f On calcule, pour tout R, f en passant par f : f e sin cos e sin sin e sin cos sin, f e sin cos cos sin + e sin sin cos cos e sin cos 3 3 sin cos cos e sin cos cos 3 sin En particulier : f f f f f e sin cos cos 3 sin /, donc f f / On déduit c, puis, comme bf et que f n est pas la fonction nulle, on déduit b, puis, comme af et que f n est pas la fonction nulle, on déduit a Ceci montre que la famille f, f, f f est libre 77 Raisonnons par l absurde ; supposons qu il eiste une fonction rationnelle f, définie sur I, telle que : I, sin F Il eiste P,Q R[X] RX] {} tel que : F P Q De plus, comme sin n est la fonction nulle sur aucun intervalle de longueur >, on a nécessairement P / Remarquons que la fonction sin est deu fois dérivable sur I et que sin sin On a donc : I, F F On a : F P Q, donc F P Q PQ, d où, sur les degrés: Q deg F deg P Q PQ deg Q deg P + deg Q degq deg P deg Q deg F, puis, de même, deg F deg F, d où deg F deg F On aboutit à une contradiction, puisque F F et que deg F Z Finalement, on conclut que la restriction de la fonction sin à I n est pas une fonction rationnelle Remarque : La même méthode montre que la restriction de la fonction cos à I n est pas une fonction rationnelle Ou bien encore, comme cos sin, si cos était une fonction rationnelle, par dérivation, sin le serait, ce qui contredirait le résultat obtenu plus haut

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125 Comparaison locale des fonctions 8 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 6 Du mal à démarrer? 9 Corrigés Thèmes abordés dans les eercices Calculs de limites, équivalents, développements limités, développements asymptotiques Développement limité, développement asymptotique d une fonction réciproque Limite, équivalent, développement asymptotique d une intégrale dépendant d un paramètre Limite, équivalent, développement asymptotique des solutions d une équation à paramètre Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Propriétés des fonctions ou des suites ayant une limite finie ou une limite infinie, pour les opérations algébriques et l ordre usuel Définition et propriétés de l équivalence, de la négligeabilité Liens entre régularité d une fonction et eistence de développements limités Théorème de Taylor-Young Équivalents et développements limités usuels, à savoir par coeur Notion de développement asymptotique, dans les cas simples usuels, et leur manipulation Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour calculer une limite se présentant sous une forme indéterminée Essayer de : transformer l écriture de la fonction Eercice 8 utiliser les prépondérances classiques des puissances sur les logarithmes, et des eponentielles sur les puissances, c est-à-dire plus précisément les limites suivantes du Cours : 3

126 Chapitre 8 Comparaison locale des fonctions ln α lim, pour α,β R R + β + fié lim β ln α, pour α,β R R + + fié lim + a +, pour a,α ] ;+ [ R fié α lim a α, pour a,α ] ;+ [ R fié Eercice 84 utiliser des équivalents, surtout pour les formes indéterminées,, Eercice 88 a utiliser des développements limités, surtout pour la forme indéterminée Eercices 88 b à g Pour lever une indétermination de la forme Pour former un DL d une fonction Pour former un DLa d une fonction f : f, pour a / Pour calculer un équivalent simple d une fonction en un point Prendre le logarithme, ou encore écrire u v e v ln u Eercices 83 a, b Utiliser les DL usuels et les opérations sur ces DL : troncature, dérivation, primitivation, addition, loi eterne, multiplication, composition, inverse Se ramener, si nécessaire, au voisinage de par transformation de l écriture Eercices 8 a, b, c, 89, 8 b Essayer d anticiper l ordre auquel développer certaines parties de l écriture, afin d arriver au bon ordre pour le développement limité demandé Eercices 87 b, c, d Faire un changement de variable pour se ramener à des DL Si a R, noter t a Si a ±, noter t Le résultat final, DL n a, sera donné à l aide d un polynôme en t, ordonné selon les puissances croissantes de t En aucun cas on ne développera les puissances de a Eercice 8 d Essayer de : utiliser des équivalents si la fonction se présente comme un produit Eercices 85, 88 utiliser des développements limités si la fonction se présente comme une différence Eercice 88 4

127 Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour étudier limite, équivalent, développement limité pour une fonction du type : f : u v Pour obtenir le développement limité à un ordre numériquement fié d une fonction réciproque, ou d une fonction implicite, ou d une fonction satisfaisant une équation différentielle Pour obtenir un développement asymptotique d une fonction Pour obtenir des renseignements locau sur les racines d une équation dépendant d un paramètre n N par eemple Pour trouver la limite d une intégrale I n b a f n d dépendant d un paramètre n N par eemple Pour trouver un équivalent simple d une intégrale I n dépendant d un paramètre n N par eemple Étudier d abord ln f v ln u, puis reprendre l eponentielle pour étudier f e v ln u Eercices 83 a, b, 84, 85, 88 b, d, f, g Montrer d abord que la fonction en question est de classe C,donc admet un développement limité à tout ordre, d après le théorème de Taylor-Young, puis, pour calculer le DL, procéder par coefficients indéterminés Eercices 83, 86 Essayer de se ramener à un développement limité par transformation de l écriture, mise en facteur, changement de variable Eercice 8 Montrer d abord l eistence de ces racines et les situer, à l aide de l étude des variations d une fonction Les renseignements seront obtenus successivement : limite, équivalent simple, développement limité ou développement asymptotique, etc Eercices 87 à 89 Essayer de deviner la limite l de I n, qui est souvent pour tout [a ; b], f n n par une majoration appropriée b a f d, si, f, puis montrer I n l n, Eercices 84 a, 85 b La question sera reprise et approfondie en deuième année, à l aide, en particulier, du théorème de convergence dominée Essayer de transformer l écriture de I n changement de variable, intégration par parties, relation de Chasles, de façon à ramener la recherche d un équivalent à la recherche d une limite d une autre intégrale Eercices 84 b, 85 b 5

128 Chapitre 8 Comparaison locale des fonctions Énoncés des eercices 8 Eemples de calculs de limites sans emploi de développement limité Calculer les limites suivantes : a lim b lim c lim 3 + sh ch d lim + ch sh 8 Eemples de calculs de développements limités Former le développement limité, à l ordre et au voisinage indiqués, de la fonction f définie par la formule suivante variable : a ordre, voisinage de, ln e + e + 3 b ordre, voisinage de, c ordre 6, voisinage de, ch ln ch d ordre, voisinage de, ln + 83 Eemples de calculs de limites sans emploi de développement limité Calculer les limites suivantes : a lim + th e ln ch ln 3 b lim + π Arctan c lim n 4 cos n sin n n 84 Eemple de calcul de limites de fonctions d écritures proches Déterminer les limites, lorsque tend vers + de : f, g, h 85 Eemple de fonctions équivalentes Montrer que les quatre fonctions données par sh sh, sh ch, ch sh, ch ch, sont équivalentes entre elles lorsque tend vers + 86 Eemples d équivalents de sommations Montrer : a k! n! b k n+ c n n kn+ k k n k 3 n n 6

129 Énoncés des eercices 87 Eemples de calculs de développements limités Former le développement limité, à l ordre et au voisinage indiqués, de la fonction f définie par la formule suivante variable : a ordre 3, voisinage de, Arctan + + b ordre, voisinage de, sin sh c ordre 8, voisinage de, cos tan 3 d ordre 7, voisinage de, cos 3 + ch 3 88 Eemples de calculs de limites par emploi de développements limités Calculer les limites suivantes : a lim th sin b lim 3 sin tan c lim tan 3 sh th d lim e lim f lim tan tan g lim π tan π 4 89 Eemple de développement limité d une fonction composée a Former le DL de ϕ : t Arctan + t sin b En déduire le DL 4 de f : Arctan 8 Eemple de recherche de paramètre de façon à obtenir un certain comportement local pour une fonction Déterminer λ R fié pour que la fonction f, donnée par Dunod La photocopie non autorisée est un délit 8 8 f cotan + cotan λ cotan 3, admette une limite finie lorsque tend vers, et déterminer alors cette limite Calcul des dérivées successives en un point, par intervention d un développement limité On note f :]; [ R, f ln Calculer f k pour k {,,4} Eemples de calculs de développements limités Former le développement limité, à l ordre et au voisinage indiqués, de la fonction f définie par la formule suivante variable : k+ a ordre, voisinage de, ep k k b ordre 3, voisinage de, k ln + t ln t dt 7

130 Chapitre 8 Comparaison locale des fonctions 83 Eemple de développement limité d une fonction réciproque On note f : R R, f ln + a Montrer que f est bijective b Former le DL 4 de f 84 Eemple de recherche de limite et d équivalent d une intégrale π 4 On note, pour tout n N : I n tan n d a Calculer I n + I n+ et en déduire lim I n n b Montrer, à l aide d une intégration par parties : π n N 4, cos tan n d ni n En déduire un équivalent simple de I n lorsque l entier n tend vers l infini Eemple de recherche de limite et d équivalent d une intégrale n On note, pour tout n N : I n + d n a Trouver lim n I n b On considère, pour tout n N : J n Montrer : n N, I n J n Calculer J n pour tout n N nn + n + n d 3 En déduire un équivalent simple de I n lorsque l entier n tend vers l infini Eemple de développement limité d une fonction donnée indirectement Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé O ; i, j, on considère l arc paramétré C : t + sin t, y + cos t, t ] π ; π[ a Montrer que C est la courbe représentative d une fonction ϕ :] ; [ R de classe C b Former le DL 4 de ϕ 87 Étude locale des zéros d un polynôme de degré 3 dont les coefficients dépendent d un paramètre On note, pour tout n N : P n X 3 n + X + n + X R[X] a Montrer que, pour tout n N assez grand, P n admet trois zéros, notés a n,b n,c n, tels que : < a n < < b n < 3 < n + < c n 3 8

131 Du mal à démarrer? b Montrer successivement : c n lim +, a n n, c n n, b n, a n n n n n Eemple d étude locale d une fonction réciproque au voisinage de + On note f :] ; [ R, f a Montrer que f est une bijection et que f est de classe C sur R b Former un développement asymptotique de f y à la précision o lorsque y tend vers + Eemple d études asymptotiques de suites définies indirectement On note, pour tout n N : f n : R R, f n e + n a Montrer que, pour tout n N, f n admet un minimum µ n atteint en un point et un seul noté n b Déterminer des équivalents simples de n et µ n lorsque l entier n tend vers l infini y Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 8 Repérer d abord s il s agit d une forme indéterminée Pour lever l indétermination, on transformera l écriture de f : calcul élémentaire, pour a utilisation d une epression conjuguée lorsqu intervient la différence de deu racines carrées, pour b, c epression des fonctions hyperboliques directes, pour d 8 Composer les développements limités usuels, en se ramenant au voisinage de par transformation de l écriture 83 Repérer d abord s il s agit d une forme indéterminée Pour lever l indétermination, on transforme l écriture de f, par composition par le logarithme lorsque l epression proposée contient la variable au deu étages 84 Transformer l écriture des fonctions de façon que la variable n intervienne plus sur plusieurs étages, en utilisant le logarithme et l eponentielle 85 Prendre une notation permettant de grouper les quatre fonctions en une seule Puisque la variable intervient au deu étages, passer par le logarithme 86 Notons, dans chaque eemple, S n la sommation proposée a Former S n n! et isoler le dernier terme b Calculer la sommation géométrique c Amener une somme de Riemann 87 a On ne peut pas composer directement les DL, car + + ne tend pas vers lorsque tend vers Dériver,développer,puis primitiver b, c, d Déterminer d abord l ordre auquel il faudra développer certaines parties de l écriture de f 88 a Réduire au même dénominateur et factoriser tan th b, d, f, g Prendre le logarithme c Chercher un équivalent du numérateur et un équivalent du dénominateur e Se ramener à utiliser le DL de u + u, par factorisation des 4 89 a Former d abord le DL de ϕ, puis primitiver sin b Composer les DL de et de ϕ 9

132 Chapitre 8 Comparaison locale des fonctions 8 Former un développement asymptotique de cotan t à la précision o, appliquer à t, t, t 3, pour déduire un développement asymptotique de f à la précision o 8 Il serait trop long de calculer formellement les f k puis de remplacer par Passer par la notion de développement limité et utiliser le théorème de Taylor-Young 8 a Reconnaître dans la sommation la partie régulière d un DL usuel L eemple est assez artificiel b Former un DL de la dérivée, puis primitiver 83 a Montrer qu on peut appliquer le théorème de la bijection monotone b Montrer que f est de classe C, d où l eistence du DL 4 d après le théorème de Taylor-Young Pour calculer le DL 4 de f, procéder par coefficients indéterminés, en utilisant f f, de préférence à y f f y 84 a Remarquer que les I n sont toutes b Montrer ni n n 85 a Encadrer convenablement I n b Remarquer la présence simultanée des epressions n et n, cette dernière étant presque la dérivée de n par rapport à 86 a Montrer que : t t + sin t est une bijection de ] π ; π[ sur lui-même, puis considérer ϕ y b Montrer que ϕ est de classe C au voisinage de, d où, par le théorème de Taylor-Young, l eistence d un DL de ϕ à tout ordre Procéder par coefficients indéterminés 87 a Étudier les variations de P n Calculer P n, P n, P n 3, P n+ n 3 et étudier leurs signes b Utiliser les relations entre coefficients et racines d une équation, afin d avoir des liens entre a n,b n,c n 88 a Étudier les variations de f b Noter f y et t +, de sorte que y f, + t, t Utiliser l égalité de définition de f 89 a Étudier les variations de f n, en calculant f n et f n b Comparer, pour [ ;+ [, e et, pour déduire ensuite n + n En utilisant la relation f n n, qui définit n, déduire n ln n n Le minimum µ n est donné par µ n f n n

133 Corrigés des eercices 8 On note, dans chaque eemple, f l epression proposée a Il s agit de la forme indéterminée On transforme l écriture de f, en factorisant d abord les dénominateurs : f b Il s agit d une forme indéterminée Utilisons une epression conjuguée pour transformer l écriture de f : f c Il s agit d une forme indéterminée + Utilisons une epression conjuguée, pour transformer l écriture de f : et : 3 +, d où : + f d Il s agit d une forme indéterminée Transformons l écriture de f : f sh ch ch sh ech e ch e sh + e sh Comme e ch et e sh tendent vers + et que e ch et e sh tendent vers, lorsque tend vers +, on a : 8 f a + e ch e sh ech sh e e + f ln e + e + 3 ln [ + +! + + +! ] o ln o ln 6 + ln ln ln o } {{ } ln o o +o b On a, pour tendant vers : o o,

134 puis : f c On a : puis : o } {{ } [ o o o 8 ] 9 + o ln ch ln +! + 4 4! + o 4 } {{ } o o 4, f ch ln ch ch 4 + o 4 } {{ } +! 4 + o 4 + o o 6 d Puisque /, on effectue le changement de variable t, + t On a : f ln + ln + + t ln + t + t ln + ln + t + t } {{ } ln + t + t t + ot ln + t + ot, t 83 a Il s agit d une forme indéterminée On a : ln f e ln ln th Comme th ln th D où : ln f et on conclut : +, on a : sh th + ch e e e e + e e + e + e ln e ln f + b Il s agit d une forme indéterminée On a : ln f ch ln ln π Arctan D une part : ch ln e ln + e ln D autre part, comme π Arctan ln π Arctan π + Arctan π d où : ln f : + e + π Arctan π Arctan π π,, + + π donc ln f, puis : f + π + e π c L epression proposée ressemble à une suite géométrique dont la raison serait, en valeur absolue, proche de 3 4 On a : 4 3 sin n, donc, pour n assez grand : 4 n 3 sin n 8 On a alors, pour n assez grand : 3 4 cos n sin n 3 4 cos n sin n donc : 3 4 cos n sin n n , 7 8 n, n et on conclut que la limite cherchée eiste et est égale à

135 84 On a : f e ln e e ln ln Comme ln, on a e ln, + + donc e ln ln, puis : f + + On a : g e ln e e ln ln Comme ln, on a e ln ln, + + puis e ln ln ln + Par prépondérance classique, ln, + donc e ln ln, puis : g On a : h e ln e e ln ln Comme ln puis e et enfin : h +, on a ln +, + + +, e ln ln, Notons f l une quelconque des quatre epressions proposées Au voisinage de +, on a sh > et ch >, donc f eiste et f > Notons α ±, β ± afin de grouper les quatre fonctions en une seule écriture On a ainsi : ln f e + αe e + βe ln Comme l epression dans le logarithme tend vers +, on factorise, à l intérieur du logarithme, par e : e + βe e ln ln + βe ln + ln + βe } {{ } ln + βe + oe, que l on peut affaiblir en : e + βe ln ln + oe D où : On obtient : ln f e + αe ln + oe e e ln + o f e e e ln +o e e e ln e o + e e e ln Ceci montre que les quatre fonctions de l énoncé sont équivalentes, lorsque tend vers +, à une même fonction indépendante des signes ± notés par α et β, et donc sont équivalentes entre elles 86 a Puisque k! croît très rapidement lorsque k croît, on peut conjecturer que le dernier terme de la somme est essentiel On isole alors les deu derniers termes et on a, par majoration d une somme de réels, pour tout n : S n n! + n! Puis : n kn+ n S n n! k! n n! n! kn+ k! + n! n!, donc : S n n! n! n n Par théorème d encadrement, on déduit que le terme encadré tend vers et finalement : kn+ k! n n! b On calcule la sommation géométrique : S n k n+ n+ n+ n c On a : k n n S n n k k, et on reconnaît une somme n de Riemann Comme l application f :[; ] R, est continue sur le segment [ ; ], d après le théorème sur les sommes de Riemann : n k k n f n et on conclut : S n n 3 n n d [ 3 3 ] 3, 87 a L application f est de classe C sur ] I [ ;+, et, pour tout I : f

136 4 On en déduit le DL de f : f } {{ } [ ] o o o D après le cours, puisque f est de classe C et que f admet un DL, f admet alors un DL 3 obtenu par primitivation : f f o 3 π o 3 b Comme f sin sh sh sin sin sh et que le DL de sin sh au dénominateur commence par 4, il nous faut, pour sin sh au numérateur, un DL 6, afin d obtenir un DL de f On a, par linéarisation : sin cos [! puis : + 4 4! o 6, sin o o 4 } {{ } [ o o ] 6 +o 6 6! + ] o 4 De même, en changeant certains signes : On conclut : sh o f 3 + o c On a : cos e ln cos Comme cos, ln cos Ainsi : on déduit ln cos, cos ln cos cos D autre part : tan 3 Par produit, on a donc : 3 4 f 7 puis D autre part, f est impaire, donc, sous réserve d eistence, la partie régulière du DL 8 de f est la même que celle du DL 7 Enfin, f admet un DL à tout ordre car, par opérations, f est de classe C au voisinage de On conclut : f 7 + o 8 d La fonction cos 3 + ch 3 admet un DL à tout ordre, commençant par un terme en 3 4, car les termes constants s éliminent et les termes en 3 s éliminent aussi On a donc un DL n de la forme : cos 3 + ch 3 α + +λ n + o n, où α à montrer > et λ sont des constantes Puis : f cos 3 + ch 3 α + +λ n + o n α λ α n + o n α 6 + +o n α 6 + +o n 6 On choisit donc n de façon que n 6 7, c est-à-dire n 3

137 On reprend le DL de cos 3 + ch 3, dans lequel, à cause des DL de cos et ch, les termes en 3 6 s éliminent : cos 3 + ch 3! 3 + 4! 3 4 6! o 3 + +! 3 + 4! ! o 3 + o 3, f + o o o o 7 88 Notons, dans chaque eemple, f l epression proposée a On a : f th tan tan th th tan tan th tan + th th tan Et : tan th o o o 3 3 3, tan + th + o + + o tan, th D où : f + o, 3 3 4, et on conclut : f 3 b On a : ln f sin ln [ ln 3 ] 6 + o3 ln 6 + o } {{ } 6 + o 6, donc ln f, et on conclut : f e 6 c On va chercher des équivalents pour les deu termes de la fraction donnant f Dans la recherche d un équivalent de 3 sin tan, par addition de DL, on constate que les termes en s éliminent et que les termes en 3 s éliminent aussi On forme donc des DL 5 : 3 sin tan 3 3 3! + 5 5! + o o 5 5! 5 + o o 5 3 5, 3 sh th ! + 5 5! + o o 5 5! 5 + o 5 5 On conclut : d On a : f ln f ln o ln e ln + e ln 3 ln e 4 ln + ln + o + + ln 3 + o + ln 4 + o ln + ln 3 + o } {{ } ln 3 + o ln 3 + o, donc ln f ln 3, puis, par continuité de l eponen- tielle : 3 f 5

138 6 e On a, en mettant 4 en facteur dans chaque racine carrée : [ f ] [ ] 8 + o [ ] 4 + o 4 + o, et on conclut : f 4 f Puisque π 4 /,faisons le changement de variable t π 4 ln f tan ln tan π tan + t ln tan +, π + t On a : 4 π 4 π 4 + t + tan t ln tan t tan t ln + tan t ln tan t tan t [tan ] [ ] t + otan t tan t + otan t tan t tan t + otan t tan t tan t t tan t t t t, d où : ln f, puis : f e π 4 π 4 g Puisque /, faisons le changement de variable t, + t On a : tan π π tan + πt tan πt t πt πt ln ln 3 3 t t 6 6 t ln 3e t ln 3 + 4e t ln 4 6e t ln 6 ln 3 + t ln 3 + ot t ln 4 + ot ln + 3ln3+ 4ln4 6ln6 } {{ } noté α 6 + t ln 6 + ot t + ot αt + ot D où : ln f tan π ln t πt αt α π, donc : ln f α π, puis : f e α π e α π π 4 7 π 7 π 4 89 a On ne peut pas composer les DL directement, car + t t L application ϕ est de classe C sur R et : t R, ϕ t + + t + t + t On forme le DL de ϕ : ϕ t + t + t } {{ } t + ot t + ot D après le Cours, ϕ admet un DL obtenu en primitivant : ϕt ϕ + t t + ot π 4 + t 4 t + ot sin b D abord, au voisinage de,, donc f eiste L énoncé sous-entend que f admet une limite finie en ; on a : f Arctan π 4 sin On va utiliser le résultat de a, en remplaçant t par Formons le DL 4 de cette epression, en partant d un DL 5 de sin : sin + sin 3! 3 + 5! 5 + o o 4, } {{ } o 4, o 4

139 sin f ϕ π 4 + ϕ π o o 4 + o 4 8 Formons un développement asymptotique de cotan t lorsque t tend vers : cotan t tan t t t + t ot 3 + t 3 + ot t } {{ } t 3 + ot Puis : cotan t t t 3 + ot t t 3 + ot t 3 + o d où, en remplaçant t successivement par,, 3 : f + 3 λ o λ 9 + λ + o 3 On a : 5 4 λ 45 λ 9 4 Si λ / 45 4, alors 5 4 λ 9 de limite finie en Si λ 45 4, alors f 3 λ 3 /, f ±, f n a pas Finalement f admet une limite finie en si et seulement si λ 45 37, et cette limite est alors L application f est de classe C sur ] ; [, donc, d après le théorème de Taylor-Young, f admet un DL à tout ordre, en particulier à l ordre 4, et : 4 f a k k + o 4, où a k f k k! k pour k {,,4} Notons h, + h On a : f ln ln + h h h h + h3 3 h4 4 + oh4 ln + h h + h + h + h 3 + h 4 + oh 4 h + h h3 + 7 h4 + oh 4 On a donc, par unicité du DL 4 de f, par identification avec la formule de Taylor-Young : f!a, f!a, f!a, f 3 3!a 3 5, f 4 4!a a On reconnaît en la somme proposée la partie régulière du DL de ln + On a : D où : ln + k f ep b L application k k+ k k+ k k k + + o ep ln o + ep + + o o o o g :] ; [ R, t gt ln + t ln t est continue sur ] ; [, donc l application ] f : f t dt est de classe C sur I ; [ et : f g g ln + ln ln + ln 7

140 Pour obtenir un DL 3 de f, on forme un DL de f : f + o + o 7 + o + + o + o Par primitivation d un DL, on en déduit que f admet un DL 3 et que : f f o o 3 83 a D après les théorèmes générau, f est dérivable sur R et, pour tout R : f +, + + et f ne s annule que pour De plus : f + et f + Il en résulte, d après le théorème de la bijection monotone, que f est bijective b D après a, on peut former le tableau de variation de f : d où : f f a b + +c d 4 + o 4 a b c d 4 + o 4 a + a + b + b c 3 + a + b + 3c + d 4 + o 4 Par unicité du DL 4 de la fonction, on déduit : a, a + b, b c, a + b + 3c + d On résout ce système linéaire par cascade : a, b a, c b, d a b 3c 9 On conclut au DL 4 de f : f y y + y y y4 + o y y4 f' f + ln + Puisque f est de classe C sur I ] ;[ et que f ne s annule en aucun point de I, f réalise une bijection de I sur J ]ln ;+ [, et la bijection réciproque, notée f encore, est de classe C sur J Il en résulte, d après le théorème de Taylor-Young, que f admet un DL à tout ordre, en particulier à l ordre 4 Il eiste donc a,b,c,d R 4 tel que : f y ay + by + cy 3 + dy 4 + oy 4 84 Remarquer d abord que, pour tout n N, I n eiste car [ l application tan n est continue sur le segment ; π ] 4 a On a, pour tout n N : π 4 I n + I n+ tan n + tan d [ ] tan n+ π 4 n + Comme, pour tout n N, I n, on a : I n I n + I n+ n +, d où, par théorème d encadrement : I n n n + b Soit n N On a, par une intégration par parties pour des fonctions de classe C : En notant f y, on a : y f ln o 4 π 4 cos tan n d [ ] π sin 4 π tan n 4 sin n tan n cos d o 4 n π 4 sin cos tann d ni n 8

141 On a : π ni n 4 cos tan n d π 4 cos tan n d 86 a y C 85 donc ni n n I n donc : a On a : π 4 tan n d I n, n, ni n, et on conclut : n I n n n n + d n I n n b On a, pour tout n N : I n J n n n d + n n n d + n [ n n n+ n + n d n +, n ] n n + n d n n d n n + nn + Soit n N Pour calculer J n, faisons le changement de variable t n, dt n n d : J n n n + d n n t dt + t n [ ] t ln + t ln n 3 On a vu en : I n J n nn +, donc : I n J n o n D autre part, d après : J n ln n D où : I n J n o oj n, donc : n I n J n ln n n dt + t π O π L application :] π ; π[ R, t t t + sin t est dérivable et : t ] π ; π[, t + cos t > Donc réalise une bijection de ] π ; π[ sur ] π ; π[ ] π ; π[ En notant ϕ y, C est la courbe représentative de ϕ De plus, comme est de classe C et que ne s annule en aucun point, d après le Cours, est de classe C Puisque y est de classe C, par composition, on conclut que ϕ est de classe C b Puisque ϕ est de classe C sur ] π ; π[, d après le théorème de Taylor-Young, ϕ admet un DL à tout ordre En particulier, ϕ admet un DL 4 Comme ϕ et que ϕ est paire, ce DL 4 est de la forme : ϕt + a + b 4 + o 4, où a,b R est à calculer En notant y ϕ et t ] π ; π[ tel que y + cos t, on a : t et : ϕ y + cos t + t! + t 4 4! + ot 4 t + t ot 4 D autre part : t + sin t t + t t 3 3! + ot 4 t t ot 4 On déduit : ϕ + a + b 4 + o 4 + a t t 3 + bt 4 + ot at + 3 a + 6b t 4 + ot 4 Par unicité du DL 4 de y, on obtient : 4a, 3 a + 6b 4, 9

142 87 d où : a 8, b 6 On conclut : a 384 ϕ o 4 a Le polynôme P n est dérivable et : P n 3X n + X + n + X 3X n + n + On a > pour n Supposons donc n 3 On forme le tableau des variations de P n : P' n P n On calcule : n P n <, P n n >, P n 3 3n + < pour n Pour n 4, on a n + 3, donc, comme P n décroît sur [ 3 ; n + ] n +, il en résulte : P < 3 3 D après le théorème de la bijection monotone par intervalles, on en déduit que, pour tout n N assez grand, P n admet eactement trois zéros réels, notés a n,b n,c n tels que : < a n < < b n < 3 < n + 3 < c n a n b n 3 n + 3 c n < P n < < < + + b D après les relations entre coefficients et racines, on a : a n + b n + c n n +, a n b n + a n c n + b n c n n +, a n b n c n Puisque c n > n +, on a : c n + 3 n Comme : < a n <, on déduit b n c n c n n a n n 3 On a : c n n + b n a n, et < a n < < b n < 3, donc : c n n + + O, et donc : c n n n 4 On a : b n n + a nb n a n c n c n < b n < 3 et < a n c n b n <, on a : n + a n b n a n c n n n, et donc b n n n c n 5 Enfin : a n b n c n n n Comme a n, n n 88 a L application f est de classe C sur ] ; [ et : ] ; [, De plus : f + + < f + et f + D après le Cours, il en résulte que f est bijective et que f est de classe C sur R b Notons f y pour y R, de sorte que y f D après a : f y y + + Notons t + + +, + t On a : donc t y f t + t + + t y + y, d où t y + Notons u + y o y + t + t, + t + y + o y, puis : y D après, on a u o, donc uy y y + On a t + + u, d où : y 3

143 y f + t + t + + t y + u y + u + y + u + o + y + yu + + o Il en résulte que f n admet un minimum µ n atteint en un point et un seul noté n Ainsi : f n n et µ n f n n b On a : f n n, donc n D après une inégalité classique, pour tout t ] ;+ [, ln + t t, on a + t e t, t e t e t, donc n e n + n 3e n, d où e n n 3, + o + y yu + oyu n ln n 3 n +, + o + y y u + oy u On a donc, par simplification d un y par soustraction : d où : y u y + + o y u + oy u,, u y + y, u y + o On conclut au développement asymptotique suivant : f y + y + y + o y + y 89 a Soit n N L application f n est de classe C sur R et, pour tout R : f n e + n, f n e + > On en déduit les variations de f n : f'' n + f' n f n + n µ n y et donc : n n + On a : n e n + n e n + n e n Comme n n n e n, d où n e n n n Ainsi : e n n + on, d où : +, par prépondérance classique, n ln n + on ln n + ln + o ln n + o, et on conclut : n n ln n On a : µ n f n n e n + n n n et e n + n n, donc e n n + n, d où : µ n n + n + n n n n n + n + n Comme n ln n, on a n + n n, puis n n + n n ln n, et on conclut : µ n n n ln n 3

144

145 Calculs de primitives 9 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 33 Énoncés des eercices 36 Du mal à démarrer? 38 Corrigés 39 Thèmes abordés dans les eercices Calculs de primitives Calculs d intégrales Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Liste des primitives usuelles, à savoir par coeur Linéarité, primitivation par parties, changement de variable dans une primitive Méthodes du cours pour calculer les primitives de certains types de fonctions Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer une primitive du type I fg d, où f a une primitive simple et g a une dérivée simple Pour calculer une primitive du produit d un polynôme par une eponentielle : I P e α d, où P K[X], α K Essayer de primitiver par parties : u v d uv uv d Eercices 9 a, 97 D après le Cours, il eiste Q K[X], de même degré que P, tel que : I Q e α + Cte Chercher Q par coefficients indéterminés On est alors ramené à la résolution d un système linéaire en cascade Eercice 9 b 33

146 Sinon, faire le changement de variable t tan Eercice 98 Chapitre 9 Caluls de primitives Pour calculer une primitive du produit d un polynôme par un cosinus ou un sinus : I P cos β d, J P sin β d, Considérer I + ij Pe iβ d, Calculer cette primitive par coefficients indéterminés complees, puis prendre partie réelle et partie imaginaire Eercice 9 b où P R[X], β R Pour calculer une primitive du produit d un polynôme, d une eponentielle, et d un cosinus ou sinus trois facteurs : I P e α cos β d, J P e α sin β d, Passer par une écriture en nombres complees : I + ij P e α+iβ d, calculer cette primitive par coefficients indéterminés, puis prendre partie réelle et partie imaginaire Eercice 95 où P R[X], α R, β R Pour calculer une primitive d une fraction rationnelle La méthode générale consiste à utiliser une décomposition en éléments simples Eercices 9 a, b On peut quelquefois faire d abord un changement de variable qui simplifiera les calculs Eercice 9 c Si R est un polynôme, linéariser Eercices 93 a, b, 94 Pour calculer une primitive d une fraction rationnelle en cos et sin : I R cos, sin d Sinon, appliquer les règles de Bioche, suivantes On forme ω R cos, sin d Ne pas oublier le d dans ω Si, pour tout, ω ω, on peut faire le changement de variable t cos Eercice 93 c Si, pour tout, ωπ ω, on peut faire le changement de variable t sin Eercice 93 d Si, pour tout, ωπ + ω, on peut faire le changement de variable t tan Eercice 93 f 34

147 Les méthodes à retenir Si R est un polynôme, linéariser Eercices 94 a, b Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer une primitive d une fraction rationnelle en ch et sh : I Rch,sh d Pour calculer une primitive I f d, un même groupement ϕ apparaissant plusieurs fois dans f Pour calculer une primitive d une fonction rationnelle en et en n a + b c + d : I R, n a + b c + d d Pour calculer une primitive d une fonction rationnelle en et en a + b + c : I R, a + b + c d Sinon, appliquer les règles de Bioche, adaptées au fonctions hyperboliques, suivantes Considérer ω R cos, sin d, obtenu en remplaçant ch par cos, et sh par sin dans l énoncé Ne pas oublier le d dans ω Si, pour tout, ω ω, on peut faire le changement de variable t ch Eercice 94 c Si, pour tout, ωπ ω, on peut faire le changement de variable t sh Si, pour tout, ωπ + ω, on peut faire le changement de variable t th Sinon, faire le changement de variable t th, ou plutôt, ce qui est souvent plus commode, faire le changement de variable u e Eercice 99 Essayer le changement de variable t ϕ, surtout si ϕ apparaît en facteur dans f Eercices 96, 97 Lors d un changement de variable dans un calcul de primitive, ne pas oublier de traiter le d Lors d un changement de variable dans un calcul d intégrale, ne pas oublier aussi de modifier les bornes a + b Faire le changement de variable t n, qui permet de se ramener au calcul d une primitive d une fonction rationnelle en c + d t Eercice 9 a Mettre le trinôme sous forme canonique, pour se ramener, sous le radical, par un changement de variable affine, à l une des trois formes : + t, t, t Pour calculer S t, + t dt, faire le changement de variable ϕ Argsh t, qui permet de se ramener au calcul d une primitive d une fonction rationnelle en ch ϕ et sh ϕ Eercices 9 b, 9 35

148 Chapitre 9 Caluls de primitives Pour calculer S t, t dt, faire le changement de variable θ Arcsin t, qui permet de se ramener au calcul d une primitive d une fonction rationnelle en cos θ et sin θ Eercice 9 Pour calculer S t, t dt, faire le changement de variable ϕ Argch εt, où ε sgn t, qui permet de se ramener au calcul d une primitive d une fonction rationnelle en ch ϕ et sh ϕ Pour calculer une intégrale avec bornes particulières Essayer de faire un changement de variable qui échange les bornes Eercice 93 Énoncés des eercices Eemples de calcul de primitives par primitivation par parties, ou par connaissance de la forme du résultat Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité a ln d, b cos d et sin d, c e d Eemples de calculs de primitives de fractions rationnelles Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité a d b d c d Eemples de calculs de primitives ou d intégrales de fonctions rationnelles en sin et cos Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité questions a à e, et l intégrale suivante question f: a} d cos 4 d b cos 3 d e + sin sin sin sin 3 d c sin 3 cos 8 d π sin cos 4 d f 4 + sin + cos sin sin + cos d Eemples de calculs de primitives de fractions rationnelles en sh et ch Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité : a sh 4 d b ch ch 3 d c sh ch 3 d 36

149 Énoncés des eercices 95 Eemple de calcul d une primitive du produit d un polynôme, d une eponentielle et d une fonction circulaire directe Calculer e cos d Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemples de calculs de primitives par changements de variable Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité : 3 + ln e a d b 4 + ln e + d c + d Eemples de calculs de primitives par primitivation par parties et changement de variable Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité : a Arcsin d b 3 Arctan Eemple de calcul d une intégrale de fraction rationnelle en sin et cos π d Calculer l intégrale I 3 + cos Eemple de calcul de primitive de fraction rationnelle en sh et ch Calculer la primitive d, en indiquant l ensemble de validité 3 + ch Eemples de primitives de fonctions faisant intervenir n a + b c + d ou a + b + c Calculer les primitives suivantes variable, en indiquant l ensemble de validité a d b + + d c d Eemples de primitive de fonction faisant intervenir a + b + c d Calculer la primitive en indiquant l ensemble de validité + + d Eemple de calcul de primitive par changements de variable Calculer la primitive + d, en indiquant l ensemble de validité + Eemple de calculs d intégrales avec bornes particulières Calculer : a I a a π 4 b I Arctan d, a [ ;+ [ fié ln + tan d, puis J ln + Arctan d et K d

150 Chapitre 9 Caluls de primitives 94 Eemple de calcul d une intégrale avec bornes particulières π Calculer, pour tout n,p N : I n,p cos n cos p d Du mal à démarrer? a Primitiver par parties pour faire disparaître le logarith- 9 me b Primitiver par parties pour faire disparaître Arctan, puis utiliser le changement de variable t b Grouper les deu intégrales pour faire intervenir e i c On connaît, d après le Cours, la forme du résultat 9 a, b Décomposer en éléments simples c Effectuer le changement de variable t 5, puisque l epression sous l intégrale contient 5 et 4 d 93 a, b Linéariser c Les règles de Bioche indiquent le changement de variable t cos d Les règles de Bioche indiquent le changement de variable t sin e Remarquer que le numérateur est presque la dérivée du dénominateur f Les règles de Bioche indiquent le changement de variable t tan 94 a, b Linéariser c Les règles de Bioche, adaptées au fonctions hyperboliques, indiquent le changement de variable t ch 95 Faire intervenir une eponentielle complee Ensuite, faire une primitivation par parties 96 a Effectuer le changement de variable t ln, puis reconnaître une dérivée b Effectuer le changement de variable t e + c Effectuer le changement de variable t, puis le changement de variable u t a Primitiver par parties pour faire disparaître Arcsin, puis utiliser le changement de variable t 98 Les règles de Bioche indiquent le changement de variable t tan 99 Les règles de Bioche, adaptées au fonctions hyperboliques, indiquent de faire le changement de variable t th, ou bien le changement de variable u e, ce dernier étant en général plus simple à mettre en oeuvre 9 a Effectuer le changement de variable t + b Effectuer le changement de variable t Argsh, de sorte que sh t c Mettre le trinôme sous forme canonique, puis utiliser un changement de variable 9 Commencer par le changement de variable y, puis mettre un trinôme sous forme canonique pour effectuer un deuième changement de variable 9 Utiliser une epression conjuguée pour séparer en deu primitives, puis effectuer deu changements de variable différents, un dans chaque primitive a Effectuer un changement de variable qui échange les bornes : y b Effectuer un changement de variable qui échange les bornes : t π Pour calculer J, faire le changement de 4 variable t tan Pour calculer K, intégrer par parties π Linéariser cos p et calculer les intégrales cos p cos q d, pour p,q N 38

151 Corrigés des eercices 9 a La fonction f : ln a pour ensemble de définition D ] ;+ [ et f est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D On a, par une primitivation par parties, pour des fonctions de classe C : { u u 3 3 v ln v, I ln d ln 3 où C est une constante 3 ln 3 3 d d 3 3 ln C, On peut d ailleurs contrôler ce résultat par dérivation b Les fonctions f : cos et g : sin ont pour ensemble de définition D R et sont continues sur D, donc I f d et J g d sont définis pour tout D On a, en faisant intervenir l eponentielle complee : I + ij e i d D après le Cours, on connaît la forme de cette primitive : il eiste a,b,c C 3 tel que : e i d a + b + c e i On a alors, par dérivation, pour tout D : e i d a + b + c e i d a + b + cie i + a + b e i ia + ib + a + ic + b e i Il suffit donc que : ia, ib + a, ic + b On résout ce système en cascade, et on obtient : a i i, b a, i c b i i Ainsi : e i d i + + i e i + C, où C est une constante complee On peut d ailleurs contrôler ce résultat par dérivation On développe de façon à pouvoir ensuite séparer la partie réelle et la partie imaginaire : I + ij i + + i cos + i sin + C sin + cos sin + i cos + sin + cos + C, et on conclut : { I sin + cos sin + C J cos + sin + cos + C, où C, C sont des constantes réelles On peut d ailleurs contrôler ce résultat par dérivation c La fonction f : e a pour ensemble de définition D R et est continue sur D, donc I f d eiste pour tout D On connaît la forme du résultat : il eiste a,b,c,d R 4 tel que, pour tout D : I a 3 + b + c + de + C, où C est une constante réelle On a, en dérivant, pour tout R : I 3a + b + c e a 3 + b + c + d e a 3 + 3a b + b c + c d e Il suffit donc de trouver a,b,c,d solution du système : a, 3a b, b c, c d 3 On résout ce système en cascade, et on obtient : a, b 3a, c b + 6, d c

152 On conclut : I e + C, où C est une constante réelle On peut d ailleurs contrôler ce résultat par dérivation 9 a La fonction f : a pour ensemble de définition D R {,, } et f est continue + + sur D, donc I f d est défini pour tout D On effectue une décomposition en éléments simples : XX + X + a X + où a,b,c R 3 est à calculer b X + + c X +, On multiplie par X puis on remplace X par, et on obtient : a On multiplie par X + puis on remplace X par, et on obtient : b On multiplie par X + puis on remplace X par, et on obtient : c On a donc : XX + X + X X + + X +, ce que l on peut d ailleurs contrôler par réduction au même dénominateur dans le second membre On a donc : I d + + d + + d + + d ln ln + + ln + +C, où C : D R est une application constante sur chaque intervalle de D, c est-à-dire : C : D R {,, } R, C si < C si < < C C 3 si < < C 4 si <, où C, C, C 3, C 4 R 4 On peut aussi écrire : I ln C b La fonction f : a pour ensemble de + définition D R et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D On effectue une décomposition en éléments simples : X 5 + X 3 X + X X + E + a X + b X + cx + d X +, où E R[X],a,b,c,d R 4 sont à calculer On calcule E comme quotient de la division euclidienne de X 5 + X 3 X + par X X +, et on obtient : E X On multiplie par X puis on remplace X par, et on obtient : a On multiplie par X + puis on remplace X par i, et on obtient : ci + d i5 + i 3 i + i + i, d où c, d On calcule enfin d en remplaçant X par, par eemple : + + b, d où b Ainsi : X 5 + X 3 X + X X + X + X X + X X + On peut d ailleurs contrôler ce résultat par réduction au même dénominateur dans le second membre D où : I d + ln + ln + Arctan + C, où C est une application constante sur chaque intervalle de R, c est-à-dire : C : R R, C si < C C si > C,C R c La fonction f : 4 a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est + défini pour tout R 4

153 On a, par le changement de variable t 5 : 4 d I + dt 5 t + où C est une constante 5 Arctan t + C 5 Arctan 5 + C, 93 a La fonction f : cos 4 a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R Linéarisons : + cos cos 4 cos 4 + cos + cos 4 + cos + + cos cos + cos 4 8 D où : 3 cos 4 d cos + cos 4 d 8 où C est une constante sin + sin 4 + C, 3 b La fonction f : sin sin sin 3 a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R Linéarisons : sin sin sin 3 sin sin sin 3 sin cos cos 4 D où : I sin cos sin cos 4 4 sin 4 sin 6 sin 4 4 sin + 4 sin 4 sin sin + 4 sin 4 sin 6 d 4 8 cos 6 cos 4 + cos 6 + C, 4 où C est une constante c La fonction f : sin 3 a pour ensemble de définition cos 8 π D R + πz et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D En notant ω f d sin 3 d, on a ω ω, cos 8 donc, d après les règles de Bioche, on peut effectuer le changement de variable t cos : I sin sin d cos 8 t 8 + t 6 dt t dt t 8 t 7 7 t C t 7 cos 7 5 cos 5 + C, où C : D R est une application constante sur chaque intervalle de D, c est-à-dire ] C C n si π + nπ ; π [ + nπ, n Z, C n R d La fonction f : cos 3 a pour ensemble de + sin définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R cos 3 En notant ω f d + sin d, on a ωπ ω, donc, d après les règles de Bioche, on peut effectuer le changement de variable t sin : I cos cos d + sin t + t dt Effectuons ensuite le changement de variable u + t, t u : u u + 4u 3 I du du u u + 4u 3u du u + 4ln u + 3 u + C + t + 4ln + t t + C sin + 4ln + sin + où C est une constante 3 + sin + C, 4

154 sin cos e La fonction f : a pour ensemble 4 + sin + cos de définition R, et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R On remarque que le numérateur est l opposé de la dérivée du dénominateur, donc : sin cos d ln 4 + sin + cos + C, 4 + sin + cos où C est une constante f L application f : [ segment ; π 4 π 4 I sin sin + cos est continue sur le ], car le dénominateur est alors >, donc f d eiste Première méthode : utilisation des règles de Bioche : sin En notant ω d, on a ωπ + ω, sin + cos donc, d après les règles de Bioche, on peut effectuer le changement de variable t tan, Arctan t, d dt + t : π 4 I π sin sin + cos d 4 t t + t + dt tan tan + d On effectue une décomposition en éléments simples : X X + X + a X + + bx + c X +, où a,b,c R 3 est à calculer On multiplie par X + puis on remplace X par, et on obtient : a On multiplie par X + puis on remplace X par i, d où : b i + c i i + + i, donc b, c Ainsi : X X + X + X + + X + X +, ce que l on peut contrôler par réduction au même dénominateur dans le second membre D où : I t + + t + dt t + [ ln t + + ln t + + Arctan t ln + ln + π π ] π ln ln 8 Seconde méthode : utilisation d une autre intégrale associée à I : π 4 cos Considérons J sin + cos d On a : π π 4 sin + cos I + J sin + cos d 4 d π 4 et : π 4 cos sin [ ] π J I sin + cos d 4 ln sin + cos ln ln On déduit : I I + J J I π 4 ln π ln 8 94 a La fonction f : sh 4 admet pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R Linéarisons : ch sh 4 sh ch ch + 4 ch ch + 4 d où : I 8 ch 4 ch sh 4 d 8 ch 4 ch + 3 d 8 3 sh 4 4 sh C, où C est une constante 4

155 b La fonction f : ch ch 3 a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R Linéarisons À cet effet, rappelons d abord la formule analogue en trigonométrie circulaire : cos a cos b cos a + b + cos a b On remplace cos par ch et sin par ish : ch a ch b ch a + b + ch a b D où : I ch ch 3 d ch 4 + ch d 8 sh 4 + sh + C, 4 où C est une constante c La fonction f : admet pour ensemble de sh ch 3 définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R En notant ω d, on a ω ω, donc, sin cos 3 d après les règles de Bioche adaptées au fonctions hyperboliques, on peut effectuer le changement de variable t ch : I sh ch 3 d sh sh ch 3 d dt t t 3 On effectue ensuite le changement de variable u t : t dt I t t du 4 u u On effectue une décomposition en éléments simples : X X a X + b X + c X, où a,b,c R 3 est à calculer On multiplie par X puis on remplace X par, et on obtient : a On multiplie par X puis on remplace X par, et on obtient : b On multiplie par X puis on fait tendre X vers l infini, et on obtient : a + c, donc c a Ainsi : X X X X X, ce que l on peut contrôler par réduction au même dénominateur dans le second membre D où : I u u du u ln u + u ln u + C u ln t ln t + + C t t ln ch ln ch + + C ch ln th + ch + C, où C : R R est constante sur chaque intervalle de R, c est-à-dire : C : R R, { C si < C C,C R C si > 95 La fonction f : e cos a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R Une primitivation par parties ne semble pas commode, car f est le produit de trois facteurs Considérons aussi J e sin d et passons par l eponentielle complee : I + ij e cos + i sin d e e i d e +i d On peut maintenant faire une primitivation par parties, pour des applications de classe C ou utiliser la méthode des coefficients indéterminés : { u u v e +i v e+i + i I + ij e+i + i où C est une constante complee e +i + i d e+i + i e+i + i + C, 43

156 44 On a : I + ij i e+i i e +i + C 4 ie cos + i sin + i e cos + i sin + C e cos + sin + i sin cos + e sin + i cos + C En séparant partie réelle et partie imaginaire, on conclut : I e cos + sin e sin + C J e sin cos + e cos + C, où C,C sont des constantes réelles On peut contrôler ces deu résultats par dérivation 96 a La fonction f : 3 + ln a pour ensemble 4 + ln de définition D ] ;+ [ {e 4 }] ; e 4 [ ]e 4 ;+ [ et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D On effectue le changement de variable t ln, e t, 3 + t d e t dt : I 4 + t et dt On remarque que : d e t dt 4 + t 4 + t e t 3 + t 4 + t 4 + t et On a donc : I et 4 + t + C t 4 + ln + C, où C : D R est une application constante sur tout intervalle de D, c est-à-dire : C : D R, C { C si ] ; e 4 [ C si ]e 4 ;+ [ b La fonction f : e a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d e + est défini pour tout R On effectue le changement de variable t e +, e t, ln t, d t t dt : t t I t t dt t dt t 3 3 t + C 3 tt 3 + C 3 e e + + C, où C est une constante c La fonction f : + a pour ensemble de définition D [ ;+ [ et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D Effectuons, pour ] ;+ [, le changement de variable t, t, d t dt : t I 5 + t t dt t t 3 + dt Effectuons ensuite le changement de variable u t 3 +, 3t dt du : I u 4 du 3 9 u C 9 t C C, où C est une constante Ce résultat est encore valable pour, par continuité de I en La fonction f : Arcsin 97 a pour ensemble de 3 définition D [ ; [ et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D Effectuons une primitivation par parties pour faire disparaître Arcsin : u Arcsin v 3 3 u v I Arcsin d } {{ } notée J

157 On a, par le changement de variable y, y, d y dy : J y dy y y y dy ln + y y + C ln + + C, où C est constante On conclut : I Arcsin où C est une constante sur [ ; [ ln + + C, b La fonction f : Arctan a pour ensemble de définition D R et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D Effectuons une primitivation par parties pour faire disparaître Arctan : u Arctan u v + v I Arctan + + d } {{ } notée J On a, par le changement de variable y : d J + dy y + y y dy + y et on conclut : I Arctan ln y ln + y + C y ln ln + + C, + ln ln + + C, où C est une application constante sur chaque intervalle de D, c est-à-dire : { C si < C : R R, C C si > 98 L application f : est continue sur le [ 3 + cos segment ; π ] donc I eiste En notant ω d, on n a pas, pour tout, 3 + cos ω ω, ni ωπ ω, ni ωπ + ω Les règles de Bioche nous indiquent donc de faire le changement de variable t tan, Arctan t, d dt + t : π I d 3 + cos dt + t 3 + t + t dt + t t dt + [ Arctan t ] Arctan dt 4 + t 99 La fonction f : a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est 3 + ch défini pour tout R On a, par le changement de variable t e, ln t, d dt : I 3 + t + t dt t t + 6t + dt 6 + t + dt t t Le trinôme t + 6t + est de discriminant >, donc ce trinôme admet deu zéros réels t 6 3 3, t 3 + Par décomposition en éléments simples dans RX, il eiste a,b R tel que : X + 6X + X t X t a + b X t X t On multiplie par X t puis on remplace X par t, et on obtient : a t t 4 4 De même : b 4 Ainsi : X + 6X + +, 4 X t 4 X t t 45

158 ce que l on peut contrôler par réduction au même dénominateur dans le second membre D où : I dt + dt 4 t t 4 t t 4 ln t t + 4 ln t t +C 4 ln e + 3 e C, où C est une constante a La fonction f : 9 a pour ensemble de + définition D ] ; [ ] ; ] et est continue sur D, donc I f d est défini pour tout D Effectuons le changement de variable t +, + t, + t t, t 4t, d + t + t dt + t I t t 4t + t dt 4t t + t dt t + d + t Argsh t + Arctan t + C t Argsh + + Arctan + + C, où C est constante sur chaque intervalle de D, c est-à-dire : C :] ; [ ] ; [ R, { C si < < C C si < b La fonction f : a pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d + est défini pour tout R Effectuons le changement de variable t Argsh, sh t, d ch t dt : sh t I ch t dt sh t dt ch t ch t t + C + Argsh + C, où C est une constante c La fonction f : admet pour ensemble de définition R et est continue sur R, donc I f d est défini pour tout R On a, par mise sous forme canonique : On effectue donc le changement de variable t +, t, d dt : dt I + t Argsh + + C, où C est une constante dt + t Argsh t + C 9 La fonction f : admet pour ensemble de définition D R et est continue sur D, donc + + I f d est défini pour tout D Effectuons d abord le changement de variable y, y, d dy y : I y dy ε y + y y + où ε sgn y sgn dy + y + y, On met ensuite le trinôme sous forme canonique : y + y + y [ y + + ], 4 3 et on effectue le changement de variable t y + 3 : I ε 3 dt ε t dt + t ε Argsh t + C t ε Argsh y + 3 ε Argsh C, + C y où ε sgn est le signe de, et C : R R est constante sur chaque intervalle de R 46

159 9 La fonction f : + a pour ensemble de définition D [ ; ] et est continue sur [ ; ], + donc I f d est défini pour tout D Utilisons une epression conjuguée, en supposant de plus / : + I + d d + + d } {{ } } {{ } notée J notée K Pour calculer J, on utilise le changement de variable t Arcsin, sin t, d cos t dt : cos t cos t J cos t dt sin t sin t dt sin t dt cotan t t + C t Arcsin + C, où C est constante sur chaque intervalle de [ ; ] {} Pour calculer K, on utilise le changement de variable u Argsh, sh u, d ch u du : ch u ch u K ch u du sh u sh u du sh u + du coth u + u + D u + + Argsh + D, où D est constante sur chaque intervalle de [ ; ] {} On a donc : I Arcsin Arcsin Arcsin + Argsh + E + Argsh + E + Argsh + E, où E est, a priori, constante sur [ ; [ et constante sur ] ; ] Comme la fonction qui est dans le dernier membre sans E est continue sur [ ; ], l égalité est aussi vraie pour, et on conclut : I Arcsin + Argsh + E, où E est une constante 93 a L application f : Arctan est continue sur le [ ] segment a ; a, donc I eiste Effectuons un changement de variable qui échange les bornes, t, t a I a, d dt t : Arctan t t d où, par addition : I a a π [ln]a a π On conclut : I π ln a dt a t t Arctan t dt a Arctan + Arctan a d a ln a ln π ln a a π d b L application f : ln + tan est continue sur [ le segment ; π ], donc I eiste 4 Effectuons un changement de variable qui échange les bornes, t π 4, π 4 t : π I ln + tan π 4 t dt 4 π 4 ln + tan t + tan t π 4 dt π 4 π ln ln + tan t dt ln I 4 ln dt + tan t Ainsi, I π 4 ln, et on conclut : I π ln 8 Par le changement de variable dans I u tan, Arctan u, d du, on obtient : + u du I ln + u + u J, et on conclut : J π ln 8 47

160 3 Par une intégration par parties, pour des fonctions de classe C : K Arctan + d [ Arctan ln + ] π 4 ln J π ln 8 n k ln + d + 94 Linéarisons cos n, en utilisant les nombres complees : n cos n ei + e i n e i k e i n k k n qk n n n n k n e k ni k q n n n n e iq n + q + n + n n e iq n + q q n + e iq n q n n + q q n + n n q n en ayant remarqué que e iq + e iq n cos q, n + q n et en ayant n q n + q regroupé les termes d indices deu à deu opposés On a donc : I n,p n n J n p + n n + q q K p,q, où on a noté, pour tout p,q Z : π π J p cos p d, K p,q cos p cos q d [ ] π sin p On a, si p /, J p, et J π p Et, par linéarisation : K p,q π cos p + q + cos p q d D où : J p+q + J p q si p / q π si p q / K p,q 4 π si p q Si p /, avec la convention donc : n si p > n, on a n + p I n,p n π n n + p 4 π n n+ n + p Et, si p : I n,p n Finalement, on conclut : n,p N, I n,p π n n+ n + p n π n π n+ n n π n! si p n n+ n + p!n p! si p > n Remarque : En particulier, pour p, on retrouve les intégrales de Wallis d eposant pair : n N, π cos n d n! π n n! 48

161 Équations différentielles CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 49 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 55 Corrigés 57 Thèmes abordés dans les eercices Résolution d EDL, avec ou sans second membre Étude des raccords éventuels Résolution d EDL à coefficients constants Résolution de certaines équations fonctionnelles Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Résolution des EDL normalisées, sans second membre formule du cours, puis avec second membre solution évidente ou méthode de variation de la constante Définition d une dérivée, théorème limite de la dérivée, pour l étude de raccords Résolution d EDL à coefficients constants, sans second membre formule du cours, plusieurs cas, puis avec second membre du type eponentielle-polynôme Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre une EDL normalisée, sans second membre, sur un intervalle : E y + ay Par commodité, on utilise les abréviations suivantes : ED pour : équation différentielle EDL pour : équation différentielle linéaire EDL pour : équation différentielle linéaire du premier ordre EDL pour : équation différentielle linéaire du deuième ordre Appliquer la formule du cours donnant la solution générale : y : λ ep a d, λ R Eercice a 49

162 Chapitre Équations différentielles Pour résoudre une EDL normalisée, avec second membre, sur un intervalle : E y + ay b Pour résoudre une EDL non normalisée, avec ou sans second membre : e αy + βy γ Résoudre d abord l EDL sans second membre associée E y + ay Chercher une solution particulière de E par l une des méthodes suivantes : solution évidente principe de superposition des solutions méthode de variation de la constante Enfin, la solution générale de E est la somme d une solution particulière de E et de la solution générale de E Eercices b, 4 Résoudre l équation α, d inconnue Résoudre e sur chaque intervalle sur lequel α ne s annule pas, en la normalisant, puis étudier le raccord des solutions en chaque point en lequel α s annule, par continuité, par dérivabilité Eercices 5, 6, 7 Former l équation caractéristique r + ar + b, d inconnue r K, et calculer son discriminant a 4b Premier cas : si l équation caractéristique admet dans K deu solutions r,r distinctes, c est-à-dire si : K R et > ou K C et /, alors la solution générale de E sur R est : Pour résoudre une EDL à coefficients constants et sans second membre : E y + ay + by y : λ e r + λ e r,λ,λ K Deuième cas : si l équation caractéristique admet dans K une solution double, r a, c est-à-dire si, alors la solution générale de E sur R est : y : λ + µ e a,λ,µ K Troisième cas : si l équation caractéristique n admet pas de solution dans K, c est-à-dire si K R et <, alors la solution générale de E sur R est : y : e a A cos + B sin,a,b R Eercice Pour résoudre une EDL à coefficients constants et avec second membre : E y + ay + by g, où g est une eponentielle-polynôme Résoudre l EDL sans second membre associée E y ay + by Chercher une solution particulière de E du même type que le second membre g de E 5

163 Les méthodes à retenir Plus précisément, si g : e m k P k, où n N, m,, k m n K, P,,P n K[X], chercher une solution particulière de E de la forme y : e m k Q k, où Q,,Q n K[X] sont k inconnus et où Q k est de degré : deg P k si m k n est pas solution de l équation caractéristique deg P k + si m k est solution simple de l équation caractéristique deg P k + si m k est solution double de l équation caractéristique Enfin, la solution générale de E est la somme d une solution particulière de E et de la solution générale de E Eercice 3 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre une ED non linéaire Pour résoudre une ED de Bernoulli y + ay + by k Pour résoudre une EDL avec conditions supplémentaires, par eemple conditions au bords Pour obtenir des renseignements qualitatifs sur les solutions d une ED, sans pouvoir, a priori, résoudre cette ED Pour résoudre une équation fonctionnelle ou une équation intégrale Essayer de se ramener à une ED à variables séparables dont la résolution reviendra à un calcul de primitives ou à une EDL par changement de variable et/ou changement de fonction inconnue, ou par groupement de termes dans l écriture de l ED Eercices 8,,, 3 Faire le changement de variable t ln, et donc faire aussi un changement de fonction inconnue Eercice Résoudre l EDL puis traduire, sur la solution générale de l EDL, les conditions imposées Eercice 3 Utiliser l ED elle-même Souvent, à partir de l ED, on pourra déduire le sens de variations de la solution considérée Eercice 4 Essayer de se ramener à une ED, par dérivation Eercices 9,, On pourra être amené à appliquer l hypothèse, par eemple, à et à, à et à, ou à d autres epressions Eercices, 7, 9 On raisonnera souvent par condition nécessaire, et on n oubliera donc pas de traiter la réciproque 5

164 Chapitre Équations différentielles Pour résoudre certaines questions portant sur des dérivées Pour étudier les solutions polynomiales d une EDL ou une EDL à coefficients constants et avec second membre polynomial y + Ay + By C On peut essayer de faire intervenir une ED En particulier, pour a R, l epression f + af peut être reliée à la dérivée de e a f Eercice 5 On peut essayer de faire intervenir l application linéaire y R[X] y + Ay + By R[X] Eercice 6 Énoncés des eercices 3 Eemples d EDL normalisées Résoudre les ED suivantes, d inconnue y : I R supposée dérivable : a y y, I R b y + y 4e + sin + cos, I R Eemples d EDL à coefficients constants et sans second membre Résoudre les ED suivantes, d inconnue y : R R supposée deu fois dérivable : a y 4y + 3y, b y 6y + 9y, c y + y + y Eemples d EDL à coefficients constants et avec second membre Résoudre les ED suivantes, d inconnue y : R R supposée deu fois dérivable : a y + y e b y 5y + 6y 4 + e c y 4y + 4y 7 sin cos d y 3y + y e + e 4 Eemples d EDL normalisées Résoudre les ED suivantes, d inconnue y : I R supposée dérivable : ] a y y tan + sin, I π ; π [ b y y ln, I ] ;+ [ 5 Eemple d EDL avec étude de raccord Résoudre l ED 3 y + y, d inconnue y : I R, sur tout intervalle ouvert I de R 5

165 Énoncés des eercices 6 7 Eemple d EDL avec étude de raccord Résoudre l ED y + y e, d inconnue y : I R, sur tout intervalle ouvert I de R Eemple d EDL avec étude de raccord Montrer que l ensemble S des applications f :] ;[ R dérivables telles que : ] ;[, f f est un R-espace vectoriel et en donner une base et la dimension 8 Eemple d ED de Bernoulli Trouver toutes les applications y : R R, à valeurs > sur R, dérivables, telles que y 3 et solutions de l ED : y + y y On pourra effectuer le changement de fonction inconnue z y 9 Eemple d équation intégrale se ramenant à une EDL Trouver toutes les applications f : R R continues sur R et telles que : R, f t dt f f, f Eemple d équation fonctionnelle se ramenant à une EDL Trouver toutes les applications f : R R dérivables sur R, telles que : R, f f + f Équation différentielle d Euler a Soient a,b K, I un intervalle de R tel que I R + ou I R, k : I K une application continue Montrer que l équation différentielle E y + ay + by k Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 se ramène, par le changement de variable t ln, à une EDL à coefficients constants b Eemple : Résoudre l ED E y + y + y + +, d inconnue y :];+ [ R, supposée deu fois dérivable Eemple d équation fonctionnelle se ramenant à une EDL à coefficients constants et sans second membre Trouver toutes les applications f : R R dérivables telles que : E R, f t dt f + Eemple de résolution d une EDL4 à coefficients constants, sans second membre, et avec conditions au bord Résoudre : y 4 + y, y, y, y, + d inconnue y :[;+ [ R supposée quatre fois dérivable 53

166 Chapitre Équations différentielles 4 Eemple d étude locale d une solution d une ED non linéaire Soit y :[;+ [ R de classe C, telle que : y e y e 3y + e 5y Déterminer les limites de y et y en + 5 Intervention d une EDL Soient a ] ;+ [, f :[;+ [ R Montrer que f est bornée dérivable telle que f + af soit bornée Étude d une EDL à coefficients constants et à second membre polynôme : intervention de l algèbre linéaire Soit P R[X] Montrer que l ED y + y P, d inconnue y : R R, admet une solution polynôme et une seule Eemple d équation fonctionnelle se ramenant à une EDL d Euler Trouver toutes les applications f :];+ [ R telles que : ] ;+ [, f f 4 Eemple d équation fonctionnelle se ramenant à une EDL4 à coefficients constants Trouver toutes les applications f : R R deu fois dérivables sur R telles que : R, f f + f 9 Eemple d équation intégrale se ramenant à une EDL Trouver toutes les applications f :[;+ [ R continues telles que : [ ;+ [, 3t f t dt Eemple d EDL à coefficients constants et avec second membre non eponentielle-polynôme Résoudre l ED y + y + y e, d inconnue y :];+ [ R Eemple d ED dans laquelle y intervient Montrer que l ED y y, d inconnue y : R R, y, dérivable sur R, n a pas de solution Eemple d équation différentielle non linéaire du second ordre Trouver toutes les applications f : R R deu fois dérivables sur R telles que : ff f 54

167 Du mal à démarrer? Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit Il s agit d EDL normalisées, avec second membre Notons E l ED proposée et E l EDL sans second membre associée D après le Cours, la solution générale de E est la somme d une solution particulière de E et de la solution générale de E Commencer par résoudre E par la formule du Cours : la solution générale de E y + ay est y : λ ep a d, λ K Ensuite, chercher une solution particulière de E : il se peut qu il y ait une solution évidente a si le second membre de E est de la forme eponentielle-polynôme, chercher une solution particulière du même genre b sinon, la méthode de variation de la constante s applique toujours voir eercice 4 Il s agit d EDL à coefficients constants et sans second membre,donc on dispose d une méthode et de formules de résolution dans le Cours, faisant intervenir l équation caractéristique 3 Il s'agit d'edl à coefficients constants, avec second membre du type eponentielle-polynôme Notons E l'ed proposée et E l'edl sans second membre associée Former l'équation caractéristique de E, résoudre cette équation caractéristique, et en déduire la solution générale de E Chercher ensuite une solution particulière de E, du même genre que le second membre, avec une condition sur les degrés La solution générale de E est alors la somme d'une solution particulière de E et de la solution générale de E 4 Il s agit d EDL normalisées, avec second membre Notons E l ED proposée et E l EDL sans second membre associée D après le Cours, la solution générale de E est la somme d une solution particuliére de E et de la solution générale de E Commencer par résoudre E par la formule du Cours : la solution générale de E y + ay est y : λ ep a d, λ K Ensuite, chercher une solution particulière de E : il se peut qu il y ait une solution évidente voir eercice a 5 6 si le second membre de E est de la forme eponentiellepolynôme, chercher une solution particulière du même genre voir eercice b sinon, la méthode de variation de la constante s applique toujours a, b Il s agit d une EDL non normalisée En notant e l ED proposée, considérer l ED E normalisée associée, obtenue en divisant par le coefficient 3 de y dans e Résoudre E sur tout intervalle ouvert de R ne contenant pas un point d annulation,, de ce coefficient, puis étudier les raccords des solutions de e en ces points Il s agit d une EDL non normalisée En notant e l ED proposée, considérer l ED E normalisée associée, obtenue en divisant par le coefficient de y dans e Résoudre E sur tout intervalle ouvert de R ne contenant pas le point d annulation de ce coefficient, puis étudier les raccords des solutions de e en ce point 7 L ED e y y est une EDL non normalisée Résoudre e sur ] ;[ et sur ] ; [, puis étudier le raccord en 8 En notant z, montrer que l ED de l énoncé qui est y non linéaire se ramène à une EDL portant sur z Résoudre celle-ci, puis revenir à y, et traduire les conditions y > et y 3 9 Soit f convenant Montrer, en utilisant les hypothèses de l énoncé, que f est alors de classe C sur R et que f vérifie une EDL Résoudre celle-ci et en déduire f Étudier la réciproque Soit f convenant Montrer qu alors f est deu fois dérivable et que f En déduire la forme de f Étudier la réciproque a Noter ε sgn, t ln ln ε, zt y Montrer que l ED d Euler E portant sur y se ramène à une EDL à coefficients constants portant sur z, en calculant la dérivée première et la dérivée seconde de y, par composition 55

168 Chapitre Équations différentielles Montrer que, si f convient, alors f est de classe C Traduire E par l égalité des dérivées et l égalité des fonctions en un point Résoudre l EDL ainsi apparue 3 Résoudre l EDL4 On admettra que le résultat du cours sur la résolution des EDL à coefficents constants et sans second membre s étend au cas des EDL d ordre supérieur à coefficients constants et sans second membre Traduire ensuite les conditions au bord 4 Montrer y > et déduire que y est croissante Établir que y ne peut pas avoir une limite finie en + Conclure : y +, puis y Noter g f + af et considérer cette égalité comme une EDL d inconnue f Calculer f en fonction de g, en utilisant la méthode de variation de la constante On obtiendra : [ ;+ [, f e a e at gt dt + e a f Eploiter alors le fait que g est bornée pour déduire que f est bornée 6 Montrer que l application T : R[X] R[X], Q Q + Q est linéaire et que, pour tout n N, R n [X] est stable par T Montrer ensuite que, pour tout n N, l endomorphisme T n induit par T sur R n [X] est bijectif, en eaminant sa matrice dans la base canonique de R n [X] Conclure que T est bijectif 7 Soit f convenant Montrer qu alors f est deu fois dérivable et vérifie une EDL d Euler, sans second membre cf eercice Noter t ln, gt f et se ramener à une EDL à coefficients constants portant sur g En déduire la forme de f pour ] ;+ [ Étudier la réciproque 8 Soit f convenant Montrer que f est quatre fois dérivable sur R et satisfait une EDL4 à coefficients constants Résoudre celle-ci et en déduire la forme de f Étudier la réciproque 9 Soit f convenant En utilisant les hypothèses de l énoncé, montrer que f est de classe C sur ] ;+ [ et que f satisfait une EDL Résoudre cette EDL et en déduire f Vérifier la réciproque Il s agit d une EDL à coefficients constants, mais avec second membre qui n est pas de la forme eponentielle-polynôme d Remarquer que e y + y e y + y + y d d et que d e y e y + y Puisqu il s agit d établir un résultat eprimé par une négation, raisonner par l absurde Étudier l ED proposée d abord sur ] ;+ [, et en déduire la forme de y pour ] ;+ [ En particulier, montrer y > En déduire le comportement de y lorsque est près de et < Aboutir à une contradiction Soit f convenant Montrer que f et f ne s annulent en aucun point En déduire que f est trois fois dérivable sur R et que f f f Intégrer et en déduire que f satisfait une EDL à f coefficients constants et sans second membre Résoudre cette EDL et en déduire la forme de f Étudier la réciproque 56

169 Corrigés des eercices a La solution générale de E y y sur R est y : λ ep d λ e, λ R Une solution particulière de E sur R, évidente, est y : On conclut que la solution générale de E sur R est : y : + λ e, λ R b La solution générale de E y + y sur R est y : λ ep d λ e, λ R Vu la forme du second membre, on cherche une solution particulière de E de la forme : y : a e + b cos + c sin, a,b,c R 3 On a alors : y + y a e b sin +c cos +a e +b cos +c sin 3a e +c b sin + c + b cos Ainsi, y est solution de E si : 3a 4, c b, c + b, c est-à-dire : a 4 3, b 5, c 3 5 Une solution particulière de E est donc : y : 4 3 e + 5 cos + 3 sin 5 On conclut que la solution générale de E est : y : 4 3 e + 5 cos sin + λ e, λ R c L équation caractéristique r + r + admet deu solutions complees non réelles r + i 3, r i 3, donc la solution générale de E est : y : e 3 3 A cos + B sin, A,B R 3 a L équation caractéristique r + admet deu solutions complees non réelles, r i, r i, donc la solution générale de E est y : A cos + B sin, A,B R Une solution particulière de E, évidente, est y : e On conclut que la solution générale de E est : y : e + A cos + B sin, A,B R b L équation caractéristique r 5r + 6 admet deu solutions réelles distinctes r, r 3 La solution générale de E est donc : y : λ e + µ e 3, λ,µ R Puisque le second membre de E est de la forme P e m où P RX] et m donc m / et m / 3, une solution particulière de E est de la forme y : Q e, où Q R[X] et deg Q deg P Notons Q ax + bx + c, où a,b,c R 3 est à trouver On a : y a + b + c e, y a + b + c + a + b e a + b + a + c + b e, a L équation caractéristique r 4r + 3 admet deu solutions réelles r et r 3, donc la solution générale de l ED est : y : λ e + µ e 3, λ,µ R b L équation caractéristique r 6r + 9 admet une solution réelle double r 3, donc la solution générale de E est : y : λ + µ e 3, λ,µ R y a + b + a + c + b + a + b + a e a + b + 4a + c + b + a e, d où : y 5y + 6y a + b 6a + c 3b + a e Pour que y soit solution de E, il suffit que : a, b 6a 4, c 3b + a 57

170 On résout ce système en cascade, et on obtient : a, b, c Ainsi, y : + + e est une solution particulière de E On conclut que la solution générale de E est : y : R R, + + e + λ e + µ e 3, λ,µ R On peut contrôler ce résultat par report dans l énoncé c L équation caractéristique r 4r + 4 admet une solution réelle double r La solution générale de E est donc y : λ + µ e,λ,µ R Vu le second membre, on cherche une solution particulière de E sous la forme y : a sin + b cos, a,b R à calculer On a alors : y 4y + 4y 3a + 4b sin + 3b 4a cos { 3a + 4b 7 Pour que y soit solution de E, il suffit que :, 3b 4a { a c est-à-dire b Ainsi, une solution particulière de E est : y : sin + cos On conclut que la solution générale de E est : y : sin + cos + λ + µe, λ,µ R On peut contrôler ce résultat par report dans l énoncé d L équation caractéristique r 3r + admet deu solutions réelles distinctes, r, r La solution générale de E est donc : y : λ e + µ e, λ,µ R Puisque le second membre est e + e, somme d eponentielles-polynômes, que coefficient de dans e est solution simple de l équation caractéristique et que coefficient de dans e n est pas solution de l équation caractéristique, on cherche une solution particulière de E de la forme y : a + b + ce + u + v e, où a,b,c,u,v R 5 est à calculer On a, par un calcul immédiat : y a + b + a + c + b e + u + u v e, y a + b + 4a + c + b + a e + 4u + 4v 4u e, d où, après report : y 3y + y a + a b e Pour que y soit solution de E, il suffit que : + u + v 7u e a, a b u v 7u, c est-à-dire : a, b, u, v 7 44 Ainsi, une solution particulière de E est : y : e On conclut que la solution générale de E est : y : e e e +λ e + µ e, λ,µ R 4 a La solution générale de E y y tan sur ] π ; π [ est : ln cos y : λ ep tan d λ e ln cos λ e λ cos, λ R Pour trouver une solution particulière de E, on applique la méthode de variation de la constante : on cherche une solution particulière de E de la forme y : λ cos, où λ : I R est une fonction inconnue, supposée dérivable On a alors : I, y y tan + sin I, λ cos sin I, λ sin cos I, λ sin Une solution particulière de E est donc : y : λ cos sin cos On conclut que la solution générale de E est : y : sin cos + λ cos, λ R 58

171 b La solution générale de E y y sur ] ;+ [ est : y : λ ep d λ e ln λ, λ R Pour trouver une solution particulière de E, on applique la méthode de variation de la constante : on cherche une solution particulière de E de la forme y : λ, où λ : I R est une fonction inconnue, supposée dérivable On a alors : I, y y ln I, λ 3 ln I, λ ln 3 I, λ ln d 3 ln d 3 On effectue une intégration par parties : 3 ln d ln d ln ln d 3 + ln Cte Ainsi, une solution particulière de E est : y : λ ln + 4, ce que l on peut d ailleurs contrôler On conclut que la solution générale de E est : y : ln λ, λ R 5 On a, pour tout R : 3 + {,, } Résolution de e sur un intervalle ouvert ne contenant ni, ni, ni Soit I un intervalle ouvert de R ne contenant ni, ni, ni, c est-à-dire : I ] ; [ ou I ] ; [ ou I ] ;+ [ Sur cet intervalle : e E y + y 3 L ED E est une EDL normalisée et sans second membre La solution générale de E sur I est donc : + y : λ ep d, λ R 3 On effectue un calcul de primitive, en utilisant une décomposition en éléments simples : X X + X 3 X X X + X + XX a X + + b X + c X, où a,b,c R 3 est à calculer En multipliant par X + puis en remplaçant X par, on obtient : a 3 En multipliant par X puis en remplaçant X par, on obtient : b En multipliant par X puis en remplaçant X par, on obtient : c Ainsi : X X + X 3 X 3 X + X + X, ce que l on peut contrôler par réduction au même dénominateur dans le second membre On a donc, pour tout I : 3 y λ ep + d d + 3 λ ep ln + ln + ln λ + 3 d Raccord en Soit I un intervalle ouvert de R contenant et ne contenant ni ni La solution générale de e sur I { } est : y : I { } R, + 3 λ λ + 3 si si < > λ,λ R On a, pour tout λ,λ R : y et y + On prolonge donc y par continuité en en posant y À cause de l eposant 3 sur + dans l écriture de y, y y on a : et y, donc y est dérivable en ± De plus, e est alors clairement satisfaite en 59

172 Raccord en Soit I un intervalle ouvert de R contenant et ne contenant ni ni La solution générale de e sur I {} est : + 3 λ y : λ + 3 si < si > λ,λ R Il est clair que y admet une limite finie en si et seulement si λ λ, et on a alors y, fonction nulle Raccord en Soit I un intervalle ouvert de R contenant et ne contenant ni ni La solution générale de e sur I {} est : + 3 λ y : λ + 3 si < si > On a, pour tout λ,λ R : y ± λ,λ R On prolonge donc y par continuité en en posant y À cause de l eposant sur dans l écriture de y, y y on a, si λ / ou si λ / : ±, ± donc y n est pas dérivable en Et, si λ λ, alors y, fonction nulle Finalement, on conclut que l ensemble des solutions de l ED proposée sur tout intervalle ouvert I de R est : { y : I R, λ + 3 } ; λ R, si / I et / I {} si I ou I 6 Résolution de l EDL normalisée E associée à e Soit I un intervalle ouvert de R tel que / I La solution générale de l EDL sans second membre associée E y + y sur I est : y : λ ep d λ ep + d λ ep ln + λ e Comme / I, ne change pas de signe sur I, donc, quitte à changer λ en λ, la solution générale de E sur I est : y : λ e, λ R Pour trouver une solution particulière de E, on applique la méthode de variation de la constante : on cherche une solution λ e particulière de E de la forme y :, où λ : I R est inconnue, supposée dérivable On a, pour tout I : y + y e λ e e λ e Il suffit donc de choisir λ : e Une solution particulière de E sur I est donc : y : λe e Ensuite, la solution générale de E sur I est : y : e + λ e, λ R Étude du raccord en Soit I un intervalle ouvert de R tel que I La solution générale de e sur I {} est : y : I {} R, On a : e + λ e y ± e + λ e e + λ e si < si > + λ, donc, si λ / λ,λ R alors De même, si λ /, alors y n a pas de limite finie en + Supposons λ λ On a alors : y e e donc y e e, Ainsi, y peut être prolongée par continuité en en posant y e e si / On a donc : y : I R, si et y est continue en 6

173 On étudie la dérivabilité de y en, en formant, par eemple, un tau d accroissement : y y e e e e Pour trouver la limite si elle eiste de ce tau d accroissement, lorsque, utilisons des développements limités : e e [ + +! + o + + ]! + o 3 + o 3 + o Ceci montre que y est dérivable en et que y 3 3 Enfin, il est alors clair que l ED de l énoncé est satisfaite par y au point Finalement, l ensemble S I des solutions de l ED proposée sur tout intervalle ouvert I de R est : } {y : I R, e + λ e ; λ R si / I { e e } si / y : I R, si I si 7 L ensemble S est l ensemble des solutions, sur ] ;[, de l EDL sans second membre non normalisée e y y, donc, d après le Cours, S est un R-espace vectoriel Notons I ] ;[ ou I ] ; [ L ED e est normalisable sur I, équivalente sur I à: E y y La solution générale de E sur I est : y : λ ep d, λ R On effectue une décomposition en éléments simples : X XX a X + b X, a,b R En multipliant par X puis en remplaçant X par, on obtient : a En multipliant par X puis en remplaçant X par, on obtient : b X Ainsi : XX X X, ce que l on peut contrôler par réduction au même dénominateur dans le second membre D où : y λ ep d λ ep ln ln λ λ Quitte à remplacer λ par λ, la solution générale de E sur I est : y : λ, λ R Étude du raccord en La solution générale de e sur ] ;[ ] ; [ est : y : λ λ si < si > λ,λ R Il est clair que, pour tout λ,λ R, y On prolonge donc y par continuité en en posant y y y On a alors : λ,, donc y est ± dérivable en et y Enfin, l ED e est alors satisfaite par y en Ainsi : { S y :] ;[ R, λ si < si λ,λ R } λ si > En notant : si < f :] ;[ R, si si < f :] ;[ R, si, il est clair que : } S {λ f + λ f ; λ,λ R Vect f, f 6

174 6 Enfin, la famille f, f est libre, car, pour tout λ,λ R : ] ;[, λ λ f + λ f ] ; [, λ { λ λ Finalement, S est un R-espace vectoriel, une base de S est f, f, et dim S 8 Pour y : R R dérivable sur R et à valeurs >, considérons z, qui est dérivable sur R On a : y E y + y y y y + y z + z F z z L ED F est une EDL avec second membre La solution générale de l EDL associée sans second membre z z est z : λ e, λ R Vu le second membre de F, on cherche une solution particulière de F de la forme On a : z : a + b + c, a,b,c R 3 R, z z R, a + b a + b + c a a a a b b a b b c c b c Ainsi, une solution particulière de F est z : + +, ce que l on peut contrôler On en déduit la solution générale de F sur R : Ensuite : z : λ e, λ R y z 3 + λ 3 λ 3 Enfin, l application y : e e est bien à valeurs > sur R On conclut qu il y a une application et une seule convenant, l application : y : R R, e 9 Soit f convenant On a, pour tout R fié, par le changement de variable u t : donc : f f t dt f u du f u du, Comme f est C sur R, l application f u du est C sur R, puis, par produit par, il en résulte que f est C sur R Comme : R, f on déduit alors, en dérivant : R, f + f f Ainsi, f est solution sur R de l ED : y y Par résolution de cette EDL sans second membre, il en résulte qu il eiste λ,µ R tel que : { ] ;[, f λ ] ;+ [, f µ De plus, comme f est continue en, on a, en prenant la limite lorsque tend vers : f { { { f λ λ Ensuite : f µ µ { si On obtient : f : R R, si > Réciproquement, considérons l application f obtenue ci-dessus Il est clair que f est continue sur R et que f et f On a, pour tout R, en séparant en deu cas selon le signe de : dt f si f t dt [ ] t t dt f si > On conclut que f convient Finalement, il y a une application, f et une seule convenant, l application : { si f : R R, si > f,

175 Soit f convenant On a alors, pour tout R, en appliquant l hypothèse à et à : f f + f et f f + f, donc : R, f f D autre part, puisque f est dérivable sur R, par opérations, f : f + f est dérivable sur R, donc f est deu fois dérivable sur R On obtient alors, en dérivant : R, f f f Il eiste donc a,b R tel que : R, f a + b Réciproquement, soit a,b R L application f : R R, a + b est dérivable sur R et, pour tout R : f a a b f + f a + b + a + b On conclut que l ensemble des applications f cherché est : { f : R R, a + ; a R } a On va effectuer le changement de variable t ln dans l ED d Euler E de l énoncé On note donc t ln, J {ln ; I }, ε sgn, zt y On a alors ε e t, z est deu fois dérivable sur J, et, pour tout I : y zt, y dy d dz dt dt d z t, y d y d z t d d d z t d + z t d d d z t dt t dt d + z z t z t D où : E z t z t + a z t + bzt k z t + a z t + bzt kε e t Ainsi, E se ramène à une EDL à coefficients constants b On applique la méthode de a Faisons le changement de variable t ln, e t, zt y On a : y zt, y z t, y z t zt, donc : E y + y + y + + z z + z + z e t + e t + z + z e t + e t + F La solution générale de l EDL sans second membre associée F z + z est A cos t + B sin t, A,B R Puisque,, ne sont pas solutions de l équation caractéristique r +, on cherche une solution particulière de F sous la forme z : t a e t + b e t + c, a,b,c R 3 à calculer On a : t R, z t + zt e t + e t + t R, 4a e t + b e t + a e t + b e t + c e t + e t + t R, 5a e t + b e t + c 5a, b, c a 5, b, c Ainsi, une solution particulière de F est : t 5 et + et + La solution générale de F est donc : z : R R, t 5 et + et + + A cos t + B sin t, A,B R On en déduit la solution générale de E : y :];+ [ R, A cos ln + B sin ln, A,B R 63

176 64 donc f + Si f convient, alors f est dérivable, donc continue, f est de classe C, donc comme f t dt, f est C, donc f est C sur R Soit donc f : R R de classe C On a, par dérivation et prise de valeur en un point : E R, f t dt f + { R, f f f + Par résolution de cette EDL à coefficients constants et sans second membre, f est de la forme : f : R R, A ch + B sh, A,B R on a alors : R, f A sh + B ch, donc : f + B + B On conclut que l ensemble des solutions de E est : { } f : R R, A ch sh ; A R 3 L ED y 4 + y est une EDL4 à coefficients constants et sans second membre L équation caractéristique r 4 + admet quatre solutions complees deu à deu distinctes, qui sont ± ± i La solution générale de y 4 + y est donc : y : e A cos + B sin } {{ } notée u + e C cos + D sin, A,B,C,D R 4 } {{ } notée v On a, pour tout C,D R : v + Si A /, alors unπ e nπ A, qui ne tend pas vers lorsque l entier n tend vers l infini Et, si B /, u nπ + π e nπ+ π B, qui ne tend pas vers lorsque l entier n tend vers l infini Ceci montre que : y A B + Supposons A B, donc : [ ;+ [, y e C cos + D sin On a alors : y C Supposons donc C, d où : [ ;+ [, y D e sin On a alors : [ ;+ [, y D e sin + cos, d où : y D D Finalement, il y a une application et une seule y convenant, l application : 4 y :[;+ [ R, e sin On a : y e y e 3y + e 5y e y e y + e 4y e y e y e 4y >, donc y est strictement croissante sur [ ;+ [ Supposons que y admette une limite finie l en + Alors : y e y e 3y + e 5y + e l } e 3l {{ + e 5l } > noté L Il eiste donc a [ ;+ [ tel que : On a alors : [a ;+ [, y ya + t [a ;+ [, y t L a y t dt ya + a L +, + en contradiction avec y l + Ainsi, y est croissante sur [ ;+ [ et n a pas de limite finie en +, donc : y + + On a alors : y e y e 3y + e 5y + 5 La solution générale de l EDL sans second membre y + ay est λ e a, a R Pour trouver une solution particulière de l EDL avec second membre E y + ay g, on applique la méthode de variation de la constante : on cherche une solution particulière de

177 E de la forme y : λ e a, où λ :[;+ [ R est l inconnue, supposée dérivable On a : [ ;+ [, y + ay g [ ;+ [, λ e a g [ ;+ [, λ e a g [ ;+ [, λ e at gt dt Une solution particulière de E est donc : e a e at gt dt La solution générale de E est donc : e a e at gt dt + λ e a, λ R Comme f est solution de E, il eiste donc λ R tel que : [ ;+ [, f e a e at gt dt + λ e a De plus, en prenant la valeur en, on a : λ f On obtient : [ ;+ [, f e a e at gt dt + e a f On a ainsi eprimé f en fonction de g et de f Par hypothèse, g est bornée ; il eiste donc M R + tel que : t [ ;+ [, gt M On a alors, pour tout [ ;+ [ : f e a f + e at gt dt e a f + e at gt dt e a f +M e at dt [ ] e e a at f +M a e a f +M ea a e a f + M a M e a a Ceci montre que f est bornée f + M a De plus, en utilisant la notation, on a obtenu : f f + a g 6 Considérons l application T : R[X] R[X], Q T Q Q + Q Il est clair que T est linéaire et que : Q R[X], On va en déduire que T est bijective deg T Q deg Q Soit Q R[X] tel que T Q On a : deg Q deg T Q, donc Q Ceci montre que T est injectif Soit P R[X] Si P, alors T P, donc P admet au moins un antécédent par T Supposons P / et notons n deg P On a : Q R n [X], T Q R n [X], donc R n [X] est stable par T On peut donc considérer l endomorphisme T n de R n [X] induit par T Puisque : P R n [X], deg T n P deg P, la matrice de T n dans la base canonique,x,,x n de R n [X] est triangulaire supérieure à termes diagonau tous non nuls Il en résulte que T n est un isomorphisme de R-espaces vectoriels Il eiste donc Q R n [X] tel que : P T n Q T Q Ceci montre que T est surjective Ainsi, T est bijectif, donc, pour tout P R[X], l ED y + y P, d inconnue y : R R, admet une solution polynôme et une seule 7 Soit f convenant Comme f est dérivable, par composition, f est 4 dérivable, donc f est dérivable, et, pour tout ] ;+ [ : f 4 f 4 4 f 4 4 f 4 Ainsi, f est solution de l EDL d Euler : E 4 y + y On effectue le changement de variable t ln, et donc aussi le changement de fonction inconnue, gt f On a alors : f gt, f g t, f g t g t Alors : E t R, 4 g t g t + gt Il s agit maintenant d une EDL à coefficients constants et sans second membre L équation caractéristique 4r 4r + admet une solution double r Il eiste donc λ,µ R tel que : t R, gt λt + µ e t On obtient : ] ;+ [, f gt λ ln + µ 65

178 Réciproquement, soient λ,µ R et f :];+ [ R, λ ln + µ L application f est dérivable sur ] ;+ [ et on a, pour tout ] ;+ [ : f f 4 λ + λ ln + µ λ ln 4 + µ 4 λ + λ ln + λ ln Ainsi : ] ;+ [, f f λ 4 On conclut que l ensemble des applications f demandé est : { f :[;+ [ R, µ ; µ R }, et on peut contrôler que les applications obtenues conviennent 8 Soit f convenant Alors, f est deu fois dérivable et : R, f f f +, puis f est trois fois dérivable et : R, f 3 f f +, donc f est quatre fois dérivable et : R, f 4 f 3 f + 3 En appliquant à à la place de, on a : R, f 3 f f Et on peut eprimer f à l aide de, en fonction de f et f et On obtient ainsi, pour tout R : f 4 3 f f + 3 f f + f + 5 f 4 f + + Ceci montre que f est solution de l ED : E y 4 + 5y + 4y + Il s agit d une EDL4 à coefficients constants et avec second membre polynôme Considérons l EDL4 sans second membre associée E y 4 + 5y + 4y L équation caractéristique r 4 + 5r + 4 admet quatre solutions, dans C, qui sont : i, i, i, i La solution générale de E est donc : y : A cos + B sin + C cos + D sin, A,B,C,D R 4 On cherche une solution particulière de E sous la forme y : a + b + c, a,b,c R 3 à calculer On a alors : y 4 + 5y + 4y 5a + 4a + b + c 4a + 4b + a + 4c Pour que y soit solution de E sur R, il suffit que : c est-à-dire : 4a, 4b, a + 4c, a, b, c a 4 Ainsi, une solution particulière de E est : y : 3 4, 3 4 ce que l on peut contrôler On conclut que qu il eiste A,B,C,D R 4 tel que : R, f A cos + B sin + C cos + D sin Réciproquement, considérons l application f définie par la formule ci-dessus Il est clair que f est deu fois dérivable sur R, et on a, pour tout R : f A sin + B cos C sin + D cos, d où : f + A sin + B cos + C sin + D cos, et on a : f A cos B sin 4C cos 4D sin D où : f f + f + A B cos + B A sin + C D cos + C D sin Il en résulte que f convient si et seulement si : { { A B B A c est-à-dire C + D D C 66

179 Finalement, l ensemble des applications f convenant est : { f : R R, A cos + sin + C cos sin ; A,C R } On a donc : Soit f convenant [ ;+ [, f t dt 3 tft dt Puisque f est continue, les applications f et t tft sont continues, donc les applications t tft dt sont de classe C, d où, en dérivant : [ ;+ [, f t dt et f t dt + f 3f, c est-à-dire : [ ;+ [, f + Il en résulte : ] ;+ [, f f t dt f t dt Comme le second membre de cette dernière égalité est de classe C sur ] ;+ [, on déduit que f est de classe C sur ] ;+ [ On peut alors à nouveau dériver, d où : ] ;+ [, f f + f, c est-à-dire : ] ;+ [, f + f Ainsi, f est solution, sur ] ;+ [, d une EDL avec second membre La solution générale de l EDL sans second membre associée, y + y, est : λ ep d λ, λ R Une solution particulière évidente de l EDL avec second membre est La solution générale de l EDL avec second membre est donc : Ainsi, il eiste λ R tel que : y : + λ, λ R ] ;+ [, f + λ Comme f est continue en, on a nécessairement λ et donc f Réciproquement, pour f fonction constante égale à, on a, pour tout [ ;+ [ : 3t f t dt + 3t dt [ t + 3 ] t + 3, donc f convient Finalement, il y a une application f et une seule convenant, l application constante égale à On a : ] ;+ [, y + y + y e ] ;+ [, e y + y + y d ] ;+ [, e y + y d λ R, ] ;+ [, e y + y ln + λ d λ R, ] ;+ [, d e y ln + λ λ R, µ R, e y ln + λ d ln + λ + µ En notant α λ, β µ, on conclut que l ensemble des solutions de l ED proposée est : { y :];+ [ R ; ln + α + β e ; α,β R } Raisonnons par l absurde : supposons qu il eiste y : R R, dérivable sur R, telle que y y Étude sur ] ;+ [ On a : ] ;+ [, y y + >, donc : ] ;+ [, y >, ce qui montre que y est strictement croissante sur ] ;+ [ Comme de plus y est continue en car y est dérivable sur R, il en résulte que y est strictement croissante sur [ ;+ [ D autre part, en remplaçant par dans l ED, on a : y On déduit : ] ;+ [, y >, et donc, en revenant à l équation, y satisfait, sur ] ;+ [, une EDL avec second membre : ] ;+ [, y y L EDL associée sans second membre y y admet pour solution générale : λ ep d λ ep ln λ, λ R 67

180 Une solution particulière, évidente, de l EDL avec second membre est Il eiste donc λ R tel que : ] ;+ [, y + λ, puis, comme y est continue en : [ ;+ [, y + λ Mais y est dérivable en, donc nécessairement, λ, car n est pas dérivable en et que est dérivable en On a montré : [ ;+ [, y Puisque y est dérivable en, on a donc : y Étude de y au voisinage de à gauche Comme y y y y, il eiste α > y tel que : [ α ; ],, et donc ici < : [ α ; ], y, d où, en, particulier : [ α ; [, y < En revenant à l ED de l énoncé, on a donc : [ α ; [, y + y Il s agit d une EDL avec second membre, normalisable sur [ α ; [ La solution générale de l EDL sans second membre associée, y + y, est : µ ep d µ, µ R Une solution particulière, presqu évidente, de l EDL avec second membre est y : 3 Il eiste donc µ R tel que : [ α ; [, y 3 + µ Si µ /, alors y ±, contradiction Donc µ, puis : [ α ; [, y 3 Comme y est continue en, on a donc : [ α ; ], y 3 Il en résulte, puisque y est dérivable en : y 3, contradiction avec y obtenu plus haut On conclut que l équation différentielle proposée n a pas de solution sur R Soit f convenant On a : R, f f + f, donc : R, f f /, et donc f et f ne s annulent en aucun point On peut donc diviser par f, d où : f + f Comme f est deu fois dérivable, il en résulte, par opérations, que + f est dérivable, f f donc f est dérivable, f est trois fois dérivable On dérive alors les deu membres de l égalité de l énoncé : ff f ff f ff f f f f f f Par primitivation, il eiste donc C R tel que : ln f ln f +C, d où, en notant λ e C : f λ f D autre part, f et f sont continues sur R, puisque f est trois fois dérivable sur R, et ne s annulent en aucun point de l intervalle R D après le théorème des valeurs intermédiaires, chacune des deu applications f et f est donc de signe strict fie Il en résulte qu il eiste µ R µ λ ou µ λ tel que : f µ f De plus, µ f f µ f ff + f >, donc µ > On résout alors l EDL à coefficients constants et sans second membre y µy L équation caractéristique r µ admet deu solutions réelles distinctes r µ, r µ Il eiste donc a,b R tel que : R, f a e µ + b e µ Réciproquement, soit a,b,ω R R R + L application f : a e ω + b e ω est deu fois dérivable sur R et, pour tout R : donc : f a e ω + b e ω, f aω e ω bω e ω, ff f f aω e ω + bω e ω, R, ω a e ω + b e ω aω e ω bω e ω 4abω On conclut que l ensemble des applications f convenant est : { f : R R, f a e ω + b e ω ; a,b,ω R R R +, 4abω } Remarque : On peut aussi eprimer le résultat à l aide de fonctions hyperboliques directes 68

181 Notions sur les fonctions de deu variables réelles CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 69 Énoncés des eercices 7 Du mal à démarrer? 74 Corrigés 76 Thèmes abordés dans les eercices Étude de limite ou de continuité pour une fonction de deu variables réelles Eistence et calcul éventuel des dérivées partielles premières, des dérivées partielles successives Détermination de la classe d une fonction de deu variables réelles Recherche d etrémums locau ou globau pour une fonction réelle de deu variables réelles Résolution d EDP, d EDP Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés de la continuité d une fonction f de deu variables réelles, lien entre continuité de f et continuité des fonctions partielles de f Définition et propriétés algébriques des dérivées partielles premières, des dérivées partielles successives, en particulier le théorème de composition de deu fonctions de classe C Définition de la notion d etrémum local, lien avec la notion de point critique Résolution de l EDP f g, f inconnue, g donnée Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour étudier l eistence et la valeur de la limite en un point, ou pour étudier la continuité en un point, d une fonction de deu variables réelles Essayer d abord d appliquer les théorèmes générau Eercice 3 S il s agit d une forme indéterminée, se ramener d abord, par changement de variables par translation, à une étude en, Former les fonctions partielles f, et f, Si l une de ces deu fonctions partielles n a pas de limite en, ou si elles ont des limites en différentes, alors f n a pas de limite en, 69

182 Chapitre Notions sur les fonctions de deu variables réelles Si f, et f, admettent une même limite finie l en, envisager des fonctions composées du type f,, f,λ, λ R, ou plus compliquées en tenant compte de l eemple proposé Si ces diverses fonctions d une variable ont la même limite l en, on peut essayer d établir que f admet l pour limite en,, en formant f,y l et en essayant de majorer cette epression par une epression plus simple et de limite quand,y tend vers, À cet effet, il peut être intéressant de faire un changement de variables, par eemple en coordonnées polaires Eercice Si f,y est donné par séparation de cas, étudier, au points litigieu, les limites «des différents côtés» Eercice 3 Essayer d abord d appliquer les théorèmes générau, en particulier le théorème de composition des applications de classe C Eercices, 8 Pour étudier l eistence et la valeur des dérivées partielles premières d une fonction de deu variables réelles En un point litigieu c est-à-dire en lequel les théorèmes générau ne s appliquent pas,y, pour étudier l eistence et la valeur de f,y, former la fonction partielle f,y et étudier la dérivabilité de f,y en On a ainsi, sous réserve d eistence : f,y f,y De même, sous réserve d eistence : f y,y f, y Eercice 5 Pour étudier l eistence et la valeur des dérivées partielles secondes ou successives d une fonction de deu variables réelles Essayer d abord d appliquer les théorèmes générau, en particulier le théorème de composition des applications de classe C ou C n, ou C, et calculer successivement les dérivées partielles premières puis secondes Eercices 6, 4 En un point litigieu, étudier successivement les dérivées partielles premières puis les dérivées partielles secondes, comme indiqué plus haut Eercices, 4 7

183 Les méthodes à retenir Pour déterminer les etrémums locau d une application f : U R de classe C sur un ouvert U de R Pour résoudre une équation au dérivées partielles du premier ordre EDP d inconnue f : U R de classe C sur un ouvert convee U de R Commencer par déterminer les points critiques de f, c est-à-dire les points en lesquels les deu dérivées partielles premières de f s annulent simultanément Puis, au voisinage d un point critique a,b de f, effectuer le changement de variables défini par a + h, y b + k, eprimer f,y f a,b en fonction de h et k, et voir si cette epression reste de signe fie au voisinage de, On sait résoudre les deu EDP f g, f y h, Eercice 7 où g,h : U R sont données continues, par primitivation Par eemple, la solution générale de l EDP f g est f :,y g,y d + ϕy, où ϕ est une fonction quelconque de classe C sur un intervalle à préciser On essaiera de se ramener à cette EDP simple par un changement de variables et donc un changement de fonction inconnue donné ou suggéré par l énoncé Eercice On sait résoudre les trois EDP Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre une EDP d inconnue f : U R de classe C sur un ouvert convee U de R Pour étudier une fonction de deu variables réelles f :,y f,y f g, f y h, f y k, où g,h,k : U R sont données continues par deu primitivations successives On essaiera de se ramener à l une de ces EDP par un changement de variables et donc un changement de fonction inconnue donné ou suggéré par l énoncé Eercice Si l on cherche les solutions d une forme particulière d une EDP, on peut essayer de se ramener à une ED Eercice 3 On peut essayer de se ramener à ne faire intervenir qu une seule variable, par eemple : en fiant une des deu variables et en faisant varier l autre Eercice 5 en faisant intervenir une nouvelle variable qui regroupe et y, par eemple + y Eercice 4 7

184 Chapitre Notions sur les fonctions de deu variables réelles Énoncés des eercices Eemples de calculs de dérivées partielles premières par application des théorèmes générau Soit f : R R de classe C sur R On note : g : R R, t,u f t u, 4t + 3u, h : R R, t,u f t + u, e tu, k : R R, t f t, t 3 Calculer les dérivées partielles premières de g,h et la dérivée première de k en fonction de celles de f 3 Eemples d étude de limite pour des fonctions de deu variables réelles Étudier l eistence et la valeur éventuelle d une limite en, pour les fonctions f de deu variables réelles définies par les formules suivantes : a y y b + y + y c sin sh y y d sin sh y sh sin y Étude de continuité pour une fonction de deu variables réelles définie par cas Étudier, en tout point de R, la continuité de : f : R R,,y { y si y 4 si y > 4 5 Un eemple de fonction de deu variables réelles bornée Montrer que l application f :,y y + e est bornée sur +y R Eemples d étude de dérivées partielles premières pour une fonction de deu variables réelles Étudier la continuité de f, l eistence des dérivées partielles premières de f, la continuité des dérivées partielles premières de f, pour les fonctions f de deu variables réelles suivantes : a f : R R,,y y + y si,y /, si,y, b f : R R,,y y { y si y c f :]; [ R,,y y si y > 6 Fonctions harmoniques Une application f : U R, de classe C sur un ouvert U de R, est dite harmonique si et seulement si f, où f f + f est le laplacien de f y 7

185 Énoncés des eercices a Vérifier que f :,y Arctan y est harmonique sur R R b Montrer que, si f est de classe C 3 et harmonique, alors f, f y, y f f y sont harmoniques c Pour,y R, soient z + iy C et f,y ln e ze z ; montrer que f est harmonique sur R 7 Eemples de recherche d etrémums locau de fonctions numériques de deu variables réelles Déterminer les etremums locau des applications f suivantes, pour lesquelles on donne l ensemble de départ et l image f,y de,y : a R, + y + y + + 3y b R, 3 + y 3 c R, + y + 3 Dunod La photocopie non autorisée est un délit 8 9 Étude de négligeabilité pour une fonction de deu variables réelles On note f : R R,,y y + y 3 4 y Déterminer l ensemble E des α R + tels que f,y o,y α, où est, par eemple, la norme,y, sur R définie par,y + y Nullité d un polynôme à deu variables Soit P un polynôme à deu variables réelles et à coefficients réels On suppose qu il eiste un ouvert non vide U de R tel que :,y U, P,y Montrer : P Eemple d équation au dérivées partielles d ordre Trouver toutes les applications f : R R de classe C sur R telles que :,y R, f,y + 3 f,y y, y en utilisant le changement de variables défini par : u, v 3 y Calcul de dérivées partielles secondes croisées en un point particulier Soit f : R R définie par f,y y y si,y /, et f, + y f Comparer y, et f y, Eemple de résolution d une équation au dérivées partielles d ordre Trouver toutes les applications f : R R,t f,t de classe C sur R telles que :,t R, f,t f,t, c t où c > est fié, en utilisant le changement de variables défini par : X + ct, Y ct 73

186 Chapitre Notions sur les fonctions de deu variables réelles 3 Recherche de solutions particulières d une EDP Trouver toutes les applications ϕ : R R de classe C telles que l application y f : U R R R, définie par f,y ϕ, vérifie :,y U, f,y f y,y y Eemple de détermination de la classe eacte d une fonction de deu variables réelles définie par cas Déterminer la classe eacte de l application f : R R définie par : 4 y 4 si,y /,,y R, f,y + y 3 si,y, Eemple de recherche de minimum et de maimum pour une fonction numérique de deu variables réelles Déterminer le minimum et le maimum de : f :[; ] R,,y + y y + + 3y Du mal à démarrer? Il s agit de calculer des dérivées partielles premières de fonctions composées : appliquer les formules du Cours a Eaminer f, et f, b Étudier d abord les fonctions partielles de f en, pour déduire la seule limite possible Majorer convenablement f,y sin sh y c Grouper :, y d Eaminer f, et f, 3 Soit,y R fié Si y, appliquer les théorèmes générau Si y, déterminer les limites de f en,y de part et d autre de y 4 Noter t + y [ ;+ [ et majorer f,y par une epression gt assez simple et ne dépendant que de t, puis étudier les variations de g 5 a Appliquer les théorèmes générau sur l ensemble D R {,} Étudier la continuité de f en,, par eemple par une majoration convenable de f,y 3 Former les fonctions partielles de f en,,pour déduire l eistence et la valeur des dérivées partielles premières de f en, 4 Étudier la continuité de f et f en,, par eemple en y formant f f, et, b Appliquer les théorèmes générau sur R R Pour la continuité, appliquer les théorèmes générau sur R 3 Montrer que, pour tout,y R, f,y eiste et la calculer Pour R fié, former f, et étudier sa dérivabilité en 4 Eprimer f et f et en déduire leur continuité y c Appliquer { les théorèmes } générau sur l ensemble D,y ] ; [ ; y Pour,y ] ; [ tel que y, étudier les limites de f,y lorsque,y tend vers,y avec y, avec y > 3 Soit,y R fié tel que y Former f,y et étudier sa dérivabilité en a Calculer f et f y, puis f et f 6, d où f y 74

187 Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit b Calculer les dérivées partielles premières de f, f y, y f f, puis leurs dérivées partielles secondes non croisées, et enfin leurs laplaciens, et constater que ces laplaciens y sont nuls c Eprimer f,y en fonction de et y, puis calculer les dérivées partielles premières puis secondes non croisées de f, et enfin son laplacien 7 Dans chaque eemple, f est de classe C sur un ouvert Déterminer les points critiques de f En un point critique a,b de f, former f,y f a,b et étudier le signe de cette epression lorsque,y est voisin de a,b Si a,b,, on fera le changement de variable h a, k y b a Montrer que f admet un point critique et un seul, 3, 4 Effectuer le changement de variables 3 h + 3, k y + 4 3, calculer f,y f 3, 4 en 3 fonction de h,k puis chercher le signe de cette différence b Montrer que f admet un point critique et un seul,, Calculer f,y f, et montrer que cette différence peut être > et peut être < au voisinage de, c Montrer que f admet eactement deu points critiques,,, 3, Former f,y f, et étudier le signe de cette différence Effectuer le changement de variables h +, k y, puis 3 étudier le signe de la différence f,y f 3, eprimée en fonction de h et k 8 En notant t,y + y, par eemple, majorer f,y par une epression ne dépendant que de t, puis étudier le comportement de cette epression lorsque t tend vers 9 Un ouvert non vide de R contient au moins un pavé fermé borné du type [a ; b] [c ; d], a < b, c < d Fier [a ; b] et étudier P, qui est un polynôme à une variable Noter f,y gu,v et calculer les dérivées partielles premières de f en fonction de celles de g En déduire que l EDP proposée portant sur l inconnue f et les variables,y est équivalente à une EDP portant sur l inconnue g et les variables u,v Résoudre cette EDP et revenir ensuite à l écriture de f,y f Calculer,y et f y,y pour tout,y R En déduire les epressions des fonctions partielles f, et f,, puis montrer que ces deu fonctions partielles sont y dérivables en, mais ont des dérivées différentes Noter gx,y f,t et calculer les dérivées partielles premières puis secondes non croisées de f en fonction des dérivées partielles premières et secondes de g Montrer que g l EDP de l énoncé équivaut à Résoudre cette EDP, X Y puis revenir à f,t 3 Calculer les dérivées partielles premières et secondes non croisées de f en fonction de ϕ, par composition Se ramener à une équation différentielle linéaire sur ϕ Résoudre cette ED 4 Montrer, en passant par les polaires par eemple, que f,y, et conclure que f est de classe C,y, sur R Calculer les dérivées partielles premières de f en tout point de R, en séparant les cas,y, et,y,, puis montrer, en passant en polaires par eemple, que les dérivées partielles premières de f sont continues en, Conclure que f est de classe C sur R 3 Calculer f en tout point de R {,} et montrer que f n a pas de limite en, Conclure que f n est pas de classe C sur R 5 Le théorème du Cours reliant point critique et etrémum ne s applique pas directement ici, car, d une part, [ ; ] n est pas un ouvert de R, et, d autre part, on cherche des etrémums globau et non des etrémums locau Fier une des deu variables, par eemple fier y [ ; ], étudier les variations de f,y, puis étudier les variations des bornes de f,y, si elles eistent 75

188 Corrigés des eercices Par composition a Ici : Déf f R {,} g On a : f, f t,u t u, y 4t + 3u f t u, 4t + 3u et f, /, g est de classe C sur R et, pour tout t,u R : donc f n a pas de limite en, g t t,u f g u t,u f t + f y y t f f t u, 4t + 3u + t u, 4t + 3u4, y u + f y y u f f t u, 4t + 3u + t u, 4t + 3u3 y Par composition t,u t + u, y e tu f f t + u, e tu, h est de classe C sur R et, pour tout t,u R : h t t,u f h u t,u f t + f y y t f t + u, e tu t + f y t + u, e tu u e tu, u + f y y u f t + u, e tu 4u + f y t + u, e tu t e tu 3 Par composition t t, y t 3 f f t, t 3, k est de classe C sur R et, pour tout t R : k t f t + f y y t h k f t, t 3 t + f y t, t 3 3t En effet, si f admettait une limite l en, alors, par composition, les fonctions f, et f, admettraient l pour limite en, d où l et l, contradiction b Ici : Déf f R {,} On a : f, et f,y, y donc, si f admet une limite en,, cette limite est nécessairement égale à On a, pour tout,y R {,} : y f,y + y,,y, d où, par théorème d encadrement : f,y c Ici : Déf f R On a : car f,y sin sin sh y y,y, sin et sh y y sh y y,y,,,y,,y, d Ici : Déf f {,y R ; sh sin y / } On a, pour / : f, sin sh et sin sh f, /, sh sin donc f n a pas de limite en, 3 Soit,y R fié Si y <, alors, au voisinage de,y, on a y <, donc f,y y, et donc, d après les théorèmes générau, f est continue en,y 76

189 Si y >, alors, au voisinage de,y, on a y >, donc f,y 4, et donc, d après les théorèmes générau, f est continue en,y 3 Supposons y On a : f,y,y,y, y et f,y 4,y,y, y> Il en résulte que f est continue en,y si et seulement si y 4 D autre part, comme y, on a y De plus : 4 {,, } On conclut que l ensemble C des points,y R en lesquels f est continue est : C {,y R ; 4 y y / ou y et {,, } } Notons, pour tout,y R, t + y [ ;+ [ On a, pour tout,y R : y + y t et d où : + e +y + e +y + e t, f,y y + e t t e t +y + e t Considérons g :[;+ [ R, t gt t e t L appli-cation g est dérivable sur [ ;+ [ et, pour tout t [ ;+ [ : g t t e t On forme le tableau de variation de g : t g't + gt e On a donc : t [ ;+ [, gt e, d où :,y R, f,y e, ce qui montre que f est bornée + 5 a D après les théorèmes générau, f est de classe C sur l ouvert D R {,} Continuité : On a, pour tout,y R : f,y y y + y donc f,y f,,,y, et donc f est continue en,,,y, 3 Eistence des dérivées partielles premières : On a : f,, donc f, eiste et est égal à On a : f,, donc f, eiste et est égal à y 4 Continuité des dérivées partielles premières : On a, pour tout,y D : donc f,y y + y y y3 + y + y, f, 4 f, et /, donc f n a pas de limite en,, donc n est pas continue en, De même, pour tout,y D : donc f y,y + y yy + y 4 y + y, f y, 4 et f,y /, y y donc f n a pas de limite en,, donc n est pas continue en y, Finalement : f est continue sur R Les deu dérivées partielles premières de f sont définies sur R Les deu dérivées partielles premières de f sont continues en tout point de R {,} et ne sont pas continues en, b D après les théorèmes générau, f est de classe C sur l ouvert R R Continuité : D après les théorèmes générau, f est continue sur R 77

190 78 3 Eistence des dérivées partielles premières : Pour tout,y R, f,y eiste et est égal à y Pour tout,y R R, f,y eiste et est égal à ε, y où ε est le signe de y Pour tout R, comme f, : y y n est pas dérivable en, f, n eiste pas y Comme f,, pour tout y R, f,y eiste et est y égal à 4 Continuité des dérivées partielles premières : f D après les théorèmes générau, : R R,,y y est continue sur R L application f y : R R {,} R, si y <,y si y > est continue sur R R si,y, par les théorèmes générau, et continue en,, car et,y, Finalement : f est continue sur R,y, f est définie sur R, Déf f R R {,} y f et f sont continues sur leurs ensembles de définition y c D après les théorèmes générau, f est de classe C sur l ouvert {,y ] ; [ ; / y } Continuité : Soit,y ] ; [ tel que y On a : f,y y y,,y,y, y f,y y y,,y,y, y> donc f est continue en,y 3 Eistence des dérivées partielles premières : Soit,y ] ; [ tel que y { L application f,y : si y y si < y est dérivable à droite et à gauche en et : f,y d, f,y g y Puisque ces deu dérivées à droite et à gauche sont différentes, f,y n est pas dérivable en, donc f,y n eiste pas De même, f y,y n eiste pas Finalement : f est continue sur ] ; [ Les deu dérivées partielles premières de f sont définies sur {,y ] ; [ ; / y } Les deu dérivées partielles premières de f sont continues sur leur ensemble de définition 6 a D abord, f est de classe C sur l ouvert U R R Pour tout,y de U, on a : f,y y + y puis f y,y + y, f,y y + y, f y,y y + y d où f, f est harmonique sur U f b D abord,, f y, g y f f y sont de classe C On obtient, en utilisant le théorème de Schwarz : f 3 f + 3 f 3 y f, donc f f est harmonique, et de même pour y g y f f y f y g y f, + y f y f y puis g y 3 f f 3 y g y f y + y d où : g y f et donc g est harmonique c On a : 3 f y, 3 f y 3 f y 3 f, y ze z e + iycos y i sin y e cos y + y sin y + iy cos y sin y, d où : f,y ln e ze z e cos y + y sin y

191 Il est clair que f est de classe C sur l ouvert R On calcule, pour tout,y de R : puis f,y e cos y y sin y + cos y f y,y e sin y + y cos y + sin y f,y e cos y + y sin y cos y f y,y e cos y y sin y + cos y d où f, f est harmonique sur l ouvert R 7 Dans chaque eemple, f est de classe C sur l ouvert R { f,y + y + a Pour tout,y de R, f y,y + y + 3, donc f admet un point critique et un seul, A 3, 4 3 Plaçons-nous au voisinage de A et notons h + 3, k y : on a : f,y f 3, 4 h + hk + k 3 car de discriminant < Finalement, f admet un etremum local et un seul, en 3, 4 :c est un minimum local et 3 f 3, b Pour tout,y de R, { f,y 3 f y,y 3y, donc f admet un point critique et un seul, On a, pour tout de R : f, 3 Pour tout ε >, on a : f ε, > et f ε, < Ceci montre : ε >, {,y B, : ε, f,y > f,,y B, : ε, f,y < f,, donc f n admet pas d etremum local en, Finalement, f n admet aucun etremum local, c Pour tout,y de R, { f,y + 3 f y,y y, donc f admet deu points critiques eactement : O, et A 3, c On a, pour tout,y de [ :+ [ R : f,y f, + y y, donc f admet en, un minimum local c Au voisinage de A, notons h + 3, k y ; on a : f,y f 3, k h + h 3 En particulier, pour tout h de R : f 3 + h,h f 3, h 3, qui n est pas de signe fie au voisinage de Donc f n est pas d etremum local en A Finalement, f admet un etremum local et un seul, en, ; c est un minimum local, et f, 8 Notons, pour tout,y R : t,y + y On a, pour tout,y R : f,y y + y 3 4 y y + y y t 3 + t 3 + t 5 t 3 + t 5 Soit α R + Si α < 3, alors t 3 + t 5 o tα, donc t f,y o,y α, d où α E,y, Si α 3, on a : f, α 3 5 α /, donc f,y n est pas négligeable devant,y α, et donc α / E On conclut : E ] ;3[ 9 Puisque U est un ouvert non vide de R, il eiste a,b,c,d R 4 tel que : a < b, c < d, [a ; b] [c ; d] U 79

192 8 D autre part, puisque P est un polynôme à deu variables réelles et à coefficients réels, il eiste N N, P,,P N R[X] tels N que P P k XY k, en ordonnant P suivant les puissances de Y k Soit [a ; b] fié On a : y [c ; d], Ainsi, le polynôme N P k y k P,y k k N P k Y k de R[Y] s annule en une infinité de points les points de [c ; d], donc est le polynôme nul Ceci montre : [a ; b], k {,,N}, P k, ou encore, en permutant les quantificateurs universels : k {,,N}, [a ; b], P k Soit k {,,N} Le polynôme P k de R[X] s annule en une infinité de points les points de [a ; b], donc P k N N Alors : PX,Y P k XY k Y k k k On a, pour tout,y R et tout u,v R : { { u u v 3 y y 3u v Considérons l application g : R R définie par : u,v R, gu,v f u, 3u v L application g est de classe C sur R et :,y R, f,y g,3 y On a, pour tout,y R,d après le cours : D où : f,y g u g,3 y + 3,3 y v f g,y,3 y y v,y R, f,y + 3 f,y y y u,v R, g 3u v u,v u u u,v R, g u u,v 3 4 u 4 uv La solution générale de cette dernière équation au dérivées partielles est obtenue en primitivant par rapport à u : g : u,v 4 u3 8 u v + Cv, où C : R R est n importe quelle application de classe C sur R Finalement, les applications cherchées sont les f : R R définies par :,y R, f,y y + C3 y y + C3 y, où C : R R est n importe quelle application de classe C sur R D après les théorèmes générau, f est de classe C sur l ouvert R {,} et, pour tout,y de R {,} : f,y 4 y + 4 y 3 y 5, + y f y,y y y 4 + y D autre part, f, : R R, est dérivable en et f,, donc f, eiste et est égal à De même, f, eiste et est égal à y Ainsi, f, : R R y f,d où,y y f y, y f, f De même,, : R R y f,d où y, y f f y,, y En conclusion : f, / y f y, Remarque : D après le théorème de Schwarz, par contreapposition, il en résulte que f n est pas de classe C sur R L application ψ : R R est de,t + ct, ct classe C sur R, est bijective, et sa réciproque : ψ ϕ : R R X,Y X + Y, X Y c est de classe C sur R

193 Notons g f ϕ D après le cours, g est de classe C sur R, et même de classe C sur R Comme f g ψ, on a, avec des notations abusives : f g X X + g Y Y g X + g Y puis : f t f X f t g X + g Y X t Y t c g X c g Y g X + g + g Y Y X + g Y g X + g X Y + g Y c c g X X c g Y c Y c g X g c X Y + g c Y c g X c g Y Ainsi, f est solution de l équation au dérivées partielles proposée si et seulement si g est solution de g X Y sur R La solution générale en g est : g : X,Y gx,y AX + BY, où A,B : R R sont quelconques de classe C sur R Finalement, la solution générale de l équation proposée est : f : R R,,t f,t A + ct + B ct, où A,B : R R sont quelconques de classe C sur R 3 Il est clair que f est de classe C sur U On a, pour tout,y de U : f y,y y ϕ f y,y y, ϕ puis d où f y y,y 3 ϕ + y y 4 ϕ f y,y y, ϕ,y U,,y U, y ϕ y f,y f y,y y 3 y + t R, t ϕ t + tϕ t t ϕ y y La solution générale de l équation différentielle linéaire du premier ordre t z t + tzt t est, sur chacun des intervalles ] : [, ] :[, ] : + [, donnée après calculs par : zt + λ t, λ R Il en résulte que cette équation admet une solution sur R et une seule, z : t Finalement, les applications ϕ : R R convenant sont les ϕ : R R t t +C, C R 4 On peut d abord remarquer que f est de classe C sur D R {,}, d après les théorèmes générau Classe C D après les théorèmes générau, f est continue sur D En passant en coordonnées polaires, ρ cos θ, y ρ sin θ : f,y 4 y 4 + y ρ8 sin 4 θ cos 4 θ 3 ρ 6 ρ sin 4 θ cos 4 θ ρ,y,, donc f,y f,, ce qui montre que f est,y, continue en, On conclut que f est de classe C sur R Classe C D après les théorèmes générau, f est de classe C sur l ouvert D et on a, pour tout,y D : f,y 4 3 y 4 + y y y 4 3 y 4 + y y 6 3 y 4 + 4y + y 4 D autre part, l application f, : R R, est dérivable en et f,, donc f,eiste et est égal à On a, en passant en polaires : f,y ρ 9 cos θ + 4 sin θ donc f,y ρ 8 ρ cos θ + 4 sin θ 6ρ,y,, f,y, en, puis sur R Comme f est symétrique, c est-à-dire :,, et donc f est continue,y R, f y, f,y, 8

194 on en déduit que f y est aussi définie et continue sur R Ainsi, f est de classe C sur R 3 Classe C On a vu plus haut, pour tout,y D : f,y 3 y 4 + 4y + y 4 g' + g y +3y y +5y+ Il en résulte que f eiste sur D et que, pour tout,y D : f,y 3 y 4 + 4y + y y y y 4 + 4y 4 + y 5 y 4 + y y + y 4 + y + + 4y 8 y 4 + y y + y 4 En particulier, f, et : Considérons A,B :[; ] R définies, pour tout y [ ; ], par : Ay y + 3y, By y + 5y + Les applications A,B sont dérivables sur [ ; ] et, pour tout y [ ; ] : A y 4y + 3, B y 4y + 5 On en déduit les tableau de variations de A et de B : y 3 4 A'y + f, /, 8 donc f n est pas continue en, Ay Il en résulte que f n est pas de classe C sur R Finalement, f est de classe C sur R, et f n est pas de classe C sur R y B'y Soit y [ ; ] fié By Considérons g :[; ] R, g f,y + y y + + 3y L application g est dérivable sur [ ; ] et, pour tout [ ; ] : g + y + >, donc g est strictement croissante On forme le tableau de variation de g : Il en résulte que A admet un minimum, égal à, et que B admet un maimum, égal à 5 On conclut que f admet un minimum et un maimum, qui sont respectivement égau à et 5 8

195 Compléments de calcul intégral CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 83 Énoncés des eercices 85 Du mal à démarrer? 87 Corrigés 88 Thèmes abordés dans les eercices Calculs d intégrales curvilignes, d aires planes, d intégrales doubles, d intégrales triples Calculs de certaines intégrales simples en passant par des intégrales doubles Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés algébriques des intégrales curvilignes Formules donnant une aire plane à l aide d une intégrale curviligne ou d une intégrale double Définition et propriétés algébriques des intégrales doubles, en particulier le théorème de Fubini, l étude du cas particulier où une intégrale double est égale au produit de deu intégrales simples, et le changement de variables en polaires Définition et propriétés algébriques des intégrales triples, en particulier le théorème de Fubini, l étude du cas particulier où une intégrale triple est égale au produit de trois intégrales simples, et les changements de variables en cylindriques, en sphériques Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour calculer une intégrale curviligne ω où C est C une courbe orientée du plan et ω une forme différentielle ω,y P,y d + Q,y dy Paramétrer C : t, y yt, t [a ; b], puis remplacer par t et y par yt dans ω,y, y compris dans d et dy : b ω P t,yt t + Q t,yty t dt C a On est ainsi ramené au calcul d une intégrale d une application continue par morceau sur un segment Méthode analogue en dimension trois Eercices, 5 83

196 Chapitre Compléments de calcul intégral Pour calculer l aire d une partie de R Pour calculer une intégrale double I f,y d dy D Utiliser les formules du Cours, s il s agit d une partie simple de R, limitée par une courbe C : A dy y d dy y d C C C ρ dθ C Une fois le résultat obtenu, vérifier que l aire est positive et, si possible, à l aide d un schéma, que l ordre de grandeur du résultat est cohérent Eercice Découper D en tranches ou en piles, si D est une partie simple de R, et emboîter les intégrales simples : b ϕ I f,y dy d ou I a d c ϕ ψ y ψ y f,y d dy Eercices 3, 7, a, b Essayer un changement de variables permettant de se ramener à une intégrale double plus simple En particulier, si le domaine D et la fonction f s y prête, passer en polaires Eercices 6, c Pour calculer une intégrale triple I f,y,z d dy dz D Pour calculer ou étudier une intégrale simple particulière Décrire D par inégalités convenables et emboîter les intégrales simples Eercice 4 Essayer un changement de variables permettant de se ramener à une intégrale triple plus simple En particulier, si le domaine D et le fonction f s y prête, passer en cylindriques ou en sphériques Eercice 9 On peut quelquefois passer par une intégrale double, en utilisant le théorème de Fubini Eercices,, 3 84

197 Énoncés des eercices Énoncés des eercices Eemples de calcul d intégrales curvilignes Calculer les intégrales curvilignes I ω dans les eemples suivants : C a ω,y dy + y d C est le cercle d équation + y, parcouru une fois dans le sens trigonométrique b ω,y dy + y d C est le segment de droite [AB], de A,vers B, Eemples de calculs d aires planes a Calculer l aire de la boucle de l arc paramétré t 3 3t, y t 4 8t b Calculer l aire intérieure à la lemniscate d équation polaire ρ cos θ 3 Eemples de calculs d intégrales doubles Calculer les intégrales doubles f,y d dy dans les eemples suivants : D a D {,y R ;, y }, f,y e y b D {,y R ;, y }, f,y + + y 4 Eemples de calculs d intégrales triples Calculer les intégrales triples f,y,z d dy dz dans les eemples suivants : D a D {,y,z R 3 ;, y, z, + y + z }, f,y,z e +y+z [ b D ; π ] 3, f,y,z sin + y + z 4 Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 6 Eemple de calcul d intégrale curviligne Calculer l intégrale curviligne I ω où : ω,y,z z d + dy + y dz, C C est l arc paramétré cos t, y sin t, z sh t, t allant de à Eemple de calcul d intégrale double Calculer l intégrale double f,y d dy, où : D D {,y R, ;, y, + y }, f,y y 85

198 Chapitre Compléments de calcul intégral 7 Un calcul d intégrale double amenant des factorielles a Calculer, pour tout λ [ ;+ [ et tout p,q N,l intégrale λ I λ p,q t p λ t q dt b En déduire, pour tout p,q,r N 3, la valeur de l intégrale double Jp,q,r où D {,y R ;, y, + y }, f,y p y q y r D f, 8 9 Eemple de calcul d intégrales emboîtées Arccos y Calculer I d dy 4 + sin Eemples de calculs d intégrales triples Calculer les intégrales triples f,y,z d dy dz dans les eemples suivants : D a D {,y,z R 3, ; + y z, z }, f,y,z y z b D {,y,z R 3 ; + y + z }, f,y,z y z Eemples de calculs d intégrales doubles Calculer les intégrales doubles f,y d dy dans les eemples suivants : D a D [ ; 3] [ ; ], f,y + Ma 3,y [ b D [ a ; a] ; π ], a > fié, f,y 4 e cos y + e sin y c D {,y R ; y, + y, + y y } f,y + y y Eemple de calcul d une intégrale simple via une intégrale double a Montrer : [; ], ln + + y dy ln + Arctan b En déduire la valeur de d, puis celle de d + + Calcul de l intégrale de Gauss Pour a R +, on note : D a {,y R ; + y a }, a {,y R ; a, y a}, f :,y e +y, I a f, J a f D a a a Calculer I a, pour tout a de R + 86

199 Du mal à démarrer b Montrer, pour tout a de R + : I a J a I a c En déduire : a e d a + π 3 Une inégalité de Tchébychev portant sur des intégrales Soient a,b R tel que a < b, f,g :[a ; b] R continues et croissantes Montrer : b b b f g b a fg a a a Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit Paramétrer C et appliquer la définition d une intégrale curviligne, permettant de se ramener à une intégrale simple a Appliquer une des formules donnant l aire plane limitée par une courbe en coordonnées cartésiennes, par eemple A dy C b Appliquer la formule donnant l aire plane limitée par une courbe en coordonnées polaires, A ρ dθ C 3 Commencer par tracer D Emboîter les intégrales simples, dans l ordre suggéré par la définition de D 4 a Emboîter les intégrales simples b Développer sin + y + z pour se ramener à des sommes de produits d intégrales simples 5 Paramétrer C et appliquer la définition d une intégrale curviligne, permettant de se ramener à une intégrale simple 6 Vu le domaine, passer en polaires 7 a Utiliser une intégration par parties, pour obtenir une relation de récurrence entre les intégrales I λ p,q et I λ p +,q, puis réitérer Eprimer le résultat final à l aide de factorielles b Utiliser a deu fois 8 Remplacer l emboîtement d intégrales simples définissant I par une intégrale double et utiliser le théorème de Fubini 9 a Vu le domaine, passer en cylindriques b Vu le domaine, passer en sphériques a Comme l epression de f,y dépend de la position relative de 3 et y, séparer le domaine D en deu domaines et appliquer la relation de Chasles b S assurer d abord que le dénominateur de f,y ne s annule pas Emboîter les intégrales simples c Vu le domaine, passer en polaires a Calculer l intégrale b En utilisant a, écrire l intégrale proposée I sous la forme d une intégrale double Eprimer aussi I à l aide du changement de variables X y, Y En déduire une epression de I permettant de séparer I en produit de deu intégrales simples a Passer en polaires b Faire un schéma c Eprimer J a comme produit de deu intégrales simples 3 Calculer l intégrale double [a ;b] f f y g gy d dy et eploiter les croissances de f et g 87

200 Corrigés des eercices a Le cercle C, parcouru une fois dans le sens trigonométrique, est paramétré par : cos t, y sin t, t allant de π à π par eemple On a donc : I C ω dy + y d C π cos t dt + sin t sin t dt π π π cos t sin t dt parité π π cos t dt sin t dt [ sin t] π π cos t dt [ t sin t ]π π b Le segment [AB] est paramétré par y +, allant de à On a donc : I ω dy + y d C C d + + d [ 3 3 d ] 4 b Commencer par tracer la courbe C d équation polaire ρ cos θ, qui est une lemniscate y O C Par symétrie, A A, où A est l aire limitée par la partie C de C située dans le demi-plan correspondant à On a : A C ρ dθ [ ] π sin θ 4 On conclut : A A 3 a y π 4 π 4 π 4 D π 4 A cos θ dθ a La boucle est obtenue pour t variant de 3 à y 3, d où : O A dy C On emboîte les intégrales simples, comme l indique le domaine D : I e y d dy e y dy d D 3 3 t 3 3t4t 3 6tdt , [ e ] y [e y d y ] e e d e 88

201 b On emboîte les intégrales simples, comme l indique le domaine D : I d dy + + y D y dy d + dy d + y [ ] y Arctan y d + y [ ] Arctan π π 4 3 a Le domaine D peut être défini par : Arctan d +, y, z y On emboîte les intégrales simples : I e +y+z d dy dz D y [e e e +y+z dz dy d [ ] e +y+z z y dy d z e e +y dy d [ ey e +y ] y y d e e + e d ] e e d e e e b En développant le sinus d une somme de trois termes, on a : sin + y + z sin + y + z sin + y cos z + cos + y sin z sin cos y cos z + cos sin y cos z + cos cos y sin z sin sin y sin z, d où : I D D 3C S S 3, sin + y + z d dy dz sin cos y cos z + cos sin y cos z + cos cos y sin z sin sin y sin z d dy dz π 4 où on a noté : C π 4 cos d, S sin d Et : C [ sin ] π 4, S [ cos ] π 4 D où : I S3C S On a : I z d + dy + y dz C sh t sin t dt + cos t cos t dt + sin tch t dt sh t sin t + cos t + sin t ch t dt parité, imparité sh t sin t dt } {{ } notée J sh t sin t + cos t dt + cos t dt } {{ } notée K À l aide de deu intégrations par parties successives : J sh t sin t dt [ch t sin t] ch t cos t dt ch sin [sh t cos t] + sh t sin t dt ch sin sh cos J, d où : J ch sin sh cos 89

202 Et : K + sin 4 On conclut : 6 On a : [ cos + cos t t t dt dt + sin cos I ch sin + sh cos + sin cos + ] sin t + Vu la forme du domaine, on passe en polaires : I f,y d dy π A D [ ; π ] f ρ cos θ,ρ sin θρ dρ dθ [ ;] [ ; π ] ρ cos θ ρ ρ dρ dθ [ ;] π cos θ dθ } {{ } notée A + cos θ ρ 3 ρ dρ } {{ } notée B [ θ dθ ] π sin θ + 4 π 4 Pour calculer B, faisons le changement de variable u ρ : B u u du, puis le changement de variable v u, u v, du v dv : B On conclut : I π 4 v v v dv [ v v v 4 3 dv 5 π 3 3 v5 5 ] v v dv a On a, si q, par intégration par parties pour des fonctions de classe C : λ I λ p,q t p λ t q dt [ t p+ λ tq p + ] λ λ + q p + I λ p +,q t p+ p + qλ tq dt Il en résulte, en réitérant : Et : I λ p,q q p + I λp +,q q q p + p + I λp +,q q q p + p + p + q I λp + q, λ [ t I λ p + q, t p+q p+q+ ]λ dt λp+q+ p + q + p + q + On conclut : I λ p,q q q p + p + p + q p! q! p + q +! λp+q+ b On a, en emboîtant les intégrales simples : Jp,q,r f,y d dy D p p I q,r d λ p+q+ p + q + p y q y r dy d y q y r dy d p q! r! q + r +! q+r+ d q! r! q + r +! I p,q + r + q! r! p! q + r +! q + r +! p + q + r +! p! q! r! p + q + r +! 8 En notant { } D,y R ; y, Arccos y, on a aussi : D {,y R ; π }, y cos 9

203 y b Vu le domaine, on passe en coordonnées sphériques : ρ cos θ sin ϕ, y ρ sin θ sin ϕ, z ρ cos ϕ cos D y cos Alors :,y,z D π θ π, ϕ π, ρ En utilisant le théorème de Fubini : π cos I dy d 4 + sin π cos [ d ] π 4 + sin 4 + sin a Vu le domaine, on passe en coordonnées cylindriques : ρ cos θ, y ρ sin θ, z z Alors : { π θ π + y z,y,z D ρ z z z π θ π z ρ z D où : I D f,y,z d dy dz f ρ cos θ, ρ sin θ, zρ dρ dθ dz ρ 5 cos θ sin θ z dρ dθ dz π cos θ sin θ dθ π } {{ } notée A π A π B [ 8 O π 4 sin θ dθ π ] sin 4θ π θ π 4 π 4 [ ρ 6 ]ρ z z dz 6 6 ρ On conclut : I π 4 9 π 8 z ρ 5 dρ z dz } {{ } notée B cos 4θ dθ 8 π 8z 5 dz 4 3 [ z 6 6 ] 9 D où : I D f,y,z d dy dz f ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos ϕ ρ sin ϕ dρ dθ dϕ ρ 6 cos θ sin θ sin 4 ϕ cos ϕρ sin ϕ dρ dθ dϕ π π cos θ sin θ dθ sin 5 ϕ cos ϕ dϕ π } {{ } } {{ } notée A notée B ρ 8 dρ } {{ } notée C On a : π π A π 4 sin θ dθ cos 4θ dθ π 8 [ ] sin 4θ π θ π 8 4 π 4, π B sin 4 ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ t t dt t cos ϕ t t 4 + t 6 dt t t 4 + t 6 dt parité [ t 3 3 t t ] [ ] ρ C ρ 8 9 dρ 9 9 On conclut : I ABC π 4 a O D 3 y π D 3 9

204 La droite d équation 3 y partage D en deu domaines D correspondant à 3 y et D correspondant à 3 y On a donc, par la relation de Chasles pour des intégrales doubles : I f I + I, où I f, I f D D D Calcul de I : En emboîtant les intégrales simples : I y 3 4 z zy 3 + y d y dy 3 + z dz 4 [ ] 4 ln + z ln 7 z + z dz + y dy Calcul de I : On découpe D en deu domaines de façon à pouvoir encore appliquer la relation de Chasles : I dy d d d [ ] 4 ln [ ] 3 Arctan ln 7 + Arctan 9 Arctan 4 3 On conclut : + 3 dy d I I + I 6 ln 7 + Arctan 9 Arctan 4 3 ] En notant a Arctan 9 Arctan 4, on a a ; π [ et, en utilisant la formule de trigonométrie sur la tangente d une différence : tan a On a donc a Arctan 5, et on peut eprimer I sous la 37 forme : I 6 ln Arctan 5 37 b Montrons d abord que f est continue sur D On a, pour tout,y D : { e cos y e cos y + e sin y } {{ } } {{ } e sin y { cos y sin y cos y + sin y, contradiction Ainsi, le dénominateur de f,y ne s annule pas, et, par opérations, f est continue sur D On a, par emboîtement d intégrales simples : I f,y d dy D a a π 4 e cos y + e sin y dy } {{ } notée J d Pour calculer J, les règles de Bioche indiquent le changement de variable t tan y On a alors : cos y + tan y + t, d où : J sin y cos y t + t, On reporte dans I : I a a Chasles a a y a a y Arctan t, dy dt + t, e + t + e t dt e + t e [ Arctan t e Arctan e d ] t t Arctan e d + Arctan e y dy + + t dt + t e + t e dt Arctan e a a Actan e + Arctan π πa d Arctan e d Arctan e d e d 9

205 c On a : + y + y 4, équation cartésienne du cercle de centre, et de rayon De même, + y y est une équation cartésienne du cercle de centre, et de rayon On en déduit le tracé de D : y π 4 Passons en coordonnées polaires : O ρ cos θ, y ρ sin θ, θ π, ρ On a : y,y D + y + y y θ π ρ ρ cos θ ρ ρ sin θ { π θ 4 sin θ ρ cos θ D où : I f,y d dy f ρ cos θ, ρ sin θ ρ dρ dθ π 4 cosθ sinθ ρ ρ cos θ sin θρ dρ dθ π 4 cosθ sin θ sinθ ρ3 dρ dθ Et : [ ρ 4 sinθ ρ3 dρ 4 cosθ ]ρ cosθ D ρ sinθ 4 cos 4 θ sin 4 θ 4 cos θ sin θ cos θ + sin θ cos θ 4 Donc : I π 4 sin θ cos θ dθ 4 π 4 cos θ 4 sin 4θ dθ [ sin θ + 4 d où : ] π cos 4θ d a Pour [; ], on a ln + y dy + y, [ ] y + y dy ln + y ln + y ln + b D après a, en notant I d, on a : + I où D [; ] D + y dy + d + y + ddy, En échangeant et y c est-à-dire : en effectuant le changement de variables affine X y, Y, qui conserve D, on a aussi : I D On obtient, par addition : I D D D y + y + y ddy + y + + y + y + y + y + y + + y + + y ddy + y + + y ddy Mais en «échangeant» et y : y + + y ddy D D où : I D D + + y ddy + d ddy + + y ddy + y dy π ln 8 93

206 Enfin, en intégrant par parties : Arctan + [ d Arctan ln + ] π 4 ln π 8 ln π ln 8 a En passant en polaires : π a I a e ρ ρ dθdρ dθ [ π;π] [;a] π [ π ] a e ρ π e a b Puisque D a a D a et f, on a : f f f, D a D a a c est-à-dire : I a J a I a c D après a et b : y O a a ln + d + a R +, π e a J a π e a, d où, par le théorème d encadrement : D autre part, pour tout a de R + : a J a e y ddy donc : [ a;a] e a a a e d π a + J a π a + e ρ ρ dρ a e d e y dy, a Comme a a et donc par parité : e d, on déduit : a e d a + a a π e d π, a + Remarque : Avec le vocabulaire de e année, e est intégrable sur [;+ [, et : + π e d 3 Puisque f et g sont croissantes, on a, pour tout,y [a ; b] : f f y g gy D où, en intégrant sur le pavé [a ; b] : f f y g gy d dy [a ;b] Notons I cette intégrale double et calculons I : I f g f gy [a ;b] f yg + f ygy d dy b b f g d dy f gy d dy a a b b f yg d dy + f ygy d dy a a b f g d a b f y dy a b a b a b dy f d a g d + b b b a fg f a a On conclut : b b f a a b a b a d g b a b b g b a fg a a gy dy f ygy dy 94

207 Vocabulaire de la théorie des ensembles 3 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 95 Énoncés des eercices 96 Du mal à démarrer? 98 Corrigés 99 Thèmes abordés dans les eercices Égalités et inclusions d'ensembles obtenus par opérations sur des parties d'un ensemble Injectivité, surjectivité, bijectivité Image directe, image réciproque d'une partie par une application Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés des opérations,, E Définition du produit cartésien de deu ensembles Définition et propriétés de l'injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité pour les applications Définition de l'image directe, de l'image réciproque d'une partie par une application Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour travailler de manière générale sur des ensembles Pour établir une égalité d ensembles Essayer de passer par les éléments des ensembles, ou de calculer globalement sur les ensembles La deuième voie est en général plus courte et plus claire si elle est praticable Eercices 3, 3 On peut : soit montrer directement l égalité soit montrer deu inclusions : A B et B A Dans chacune de ces deu options, on essaie de passer par les éléments ou de calculer globalement sur les ensembles Eercices 3, 3, 36 95

208 Chapitre 3 Vocabulaire de la théorie des ensembles Pour résoudre une question portant sur injectivité, surjectivité, bijectivité d applications dans un cadre général Utiliser les définitions et les propositions du Cours sur la composée de deu applications injectives resp surjectives Eercices 34, 37 Utiliser le résultat de l eercice classique 34 en le redémontrant Eercice 35 Appliquer les définitions Pour f : E F, A PE, A PF, on a : f A { y F a A, y f a }, Pour manipuler, dans un cadre général, des images directes ou des images réciproques de parties par des applications f A { E f A } Autrement dit, pour tout y F : y f A a A, y f a, et, pour tout E : f A f A Eercice 37 Pour manipuler, dans un cadre général, des réunions ou des intersections de familles d ensembles Passer par les éléments en utilisant les définitions : A i i I, A i i I A i i I, A i i I Eercice 36 Énoncés des eercices 3 Eemple de calcul ensembliste Soient E un ensemble, A,B,C PE Montrer : A B A C A B A C, où on a noté B resp C le complémentaire de B resp C dans E 3 Eemple de calcul ensembliste Soient E un ensemble, A,B,C PE On note X A B B C C A, Y A B B C C A Montrer : X Y 96

209 Énoncés des eercices 33 Eemple d application injective non surjective, eemple d application surjective non injective, étude de leurs composées Soient f : N N + et g : N { N si y y y si y a Étudier l injectivité, la surjectivité, la bijectivité éventuelles de f et de g b Préciser g f et f g Dunod La photocopie non autorisée est un délit Composée injective, composée surjective Soient E,F,G des ensembles, f : E F, g : F G des applications Montrer : a si g f est injective, alors f est injective b si g f est surjective, alors g est surjective c si g f est bijective, alors f est injective et g est surjective Étude d injectivité et de surjectivité pour des composées Soient E,F,G trois ensembles, f : E F, g : F G, h : G E trois applications Montrer : a si h g f et g f h sont surjectives et f h g injective, alors f,g,h sont bijectives b si h g f et g f h sont injectives et f h g surjective, alors f,g,h sont bijectives Produit cartésien et famille d ensembles Soient E,F des ensembles, A i i I une famille de parties de E,B i i I une famille de parties de F, indeée par le même ensemble I, A une partie de E, B une partie de F Montrer : a A i B A i B i I i I b A B i A B i i I i I c A i B i A i B i i I i I i I Images directes, images réciproques de parties par une application, en liaison avec l injectivité, la surjectivité Soient E,F deu ensembles, f : E F une application ; on considère les applications f : PE PF et f : PF PE définies par : { A PE, f A f A {y F; a A, y f a} A PF, f A f A { E; f A } Démontrer : a f injective f injective f surjective b f surjective f surjective f injective c f bijective f bijective f bijective 97

210 Chapitre 3 Vocabulaire de la théorie des ensembles 38 Eistence d un point fie pour une application croissante de PE dans PE Soient E un ensemble, f : PE PE une application croissante pour l inclusion, c est-à-dire telle que : A,B PE, A B f A f B Montrer que f admet au moins un point fie, c est-à-dire qu il eiste X PE tel que : f X X Du mal à démarrer? 3 Séparer d abord l équivalence logique demandée en deu implications, la seconde revenant à appliquer la première à B et C à la place de B et C respectivement Raisonner sur les ensembles, partant de A B A C, pour déduire A B A C, à l aide des opérations sur les parties de E On peut aussi raisonner sur les éléments : supposer A B A C, considérer A B quelconque, et établir A C, en séparant en cas selon la situation de 3 Partir de X par eemple, transformer l écriture de X en utilisant des propriétés de et, pour arriver à Y par égalités successives 33 On peut représenter f et g par des schémas qui aident à la compréhension des propriétés d injectivité et de surjectivité 34 a Supposer g f injective, et montrer que f est alors injective en revenant à la définition de l injectivité b Supposer g f surjective, et montrer que g est alors surjective en revenant à la définition de la surjectivité 35 Appliquer le résultat de l eercice 34, en groupant par associativité : h g f, h g f 36 Montrer ces égalités en passant par les éléments, par équivalences logiques 37 Pour la commodité, on abrège injective en inj, surjective en surj a Montrer les deu équivalences logiques f inj f inj, f inj f surj, en séparant chaque équivalence logique en deu implications Pour f inj f inj et pour f surj f inj, penser à utiliser des singletons Pour f inj f surj, montrer que, si f est injective, alors : A PE, A f f A b Pour f surj f surj et pour f surj f inj, montrer que, si f est surjective, alors : A PF, A f f A Pour f surj f surj et pour f inj f surj, penser à utiliser des singletons 38 Considérer A { X PE ; X f X } et F X X A 98

211 Corrigés des eercices 3 Première méthode : On a successivement : A B A C A B A C A B A C A A B A A C A A A B A B A C Ceci montre l implication : A A A C A B A C A B A C En appliquant le résultat précédent à B,C à la place de B,C, on obtient l implication réciproque : A B A C A B A C et on conclut à l équivalence logique demandée Deuième méthode : Supposons A B A C Soit A B, donc A ou B Si A, alors A C Si / A, alors, comme A ou B, on a : B, c està-dire / B Ainsi, / A et / B, donc / A B, d où, par l hypothèse, / A C et, a fortiori, / C, c est-à-dire C, donc A C On a montré : A C Ceci prouve : A B A C Comme B et C ont des rôles symétriques dans l hypothèse A B A C, on a aussi : A C A B On conclut : A B A C Pour la réciproque, on termine comme dans la première méthode 3 On a, par opérations dans PE : X A B B C C A A B B C C A associativité de A C B C A mise en facteur de B A C C A B C A distributivité de sur A C B C B A distributivité de sur A B B C C A Y 33 a g f 3 + f est injective évident et non surjective car n a pas d antécédent par f, donc non bijective y y g est non injective car g g et est surjective car, pour tout de N, g +, donc non bijective b g f 3 + On a : N, g f g + +, donc : g f Id N y f g y y On a : { f g f y N,f gy f y y + y, donc f g / Id N 99

212 34 a Supposons g f injective On a, pour tout, E : f f g f g f donc f est injective g f g f, g f injective b Supposons g f surjective Soit z G Puisque g f est surjective, il eiste E tel que z g f On a alors, en notant y f : y F et z g f gy Ceci montre que g est surjective c Supposons g f bijective Alors, g f est injective et surjective, donc, d après a et b, f est injective et g est surjective 35 a Puisque h g f et g f h sont surjectives, h et g sont surjectives ; puisque f h g est injective, g est injective Il en résulte que g est bijective En utilisant g, f h f h g g est injective composée d applications injectives, donc h est injective Ainsi, h est bijective, et enfin, f g h h g f et f f h g g h, donc f est surjective et injective comme composée de telles applications, donc bijective b De même, schématiquement : h g f inj f inj { f bij g f h inj h inj, f h g surj h inj f surj h g f f h g surj h surj, h bij, g g f h h f inj, g h f f h g surj 36 a Soit,y E F On a successivement :,y i I A i B i I,,y A i B i I, A i et y B i I, A i et A i et y B i I,y A i B, i I y B d où l égalité d ensembles : A i B A i B i I i I b Comme en a, en permutant les rôles des ensembles c Soit,y E F On a successivement :,y i I A i B i i I,,y A i B i i I, A i et y B i i I, A i et A i et y B i i I i I A i B i, i I i I i I, y Bi d où l égalité d ensembles : A i B i A i B i i I i I a α Supposons f injective Soit A,B PE 37 tel que f A f B Soit a A ; puisque f a f A f B, il eiste b B tel que f a f b Comme f est injective, on déduit a b B Ceci montre A B, et de même B A,d où A B, et finalement f est injective β Supposons f injective Soit a,b E tel que f a f b On a : i I f {a} {f a} {f b} f {b}, d où, puisque f est injective, {a} {b}, donc a b Ceci montre que f est injective γ Supposons f injective Soit A PE Montrons A f f A L inclusion A f f A est connue Soit f f A ; alors f f A, donc il eiste a A tel que f f a, puis, comme f est injective, a A Ainsi : A f f A f f A, ce qui montre que f est surjective δ Supposons f surjective Soit a,b E tel que f a f b Il eiste A,B PF tel que {a} f A et {b} f B, et on a : f b f a A, donc b f A {a}, b a Ceci montre que f est injective b α Supposons f surjective Soit A PF Montrons : A f f A L inclusion f f A A est connue Soit y A Puisque f est surjective, il eiste E tel que y f, et on a alors f A, donc y f f f A

213 Ainsi : A f f A f f A, ce qui montre que f est surjective β Supposons f surjective Soit y F Il eiste A PE telle que f A {y} Comme f f / {y},on a nécessairement A / Il eiste donc a A, et on a alors y f a, ce qui montre que f est surjective γ Supposons f surjective Soit A,B PF tel que f A f B Comme on l a vu en b α, on a alors : A f f A f f B B, ce qui montre que f est injective δ Supposons f injective Soit y F Comme {y} /, on a f {y} f {y} / f Il eiste donc E tel que f {y}, c est-à-dire tel que y f Ceci montre que f est surjective c Se déduit trivialement de a et b 38 Considérons A { X PE X f X } et notons F X X A On a, par définition de f : X A, X F, d où, puisque f est croissante : X A, f X f F Ainsi : X A, X f X f F, donc : X A, X f F Il s ensuit, par définition de F, que : F X f F X A On a montré : F f F Puisque f est croissante, on a alors : f F f f F, ce qui montre : f F A Par définition de F, comme f F A, on a alors : f F F On conclut : f F F, donc f admet au moins un point fie, F Remarque : Au lieu de considérer A et F définis plus haut, on pouvait aussi considérer B { Y PE f Y Y } et G Y, et mon- Y B trer, comme ci-dessus, que G est un point fie de f

214

215 Structures algébriques 4 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 9 Corrigés Thèmes abordés dans les eercices Étude d'une loi interne Montrer qu'un ensemble muni d'une loi interne est un groupe ou un sous-groupe d'un groupe Montrer qu'un ensemble muni de deu lois internes est un anneau ou un sous-anneau d'un anneau Calculs dans un ensemble muni d'une loi interne, dans un groupe, dans un anneau, dans un corps Étude d'images directes, d'images réciproques de parties par un morphisme Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe Définitions de : anneau, sous-anneau, anneau intègre, corps, sous-corps Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application Les eemples usuels : anneau Z, corps Q, R, C, pour les lois usuelles Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour effectuer des calculs portant sur une loi interne qui n est pas une loi usuelle Bien détailler chaque étape de raisonnement ou de calcul, car les automatismes de calcul acquis dans les classes antérieures sur les opérations usuelles sur les nombres ne sont pas, a priori, valables pour des lois internes quelconques Eercices 4, 4, 45, 48, 4 à 44, 46, 47, 49 à 4 3

216 Chapitre 4 Structure algébrique Pour montrer qu une loi interne est commutative, ou est associative, ou admet un neutre, ou que certains éléments admettent un symétrique Revenir au définitions Eercices 4, 4, 4, 4 Pour montrer qu une loi interne dans un ensemble E n est pas commutative Trouver a,b E tel que a b / b a Eercice 4 Pour montrer qu une loi interne dans un ensemble E n est pas associative Pour simplifier par un élément dans un calcul, par eemple, pour passer de a a y à y Trouver a,b,c E 3 tel que a b c / a b c Eercice 4 Essayer de : montrer que a admet un symétrique a et composer par a à gauche Eercices 45, 43 montrer que l application γ a : E E, a est injective Eercices 4, 4 Ne pas oublier de montrer que est interne dans E Si la loi n est pas une loi usuelle, revenir à la définition d un groupe : montrer que est associative, que E admet un neutre pour, et que tout élément de E admet un symétrique pour Pour montrer qu un ensemble E muni d une loi est un groupe Eercices 4, 4, 47, 4 Si la loi est une loi usuelle, essayer de montrer que E, est un sous-groupe d un groupe usuel G, : montrer que E G, que le neutre de G, est dans E, que, pour tout,y E, y E, et que, pour tout E, le symétrique de dans G est dans E Essayer de trouver un isomorphisme de E, sur un groupe connu, ou un morphisme d un groupe connu sur E, Eercice 4 Pour montrer qu une partie H d un groupe G, est un sous-groupe de G Essayer de : revenir à la définition de sous-groupe : montrer que H G, que le neutre de G est dans H, que, pour tout,y H, y H, et que, pour tout H, le symétrique de dans G est dans H Eercices 47, 49, 4 montrer que H est le sous-groupe de G engendré par une certaine partie de G Pour manipuler des sous-groupes d un groupe Utiliser la définition de sous-groupe d un groupe Eercices 46, 47, 4 4

217 Énoncés des eercices Pour montrer q une application f : G, G, est un morphisme de groupes Pour montrer que deu groupes sont isomorphes Pour montrer que deu groupes G,, G, ne sont pas isomorphes Lorsqu une hypothèse est faite pour tout élément d un anneau Revenir à la définition : montrer que :,y G, f y f f y Eercice 43 Trouver un isomorphisme de l un des deu groupes sur l autre Eercice 4 Raisonner par l absurde : supposer qu il eiste un isomorphisme de groupes f : G, G, et amener une contradiction Eercice 48 Penser à appliquer cette hypothèse à, à y, à + y, à +, Eercice 4 Pour montrer qu une partie B d un anneau A est un sous-anneau de A Revenir à la définition de sous-anneau d un anneau : montrer que B est un sous-groupe de A,+, que, pour tout,y B, y B, et que A B Eercices 44, 45 Il peut être utile de considérer, pour a E fié, les applications γ a : E E, a Pour étudier une loi interne sur un ensemble fini E Pour étudier des propriétés d un groupe fini δ a : E E, a En particulier, si γ a est injective, alors γ a est surjective car E est supposé fini Eercices 4, 4 Penser à utiliser des arguments de dénombrement, de comptage Eercice 4 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Énoncés des eercices 4 Eemple d étude de loi interne Soit la loi interne définie dans R par :,y R, y + y + y a Vérifier que est commutative b La loi est-elle associative? c Montrer que R admet un neutre pour et calculer ce neutre d Résoudre les deu équations suivantes, d inconnue R : 5

218 Chapitre 4 Structure algébrique 4 Eemple de groupe On note la loi interne dans G C R définie, pour tous z,t, z,t G par : z,t z,t z + z, t + t + Im zz Montrer que G, est un groupe Est-il commutatif? 43 Automorphismes intérieurs d un groupe Soit G, un groupe ; pour tout a G, on note τ a : G G l application définie par : τ a aa a Vérifier que τ a est un automorphisme de G appelé automorphisme intérieur associé à a b Vérifier : a,b G, τ a τ b τ ab 44 Centre d un anneau Soit A,+, un anneau On définit le centre C de A par : Montrer que C est un sous-anneau de A C { A ; a A, a a } 45 Calculs dans un groupe Soient G, un groupe, e son neutre, a,b G tels que : ba ab et ab ba Montrer : a b e La réunion de deu sous-groupes n est qu eceptionnellement un sous-groupe Soient G, un groupe, H,K deu sous-groupes de G Montrer que H K est un sousgroupe de G si et seulement si : H K ou K H Opération sur deu sous-groupes d un groupe Soit G, un groupe Pour tous sous-groupes H,K de G, on note : HK { hk ; h,k H K } Soient H,K deu sous-groupes de G Montrer que les quatre propriétés suivantes sont deu à deu équivalentes : i HKest un sous-groupe de G ii KHest un sous-groupe de G iii HK KH iv KH HK 48 Éléments d ordre fini d un groupe Un élément d un groupe G,, de neutre e, est dit d ordre fini si et seulement s il eiste n N tel que n e ; si est d ordre fini, le plus petit entier n N tel que n e est appelé l ordre de Soient G, un groupe, a,b G Montrer : a si a,b,ab sont d ordre, alors ab ba b si a est d ordre fini, alors a aussi, et a et a ont le même ordre 6

219 Énoncés des eercices c si a est d ordre fini, alors bab aussi, et a et bab ont le même ordre d si ab est d ordre fini, alors ba aussi, et ab et ba ont le même ordre 49 4 Image directe, image réciproque d un sous-groupe par un morphisme de groupes Soient G,, G, deu groupes, f : G G un morphisme de groupes a Montrer que, pour tout sous-groupe H de G, f H est un sous-groupe de G b Montrer que, pour tout sous-groupe H de G, f H est un sous-groupe de G Transfert de la structure de groupe a Soient G, un groupe, E un ensemble, f : E G une application bijective On note la loi interne dans E définie par :,y E, y f f f y, où f désigne la bijection réciproque de f Démontrer que E, est un groupe et que f est un isomorphisme de groupes de E, dans G, On dit qu il y a transfert de la structure de groupe, du groupe G, sur E, b Eemple : On note la loi interne dans R définie par :,y R, y y 3 Montrer que R, est un groupe, isomorphe à R,+ Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple de groupe et de sous-groupe On note G l ensemble des applications f :[ + [ [ + [, de classe C, telles que : f >, f, lim f + + a Montrer que G, est un groupe Est-il commutatif? b On note H l ensemble des f G telles que f Montrer que H est un + sous-groupe de G et que H / G Anneau booléiens Soit A,+, un anneau On suppose : A, a Montrer : A, b Établir que A est commutatif Étude d inversibilité dans un anneau Soient A un anneau, a,b A On suppose que ab est inversible à droite, c est-à-dire qu il eiste A tel que ab, et on suppose que ba n est pas diviseur de zéro à gauche, c est-à-dire que, pour tout y A : bay y Démontrer que a est inversible dans A 7

220 Chapitre 4 Structure algébrique Étude d inverses dans un anneau Soient A un anneau, a,b A On note le neutre de la deuième loi de A On suppose que a, b, ab sont inversibles dans A a On note c ab Montrer que a b est inversible dans A et que a b bc b On note d a a b Montrer que d est inversible dans A et que d ca Eemples de sous-anneau du corps Q Soit p un nombre premier p On considère : A p { Q ; a,b Z N, a } b et p/ b a Démontrer que A p est un sous-anneau de Q pour les lois usuelles b Est-ce que A p est un sous-corps de Q pour les lois usuelles? Loi interne vérifiant une condition Soit E un ensemble muni d une loi interne notée multiplicativement, associative et telle qu il eiste a E tel que : y E, E, y aa a Démontrer que E, admet un neutre, noté e b Établir que a est symétrisable et eprimer le symétrique a de a Aiomes faibles de la structure de groupe Soient E un ensemble muni d une loi interne associative, et e E tel que : { E, e Montrer que E, est un groupe E, E, e Les groupes additifs Z et Z ne sont pas isomorphes Montrer que les groupes Z,+ et Z,+ ne sont pas isomorphes Éléments nilpotents d un anneau Soit A un anneau Un élément a de A est dit nilpotent si et seulement s il eiste n N tel que a n a Soit a,b A Montrer que, si a est nilpotent et si ab ba, alors ab est nilpotent b Soit a A nilpotent Montrer que a est inversible dans A et eprimer a c Soit a,b A Montrer que, si a et b sont nilpotents et ab ba, alors a + b est nilpotent Anneau intègres finis Montrer que tout anneau intègre fini est un corps Conditions suffisantes pour la structure de groupe sur un ensemble fini Soit E un ensemble fini muni d une loi de composition interne associative pour laquelle tous les éléments de E sont réguliers Établir que E, est un groupe 8

221 Du mal à démarrer? 4 Théorème de Lagrange sur les groupes Soient G, un groupe fini, H un sous-groupe de G, R la relation définie dans G par : R y y H a} Montrer que R est une relation d équivalence dans G b Montrer que les classes d équivalence modulo R ont toutes le même cardinal c En déduire CardG CardH CardG/R On a ainsi prouvé le théorème de Lagrange : dans un groupe fini, l ordre de tout sousgroupe divise l ordre du groupe Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 4 b Montrer que n est pas associative en calculant y z et y z pour un choi de,y,z assez simple, et en obtenant deu résultats différents 4 Puisque G n apparaît pas comme sous-groupe d un groupe connu, pour montrer que G est un groupe, revenir à la définition, en étudiant successivement l associativité, l eistence d un neutre, l eistence d un symétrique pour tout élément de G Pour montrer que n est pas commutative, calculer z,t z,t et z,t z,t pour un choi assez simple, et en obtenant deu résultats différents 43 a Revenir à la définition d un automorphisme b Pour a,b G fié, calculer, pour tout G, τ a τ b 44 Revenir à la définition de sous-anneau 45 Montrer, par eemple, ba baab et utiliser le fait que, dans un groupe, tout élément est simplifiable 46 Un sens est évident Pour l autre sens, raisonner par l absurde 47 Faire un cycle d implications, par eemple : i iii ii iv i Utiliser la notion de sous-groupe, par sa définition 48 a Montrer abab baab puis composer à droite dans chaque membre par l inverse de ab b Montrer que, si a n e, alors a n e Utiliser les rôles symétriques de a et a pour montrer que a et a sont de même ordre c Si a n e, calculer bab n d Utiliser c 49 Remarquer d abord que les deu lois, dans G et dans G, sont notées de la même façon par commodité, mais qu il ne s agit pas, a priori, de la même loi Appliquer à chaque étape les définitions sous-groupe, morphisme de groupes, image directe, image réciproque 4 a Pour montrer que E, est un groupe, revenir à la définition de groupe, en se ramenant, grâce à f, au conditions sur G b Utiliser f : R R, 3 4 a Revenir à la définition de groupe, ou bien montrer que G est un sous-groupe du groupe des bijections de [ + [ sur [ + [ Se rappeler que, par définition, une application d une partie de R dans R est de classe C si et seulement si elle est dérivable et à dérivée continue Pour l associativité, utiliser l associativité de la loi dans l ensemble des applications de [ + [ dans [ + [ b Utiliser la définition d un sous-groupe ou une caractérisation Se rappeler que f signifie : f a Appliquer l hypothèse à et à +, où désigne le neutre de la deuième loi notée multiplicativement de A 43 b Appliquer l hypothèse à, à y, à + y Calculer baba 44 a Montrer : a b cb, puis calculer a b à partir de cette égalité En effet, l inverse d une somme ou d une différence quand cet inverse eiste ne paraît pas simple tandis que l inverse d un produit d éléments inversibles s eprime simplement b Calculer d et obtenir d a c, puis finir de façon analogue à la solution de la question a 9

222 Chapitre 4 Structure algébrique 45 a Les lois usuelles de Q sont respectivement l addition et la multiplication On se rappellera que, puisque p est premier, si p divise un produit d entiers, alors p divise l un des facteurs de ce produit b Considérer l élément p de A 46 a Obtenir l eistence de b E tel que : a aba Pour y E, il eiste E tel que y aa ; calculer aby et yba b Faire intervenir b E tel que a aba, comme en a 47 Appliquer l hypothèse à E, d où l eistence de E tel que e, puis penser à appliquer l hypothèse à, d où l eistence de E tel que e Combiner ensuite les renseignements obtenus 48 Raisonner par l absurde Supposer qu il eiste un isomorphisme de groupes f : Z,+ Z,+ Considérer a,b f et des antécédents par f de, et de, 49 a Soit a,b A tel que ab ba Montrer, par récurrence sur k : k N, ab k b k a En déduire, par récurrence sur k : k N, ab k a k b k b Se rappeler la formule sur une sommation géométrique c Utiliser la formule du binôme de Newton 4 Soient A un anneau intègre fini, a A {} Il s agit de montrer que a est inversible dans A Considérer les applications a et a de A dans A et utiliser le fait que A est fini 4 Pour E, montrer que les applications y y et z z de E dans E sont bijectives, d où l eistence de e E tel que e et l eistence de ε E tel que ε En déduire e ε Montrer que e ne dépend pas de, et, en notant e e, déduire que e est neutre pour Montrer que, pour tout E, il eiste e tel que e et il eiste E tel que e, et déduire 4 a Revenir à la définition d une relation d équivalence : montrer que R est réfleive, symétrique, transitive b En notant, pour G, {z G Rz} la classe d équivalence de modulo R, montrer que, pour tout,y G, les applications α : ŷ, t t y et β : ŷ, s sy sont correctement définies et sont réciproques l une de l autre, donc sont bijectives c Compter le nombre total d éléments de G, en les groupant par classes modulo R ; les classes ont toutes le même cardinal

223 Corrigés des eercices 4 a On a, pour tout,y R : y y + + y + y + y y, donc est commutative b On a, par eemple : , + + donc n est pas associative /, c On a, pour tout R :, donc R admet un neutre pour et ce neutre est d On a, pour tout R : + +, et cette équation du second degré n a pas de solution dans R puisque son discriminant 4 3 est < On conclut que l équation n a pas de solution dans R On a, pour tout R : ou On conclut que l équation admet eactement deu solutions dans R, les réels et 4 Remarquer d abord que est bien une loi interne dans G C R Associativité : On a, pour tous z,t, z,t, z,t G : z,t z,t z,t z + z, t + t + Im zz z,t z + z + z, t + t + Im zz +t +Im z + z z z + z + z, t + t + t +Im zz +Im zz +Im z z et z,t z,t z,t z,t z + z, t + t + Im z z z+z + z, t + t +t +Im z z +Im zz +z z+z +z, t + t + t +Im z z +Im zz +Im zz On a donc : z,t z,t z,t z,t z,t z,t et on conclut que est associative Neutre : On a, pour tout z,t G : z,t, z,t et, z,t z,t, donc, est neutre pour 3 Symétriques : Soit z,t G On a, pour tout z,t G : { z,t z,t, z,t z,t, { z + z, t + t + Im zz, z + z, t + t + Im z z, z + z z z t + t + Im zz t + t + Im z t + t + Im z z t + t + Im z { { z z z z t + t t t Ceci montre que z,t admet un symétrique et un seul et que ce symétrique est z, t On conclut que G, est un groupe

224 4 Commutativité : On a :, i, + i, + + i i + i, i,, i +, + + i i + i,, Soit,y C On a : a A, ya ya ay ay ay ay, donc y C 3 On a : a A, a a a, donc C On conclut que C est un sous-anneau de A donc, Im, / Im,,, et on conclut que G, n est pas commutatif 45 On a : ba ab abb ba b baab 43 a,y G, τ a y aya aa aya τ a τ a y, donc τ a est un endomorphisme de G G, { τa τ a τ a a a aa aa τ a τ a τ a aa a aa a donc : τ a τ a τ a τ a Id G, ce qui montre que τ a est bijective, de réciproque τ a Ainsi, τ a est un automorphisme du groupe G b Soit a,b G On a : G, d où : τ a τ b τ ab, τ a τ b τ a bb abb a abb a abab τ ab, Ainsi, l application a τ a est un morphisme du groupe G dans le groupe des automorphismes de G muni de 44 Rappelons que, par définition, C est un sous-anneau de A si et seulement si : C,+ est un sous-groupe de A,+,y C, y C 3 C C A, évident C / car C, puisque : a A, a a Soit,y C On a : a A, a y a ay a ya ya, donc y C Ceci montre que C,+ est un sous-groupe de A,+ Comme ba est inversible dans G, il s ensuit, en multipliant les deu membres par ba à gauche : e ab On a alors b a, donc ba e Ensuite : e ab ba baa ea a, et on a ainsi a e puis b a e 46 Si H K ou K H, alors H K K ou H K H, donc H K est un sous-groupe de G Réciproquement, supposons que H K soit un sous-groupe de G Raisonnons par l absurde : supposons H / K et K / H Il eiste alors a H tel que a / K, et il eiste b K tel que b / H Puisque H K est un sous-groupe de G et que a et b sont dans H K, on a ab H K, c est-à-dire : ab H ou ab K Supposons ab H Comme b a ab, que a H et ab H et que H est un sous-groupe de G, on déduit b H, contradiction Supposons ab K Comme a abb, que b K et ab K et que K est un sous-groupe de G, on déduit a K, contradiction Ce raisonnement par l absurde, montre : H K ou K H 47 i iii : Supposons que HK soit un sous-groupe de G Soit HK Comme HK, il eiste h,k H K tel que hk On a alors : hk k h KH Ceci prouve : HK KH iii ii Supposons HK KH Il est clair que, en notant e le neutre de G, e ee KH

225 Soit KH Il eiste h,k H K tel que kh On a alors : kh h k HK KH Soient,y KH Il eiste h,k H K, h,k H K tels que kh et y k h On a alors : y khk h khk h Comme hk HK KH, il eiste h,k H K tel que hk k h, d où : y kk h h kk h h KH Ceci montre que KHest un sous-groupe de G ii iv : Se déduit de i iii en échangeant H et K iv i : Se déduit de iii ii en échangeant H et K Finalement, les quatre propriétés envisagées sont deu à deu équivalentes i ii iv iii 48 a On a : abab ab e b beb ba b baab, d où, puisque ab est régulier à droite : ab ba b Supposons a d ordre fini, et notons n son ordre On a : a n a n e e, donc a est d ordre fini et, en notant p son ordre, on a : p n En échangeant les rôles de a et a puisque a a, on obtient aussi n p Finalement a est d ordre fini, et de même ordre que a c Supposons a d ordre fini, et notons n son ordre On a : bab n ba n b beb e, donc bab est d ordre fini et, en notant q son ordre, on a : q n En échangeant les rôles de b et b, on obtient aussi n q Finalement, bab est d ordre fini, et de même ordre que a d Remarquer : ba babb et appliquer c 49 Notons e le neutre de G, e le neutre de G a Soit H un sous-groupe de G On a : e f e f H, car f est un morphisme de groupes et e H Soit,y f H Il eiste,y H tel que f et y f y On a alors : y f f y f y f H, car f est un morphisme de groupes et y H Soit f H Il eiste H tel que f On a alors : f f f H, car f est morphisme de groupes et H On conclut : f H est un sous-groupe de G b Soit H un sous-groupe de G On a f e e H, car f est un morphisme de groupes et e H, donc e f H Soit,y f H On a alors f H et f y H, d où : f y f f y H, car f est un morphisme de groupes et H est un sous-groupe de G D où : y f H Soit f H On a alors f H, d où : f f H, car f est un morphisme de groupes et H est un sous-groupe de G D où : f H On conclut : f H est un sous-groupe de G 4 a Remarquer, pour alléger les calculs, que, pour tout,y E : f y f f y, et que, f étant bijective, on a, pour tout a,b E, f a f b a b, ce qui permettra, dans certaines conditions, de simplifier par f Neutre : En notant e le neutre de G, et ε f e, on a e f ε et, pour tout E : { f ε f f ε f e f f ε f ε f ef f, d où, puisque f est injective : ε et ε, ce qui montre que ε est neutre pour dans E Associativité : On a, pour tout,y,z E 3 : f y z f y f z f f y f z f f y f z f f y z f y z, 3

226 d où, puisque f est injective, y z y z, ce qui montre que est associative dans E 3 Symétriques : Soit E En notant t f G, t le symétrique de t dans le groupe G, et f t, on a : { f f f tt e f ε f f f t t e f ε, d où, puisque f est injective, ε et ε, ce qui montre que admet un symétrique pour dans E Finalement, E, est un groupe 4 Isomorphisme : L application f : E G est un morphisme de groupes et f est bijective, donc f est un isomorphisme de groupes de E, dans G, b D après le cours, R,+ est un groupe L application f : R R, 3 est bijective et son application réciproque est f : R R, t 3 t On a :,y R, y y 3 f f + f y D après a, R, est donc un groupe et f est un isomorphsime de groupes, de R, dans R,+ On conclut que R, est un groupe isomorphe à R,+ 4 a Loi interne : Soit f,g G Alors, g f :[;+ [ [ ;+ [ eiste, g f est de classe C par composition, g f g f f > car f > et g >, g f g f g, et g f +, par composition de limites, puisque + f + et gy + + y + Il en résulte g f G et donc est interne dans G Associativité : La loi est associative dans l ensemble des applications de [ + [ dans [ + [, donc est associative dans G 3 Neutre : En notant ε Id [ + [, ε est une application de [ ;+ [ dans [ ;+ [, de classe C, ε >, ε, ε +, donc ε G + On a : f G, f ε ε f f, donc ε est neutre pour dans G 4 Symétriques : Soit f G Comme f >, f est strictement croissante sur l intervalle [ + [ Puisque f est continue, strictement croissante, que f et que f +, d après le théorème de la bijection + monotone, f est bijective, f est continue, f et f + De plus, puisque f est de classe C et que + f ne s annule pas car f >, f est de classe C sur [ ;+ [ et f f f > On déduit : f G Ainsi : f G et f f f f ε On conclut que tout élément de G admet un symétrique pour la loi dans G D après,, 3, 4, G est un groupe pour la loi 5 Commutativité : Il est clair que les applications f :[;+ [ [ ;+ [, et ϕ :[;+ [ [ ;+ [, e sont éléments de G On a, pour tout [ ;+ [ : { ϕ f ϕ e f ϕ f e e e En particulier : ϕ f e et f ϕ e, donc ϕ f / f ϕ, d où ϕ f / f ϕ Ceci montre que G n est pas commutatif b Il est clair que H G, par définition de H Le neutre ε de G est dans H car ε + 3 Soient f,g H Remarquons que, puisque g est strictement croissante car g > sur l intervalle [ ;+ [ et que g, on a g > pour tout > On a alors, pour > : g f donc g f g f f + f, d où g f H +, 4 Soit f H Comme f + et y f y, + y + on a, par composition de limites : f f f, d où f H + On conclut : H est un sous-groupe de G 5 L application f :[;+ [ [ ;+ [, est élément de G cf a 5, mais n est pas élément de H, car f / Ceci montre : H / G + 4

227 4 a Soit A En appliquant l hypothèse à et à +, on a : et + + Alors : On conclut : A, b Soit,y A On applique l hypothèse à, à y, à + y, d où : + y + y + y + y + y et donc : y + y + y + y + y, Mais, d après a : y + y y On déduit, par soustraction : y y, et on conclut que l anneau A est commutatif 43 Puisque ab est inversible à droite, il eiste A tel que : ab On a : baba baba ba baba ba ba ba Comme ba n est pas diviseur de zéro à gauche, il en résulte : ba, donc ba Ainsi, ab et ba, donc a est inversible dans A, et a b 44 a On a : a b ab b cb Comme c et b sont inversibles dans A, par produit, cb est inversible dans A, donc a b est inversible dans A et : b On a : a b cb b c bc d a a b a bc a c bc a c abc a ab ab c a c a c Comme a et c sont inversibles dans A, par produit, a c est inversible dans A, donc d est inversible dans A et : d a c a c c a ca 45 a Puisque A p Q et que Q est un corps donc un anneau, on va montrer que A p est un sous-anneau de l anneau Q On a et p/ le du dénominateur, donc A p Soient,y A p Il eiste a,b Z N,c,d Z N tels que : On a alors : a b et p/ b, y c d y a b c d ad bc bd et p/ d et ad bc,bd Z N et p/ bd, car p est premier Il en résulte : y A p 3 Avec les mêmes notations qu en, on a : y a b donc : y A p c d ac bd, ac,bd Z N, p/ bd, On conclut que A p est un sous-anneau de Q, pour les lois usuelles b On a p p et p/, donc p A p De plus, il est clair que p / Mais p / A p, car p p Ainsi, p n a pas d inverse dans A p On conclut que A p n est pas un sous-corps de Q 46 a En appliquant l hypothèse à a à la place de y, il eiste b E tel que : a aba Montrons que ab est neutre à gauche et que ba est neutre à droite Soit y E Par hypothèse, il eiste E tel que y aa On a : { aby abaa abaa aa y yba aaba aaba aa y Ceci montre que ab est neutre à gauche et que ba est neutre à droite On a alors : abba ba car ab est neutre à gauche, et abba ab car ba est neutre à droite, d où ab ba En notant e ab ba, on conclut que e est neutre pour la loi de E b On a : { abab abab ee e baba baba ee e, donc a est symétrisable et a bab 5

228 47 Soit E Par hypothèse, il eiste E tel que e, puis il eiste E tel que e On a : d où : e ee ee e e e ee e, e e e e e, et enfin : e e Ainsi, e est neutre et tout élément de E admet un symétrique Finalement, E, est un groupe 48 Raisonnons par l absurde : supposons qu il eiste un isomorphisme de groupes f : Z,+ Z,+ Notons a,b f Puisque, Z et que f est bijectif, il eiste λ Z tel que : f λ, On a alors, puisque f est un morphisme de groupes :, f λ λ f λa,b λa,λb D où : λa et λb, et donc λ / et b Puisque, Z et que f est bijective, il eiste µ Z tel que : f µ, On a alors, puisque f est un morphisme de groupes :, f µ µ f µa,b µa,µb D où : µa et µb, et donc µ / et a On a alors : f a,b, f, ce qui contredit l injectivité de f Ce raisonnement par l absurde montre qu il n eiste pas d isomorphisme du groupe Z,+ dans le groupe Z,+, c est-àdire que les groupes Z,+ et Z,+ ne sont pas isomorphes 49 a Soit a A nilpotent et b A tel que ab ba Montrons, par récurrence sur k : k N, ab k b k a Pour k, on a ab ba par hypothèse Si ab k b k a pour un k N, alors : ab k+ ab k b ab k b b k ab b k ab b k ba b k ba b k+ a Ceci montre, par récurrence sur k : k N, ab k b k a Montrons, par récurrence sur k : k N, ab k a k b k Pour k, on a trivialement ab ab Si ab k a k b k pour un k N, alors : ab k+ ab k ab a k b k ab a k b k ab a k ab k b a k ab k b a k+ b k+ Ceci montre, par récurrence sur k : k N, ab k a k b k Puisque a est nilpotent, il eiste n N tel que a n Puisque ab ba, on a : ab n a n b n b n, donc ab est nilpotent b Puisque a est nilpotent, il eiste n N tel que a n On a alors : { a + a + a + +a n a n + a + a + +a n a a n, donc a est inversible et n a + a + a + +a n a k c Soient a,b A nilpotents et tels que ab ba Puisque a est nilpotent, il eiste n N tel que a n Puisque b est nilpotent, il eiste p N tel que b p Calculons a + b n+p en utilisant la formule du binôme de Newton, ce qui est licite puisque ab ba : n+p n + p a + b n+p a k b n+p k k + n+p k kn k n n + p k k n + p k donc a + b est nilpotent a k a k }{{} car k n k b n+p k } {{ } car n + p k p b n+p k, 4 Soient A un anneau intègre fini, a A {} Puisque A est intègre, les applications γ a : A A et a δ a : A A sont injectives, car : ya,y A, γ a γ a y a ay et de même pour δ a a y y y, 6

229 Comme A est fini, il en résulte que γ a et δ a sont bijectives En particulier, il eiste b,c A tel que γ a b et δ a c, c est-à-dire tel que ab et ca On a : c cab cab b Ainsi : a A {}, b A, ab ba Tout élément de A {} admet un inverse, et finalement A est un corps 4 Soit E Puisque est régulier à gauche pour, l application γ : E E est injective Comme de plus E y y est fini, γ est surjective Il eiste donc e E tel que γ e, c est-à-dire e De même en utilisant δ : E E, qui est bijective, il eiste z z ε E tel que ε On a ε ε, d où, par régularité de à droite : ε Alors : e ε, d où, par régularité de à gauche : e ε Comme : e e e e e, on déduit, par régularité de à gauche : e e e Soit alors,y E On a : e e e y e e y e e y e y e e y e y, d où, par régularité de e y à droite : e e e e y, puis, par régularité de e à gauche : e e y Ceci prouve que e ne dépend pas de On a ainsi montré l eistence d un élément e de E neutre à droite pour : E, e De plus : E, e e ε, et donc e est neutre pour Puisque γ : E E y y et δ : E E sont bijectives, z z il eiste, E tels que : Alors : e et e e e Ceci montre que admet un symétrique qui est pour Finalement, E, est un groupe 4 a Réfleivité : G, e H Symétrie : Soit,y G On a : R y y H y y H y R Transitivité : Soit,y,z G 3 On a : { { R y y y R z H yz H z y yz H R z On conclut : R est une relation d équivalence dans G Notons ˆ la classe de modulo R, pour G b Soit,y G Pour tout t de ˆ, on a t y ŷ, car t yy t H On peut donc considérer l application α : ˆ ŷ, et de même, t t y β : ŷ ˆ s sy On a : t ˆ, β αt t yy t, donc β α Id ˆ, et de même, α β Idŷ Ceci montre que α et β sont des bijections réciproques l une de l autre Comme G est fini, ˆ et ŷ sont alors finis et de même cardinal c Puisque les classes modulo R sont deu à deu disjointes et ont le même cardinal, on a : CardG Cardê CardG/R De plus, comme ê H, on conclut : En particulier : CardG CardH CardG/R CardH CardG 7

230

231 Nombres entiers, nombres rationnels 5 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 9 Énoncés des eercices Du mal à démarrer? 3 Corrigés 5 Thèmes abordés dans les eercices Résolutions d'équations et d'inéquations dans N, N Calculs de sommes simples ou multiples Obtention de formules portant sur des coefficients binomiau Décomposition d'une permutation, manipulation des permutations Dénombrements Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés de N, principe de récurrence Les formules de sommation classique : sommation arithmétique, sommation géométrique, formule du binôme de Newton Définition et propriétés des coefficients binomiau Définition et propriétés des permutations et du groupe symétrique S n Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre une équation simple dont les inconnues sont des entiers naturels Pour établir une propriété pour tout entier naturel Pour améliorer une inégalité portant sur des entiers Essayer d utiliser des inégalités, des encadrements, des arguments de divisibilité et le fait qu un entier naturel est, ce qui peut permettre de limiter les valeurs des inconnues Essayer de raisonner par récurrence Se rappeler que, pour tout a,b Z : a < b a + b Eercices 5, 57 Eercices 5, 54 Eercices 5, 57 9

232 Chapitre 5 Nombres entiers, nombres rationnels Pour calculer certaines sommations indeées par un entier Essayer de se ramener au sommations classiques : la sommation géométrique n N, C {}, k n+ les sommations d entiers, de carrés d entiers, de cubes d entiers nn + k, k nn + n +, 6 k k k nn + k 3 k la formule du binôme de Newton n N,,y C, + y n k n k y n k k Eercices 55, 56, 58, 59, 5, 5 Pour calculer des sommations doubles ou des sommations triples Pour dénombrer un ensemble fini Pour calculer une sommation faisant intervenir des coefficients binomiau Pour calculer la signature εσ d une permutation de {,n} Essayer de : emboîter les sommations simples utiliser une permutation de symboles Eercices 55, 56, 5, 56 Essayer de : appliquer les théorèmes générau de dénombrement, par eemple : Card E F Card E Card F mettre l ensemble en bijection avec un ensemble fini de cardinal connu Eercices 53, 54, 55 Essayer de : remplacer les coefficients binomiau par leur epression à l aide de factorielles Eercices 5, 5 a, 5, 56 a utiliser la formule du binôme de Newton, directement, ou après dérivation, ou après intégration Eercices 58, 59, 5, 5, 56 Essayer de : calculer le nombre I σ d inversions de σ, et on a alors εσ I σ Eercice 53 décomposer σ en un produit de N transpositions, et on a alors εσ N

233 Énoncés des eercices Énoncés des eercices Eemple de résolution d équation dans N 3 Résoudre dans N 3 : 3 + y + z 3 8 Calcul d une somme de coefficients binomiau n p p + k Montrer, pour tout n,p N tel que p n : p k Eemple de dénombrement géométrique n + p + Soit n N On donne, dans le plan, n droites D,,D n parallèles entre elles et deu à deu distinctes Soit A un point du plan, n appartenant à aucune des droites D,,D n, et soient, deu droites du plan, passant par A, distinctes, et non parallèles à D En combien de «régions» le plan est-il partagé par les n + droites D,,D n,,? Eemple d obtention d inégalités faisant intervenir des entiers, par raisonnement par récurrence n + 3 n Montrer, pour tout n N : < < n + 4 n n + Calcul d une somme double Calculer, pour tout n de N, Min i, j Calcul d une somme triple i n j n Calculer, pour tout n N : S n q q p k p k Eemple de résolution d une équation dans N Dunod La photocopie non autorisée est un délit Résoudre dans N : E y Calcul d une somme de produits de coefficients binomiau p q p + q Montrer : n,p,q N 3, k n k n k n n En particulier : n N, k n k Calcul d une somme d epressions contenant des coefficients binomiau n n Calculer, pour n N k, k et k k + k Calcul d une somme faisant intervenir des coefficients binomiau k On note, pour tout n N : S n k n k k

234 Chapitre 5 Nombres entiers, nombres rationnels a Montrer, pour tout n N : n!n + S n + n n +! b En déduire l epression de S n en fonction de n, selon la parité de n Calcul d une somme double de produits de coefficients binomiau n i n n k a Montrer, pour tout n,k,i N 3 : i k k n i n i b En déduire, pour tout n N, la valeur de S n i k k ik Calcul d une somme faisant intervenir des coefficients binomiau n k Montrer, pour tout n N : k + n k + n+ n + n + k Eemple de détermination de la signature d une permutation Pour n N, quelle est la signature de la permutation 3 n n + n + n n σ 3 5 n 4 n n? Dénombrements de relations Soient n N et E un ensemble fini à n éléments Dénombrer dans E : a les relations, b les relations réfleives, c les relations symétriques, d les relations antisymétriques, e les relations réfleives et symétriques, f les relations réfleives et antisymétriques Dénombrement en base di Pour tout n N, combien y a-t-il de nombres entiers naturels dont l écriture en base di comporte eactement n chiffres dont un chiffre et un seul? Formule d inversion de Pascal a Montrer, pour tout n,p,k N 3 tel que p k n : n k k p n p n p k p b Établir, pour tout n,p N tel que p n : { n k si p < n kp n k k p si p n c Soit a n n N une suite à termes dans C On note, pour tout n N : b n n Montrer, pour tout n N : a n n k b k k k k n a k k

235 Du mal à démarrer? Parité d un nombre associé à une permutation n Soient n N impair, σ S n Montrer que σk k est un entier pair Centre de S n a Soient n N, tel que n, i, j {,,n} tel que i / j, et σ S n Montrer que σ et τ i, j commutent si et seulement si {i, j} est stable par σ k b Soient n N, tel que n 3, et σ S n telle que : ρ S n, σ ρ ρ σ Démontrer : σ Id Autrement dit, le centre de S n est {Id} Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 Remarquer que, si,y,z convient, alors z 3 8, ce qui limite les valeurs possibles de z Raisonner ensuite de façon analogue pour y 5 53 Récurrence sur n, pour p fié Faire un schéma illustrant la situation 54 Raisonner par récurrence sur n Pour le passage de n à n +, en utilisant l hypothèse de récurrence à l ordre n, se ramener à une condition suffisante 55 Décomposer la somme double demandée en deu sommes emboîtées Pour i fié, la valeur de Min i, j dépend de la position de j par rapport à i : utiliser la relation de Chasles pour les sommations Se rappeler les formules : nn + i et i nn + n + 6 i i p 56 Pour q,p fiés, calculer k Puis, pour q fié, calculer k q p k et terminer par le calcul de S n p q Se rappeler, pour R {} et n N, les formules : k n+ nn + et k k k 57 Comparer avec 3 et avec Se rappeler que, pour tout a,b Z, on a : a > b a b + Autrement dit, une inégalité stricte entre entiers équivaut à une inégalité large en gagnant une unité 58 Dans l égalité de polynômes + X p + X q + X p+q, considérer les termes en X n 59 Développer + X n par la formule du binôme de Newton, puis dériver Développer + n par la formule du binôme de Newton, puis intégrer de à 5 a Remplacer le coefficient binomial par son epression à l aide de factorielles Remarquer que : n + n k + + k + 5 a Remplacer les coefficients binomiau par leur epression à l aide de factorielles b Utiliser a puis la formule du binôme de Newton 5 Remplacer les coefficients binomiau par leur epression à l aide de factorielles,puis utiliser la formule du binôme de Newton Compter le nombre d inversions Mettre en bijection les relations dans E et les tableau à double entrée dans E et à valeurs dans {,} 3

236 Chapitre 5 Nombres entiers, nombres rationnels 55 Remarquer d abord que l écriture décimale d un nombre entier non nul ne commence pas par Compter les nombres entiers de n chiffres commençant par et n ayant qu un seul chiffre, et compter les nombres entiers de n chiffres commençant par un chiffre autre que et, et ne comportant qu un seul chiffre 56 a Remplacer les coefficients binomiau par leur epression à l aide de factorielles b Utiliser a et la formule du binôme de Newton c Calculer la somme demandée en remplaçant b k par son epression, puis permuter les deu symboles de sommation et utiliser b 57 Raisonner par l absurde Si un produit d entiers est impair, alors chacun de ses facteurs est impair D autre part, étudier la somme σk k k 58 a Séparer l équivalence logique demandée en deu implications La condition {i, j} stable par σ signifie, par définition, σ {i, j} {i, j}, c est-à-dire, puisque σ est bijective : σ {i, j} { { σi j σi j {i, j}, ou encore : ou σj i σj i b Utiliser les deu transpositions τ ij et τ ik 4

237 Corrigés des eercices 5 Soit,y,z N 3 Si,y,z convient, alors z 3 8, donc z Pour z : 3 + y 8 Si,y convient, alors y 8, y 9, y 3, et, d autre part, 3 y, donc 3 y On a donc y {,3} Pour y : Pour y 3 : 3 Pour z : 3 + y 7 Si,y convient, alors y 7, y 8,5 < 9, donc y < 3 c est-à-dire y Pour y : 3 7, / N Pour y : Pour y : Pour z : 3 + y Si,y convient, alors y, y 5 < 9, donc y < 3 c est-à-dire y Pour y : 3, / N Pour y : 3 8, / N Pour y : 3, / N On conclut que l ensemble S des solutions de est : 5 S { 6,,,,3,, 5,,, 3,, } Récurrence sur n, pour p fié La propriété est évidente pour n p Si elle est vraie pour un n tel que n p, alors : n+ p p + k n p p + k n + + p p p k k n + + p + n + p n + p + 53 Les droites D,,D n partagent le plan en n + «parties» Le point A se trouve dans l une de ces parties et une seule Chacune de ces parties, ne contenant pas A, est partagée en trois «régions» par et La partie contenant A est partagée en quatre régions D' D D D D 3 D 4 D On conclut que les n + droites D,,D n,, partagent le plan en 3n + 4 régions 54 Procédons à une récurrence sur n 3 n Notons, pour tout n N : u n 4 n Pour n : u, et on a bien : 3 < < 3 n + Supposons, pour un n N fié : n + < u n < n + 3 n + On a : u n+ 4 n + u n + n n + On a, en utilisant l hypothèse de récurrence : n + u n+ > n + n + n + n + n + n + Raisonnons alors par condition suffisante : n + u n+ > n + 3 n + n + > n + 3 n + 3 > n + n + n + 3 > 4n + n + 4n + n + 9 > 4n + n + 8 vrai n + Ceci montre : u n+ > n + 3 A Eemple : n 5 5

238 On a, en utilisant l hypothèse de récurrence : Puis : u n+ < u n+ < n + 3 Ceci montre : u n+ < n + n + n + n + n + n + n + < n + 3 n + n + 3 < n + n + n + 3 <n + 4n + 8n + 3 < 4n + 8n + 4 vrai n + 3 On a donc établi l encadrement voulu, à l ordre n + On conclut, par récurrence sur n, à l encadrement demandé 55 S n En notant S n la somme demandée, on a : n Min i, j i j Comme Min i, j dépend de la position de j par rapport à i, on scinde la somme relative à l indice j en deu sommes : n Mini, j i j + i 56 i j i j n + nn + ji+ ii + + n ii i n + n i i i i nn + n + 6 nn + n + 6 On a, par sommation géométrique, pour tout p N : p k k p+ p+ Puis, pour tout q N : q p q q k p+ p q + p k p p q+ q + q+ q 3 Ensuite, pour tout n N : S n q+ q 3 q q 4 n+ nn + n+3 n + 7n + 4 q 3n + q 3n + q 57 Soit,y N une solution de E On a : y > 3, donc : y >, d où, puisque et y sont des entiers : y + On a : > y 3, donc + 3 > y, puis : + y Ainsi : + y + Comme et y sont des entiers, on a donc : y { +, + } Pour y +, on a : E } + {{ }, > qui n a pas de solution dans N Pour y +, on a : Ainsi : E ou / N { { E y + y 4 Finalement, l équation proposée admet une solution et une seule :,4 On peut contrôler que,4 est bien solution de E 58 Considérons l égalité de polynômes : + X p + X q + X p+q En utilisant la formule du binôme de Newton, on voit que le coefficient de X n dans + X p + X q est 6

239 n q k n k k p + q n, et celui de X n dans + X p+q est,d où l égalité voulue En particulier, si p q n : n n k k k k n n k k n n 59 D après la formule du binôme de Newton, on a l égalité de polynôme : + X n X k, n k k n d où par dérivation : n + X n k X k, k k n puis, en remplaçant X par : k n n k En utilisant des intégrales et la formule du binôme de Newton : n n + n k k k k +, k [ + et d autre part : + n n+ d n + n k d où : k + n+ n + k 5 a On a, pour tout n N : k n!n + S n n!n + n! k k!n k! k n + k!n k! k k ] n+ n +, k n k + + k + k!n k! k k k!n k +! k [pk+] + k k +!n k! k k k!n k +! k n+ + p p!n p +! p télescopage n +! + n n +! + n n +! b D après a, pour tout n N : + n n +! S n n!n + + nn + n + En séparant en deu cas selon la parité de n, on conclut : n + si n est pair S n n + si n est impair 5 a On a : n i i k k n! i!n i! n! i! k!i k! n i!k!i k! n! k!n k! n k! n i!i k! n n k, k n i car i k n k n i b En utilisant a, on a : n i S n i k k ik k ik n n n k k n i k ik n n k n k [ jn i] k j k j n Newton k n k n k Newton + n 3 n n k n i 5 Remplaçons les coefficients binomiau par leur epression à l aide de factorielles, dans la somme S n du premier membre : n! S n k!n k!k + n k + k n! k +!n k +! k n +! n + n + k +!n k +! k n + n + n + k + k n+ n + [pk+] n + n + p p n + n + n+ n + n + n + p n + p 7

240 8 En utilisant la formule du binôme de Newton, on conclut : S n n+ n + n + 53 On compte le nombre d inversions de σ, à l aide de la ème ligne de σ : est inversé vis-à-vis de 3,5,,n 4 5,,n n n Le nombre I σ d inversions de σ est donc : Iσ n + n + + n n, d où la signature εσ de σ : εσ n n, ou encore : εσ E n n n n, car pour tout n N, et E sont de même parité 54 Notons E {,, n } L ensemble des relations dans E est en bijection avec l ensemble des tableau à n lignes, n colonnes indiquées par les éléments / de E, et contenant à la ligne i, colonne j,l élément si i R j, l élément si i R j a Le nombre de relations dans E, qui est aussi le cardinal de PE E, est n b Le nombre de relations réfleives dans E est le nombre de tableau comportant un à chaque place diagonale ; c est donc n n, puisqu il y a n n places «libres» c Le nombre de relations symétriques dans E est le nombre de demi-tableau limités par la diagonale, et diagonale comprise ; c est donc n +n d Soit i, j {,,n} tel que i < j La condition d antisymétrie pour une relation R se traduit, sur i et j par les trois possibilités suivantes : / i R j et j R i / i R j et j R i / / i R j et j R i On en déduit que le nombre de relations antisymétriques dans E est n 3 n n, car il y a n façons de remplir la diagonale, et il y a n n paires de cases symétriques par rapport à la diagonale e Le nombre de relations réfleives et symétriques dans E est le nombre de demi-tableau limités par la diagonale, et diagonale eclue ; c est donc n n f En utilisant la méthode de d, le nombre de relations réfleives et antisymétriques dans E est 3 n n 55 Considérons un nombre entier naturel non nul, dont l écriture décimale comporte eactement n chiffres donc le premier chiffre, à gauche, est différent de et comportant un chiffre et un seul Le chiffre peut être en premier à gauche, les autres chiffres étant quelconques, différents de Il y a 9 n possibilités Si le chiffre n est pas en premier à gauche, il y a n façons de placer ce chiffre Le premier chiffre à gauche est quelconque, différent de et de, ce qui donne 8 possibilités pour ce premier chiffre à gauche Les chiffres autres que le premier à gauche et différents de sont parmi,,,9, ce qui donne 9 n possibilités de les placer On conclut que le nombre demandé est : 9 n + n 8 9 n 9 n 9 + 8n 8n + 9 n 56 a Remplaçons les coefficients binomiau par leur epression à l aide de factorielles : n k n! k p k!n k! k! p!k p! n! n k!p!k p! n! p!n p! n p! n k!k p! n n p, p k p car n k n p k p b On a, en utilisant a : n k n k k p kp n k n n p p k p kp n n k n p p k p [ jk p] n n p kp n p j n p j p n p j n p n j n p p j j n n p Newton n p + p { si n / p si n p

241 c On a, pour tout n N, en utilisant une permutation de deu sommations : n n k k k 57 relatif b k n k k n k a j k j k k j j k n n k k k j n k n k n j b a n Remarquons d abord que k j n k n k j k a j j k a j j k a j j n σk k est un entier k Raisonnons par l absurde : supposons que n σk k est k k k impair Alors, pour tout k {,,n}, σk k est impair D autre part, comme σ est une permutation de {, n}, on a : σk k, puisque ces deu sommes comportent les mêmes termes D où : σk k σk k k k k Mais n est impair et les σk k sont tous impairs, donc σk k est impair, contradiction k n Ce raisonnement par l absurde montre que σk k est pair k 58 a Si σ et τ i, j commutent, alors : σi σ τ i, j j σ τ i, j j τ i, j σ j τ i, j σ j σ j σ τ i, j i σ τ i, j i τ i, j σi τ i, j σi Comme σi / σ j et que τ i, j laisse fies tous les éléments de {,,n} {i, j}, on a alors σi i et σ j j ou σi j et σ j i, donc {i, j} est stable par σ Réciproquement, supposons {i, j} stable par σ On a donc σi i et σ j j ou σi j et σ j i d où facilement : { τi, j σi σ τ i, j i τ i, j σ j σ τ i, j j D autre part, {,,n} {i, j} est stable par σ car σ est bijectiv e, et on a, pour tout k de {,,n} {i, j} : { τi, j σk τ i, j k σk σ τ i, j k σk, donc τ i, j σk σ τ i, j k Finalement : τ i, j σ σ τ i, j b Soit i {,,n} Puisque n 3, il eiste j,k {,,n} tel que i, j,k soient deu à deu distincts Comme σ commute avec τ i, j et τ i,k, d'après a, {i, j} et {i,k} sont stables par σ, donc σi i Ceci montre : σ Id La réciproque est évidente: Id commute avec toute permutation 9

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243 Arithmétique dans Z 6 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 33 Du mal à démarrer? 36 Corrigés 38 Thèmes abordés dans les eercices Montrer une divisibilité Montrer qu'un entier est composé, c'est-à-dire n'est pas premier Résolution d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont la ou les inconnues sont dans Z Résolution de congruences ou de systèmes de congruences, à inconnues dans Z Petit théorème de Fermat, théorème de Wilson, et leurs utilisations Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés de la divisibilité dans Z, théorème de division euclidienne dans Z, définition et propriétés des congruences Définitions et propriétés des pgcd et ppcm Définition et propriétés des nombres premiers entre eu, théorème de Bezout, théorème de Gauss Définition d'un nombre premier, eistence et unicité de la décomposition primaire d'un entier Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour montrer qu un entier A supérieur ou égal à est composé, c est-à-dire n est pas premier Montrer l eistence de a,b N tel que : A ab, a, b À cet effet, on peut essayer de transformer l écriture de A, par eemple en utilisant : une identité remarquable permettant d amener une factorisation de A Eercice 6 une mise sous forme canonique d un trinôme ou d un trinôme bicarré Eercice 6 3

244 Chapitre 6 Arithmétique dans Z Essayer de : mettre a en facteur dans b, c est-à-dire trouver un entier c tel que b ac utiliser les congruences modulo a Pour montrer qu un entier a divise un entier b utiliser une récurrence Eercices 63, 64, 67 Eercices 63, 68, 64 montrer que, dans Z/aZ, on a b utiliser la décomposition primaire de a Eercice 63 Essayer de : ramener l équation proposée, par équivalence logique ou par implication, à une équation plus simple Eercices 6, 64 Pour résoudre une équation diophantienne faire intervenir des limitations par inégalité ou par divisibilité sur les inconnues Eercices 6, 6 montrer qu il n y a aucune solution, en raisonnant par l absurde et en utilisant des congruences bien choisies Eercices 63, 66 b Pour résoudre une équation faisant intervenir pgcd et/ou ppcm de deu nombres entiers,y Pour montrer qu un entier a donné numériquement divise un entier N Pour obtenir des congruences modulo, 4, 8 Essayer d utiliser les entiers X,Y tels que, en notant d y, on ait : dx, y dy, X Y Eercices 6, 6 Essayer de décomposer a en un produit de facteurs premiers entre eu deu à deu, montrer que chacun de ces facteurs divise N, et en déduire que a divise N Eercice 63 Essayer de séparer en cas selon la parité des nombres qui interviennent Eercice 66 Pour déterminer le dernier chiffre de l écriture décimale d un entier naturel a Réduire a modulo Eercice 69 3

245 Énoncés des eercices Pour résoudre un système de congruences simultanées à une inconnue Pour obtenir des résultats portant sur les diviseurs d un entier n N Résoudre la première congruence, reporter dans la deuième, etc Eercices 67 à 69 Essayer d utiliser la décomposition primaire de n Eercices 6, 68 Énoncés des eercices Eemple de nombre composé Montrer que le nombre entier A est composé, c est-à-dire non premier Eemple de nombre composé Montrer que, pour tout n Z, le nombre entier n 4 n + 4 est composé, c est-à-dire n est pas premier Eemple de divisibilité Montrer : n N, 4 3 4n+ + 5 n+ Eemple de divisibilité, utilisation de congruences Montrer : n N, 3 5n + 5 5n n+ Eemple de nombre premier satisfaisant une condition simple Trouver tous les nombres premiers p tels que p + soit aussi premier Reste de la division euclidienne du carré d un entier par 8 a Soit a Z Montrer que le reste de la division euclidienne de a par 8 est égal à,, ou 4 b Soit n N Montrer que, si 8 divise n 7 autrement dit : n 7 [8], alors n ne peut pas être la somme de trois carrés d entiers Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple d utilisation de congruences Montrer, pour tout,y Z : y y Eemple de divisibilité, méthode de récurrence Montrer : n N, 6 3 n+6 5 n+ 4n Réduction d un nombre par congruence Quel est le dernier chiffre de l écriture décimale de a 7 384? Eemple de divisibilité Déterminer l ensemble E des n Z tels que : n + 7 n

246 Chapitre 6 Arithmétique dans Z 6 6 Condition pour qu une racine carrée d une certaine fraction soit un entier n 5 Trouver tous les n Z tels que n + 4 N Eemple d équation diophantienne du second degré, avec factorisation Résoudre dans Z : 9y 39y Eemples d équations diophantiennes n ayant aucune solution, par passage au congruences modulo un entier bien choisi a Montrer que l équation 3y 7 n a pas de solution dans Z b Montrer que l équation 3 + y 3 3 n a pas de solution dans Z Eemple d équation diophantienne Résoudre dans Z l équation : + y + 4y 5 Condition de divisibilité par calculs modulo 5 Montrer, pour tout a,b Z : 4a + b 5 ab Cubes modulo 7 a Montrer, pour tout,y,z Z 3 : y 3 + z 3 7 yz b En déduire que le système d équations S { 3 + y 3 + z 3 7 yz 7 + y + z + n a pas de solution dans Z Eemple de résolution d un système de trois congruences simultanées à une inconnue Résoudre dans Z le système de congruences : 5 7 [] S 7 [5] 5 [7] 3 Eemple de résolution d un système de trois congruences simultanées à une inconnue Résoudre dans Z le système de congruences : [6] S 3 [] 7 [5] 3 Eemple de recherche d une solution d un système non linéaire de deu congruences simultanées à une inconnue Déterminer le plus petit entier naturel tel que : 6 [3] et 3 [3 ] 34

247 Énoncés des eercices 6 Résolution d un système d équations sur le pgcd et le ppcm de deu entiers a Pour a,b N fié, résoudre dans N le système d équations : { y a S y b b Eemples : Résoudre S dans chacun des deu eemples suivants : a, b a 8, b 8 6 Eemple d équation faisant intervenir le pgcd et le ppcm de deu nombres entiers Résoudre dans N : y + y 3 6 Utilisation de décompositions primaires Soit n N On suppose : a N, n a et Montrer : c N, n c 6 b N, n b 3 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Nombres de Fermat Pour n N, on note F n n + Montrer que les F n n N sont premiers entre eu deu à deu Eemple de divisibilité avec double eposant Montrer : n N, 3 8n+6 + Eemple d équation fonctionnelle Démontrer qu il n eiste pas d application f : Z Z telle que : Z, f f + Étude de sommes de fonctions arithmétiques On note, pour tout n N, dn le nombre de diviseurs de n dans N et σn la somme des diviseurs de n dans N Montrer, pour tout n N : n n a dk E b σk i E, i i k i où E désigne la partie entière Étude de produit de facteurs dans une factorielle Soit n N non premier et tel que n 6 Montrer : n n! k Utilisation de décompositions primaires Soit a,b,c,n N 4, tel que a b et ab c n Montrer qu il eiste α,β N tel que : a α n et b β n Petit théorème de Fermat Soi p un nombre premier p a Montrer : k {,,p }, p p k i 35

248 Chapitre 6 Arithmétique dans Z b En déduire le petit théorème de Fermat : n Z, n p n [p] En particulier : n Z, p / n n p [p] 63 Eemple de divisibilité : utilisation du petit théorème de Fermat Démontrer, pour tout,y Z : y y 6 On pourra utliser le petit théorème de Fermat cf eercice 69 qui dit que, pour tout nombre premier p et tout a Z non multiple de p, on a : a p [p] 63 Théorème de Wilson Soit p N {,} Démontrer que p est premier si et seulement si : p! [p] 63 Eemple de résolution d un système de divisibilités Trouver tous les a, b, c N {,} 3 tels que : a bc + et b ca + et c ab + Du mal à démarrer? 6 Factoriser A en utilisant une identité remarquable 6 Factoriser le trinôme bicarré 63 re méthode : utilisation de congruences modulo 4 Réduire 3 4n+ + 5 n+ modulo 4, par calculs è méthode : récurrence sur n En notant u n 3 4n+ + 5 n+, montrer, par récurrence sur n, que 4 u n Pour passer de 4 u n à 4 u n+, eprimer u n+ en faisant intervenir u n 3 è méthode : reconnaître une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre 64 Calculer 3 5, 4 5, 5 5 modulo, puis reporter dans l epression de l énoncé 65 Eaminer le cas p Si p est impair, passer modulo 3 66 a Séparer en cas : a pair, a impair b Calculer tous les restes possibles de la division euclidienne de a + b + c par 8, en utilisant le résultat de a 67 Utiliser des congruences modulo 3 68 Récurrence sur n En notant u n 3 n+6 5 n+ 4n, eprimer u n+ en faisant intervenir u n 69 Réduire a modulo À cet effet, remarquer 7 4 [], et réduire 3 84 modulo 4 6 De la divisibilité de l énoncé, déduire que n + 7 divise une epression du premier degré en n, puis utiliser : a,b Z Z, a b a b 6 Si n convient, déduire n + 4 n 5, puis n Transformer l équation proposée de façon à factoriser 63 a Passer modulo 3 b Passer modulo 7 64 Transformer l équation proposée pour se ramener à une somme de carrés 65 Remarquer que, si 4a + b, alors, modulo 5 : a + b Calculer tous les modulo 5, pour Z, puis tous les a + b modulo 5 pour a,b Z 66 a Calculer tous les t 3 modulo 7, puis tous les 3 + y 3 + z 3 67 Résoudre, puis reporter le résultat dans, et, enfin, reporter dans 3 68 Résoudre, puis reporter le résultat dans, et, enfin, reporter dans 3 36

249 Les méthodes à retenir 69 Résoudre la première congruence dans Z et reporter le résultat dans la deuième congruence On obtient ainsi l ensemble des solutions du système de deu congruences Déterminer enfin dans cet ensemble le plus petit entier positif ou nul 6 a Si a b, montrer que S n a pas de solution Si a b, noter c N tel que b ac Pour,y N, considérer d y, et X,Y N tel que : dx, y dy, X Y Eprimer le résultat demandé, à l aide de X,Y 6 Pour,y N, noter d y, X,Y N tel que : dx, y dy, X Y et reporter dans l équation 6 Considérer la décomposition primaire de n 63 Pour m,n N tel que m < n, en notant k n m,eprimer F n en faisant intervenir F m 64 Récurrence sur n En notant u n 8n+6 +, eprimer u n+ en faisant intervenir u n 65 Si f convient, considérer f f f et déduire qu il eiste a Z tel que : Z, f + a Reporter dans l équation de l énoncé et obtenir une contradiction 66 Eprimer, pour tout k N, dk et σk comme sommations indeées par i tel que i k, puis permuter deu symboles de sommation 67 Il eiste a,b N tel que : n ab, < a < n, < b < n Séparer les cas a b, a b 68 Utiliser les décompositions primaires de a, b, c p p! 69 a Par définition, k k!p k!, p k!p k! p! Utiliser le théorème de Gauss k b Traiter le cas p Pour p 3, montrer, par récurrence sur n : n N, n p n [p], puis traiter le cas n Z donc 63 Former la décomposition primaire de et remarquer que c est un produit de nombres premiers deu à deu distincts, tels que, si p est l un de ces nombres premiers, alors p divise 6 Utiliser le petit théorème de Fermat 63 Séparer les deu sens de l équivalence logique On suppose p premier Traiter le cas p Pour p 3, considérer l équation dans le groupe multiplicatif Z/ pz { } Montrer que, 3,, p peuvent se grouper deu par deu de produit Réciproquement, on suppose p non premier Utiliser un diviseur d de p tel que d p 63 Soit a, b, c convenant On peut se ramener au cas où : a b c Montrer que a,b,c sont premiers entre eu deu à deu Considérer S ab + bc + ca +, montrer abc S Déduire par eemple abc, puis a, b 3, c 7 Étudier la réciproque Dunod La photocopie non autorisée est un délit 37

250 Corrigés des eercices 38 6 On a, en utilisant une identité remarquable sur la somme de deu cubes : A } {{ } } {{ } noté u noté v Il est clair que u N et u D autre part, v N et : v On conclut que A est composé 6 Soit n Z On a, par factorisation d un trinôme bicarré : n 4 n + 4 n 6n n 4nn + 4n n 6 n + 6 De plus : n 6 / ± et n + 6 / ±, car ni 5 ni 7 ne sont des carrés d entiers On conclut que n 4 n + 4 est composé 63 re méthode : utilisation de congruences modulo 4 On a, modulo 4, pour tout n N : 3 4n+ + 5 n n n 9 8 n n 9 [4] 3n n 4 3 n, donc : 4 3 4n+ + 5 n+ è méthode : récurrence sur n Notons, pour tout n N : u n 3 4n+ + 5 n+ On a : u , donc 4 u Supposons pour un n N fié : 4 u n Eprimons u n+ en faisant intervenir u n : u n+ 3 4n n++ 3 4n n n+ + 5 n u n 5 n+ + 5 n u n + 5 n u n 56 5 n+ 3 4 u n n+ Comme 4 u n, on déduit 4 u n+, ce qui prouve le résultat demandé, par récurrence sur n 3 è méthode : reconnaître une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre Notons, pour tout n N : u n 3 4n+ + 5 n n n On reconnaît le terme général d une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre L équation caractéristique a pour solutions 3 4 et 5, donc c est, avec une inconnue notée r, l équation r r On a donc : n N, u n u n u n Montrons, par récurrence à deu pas sur n, que pour tout n N : 4 u n La propriété est vraie pour n, car u La propriété est vraie pour n, car : u Si 4 u n et 4 u n+, alors, d après l epression de u n+ en fonction de u n et u n+, on a : 4 u n+ Ceci montre le résultat demandé, par récurrence sur n, à deu pas 64 Soit n N Notons u n 3 5n + 5 5n n+ 3 5 n n n On a, modulo : [], [], [] d où : u n n + 5 n + 4 n [] On conclut : u n 65 Si p est pair, alors, comme p est premier, p, donc p + 6, qui n est pas premier Supposons p impair Passons modulo 3 Si p [3], alors, comme p est premier, p 3, donc p +, qui est premier Si p ± [3], alors, modulo 3, p + + 3, donc, comme p + est premier, p + 3, p, eclu On conclut qu il y a un nombre premier p et un seul convenant, c est p 3

251 66 a Si a est pair, alors 4 a, donc le reste de la division euclidienne de a par 8 est ou 4 Si a est impair, il eiste b Z tel que a b +, et on a a 4b + 4b + 4bb + + Comme bb + est pair car b ou b + est pair, on en déduit que le reste de la division euclidienne de a par 8 est b Supposons qu il eiste a,b,c Z 3 tel que n a + b + c Le reste r de la division euclidienne de n par 8 est donc parmi les sommes de trois nombres puis parmi,, 4 réduites modulo 8, donc r {,,,3,4,5,6}, r / 7 67 On a, pour tout,y Z, en utilisant des congruences modulo 3 : y 7 + 3y 7 + 3y y + 6y 5 + 6y y 5 + 4y y 68 Notons, pour tout n N, u n 3 n+6 5 n+ 4n Montrons, par récurrence sur n : n N, 6 u n Pour n, on a : u , donc 6 u Supposons, pour un n N fié : 6 u n Eprimons u n+ en faisant intervenir u n : u n+ 3 n++6 5 n+3 4n + 9u n + 5 n+ + 4n 5 n+3 4n 4 9u n n+ + 3n 4 9u n + 3n + 45 n+ Comme 5 [4] [4], on a : 5 n+ [4], donc 4 5 n+ Il en résulte : 6 45 n+, et donc, comme 6 u n et 6 3, on déduit, par addition : 6 u n+ On a montré, par récurrence sur n : n N, 6 u n 69 Il s agit de trouver la classe de a modulo On a, modulo : 7 49, donc On va donc chercher la classe de 3 84 modulo 4 On a, modulo 4 : 3 9, donc, modulo 4 : Il eiste donc k N tel que : k +, d où : a k+ 7 4 k 7 k 7 7 [] On conclut : le dernier chiffre de l écriture décimale de a est 7 6 Soit n Z tel que n + 7 n Comme n nn + 7 7n + 5, on déduit : n + 7 7n + 5 Puisque n + 7 /, il en résulte : n + 7 7n + 5 En notant k n N, on a alors : k + 7 7n + 5 7k + 5, donc : k 7k + On résout cette inéquation du second degré Le discriminant est >, donc le trinôme admet deu zéros On déduit : 7 4 et 7 4 est entier et que k 7 + 4, et donc, puisque k,98 et ,7, on a : k 6 Ceci montre : 6 n 6 On teste tous les cas, pour 6 n 6, par eemple sous la forme d un tableau : n n n n n n Il en résulte : n + 7 n n 3oun 4 et on conclut : E {3, 4} n 5 6 Soit n Z tel que N On a alors : n + 4 n + 4 n 5 Mais : n 5 n , d où : n et donc : n + 4 Div Z 49 { 49, 7,,, 7, 49}, puis : n { 53,, 5, 3, 3, 45} On teste tous les cas, par eemple sous la forme d un tableau : n n n + 4 n 5 On conclut, que, pour tout n Z : N n 3 n + 4 Ainsi, il eiste un n N et un seul convenant, c est n 3 39

252 6 d où : Utilisons la mise sous forme canonique d un trinôme : 9y 39y + 4 3y y 39y + 4 3y y 3 9 6y y 3 6y y 3 u u,v Z, 6y 3 + v uv 9 6y 3 u + v u,v Z, 4 v u uv 9 v u 4 u,v Z, y u + v + 3 u + v uv 9 De plus : Div Z 9 { 9, 3,,, 3, 9} On consigne les résultats dans un tableau, en ne gardant que les cas pour lesquels et y sont entiers : u v / / / / y / / / 3 / 3 L ensemble des solutions de l équation proposée est donc {,3,,3} On peut contrôler ces résultats en reportant dans l équation de l énoncé 63 a Utilisons des congruences modulo 3 Soit,y Z une solution On a alors, modulo 3 : Mais : 3y { ± Ainsi : Z, ou, d où une contradiction Ceci montre que l équation 3y 7 n a pas de solution dans Z b Utilisons des congruences modulo 7 Soit,y Z une solution Formons le tableau des cubes modulo 7 : t ± ± ±3 t 3 ± ± Ainsi : t Z, t 3 [7] ou ou Il s ensuit, par addition de deu termes parmi,,, que 3 + y 3 est congru, modulo 7 à l un des nombres :,,,,, et donc : 3 + y 3 3 [7], contradiction Ceci montre que l équation 3 + y 3 3 n a pas de solution dans Z 64 Soit,y Z Utilisons une mise sous forme canonique de trinômes : + y + 4y 5 + y + 4y 5 + y + En notant X, Y y +, on a X,Y Z et : X + Y La liste des carrés d entiers,, 4, 9, montre alors : { { X X 9 ou Y 9 Y { { X ± X ±3 ou Y ±3 Y ± ou y ou y 5 4 ou ou y ou y 3 On conclut que l ensemble S des solutions de est : { S,,, 5,,,, 5, 4,, } 4, 3,,,, 3, ou encore, en ordonnant les couples selon l ordre leicographique comparaison du premier élément du couple, puis, si le 4

253 premier élément est le même, comparaison du second élément du couple : S {, 3,,,, 5,,,, 5,,, 4, 3, 4, } On peut contrôler chacun de ces couples en reportant dans 65 Soit a,b Z tel que 4a + b Calculons les carrés d entiers modulo 5, par eemple sous forme d un tableau : ± ± Ainsi : Z, [5] ou ou D autre part, modulo 5 : b 4a + a +, donc a + b Calculons les sommes de deu carrés modulo 5, par eemple sous forme d un tableau, donnant a + b modulo 5 à partir de a modulo 5 et de b modulo 5 : On a donc, modulo 5 : a b { a a + b b ou { a b Enfin, d après le tableau des carrés modulo 5, on a : Z, d où : a ou b, donc ab, c est-à-dire : 5 ab 66 a Soit,y,z Z 3 tel que y 3 + z 3 Calculons les cubes modulo 7, par eemple sous forme d un tableau : t ± ± ±3 t 3 ± ± ± Raisonnons par l absurde : supposons 7/, 7/ y, 7/ z Alors, modulo 7 : 3 ±, y 3 ±, z 3 ± On en déduit, par addition, en eaminant toutes les huit possibilités, que : 3 + y 3 + z 3, contradiction Ceci montre, modulo 7 : 3 + y 3 + z 3 3 ou y 3 ou z 3 De plus, d après le tableau des cubes modulo 7 ci-dessus : t Z, t 3 [7] t [7] On a donc, modulo 7 : 3 + y 3 + z 3 ou y ou z 7 ou 7 y ou 7 z 7 yz b Si le système S admet au moins une solution,y,z Z 3, alors, d après la première équation, y 3 + z 3, donc, d après a, 7 yz, ce qui contredit la deuième équation On conclut que S n a pas de solution dans Z 3 67 Résolvons la première équation de S Soit Z On cherche l inverse de 5 modulo Cet inverse eiste car 5 On remarque : 5 [], donc l inverse de 5 modulo est D où : 5 7 [] 5 7 [] 3 [] a Z, 3 + a On reporte ce résultat dans la deuième équation de S, et on raisonne comme ci-dessus en commençant par simplifier les nombres modulo 5 : 7 [5] [5] 3 + a [5] a 7 [5] a [5] 3 5 3a 3 [5] a [5] b Z, a + 5b On obtient : 3 + a b b 3 De même, on reporte dans l équation 3 de S : 3 5 [7] 4 5 [7] b 5 [7] b 7 [7] 3b [7] b 5 [7] b 5 [7] k Z, b 5 + 7k 4

254 4 On obtient : b k k On conclut que l ensemble des solutions de S est : 68 { k ; k Z} Résolvons la première équation de S On a : [6] a Z, + 6a Reportons dans la deuième équation de S : 3 [] + 6a 3 [] 6a [] 3a [5] Comme 3 6 [5], 3 est inversible modulo 5 et son inverse est, d où : 3a [5] 3a [5] a [5] On obtient : b Z, a + 5b + 6a b 3 + 3b 3 Reportons dans la troisième équation 3 de S : 3 7 [5] 3 + 3b 7 [5] 3b 6 [5] 6 [5], impossible On conclut que S n a pas de solution dans Z 69 Soit Z On a : 6 [3] y Z, 6 + 3y Reportons dans la deuième congruence : 3 [3 ] 6 + 3y 3 [3 ] y + 3 y 3 [3 ] 3y 3 [3 ] y [3] On cherche l inverse de modulo 3 Cet inverse eiste car 3 On a : 4 [3], donc l inverse de modulo 3 est D où : y [3] y [3] y [3] z Z, y + 3z Ainsi, Z est solution du système de deu congruences si et seulement s il eiste z Z tel que : z z Il est alors clair que le plus petit entier naturel convenant correspond à z, et on a : On conclut que l entier cherché est égal à 489 On peut contrôler que 489 satisfait les congruences de l énoncé 6 a Si a/ b, alors, comme, pour tout,y N, y y, S n a pas de solution Supposons a b Il eiste c N tel que b ac Soit,y N Notons d y, X,Y N tel que : dx, y dy, X Y On a : { y a { d a { d a S y b dxy b XY c On conclut que l ensemble des solutions de S est : S {ax, ay ; X c, Y cx }, X Y b a, b : Comme a/ b, on a : S a 8, b 8 : On a : 8 8, 8 8, c D où : { S 8X, 8Y ; X, Y } X, X Y { 8X, 8Y ; 6 { X Y ou { X Y 5 ou { X 5 Y {8, 8, 6,4, 4,6, 8,8} Soit,y N Notons d y, X,Y N tel que : ou dx, y dy, X Y { } X Y On sait, d après le Cours, que l on a alors : y dxy D où : d + dxy 3 d + XY 3 On forme la décomposition primaire de 3 : De plus, comme X,Y N : Pour d : d 3 6,9 d XY 3 XY 9 6 3

255 On a donc, à l ordre près et puisque X Y : { X { X 3 ou Y 9 Y 6 64 { y 9 ou { 3 y 64 Pour d 7 : + XY 9 XY 8 3 On a donc, à l ordre près et puisque X Y : { X { X ou Y 8 Y 9 { 7 { 4 y 6 ou y 63 On conclut que l ensemble S des solutions de est formé de, 9, 3, 64, 7, 6, 4, 63 et de leurs permutés, ce qui donne en tout eactement huit solutions 6 Notons n N k p α k k la décomposition primaire de n Puisqu il eiste a N tel que n a, on a : k {,,N}, α k Puisqu il eiste b N tel que n b 3, on a : k {,,N}, 3 α k Comme 3, il en résulte : k {,,N}, 6 α k Ainsi, pour tout k {,,N}, il eiste β k N tel que α k 6β k N On a alors, en notant c p β k k : n N k p α k k N k k p 6β k k N k p β k k 6 c 6 63 Soient m,n N tels que m < n, et d N un diviseur commun à F m et F n ; notons k n m On a : F n m k + F m k + En développant par la formule du binôme de Newton, il en résulte : F m F n On déduit : d Mais, d autre part, F m et F n sont impairs, d où d, et finalement : F m F n 64 Notons, pour tout n N : u n 8n+6 + Montrons, par récurrence sur n : n N, 3 u n Pour n, on a : u On a, modulo 3 : D où : u 3 + 3, et donc : 3 u Supposons pour un n N fié : 3 u n Eprimons u n+ en faisant intervenir u n : u n+ 8n n n n un 8 + [3] On a, modulo 3 : [3] D où : u n , et donc : 3 u n+ [3] On a montré, par récurrence sur n : n N, 3 u n 65 Raisonnons par l absurde : supposons qu il eiste f convenant On a alors, pour tout Z : { f f f f f f f + f f f f f f f +, d où, puisque la loi est associative : f + f + Un récurrence immédiate récurrence montante et récurrence descendante permet de déduire : Z, f + f Notons, pour la commodité, f a Z Ainsi : f : Z Z, f + a On a alors, pour tout Z : + f f f f f + a + a + a + a, d où a, contradiction avec a Z On conclut qu il n eiste pas d application f : Z Z satisfaisant les conditions de l énoncé 66 a Remarquons que, pour tout k N, par définition de dk : dk i k 43

256 44 On a donc, pour tout n N, par manipulation de symboles de sommation : dk k k i i k i ki, i,, k n i k, k n n E i b De même, pour tout k N, par définition de σk : σk i i k On a donc, pour tout n N : σk i k 67 que : k i i i k i ki,i,, k n n i E i i k, k n i i i i i ki,i,, k n Puisque n n est pas premier, il eiste a,b N tel n ab, < a < n, < b < n On a alors : a et b, donc b n a n et a n b n n De plus : n n 4 Comme n 6, on a donc : a n et b n er cas : a / b Dans ce cas, comme a et b sont distincts et n, le produit ab divise n! et donc n n! è cas : a b On a alors a n 6, donc a 3 Les entiers a et a sont distincts et a n Montrons : a n On a : a n a a a a a 3 a 3 a a N 4 a a 3 a Ainsi, a et a sont distincts et n, donc leur produit aa divise n! Mais aa a n et n n On conclut : n n! 68 Considérons les décompositions primaires de a,b,c : N N N a p r i i, b p s i i, c p t i i, où N N, p,,p N i i i sont premiers et deu à deu distincts, et les eposants sont dans N D une part, comme a b, on a : i {,,N}, r i ou s i D autre part : i {,,N}, r i + s i nt i Il en résulte : i {,,N}, n r i et n s i Il eiste donc α,,α N,β,,β N dans N tels que : i {,,N}, r i nα i, s i nβ i N N En notant α p α i i et β p β i i, on a : i i α,β N, a α n, b β n 69 a Soit k {,,p } On a : p p k!p k! p!, donc p divise k!p k! k k Comme k p et que p est premier, on a : p k! De même : p p k! p D après le théorème de Gauss, on déduit : p k b Traitons le cas p Il est clair que, pour tout n de Z, n et n ont la même parité, donc n n [] Supposons p 3 Montrons, par récurrence sur n : n N, n p n [p] La propriété est évidente pour n Si elle est vraie pour un n de N, alors, en utilisant a : p p n + p n p + n k + n p + n + k [p] [p] k Enfin, comme p est impair, et en utilisant le résultat précédent : n Z, n p n p [p] n n 63 On forme d abord la décomposition primaire du nombre de gauche dans l énoncé : Soit p l un de ces facteurs premiers Alors : p {,, 4, 6,,, 3, 6}, donc p 6 D après le petit théorème de Fermat, on a, puisque p est premier, pour tout a Z tel que p ne divise pas a : a p [p] Comme p 6, il en résulte : a 6 [p]

257 Soit,y Z Si p ou p y, alors p 6 y y 6 Supposons p/ et p/ y Alors, comme on l a vu plus haut : 6 [p] et y 6 [p], d où : 6 y y 6 y 6 y 6 y [p] Ceci montre : p 6 y y 6 Ainsi, les facteurs premiers p considérés divisent 6 y y 6, donc leur produit le divise aussi et on conclut : y 6 y 6 Supposons p premier Si p, alors p! [] Supposons donc p 3 Dans le groupe multiplicatif Z/ pz {ˆ}, l équation ˆ admet eactement deu solutions qui sont ˆ et ˆ, puisque Z/ pz est un corps Il en résulte : Z/ pz { ˆ,ˆ,ˆ}, / p Dans le produit ˆk, on peut donc grouper les facteurs deu k à deu, de produits égau à, d où : p k ˆk p k ˆk ˆ On a alors p ˆ, et ainsi : p! [p] Réciproquement, supposons p non premier et p Il eiste alors un diviseur d de p tel que d p Comme d p! et d p, on ne peut avoir p! [p] sinon : d 63 Soit a, b, c convenant Par rôles symétriques de a, b, c, on peut supposer, par eemple : a b c Soit δ N tel que : δ a et δ b Alors : δ a bc + et δ b bc, donc, par différence, δ, donc δ Ceci montre que a et b sont premiers entre eu Par rôles symétriques de a, b, c, on déduit que a et c sont premiers entre eu, et que b et c sont premiers entre eu Ceci montre que a, b, c sont premiers entre eu deu à deu En particulier, comme a, b, c sont tous, il en résulte qu ils sont deu à deu différents, et donc ; a < b < c Notons S ab + bc + ca + N Comme a bc + et a ab + ca, par addition : a S Par rôles symétriques de a, b, c, on déduit : a S, b S, c S Comme a, b, c sont premiers entre eu deu à deu, d après un théorème du cours, il en résulte : abc S et donc, comme abc et S sont des entiers naturels non nuls : abc S Supposons b 4 Alors, c 5 puis : abc S ab + bc + ca + abc c + abc a abc 5 + abc + abc abc +, + abc b + d où : abc Mais : abc 4 5 4, contradiction On a donc nécessairement b 3, d où a Enfin : c 4 et c ab + 7, donc c 7 Ceci montre : a, b 3, c 7 Réciproquement : 3 7 +, , , donc, 3, 7 convient Finalement, il eiste eactement si triplets a,b,c convenant, déduits du triplet, 3, 7 par permutations 45

258

259 Polynômes, fractions rationnelles 7 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 48 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 56 Corrigés 58 Thèmes abordés dans les eercices Calculs dans K [X] Interventions de l algèbre linéaire dans un contete de polynômes Calcul du quotient, du reste d une division euclidienne dans K [X] Calculs de pgcd et ppcm dans K [X] Étude des zéros d un polynôme et de leurs ordres de multiplicité Factorisation de polynômes assez simples dans C[X], dans R[X] Localisation des zéros d un polynôme de C[X], de R[X] Calcul de fonctions symétriques de n complees Résolution de systèmes algébriques symétriques Décomposition d une fraction rationnelle en éléments simples Dunod La photocopie non autorisée est un délit Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés de K [X] Division euclidienne dans K [X], divisibilité Définition et propriétés des pgcd et ppcm dans K [X] Polynômes premiers entre eu, théorème de Bezout, théorème de Gauss Définition des zéros d un polynôme, de l ordre de multiplicité, lien avec les dérivées successives Caractérisations des polynômes irréductibles de C[X], de R[X], factorisation d un trinôme, d un trinôme bicarré réel Définition des fonctions symétriques élémentaires de n complees, relations entre coefficients et racines d un polynôme scindé Définition et propriétés de K X, technique de la décomposition en éléments simples, formule portant sur P P où P est scindé 47

260 Chapitre 7 Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir On note K un corps commutatif, et K R ou C Pour montrer une propriété portant sur des polynômes indeés par un entier naturel n Essayer d utiliser un raisonnement par récurrence Eercice 7 Pour trouver tous les polynômes satisfaisant une formule donnée Essayer de : étudier le degré utiliser un argument de divisibilité Revenir à la définition : Eercices 7, 73 Eercice 7 Pour déterminer le reste de la division euclidienne d un polynôme A par un polynôme B non nul Pour montrer que a K est zéro d ordre α au moins d un polynôme P de K[X] Pour montrer que a K est zéro d ordre α eactement d un polynôme P de K[X] A BQ + R, deg R <deg B, et, si B est de bas degré, prendre la valeur en un ou des points annulant B Éventuellement, passer par les nombres complees Eercices 73, 76 Essayer de : mettre X a α en facteur dans PX utiliser la caractérisation du cours : Pa, P a,, P α a Essayer de : mettre X a α en facteur dans PX et montrer que l autre facteur n est pas multiple de X a utiliser la caractérisation du cours : Pa, P a,, P α a, P α a / Eercice 74 Pour calculer certaines sommations faisant intervenir les coefficients binomiau Pour eprimer un polynôme comme combinaison linéaire d autres polynômes Essayer d écrire une égalité polynomiale venant de la formule du binôme de Newton, puis prendre la valeur en certains points, après avoir éventuellement dérivé une ou plusieurs fois, ou primitivé Eercice 75 Essayer de faire intervenir l algèbre linéaire : espace vectoriel, bases, dimension, application linéaire Eercice 79 c 48

261 Les méthodes à retenir Pour montrer que deu polynômes A,B de K[X] sont premiers entre eu Essayer de : montrer que, pour tout D K [X], si D A et D B, alors D est une constante montrer que, si D K [X] est irréductible et si D A et D B, alors il y a une contradiction montrer l eistence de U,V K [X] tels que U A + V B et utiliser le théorème de Bezout Essayer de : mettre B en facteur dans A, par calculs élémentaires, par utilisation d identités remarquables Pour montrer qu un polynôme B divise un polynôme A Eercices 7, 7 montrer que le reste de la division euclidienne de A par B est nul montrer que tout zéro de B est zéro de A, avec un ordre de multiplicité dans A supérieur ou égal à celui dans B, si B est scindé Eercice 78 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer le pgcd de deu polynômes A,B de K[X] Pour calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d un polynôme A par un polynôme B Pour déterminer les éventuels zéros rationnels d un polynôme P à coefficients dans Z Pour factoriser un polynôme de R[X] en produit de facteurs irréductibles Essayer de : utiliser la méthode des divisions euclidiennes successives Eercice 7 factoriser A et B en produit de facteurs irréductibles, puis en déduire leur pgcd Calculer d abord le reste R, puis mettre B en facteur dans A R, pour obtenir le quotient Q tel que A BQ + R Eercice 79 Soient n N, a, a n Z, P a n X n + + a R[X] Si Q est zéro de P, alors il eiste p,q Z N tel que p q et p q, et on a : a n p n + a n p n q + + a pq n + a q n, donc p a q n et q a n p n Comme p q, il s ensuit, d après le théorème de Gauss : p a et q a n On essaie alors ces possibilités, qui sont en nombre fini Eercice 73 Se rappeler que, d après le cours, les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré et les polynômes de degré à discriminant < On sait factoriser dans R[X] les polynômes de degré à discriminant, donc aussi ceu qui s y ramènent simplement Eercice 7 a 49

262 Chapitre 7 Polynômes, fractions rationnelles On sait factoriser les trinômes bicarrés X 4 + px + q, p,q R : si p 4q, mettre sous forme canonique : X + p p 4q, 4 puis terminer la factorisation à l aide de l identité remarquable sur A B si p 4q <, donc q >, grouper X 4 et q pour débuter un carré : X + q q p X, puis terminer la factorisation à l aide de l identité remarquable sur A B Eercices 7 b, c, f Dans le cas d un polynôme réciproque, faire intervenir Y X + X, et donc passer par les fractions rationnelles Eercice 7 e Essayer d utiliser les identités remarquables : formule du binôme de Newton, sommation géométrique Eercice 7 f Éventuellement, en dernier recours, passer par les nombres complees, puis regrouper deu par deu les facteurs conjugués Eercice 7 d Pour traduire que deu polynômes de C[X] ont au moins deu zéros communs Écrire que : deg pgcd A,B Eercice 74 Pour étudier le nombre et la situation des zéros d un polynôme de R[X] qui n a pas de zéro évident Pour obtenir une localisation des zéros d un polynôme de C[X] Pour calculer une fonction symétrique S des zéros d un polynôme P scindé Étudier les variations de la fonction polynomiale P sur R, ou les variations d une fonction associée à P et s annulant en les mêmes points que P Eercices 74 a, 75 a Essayer d appliquer judicieusement l inégalité triangulaire Eercice 75 b Eprimer S en fonction des fonctions symétriques élémentaires des zéros de P Eercices 77, 78 b, 79 Dans le cas des sommes de puissances des zéros de P, écrire que chaque zéro de P annule P, puis multiplier par une puissance convenable de ce zéro, et enfin sommer Eercice 76 5

263 Énoncés des eercices Pour déterminer une CNS portant sur les coefficients d une équation algébrique sur C pour que les zéros vérifient une relation donnée Traduire cette relation sur les fonctions symétriques élémentaires de certains zéros de l équation et procéder à une élimination Eercice 79 Commencer par éventuellement simplifier F, et obtenir F P Q où Pour décomposer une fraction rationnelle F de KX en éléments simples P K[X], Q K[X] {}, et où Q est factorisé en produit de facteurs irréductibles sur K Écrire la forme de la décomposition en éléments simples de F dans KX, avec des coefficients indéterminés Calculer les coefficients de cette décomposition en éléments simples : la partie entière est le quotient de la division euclidienne de P par Q remarquer une éventuelle parité ou imparité utiliser la méthode de multiplication puis remplacement pour calculer les éventuels coefficients restants, prendre la valeur en certains points, ou une limite en l infini après avoir multiplié par une puissance convenable de X, ou bien faire passer les termes connus de l autre côté de l égalité de décomposition en éléments simples Eercice 78 Dans une étude faisant intervenir P et P, où P est scindé sur K Penser à utiliser éventuellement la formule du cours relative à la fraction rationnelle P P Eercice 73 Énoncés des eercices Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple d égalité de polynômes On note P X et, pour tout n N : P n X n XX X n + n! Montrer : n N, P k X P n X k Eemple d équations dont l inconnue est un polynôme Résoudre les équations suivantes, d inconnue P R[X] : a X P + XP P b X P + XP P Eemple de calcul du reste d une division euclidienne de polynômes Calculer, pour tout n N fié, le reste de la division euclidienne de X n par X X dans R[X] 5

264 Chapitre 7 Polynômes, fractions rationnelles 74 Eemple de zéro multiple d un polynôme Soit n N {,} On note : P n n X n n X n + n X n 3n + R[X] Montrer que est zéro d ordre trois eactement de P n Calcul de sommations issues de la formule du binôme de Newton Soit n N fié On note : n n P X k X n k, P k X k X n k, k k k k n P k X k X n k k Calculer P, P, P k Eemple de calcul du reste d une division euclidienne de polynômes n Soient a R, P X sin ka + cos ka Calculer le reste de la division euclidienne k de P par X + dans R[X] Étude de polynômes premiers entre eu Soit A,B K [X] {} Montrer : A B A + B AB Eemple d étude de divisibilité en liaison avec les zéros d un polynôme Déterminer l ensemble des n N tels que X + X + divise X 4 + n X n dans R[X] Eemple de calcul du quotient et du reste d une division euclidienne de polynômes Soit n N {,} Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P X n + X n + par X X dans R[X] Eemple d équation dont les inconnues sont des polynômes, utilisation de la divisibilité Résoudre l équation d inconnue P,Q K [X] : X 5X + 7P + X Q X 3 7 Eemple de divisibilité pour des polynômes formant une suite de polynômes On note, pour tout n N : P n X n + X n + R[X] Montrer, pour tout m,n N : n m P n P m 5

265 Énoncés des eercices 7 Eemples de factorisations de polynômes dans R[X] Factoriser en produit de polynômes irréductibles dans R[X] les polynômes suivants : a X 6 + 9X b X 4 X + 9 c X 4 + X 6 d X 4X + + 3X 5 e X 5 + f X Eemple de factorisation dans R[X], intervention de zéros rationnels Factoriser P X 4 3X 3 + 3X 3X + 6 dans R[X], sachant que P admet deu zéros rationnels Eemple d étude de deu polynômes ayant deu zéros communs Déterminer une CNS sur a,b C pour que les deu polynômes A X 3 + X + a, B X 4 + X + b de C[X] aient au moins deu zéros communs 75 Eemple de calcul d un polynôme connaissant ses valeurs et les valeurs de son polynôme dérivé en certains points Trouver tous les polynômes de degré 3 de C[X] tels que : Pj j, Pj j, P j j, P j j 76 Condition pour qu un polynôme particulier de degré 4 soit le carré d un polynôme de degré a Déterminer une CNS sur a,b R pour que le polynôme soit le carré d un polynôme de R[X] P X 4 + ax 3 + bx + X + 9 b Dans ce cas, factoriser P et P dans R[X] Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple de calcul d une fonction symétrique des zéros d un polynôme Soient a,b,c,d C 3, P X 4 + ax 3 + bx + cx + d C[X], z, z, z 3, z 4 les zéros de P dans C Calculer S z z, somme comportant termes, obtenus en multipliant le carré d un zéro de P par un autre zéro de P Eemples de décompositions en éléments simples Décomposer en éléments simples dans RX les fractions rationnelles F suivantes : a c X 3 X X b X X X + X 5 + d X4 + X + X X XX + 3 Eemple d intervention de l algèbre linéaire dans une étude de polynômes a Montrer que, pour tout n N, il eiste P n R[X] unique tel que : P n X + P n X + X n, et montrer deg P n n À cet effet, on pourra considérer l application f : R[X] R[X], P f P PX + PX + 53

266 Chapitre 7 Polynômes, fractions rationnelles b Établir : n N, P n np n c Eprimer, pour tout n N, P n X + en fonction de P X,,P n X et en déduire une relation de récurrence donnant P n en fonction de P,,P n 7 7 Eemple de divisibilité de polynômes, utilisation du théorème de Gauss Soient n N, P X k, Q X kn K [X] Montrer : P Q k k Eemple de divisibilité faisant intervenir une composition de polynômes Montrer, pour tout P de K [X] : PX X P PX X 7 73 Pgcd de X a et X b Soient a,b N, δ pgcda,b Montrer : pgcdx a,x b X δ, dans K [X] Eemple d équation dont les inconnues sont deu polynômes Soient a,b N {,},P,Q R[X] tels que P a Q b Montrer que P et Q sont constants 74 Eemple de calcul de fonction symétrique, non algébrique, des zéros d un polynôme a Montrer que le polynôme P X 3 X + de R[X] admet eactement trois zéros réels, notés a, b, c et que : 4 < a < 3, < b < < c < 3 b Calculer S Arctan a + Arctan b + Arctan c 75 Localisation des zéros d un polynôme Soient n N, a C, a,a n C On note P X n + a n X n + +a, Q X n a n X n a a Montrer que, dans [ ;+ [, Q admet un zéro et un seul, noté ρ b Établir que, pour tout zéro z de P dans C, on a : z ρ 76 Calcul des sommes des mêmes puissances des zéros d un polynôme Soient p,q C, P X 3 + px + q, z, z, z 3 les zéros de P dans C a On note, pour tout n N, S n z n + zn + zn 3 Calculer S, S, S Montrer : n N, S n+3 + ps n+ + qs n 3 En déduire S 3, S 4, S 5, S 6 b On, suppose de plus q /, et on note, pour tout n Z, S n z n + zn + zn 3 Calculer S, S, S 3, S 4 54

267 Énoncés des eercices Eemple de résolution d un système algébrique à trois inconnues Résoudre le système d équations d inconnue,y,z C 3 : + y + z S + y + z 3 + y 3 + z 3 5 Calcul du discriminant d une équation du troisième degré Soient p,q C, P X 3 + px + q, z, z, z 3 D z z z z 3 z z 3 les zéros de P dans C On note a Montrer : D P z P z P z 3 b En déduire : D 4p 3 + 7q c Conclure que P admet au moins un zéro au moins double si et seulement si 4p 3 + 7q 79 CNS pour que les coefficients d une équation algébrique vérifient une condition donnée Déterminer une CNS sur λ C pour que deu des solutions de l équation z 4 4z 3 + λz z + 3 soient de produit égal à, et résoudre l équation dans ce cas 73 Eemple d utilisation de la formule portant sur P P Soit P R[X] tel que deg P a Montrer que, si P est scindé sur R, alors : R, P PP b Ce résultat est-il encore vrai si l on ne suppose pas que P est scindé sur R? 73 Polynômes réels positifs Soit P R[X] ; montrer que les deu propriétés suivantes sont équivalentes : Dunod La photocopie non autorisée est un délit 73 i R, P ii A,B R[X], P A + B Calcul d une somme en liaison avec une décomposition en éléments simples n Soient n N, z,,z n C deu à deu distincts, P X z i Calculer, pour tout k {,,n }, A k i z k i P z i i 55

268 Chapitre 7 Polynômes, fractions rationnelles 733 Eemple de calcul de la valeur d un polynôme en un point connaissant sa valeur en d autres points Soient n N, P C n [X] tel que : k {,,n + }, Pk k a Montrer qu il eiste a,b C unique tel que : n+ X P ax + b X k k et calculer a,b n+ On fera intervenir le nombre harmonique H n+ k b Eprimer Pn + k Du mal à démarrer? 7 7 Récurrence sur n Partir du côté le plus compliqué Raisonner sur les degrés a Montrer que, si P convient, alors deg P b Obtenir une contradiction sur le degré de P, qui doit être un entier 73 Le reste R est de degré inférieur ou égal à, donc s écrit R ax + b, a,b R Factoriser X X, puis évaluer R en les zéros de X X 74 Montrer : P n, P n, P n, P3 n 75 Citer la formule du binôme de Newton, appliquée, par eemple, à X et Y, dériver par rapport à X pour Y fié, puis remplacer Y par X, et réitérer 76 Le reste R est de degré inférieur ou égal à, donc de la forme P αx + β, α,β R Calculer α et β en évaluant R en i et en i 77 Séparer l équivalence logique demandée en deu implications 78 Utiliser les zéros complees j et j de X + X + 79 Le reste R est de degré inférieur ou égal à, donc est de la forme ax + b, a,b R Évaluer en et en pour obtenir les valeurs de a et b En notant Q le quotient, on a X XQ P R Factoriser, dans P R, par X et par X Si P,Q convient, déduire X P Eprimer la réponse en donnant P et Q en fonction d un polynôme qui sert de paramètre Montrer d abord que, pour tout n N, P n P n+ a Remarquer qu il s agit d un trinôme en X 3 b, c Il s agit de trinômes bicarrés On peut donc appliquer la méthode du cours, qui consiste à grouper deu des trois termes pour faire apparaître un début de carré parfait d Passer par les nombres complees, en remarquant que, pour tout P,Q R[X] : P + Q P + i QP i Q e Factoriser d abord par X + L autre facteur est un polynôme réciproque Utiliser la notation Y X + X f Factoriser d abord par X L autre facteur est un trinôme bicarré Dans chaque eemple, on contrôlera le résultat obtenu, en développant le produit Noter p q un zéro rationnel de P, où p,q Z N et p q Déduire p 6 et q, en utilisant le théorème de Gauss On obtiendra et comme zéros rationnels de P 74 Envisager le pgcd de A et B dans C[X] 56

269 Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 75 Travailler d abord sur P qui est de degré et pour lequel on connaît la valeur en deu points, puis sur P par primitivation 76 a Si P est le carré d un polynôme de R[X], alors celui-ci est de la forme X + a X + c, c R b Utiliser les résultats obtenus dans la résolution de a 77 Remarquer, par eemple, que S ressemble à z z z 78 a Ne pas oublier la partie entière, que l on calculera, par eemple, par division euclidienne b Une fois obtenus deu des trois coefficients, on pourra calculer le troisième en faisant tendre X vers l infini, après avoir multiplié par X c Ne pas oublier la partie entière, que l on calculera, par eemple, par division euclidienne Une fois obtenus deu des quatre coefficients, on pourra calculer les deu autres en faisant passer les termes connus de l autre côté de l égalité d Calculer d abord le coefficient relatif au pôle, puis faire passer ce terme de l autre côté de l égalité, et enfin utiliser des divisions euclidiennes successives 79 a Montrer que f est linéaire et que : P R[X], deg f P deg P En déduire que, pour tout n N, R n [X] est stable par f et que l endomorphisme f n de R n [X] induit par f sur R n [X] est bijectif b Dériver et déduire f P n np n c Utiliser la formule de Taylor pour les polynômes 7 Remarquer que : X P X n+ et X n Q X n n+ 7 Intercaler PX entre P PX et X, et utiliser l écriture additive d un polynôme, P a k X k k 7 En supposant, par eemple, a b, effectuer la division euclidienne de a par b dans N et la division euclidienne de X a par X b dans K [X] en parallèle 73 Montrer d abord P Q En dérivant dans l égalité de l énoncé, déduire P Q et Q P, puis raisonner sur les degrés 74 a Étudier les variations de P, ou bien évaluer P en 4, 3,,, 3 b En notant α Arctan a,, et en utilisant une formule de trigonométrie sur la tangente d une somme de trois réels, calculer tan S 75 a Étudier les variations de la fonction ϕ :];+ [ R, ϕ Q n b Utiliser l inégalité triangulaire et a 76 a Écrire que z, z, z 3 sont zéros de P, multiplier par une puissance de z, z, z 3, puis sommer b Montrer que la formule obtenue en a est aussi valable lorsque n est négatif 77 Considérer le polynôme X X yx z En notant σ,σ,σ 3 les fonctions symétriques élémentaires de, y, z, et S k k + y k + z k pour k {,,3}, eprimer S, S, S 3 78 a On a P X z Q, où Q X z X z 3 Dériver b Eprimer D en fonction des fonctions symétriques élémentaires,, 3 de, y, z, et calculer celles-ci en fonction des fonctions symétriques élémentaires σ,σ,σ 3 de, y, z 79 En notant z, z, z 3, z 4 les solutions de dans C et en envisageant la condition z z, considérer les fonctions symétriques élémentaires s,p de z,z, et les fonctions symétriques élémentaires s,p de z 3,z 4 Ayant obtenu la CNS cherchée, λ 4, en utilisant les calculs précédents, déduire s,p, s,p, puis z, z, z 3, z 4 73 a Utiliser la formule du cours portant sur P puis dériver P b Trouver un contreemple 73 Séparer l équivalence logique en deu implications Pour l implication i ii, utiliser la décomposition primaire de P dans R[X] et montrer, en notant F { P RX] ; A,B R[X], P A + B }, que F est stable par multiplication 73 Utiliser la décomposition en éléments simples de X k P 733 a Remarquer que Q X P est de degré n + et s annule en,,n + Calculer b à l aide du remplacement de X par Pour calculer a, envisager Q Q 57

270 Corrigés des eercices 7 Récurrence sur n La propriété est vraie pour n, car P k X P X et P X k La propriété est vraie pour n, car P k X P X + P X X k et P X X X Supposons la propriété vraie pour un n N On a alors : n+ n P k X P k X + P n+ X k k P n X + P n+ X n X X n n! + n+ XX X n n +! n n +! X X n n + X n+ n +! X X n X n + P n+ X Ceci montre que la propriété est vraie pour n + On conclut, par récurrence sur n, que la propriété est vraie pour tout n N 7 a Il est clair que le polynôme nul convient Soit P convenant tel que P / Notons n deg P N Le polynôme P s écrit : P a n X n + + a, où a,,a n R et a n / Puisque X P + XP P, le terme de degré n de ce polynôme est nul, donc nn a n + na n a n, c est-à-dire n + n a n, d où, puisque a n / : n + n On résout cette équation du second degré : n + n n ou n Comme n N, on a nécessairement n Ceci montre que P est de degré En notant P ax + b, a,b R, on a alors : donc : X P + XP P ax ax + b b, X P + XP P b P ax On peut contrôler que ces polynômes conviennent bien On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {ax ; a R} b Le même raisonnement qu en a, portant sur le degré de P, montre que, si P / et si P convient, alors, en notant n deg P, on a : n + n Mais les solutions de cette équation du second degré sont 5 et + 5, qui ne sont pas des entiers On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {} Par division euclidienne, il eiste Q,R R[X] 73 unique tel que : X n X X Q + R et deg R < Il eiste donc a,b R unique tel que R ax + b Comme X X X + X, on déduit, en remplaçant X par, par : { n a + b n a + b On résout ce système linéaire de deu équations à deu inconnues, par eemple en utilisant les coefficients indiqués, et on obtient : 3a n n, 3b n + n On conclut : le reste de la division euclidienne de X n par X X est : R n n X + n + n

271 74 On calcule : P n n n + n n 3n + P n nn Xn nn X n + n, donc P n nn nn + n P n nn n Xn nn n X n nn n X n X n, donc P n P 3 n nn n n X n 3 n X n 3, donc P 3 n nn n n / Ainsi : P n, P n, P n, P3 n / On conclut, d après un théorème du cours, que est zéro d ordre trois eactement de P n 75 D après la formule du binôme de Newton : n X k Y n k X + Y n k k k En remplaçant Y par X, on obtient : n P X k X n k X + X n k Dérivons par rapport à X, pour Y fié : n k X k Y n k nx + Y n, k k puis multiplions par X : n k X k Y n k nxx + Y n k k En remplaçant Y par X, on obtient : n P k X k X n k k k nx X + X n nx 3 Dérivons par rapport à X, pour Y fié, dans l égalité obtenue plus haut : n k X k Y n k k k puis multiplions par X : n k X k Y n k k k nx + Y n + nn XX + Y n, nxx + Y n + nn X X + Y n Enfin, en remplaçant Y par X, on obtient : n P k X k X n k nx + nn X k 76 k Par division euclidienne de P par X +, il eiste Q,R R[X] unique tel que : P X + Q + R, deg R < Il eiste α,β R unique tel que : R αx + β On a alors, en prenant la valeur en i, qui est un zéro complee de X + : αi + β Ri Pi n i sin ka + cos ka k n ep cos k i ka ep i nn + a + i sin n k e i ka nn + a nn + a En séparant partie réelle et partie imaginaire, on obtient : α sin nn + nn + a, β cos a On conclut que le reste de la division euclidienne de P par X + est : 77 : Xsin nn + a + cos Puisque A B, on a A + B AB : nn + a { A + B A A + B B, donc Puisque A B divise A et B, A B divise A + B et AB,donc A B 78 Notons A X + X + et P n X 4 + n X n Comme A X jx j dans C[X], A est scindé simple sur C, donc : A P n P n j et P n j De plus, comme P n R[X], on a : P n j P n j P n j, donc : A P n P n j 59

272 Et : P n j j 4 + n j n 7 Soit P,Q K [X] Si P,Q convient, alors : j + n j n j n j n e iπ n 3 e iπ 3 nπ 3 nπ 3 nπ 3 [π] n [π] n [6] On conclut que l ensemble des n convenant est l ensemble des multiples de 6 dans N 79 Par division euclidienne de P par X X, il eiste Q,R R[X] unique tel que : P X XQ + R et deg R < X X Q X 5X + 7P + X 3 donc X P X X 3 + P + X + X X 3P + P, On pouvait aussi remarquer que, si l on remplace X par dans, on obtient P, donc X P Il eiste donc A K [X] tel que : P X A On a, pour tout A K [X], en notant P X A + : X 5X + 7 X A + + X Q X 3 X X 5X + 7A + Q X + 7X Il eiste donc a,b R unique tel que R ax + b Comme X X XX, prenons les valeurs en et en : { P R b P R a + b D autre part : P + n et P On déduit : b + n, a P b n Ainsi, le reste R est : R n X + + n Ensuite, connaissant le reste, on va calculer le quotient par factorisation : X X 5X + 7A + Q X X + 5 X 5X + 7A + Q X + 5 Q X 5X + 7A + X + 5 On conclut que l ensemble des couples P,Q cherchés est : { P X A +, Q X 5X + 7A + X + 5 } ; A K [X] On peut contrôler que les couples obtenus conviennent X XQ P R X n + X n + n X + n 7 Soit n N On a : X n + X n n X n X n X + X n + n X n XX n + X X n n n n XX X k + X X n k X k k On conclut que le quotient Q est : k n n Q X k + n k X k k k P n+ X n+ + X n + X n + X n + X n + X n X n + X n X n + X n X n + + X n X n X n + P n, ce qui montre : P n P n+ Soit m,n N tel que n m On a successivement, d après : P n P n+ P n+ P m P m, donc, par transitivité de la divisibilité : P n P m 6

273 7 a Il s agit d un trinôme en X 3 : X 6 + 9X X 3 + X X + X X + X + X X + 4 Les deu trinômes du second degré apparus sont irréductibles dans R[X], car de discriminants < b Il s agit d un trinôme bicarré : X 4 X + 9 X + 3 8X X + 3 XX X X X+ 3X + X+ 3 Les deu trinômes du second degré apparus sont irréductibles dans R[X], car de discriminants < c Il s agit d un trinôme bicarré : X 4 + X 6 X X + 3 X X + X + 3 d Passons par les nombres complees : X 4X + + 3X 5 X 4X + +i 3X 5 X 4X + i 3X 5 X 4 3i X + 5i } {{ } noté Q X 4 + 3i X + + 5i } {{ } c est Q Le polynôme Q est du second degré Son discriminant est : 4 3i 4 5i 3 4i i Les zéros de Q dans C sont donc : et D où : puis : 4 3i i 4 3i + i i 3 i Q X i X 3 i, P Q Q [ X ] i X 3 i [ X ] + i X 3 + i [ X ] i X + i [ X ] 3 i X 3 + i [ X ] + i X i [ X ] 3 + i X 3 i X + X X X + X 6X + 3 Les deu trinômes du second degré apparus sont irréductibles dans R[X], car de discriminants < e On a : X 5 + X + X 4 X 3 + X X + } {{ } noté P Le polynôme P est réciproque On a, en passant par les fractions rationnelles : P X X X + X + X X X + X + + X X En notant Y X +, on obtient : X P X Y Y + X Y Y On factorise, dans R[Y], le trinôme du second degré apparu, et on revient à la notation X : P X Y 5 Y + 5 X X + X X + X X + X + X X + On conclut : X 5 + X X + X + X X + Les deu trinômes du second degré apparus sont irréductibles dans R[X], car de discriminants < 6

274 f re méthode : On a : X 6 X X 4 + X + X X + X 4 + X + Le trinôme qui apparaît est irréductible dans R[X] car son discriminant est < 74 Calculons le pgcd de A et B dans C[X], par divisions euclidiennes successives : On factorise le trinôme bicarré obtenu : X 4 + X + X + X X + X X + + X X X + X + X + X 4 + X + b X ax + b X X + a X 3 + X + a X ax + b ax + bx + a b + a X + a ab 6 On conclut : X 6 X X + X + X + X X + Les deu trinômes du second degré apparus sont irréductibles dans R[X], car de discriminants < è méthode : Les zéros de X 6 dans C sont les racines siièmes de, qui sont,, j, j, j, j, donc : X 6 X X + X jx j X + jx + j X X + X + X + X X + 73 On a : Soit Q, p q,p,q Z N, p q P p 4 3p 3 q + 3p q 3pq 3 + 6q 4 { p 6q 4 q p 4 { p 6 q, d après le théorème de Gauss, puisque p q Ceci montre que les éventuels zéros rationnels de P sont nécessairement de la forme p q où : p {±, ±, ±3, ±6}, q {, } On essaie toutes les possibilités, ou on remarque que P et P On peut donc factoriser P par X et par X, ou encore par X : P X X 3 + X + 5X 3 X X X + X + 3 Si A et B ont au moins deu zéros communs, alors deg A B, donc : b + a X + a ab, { b + a d où : et donc a et b a ab Réciproquement, pour a et b, on a : et A X 3 + X XX + B X 4 + X + X +, donc A et B ont deu zéros communs dans C, les nombres complees i et i On conclut que A et B ont au moins deu zéros communs dans C si et seulement si : a,b, 75 Soit P C[X], de degré 3 On a : { { P j j P P j j Xj P Xj { X j P X X j P X j / j X jx j P X X + X + P X Comme de plus P X est de degré, si P convient, alors il eiste a C tel que : P X ax + X +, d où : P ax + X + + X En primitivant, si P convient, alors il eiste b C tel que : P a 3 X3 + a + X + ax + b

275 On a alors, pour un tel polynôme P : { a Pj j 3 + a + j + aj + b j Pj j a 3 + a + j + aj + b j a 3 a + a + b a + a j j j j 5a 6 + b a b a 3 On conclut qu il y a un polynôme P et un seul convenant : P 3 X3 X 3 On peut contrôler que P convient bien 76 a Pour que P soit le carré d un polynôme de R[X], puisque P est de degré 4, il faut et il suffit qu il eiste c R tel que : P X + a X + c Et : P X 4 + ax 3 + a 4 + c X + acx + c a 4 + c b c 3 c 3 ac a 4 ou a 4 c 9 b b On conclut que P est le carré d un polynôme de R[X] si et seulement si : a,b 4, ou a,b 4, b Cas a,b 4, : On a alors c 3, donc P X + X + 3 et : d où : 77 P X X 3 X X 4X X X 5 X 3 X 5X + 5 X 3X + 3 En notant sous le symbole le nombre de termes de la sommation concernée, on remarque : S z z z 3 z z z En notant σ, σ, σ 3, σ 4 les fonctions symétriques élémentaires de z, z, z 3, z 4, on a donc : S σ σ 3σ 3 De plus, d après les relations entre coefficients et zéros d un polynôme scindé, on a : σ a, σ b, σ 3 c On conclut : S ab + 3c 78 a La décomposition en éléments simples de Fest de la forme : F E + a X + b X, où E R[X], a,b R sont à calculer On calcule E par division euclidienne de X 3 par X X X 3X + : X 3 3X X 7X 6 X 3X + X + 3 P X + X + 3 X + X + X + X + 4 et les trois trinômes du second degré qui apparaissent sont irréductibles puisque leurs discriminants sont < Cas a,b 4, : On a alors c 3 et : P X X 3 X + X 3 X + X 3 On a donc : E X + 3 On calcule a par multiplication par X puis remplacement de X par On obtient : a On calcule b par multiplication par X puis remplacement de X par On obtient : b 8 On conclut à la décomposition en éléments simples : X 3 X X X + 3 X + 8 X 63

276 b La décomposition de F est de la forme : F où a,b,c R 3 est à calculer a X + b X + c X +, On calcule a par multiplication par X puis remplacement de X par On obtient : a 3 On calcule c par multiplication par X + puis remplacement de X par On obtient : c 9 Pour calculer ensuite b, on multiplie par X puis on fait tendre X vers l infini On obtient b + c, donc b c 9 On conclut à la décomposition en éléments simples : X X X + 3 X + 9 X 9 X + c La partie entière est le quotient de la division euclidienne de X 5 + par X X X 5 + X 4 X 3 + X X 4 X 3 + X + 3X 3 X + La DES de la fraction rationnelle F proposée est de la forme : F X + + a X + b X + c X + d X, a,b,c,d R On calcule a par multiplication par X puis remplacement de X par : a De même, par multiplication par X puis remplacement de X par : c Puis : b X + d X F X + X X 3X3 X + X X X X 3X3 5X + X X X 3X XX On calcule b par multiplication par X puis remplacement de X par : b De même, par multiplication par X puis remplacement de X par : d Finalement : F X + + X + X + X + X d La partie entière de la fraction rationnelle F proposée est nulle, et la DES est de la forme : F λ X + où λ,a,, f R ax + b X + + cx + d 3 X + + ex + f X +, On calcule λ par multiplication par X et remplacement de X par : λ Puis : F X X4 + X + X + 3 XX + 3 X6 X 4 3X + X XX + 3 X5 X 3 3X + X + 3 Par divisions euclidiennes successives : X 5 X 3 3X + X + X 3 3X + X 3 X X + X + X D où : a, b, c, d, e f Finalement : F X + X + X + 3 X X + 79 a Il est immédiat que l application f : R[X] R[X], P f P PX + PX + est linéaire, et, pour tout P R[X], deg f P deg P, car, si P a n X n + + a, où a,,a n R et a n /, alors, d après la formule du binôme de Newton, f P est de degré n et le terme de degré n de f P est a n X n où a n / Il en résulte que, pour tout n N, R n [X] est stable par f et que l endomorphisme f n de R n [X], induit par f sur R n [X], est bijectif, car sa matrice dans la base canonique de R n [X] est triangulaire supérieure à termes diagonau tous non nuls On conclut que, pour tout n N, le polynôme X n admet un antécédent et un seul par f dans R[X], donc il eiste P R[X] unique tel que f P X n, et on a : deg P n n b Soit n N On a, par dérivation : P n X + P n X + Xn nx n nx n n P n X + P n X +, d où : P n X np n X + P n X + np n X + 64

277 Notons Q n P n np n On a donc : Q n X + Q n X +, c est-à-dire f Q n Comme f est bijective donc injective, il en résulte Q n, et donc : P n np n, d où P n np n c Soit n N D après la formule de Taylor, puisque deg P n n, on a : P n X + X Et, d après b, en réitérant : k {,,n}, D où : k! Pk n k P k n X nn n k + P n k X n! k! P n kx P n X + k n P n k X k En isolant le terme d indice de cette sommation, on a : n P n X + P n X + P n k X, k et on conclut, en remplaçant P n X + par X n P n X, que : P n X X n n P n k X, k k ou encore, en réordonnant la sommation par un changement d indice : P n X X n n n P k X k 7 On a : k X n Q X n k X n k k X n n+ X n+ n X n+ S, n en notant S X n+ k K [X] k Ceci montre : X n+ X n Q Montrons : X n X n+ X On sait X X n et X X n+, donc X X n X n+ D autre part : X n+ XX n + X, donc, si un polynôme D de K [X] divise X n et divise X n+, alors D divise X Ceci montre : X n X n+ X n 3 En notant T X k, on a donc : k X n+ X P, X n X T, et X P X T X, donc P T On a : X P X TQ, c est-à-dire : P TQ Comme P T, il en résulte, d après le théorème de Gauss : P Q 7 En notant P a k X k, a,,a n K n+, on a : k P PX X PPX PX + PX X k a k PX a k X k + PX X k k a k PX k X k + PX X k Pour tout k de N, PX X PX k X k, puisque : k PX X k PX X k ix PX k i i On conclut : PX X P PX X 7 Il est clair qu on peut supposer a b Effectuons la division euclidienne de a par b dans N : a bq + r, q,r N, r < b, puis celle de X a par X b dans K [X] : X a X b X a b X a b + + X a qb X a qb Ceci montre que le reste de la division euclidienne de X a par X b dans K [X] est X r Ainsi, les algorithmes d Euclide pour a,b dans Z et pour X a,x b dans K [X] sont menés simultanément Le dernier reste non nul, dans la suite des divisions euclidiennes donnant le pgcd de X a et X b, est donc X δ,d où : pgcd X a,x b X δ 65

278 66 73 Puisque PP a + Q Q b, d après le théorème de Bezout : P Q D autre part, puisque P a Q b, en dérivant, on déduit : ap a P bq b Q Comme a N, on a P P a, donc P bq b Q Comme P Q, on a P bq b, puis, d après le théorème de Gauss : P Q De même, par rôles symétriques de P,a et Q,b, on obtient : Q P Si P et Q ne sont pas constants, alors deg P deg P et deg Q deg Q, d où,d après le résultat précédent : deg P deg Q et degq deg P, contradiction Ceci montre que P ou Q est constant Si, par eemple, P est constant, alors Q b P a est constant, deg Q b, puis b deg Q donc deg Q, et on déduit que Q est constant Finalement, P et Q sont constants 74 a On calcule les valeurs de P au points envisagés : P 4 8 <, P 3 8 >, P >, P <, P3 6 > D après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque P est continu sur l intervalle R, on déduit que P admet au moins trois zéros réels a, b, c tels que : 4 < a < 3, < b < < c < 3 D autre part, comme P est de degré 3, P admet au plus trois zéros réels, et on conclut que P admet eactement trois zéros réels, a, b, c b Notons α Arctan a, β Arctan b, γ Arctan c On a, si le dénominateur n est pas nul, par une formule de trigonométrie : tan S tan α + β + γ tan α + tan β + tan γ tan α tan β tan γ tan α tan β + tan α tan γ + tan β tan γ a + b + c abc ab + ac + bc σ σ 3, σ où σ, σ, σ 3 désignent les fonctions symétriques élémentaires de a, b, c D autre part, d après les relations entre coefficients et zéros d un polynôme scindé, on a : σ, σ, σ 3 D où : tan S + Enfin, d après les encadrements obtenus sur a,, b, c, on a : ] α π [ ] π ; π, β 4 4 ; π [ ] π, γ 4 ; π [, ] d où, par addition : α + β + γ ; 3π [, et on conclut : 4 S π 4 75 a Comme Q a <, le nombre n est pas zéro de Q Considérons l application ϕ :];+ [ R, ϕ Q a n a n n L application ϕ est dérivable sur ] ;+ [ et : ] ;+ [, ϕ a n + + n a >, n+ donc ϕ est strictement croissante sur ] ;+ [ De plus : ϕ a + n + On dresse le tableau de variations de ϕ : et ϕ + ρ + ϕ + ϕ D après le théorème de la bijection monotone, ϕ admet un zéro et un seul On en conclut que Q admet, dans [ ;+ [, un zéro et un seul, noté ρ b Soit z un zéro de P dans C Comme z n + a n z n + + a Pz, on a, en isolant le terme de degré n, puis en utilisant l inégalité triangulaire : z n a n z n + + a a n z n + + a, d où : Q z En utilisant l application ϕ introduite en a, on a donc ϕ z, et on conclut, d après le tableau de variations de ϕ : z ρ 76 Notons σ, σ, σ 3 les fonctions symétriques élémentaires de z, z, z 3 D après les relations entre coefficients et zéros d un polynôme scindé, on a : σ, σ p, σ 3 q

279 a On a : S 3, S σ et : S z + z + z 3 z + z + z 3 z z + z z 3 + z z 3 σ σ p On a, pour tout k {,,3} : zk 3 + pz k + q, d où, pour tout n N, en multipliant par zk n : zn+3 k + pz n+ k + qzk n, puis en sommant pour k,, 3 : S n+3 + ps n+ + qs n 3 La formule obtenue en permet de calculer les S n de proche en proche : S 3 ps qs 3q, S 4 ps qs p, S 5 ps 3 qs p 3q q p 5pq, S 6 ps 4 qs 3 pp q 3q p 3 + 3q b On peut calculer S de plusieurs façons, par eemple : S z + z + z 3 z z 3 + z z 3 + z z z z z 3 σ σ 3 p q Il est clair que la formule obtenue en a pour n N est aussi valable lorsque q /, c est-à-dire lorsque z, z, z 3 sont tous trois / de manière générale pour n Z Ainsi, pour tout n Z : S n+3 + ps n+ + qs n, donc : On obtient : 77 S n q ps n+ + S n+3 S q ps + S p q, S 3 q ps + S p 3 q q + 3 p3 + 3q, q 3 S 4 q ps 3 + S p p3 + 3q p q q 3 q p4 + 4pq q 4 Considérons le polynôme P X X yx z, qui se développe en P X 3 σ X + σ X σ 3, où σ, σ, σ 3 sont les fonctions symétriques élémentaires de, y, z Pour la commodité, notons p σ, q σ, r σ 3, de sorte que, y, z sont les zéros de P X 3 + px + qx + r Notons, pour k {,, 3} : S k k + y k + z k On a : S σ p, S σ σ p q, et d autre part, en additionnant les trois équations satisfaites par, y, z : S 3 + ps + qs + 3r, d où : S 3 ps qs 3r pp q + qp 3r p 3 + 3pq 3r Donc : p p S p q q p 3 + 3pq 3r 5 r Ainsi,, y, z est solution de S si et seulement si,y,z sont les zéros de P X 3 X + Le nombre est solution évidente : X 3 X + X + X X + Les solutions de cette équation sont, i, + i On conclut que les solutions de S sont, i, + i et ses permutés si solutions en tout On peut contrôler que ce triplet convient bien 78 a On a P X z X z X z 3, d où, en } {{ } noté Q dérivant : P X z Q + Q, puis, en prenant la valeur en z : P z Q z z z z z 3 De même : P z z z z z 3, P z 3 z 3 z z 3 z On déduit, par produit : D z z z z 3 z z 3 z z z z 3 z z z z 3 z3 z z 3 z P z P z P z 3 b D après a, comme P 3X + p, on a : D 3z + p3z + p3z 3 + p En développant, on obtient : D 7z z z 3 + 9pz z + z z 3 + z z 3 +3p z + z + z 3 + p3 67

280 68 En notant σ, σ, σ 3 les fonctions symétriques élémentaires de z, z, z 3 et,, 3 celles de z, z, z 3, on a : σ σ, σ σ σ 3, 3 σ 3 D autre part, d après les relations entre coefficients et zéros d un polynôme scindé, on a : D où : donc : σ, σ p, σ 3 q p, p, 3 q, D 7q + 9p 3 6p 3 + p 3 4p 3 + 7q On conclut : D 4p 3 + 7q c Le polynôme P admet au moins un zéro au moins double si et seulement si P s annule en z ou en z ou en z 3, c est-àdire si et seulement si D, ce qui équivaut à : 4p 3 + 7q 79 Notons z, z, z 3, z 4 les solutions de dans C, σ, σ, σ 3, σ 4 les fonctions symétriques élémentaires de z, z, z 3, z 4 En notant C la condition proposée, on a, d après les relations entre coefficients et solutions d une équation : C σ 4, σ λ, σ 3, σ 4 3, z z Notons s, p les fonctions symétriques élémentaires de z, z, et s, p celles de z 3, z 4, c est-à-dire : Alors : { s z + z p z z s + s 4 { s z 3 + z 4 p z 3 z 4 ss + p + p λ p 3 C sp + s p s + s 4 pp 3 p p p 3 s 4 s λ 4 La CNS cherchée est donc : λ 4 Supposons dorénavant λ 4 p 3s + s ss λ 4 En reprenant les calculs précédents, comme s 4 et p, z et z sont les solutions de z 4z +, donc, à l ordre près, z 3, z + 3 et, comme s et p 3, z 3 et z 4 sont les solutions de z + 3, donc, à l ordre près, z 3 i 3, z 4 i 3 Finalement, dans le cas λ 4, les solutions de sont : 3, + 3, i 3, i 3 On peut contrôler ce dernier résultat 73 a Puisque P est scindé sur R, en notant n deg P, n il eiste λ R,,, n R tels que : P λ X k On a alors, d après le cours, dans RX : k P P k k P En dérivant, on déduit : P X k k, P P P c est-à-dire : P X k Soit R X k Si n est pas un zéro de P, c est-à-dire si, pour tout k {,,n}, / k, alors on peut remplacer X par k dans le résultat précédent, d où : P PP P k k > Si est zéro de P, alors : P PP P Finalement : R, P PP b Le résultat précédent ne s étend pas à tous les polynômes de R[X] non constants Par eemple, pour P X +, qui n est pas scindé sur R, on a : P X, P, donc P PP 4X X + X X, et, en particulier : P PP <, ce qui montre qu on n a pas : R, P PP 73 Notons E {P R[X] ; R, P } et F { P R[X]; A,B R[X], P A + B } Il est clair que F E ; autrement dit : ii i Réciproquement, soit P E

281 Remarquons d abord que F contient tous les polynômes de la forme M M R[X], et est stable par multiplication car, pour tous A,B,C,D de R[X] : A + B C + D AC + BD + AD BC Le cas où P est une constante étant d étude immédiate, supposons degp Il eiste λ R, N N,,, N R deu à deu distincts, α,,α N N, M N, p,q,,p M,q M R tels que : j {,,M}, p j 4q j < N M et P λ X i α i X + p j X + q j i Puisque P E, on déduit, en faisant tendre la variable vers + : λ > D autre part, chaque α i i N est pair, car sinon P changerait strictement de signe au voisinage de i Pour chaque i de {,,N} il eiste donc β i N tel que α i β i En notant Q N λ X i β i et S i j M X + p j X + q j, on a donc : P Q S j D autre part, par mise sous forme canonique d un trinôme, pour tout j de {,,M} : X + p j X + q j X + p j + 4q j p j F Comme F est stable par multiplication, on déduit S F ; puis P Q S F 73 Soit k {,,n } Considérons la fraction rationnelle X k P X k X z X z n Par décomposition en éléments simples, il eiste λ,,λ n C tels que : X k P λ i, X z i i la partie entière étant nulle car k n et deg P n D après le cours, on a, pour tout i {,,n} : X k λ i z P i zk i P z i, et donc : A k λ i D autre part, en multipliant par X puis en faisant tendre X vers l infini, on a : { k+ si k + / n λ i lim + P i si k + n i On conclut : 733 A k { si k < n si k n a Notons Q X P On a : k {,,n + }, Qk k Pk, n+ donc il eiste U C[X] unique tel que : Q U X k De plus, comme deg P n, on a deg Q n +, donc deg U Il eiste donc a,b C unique tel que U ax + b n+ On obtient : Q ax + b X k k Pour calculer b, prenons la valeur en dans l égalité précédente, ce qui fait disparaître a : k n+ Q b k b n+ n +! k Et d autre part : Q P On a donc : b n n +! Pour calculer a, remarquons que, puisque Q X P, on a, en dérivant : Q X P + XP, et donc Q Mais, d autre part, d après le cours : donc : donc a b H n+ Q Q n+ a ax + b + k X k, Q Q a n+ b + k a b H n+, k On conclut : a n n +! H n+, b n n +! b On a : Qn + an + + b n+ n + k puis : Pn + k n n +! H n+n + + n n +! n +! n n + H n+ + n + Qn + n + n + + n n + H n+ + 69

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283 Espaces vectoriels 8 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 7 Énoncés des eercices 73 Du mal à démarrer? 75 Corrigés 76 Thèmes abordés dans les eercices Montrer qu un ensemble est un ev espace vectoriel, un sev sousespace vectoriel Étude d intersections, de sommes, de sommes directes de deu sev ; montrer que deu sev sont supplémentaires dans un ev Montrer qu une famille est libre, qu une famille est liée, qu une famille est génératrice Calcul de la dimension d un ev, d un sev, du rang d une famille de vecteurs Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définitions et propriétés de : ev, sev Définition et propriétés des combinaisons linéaires finies de vecteurs, des familles libres, familles liées, familles génératrices Définition et propriétés de l intersection et de la somme de deu sev ; définition et caractérisation d une somme directe de deu sev, de deu sev supplémentaires dans un ev Si deu sev ont la même dimension et si l un des deu est inclus dans l autre, alors ils sont égau Formule de Grassmann Définition du rang d une famille finie de vecteurs Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour montrer qu un ensemble E muni de lois usuelles est un ev Pour montrer qu une partie F d un ev E est un sev de E K désigne un corps commutatif On abrège espace vectoriel en ev, et sous-espace vectoriel en sev Montrer que E est un sev d un ev connu Eercice 85 Essayer de : revenir à la définition d un sev, c est-à-dire montrer que F n est pas vide et que F est stable par addition et stable par loi eterne Eercices 87 a, 88 7

284 Chapitre 8 Espaces vectoriels montrer que F est une intersection de sev, ou est une somme de sev de E montrer que F est le sev de E engendré par une certaine famille, comme étant l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de cette famille montrer que F est le noyau ou l image d une certaine application linéaire voir chapitre 9 Pour établir des relations souvent des inclusions entre sev d un ev Essayer de : passer par les éléments utiliser les propriétés des opérations sur les sev Eercices 83, 8 Essayer de : montrer F G {} et F + G E Eercices 8, 87 b, 88 Pour montrer que deu sev F,G d un ev E sont supplémentaires dans E Pour montrer qu une famille finie de vecteurs d un ev E est libre montrer que tout élément de E se décompose de façon unique en somme d un élément de F et d un élément de G si E est de dimension finie, montrer l une des deu égalités F G {} ou F + G E, et montrer : dim F + dim G dim E si E est de dimension finie, montrer qu il eiste une base F de F et une base G de G telles que F G, obtenue en jutaposant F et G, soit une base de E Revenir à la définition, c est-à-dire montrer que, si une combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle, alors nécessairement tous les coefficients sont nuls Eercice 8 b On verra d autres méthodes dans les chapitres 9 et Pour montrer qu une famille de fonctions est libre pour les lois usuelles Revenir à la définition de famille libre, et, suivant les eemples, essayer de : remplacer la variable par des valeurs particulières utiliser des passages à la limite Eercices 86 b, d dériver une ou plusieurs fois, ou primitiver Eercice 86 a utiliser des développements limités Pour montrer qu une famille finie de vecteurs est liée Revenir à la définition, c est-à-dire trouver une combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit nulle et dont les coefficients ne soient pas tous nuls Eercice 86 c 7

285 Énoncés des eercices Pour montrer qu un vecteur d un ev est dans le sev engendré par une famille F Pour trouver une base d un sev engendré par une famille F Pour montrer qu un sev F, ou un ev, est de dimension finie Pour déterminer la dimension d un sev de dimension finie d un ev Pour montrer que deu sev F,G d un ev E de dimension finie sont égau Pour déterminer le rang d une famille finie F de vecteurs d un ev Montrer que s écrit comme combinaison linéaire d éléments de F Eercice 8 Etraire de F une famille libre ayant le plus grand cardinal Essayer de : montrer que F admet une famille génératrice finie montrer que F est inclus dans un sev de dimension finie montrer que F est somme d un nombre fini de sev de dimensions finies Essayer de : trouver une base B de F, et on aura alors : utiliser la formule de Grassmann : dim F Card B dim F + G + dim F G dim F + dim G Il suffit de montrer, par eemple : F G et dim F dim G Etraire de F une sous-famille libre de plus grand cardinal Le rang de F est alors le cardinal de cette sous-famille Eercice 89 Énoncés des eercices Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple de deu familles de deu vecteurs engendrant le même sev Montrer que, dans R 3, les deu vecteurs,, et y,, engendrent le même sev que les deu vecteurs u, 3, et v, 4, 3 Supplémentaires et intersection Soient E un K-ev, A,B des sev de E, C un supplémentaire de A B dans B, c est-à-dire un sev de E tel que : A B C B Montrer que A et C sont supplémentaires dans A + B Intersection et somme de sev Soient E un K-ev, F,G,H des sev de E On suppose : Montrer : H G F G F H, F + G F + H, H G 73

286 Chapitre 8 Espaces vectoriels 84 Eemple de recherche d un supplémentaire d un sev dans un ev On note E R 4 et on considère :,,,, y,, 3, 4, F Vect, y a Former un système d équations cartésiennes de F b Déterminer un supplémentaire de F dans E, par une base, et par un système d équations cartésiennes 85 Étude d une partie de K 3 définie par une équation homogène de degré Pour K R ou C, on note : Est-ce que E est un K-ev? E K {,y,z K 3 ; + y + z + y + yz } 86 Eemples d études de liberté de familles finies de fonctions Soient n N,a,,a n R n tels que a <<a n La famille d applications f ai i n est-elle libre ou est-elle liée, dans les eemples suivants : a f ai : R R, a i b f ai : R R, e a i c f ai : R R, cos + a i, pour n 3 87 d f ai : R {a,,a n } R, a i Eemple de deu sev supplémentaires dans un ev de dimension infinie On note E R R le R-ev de toutes les applications de R dans R et : F { f E ; f }, A E F { g E ; g / } a Vérifier que F est un sev de E Est-ce que A est un sev de E? b Montrer que, pour toute g A, la droite vectorielle Rg est un supplémentaire de F dans E 88 Eemple de deu sev supplémentaires dans un ev, dans le contete de l analyse On note E C [ ; ],R le R-ev des applications de classe C sur [ ; ] et à valeurs { } réelles, F f E ; f, f, f, e k :[; ] R, k pour k {,, }, G { a e + a e + a e ; a, a, a R 3} Montrer que F et G sont deu sev de E supplémentaires dans E 89 Eemple de calcul du rang d une famille de fonctions On note f : R R, g : R R Quel est le rang de la famille + A f, g, f f, f g, g f, g g? 74

287 Du mal à démarrer? Étude du cas où la réunion de deu sev est un sev Soient E un K-ev, A,B deu sev de E Montrer que les deu propriétés suivantes sont équivalentes : i A B est un sev de E ii A B ou B A Racine carrée d un entier non carré parfait Soit N N tel que N ne soit le carré d aucun entier Montrer : a N / Q b, N est Q-libre Une inégalité sur des carrés de dimensions de sev Soient E un K-ev de dimension finie, F,G deu sev de E Montrer : dim F + G + dim F G dim F + dim G et étudier le cas d égalité Du mal à démarrer? 8 Montrer que et y se décomposent linéairement sur u et v, et que u et v se décomposent linéairement sur et y c Remarquer que, pour tout i {,,n}, f ai se décompose linéairement sur deu fonctions fies d Isoler f an et étudier la limite lorsque tend vers a n Dunod La photocopie non autorisée est un délit 8 Revenir à la définition de deu sev supplémentaires dans un ev, en montrant : A C {} et A + C A + B 83 Partir d un élément quelconque de G et eploiter les hypothèses Pour eploiter F + H, décomposer en somme d un élément de F et d un élément de H : avoir l initiative de prendre des notations 84 a En notant w, y, z, t un élément quelconque de E, éliminer a,b R dans w a + b y b Considérer, par eemple, u,,, et v,,, 85 Remarquer que la condition proposée revient à : + y + y + z Utiliser, pour tout a,b K : a + b a b si K R a + b a + i b oua i b si K C 86 Pour a, b, d, Montrer que, pour tout λ,,λ n R n si λ i f ai, alors : i {,,n}, λ i i a Remarquer que f an n est pas dérivable en a n, tandis que f a,,f an sont dérivables en a n b Multiplier par e an puis faire tendre vers + 87 a Remarquer que A ne contient pas b Pour g A fiée, montrer que Rg et F sont supplémentaires dans E en revenant à la définition de deu sev supplémentaires dans un ev Pour décomposer un élément quelconque de E sur Rg et F,on pourra raisonner par analyse et synthèse 88 Remarquer que G est donné comme sev engendré par une certaine famille de E Pour montrer que F est un sev de E, revenir à la définition d un sev 3 Montrer : F G {} 4 Pour u E donnée, chercher f,g F G tel que u f + g, en cherchant d abord g 89 8 Eprimer les éléments de A L implication ii i est immédiate Pour i ii, raisonner par l absurde 8 a Raisonner par l absurde et utiliser par eemple le théorème de Gauss b Utiliser a 8 Calculer la différence entre les deu membres de l inégalité voulue et utiliser la formule de Grassmann 75

288 Corrigés des eercices 76 8 Il est clair, par eemple, que u 3 y et v 4 3 y Ceci montre que u et v se décomposent linéairement sur et y, donc : Vect u, v Vect, y De même, on déduit 3 u v et y 4 u 3 v,donc u et v se décomposent linéairement sur, et y, donc : Vect, y Vect u, v On peut aussi remarquer que, y est libre et que u, v est libre, donc Vect, y et Vect u, vsont deu sev de même dimension finie égale à Finalement, Vect u, v Vect, y, donc engendrent le même sev que u et v 8 et On a : A + B A + A B + C +associative A B A A + C A + A B + C A C C B A C B A B C commutative et associative {} et y On conclut que A et C sont deu sev supplémentaires dans A + B 83 Soit G Puisque G F + G F + H, il eiste f F, h H tels que : f + h On a alors : G, h H G, donc, puisque G est un sev de E : f h G On a donc : f F et f G, donc f F G F H, d où f H Ainsi, f H et h H, donc, puisque H est un sev de E : f + h H Ceci montre : G H Comme, de plus, par hypothèse, H G, on conclut : H G 84 a Soit w, y, z, t E On a : w F a,b R, w a + b y a,b R, y z a + b 3 t 4 a + b y a + b a,b R, z a + 3b t a + 4b y 3a + y 3b a,b R, 4z 3t 7a z + t 7b y 4z 3t y z + t 3 7 { 4 7y z + 9t 7 + 7y 3z 3t On obtient ainsi un système d équations cartésiennes de F, et il n y a pas unicité d un système d équations cartésiennes de F b Considérons, par eemple : u,,,, v,,,, G Vect u, vpour montrer que G est un supplémentaire de F dans E, il suffit de montrer que la famille, y, u, vest libre re méthode : utilisation d un déterminant D après le cours sur les déterminants, puisque E est de dimension 4 et que la famille considérée contient 4 vecteurs, il suffit de montrer que le déterminant D de cette famille dans la base

289 canonique de R 4 n est pas nul On a, en développant par rapport à la dernière colonne, deu fois de suite : D /, et on conclut que G est un supplémentaire de F dans E è méthode : Soit a, b, c, d R 4 On a : a + b y + c u + d v a + b 3 + c + d 4 a + b + c a a + b + d b a + 3b c a + 4b d Ceci montre que, y, u, vest libre, et on conclut que G est un supplémentaire de F dans E et qu une base de G est u, v Il est clair qu un système d équations cartésiennes de G { z est : t 85 On a, pour tout,y,z K 3 : + y + z + y + yz Si K R, alors : + y + y + y + yz + z + y + y + z ; E R {,y,z R 3 ; + y + y + z } } {{ } } {{ } {,y,z R 3 ; + y ety + z }, donc E R est un R-ev, c est la droite vectorielle engendrée par,, Si K C, alors : E C {,y,z R 3 ; + y + y + z } {,y,z C 3 ; + y + i y + z ou + y i y + z } P Q, où P est le plan vectoriel d équation + + i y + z,et Q est le plan vectoriel d équation + i y + z On peut constater que E C est la réunion de deu plans vectoriels de C 3, distincts entre eu On peut trouver deu éléments de E C donc la somme n est pas dans E C Par eemple, u i,, E C et v i,, E C, mais u + v,, / E C Ceci montre que E C n est pas un sev de C 3 86 a Soit λ,,λ n R n tel que Supposons λ n / λ i f ai Alors, en isolant le terme λ n f an et en divisant par λ n, on a : n f an λ i f ai λ n i n Mais f an n est pas dérivable en a n et λ i f ai est dérivable λ n en a n, car chaque f ai, pour i n, est dérivable en a n i i Ceci amène une contradiction et montre : λ n Puis, de proche en proche : λ n,,λ On conclut que f ai i n est libre b Soit λ,,λ n R n tel que λ i f ai, c est-à-dire : R, i λ i e a i i Remarquons que, pour tout α ] ;[ fié, on a : e α + Multiplions par e an et isolons le terme d indice n : R, n λ i e a i a n + λ n i On a, pour chaque i {,,n } : puisque a i a n < e a i a n, + On déduit λ n, puis, en réitérant : λ n,,λ On conclut que f ai i n est libre c Remarquons que, pour tout i {,,n} : f ai cos + a i cos a i cos sin a i sin 77

290 78 En notant c : R R, cos et s : R R, sin, on a donc : i {,,n}, f ai cos a i c sin a i s Ceci montre que les f ai, i n, se décomposent linéairement sur les deu fonctions fies c et s indépendantes de i Il en résulte, comme n 3, que la famille f ai i n est liée d Soit λ,,λ n R n tel que λ i f ai On a donc : R {a,,a n }, i i λ i a i Isolons, par eemple, le terme d indice n, et eprimons λ n : n λ i R {a,,a n }, λ n a n a i Comme a, a n sont tous différents de a n, pour chaque λ i i {,,n }, admet une limite finie lorsque tend a i n vers a n, donc, par opérations, a n d où λ n i En réitérant, on déduit λ n,,λ On conclut que f ai i n est libre i λ i a i, an 87 a Il est clair que F E et que F où on a noté l application constante nulle de R dans R On a, pour tout α R et toutes f,h F : α f + h α f + h α +, donc α f + h F On conclut que F est un sev de E Il est immédiat que A n est pas un sev de E, car, par eemple, / A b Soit g A fiée Soit f Rg F Il eiste alors α R tel que f αg, et on a f D où : αg f Comme g /, il en résulte α, donc f αg Ceci montre : Rg F {} Soit ϕ E On veut montrer que ϕ se décompose linéairement sur Rg et F, c est-à-dire montrer qu il eiste α R et f F telles que : ϕ αg + f Raisonnons par analyse et synthèse S il eiste α, f convenant, alors ϕ αg + f αg, donc α ϕ g, puis f ϕ αg ϕ ϕ g g Réciproquement, montrons que le couple α, f précédemment trouvé convient Notons donc α ϕ ϕ et f ϕ g g g Alors, α f + g ϕ et f ϕ ϕ, donc f F g Ceci montre que le couple α, f convient On a donc montré : Rg + F E Finalement : Rg et F sont deu sev de E supplémentaires dans E, ou encore : Rg est un supplémentaire de F dans E Remarque : Il est alors clair, puisque A est un ensemble infini, que F admet une infinité de supplémentaires dans E 88 On a : F E et F On a, pour tout α R et toutes f,g F : α f + g α f + g α +, α f + g α f + g α +, α f + g α f + g α +, donc α f + g F Ceci montre que F est un sev de E Il est clair que G Vect e, e, e, donc G est un sev de E 3 Soit f F G D une part, f, f, f, et, d autre part, il eiste a, a, a R 3 tel que f a e + a e + a e, c est-à-dire tel que : [ ; ], f a + a + a On a alors : f a + a + a 3 f a f a + a d où f Ceci montre : F G {} a a 3a + a a a + a a,

291 4 Soit u E Cherchons f F, g G telles que u f + g Soient a, a, a R 3, g a e + a e + a e, f u g On a donc déjà u f + g et g G On a : u g f F u g F u g u g a + a + a 3 u a u a + a u a u a + a 3 u u a + a u Il est clair que ce dernier système d équations, d inconnue a, a, a R 3, admet une solution et une seule Il eiste donc f,g F G unique tel que u f + g, ce qui montre E F + G On conclut que F et G sont deu sev de E supplémentaires dans E Le point ci-dessus numéro 4, traité avec l unicité, rend alors inutile le point numéro 3 On peut enfin remarquer que G est de dimension trois et que F n est pas de dimension finie on dit aussi que F est de dimension infinie 89 Eprimons les si éléments de A : f +, g, f f + + +, f g +, g f + + +, g g 4 On remarque que les cinq premiers éléments de A sont des fonctions polynomiales de degré, donc se décomposent sur u :, v :, w : D autre part : u f f f, v f f f, w g Ainsi, le sev engendré par les cinq premières fonctions de A est le même que celui engendré par u,v,w, donc le rang de cette famille de cinq éléments est égal à 3 Comme g g est une fonction polynomiale de degré 4, g g n est pas dans le sev engendré par u,v,w On conclut : rg A 4 8 i ii : Supposons que A B soit un sev de E Raisonnons par l absurde : supposons A / B et B / A Il eiste alors a A tel que a / B, et b B tel que b / A Comme a A A B et b B A B, on a par hypothèse : a + b A B, c est-à-dire : a + b A ou a + b B Si a + b A, comme b a + b a et que A est un sev de E, on déduit b A, contradiction De même, si a + b B, comme a a + b b, on déduit a B, contradiction Finalement : A B ou B A ii i : Si, par eemple, A B, alors A B B, donc A B est une sev de E 8 a Raisonnons par l absurde : supposons N Q Il eiste alors p,q N tel que : p N et pgcdp,q q On a donc : Nq p Alors q divise p ; comme pgcdp,q, on déduit, par le théorème de Gauss : q Mais alors N p, contradiction Ceci montre : N / Q b Soit α,β Q tel que α + β N Si β /, alors N α β Q, contradiction Donc β, puis α β N Ceci montre que, N est Q-libre 8 Pour la commodité, notons d à la place de dim, et notons P le premier membre de l inégalité voulue et S son second membre On a : P S df + G + df G df dg df dg +G df df G df + G df df + G + df dg df G dg + df G D après la formule de Grassmann : donc : df + G + df G df + dg, df + G df dg df G, 79

292 ce qui permet de mettre dg df G en facteur, puis de réutiliser la formule de Grassmann : P S dg df G df + G + df dg df G dg df G df df G, car F G G et F G F, donc df G dg et df G df Il y a égalité dans l inégalité voulue si et seulement si P S, c est-à-dire dg df G ou df df G Commme F G est inclus dans F et est inclus dans G, on conclut qu il y a égalité si et seulement si G F G ou F F G, c est-à-dire si et seulement si G F ou F G 8

293 Applications linéaires 9 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 8 Énoncés des eercices 83 Du mal à démarrer? 86 Corrigés 88 Thèmes abordés dans les eercices Détermination du noyau, de l image d une application linéaire, obtention d inclusions ou d égalités faisant intervenir noyau et images d applications linéaires Montrer qu une certaine application linéaire est injective, est surjective, est bijective Manipulation de projecteurs Détermination du rang d une application linéaire, obtention de résultats sur le rang d une application linéaire Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés des applications linéaires, opérations sur les applications linéaires et les endomorphismes, définition et propriétés du noyau et de l image d une application linéaire Définition et caractérisation des projecteurs d un ev Théorème du rang et conséquences pour les applications linéaires et les endomorphismes en dimension finie Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour montrer qu une application f : E F est linéaire, où E et F sont des K-ev K désigne un corps commutatif On abrège espace vectoriel en ev, et sous-espace vectoriel en sev Essayer de : revenir à la définition d une application linéaire, c est-à-dire montrer : λ K,,y E, f λ + y λ f + f y Eercice 94 montrer que f s obtient, par certaines opérations, à partir d applications linéaires 8

294 Chapitre 9 Applications linéaires Pour manipuler noyau, image, somme, loi eterne, composition d applications linéaires Revenir au définitions, avec les notations usuelles : Ker f { E ; f }, Im f { y F ; E, y f }, f + g f + g, λ f λ f, g f g f Eercices 9 à 94, 9 Pour déterminer le noyau d une application linéaire f : E F, sans considération de dimension Revenir à la définition : Ker f { E ; f } Il s agit donc de résoudre l équation f, d inconnue E Pour montrer qu une application linéaire f : E F est injective Montrer Ker f {}, c est-à-dire montrer : E, f Eercice 9 Pour déterminer l image d une application linéaire f : E F, sans considération de dimension Pour montrer qu une application linéaire f : E F est surjective Pour montrer qu une application linéaire f : E F est bijective, sans considération de dimension Essayer de : revenir à la définition : Im f { y F ; E, y f } chercher l image par f d une famille génératrice de E Montrer Im f F, c est-à-dire montrer : y F, E, y f Essayer de : montrer : Ker f {} et Im f F trouver une application g : F E telle que : g f Id E et f g Id F Eercice 9 Eercice 9 L application g est alors la réciproque de f, et g est linéaire Eercices 95, 9 8

295 Énoncés des eercices Pour manipuler un projecteur p d un ev E Pour montrer qu un endomorphisme f d un ev E de dimension finie est bijectif Pour relier entre elles les dimensions du noyau et de l image d une application linéaire f : E F, où E et F sont des ev de dimensions finies Essayer de : utiliser l égalité p p p Eercices 95, 97, 9 utiliser la décomposition de tout élément de E sous la forme : p + p }{{} } {{ } Im p Ker p Eercice 97 Il suffit de montrer Ker f {} ou Im f E Utiliser le théorème du rang : dim Ker f + dim Im f dim E Eercice 96 Pour manipuler le rang d une application linéaire f : E F, où E et F sont des ev de dimensions finies Utiliser : la définition du rang d une application linéaire : rg f dim Im f le théorème du rang : Eercices 98, 99, 93, 95 rg f dim E dim Ker f Eercices 96, 99, 93, 95 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Énoncés des eercices 9 Étude de noyau et image d une composée d applications linéaires Soient E,F,G des K-ev, f LE,F, g LF,G Montrer : a f Ker g f Ker g Im f b g Im g f Ker g + Im f 83

296 Chapitre 9 Applications linéaires 9 Noyau et image de la composée de deu applications linéaires Soient E,F,G trois K-ev, f LE,F, g LF,G Montrer : a Kerg f f Kerg b Kerg f Ker f c Img f g Im f d Img f Img 93 Étude du noyau et de l image de deu applications linéaires vérifiant des équations Soient E,F,G des K-ev, f LE,F, g LF,G, h LG,F, k LF,E On suppose : f h g f et g g f k Démontrer que Ker g et Im f sont supplémentaires dans F 94 Étude d applications linéaires f,g telles que Ker g f Ker f et Im g f Im g Soient E,F,G trois K-ev, f LE,F, g LF,G Montrer : a Kerg f Ker f Kerg Im f {} b Img f Img Kerg + Im f F On pourra utiliser l eercice 9 Étude de e ap, où a K et p est un projecteur Soient E un K-ev, e Id E, p un projecteur de E tel que p /, f e ap Montrer que f GLE et eprimer f Caractérisation des endomorphismes f tels que Ker f Im f en dimension finie Soient E un K-ev de dimension finie, n dim E, f LE Montrer : Ker f Im f f etn rg f a K {}, 97 Endomorphismes vérifiant une condition de rang Soient E un K-ev de dimension finie, n dim E, e Id E, f,g LE tels que : f + g e et rg f + rg g n a Établir que Im f et Im g sont supplémentaires dans E et que : rg f + rg g n b En déduire que f et g sont des projecteurs 98 Inégalités sur le rang de la somme de deu applications linéaires Soient E,F deu K-ev de dimension finie, f, f LE,F Montrer : rg f rg f rg f + f rg f + rg f 99 Étude des endomorphismes de R 3 tels que f 3 et f / Soit f un endomorphisme de R 3 nilpotent d ordre trois, c est-à-dire tel que f 3 et f / Montrer : Ker f Im f, Im f Ker f, rg f, rg f 84

297 Énoncés des eercices Caractérisation de deu applications linéaires dont la composée est un isomorphisme Soient E, F, G des K-ev, f LE,F, g LF,G Montrer que les deu propriétés suivantes sont équivalentes : i g f est un isomorphisme de E sur G ii f est injective, g est surjective et F Ker g Im f CNS pour que la somme de deu projecteurs soit un projecteur Soient E un C-ev, p,q deu projecteurs de E Démontrer que p + q est un projecteur si et seulement si : p q q p Montrer que deu endomorphismes vérifiant une certaine équation commutent entre eu Soient E un C-ev de dimension finie, e Id E, f,g LE tel que : f f g + f e Montrer : g f f g 93 Suites des noyau et des images des itérés d un endomorphisme Soient E un K-ev de dimension finie n, et f LE Pour tout p de N, on note I p Im f p et K p Ker f p, avec, par convention, f Id E a Montrer que I p p N est décroissante et que K p p N est croissante, c est-à-dire : p N, { Ip+ I p K p+ K p b Montrer qu il eiste p N tel que : p N, { p < p I p / I p p p I p I p Autrement dit, la suite I p p N stationne, eactement à partir de l indice p c Établir : p N, { p < p K p / K p p p K p K p Dunod La photocopie non autorisée est un délit 94 Ainsi, la suite K p p N stationne aussi eactement à partir de l indice p d Montrer : p n e Démontrer que I p et K p sont supplémentaires dans E Eemple d espace vectoriel et d application linéaire dans le contete de l analyse On note E { f C R,R ; f }, et, pour toute f E, on considère l application φ f : R R définie par : R, φ f t f t dt a Montrer que E est un R-ev et que φ est un endomorphisme de E, injectif et non surjectif b Est-ce que E est de dimension finie? 85

298 Chapitre 9 Applications linéaires 95 Inégalité sur le rang de la composée de deu applications linéaires Soient E,F,G trois K-ev de dimension finie, f LE,F, g LF,G a Montrer : Ker g Im f Kerg Im f b En déduire : rgg f rg f dim Kerg Im f c Montrer : rgg f rg f + rgg dimf 96 Endomorphismes transformant tout vecteur en un vecteur qui lui est colinéaire Soient E un K-ev, f LE On suppose que, pour tout de E, la famille, f est liée Démontrer que f est une homothétie Du mal à démarrer? 9 On peut raisonner par équivalences logiques successives, en utilisant la définition d image directe, d image réciproque, de noyau, d image d une application linéaire 9 Utiliser la définition d une image directe, d une image réciproque, du noyau et de l image d une application linéaire On pourra raisonner par équivalences logiques successives 93 Montrer Ker g Im f {}, en passant par les éléments et en utilisant f h g f Pour y F fié, obtenir une décomposition de y en somme d un élément de Ker g et d un élément de Im f, en utilisant g g f k 94 Séparer chaque équivalence logique demandée en deu implications Pour chaque implication, passer par les éléments et utiliser la définition de l intersection de deu sev, de la somme de deu sev, du noyau et de l image d une application linéaire 95 Eprimer p en fonction de f si a et remplacer dans p p Obtenir ainsi une équation satisfaite par f Isoler e additivement dans cette équation 96 : Montrer f et utiliser le théorème du rang : Montrer Im f Ker f, puis comparer les dimensions en utilisant le théorème du rang 97 a Obtenir d abord Im f + Im g E, puis utiliser la formule de Grassmann pour déduire Im f Im g {} b Montrer que, pour tout E : f f Im f Im g On peut aussi montrer que f et g commutent 98 Montrer Im f + f Im f + Im f puis passer au dimensions Appliquer le résultat précédent à f + f, f au lieu de f, f 99 Remarquer Im f Im f et montrer Im f Im f en raisonnant par l absurde Obtenir ainsi : {} Im f Im f R 3, puis passer au dimensions Remarquer Ker f Ker f et utiliser le théorème du rang 9 9 i ii : Se rappeler que, pour des applications, on a : g f injective f injective, g f surjective g surjective, Montrer : Ker g Im f {} Pour montrer Ker g + Im f F, pour y F donné, amener E tel que gy g f, puis considérer y f ii i : Montrer : Ker g f {} Pour z G, amener y F tel que z gy, puis décomposer linéairement y sur Ker g et Im f Développer : p + q p + q p + q p + p q + q p + q Attention : a priori, p et q ne commutent pas ; on ne peut donc pas remplacer p q par q p Une implication est évidente 86

299 Du mal à démarrer? Pour la réciproque, ayant obtenu p q + q p, penser à composer par p ou par q à gauche ou à droite, pour déduire de nouvelles égalités 9 Obtenir f g + e f e Se rappeler que, d après le cours, si E est de dimension finie et si u,v LE vérifient u v e, alors v u e 93 a Revenir à la définition d une image ou d un noyau b Considérer la suite dim I p, qui est une suite décrois- p N sante d entiers naturels c Utiliser b et le théorème du rang, pour relier dimension d une image et dimension d un noyau d Montrer, pour tout p < p : I p+ I p, donc dim I p+ dim I p e Montrer : I p K p {}, en utilisant la définition de p Utiliser ensuite, par eemple, le théorème du rang 94 a Vérifier que E est un R-ev D abord, ne pas confondre φ f, qui est un réel, et φ f, qui est une application de R dans R, et ne pas confondre φ f et φ, qui est une application de E dans E Montrer que, pour toute f E, on a : φ f E, et montrer que φ est linéaire Remarquer que, pour toute f E,φf est de classe C et : R, φ f f En déduire que φ est injectif Pour montrer que φ n est pas surjectif, trouver au moins un élément de E n ayant pas d antécédent par φ À cet effet, remarquer que, pour toute f E, φ f 95 Se rappeler d abord que la notation g Im f désigne la restriction de g à Im f au départ : g Im f :Im f G, y gy a Revenir à la définition du noyau d une application linéaire b Appliquer le théorème du rang à g Im f c Utiliser le théorème du rang 96 Pour tout E {}, il eiste λ K tel que f λ, mais, a priori, λ dépend de Il faut montrer que λ ne dépend pas de À cet effet, pour,y E {}, considérer f, f y, f + y, et séparer l étude en deu cas selon que la famille,y est libre ou est liée Dunod La photocopie non autorisée est un délit 87

300 Corrigés des eercices 9 a On a, pour tout y F : y f Ker g f b Comme Kerg {}, on déduit de a : Kerg f f Kerg f {} Ker f Ker g f, y f E, g f ety f E, gy ety f gy et E, y f y Ker g et y Im f y Ker g Im f On conclut : f Ker g f Ker g Im f b On a, pour tout y F : y g Im g f gy Im g f E, gy g f E, g y f E, y f Ker g z Im f, y z Ker g y Ker g + Im f On conclut : g Ker g f Ker g + Im f 9 a On a, pour tout de E : Kerg f g f g f f Kerg f Kerg, d où : Kerg f f Kerg c On a : Img f g f E g f E g Im f d Comme Im f F, on déduit de c : 93 Img f g Im f gf Img Soit y Ker g Im f Alors, gy et il eiste E tel que y f On a : y f h g f h g f h gy h gy h Ceci montre : Ker g Im f {} Soit y F On a : gy g f ky g f ky, puis : g y f ky On a alors : y y f ky + f ky, } {{ } } {{ } Ker g Im f ce qui montre : Ker g + Im f F On conclut que Ker g et Im f sont supplémentaires dans F 94 a Supposons Kerg f Ker f Soit y Kerg Im f ; il eiste E tel que y f, et gy D où : g f gy, donc Kerg f Ker f, puis y f Ceci montre : Kerg Im f {} Réciproquement, supposons Kerg Im f {} D après l eercice 9, on a déjà : Kerg f Ker f Soit Kerg f Alors f Kerg Im f {}, donc f, Ker f 88

301 Ceci montre Kerg f Ker f, et finalement : Kerg f Ker f b Supposons Img f Img Soit y F Comme gy Img Img f, il eiste E tel que gy g f On déduit g y f, c est-à-dire y f Kerg On a alors y y f + f Kerg + Im f Ceci montre : Kerg + Im f F Réciproquement, supposons Kerg + Im f F D après l eercice 9, on a déjà : Img f Img Soit z Img ; il eiste y F tel que z gy Il eiste ensuite u Kerg et E tels que y u + f On a alors : z gy g f g f Img f Ceci montre Img Img f, et finalement : 95 Img f Img Eprimons p en fonction de f, si c est possible Si a, alors f e, donc f GLE et f e Supposons a / Alors, p e f, d où : a p p a e f a e f e f + f ae af f + a f a e f a Ceci montre que f GLE et que f + a e e a f + a e f e f f + a e a On peut remarquer que le résultat du cas a rentre dans ce dernier résultat Finalement, f GLE et f f + a e a 96 : Supposons Ker f Im f On a, pour tout E : f Im f Ker f, donc f f, ce qui montre : f En utilisant le théorème du rang et l hypothèse, on a : rg f dim E dim Ker f n rg f, donc n rg f : Supposons f et n rg f On a, pour tout E : f f,donc f Ker f, ce qui montre : Im f Ker f En utilisant le théorème du rang : dim Ker f n rg f rg f rg f rg f dim Im f Il en résulte : Im f Ker f 97 E, a On a : e f + g Im f + Im g, donc Im f + Im g E Ensuite, pour étudier Im f Im g, appliquons la formule de Grassmann : dim Im f Im g dim Im f + dim Im g dim Im f + Im g rg f + rg g dim E n n, donc : Im f Im g {} On conclut que Im f et Im g sont supplémentaires dans E On a : rg f + rg g dim Im f + dim Im g dim Im f Im g dim E n b De f + g e, on déduit, en composant par f à droite : f + g f f On a donc, pour tout E : f f f f g f On obtient : f f Im f et f f g f Im g Comme Im f et Im g sont supplémentaires dans E, il en résulte f f, d où f f Ceci montre f f, donc f est un projecteur 89

302 Par rôles symétriques de f et g, g est aussi un projecteur Ou encore, comme f est un projecteur et que g e f, g est un projecteur, le projecteur associé à f 98 On a : Im f + f Im f + Im f, car : E, f + f f + f Im f + Im f En passant au dimensions : rg f + f dim Im f + f dim Im f + Im f dim Im f + dim Im f rg f + rg f En appliquant le résultat précédent à f + f, f au lieu de f, f, on obtient : rg f rg f + f + rg f rg f + f + rg f, donc : rg f rg f rg f + f En échangeant f et f : rg f rg f rg f + f, d où finalement : rg f rg f rg f + f Remarquer l analogie avec l inégalité triangulaire et l inégalité triangulaire renversée, par eemple pour la valeur absolue dans R : 99, R, + + Puisque f f f, on a : Im f Im f Montrons : Im f / Im f À cet effet, raisonnons par l absurde : supposons Im f Im f Soit E quelconque On a : f Im f Im f, donc il eiste t E tel que f f f t f t D où, en composant par f : f f 3 t Ceci montre f, contradiction avec l hypothèse f / On a donc établi : Im f Im f D autre part, {} Im f car f /, et Im f R 3 car sinon f serait surjective, donc bijective puisque E est de dimension finie, contradiction avec f 3 Ainsi : {} Im f Im f R 3, il en résulte, en passant au dimensions : < rg f <rg f <3, et donc, comme il s agit de nombres entiers : rg f et rg f On a : { f f { Im f Ker f f 3 f f Im f Ker f D autre part, d après le théorème du rang : dim Ker f 3 rg f 3 rg f dim Im f dim Ker f 3 rg f 3 rg f dim Im f On conclut : Im f Ker f et Im f Ker f Remarque : Un eemple d endomorphisme f convenant est, en notant B i, j, k la base canonique de R 3, l endomorphisme f de R 3 défini par : f i j, f j k, f k 9 i ii : Supposons que g f soit un isomorphisme de E sur G D après un résultat classique sur les applications eercice 34 : g f bijective { g f injective { f injective g f surjective g surjective Soit y Ker g Im f Alors, gy et il eiste E tel que y f D où : gy g f g f Comme g f est bijective donc injective, on déduit, puis y f Ceci montre : Ker g Im f {} Soit y F Alors, gy G Comme g f est bijective donc surjective, il eiste E tel que gy g f On a : g y f gy g f, donc y f Ker g Ainsi : y y f + f } {{ } }{{} Ker g Im f Ceci montre : Ker g + Im f F On conclut : F Ker g Im f 9

303 ii i : On suppose f injective, g surjective et F Ker g Im f Soit Ker g f Alors, g f, donc f Ker g Ainsi, f Ker Im f {}, donc f, puis, comme f est injective, Ceci montre que g f est injective Soit z G Puisque g est surjective, il eiste y F tel que z gy Comme F Ker g + Im f, il eiste u Ker g, v Im f tels que y u + v On a alors : z gy gu + v gu +gv gv }{{} Comme v Im f, il eiste E tel que v f On a donc : z gv g f g f Ceci montre que g f est surjective On conclut que g f est un isomorphisme de E sur G 9 Il est clair que, si p q q p, alors p + q est un projecteur, puisque : p + q p + q p + q p + p q + q p + q p + q Réciproquement, supposons que p + q soit un projecteur de E On a alors : p + q p + q p + p q + q p + q d où : p q + q p p + p q + q p + q, En composant par p à gauche et à droite, on obtient { p q + p q p p q p + q p, d où, en soustrayant : p q q p { p q + q p Comme p q q p, on déduit p q q p, donc : p q q p 9 D après l hypothèse, f f g + e e, donc f admet un symétrique à droite pour la loi dans LE Comme E est de dimension finie, il en résulte f g + e f e, c est-à-dire : f g f + f e Par soustraction, on déduit : g f f g 93 a Soit p N Soit y I p+ Il eiste E tel que y f p+ f p f, d où y I p Ceci montre : I p+ I p Soit K p On a : f p+ f f p f, donc K p+ Ceci montre : K p K p+ b La suite d entiers naturels dimi p est décroissante, donc p N stationne sur un entier, noté r Il eiste un plus petit entier p de N tel que dim I p r Soit p N Si p < p, alors dimi p >r, donc : I p / I p Si p p, alors I p I p et dim I p dim I p, donc I p I p Ainsi si p : c Soit p N E I I p I p I p + Si p < p, alors cf b, dim I p >dimi p, d où, en utilisant le théorème du rang : dim K p n dim I p <n dimi p dim K p, et donc, nécessairement, K p / K p Si p p, alors cf a, K p K p, et, en utilisant le théorème du rang : dimk p n dim I p n dim I p dimk p, d où : K p K p Ainsi si p : {} K K p K p K p + d Montrons : p < p, I p / I p+ À cet effet, raisonnons par l absurde : supposons qu il eiste p < p tel que I p I p+ on a donc, nécessairement, p Soit y I p ; il eiste E tel que y f p Comme f p I p I p+, il eiste t E tel que f p f p+ t, d où : y f p f p p f p f p p f p+ t f p t I p On obtient ainsi I p I p, contradiction On a donc : p < p, I p+ I p, d où : p < p, dimi p+ + dim I p 9

304 9 En sommant pour p, de à p, on obtient, après simplifications : d où : p n dimi p + p dim I dim E n, e Soit I p K p Il eiste t E tel que f p t, et f p, d où f p t Ainsi, t K p K p car p p, et donc f p t Ceci montre : I p K p {} ère méthode Soit E Puisque f p I p I p car p p, il eiste t E tel que f p f p t On a alors f p t + f p t, avec f p t I p et f p t K p, puisque f p f p t f p f p t Ceci montre : I p + K p E ème méthode En utilisant le théorème du rang : dim I p K p dim Ip + dim K p n, donc I p K p E Finalement, I p et K p sont supplémentaires dans E 94 a On a E C R, R et E Pour tout α R et tout f,g E : α f + g α f + g α +, donc α f + g E Ainsi, E est un R-ev, sev de C R, R Soit f E Puisque l application t t f t est de classe C sur R, d après le cours sur les primitives, l application φ f, qui en est une primitive, est de classe C sur R, et φ f s annule en, donc φ f E On a, pour tout α R et tout f,g E : R, φα f + g t α f + gt dt α t f t dt + gt dt αφ f + φg αφ f + φg, d où : φα f + g αφ f + φg, ce qui montre que φ est linéaire On conclut que φ est un endomorphisme de E Soit f Ker φ On a alors φ f, donc φ f, d où : R, f Il en résulte, en simplifiant par : R, f Ainsi, f est nulle sur R Mais, comme f est continue en car f est de classe C sur R, il s ensuit f et finalement f Ceci montre Ker φ {}, donc l application linéaire φ est injective Montrons, par eemple, que l application e : R R,, qui est élément de E, n est pas atteinte par φ Raisonnons par l absurde : supposons qu il eiste f E telle que e φ f On a alors, en dérivant : R, e f, d où en particulier : e, contradiction, car e Ceci montre que e, par eemple, n est pas atteint par φ, et on conclut que φ n est pas surjective b Si E était de dimension finie, comme φ est un endomorphisme injectif de E, φ serait surjectif, contradiction Ceci montre, par l absurde, que E n est pas de dimension finie 95 a On a, pour tout y de F : y Ker g Im f { y Im f gy y Kerg Im f b Puisque : rgg f dim Img f dim Im g Im f rg g Im f, on a, d'après le théorème du rang : rg g Im f dim Im f dim Ker g Im f, d'où, en utilisant a : rgg f rg f dim Kerg Im f c Comme : Kerg Im f Kerg, on a : dim Kerg Im f dim Kerg, d'où, d'après b et le théorème du rang : rgg f rg f dim Kerg rg f dimf rgg rg f + rgg dimf

305 96 Par hypothèse, pour tout de E {}, il eiste λ K tel que f λ Il est clair que, pour E {} fié, λ est unique et, a priori, dépend de Nous allons montrer que λ ne dépend pas de Soit,y E {} Supposons,y libre On a : f λ, f y λ y y, f + y λ +y + y, d où, par linéarité de f : λ + λ y y λ +y + y, c est-à-dire : λ +y λ + λ +y λ y y Comme,y est libre, on déduit λ +y λ λ +y λ y, et donc λ λ y Supposons,y lié Il eiste α K {} tel que y α On a : f y f α α f αλ et f y λ y y λ y α, d où λ λ y α, et donc λ λ y On a ainsi prouvé que λ ne dépend pas de Donc, il eiste λ K tel que : E {}, f λ De plus, trivialement : f λ Finalement, f λ Id E, c est-à-dire que f est une homothétie 93

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307 Matrices CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 95 Énoncés des eercices 98 Du mal à démarrer? 34 Corrigés 37 Thèmes abordés dans les eercices Calcul des puissances d une matrice carrée assez simple Étude de l inversibilité et, éventuellement, calcul de l inverse d une matrice carrée Étude d ensembles structurés de matrices : groupes, anneau, corps de matrices Obtention de résultats portant sur des applications linéaires en dimension finie, en passant par des matrices, et, inversement, obtention de résultats portant sur des matrices en passant par des applications linéaires Détermination du rang d une matrice Étude de matrices carrées semblables, non semblables Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définitions et structures des ensembles usuels de matrices : M n,p K, M n K, GL n K, T n,s K, T n,i K, D n K, S n K, A n K Matrices élémentaires Interprétation matricielle d une application linéaire Définition et propriétés du rang d une matrice Théorème du cours sur A PJ n,p,r Q Définition et propriétés de la similitude des matrices carrées Définition d une matrice carrée nilpotente Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour effectuer un calcul sur des matrices Les méthodes à retenir K désigne un corps commutatif On abrège espace vectoriel en ev, et sous-espace vectoriel en sev Essayer, autant que possible, de garder une notation globale une lettre pour une matrice, ne faisant pas intervenir les termes des matrices Eercices,,, 8,, 4, 6 95

308 Chapitre Matrices Lorsqu intervient une matrice diagonale, ou une matrice trigonale, passer au termes des matrices Eercices, 3, 5 Pour effectuer un calcul sur des matrices avec paramètres Essayer de décomposer linéairement ces matrices sur des matrices plus simples, sans paramètre, si c est possible Eercices 7,, 4 Essayer de décomposer A en combinaison linéaire d une matrice αi n, α K, et d une matrice simple, souvent une matrice nilpotente, et utiliser la formule du binôme de Newton Eercices 7, 4 e Pour calculer les puissances A k k N, k Z d une matrice carrée A Dans certains eemples simples, calculer A,A 3 et essayer de conjecturer une formule pour A k, que l on montrera alors par récurrence sur k La formule obtenue pour A k, k N sera souvent aussi valable pour k Z Eercice 7 D autres méthodes, liées à la réduction des matrices carrées, seront vues en deuième année Noter E,,E n la base canonique de M n, K, C,,C n la famille des colonnes de A Eprimer C,,C n en fonction de E,,E n par la donnée de A, résoudre ce système en considérant que les inconnues sont E,,E n, et en déduire l inversibilité de A et l epression de l inverse A de A Eercice 4 Pour montrer qu une matrice carrée A M n K est inversible, et éventuellement calculer son inverse Associer à la matrice carrée A un système linéaire AX Y, où X,Y sont des matrices-colonnes, et résoudre ce système en considérant que l inconnue est X Conjecturer la forme B de la matrice inverse de A, et vérifier que celle-ci convient, en calculant le produit AB ou BA Eercices 3, c Résoudre l équation AB I n ou BA I n où B est une matrice carrée inconnue, d une forme particulière Eercice 4 c Former une équation simple sur A, puis isoler le terme en I n Eercices, Se rappeler que toute matrice triangulaire à termes diagonau tous non nuls est inversible Eercice 96

309 Les méthodes à retenir Interpréter A comme matrice d un certain endomorphisme f d un espace vectoriel E de dimension finie égale à n, montrer que f est bijectif, eprimer f, et en déduire A Eercice 3 Déterminer la dimension du sev engendré par les colonnes de A ou la dimension du sev engendré par les lignes de A, qui est égale au rang de A Eercices 6, 5, 7, Pour calculer le rang d une matrice A Faire apparaître A sous la forme PJ n,p,r Q, où P et Q sont inversibles Eercice 6 a Appliquer le théorème du rang, pour A M n,p K : rg A p dim Ker A, lorsqu on peut déterminer Ker A Utiliser la définition du rang d une matrice comme dimension du sev engendré par les colonnes de A ou par les lignes de A Eercice 6 a Pour faire intervenir le rang d une matrice A Utiliser le théorème du rang, qui permet de se ramener à l étude de la dimension du noyau Utiliser le théorème du cours : rg A r si et seulement s il eiste P,Q inversibles telles que A PJ n,p,r Q, où J n,p,r Ir Eercices 6 a,, 6 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour montrer que deu matrices carrées sont semblables Pour montrer que deu matrices carrées A,B ne sont pas semblables Trouver une matrice carrée inversible P telle que : B PAP Eercices 8, c, f Essayer de : montrer tr A / tr B, ou det A / det B, ou rg A / rg B Eercices a, b montrer que l une des deu matrices carrées A,B vérifie une équation polynomiale que ne vérifie pas l autre Eercice d montrer qu il eiste λ K tel que rg A λi n / rg B λi n Eercice e 97

310 Chapitre Matrices Pour manipuler des matrices triangulaires Pour manipuler des transposées de matrices, ou des traces de matrices carrées Utiliser les propriétés du cours sur les matrices triangulaires, en particulier : la somme et le produit de deu matrices triangulaires supérieures sont triangulaires supérieures une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses termes diagonau sont tous non nuls De plus, dans ce cas, on connaît les termes diagonau de la matrice inverse Eercice Privilégier la notation globale des matrices, en utilisant les propriétés de la transposition et de la trace : t αa + B α t A + t B, t AB t B t A tr αa + Bα tr A + tr B, tr AB tr BA, tr t A tr A Utiliser la définition, pour A M n K : A S n K t A A, Pour manipuler des matrices symétriques et des matrices antisymétriques A A n K t A A Utiliser S n K A n K M n K et la décomposition : A M n K, A A + t A + } {{ } A t A } {{ } S n K A n K Utiliser : dim S n K nn +, dim A n K nn Énoncés des eercices Étude du produit d une matrice carrée par une matrice diagonale, de chaque côté Soient n N, λ,,λ n, µ,,µ n K {}, A a ij ij M n K On note B λ i µ j a ij ij M n K a Montrer que, en notant D diag λ,,λ n, E diag µ,,µ n, on a : B DAE b En déduire que B est inversible si et seulement si A est inversible, et que, dans ce cas, en notant A α ij ij, on a : B µ i λ j α ij ij Groupe multiplicatif des matrices triangulaires à termes diagonau tous égau à Soient n N et E l ensemble des matrices A a ij i, j n de M n K telles que : { i > j i, j {,,n} aij, i j a ij Montrer que E est un groupe multiplicatif 98

311 Énoncés des eercices 3 Eemple de groupe multiplicatif de matrices carrées d ordre deu, qui est un sous-groupe de GL R a ch t a sh t On note, pour tout a,t R + R : Ma,t, a sh t ach t et G { Ma,t ; a,t R + R} Montrer que G est un groupe pour la multiplication 4 5 Eemple de calcul d inverse d une matrice carrée Soient n N, A Min i, j i, j n M nr n Montrer que A est inversible et calculer A Eemple d isomorphisme de C n [X] sur C n+ Soient n N,a,,a n C n+ On considère l application f : C n [X] C n+, P f P Pa, P a,,p n a n Montrer que f est un isomorphisme d espaces vectoriels 6 Eemple de calcul du rang d une matrice carrée d ordre n Quel est le rang de A sini + j i, j n M nr? Dunod La photocopie non autorisée est un délit Eemple de calcul des puissances d une matrice carrée triangulaire d ordre trois Calculer A n pour A M 3 R et n Z Matrices carrées inversibles dont les lignes ont toutes la même somme Soient n N, A a ij ij GL n C On suppose qu il eiste λ C tel que : i {,,n}, a ij λ On note A b ij i j Montrer λ / et : i {,,n}, j b ij λ Endomorphismes nilpotents d ordre trois dans un espace vectoriel de dimension trois Soient E un K-ev de dimension trois, f LE tel que : f 3 et f / a Montrer qu il eiste une base B de E telle que la matrice de f dans B soit N j 99

312 Chapitre Matrices b Déterminer le commutant C N de N dans M 3 R, c est-à-dire l ensemble C N { A M 3 R ; AN NA } c En déduire, en notant e Id E : { g LE ; g f f g } Vect e, f, f Matrices à termes > On dit ici qu une matrice à termes réels est positive si et seulement si tous ses termes sont > a Montrer que la somme de deu matrices positives est positive et que le produit de deu matrices positives est positive b Soient n N, A M n R positive On suppose qu il eiste k N et X M n, R positive telle que A k X X Montrer qu il eiste Y M n, R positive telle que AY Y Eemple de groupe de matrices carrées d ordre trois, sous-groupe de GL 3 R a a On note, pour tout a R : Ma a + a a M 3R, et G { Ma ; a R } a a a a En notant I I 3 et U, montrer : a R, Ma I + au + a U b Montrer que l application M : R G, a Ma est bijective et que : a,b R, Ma + b MaMb c En déduire que G est un sous-groupe de GL 3 R pour la multiplication d Eprimer Ma k pour tout a R et tout k Z Étude des matrices combinaisons linéaires de l identité et de la matrice de seuil, dont tous les termes sont égau à a b Soient n N {,}, a,b K, A M n K b a Étudier l'inversibilité de A, et calculer A quand cet inverse eiste 3

313 Énoncés des eercices 3 Eemple de calcul de l inverse d une matrice triangulaire dont les termes sont certains coefficients binomiau Soit n N On note A la matrice carrée réelle d ordre n + dont le terme situé à la j ligne i, colonne j est le coefficient binomial, où, par convention, ce coefficient est i nul si i > j a Montrer que l application f : R n [X] R n [X], PX PX + est un endomorphisme de l espace vectoriel R n [X], et préciser la matrice de f dans la base canonique de R n [X] b En déduire que A est inversible et eprimer A 4 Eemple de sous-anneau de M R Soient I, J M R, E { M,y I + yj;,y R } a Montrer que E est un R-ev ; en donner une base et la dimension b Montrer que E,+, est un anneau commutatif c Quels sont les éléments de E inversibles pour dans E? d Résoudre les équations, d inconnue X E : i X I ii X iii X X e Pour,y R et n N, calculer M,y n 5 Calcul du rang d une matrice dont les termes sont issus de la suite de Fibonacci On note φ n n N la suite de Fibonacci, définie par φ, φ et : n N, φ n+ φ n+ + φ n Soit n N {,} Déterminer le rang de la matrice A n φ i+ j i, j n M n+ R Dunod La photocopie non autorisée est un délit 6 7 Décomposition des matrices de rang en produit d une colonne par une ligne Soient n N, H M n K telle que rgh a Montrer qu il eiste U,V M n, K tel que : H U t V et trh t VU b Montrer : A M n K, HAH trahh Eemple de calcul du rang d une matrice carrée d ordre n Soient n N {,}, A n M n R Déterminer le rang de A n 3

314 Chapitre Matrices 8 Trois matrices deu à deu semblables, dont l une au moins est supposée inversible Soient A, B, C M n K telles que A soit inversible Montrer que les deu propriétés suivantes sont équivalentes : i A, B, C sont deu à deu semblables ii X, Y, Z M n K 3, XYZ A, YZX B, ZXY C 9 Eemple de groupe multiplicatif de matrices carrées d ordre trois, qui n est pas un sous-groupe de GL 3 R a a On note, pour tout a,b R R : Ma,b b b M 3 R b b a Montrer que G est un groupe pour la multiplication des matrices carrées Préciser l élément neutre b Est-ce que G est un sous-groupe de GL 3 R? Eemple de calcul de l inverse d un polynôme de matrice carrée satisfaisant une équation polynomiale Soient n N, A M n R telle que : A 5 + A I n Montrer que A + A + I n est inversible et calculer son inverse Eemples de matrices carrées d ordre trois, semblables, non semblables Les matrices carrées d ordre trois A et B sont-elles semblables, dans les eemples suivants : a A, B 3 b A, B c A, B d A, B e A, B f A, B 3

315 Énoncés des eercices 3 Eemple de calcul d un couple P,Q de matrices inversibles tel que A PJ n,p,r Q 3 On note : A, J M 3 R Montrer qu il eiste P,Q GL 3 R tel que A PJQ, et calculer un tel couple P,Q Étude d un endomorphisme de M n K Soient n N, a,,a n K deu à deu distincts On note D diag a,,a n M n K et on considère l application f : M n K M n K, M f M DM MD a Vérifier que f est un endomorphisme de l espace vectoriel M n K b Déterminer Ker f c Montrer que Im f est l ensemble F des matrices de M n K dont tous les termes diagonau sont nuls 4 Endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel de matrices carrées Soient n N, A,B M n C On considère l application f : M n C M n C, M f M AM MB a Vérifier que f est un endomorphisme de l espace vectoriel M n C b Établir : p N, M M n C, f p M p k p p k A k MB k k c En déduire que, si A et B sont nilpotentes, alors f est nilpotent 5 Centre de M n K Soit n N Déterminer le centre de M n K, c est-à-dire { A Mn K ; M M n K, AM MA } Dunod La photocopie non autorisée est un délit 6 Rangs de A, Re A, Im A, pour A M n,p C Soit n,p N On note, pour toute A a ij ij M n,p C : A a ij ij, Re A Re a ij ij, Im A Im a ij ij, qui sont dans M n C a Montrer, pour toute A M n,p C : rg A rg A b En déduire, pour toute A M n C : rg Re A rga et rg Im A rga 33

316 Chapitre Matrices c Donner un eemple de A M C telle que : rg A, rg Re A, rg Im A Donner un eemple de A M C telle que : rg A, rg Re A, rg Im A 7 Matrices bistochastiques, matrices colonnes à termes Soient n N, A a ij ij M n R une matrice bistochastique, c est-à-dire telle que : i, j {,,n}, a ij i {,,n}, a ij j j {,,n}, a ij i Soit X i i n M n, R telle que : i {,,n}, i On note Y AX y i i n M n, R n n Démontrer : y i i i i Du mal à démarrer? a Effectuer le produit DAE, ou bien calculer le terme général de ce produit b Puisque D et E sont inversibles, B est inversible si et seulement si A l est, et dans ce cas B E A D Montrer que E est un sous-groupe de GL n K 3 Montrer que G est un sous-groupe de GL R pour la multiplication 4 En notant e,,e n la base canonique de M n, R, et C,,C n les colonnes de A, eprimer C,,C n en fonction de e,,e n, puis inverser le système d équations, en calculant e,,e n en fonction de C,,C n, ce qui fournira A 5 Vérifier que f est linéaire Considérer la matrice de f dans la base canonique de C n [X] pour le départ et la base canonique de C n+ pour l arrivée 6 Montrer que les colonnes de A se décomposent linéairement sur deu colonnes simples et fies qui ne sont pas, a priori, des colonnes de A 7 Décomposer A en A I + J, calculer J, J 3, et utiliser la formule du binôme de Newton, dans le cas n Montrer ensuite que la formule obtenue pour n est aussi valable pour n 8 9 Considérer V M n, C et traduire l hypothèse par AV λv Montrer λ et déduire A V λ V a Considérer e E tel que f e, puis e f e, e 3 f e, B e, e, e 3 b Passer, par eemple, par les neuf éléments de N c Traduire le résultat de b en termes d endomorphismes a Revenir au éléments des matrices k b Considérer Y A i X X + AX + + A k X i b Calculer MaMb en utilisant a c Utiliser les résultats de b pour montrer que G est un sousgroupe de GL 3 R d Montrer Ma k Mka, par récurrence sur k pour k N, puis, pour k <, considérer l inverse de Ma, qui est M a Décomposer linéairement A sur I n et sur la matrice U dont tous les termes sont égau à Remarquer que U nu En déduire une équation du second degré satisfaite par A 34

317 Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 a Pour obtenir la matrice de f dans la base canonique B de R n [X], développer X + j par la formule du binôme de Newton b Considérer l application g : R n [X] R n [X], PX PX 4 b Décomposer linéairement J sur I et J En déduire la décomposition linéaire de M,yM,y sur I et J c Pour,y R donné, résoudre l équation M,yM,y I, d inconnue,y R d En notant X M,y, calculer X e Décomposer linéairement M,y sur I et N, puis utiliser la formule du binôme de Newton 5 Remarquer que, pour tout j {,,n}, la colonne numéro j + de A n est la somme des colonnes numéros j + et j de A n 6 a Remarquer que, puisque rg H, les colonnes de H sont colinéaires à une colonne fie, qui n est pas a priori une colonne de H b Montrer, avec les notations de a : HAH t VAUU t V Appliquer le résultat de a à AH à la place de H 7 Opérer C n C n C + C + + n C n, pour amener une n-ème colonne plus simple 8 D abord, se rappeler que, par définition, deu matrices carrées A,B de même format sont dites semblables si et seulement s il eiste P GL n K telle que B P AP i ii : S il eiste P,Q GL n K telles que B P AP et C Q BQ, chercher X, Y, Z convenant, en les choisissant de façon que les produits se simplifient ii i : Montrer que X, Y, Z sont alors inversibles et que B X AX, puis un résultat analogue pour C 9 a Montrer que G est stable pour la multiplication, que J M,/ est neutre dans G, et que tout Ma,b admet un symétrique pour la multiplication dans G, en résolvant le système d équations { Ma,bMc,d J Mc,dMa,b J, d inconnue c,d R R b Remarquer que G n est pas inclus dans GL 3 R, ou encore, remarquer que I 3 n est pas dans G Effectuer la division euclidienne de X 5 + X par X + X + Rappels de cours : Par définition, deu matrices carrées réelles d ordre trois ici A,B sont dites semblables si et seulement s il eiste P GL 3 R telle que B P AP Si deu matrices carrées A,B sont semblables, alors : tr A tr B, rg A rg B, det A det B, mais les réciproques sont fausses a Remarquer les traces b Remarquer les déterminants c Puisque A et B se ressemblent en permutant les termes, chercher une matrice P représentant une permutation de la base canonique pour que B P AP, ou encore PB AP d Remarquer A et B e Remarquer les rangs de A I 3 et B I 3 f Chercher une matrice P inversible, diagonale à termes diagonau égau à ou, de façon que B P AP Revenir à la preuve, dans le cours, de l eistence de P,Q, en considérant une application linéaire f : E F représentée par A : chercher une base de Ker f, compléter celle-ci en une base de E, calculer les images par f de ces vecteurs, et compléter cette base de Im f en une base de F On contrôlera le couple P,Q obtenu, en calculant le produit PJQ 3 b Traduire f M par équivalences logiques, en passant par les termes des matrices Obtenir : Ker f D n K c Montrer Im f F, de manière analogue à la solution de b, en passant par les termes des matrices, puis comparer les dimensions 4 b Récurrence sur p Utiliser la formule fondamentale sur les coefficients binomiau : p p p + + k k k 5 c Si A p et B q, calculer f p+q M Utiliser les matrices élémentaires E ij 6 Se rappeler les propriétés de la conjugaison pour les matrices à termes complees qui se redémontrent simplement en revenant au éléments des matrices : A + B A + B, α A α A, AB A B 35

318 Chapitre Matrices a Utiliser le théorème du cours qui donne A PJ n,p,r Q, avec les notations usuelles b Utiliser le résultat de l eercice 98, traduit en termes de matrices, ou redémontrer que le rang est sous-additif, c est-àdire la formule : rg A + B rg A + rg B, pour toutes A,B M n,p C 7 Montrer d abord que Y est à termes tous Eaminer le cas où l un des i est nul, et se ramener au cas où tous les i sont > Montrer que l application f : ln est convee, et en déduire que, pour tout λ,,λ n [ ;+ [ tel que λ j, on a : f λ j j λ j f j j j j Appliquer à λ j a ij 36

319 Corrigés des eercices a On calcule DAE : λ } {{ λ n } D λ a λ a n } λ n a n {{ λ n a nn } DA A { }} { a a n a n a nn λ a λ a n } λ n a n {{ λ n a nn } DA E { }} { µ µ n λ a µ λ a n µ n } λ n a n µ {{ λ n a nn µ n } DAEB b Puisque les λ i et les µ j sont tous /, les matrices diagonales D et E sont inversibles, et D diag λ,,λ n, E diag µ,,µ n Comme B DAE, il en résulte que B est inversible si et seulement si A est inversible et que, dans ces conditions : B DAE E A D µ i α ij λ j ij, en appliquant a à E, A, D à la place de D,A,E Soient A,B E Comme A et B sont triangulaires supérieures à termes diagonau égau à, AB l est aussi, donc AB E I n E Si A E, alors A est inversible et A est triangulaire supérieure à termes diagonau égau à, donc A E Ainsi, E est un sous-groupe de GL n K, donc est un groupe pour 3 Montrons que G est un sous-groupe de GL R pour la multiplication On a, pour tout a,t R + R : det Ma,t a ch t a sh t a sh t ach t donc Ma,t GL R a ch t sh t a /, On a : I M, G, donc G / 3 Soient a,t, a,t R + R On a : Ma,tMa,t a ch t a sh t a ch t a sh t a sh t ach t a sh t a ch t aa ch t ch t +sh t sh t aa ch t sh t +sh t ch t aa sh t ch t +ch t sh t aa sh t sh t +ch t ch t aa ch t + t aa sh t + t aa sh t + t aa ch t + t Maa, t + t G, car aa, t + t R + R 4 Soit a,t R + R D après 3 et, on a a, t R + R et : { Ma,tMa, t Maa, t t M, I Ma, tma,t Ma a, t + t M, I Ceci montre : Ma,t Ma, t G On conclut que G est un sous-groupe de GL R, donc G est un groupe pour la multiplication 4 Notons e,,e n la base canonique de M n, R et C,,C n les colonnes de A On a : C e + e + + e n C e + e + + e n C n e + e + + n e n + n e n C n e + e + + n e n + ne n 37

320 38 e + e + + e n C e + + e n C C e n + e n C n C n e n C n C n e C C C C C e n C n C n C n C n e C C C 3 C C + C C 3 e n C n + C n C n + C n C n Ceci montre que A est inversible et que : A On peut contrôler le résultat, par eemple pour n 3 : 3 5 La linéarité de f est immédiate En effet, on a, pour tout α C et tous P,Q C n [X] : f αp + Q αp + Qa,,αP + Q n a n αpa + Qa,, αp n a n + Q n a n α f P + f Q On a, pour tout j {,,n} : f X j a j, jaj, j j a j,, j!,,, La matrice de f dans la base canonique de C n [X] pour le départ et la base canonique de C n+ pour l arrivée est donc de la forme :!!! n! Cette matrice est triangulaire supérieure à termes diagonau tous non nuls, donc cette matrice est inversible On conclut que f est un isomorphisme de C-espaces vectoriels, de C n [X] sur C n+ 6 Puisque sini + j cos j sin i + sin j cos i, pour tout j de {,,n}, la j ème colonne de A est : sin cos cos j + sin j sin n cos n Ceci montre que les colonnes de A se décomposent linéairement sur deu colonnes fies, donc rga Il est clair que, si n, alors rga Si n, les deu premières colonnes de A forment une famille libre, puisque sin sin 3 sin 3 sin 4 /, et on conclut : rga Finalement : rg A { si n si n 7 En notant I I 3 et J, I et J commutent et A I + J De plus, J, J 3 On en déduit, par la formule du binôme de Newton, pour tout n de N {,} : A n I + J n n k nn + n n J k I + k, n J + n J ce dernier résultat étant à l évidence aussi valable pour n {,} n Notons, pour n Z, A n nn + n

321 On a, pour tout n de Z : A n A n nn + n n n I 3 n n + n Ceci montre en prenant n que A est inversible, et que, pour tout n de Z, A n A n nn + n Finalement, pour tout n de Z : A n n Considérons V 8 M n, C On a : a a n AV a n a nn a j j λ λv λ j a nj Puisque A est inversible, on déduit : V A AV A AV A λv λa V Si λ, alors V, contradiction Donc λ /, puis : A V λ V Ainsi : b b n j λ V A V b n b nn On conclut : i {,,n}, b ij λ j j b j b nj 9 a Puisque f /, il eiste e E tel que f e / Notons e f e, e 3 f e f e, B e, e, e 3 Soit a, a, a 3 K 3 tel que a e + a e + a 3 e 3, c est-à-dire : a e + a f e + a 3 f e On déduit, en appliquant f et puisque f 3 : a f e Comme f e /, on obtient a, puis, en reportant : a f e + a 3 f e En appliquant f, on déduit de même a, puis a 3 f e, donc a 3 Ceci montre que B est libre Comme dim E 3 et que B est libre et de cardinal 3, il en résulte que B est une base de E La matrice de f dans B est : N a d g b Soit A b e h M 3 K, quelconque On a : c f i AN NA a d g a d g b e h b e h c f i c f i d g e h a d g f i b e h d, g, e a, h d, g, f b, i e, h d g h, a e i, f h On conclut : { a C N b a ; a,b,c K } 3 c b a c D après b : { C N a + b } + c ; a,b,c K 3 { ai 3 + bn + cn ; a,b,c K 3} Il en résulte, en termes d endomorphismes : { g LE ; g f f g } { ae + bf + cf ; a,b,c K 3} Vect e, f, f 39

322 3 a Soient A a ij ij, B b ij ij M n,p R positives On a alors A + B a ij + b ij ij et, pour tout i, j {,,n}, a ij > et b ij >, d où a ij + b ij >, et donc A + B est positive Soient A a ij ij M n,p R, B b jk jk M p,q R positives On a alors AB c ik ik, où, pour tout i,k {,,n} {,,q} : p c ik a ij b jk >, comme somme de produits de nombres j tous >, et donc AB est positive k b Considérons Y A i X i D après a, comme A et X sont positives, par produit, pour tout i {,,k }, A i X est positive, puis, par addition Y est positive On a : AY AX + AX + + A k X AX + A X + + A k X + A k X AX + + A k X + X Y Ainsi, Y convient a En notant U, on a : U, donc, pour tout a R : a a Ma a + a a a a a +a + a I 3 + au + a U b D abord, il est clair que, pour tout a R, on a Ma G et que, pour tout a,a R : Ma Ma a a, donc M est injective, et il est clair, par définition de G, que M est surjective Ainsi, M est une bijection de R sur G On a, pour tout a,b R : MaMb I 3 + au + a U I 3 + bu + b U a I 3 + a + bu + + ab + b U a b + U + ab 3 + a b 4 U 4 Mais : U 3 U U, puis U 4 U 3 U, donc : MaMb I 3 + a + bu + a + b U Ma + b c La multiplication est interne dans G et est commutative, d après b La matrice M I 3 est neutre pour la multiplication dans G On a, pour tout a R : MaM a Ma a M I 3, donc Ma est inversible dans G et son inverse est M a En particulier : G GL 3 R Finalement, G est un sous-groupe de GL 3 R d Soit a R Montrons, par récurrence sur k : k k N, Ma Mka La propriété est évidente pour k Si la propriété est vraie pour un k N, alors : k+ k Ma Ma Ma MkaMa Mka + a M k + a, donc la propriété est vraie pour k + Ceci montre, par récurrence sur k, que la propriété est vraie pour tout k N

323 On a, pour tout k Z, k N, et, d après c et le résultat précédent relatif à un eposant entier naturel, appliqué à a, k : On conclut : Ma k Ma k M a k M k a Mka a R, k Z, Ma k Mka En notant I I n et U M n K, on a : A a bi + bu Comme U nu, on déduit : donc : A a b I + a bb + nb U a b I + a b + nb A a bi a b + nb A a b + nba b I, A A a b + nb I a b a + n b I Si a / b et a + n b /, alors, en notant B a b a+n b A a b + nb I, on a AB I, donc A est inversible et A B Si a b, alors A au, A n'est pas inversible Si a + n b, alors la somme des colonnes de A est nulle, donc A n'est pas inversible a Il est clair que, pour tout PX R n [X], 3 f P PX + R n [X] La linéarité de f est immédiate : on a, pour tous a R, P,Q R n [X] : f ap + Q ap + QX + apx + + QX + afp + f Q Ainsi, f est un endomorphisme de l espace vectoriel R n [X] On a, pour tout j {,,n}, en utilisant la formule du binôme de Newton : j j f X j X + j X i i La matrice de f dans la base canonique B, X,,X n de R n [X] est donc A, définie dans l énoncé b Considérons l application i g : R n [X] R n [X], PX PX, qui est un endomorphisme de R n [X], comme ci-dessus pour f On a, pour tout P R n [X] : donc : g f PX g PX + P X + PX f g PX f PX P X + PX, g f Id Rn[X] et f g Id Rn[X] Il en résulte que A est inversible et que A Mat B g Mais, comme plus haut pour f, à l aide de la formule du binôme de Newton, on a, pour tout j {,,n} : gx j X j j j j i i i X i j On a donc : Mat B g j i i i, j n j On conclut : A j i i i, j n Par eemple, pour n 3 : A j i i, j 3 j A i i i, j 3 3 3, 3 3 a Par sa définition, E est le sev de M R engendré par I,J, donc E est un R-ev Comme de plus I,J est à l évidence libre, I,J est une base de E, et donc dime 4 b En remarquant que J J I, on a, pour tout,y,,y de R 4 : M,yM,y I + y + y J + yy J I yy I + y + y + yy J Ceci montre que la multiplication est interne dans E Comme +est interne dans E,y R, M,y M, y E, est interne dans E est commutative dans E 3

324 3 E est un sous-anneau commutatif de M R,+,, donc E est un anneau commutatif c Soient,y,,y R On a : { yy M,yM,y I y + + yy Le déterminant δ de ce système linéaire, d inconnue,y, est : δ + y + y + y Si + y /, alors le système admet une solution et une seule,y dans R, donc M,y est inversible dans E Si + y, alors le système, qui est équivalent à { + y, n a pas de solution, donc M,y n est pas + y inversible dans E Finalement, les éléments inversibles de E sont les M,y tels que + y / d Notons X M,y, d où X M y, + yy { y { i X I + yy y, donc S i { I,I } { y ii X + y, + yy donc S ii {M, ; R} { y iii X X + yy y { y ou y + y { { y ou, y donc S iii {,I } + y y e On a : M,y + yi + yn, + y où N Comme I et N commutent et que N, on a, par la formule du binôme de Newton : n n M,y + y n k y k N k k k + y n I + n + y n yn + y n n + y n y + y n 5 Notons C,,C n les colonnes de A n On a, pour tout j {,,n } : φ j C j + C j+ + φ j+n φ j+ φ j+n+ φ j + φ j+ φ j+n + φ j+n+ φ j+ φ j+n+ C j+ Ainsi, chaque colonne de A n, sauf C et C, est la somme des deu colonnes précédentes Il en résulte que toutes les colonnes de A n se décomposent linéairement sur C et C, donc rg A n D autre part : C, C, donc C,C est libre, d où : rg A n On conclut : rg A n 6 a re méthode : Puisque rgh, il eiste une u colonne U de M n, K telle que les colonnes de H u n soient colinéaires à U ; il eiste donc v,,v n K tels que : u v u v n H v U v n U U t V u n v u n v n ème méthode : Si rg H, alors H, donc U,V, convient Supposons rg H D après un théorème du cours, il eiste P,Q GL n K telles que H PJQ, où on a noté J E M n K En notant C M n,k, on a C t C J, donc : A PJQ PC t CQ PC t CQ En notant U PC M n, K et V t QC M n, K, on a bien H U t V On a de plus, avec les notations précédentes : trh u k v k t VU k

325 b Soit A M n K On a : HAH U t V AU t V U t VAU t V t VAUU t V, car t VAU K D après a appliqué à AH AU t V au lieu de H ; on a bien rgah, on a : Ainsi : HAH trahh trah t VAU 7 Notons C,,C n les colonnes de A n D après le cours, par C n C n C + C + + n C n, on a : rg A n rg + n Si n est pair, alors la dernière colonne de A n est nulle, et comme les n premières colonnes de A n forment une famille libre d après la méthode de Gauss, on conclut : rg A n n Si n est impair, alors les n colonnes de A n forment une famille libre d après la méthode de Gauss, donc : rg A n n On conclut : rg A n { n si n est pair n si n est impair On peut regrouper ces deu résultats en un seul : n n N {,}, rg A n E +, où E désigne la partie entière 8 i ii : Supposons A, B, C deu à deu semblables Il eiste donc P,Q GL n K telles que B P AP et C Q BQ Notons X P GL n K, Y Q GL n K, Z Q BP Puisque A et P sont inversibles, par inverse et produit, B P AP GL n K, puis Z Q BP GL n K On a : XYZ PQQ BP PBP A, YZX QQ BP P B, ZXY Q BP PQ Q BQ C ii i : Supposons qu il eiste X, Y, Z M n K telles que : XYZ A, YZX B, ZXY C Puisque A est inversible et que XYZ A, d après le cours sur les matrices, ou celui sur les déterminants, X, Y, Z sont inversibles On a : B YZX X XYZX X XYZX X AX, C ZXY ZXYZZ ZXYZZ ZAZ, donc A, B, C sont deu à deu semblables 9 a G est stable pour la multiplication car, pour tous a,b, c,d R R : a a c c Ma,bMc,d b b d d b b d d c + ad c + ad bd bd bd bd Mc + ad, bd G On a, pour tout a,b R R : et Ma,bM,/ Ma,b M,/Ma,b Ma,b, donc M,/ est neutre pour la multiplication dans G Soit a,b R R Montrons que Ma,b admet un symétrique pour la multiplication dans G et calculons ce symétrique On a, pour tout c,d R R : { Ma,bMc,d M,/ Mc,dMa,b M,/ { Mc + ad,bd M,/ Ma + cb,db M,/ c + ad, bd /, a + cb, db / c a b, d / 4b Ceci montre que Ma,b admet un symétrique pour la multiplication dans G et que ce symétrique est M a b, 4b 4 La multiplication est associative dans G car elle l est dans M 3 R 33

326 34 b G n est pas un sous-groupe de GL 3 R, car G n est pas inclus dans GL 3 R, puisque, par eemple M, n est pas inversible dans GL 3 R On peut aussi remarquer que le neutre I 3 de GL 3 R n est pas dans G Cherchons l éventuel inverse de A + A + I n sous forme d un polynôme en A À cet effet, pour utiliser l hypothèse A 5 + A I n, effectuons la division euclidienne de X 5 + X par X + X + : X 5 + X X 4 X 3 + X X + X X + X + X 3 X + On a donc : X 5 + X X + X + X 3 X + D où, en remplaçant X par A : A 5 + A I n A + A + I n A 3 A + I n I n On déduit : A + A + I n A3 A + I n I n, et aussi l autre égalité en permutant les deu facteurs, qui commutent On conclut que A + A + I n est inversible et que son inverse est A 3 A + I n a On a : tr A 3 et tr B, donc tr A / tr B, et donc A et B ne sont pas semblables b On a : det A 4 et det B 3, donc det A / det B, et donc A et B ne sont pas semblables c Notons P, qui est la matrice, dans la base canonique e, e, e 3 de R 3, de l endomorphisme f défini par : f e e, f e e 3, f e 3 e Il est alors clair que P est inversible et que P On calcule PAP : A P { }} { { }} { } {{ } } {{ } } {{ } P PA PAP B On conclut que A et B sont semblables d On remarque A et B /, donc A et B ne sont pas semblables En effet, si A et B étaient semblables, il eisterait P GL 3 R telle que B P AP, et on aurait : B P AP P A P P P, contradiction e On remarque que : rg A I 3 rg rg B I 3 rg Montrons que A et B ne sont pas semblables, en raisonnant par l absurde Supposons A et B semblables Il eiste alors P GL 3 R telle que B P AP On a : B I 3 P AP I 3 P A I 3 P, donc nécessairement : rg B I 3 rg A I 3, contradiction On conclut que A et B ne sont pas semblables f Notons P GL 3 R On a P P et on calcule PAP : A { }} { { }} { } {{ } } {{ } } {{ } P PA PAP B On conclut que A et B sont semblables En notant C, C, C 3 les colonnes de A, on remarque que C 3 C + C et que C, C est libre, donc rg A D après le cours, il eiste donc P,Q GL 3 R tel que A PJ 3,3, Q Le but de l eercice est de calculer un tel couple P,Q À cet effet, on va suivre la preuve de ce théorème du cours Notons B E, E, E 3 la base canonique de M 3, R et f l application linéaire de M 3, R dans lui-même représentée par la matrice A dans B au départ et à l arrivée P

327 Déterminons Ker f On a, pour tout X M 3, R : 3 X Ker f f X AX { Une base de Ker f est donc U 3,où U 3 On complète U 3 en une base B U, U, U 3 de M 3, R, par eemple en choisissant : U E, U E Notons V f U AU, V f U AU, qui sont les deu premières colonnes de A On complète V, V en une base C V, V, V 3 de M 3, R, par eemple par V 3 E 3 On a alors : Mat B,B f A et Mat B,C f J D après la formule de changement de bases pour une application linéaire, on a : J 3,3, S AR, où on a noté : R PassB,B, S PassB,C Notons P S et Q R On a alors P,Q GL 3 R et A PJQ On calcule facilement l inverse de R et on conclut qu on peut choisir le couple P,Q défini par : P, Q Enfin, on, peut contrôler ce résultat en effectuant le produit PJQ et en obtenant A 3 a La linéarité de f est immédiate En effet, pour tout a K et toutes M,N M n K : f am + N DaM + N am + ND adm MD + DN ND afm + f N On conclut que f est un endomorphisme de l espace vectoriel M n K b Soit M M n K On a : M Ker f f M DM MD DM MD Passons au éléments des matrices ; notons M m ij ij Alors : DM MD i, j {,,n}, DM ij MD ij i, j {,,n}, D ik M kj k i, j {,,n}, a i m ij m ij a j M ik D kj k i, j {,,n}, a i a j m ij i, j {,,n}, i / j m ij, car a,,a n sont deu à deu distincts Ainsi, Ker f est l ensemble D n K des matrices diagonales de M n K c Il est clair que F, ensemble des matrices de M n K à termes diagonau tous nuls, est un sev de M n K Montrons Im f F Soit M m ij ij M n K, quelconque On a, pour tout i {,,n} : f M DM MD ii ii D ik M ki M ik D ki k donc f M F Ceci montre : Im f F k a ii m ii m ii a ii, 35

328 D après le théorème du rang : dim Im f dim M n K dim Ker f dim M n K dim D n K n n D autre part, il est clair que dim F n n En effet, une base de F est la famille de matrices élémentaires E ij, i, j {,,n}, i / j On conclut : Im f F 4 a On a bien : M M n C, f M AM MB M n C On a, pour tout a C et toutes M,N M n C : f am + N AaM + N am + NB aam MB + AN NB afm + f N, donc f est linéaire On conclut que f est un endomorphisme de l espace vectoriel M n C b Récurrence sur p Pour p, la propriété est évidente Supposons la propriété vraie pour un p N fié : p p M M n C, f p M k A p k MB k k k On a alors, pour toute M M n C : f p+ M f f p M p p f k A p k MB k k k p p k f A p k MB k k k p p k AA p k MB k A p k MB k B k k p p k A p k+ MB k A p k MB k+ k k p p k A p k+ MB k k k p p k A p k MB k+ k k p p k A p+ k MB k jk+ k k p+ p j A p j+ MB j j j p+ k p+ k k p k A p+ k MB k k p p + k k p+ k p k A p k+ MB k k k A p+ k MB k, p+ p + k A p+ k MB k, k ce qui montre la propriété pour p + Ainsi, par récurrence sur p, la formule voulue est établie c Supposons A et B nilpotentes Il eiste p,q N tels que A p et B q On alors, pour toute M M n C : p+q p + q f p+q M k A k MB p+q k k k p p + q k A k MB p+q k k k q p + q + k A k MB p+q k k kp+ p p + q k A k MB p k B q k k p+q p + q +A p k A k p MB p+q k k kp+ Ceci montre f p+q et on conclut que f est nilpotent 5 Soit A une matrice du centre de M n K On a, en particulier, pour tout i, j de {,,n} : AE ij E ij A a i Comme AE ij j ème colonne et E ij A a j a jn i ème ligne, k / i, a ki on déduit : l / j, a lj a ii a jj a ni Ceci montre que, pour tout i, j de {,,n} tel que i / j, on a a ij et a ii a jj a Ainsi, A a I n a 36

329 Réciproquement, il est clair que, pour tout α de K, αi n est dans le centre de M n K Finalement, le centre de M n K est {αi n ; α K } 6 Rappelons d abord les propriétés de la conjugaison pour les matrices à termes complees, qui se démontrent simplement en passant par les éléments des matrices On a, pour tout α C et toutes matrices A,B à termes complees, dès lors que les opérations sont possibles, les formules suivantes : A + B A + B, αa αa, AB A B a Soit A M n,p C D après un théorème du cours, il eiste P GL n C, Q GL p C telles que A PJ n,p,r Q, où Ir J n,p,r On déduit : A PJ n,p,r Q PJ n,p,r Q Mais : PP P P I n, donc P P P P I n, ce qui montre que P est inversible De même, Q est inversible D après le même théorème du cours, en réciproque, on a donc : rg A r rg A b Rappelons, cf eercice 98 : Ici : A,B M n C, rg A + B rg A + rg B rg Re A rg A + A rg A + A rg A + rg A rga, rg Im A rg i A A i c Pour A i on a Re A rg A A rg A + A rg A + rg A rg A + rg A,, Im A rga, et rg A, rg Re A, rg Im A Pour A, i i on a Re A, Im A, et rg A, rg Re A, rg Im A 7 Remarquons que, puisque les matrices A et X sont à termes tous, par produit de matrices, la matrice Y AX est à termes tous, donc : i {,,n}, y i S il eiste i {,,n} tel que i, alors : n y i i n i, i d où l inégalité voulue, dans ce cas Supposons donc : i {,,n}, i > L application f :];+ [ R, f ln est deu fois dérivable et : ] ;+ [, f >, donc f est convee Il en résulte, d après l inégalité de Jensen, que, pour tout λ,,λ n ] ;+ [ n tel que λ j, on a : Mais : n f λ j j j j λ j f j j n ln λ j j j j λ j ln j j n n ln λ j j ln λ j j λ j j j n j λ j j Appliquons ceci à λ j a ij, pour i {,,n} fié : y i a ij j j n j j a ij j On déduit, par produit de nombres tous : n n n n n y i i i j n i j a ij j a ij j j j n j i a ij j 37

330

331 Déterminants, systèmes linéaires CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 39 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 34 Corrigés 36 Thèmes abordés dans les eercices Calculs de déterminants Étude de l inversibilité d une matrice carrée, par l étude de son déterminant Étude de comatrice Résolution de systèmes linéaires Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définition et propriétés de : déterminant d une famille de n vecteurs dans un ev de dimension n, déterminant d un endomorphisme, déterminant d une matrice carrée Calcul pratique des déterminants : opérations licites sur les colonnes, sur les lignes, développement par rapport à une rangée Définition de la comatrice d une matrice carrée A M n K et formule : A t com A t com A A det AI n Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir Pour calculer un déterminant d ordre trois ou quatre K désigne un corps commutatif Essayer de faire apparaître des par des opérations licites sur les lignes ou sur les colonnes, pour développer ensuite par rapport à une rangée ne contenant qu un terme non nul, si possible Eercices, Factoriser le plus possible au fur et à mesure des calculs Eercices, 39

332 Chapitre Déterminants, systèmes linéaires Essayer de faire apparaître des par des opérations licites sur les lignes ou sur les colonnes, pour développer ensuite par rapport à une rangée ne contenant qu un terme non nul, si possible, ou pour se ramener au déterminant d une matrice triangulaire Eercices 5 a, b, c, d, f, Factoriser le plus possible au fur et à mesure des calculs Eercice 5 Essayer, dans certains cas, de voir si une colonne est combinaison linéaire des autres colonnes, ou si une ligne est combinaison linéaire des autres lignes, auquel cas le déterminant est nul Pour calculer un déterminant d ordre n Eercices c, 5 e Essayer de faire apparaître des par opérations licites sur les lignes ou sur les colonnes, pour ensuite, en développant, faire apparaître une relation de récurrence, souvent d ordre un ou d ordre deu, et enfin calculer le terme général de la suite ainsi considérée Eercices 5 f, g, Le cas particulier des matrices tridiagonales à coefficients constants est important Eercice 5 f Utiliser la multilinéarité et l alternance du déterminant, lorsque les colonnes ou les lignes se décomposent linéairement sur des colonnes ou des lignes particulières Eercice 8 Pour calculer le déterminant d une matrice carrée A non donnée par ses éléments Pour calculer le déterminant d un endomorphisme d un ev E de dimension finie Pour résoudre un système affine avec paramètres Pour manipuler la comatrice d une matrice carrée A d ordre n Essayer d amener une équation polynomiale satisfaite par A Eercices 6, Se ramener au déterminant d une matrice carrée, en considérant la matrice de f dans une base convenable de E Eercice 4 Utiliser des combinaisons linéaires d équations pour se ramener à un système équivalent plus simple Eercices 3, 7 Essayer d utiliser : la définition de com A : les termes de com A sont les cofacteurs des termes de A 3

333 Énoncés des eercices la formule du cours : A t com A t com AA det A I n, qui, dans le cas particulier où A est inversible, permet de relier com A et A par la formule : A det A t com A Eercices, 3, 5 Énoncés des eercices Eemples de calculs de déterminants d ordre trois Calculer les déterminants d ordre trois suivants, en eprimant le résultat sous forme factorisée, pour a,b,c K 3 : a b ab a bc a a c ac b b ca c a b c b c bc c ab a 3 b 3 c 3 a a b c a d b c a b b c c c a b Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 Eemples de calculs de déterminants d ordre quatre Calculer les déterminants d ordre quatre suivants, en eprimant le résultat sous forme factorisée, pour a,b,c,d, K : a b c b a a b + c + d a b a b c c b a b b b b 3 c + d + a c c 4 d + a + b b c b a d d 5 a + b + c c Eemple de résolution d un système affine à trois équations et trois inconnues, avec paramètre Pour m R fié, résoudre le système d équations, d inconnue,y,z R 3 : m + y + z S + my + z m + y + mz m 3

334 Chapitre Déterminants, systèmes linéaires 4 Déterminant de l endomorphisme de transposition sur M n R Soit n N On note : f : M n R M n R, M f M t M a Vérifier : f L M n R b Calculer rg f, tr f, det f 5 Eemples de calculs de déterminants d ordre n Calculer les déterminants suivants, pour n N, a,,a n,, a,b K : n n n n n n a n n 3 n n n n n [n] a a a 3 a n a a + a a 3 a n b a a a + a 3 a n a a a 3 a n + a n c det a Ma i, j d i, j n e det ij + i + j i, j n [n] + a a a a a + a a a a 3 a 3 + a 3 a 3 a n a n a n + a n a b f a ab b a n a n b ab b [n+] [n] + a a a + a g + a a a + a [n] 6 Déterminant de la matrice obtenue en multipliant le terme général d une matrice carrée par i+j Soient n N, A a ij ij M n K On note B i+ j a ij ij M n K Montrer : det B det A 3

335 Énoncés des eercices Eemple de résolution d un système affine à n équations et n inconnues Résoudre le système d équations suivant : a + b 3 a + b, d inconnue,, n C n, de paramètre a,b C n a n + b a n + b Eemple de calcul d un déterminant d ordre n Calculer le déterminant d ordre n suivant, pour a,,a n, K fiés : a + a a a a n a a a + a a n D a n a a n a an + Déterminant d une matrice à termes entiers, pairs sur la diagonale, impairs en dehors de la diagonale Soient n N, A a ij ij M n R telle que : i {,,n}, a ii Z i, j {,,n}, i / j a ij Z + [n] a Montrer : n + det A Z + b En déduire que, si n est pair, alors A est inversible Dunod La photocopie non autorisée est un délit Signe du déterminant d un polynôme particulier de matrices carrées Soient n N, A,B M n R telles que AB BA,p,q R tel que p 4q Montrer : det A + pab + qb Déterminant de Vandermonde a Soient n N,,, n K n On appelle déterminant de Vandermonde, et on note ici V,, n, l élément de K défini par : n V,, n det j i i, j n n n n n [n] Montrer : V,, n n i> j i j b Calculer, pour n N {,} et,, n K le déterminant : D n n n n n n [n] 33

336 Chapitre Déterminants, systèmes linéaires Matrice semblable à une comatrice et réciproquement Soient n N, A,B GL n K telles que det A det B Montrer : A com B B com A, où com désigne la comatrice, et désigne la similitude des matrices carrées 3 Eemple de calcul de la comatrice d une matrice carrée inversible + n Soient n N {,}, A M n R + n a Montrer que A est inversible et eprimer A à l aide de A b Calculer det A c Déterminer com A 4 Eemple de résolution d un système de n + équations à n + inconnues Soient n N, a C Résoudre le système d équations S d inconnue,, n C n+ : + a + + a + n + + n n a n n 5 Rang de la comatrice d une matrice carrée rga n rg coma n Soient n N {,}, A M n K Établir : rga n rg coma rga n rg coma Du mal à démarrer? Essayer de faire apparaître des par opérations licites sur b Remarquer que, en notant s a + b + c + d, la quatrième les lignes ou sur les colonnes, pour développer ensuite par rapport à une rangée contenant deu, ou pour combiner avec la règle de Sarrus, valable pour les déterminants d ordre ou 3 colonne est combinaison linéaire des deu premières colonnes c Par opérations licites sur les colonnes, se ramener à des déterminants plus simples a Essayer de faire apparaître des par opérations licites 3 Par eemple, commencer par remplacer S par un système sur les lignes ou sur les colonnes, pour développer ensuite par rapport à une rangée contenant trois équivalent plus simple Ceci fera apparaître m en facteur et incitera à séparer en cas : m, m 34

337 Du mal à démarrer? 4 b Former la matrice de f dans une base de M n R formée d une base de S n R suivie d une base de A n R 9 a Passer modulo b Remarquer qu un entier impair n est pas nul Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 a Opérer C j C j C n pour j,,n, et se ramener au déterminant d une matrice triangulaire b Opérer L i L i L pour i,,n, et se ramener au déterminant d une matrice triangulaire c Opérer L i L i L i+ pour i,,n, et se ramener au déterminant d une matrice triangulaire d Opérer C j C j C pour j,,n, pour faire apparaître des, des, des, puis opérer L L + L i, et i se ramener au déterminant d une matrice triangulaire e Remarquer que les colonnes du déterminant proposé se décomposent linéairement sur deu colonnes fies f Développer le déterminant D n+ proposé par rapport à la dernière colonne et obtenir une relation de récurrence donnant D n+ en fonction de D n g Développer le déterminant D n proposé par rapport à sa première ligne par eemple, puis développer le déterminant d ordre n obtenu par rapport à sa première colonne Montrer ainsi que la suite D n n est une suite récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre, d où le calcul de son terme général 6 Première méthode : revenir à la définition du déterminant d une matrice carrée comme sommation de produits, indeée par le groupe symétrique Seconde méthode : remarquer que B DAD, où D est la matrice diagonale diag i i n 7 Remplacer S par un système équivalent, obtenu en eprimant,, n en fonction de, et avec une dernière équation portant sur Séparer en cas : a n, a n 8 En notant B E,,E n la base canonique de a M n, R, A, le déterminant proposé est celui d une a n famille de colonnes décomposées linéairement sur E,,E n, A Utiliser la multilinéarité et l alternance de det B Utiliser la factorisation de X + px + q dans C[X] a Commencer par calculer le déterminant de Vandermonde pour n, n, n 3 Montrer le résultat voulu, par récurrence sur n, en utilisant des opérations licites sur les colonnes, permettant, dans le calcul du déterminant à l ordre n, de faire apparaître le déterminant à l ordre n b En multipliant, pour chaque i, la ligne numéro i par i, se ramener à un déterminant de Vandermonde Se rappeler que deu matrices carrées de même ordre A,C sont dites semblables si et seulement s il eiste une matrice carrée inversible P telle que A PCP Puisque A et B sont inversibles, on peut eprimer les comatrices de A et B à l aide des inverses de A et B 3 a Décomposer linéairement A sur I n et la matrice U M n R dont tous les termes sont égau à Remarquer que U nu, d où l on déduit une équation du second degré satisfaite par A, puis l inversibilité de A et le calcul de A b Opérer C C + C + + C n, puis C j C j C pour j,,n, pour se ramener au déterminant d une matrice triangulaire c Puisque A est inversible, on peut eprimer com A à l aide de A et utiliser le résultat obtenu en a 4 Remarquer que le système est triangulaire Calculer,, et conjecturer une formule pour k, k n +, que l on montrera par récurrence forte sur k 5 Séparer l étude en trois cas : rg A n, rg A n, rg A n Dans le cas rg A n, faire intervenir l inversibilité de A Dans le cas rg A n, montrer rg com A en utilisant la formule du cours A t com A det A I n et en remarquant qu alors Im t com A Ker A 3 Dans le cas rg A n, montrer com A 35

338 Corrigés des eercices a a b ab a c ac b c bc b a bc b ca c ab L L L L 3 L 3 L a b ab c b ac b b a b ac a b ab c bb a a c acc bb a Sarrus L L L L 3 L 3 L a bc b a ca b c a ba c a bc b ac a c b b ac a c b a bb cc a c a b c a 3 b 3 c 3 C C C C 3 C 3 C a b a c a a 3 b 3 a 3 c 3 a 3 b ac a a b + a c+ a a 3 b + ba + a c + ca + a b ac a b + a c+ a b + ba + a c + ca + a b ac a b + a c+ a L L al b c b ac a b + a c b C C C b c b b ac ac b b + a b c + b b ac ac bab + ac + bc d a a b c a b c a b b c c c a b a a + b + c b c a a + b + c a + b + c C C C c a + b + c C 3 C 3 C a a + b + c b c a c a + b + c a + b + c b + c a L L +L +L 3 c L L +L 3 a + b + c 3 a a b c b a b c a b a b c c b a b b a c a C 3 C 3 C c b a c b c b a C 4 C 4 C b c a c a + c b b a + c L L +L 3 c b a c L L +L 4 b c a c a c a + c b b a + c a c a + c b a c a + c ba + c + b b En notant s a + b + c + d et C, C, C 3, C 4 les colonnes du déterminant proposé, on a : b + c + d s a a S c + d + a d + a + b s b s c s b c a + b + c s d d sc C 36

339 Ainsi, les colonnes du déterminant proposé forment une famille liée, donc ce déterminant est nul c C j C j C j, j, 3, 4 C j C j C j, j3, En notant L, L, L 3 les lignes successives S, en effectuant L L L et L 3 L 3 L, on a : m + y + z S + my + z m + y + mz m m + y + z m + m y m my + m z m m Séparons en deu cas : m + y + z m y + my z + m er cas : m / : Alors : m + y + z S y + y z + m y z m z m mz m + z m + z Et : E m + z m + m + E Si m /, alors : E z y z m z m m +, puis on obtient : m + m + m + m m +, m + m + m + m + m + Si m, alors : E z, qui n a pas de solution è cas : m : Alors : S + y + z On conclut que l ensemble S des solutions de S est : { m + } m +, m +, si m / etm / m + m + S si m } {, y, y ;,y R si m 4 a On a, pour tout α R et toutes A,B M n R : f αa + B t αa + B α t A + t B donc f L M n R α f A + f B, b D après le cours, les sev S n R et A n R, formés respectivement des matrices symétriques et des matrices antisymétriques, sont supplémentaires dans M n R et : dim S n R nn +, dim A n R nn Il eiste donc une base B de M n R formée successivement par une base de S n R et une base de A n R La matrice de f dans cette base est la matrice diagonale nn + D diag,,,,, formée de termes nn égau à, suivis de termes égau à Il est clair alors que : rg f n, tr f nn + nn det f nn+ nn nn n, 37

340 5 a n n n n n n n n 3 n n n n n C j C j C n, j,,n [n] n n n n 3 n n n n n n n n n! b [n] a a a 3 a n a a + a a 3 a n a a a + a 3 a n a a a 3 a n + a n L i L i L, i,,n a a a 3 a n a a a n a a a a n c a a a 3 a n det a Ma i, j a i, j n a a 3 a n a 3 a 3 a 3 a n a n a n a n a n L i L i L i+, i,,n a a a a 3 a n a n a a a a 3 a n a n a n a a a a a n a a n a +++n a n a nn+ a n a n d + a a a a a + a a a a 3 a 3 + a 3 a 3 a n a n a n + a n + a a a 3 C j C j C, j,,n a n + a + + a n a L L +L ++L n a 3 a n n + a i i e Notons, pour j {,,n}, C j la colonne numéro j du déterminant proposé On a, pour tout j {,,n} : C j ij + i + j i n i j + + j i n j + + j n Ainsi, C j se décompose linéairement sur deu colonnes fies c est-à-dire indépendantes de j Si n 3, alors la famille des colonnes est liée, donc le déterminant proposé est nul Si n, alors le déterminant est égal à 3 Si n, alors le déterminant est f En notant D n+ le déterminant d ordre n + proposé, on a, par développement par rapport à la dernière colonne : a b D n+ a ab b a n a n b ab b bd n + [n+] a b a n a n 3 b b a n a n b ab [n] 38

341 En mettant a en facteur dans la dernière ligne de ce dernier déterminant, on fait apparaître encore D n, d où : D n+ bd n + ad n a + bd n Il en résulte, par suite géométrique : D n+ a + b n D a + b n g Notons D n le déterminant proposé On a, pour n 3, en développant par rapport à la ère ligne : + a a a D n a a + a [n] + a a + a a a a + a + a D n a D n En notant D, [n ] a comme D + a et D + a a, a a + a a a a a + a [n ] la formule D n + a D n a D n est valable pour tout n On déduit : D n D n a D n D n, d où, par remplacements successifs : D n D n a n D D a n, puis, en sommant : D n a n + a n + + a + D a n + + a + Si a /, on peut écrire : Et, si a, alors D n n + 6 Première méthode : D n an+ a En notant B b ij ij, on obtient par la définition du déterminant : det B εσbσ, bσn,n σ S n εσ σ+ aσ, σn+n a σn,n σ S n σ++σn +++n εσ aσ, a σn,n σ S n εσ ++n a σ, a σn,n σ S n εσa σ, a σn,n det A σ S n Seconde méthode : On remarque : i, j {,,n}, b ij i a ij j Ainsi, B est le produit B DAD, où D est la matrice diagonale D diag i On a alors : i, j n det B det DAD det D det A det D 7 det D n det A i det A det A S Cas a n / i a + b 3 a + b aa + b + b a + a + b n a n + a n + + b a n + a n + + b On obtient an + + b b, puis en reportant a n a : Cas a n a + b b a,, n b a α Si a /, alors a n + + an, et donc : a a + b 3 a + a + b S n a n + a n + + b β Si a et b /, comme + nb, Sn a pas de solution γ Si a et b, alors S n Finalement : S { } b a,, b a {,a + b,a + a + b,, si a n / } a n + a n + + b ; C si a n eta / si a etb / {,, ; C} si a etb 8 Notons B E,,E n la base canonique de M n, R, C j la colonne numéro j du déterminant D proposé, a pour j,,n, A On a alors : a n 39

342 33 a + a a a a n a a a + a a n D a n a a n a an + det B a A + E,,a n A + E n En développant par multilinéarité et alternance, il ne reste que n + déterminants : D det B E,,E n + det B E,,a j A,,E n j n + n a j det B E,,A,,E n j On a, pour j {,,n} fié, en développant successivement par rapport à la dernière colonne, depuis la colonne n jusqu à la colonne j : det B E,,A,,E n a a j a n a a j a j Finalement : D n + n a j 9 j a Utilisons les congruences modulo [ j] [n] Notons M m ij ij M n Z/Z la matrice carrée d ordre n, à coefficients dans Z/Z,où m ij est la classe de a ij modulo Puisque le déterminant d une matrice carrée s obtient par somme de produits de termes de la matrice, il est clair, avec les hypothèses de l énoncé, que, modulo : det A [n] n C C +C ++C n n n [n] n C j C j C, j,,n n n D où : n + det A [] n + n n Finalement, n + det A est impair [] n + n n [] [n] [n] b Si n est pair, alors, comme n + det A est impair, par différence, det A est impair, donc non nul, et on conclut que A est inversible Puisque p 4q, le trinôme réel X + px + q admet deu zéros complees conjugués égau si p 4q, distincts si p 4q < Il eiste donc z C tel que : X + px + q X zx z Ainsi : z + z p et zz q On a alors : d où : A zba zb A zba zab + zzb A z + zab + zzb A + pab + qb, det A + pab + qb det A zba zb det A zb det A zb det A zb det A zb det A zb

343 a Si n : V Si n : V, Si n 3 : V,, C C C C 3 C 3 C On a, pour tout n N tel que n 3 : V,, n n n n n n n C j C j C j, j,,n n n n n n n n n n n n n n n n V,, n [n ] On conclut, par récurrence sur n, ou encore, de proche en proche : n n V,, n j i j+ i j n i> j i j b Pour faire apparaître σ n n, comme la dernière colonne contient ce produit en omettant un facteur, multiplions, pour chaque i {,,n}, la ligne numéro i du déterminant D proposé par i : n D n n n n n n n n n n n σ n σ n [n] n [n] n σ n n n n n [n] On reconnaît alors un déterminant de Vandermonde, à l ordre près des colonnes n La permutation circulaire c est n n composée de n transpositions échangeant deu éléments consécutivement, donc εc n, d où,d après l alternance du déterminant : σ n D n D σ n n V,, n Si,, n sont tous non nuls, on conclut : D n V,, n Supposons, par eemple Alors, en revenant à la définition de D : n n n D n n n n+ n V,, n [n] n n V,, n n V,,, n n V,,, n Finalement, pour tout,, n K n : D n V,, n Puisque A,B GL n K, d après une formule du cours : com A det A t A, com B det B t B Supposons A com B Il eiste P GL n K telle que : A P com BP On a alors : A P det B t B P, donc : B t B Ceci montre : det B P AP, puis : t P AP t P t A t P det B det B t P t A t P t P com A t P det A B com A Comme A et B ont des rôles symétriques, la réciproque s obtient en échangeant A et B, d où le résultat voulu 33

344 3 a En notant U la matrice carrée d ordre n dont tous les termes sont égau à, on remarque que A ni n + U Comme U nu, on obtient A ni n na ni n,d où A 3nA+ n I n, puis : A n A 3n I n I n et n A 3n I n A I n Ceci montre que A est inversible et que A n A 3n I n b On a : + n det A + n n n + n C C +C ++C n n + n [n] + n n + n [n] n n nn n n n C j C j C, j,,n n [n] c Puisque A est inversible, on a, d après une formule du cours : A t com A, donc : det A com A det A t A n n t n A 3n I n n n A 3n I n 4 Il s agit d un système linéaire en cascade, c est-à-dire d un système linéaire dont la matrice A est triangulaire De plus, les termes diagonau de cette matrice triangulaire A sont tous égau à, donc non nuls, donc A est inversible Ceci montre que le système proposé S admet une solution et une seule Calculons les valeurs des premières inconnues :, a a, a + a a a Montrons, par récurrence forte bornée sur k que : k {,,n}, k a k La propriété est vraie pour k Supposons-la vraie de jusqu à k On a alors : k k+ a k+ k + i i a k+ i k i k + a i i k+ a k+ k + a i a k+ i i a a k+ k+ + a k+ a k+, ce qui établit le résultat pour k + On obtient ainsi : k {,,n}, k a k Finalement, l ensemble S des solutions de S est : } S {, a,a,,a n 5 Si rga n, alors deta / et, comme t A coma I n, coma est inversible, donc det A rg coma n Supposons rga n Comme A t coma detai n, on a Im t coma KerA, et donc : rg coma rg t coma dim KerA Mais, d après le théorème du rang : dim KerA n rga D autre part, comme rga n, il eiste une matrice carrée d ordre n etraite de A et inversible, et donc au moins un des cofacteurs de A est /, d où coma / Finalement : rg coma 3 Si rga n, alors tous les cofacteurs de A sont nuls, puisque ce sont des déterminants de matrices carrées d ordre n etraites de A, et on a donc coma, rg coma 33

345 Espaces vectoriels euclidiens CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 333 Énoncés des eercices 336 Du mal à démarrer? 34 Corrigés 343 Thèmes abordés dans les eercices Montrer qu une certaine application est un produit scalaire Trouver une base orthogonale orthonormale d un ev euclidien Former la matrice, dans une base orthonormale, d un projecteur orthogonal, d une symétrie orthogonale Obtention d inégalités par utilisation de l inégalité de Cauchy et Schwarz et de l inégalité triangulaire Matrice et déterminant de Gram Calculs, dans E 3, de produits scalaires, de produits vectoriels, de produits mites, d angles Détermination de la nature et des éléments caractéristiques d un endomorphisme othogonal de E 3, à partir de sa matrice dans une base orthonormale directe Dunod La photocopie non autorisée est un délit Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Définitions de : produit scalaire, famille orthogonale, famille orthonormale, orthogonal d une partie Inégalité de Cauchy et Schwarz, inégalité de Minkowski Toute famille orthogonale à vecteurs tous non nuls est libre Définition et propriétés de OE, SOE, O n R, SO n R Définition d un projecteur orthogonal, d une symétrie orthogonale, d une réfleion Définition et propriétés, dans E 3, du produit scalaire, du produit vectoriel, du produit mite Classification des endomorphismes orthogonau de E 3 Les méthodes à retenir On abrège espace vectoriel en ev, sous-espace vectoriel en sev, base orthonormale en bon, base orthonormale directe en bond E resp E 3 désigne un ev euclidien orienté de dimension resp 3 333

346 Chapitre Espaces vectoriels euclidiens Pour montrer qu une application E E R est un produit scalaire Pour calculer la norme euclidienne d un vecteur Dans la manipulation d une combinaison linéaire de vecteurs, pour faire disparaître tous les termes sauf l un d eu Revenir à la définition d un produit scalaire sur un espace vectoriel réel Eercices 4, 5 Faire intervenir le produit scalaire et remplacer par Eercice 6 Essayer de faire le produit scalaire avec un vecteur orthogonal à presque tous les termes de la combinaison linéaire Eercice 5 Utiliser la définition de l orthogonal F d un sev F de E : Pour manipuler des orthogonau de sev d un ev E muni d un produit scalaire F { y E ; f F,f y } Utiliser les propriétés du cours sur l orthogonalité, en particulier : F F, F G G F Eercice 4 Pour montrer qu un vecteur, d un ev E muni d un produit scalaire et de la norme euclidienne associée, est nul Pour obtenir une inégalité, en algèbre, en analyse, en géométrie, faisant intervenir des carrés ou des racines carrées Pour manipuler une matrice ou un déterminant de Gram eercice classique Pour traduire qu une matrice carrée A M n R est orthogonale Essayer de montrer : Essayer de montrer : y E, y Essayer d utiliser l inégalité de Cauchy et Schwarz Eercices 6, Eercices 8, 9, 4 Par définition, la matrice de Gram d une famille finie,, n de vecteurs d un ev E muni d un produit scalaire est : G i j i, j n M n R Penser à décomposer linéairement,, n sur une base orthonormale e,,e p de Vect,, n En notant M la matrice des coordonnées de,, n dans e,,e p, on a alors : G t MM Attention : M n est pas, a priori, carrée Eercice Utiliser l une des caractérisations du cours : les colonnes de A forment une bon de M n, R usuel les lignes de A forment une bon de M,n R usuel t AA I n A t A I n A GL n R et t A A A représente un endomorphisme orthogonal dans une bon Eercices 3, 9,, 9 334

347 Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour former la matrice d un projecteur orthogonal sur un sev F de E Pour traduire une symétrie orthogonale s par rapport à un sev F de E Pour manipuler, dans E 3, le produit scalaire, le produit vectoriel, le produit mite Pour calculer l angle de deu vecteurs non nuls,y de E ou de E 3 Pour déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l endomorphisme f de E 3 représenté par une matrice orthogonale Ω dans une bond B de E 3 Pour traduire qu une matrice carrée réelle A d ordre trois est orthogonale droite Si l on connaît F, décomposer un vecteur quelconque de E sur F et F Déterminer une bon v,v p de F, puis appliquer la formule du cours donnant le projeté orthogonal p F d un vecteur quelconque de E sur F : p p F e k e k Utiliser, pour tout u E : k su + u F et su u F Eercice 7 Eercice 3 Utiliser les propriétés du cours sur ces produits En particulier, la formule du double produit vectoriel est utile : a b c a c b a b c Eercices, 6 Calculer le produit scalaire y, ce qui permet d obtenir cos,y, et éventuellement, calculer y, pour décider de l orientation Eercice Vérifier que Ω est orthogonale, par eemple par : t ΩΩ I 3 Calculer det Ω D après le cours : det Ω ± Si det Ω, alors f est une rotation Le cas f Id E3 est d étude immédiate La droite supportant l ae de f est l ensemble des invariants de f, obtenu en résolvant ΩX X, d inconnue X M n, R On détermine l angle θ de f par : tr Ω + cos θ et sin θ est du signe du produit mite [, f, I ] pour n importe quel vecteur de E 3 non colinéaire à I, où I est le vecteur dirigeant et orientant l ae de f Dans le cas det, le programme officiel ne comporte que l étude du cas où Ω est symétrique Alors f est une réfleion, et le plan de la réfleion f est l ensemble des invariants de f En plus de la caractérisation du cours : A SO 3 R t AA I 3 et det A, Eercice 3 on peut remarquer que ceci est équivalent à ce que les trois colonnes successives C, C, C 3 de A vérifient : C, C, C C, C 3 C C Eercice 335

348 Chapitre Espaces vectoriels euclidiens Pour manipuler un seul endomorphisme orthogonal f de E 3 Essayer d envisager la matrice de f dans une bond particulière, commençant par un vecteur normé u tel que f u u, si un tel u eiste Eercice 8 Énoncés des eercices Un vecteur de E 3 faisant un même angle avec trois vecteurs donnés Soient a,b,c E 3 {} On note : a b c, b c a, c a b, v a a + b b + c c et on suppose v / Montrer que v fait avec a,b,c des angles égau, c est-à-dire montrer que : cos v,a cos v,b cos v,c 3 4 Calcul de termes d une matrice carrée pour que celle-ci soit orthogonale droite Trouver une CNS sur a,b,c,d R 4 pour que la matrice A 3 b 6 c soit 7 6 a d orthogonale droite Détermination de la nature et des éléments caractéristiques de l endomorphisme de E 3 représenté par une matrice orthogonale dans une base orthonormale directe Déterminer la nature de l endomorphisme f de E 3, dont la matrice Ω relativement à une base orthonormée directe i, j,k de E 3 est donnée, et préciser les éléments caractéristiques de f : a Ω b Ω Eemple de produit scalaire sur un espace vectoriel de fonctions, eemple d endomorphisme antisymétrique dans le contete de l analyse On note E l ensemble des applications f :[ ; ] R de classe C sur R, telles que : n N, f n f n a Montrer que E est un R-espace vectoriel et que l application f,g f g fg est un produit scalaire sur E 336

349 Énoncés des eercices b Vérifier que l application T : f f est un endomorphisme antisymétrique de E, c est-à-dire que : f,g E, T f g f T g 5 Eemple de produit scalaire sur un espace vectoriel de polynômes, mise en évidence d une base orthonormale Soit n N On note E R n [X] et ϕ : E E R l application définie par : P,Q E E, ϕp,q P k Q k a Vérifier que ϕ est un produit scalaire sur E k b Calculer, pour tout i, j {,,n}, ϕx i,x j En déduire une base orthonormale de E,ϕ 6 Eemple de famille orthogonale pour un produit scalaire sur un espace de fonctions a Montrer que, pour tout n N, l équation tan, ] d inconnue nπ ; nπ + π [, admet une solution et une seule, notée n b On note, pour tout n N, a n + n et : + n Montrer que la famille f n n N f n :[ ; ] R, t cos nt an E C [ ; ], R défini par : f,g f g est orthonormale pour le produit scalaire sur fg Dunod La photocopie non autorisée est un délit Former la matrice d un projecteur orthogonal dans une base orthonormale Former la matrice, dans la base canonique de R 4 usuel, du projecteur orthogonal p sur le sous-espace vectoriel F défini par : F {,, 3, 4 R 4 ; { } Eemple d obtention d inégalité par utilisation de l inégalité de Cauchy et Schwarz Montrer que, pour tout polynôme P R[X] à coefficients tous, et pour tout,y R +, on a : P y PPy Inégalité sur la somme des valeurs absolues des termes d une matrice orthogonale Soit Ω a ij ij O n R Montrer : a ij n n i, j n 337

350 Chapitre Espaces vectoriels euclidiens Matrices simultanément orthogonales et triangulaires Soit n N Déterminer O n R T n,s R Étude d une combinaison linéaire à coefficients ± de trois vecteurs unitaires Soient E, un espace vectoriel euclidien, u,u,u 3 E unitaires On note, pour ε,ε,ε 3 {,} 3 : V ε,ε,ε 3 ε u + ε u + ε 3 u 3 Calculer V ε,ε,ε 3 et en déduire qu il eiste ε,ε,ε 3 {,} 3 tel ε,ε,ε 3 {,} 3 que : V ε,ε,ε 3 3 Étude de l endomorphisme + a de E 3 Soit a E 3 On note : f : E 3 E 3, f + a Montrer : f GLE 3 et eprimer f y en fonction de y, pour tout y E Former la matrice d une réfleion dans une base orthonormale de E 3 Pour a,b,c R 3 tel que a + b + c, former la matrice, relativement à une base orthonormée i, j,k de E 3, de la réfleion par rapport au plan P d équation a + by + cz Étude d orthogonau de sous-espaces vectoriels Soient E un R-espace vectoriel, un produit scalaire sur E, et F,G des sous-espaces vectoriels de E tels que : F G et F + G E 5 Démontrer : G F et F G Étude de l application e i e i Soit E, un espace vectoriel euclidien, n dim E i a Soit F e,,e n E n On considère l application f : E E, f e i e i Vérifier que f est un endomorphisme de l espace vectoriel E Montrer : Ker f F et Im f Vect F 3 En déduire que f est bijective si et seulement si F est une base de E b En déduire que, si E est de dimension finie, en notant B e,,e n une base de E, on a : c,,c n R n,!v E, i {,,n}, e i v c i i 338

351 Énoncés des eercices 6 7 Condition suffisante pour une base orthonormale Soient E, un espace vectoriel muni d un produit scalaire, n N, e,,e n E n On suppose : i {,,n}, e i E, e i i Démontrer que e,,e n est une base orthonormale de E Former la matrice d une rotation dans une base orthonormale directe de E 3 Soient B i, j, k une base orthonormale directe de E 3,a,b,c R 3 tel que a + b + c, u a i + b j + c k Former la matrice, dans B, de la rotation vectorielle d ae dirigé et orienté par u, et d angle π 8 9 Epression de l image d un vecteur par une rotation vectorielle de E 3 Soient u E 3, tel que u, θ R, f la rotation d angle θ, d ae dirigé et orienté par u Montrer : E 3, f cos θu u + cos θ + sin θ u Rang de la différence de deu matrices orthogonales droites d ordre trois a Soit R SO 3 R telle que R / I 3 Montrer : rg I 3 R b En déduire que, pour tout Ω, Ω SO 3 R tel que Ω / Ω, on a : rg Ω Ω Toute application conservant le vecteur nul et la norme euclidienne est linéaire Soient E,F deu R-espaces vectoriels dont chacun est muni d un produit scalaire, E, F les normes associées, f : E F une application telle que f et : Démontrer que f est linéaire,y E, f f y F y E Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 Caractérisation des projecteurs orthogonau parmi les projecteurs Soient E un espace préhilbertien réel et p un projecteur de E Montrer : Kerp Imp E, p Étude de projecteurs orthogonau Soient E, un espace vectoriel euclidien, la norme associée, p,q deu projecteurs orthogonau tels que : E, p + q Montrer que p q q p et que p + q est un projecteur orthogonal On pourra utiliser le résultat de l eercice Matrice et déterminant de Gram Soit E un espace vectoriel euclidien Pour n N et,, n E n, on note : { G,, n i j i, j n Mn R γ,, n det G,, n 339

352 Chapitre Espaces vectoriels euclidiens a Établir : rg G,, n rg,, n b Montrer : {,, n lié γ,, n,, n libre γ,, n > c On suppose ici,, n libre Soient X Vect{,, n }, E, p X le projeté orthogonal de sur X, d p X la distance de à X Montrer : d γ,,, n γ,, n 4 Eemple d intervention du produit scalaire canonique sur M n R Soient n N, A,B,C M n R telles que : t AA A t A, Démontrer : t AC C t B t BB B t B, AC CB À cet effet, on munira M n R de son produit scalaire canonique et de la norme associée, et on calculera t AC C t B Eemple d intervention de l inégalité de Cauchy et Schwarz Soient n N, a,,a n R +, b,,b n R tels que : a i b j Montrer : i, j ; i / j b i b j i, j ; i / j Étude de la composée s r s, où r est une rotation et s une réfleion de E 3 Soient r une rotation et s une réfleion de E 3 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ρ s r s en fonction des éléments caractéristiques de r et s Caractérisation des endomorphismes de E 3 conservant le produit vectoriel Soit f LE 3 Montrer que les deu propriétés suivantes sont équivalentes : i : f est une rotation ou l identité ii : f / et :,y E3, f y f f y 34

353 Du mal à démarrer? Du mal à démarrer? Pour évaluer cos v,a, calculer v a et obtenir : v a a [b,c,a], d où : cos v,a v a v a [b,c,a] v Appliquer la formule du cours donnant le projeté orthogonal d un vecteur sur un sous-espace vectoriel de dimension finie dont on connaît une base orthonormale En déduire la matrice de p dans la base canonique de R 4 Dunod La photocopie non autorisée est un délit D après le cours, A SO 3 R si et seulement si les colonnes C,C,C 3 de A forment une base orthonormale directe de M 3, R, ce qui revient à : 3 C, C, C C, C 3 C C Vérifier Ω O 3 R Calculer det Ω On obtient det Ω ou Cas det Ω : D après le cours, f est une rotation le cas f Id E3 est d étude immédiate La droite supportant l ae de f est l ensemble des invariants de f, obtenu en résolvant Ω X X, d inconnue X M 3, R On détermine l angle θ de f par : tr Ω + cos θ, et sin θ est du signe du produit mite [, f, I ] pour n importe quel vecteur de E 3 non colinéaire à I, où I est le vecteur unitaire dirigeant et orientant l ae de f Cas det Ω : Le programme ne comporte ici que l étude du cas où Ω est symétrique Alors f est une réfleion et le plan de la réfleion f est l ensemble des invariants de f 4 b Utiliser une intégration par parties 5 b Calculer X i k en séparant en cas k < i, k i, k > i, puis calculer X i k en séparant en cas k i, k i X i Montrer que convient i! i n 6 a Étudier, pour n N fié, les variations de la fonction : ] ϕ : nπ ; nπ + π [ R, ϕ tan b Calculer, pour p,q N,f p f q, en utilisant des formules de trigonométrie et la définition de p, q, qui permet, par eemple, de remplacer tan p par p 7 Former un système d équations de F, plus simple que celui de l énoncé, par eemple en eprimant et en fonction de 3 et 4 En déduire un vecteur V, non nul, de F, puis un vecteur V, non nul, de F, orthogonal à V En déduire une base orthonormale v,v de F 8 Écrire P additivement et appliquer l inégalité de Cauchy et Schwarz 9 Appliquer l inégalité de Cauchy et Schwarz dans R n usuel au vecteurs et a ij ij Si A a ij ij O n R T n,s R, considérer la première colonne et la première ligne de A, pour déduire a et a a n Réitérer Traiter la réciproque Développer la somme proposée et remarquer, par eemple, que ε ε ε,ε {,} On obtient : V ε,ε,ε 3 4 ε,ε,ε 3 {,} 3 La linéarité de f est immédiate Montrer Ker f {} Pour y E 3, résoudre l équation y f, d inconnue E 3 À cet effet, évaluer a y et a y On obtient : f y y a y + a y a + a 3 Utiliser, pour u E 3 et u Ref P u : u + u P et u u P, en passant par les coordonnées dans la base orthonormale i, j,k de E 3 4 Montrer G F, en passant par les éléments et en utilisant E F + G À partir de F G, déduire G F et remarquer que F et G ont des rôles symétriques dans les hypothèses 5 a L inclusion F Ker f est immédiate Pour l autre inclusion, si Ker f, calculer le produit scalaire de f et L inclusion Im f Vect F est immédiate Pour l autre inclusion, faire intervenir les dimensions 6 Pour j {,,n} fié, appliquer l hypothèse à e j à la place de, et déduire e i e j pour i j et e j e j 4, puis e j En vue de montrer que e,,e n est une base orthonor- male de E, calculer e i e i, par développement i 34

354 Chapitre Espaces vectoriels euclidiens 7 Soit E 3 Calculer le projeté orthogonal q de sur R u, puis, par différence, le projeté orthogonal p de sur u Calculer f p à l aide d un produit vectoriel, puis f par f q + f p Passer ensuite au coordonnées dans B 8 Utiliser une base adaptée à la rotation f 9 a À l aide d un changement de base orthonormale directe, se ramener à R cos θ sin θ sin θ cos θ b Remarquer : Ω Ω Ω I 3 Ω Ω et Ω Ω SO 3 R Montrer : E, f F E Déduire :,y E, < f, f y > F <, y > E 3 Pour λ R,,y E, développer f λ + y λ f f y et déduire f λ + y λf + f y Supposons Ker p Im p Pour E, remarquer p Ker p et p Im p, et utiliser le théorème de Pythagore Réciproquement, supposons : E, p Soient Ker p, y Im p, donc p et y py Appliquer l inégalité d hypothèse à λ + y à la place de, pour tout λ R Déduire y Pour E, appliquer l inégalité de l énoncé à p à la place de Déduire p q,et q p Calculer p + q en développant Déduire que p + q est un projecteur de E 3 Montrer, pour tout E, p q, puis p + q, et conclure, en utilisant l eercice 3 a Considérer X Vect,, n, p dim X, e,,e p une base ortho- normale de X, p i ξ ki e k la décomposition linéaire de i sur e,,e p, k pour i {,,n} Eprimer i j et en déduire que, en notant M ξ ki ki M p,n R, on a : G,, n t MM Montrer : rg t MM rg M b Garder les notations de la solution de a Si,, n est libre, alors p n et M est carrée c Noter y p X, donc y + p X Calculer γ,,, n en utilisant la linéarité du déterminant par rapport à la première colonne 4 Se rappeler que le produit scalaire canonique sur M n R est défini par : M,N M n R,M N tr t MN et se rappeler les propriétés de la trace pour les matrices carrées, en particulier la formule : X,Y M n R, tr XY tr YX / 5 Montrer : b j a i b i a i, puis obtenir : j i i b i b j i, j ; i j / a i b i ai bi ai i i i i Appliquer alors l inégalité de Cauchy et Schwarz dans R n usuel 6 Montrer que ρ est une rotation, en utilisant la propriété de structure de OE 3 et le déterminant Calculer ρ s u, où le u est le vecteur unitaire dirigeant et orientant l ae de r, et en déduire que l ae de ρ est dirigé et orienté par s u 3 Calculer l angle entre w et ρ w, pour w s u 7 i ii : Soit f une rotation de E 3 Déjà, f conserve le produit scalaire Montrer quef conserve le produit mite, comme déterminant Pour,y E 3, montrer : u E 3, f y f f y u et déduire f y f f y ii i : Soit f conservant le produit vectoriel Montrer que f est injective À cet effet, raisonner par l absurde : supposer qu il eiste E 3 {} tel que f Déduire que f est nulle sur R et que f est nulle sur, en remarquant que tout vecteur de est de la forme y pour un y E 3 Soit B i, j, k une base orthonormale directe de E 3 Noter I f i, J f j, K f k Montrer K I J, puis I J, puis I [I,J,K ]I, d où [I,J,K ], et enfin I, Déduire que f B est une base orthonormale directe de E 3 et conclure que f est une rotation vectorielle 34

355 Corrigés des eercices On a : v a a a a + b b a + c c a d où : De même : a b c a + b c a a + c a b a a [b,c,a] + b [c,a,a] + c [a,b,a] a [b,c,a], cos v,a v a v a [b,c,a] v cosv,b [c,a,b], cosv,c [a,b,c] v v Comme [a,b,c] [b,c,a] [c,a,b], on conclut : A SO 3 R cos v,a cos v,b cos v,c Notons C,C,C 3 les colonnes de A On a : C, C, C C, C 3 C C On calcule : C , donc C C a a a { 3, 3} C C a a 3 Supposons a 3 On a alors : C C On conclut que A est orthogonale droite si et seulement si : a 3, b 6, c 3, d 3 a On calcule t ΩΩ I 3, donc Ω est orthogonale Comme, de plus, detω, f est une rotation Le support de l ae de f est l ensemble des invariants par f Pour tout X y de M 3, R, on a : z + y + 6 z ΩX X y { y 6 z 6 + z 6 y z En notant I i + j, I est normé, et l ae de f est dirigé et orienté par eemple par I L angle θ de f vérifie : + cos θ trω, d où : cos θ De plus, sin θ est du signe de [i, f i,i ] 4 On déduit : θ π 3 [π] > Finalement, f est la rotation d ae dirigé et orienté par i + j et d angle π 3 [π] b On calcule t ΩΩ I 3, donc Ω est orthogonale Comme, de plus, detω et que Ω est symétrique, f est une réfleion Pour tout X y M 3, R, on a : z + 4y + z ΩX X 4 + 6y + 4z + 4y + z Finalement, f est la réfleion par rapport au plan d équation par + 4y + z 343

356 4 a E C [ ; ], R et E 5 On a, pour tout α R et toutes f, f E : n N, α f + f n α f n + f n α +, et de même en, donc α f + f E On conclut que E est un R-sous-espace vectoriel de C [ ; ], R, donc E est un R-espace vectoriel Pour tout f,g E, sur le segment [ ; ] On a, pour tout f,g E : g f donc est symétrique gf fg eiste, car fg est continue fg f g, On a, pour tout α R et toutes f,g,g E : f αg + g f αg + g α α f g + f g, fg + donc est linéaire par rapport à la deuième place On a : f E, f f f fg Soit f E Si f f, alors f, donc, puisque f est continue sur [ ; ] et que f, on déduit, d après un théorème du cours, f On conclut que est un produit scalaire sur E b Pour toute f E, T f f eiste et T f E On a, pour tout α R et toutes f, f E : donc T est linéaire T α f + f α f + f α f + f αt f + T f, On conclut que T est un endomorphisme de E Soit f,g E On a, par une intégration par parties pour des applications de classe C sur un segment : T f g f g [ fg] g f f T g On conclut que T est un endomorphisme antisymétrique de E fg a On a, pour tout P,Q E E : ϕq,p Q k P k k P k Q k ϕp,q, k donc ϕ est symétrique On a, pour tout α R et tous P,Q,R E : ϕp,αq + R P k αq + R k α k P k αq k + R k k P k Q k + k αϕp,q + ϕp,r, P k R k k donc ϕ est linéaire par rapport à la deuième place On a, pour tout P E : ϕp,p P k Soit P E tel que ϕp,p On a alors P k, donc : k } {{ } k {,,n}, P k k D après la formule de Taylor pour les polynômes, puisque deg P n, on a alors : PX k P k X k k! On conclut que ϕ est un produit scalaire sur E b Soit i, j {,,n} On a : ii i k + X si k < i X i k i! si k i si k > i donc : Il en résulte : ϕx i,x j X i k { si k / i i! si k i { si i / j X i k X j k i! j! si i j k D après, X i i n est une famille orthogonale pour ϕ, formée de vecteurs tous non nuls Comme dim E n +, cette famille de n + éléments est une base de E 344

357 De plus : i {,,n}, ϕx i,x i i! X i On conclut que est une base orthonormale de i! E,ϕ 6 ϕ : i n a Soit n N fié L application ] nπ ; nπ + π [ R, ϕ tan est dérivable donc continue et : ] nπ ; nπ + π [, ϕ + tan + >, donc ϕ est strictement croissante De plus : ϕ < et ϕ nπ + nπ nπ+ π + D après le théorème de la bijection monotone, il eiste donc ] n nπ ; nπ + π [ unique tel que ϕ n, c est-à-dire tel que : n tan n b Soit p,q N tel que p / q On a : f p f q a p aq f p f q cos p t cos q t d ap aq cos p + q t + cos p q t dt Comme p + q / car p > et q > et p q / car p / q, on a : f p f q [ sin p + q t + sin p q t a p aq p + q p q sinp + q sin p q ap aq p + q p q ap aq sin p cos q + sin q cos p p + q cos p cos q tan p + tan q ap aq p + q cos + p cos q p q ap aq p + q cos p cos q ap aq p q p q ] sin p cos q sin q cos p p q tan p tan q p q p q p q On a, pour tout n N : f n f n cos n t a n + cos n t dt a n [ t + sin ] nt a n n + sin n an + tan n a n n n + tan n + a n n + + n a n + n On conclut que la famille f n n N est orthonormale pour le produit scalaire 7 Cherchons un système d équations de F, plus simple que celui de l énoncé :,, 3, 4 F dt { { Un vecteur non nul de F est donc, par eemple, V,,,, obtenu en choisissant 3, 4 et en calculant alors et Un vecteur non nul V,, 3, 4 de F, orthogonal à V, est caractérisé par le système d équations : En reportant les valeurs de et en fonction de 3 et 4,ce système est équivalent au système : Choisissons 3 4, 4 3, par eemple Un vecteur V de F, non nul et orthogonal à V est donc, par eemple : V,,4, 3 Notons v V V 6 V, v V V 3 V Ainsi, v,v est une base orthonormale de F 345

358 D après le cours, le projeté orthogonal px d un vecteur X de R 4 sur F est donné par la formule : px v Xv + v Xv 6 V XV + 3 V XV En notant X,, 3, 4, on a, sous forme de colonnes pour la lisibilité des écritures : px On conclut que la matrice de p dans la base canonique de R 4 est : Par hypothèse, il eiste n N, a,,a n R + tels que : P a k X k k On a, pour tout,y R + : P y a k y k k ak k a k y k k Appliquons l inégalité de Cauchy et Schwarz, dans R n+ usuel, ak à k ak, y k : k n ak k a k y k k k n ak k n ak y k k k n n a k k a k y k PPy, k d où l inégalité voulue 9 Appliquons l inégalité de Cauchy-Schwarz dans R n usuel au vecteurs u toutes coordonnées égales à et a a ij i, j n ; on obtient : i, j n k a ij u a u a n Comme A O n R, on a : i {,,n}, d où : i, j n a ij n, et finalement : i, j n i, j n a ij a ij, j Soit A a ij ij O n R T n,s R a ij n 3 La première colonne et la première ligne de A sont normées, donc : a et a + a + + a n, d où a {,} et a a n Ensuite, la deuième colonne et la deuième ligne de A sont normées, donc, compte tenu du résultat précédent : a et a + + a n, d où a {,} et a 3 a n De proche en proche, on obtient : A diag a,,a nn et a,,a nn {,} n Réciproquement, pour tout d,,d n {,} n, il est clair que la matrice A diag d,,d n est orthogonale et triangulaire supérieure, donc A O n R T n,s R On conclut : O n R T n,s R {diag d,,d n ; d,,d n {,} n } Ainsi, O n R T n,s Rest un ensemble fini à n éléments 346

359 On calcule la somme proposée, en développant : V ε,ε,ε 3 ε,ε,ε 3 {,} 3 ε u + ε u + ε 3 u 3 ε,ε,ε 3 {,} 3 ε,ε,ε 3 {,} ε ε u u + ε ε 3 u u 3 + ε ε 3 u u ε ε u u ε,ε,ε 3 {,} 3 + ε ε 3 u u 3 ε,ε,ε 3 {,} 3 + ε ε 3 u u 3 ε,ε,ε 3 {,} 3 Mais : ε ε ε ε ε,ε,ε 3 {,} 3 ε,ε {,} + + +, et de même pour les deu autres sommes On a donc : V ε,ε,ε 3 4 ε,ε,ε 3 {,} 3 Cette dernière somme comporte huit termes Il eiste donc ε,ε,ε 3 {,} 3 tel que : V ε,ε,ε , d où : V ε,ε,ε 3 3 Ceci montre Ker f {}, donc l endomorphisme f est injectif Puisque f est un endomorphisme injectif et que E 3 est de dimension finie, on conclut que f est bijectif, c est-à-dire : f GLE Soit y E 3 Notons f y ; on a donc : y f + a, d où : a y a + a a + a a a a y a + a a + a a a + a a a a, en utilisant la formule du double produit vectoriel : a,b,c E 3 3, a b c a c b a b c On déduit : puis : y a y a y a a + a On conclut : y a y + a a a y a y + a y a a, + a y a y + a y a y E 3, f y + a y a y + a y a L application f est linéaire, puisque, pour tout λ R et tous, E 3 : f λ + λ + + a λ + λ + a + + a λ f + f On a, pour tout E 3 : Ker f f + a + a + a + [,a,] 3 Soient,y,z R 3, u i + yj + zk, u Ref P u,,y,z R 3 tel que u i + y j + z k On a alors : u + u P et u u P Il eiste donc λ R tel que : λa, y y λb, z z λc ; d où : a + + by + y + cz + z a + by + cz + λ, donc : λ a + by + cz, puis : + λa a aby acz y y + λb ab + b y bcz z z + λc ac bcy + c z Finalement, la matrice cherchée est : a ab ac ab b bc ac bc c 347

360 4 Soit f G Par hypothèse, on a déjà : F G Puisque f G E F + G, il eiste u F,v G tels que : f u + v On a alors : v f u, f G, u F G Comme G est un sev de E, il en résulte : v G Ainsi : v G et v G, donc v, puis f u F Ceci montre : G F On conclut : G F On a : F G, d où, en passant au orthogonau : F G Mais on sait, d après le cours : G G, d où : G F Ainsi, le couple G,F vérifie les mêmes hypothèses que le couple F,G : G F et G + F E D après, appliqué à G,F à la place de F,G, on a donc : F G 5 a Soient α R,,y E On a : f α + y e i α + ye i donc f est linéaire α i αei e i + e i ye i i e i e i + i α f + f y, e i ye i On conclut que f est un endomorphisme de l espace vectoriel E i : Soit F On a alors : i {,,n}, e i, donc : f e i e i e i, d où Ker f i Ceci montre : F Ker f i i ii : Soit Ker f On a donc f d où, en faisant le produit scalaire par : n e i e i i e i e i, e i e i e i } {{ } i i Il en résulte : i {,,n}, e i, et donc : F Ceci montre : Ker f F On conclut : Ker f F i i : On a : E, f donc : Im f Vect F e i e i Vect F, ii : D après le théorème du rang et le résultat précédent : dim Im f dim E dim Ker f n dim F Vect n dim F dim Vect F Comme Im f Vect F et que ces deu sev ont la même dimension, on conclut : Im f Vect F 3 Puisque f est un endomorphisme de l espace vectoriel E de dimension finie, on a : i f bijective f surjective Im f E Vect F E D autre part, puisque F a n éléments et que dim E n, F engendre E si et seulement si F est une base de E Finalement, f est bijective si et seulement si F est une base de E b Considérons l application f associée à B Soit c,,c n R n D après a 3, puisque B est une base de E, f est bijective, donc :!v E, f v c i e i Et, puisque B est une base de E : e i ve i On conclut : i c i e i i i i {,,n}, e i v c i c,,c n R n,!v E, i {,,n}, e i v c i 6 donc : i, i / j On a, pour tout j {,,n} : e j Il en résulte : e i e j e j 4 + e i e j, i i, i / j e i e j e j e j 4 e j e j i {,,n}, i / j e i e j, ce qui montre que e,,e n est une famille orthogonale De plus, on a alors, pour tout j {,,n}, e j e j Comme e j /, car e j, on déduit e j Ainsi, e,,e n est une famille orthonormale de E 348

361 Soit E On a : e i e i i e i e i i e j e j j e i e i i e j e j + j i, j e i i e j + j d où e i i e i e i, et donc i Ceci montre que e,,e n engendre E e i e j e i e j e i, i e i e i Finalement, e,,e n est une base orthonormale de E 7 q i X a a a Y b y b + b y Z c z c c z a + by + cza + bz cy a + by + czb + c az a + by + czc + ay b a ab c ac+ b ab + c b bc a y ac b bc+ a c z On conclut que la matrice de f dans B est : a ab c ac+ b ab + c b bc a ac b bc+ a c 8 Puisque u est normé, il eiste v,w E 3 tels que B u,v,w soit une bond de E 3 On a : Mat B f cos θ sin θ, sin θ cos θ donc : f v cos θ v + sin θ w, f w sin θ v + cos θ w Soient E 3, α,β,γ R 3 tel que αu + βv + γw On a : p f f α f u + β f v + γ f w αu + βcos θ v + sin θ w + γ sin θ v + cos θ w αu + cos θ βv + γwsin θ γv + βw Soit E 3 Notons p le projeté orthogonal de sur u, et q le projeté orthogonal de sur R u D après le cours, puisque u, on a : q u u, puis, par différence : p q u u On a alors, en notant r f p : f q + r Comme il s agit d une rotation d angle π,on a : r u p u u u u On obtient cf aussi l eercice 8, plus général : f u u + u En passant au coordonnées dans la base orthonormale directe B, on a, en notant,y,z les coordonnées de X,Y,Z celles de f : dans B, et De plus : α u, βv + γw αu uu, u u αu + βv + γw βw γv D où : f uu + cos θ uu + sin θ u cos θu u + cos θ + sin θ u 9 a D après le cours, puisque R SO 3 R, R est une matrice de rotation Il eiste donc P O 3 R telle que R PR P, où R cos θ sin θ sin θ cos θ De plus, comme R / I 3, on a : θ / πz On a alors I 3 R I 3 PR P PI 3 R P et : I 3 R cos θ sin θ sin θ cos θ 349

362 Comme : cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ + sin θ cos θ cos θ /, on a : rg I 3 R, puis, par matrices carrées semblables : rg I 3 R b Soient, SO 3 R telles que / On a : donc : I 3, rg rg I 3 Puisque SO 3 R est un groupe pour la multiplication, on a SO 3 R De plus, comme /, on a / I 3 D après a, on a alors : rg I 3, et on conclut : rg En remplaçant y par : E, f Puis, pour tout,y de E : < f, f y > f f y f f y y y <,y > Comme le trinôme réel λ λ + λ y est à valeurs sur R, son discriminant est,d où y, et donc y Ainsi : Kerp, y Imp, y On conclut : Kerp Imp Soit E En appliquant l inégalité d hypothèse à p à la place de, on a : p p + q p p Comme p p p, il s ensuit q p, puis q p Ceci montre : q p Comme p et q ont des rôles symétriques, on a aussi : p q On déduit : p + q p + p q + q p + q p + q p + q, donc p + q est un projecteur Soit E Comme q p, on a Im p Ker q Im q Comme p Im p et q Im q, il en résulte p q, c est-à-dire : p q On a alors, pour tout E : 3 On a, pour tout λ,,y de R E E : f λ + y λ f + f y f λ + y + λ f + f y λ < f λ + y, f > < f λ + y, f y > +λ < f, f y > λ + y + λ + y λ < λ + y, > λ + y λ y, d où : < λ + y,y > +λ <,y > f λ + y λ f + f y, et donc f est linéaire Supposons : Kerp Imp Soit E Comme p Kerp et p Imp, on a, par l hypothèse : p p, et donc, d après le théorème de Pythagore : p + p, d où : p Réciproquement, supposons : E, p Soient Kerp, y Imp ; donc p et py y On a, pour tout λ de R : pλ + y λ + y, c est-à-dire : λ + λ y p + q p + p q + q p + q D après l eercice, on conclut que p + q est un projecteur orthogonal 3 a Notons X Vect,, n, p dimx, et soit e,,e p une bon de X Chaque i i n se décompose linéairement sur e,,e p ; il eiste donc M ξ ki k p, i n M p,n R telle que : i {,,n}, i p ξ ki e k k On a alors, pour tout i, j de {,,n} : p i j ξ ki ξ kj On reconnaît ici le terme général du produit de deu matrices ; en notant G pour G,, n, on obtient : G t MM Montrons enfin : rg t MM rgm k 35

363 On a : Im t MM Im t M, donc : rgg rg t M rgm Soit U KerG,c est-à-dire tel que GU On a alors : MU t MUMU t U t MMU t UGU, donc MU, U KerM Ainsi, KerG KerM,d où, par le théorème du rang : rggn dim KerG n dim KerM rgm Finalement : rg G,, n rgm rg,, n b En utilisant a :,, n lié rg,, n <n rg G,, n < n det G,, n γ,, n Si,, n est libre, alors, avec les notations de a, p n, M GL n R, donc : γ,, n det t MM det t MdetM detm > Réciproquement, si γ,, n >, alors, d après,,, n n est pas lié, c est-à-dire est libre c Notons y p X Puisque y X, on a : γ,,, n y + p X px px n p X n n p X n n n y γ,, n + γp X,,, n Comme p X X, p X,,, n est lié, donc cf a : γ p X,,, n Ainsi, γ,,, n d γ,, n, et finalement : γ,,, n d γ,, n 4 On a : t AC C t B tr t t AC C t B t AC C t B tr t CA B t C t AC C t B tr t CA t AC t CAC t B B t C t AC + B t CC t B tr t CA t AC tr t CAC t B tr B t C t AC + tr B t CC t B tr t C t AAC tr t CCB t B tr t C t ACB + tr t CC t BB tr t C t AAC tr t CCB t B tr t C t AAC + tr t CCB t B On conclut t AC C t B, c est-à-dire t AC C t B 5 On a : n n a i b j i, j i j a i b j i, j ; i / j } {{ } d où, puisque les a i sont tous > : n / n b j a i b i a i j i On déduit : n b i b j b i i, j ;i / j i b i i n / n a i b i a i i i i b i i n n n a i b i a i i i n n a i b i i a i i n b i i b i i a i b j + a i b i, i / n a i i / n a i Mais, d après l inégalité de Cauchy et Schwarz dans R n usuel : n n n a i b i On conclut : i i, j ; i / j b i b j a i i b i i Puisque r,s OE 3 6 et que OE3 est un groupe pour la composition, on a : ρ s r s OE 3 De plus : det ρ det s r s det s det r det s i 35

364 On déduit ρ SOE 3, donc ρ est une rotation Notons l ae de la rotation r, u un vecteur unitaire dirigeant et orientant, θ l angle de r, P le plan vectoriel le la réfleion s On a : ρ s u s r s s u s r u Ceci montre que le vecteur fié f y f f y est orthogonal à tout vecteur de E 3, donc est nul On conclut :,y E 3, ii i : Supposons f / et : f y f f y s r u s u,y E 3, f y f f y Ceci montre que s u dirige et oriente l ae de la rotation ρ Considérons le plan vectoriel Q u, orienté par le vecteur normal unitaire u, et le plan vectoriel R s u, orienté par le vecteur normal unitaire s u Soit w R On a, puisque s est une réfleion : s w u w s u, donc : s w Q De plus, modulo π : < w,ρ w < s w, ρ w < s w,r s w < s w,r s w θ, car s w Q On conclut que ρ est la rotation d ae dirigé et orienté par s u et d angle θ, où u est un vecteur dirigeant et orientant l ae de r et θ est l angle de r 7 i ii : Supposons que f est une rotation de E 3 Il est clair que f / Par définition, puisque f OE 3, f conserve le produit scalaire On a det f, donc, pour tout,y,z E3 3 : [ ] f, f y, f z det f [, y, z] [, y, z] Ainsi, f conserve le produit mite Soit,y E3 Soit u E 3 Comme f est une rotation, f est bijective, donc il eiste z E 3 tel que u f z On a : f y f f y u f y f f y f z f y f z f f y f z f y f z [ f, f y, f z ] y z [, y, z] Montrons que f est injective Raisonnons par l absurde : supposons qu il eiste E 3 {} tel que f On a alors : y E 3, f y f f y y Comme, pour tout u, il eiste y E 3 tel que u y, on a alors : f u f y Ainsi, f est nulle sur la droite vectorielle Ru et sur le plan vectoriel u Comme E 3 Ru u et que f est linéaire, il en résulte f, contradiction Ceci montre Ker f {}, et on conclut que f est injective Soit B i, j, k une base orthonormale directe de E 3 il en eiste au moins une Notons I f i, J f j, K f k On va montrer que I, J, K est une base orthonormale de E 3 On a : K f k f i j f i f j I J, et de même : I J K, J K I On déduit : I J I K I [I, K, I ], et de même : J K, K I Ainsi, I,J,K est une famille orthogonale On a, en utilisant la formule du double produit vectoriel : I J K K I I J K I J I K I I J [K, I, J]I [K, I, I ]J [I, J, K ]I, d où, puisque I / : [I, J, K ] Enfin : I I I I J K [I, J, K ], et de même : J, K On déduit que I,J,K est une base orthonormale directe de E 3 Ainsi, f envoie une base orthonormale directe i, j, k en une base orthonormale directe I, J, K,donc,d après le cours, f SOE 3, c est-à-dire que f est une rotation ou l identité 35

365 Géométrie plane 3 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 353 Énoncés des eercices 356 Du mal à démarrer? 359 Corrigés 36 Thèmes abordés dans les eercices Manipulation de barycentres, de parties convees Configuration de points alignés, de droites concourantes Calculs de distances, d angles, de projetés orthogonau, de bissectrices Calculs dans la géométrie du triangle Études de coniques, en particulier questions portant sur les tangentes Utilisation des nombres complees en géométrie plane Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Résolution de questions élémentaires en géométrie plane, portant sur les points et les droites Définition du barycentre d une famille finie de points pondérés, associativité de la notion de barycentre Définition de la conveité Interprétation géométrique des nombres complees, en particulier en liaison avec les rotations et les similitudes directes Définitions et propriétés des coniques Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir On abrège représentation paramétrique en RP, équation cartésienne en EC A désigne le plan affine E désigne le plan affine euclidien orienté La notation [E,R] par eemple, signifie que l étude se situe dans E, muni d un repère orthonormé direct R O ; i, j 353

366 Chapitre 3 Géométrie plane De manière générale, pour étudier une question de géométrie plane, dans le plan affine A ou dans le plan affine euclidien orienté E Si l énoncé ne fait pas intervenir un repère, on pourra étudier la question : ou bien sans faire intervenir de repère, de façon synthétique Eercices 3, 35, 37, 33, 35 ou bien en faisant intervenir un repère adapté à la question repère affine pour A, repère orthonormé direct pour E Eercices 34, 36, 38, 3, 34, 36 Si possible, faire un schéma illustrant la question Appliquer les formules du cours : RP de la droite passant par le point Aa,b et dirigée par le vecteur non nul u u,v : { a + λu y b + λv, λ R EC de la droite passant par le point M,y et dirigée par le vecteur non nul u u,v : y y u v EC de la droite passant par les deu points M,y, M,y : y y y y Pour résoudre les questions élémentaires sur points et droites dans le plan affine A rapporté à un repère affine R O ; i, j EC de la droite passant par les points Aa, et B,b situés sur les aes de coordonnées ab / : a + y b EC de la droite passant par l origine O, et le point Aα,β autre que O : β αy Un vecteur directeur de la droite d EC a + by + c est u b, a Deu droites D a + by + c, D a + b y + c sont parallèles si et seulement si : a b a b Trois points M i i,y i, i {,,3}, sont alignés si et seulement si : 3 3 y 3 y y 3 y Eercices 34,

367 Les méthodes à retenir Pour montrer que trois droites D,D,D 3 deu à deu distinctes de A sont concourantes ou parallèles Trouver un point situé sur ces trois droites, ou bien montrer que ces trois droites sont toutes parallèles entre elles Si D i est donnée par une EC a i + b i y + c i, i {,,3}, montrer : a b c a b c a 3 b 3 c 3 Eercices 34, 34 Pour manipuler le barycentre G d une famille finie A i,α i,i {,,n} Utiliser : la définition du barycentre : ou, pour tout point M A : i α i GAi, MG i α i i α i MAi Eercices 35, 37 l associativité de la notion de barycentre Eercices 35, 37 Pour étudier une hyperbole H dans A et non dans E Pour former une EC de la tangente Tt en un point Mt d une conique C dont on connaît une RP t Mt Utiliser un repère affine dans lequel H admet une EC du type y a, a > fié Eercice 38 dm La droite T t passe par Mt et est dirigée par dt t Eercices 38, 3, 36, 37 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre les questions élémentaires sur points et droites dans le plan affine euclidien orienté E rapporté à un repère orthonormé direct R O ; i, j Appliquer les formules du cours : Distance de deu points M,y : M M + y y Eercices 3, 3 Distance du point M,y à la droite D a + by + c : dm,d a + by + c a + b Eercice 3 Angle α modulo π de deu vecteurs non nuls v, v : v v cos α v v et sin α est du signe de det i, j v, v Eercice 3 355

368 Chapitre 3 Géométrie plane Pour déterminer le projeté orthogonal H d un point M sur une droite D Caractériser H par : H D et M H D Eercice 3 Pour calculer la distance de deu points sans repère eplicite On a : M M M M M M M M d utiliser les propriétés du produit scalaire et on peut essayer Eercice 3 Pour relier entre elles les longueurs des côtés d un triangle rectangle ABC, rectangle en A Pour obtenir des EC des deu bissectrices, de deu droites données D,D de E Utiliser le théorème de Pythagore : BC AB + AC Faire intervenir les angles ABC, AC B par leurs sinus ou leur cosinus, par eemple : AB AC cos ABC Eercice 3 Se rappeler que est l ensemble des points M de E équidistants de D et D Eercice 33 Pour étudier une configuration plane faisant intervenir des rotations ou des similitudes directes Essayer d utiliser les nombres complees Eercice 39 Pour étudier les coniques de E On se réfèrera, suivant le contete, à la définition monofocale, à la définition bifocale pour les coniques à centre, à une représentation paramétrique, à une équation cartésienne, à l équation polaire si O est un foyer Lorsqu une seule conique intervient, souvent on pourra choisir un repère orthonormé direct de E de façon que, dans ce repère, la conique admette une RP ou une EC très simple Eercices 3, 36, 37, 38 Énoncés des eercices 3 Eemples de calculs de coordonnées de points, d équations de droites, de distances, d angles [E,R] On considère les trois droites D y, D y +, D 3 y a Calculer les coordonnées des points d intersection respectifs A,B,C de D et D 3, D et D, D et D 3 b Calculer BC c Calculer l angle CA, CB 356

369 Énoncés des eercices 3 d Former une équation cartésienne de la droite passant par C et orthogonale à D, calculer les coordonnées du point d intersection E de et de la droite des abscisses, puis calculer les coordonnées du projeté orthogonal F de E sur D e Calculer la distance de F à D Formule de Héron, donnant l aire d un triangle en fonction des longueurs des côtés [E ] Soient ABC un triangle, a BC, b CA, c AB, p a + b + c a Montrer : a b + c bc cos  b En déduire sin  en fonction de a,b,c a c Établir : sin  b sin B c sin Ĉ d Montrer la formule de Héron, donnant l aire S de ABC : S pp ap bp c Former les équations cartésiennes des bissectrices de deu droites [E,R] Former les équations cartésiennes dans le plan euclidien E rapporté à un repère orthonormé des bissectrices des deu droites D 3 + 4y + 3, D 5y + 4 Théorème de Ménélaüs, théorème de Céva [A ] Soient ABC un triangle, A BC, B CA, C AB, distincts des sommets a Théorème de Ménélaüs Montrer que A,B,C sont alignés si et seulement si : Dunod La photocopie non autorisée est un délit b Théorème de Céva A B A C B C BA C A C B Montrer que AA, BB, CC sont concourantes ou parallèles si et seulement si : A B A C B C B A C A CB Barycentres de sous-familles [A ] Soient n N, A,,A n E n, α,,α n R n tel que α + + α n, [ ] Ai {I,J} une partition de {,,n} telle que α i /, G bary [ ] Aj G bary α j j J dépend pas du choi de {I,J} i I Montrer que, si G / G, la direction de la droite G G ne Alignement de points [A ] Soit ABC un triangle Deu droites,, parallèles à BC, coupent AB et AC en D et E, D et E respectivement Les droites CD et BE se coupent en un point M Les droites CD et BE se coupent en un point M Montrer que les trois points A,M,M sont alignés α i, i I 357

370 Chapitre 3 Géométrie plane Ensemble convee construit à partir de deu ensembles convees [A ] Soient C,C deu parties convees de A On note C l ensemble des milieu des segments [M M ] lorsque M décrit C et M décrit C Démontrer que C est convee Tangentes à une hyperbole [A ] Soient H une hyperbole, D une asymptote de H, P,Q H tels que P / Q La tangente en P resp Q à H coupe D en un point noté R resp S Montrer que la droite P Q passe par le milieu I de R,S Utilisation des nombres complees pour l étude d une configuration plane faisant intervenir des carrés [E ] Soit ABC un triangle de E On construit le carré indirect ABDE et le carré direct AC FG On note M le milieu de B,C Montrer : AM EG Longueur minimale d un segment passant par un point donné et s appuyant sur les aes de coordonnées [E,R] Soient a,b R + et Aa,b Trouver la longueur minimale d un segment de droite passant par A et s appuyant sur les deu demi-droites O, Oy Caractérisation des hyperboles équilatères [E,R] Soient a,b R +, H l hyperbole d équation a y, Fc, un foyer b de H, M,M les deu points de H d abscisses égales à c Montrer que H est équilatère si et seulement si : M M c Tangente à une ellipse [E ] Soient E une ellipse, F,F les foyers de E, A,A les sommets principau de E, T resp T la tangente en A resp A à E Un point M décrit E La tangente en M à E coupe T resp T en un point P resp P Montrer que le cercle de diamètre [PP ] passe par F et F Eistence d un point fie pour un groupe fini d applications affines [A ] a Soit G un groupe fini d applications affines de E dans E Montrer qu il eiste A E tel que : g G, ga A b Soit f AffE,E telle qu il eiste n N tel que f n Id E Montrer : A E, f A A Trois droites concourantes ou parallèles [A ] Soit ABC un triangle Soient D,E AB tels que le milieu de D,E soit le milieu de A,B, F,G BC tels que le milieu de F,G soit le milieu de B,C, H,K CA tels que le milieu de H,K soit le milieu de C,A On note A resp B, resp C le milieu de D,K resp E,F, resp G,H Montrer que les droites AA, BB, CC sont concourantes ou parallèles Rayon du cercle inscrit dans un triangle [E ] Soient ABC un triangle acutangle c est-à-dire dont les trois angles sont aigus, I resp r le centre resp rayon du cercle inscrit dans ABC, r A le rayon du cercle centré sur [BC] et tangent à AB et à AC, r B,r C de même Montrer : r A + r B + r C r 358

371 Du mal à démarrer? Tangente à une hyperbole [E ] Soient H une hyperbole, A,A ses sommets, T,T les tangentes à H en A,A respectivement Un point M décrit la demi-hyperbole de H de sommet A La tangente en M à H coupe T et T en deu points notés respectivement P,P Montrer : FP FP Normales à une parabole [E,R] Soient p >, P la parabole d équation y p, M un point du plan tel qu il eiste trois normales à P passant par M Montrer que l isobarycentre des trois pieds de ces trois normales est sur Hyperboles équilatères passant par trois points donnés [E,R] a Former l équation générale des hyperboles équilatères passant par les trois points A,, B,, C, b Montrer que ces hyperboles passent par un quatrième point fie que l on déterminera Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 c Calculer le cosinus de l angle à l aide d un produit scalaire, puis le signe du sinus à l aide d un déterminant 3 a Calculer BC en intercalant A par la relation de Chasles b Eprimer cos  d après a, puis sin  cos  c Se déduit simplement de b d Considérer le projeté orthogonal H de A sur BC 33 Un point M,y appartient à la réunion des deu bissectrices de D et D si et seulement si : dm,d dm,d 34 Considérer le repère affine R A ; AB, AC Préciser les coordonnées de A,B,C,A,B,C En déduire les rapports A B A C, B C B A, C A C B 35 Combiner les égalités de définition de G et G pour faire apparaître G G 36 Considérer le repère affine R A ; AB, AC Former une équation cartésienne de BC, puis de, de En déduire les coordonnées de D,D,E,E Former des équations cartésiennes de CD et BE, de CD et BE, puis calculer les coordonnées de M,M, et montrer que A,M,M sont alignés [ ] M N 37 Soient M,N C,λ [ ; ], P bary λ λ E-primer M,N comme barycentres de points de C,C, et utiliser l associativité de la notion de barycentre 38 Utiliser un repère affine R O ; i, j dans lequel H admet une équation cartésienne y a, a > fié, et D est l ae des abscisses Former une équation cartésienne de la tangente en P resp Q à H, puis calculer les abscisses de R,S,I et enfin montrer que PI, QI est liée 39 Passer par les nombres complees, en faisant intervenir des rotations d angle ± π 3 Noter P,, Q,y les etrémités du segment, calculer PQ en fonction, par eemple, de, et étudier les variations de la fonction ainsi obtenue 3 Calculer les ordonnées de M,M et en déduire que : M M c a b 3 Paramétrer E par : a cos t, y b sin t, t R Former une équation cartésienne de la tangente en M à E En déduire les coordonnées de P, de P et du milieu I de P,P Montrer enfin : IP IP IF IF 33 a Noter f,, f n les éléments de G Considérer l isobarycentre A de f O,, f n O, où O A est fié b Considérer le sous-groupe engendré par f pour la loi 34 Considérer le repère affine R A ; AB, AC Déterminer les coordonnées de A, K,A,B,C Former des équations cartésiennes de AA, BB, CC Montrer que ces trois équations cartésiennes sont liées 359

372 Chapitre 3 Géométrie plane 35 Noter D le centre du cercle centré sur [BC] et tangent à AB et à AC, B,B les projetés orthogonau respectifs de I et D sur AC, C,C les projetés orthogonau respectifs de I et D sur AB Eprimer les aires des triangles ABD, AC D, ABC, IAB, IBC, ICA 36 Paramétrer H par des fonctions hyperboliques Pour M a ch t,b sh t sur la demi-hyperbole de H contenant A, former une équation cartésienne de la tangente en M à H, puis calculer les coordonnées des points P,P et enfin calculer FP FP 37 Paramétrer P : t, y t, t R Former une équation cartésienne de la normale en un point Nt de P, puis p traduire que cette normale passe par M Faire apparaître ainsi une équation du troisième degré, ayant pour solutions les ordonnées des trois pieds des normales et calculer la somme des racines de cette équation, en utilisant la formule reliant les coefficients et les racines d une équation algébrique 38 a Dans l équation générale des coniques, traduire qu il s agit d une hyperbole et que les deu directions asymptotiques sont orthogonales On obtiendra : + λy y + λy, λ R b Traduire qu un point M,y fié satisfait l équation précédente pour tout λ R 36

373 Corrigés des eercices 3 B y 4/3 D D c Notons α CA, CB [π] On a : 8/3 CA colinéaire et de même sens que u 4/3 et CB 4/3 colinéaire et de même sens que v 8/3 donc : cos α u v u v 4 5,,, 5/3 F E /3 A D 3 det i, j u, v 3 >, donc, d après le cours : sin α > C α 4/3 a y { A,y D D 3 y y { y B,y D D y + 3 y 4 3 y + 5 C,y D D 3 y 3 y 4 3 b D BC BC , On conclut : α Arccos d Un vecteur directeur de D est,, donc une équation cartésienne de la droite passant par C 5/3, 4/3 et orthogonale à D est : 5 + y 4, 3 3 c est-à-dire : y + 3, ou encore : y + 3 E,y y y y En notant F,y le projeté orthogonal de E sur D, on a : { { F D F D EF D EF D y + + 3, y, y y 3 y

374 36 e D après la formule du cours donnant la distance d un point à une droite dont on connaît une équation cartésienne, on a, pour F 3 5, 4 et D + y : df,d ,3 5 3 a On a : a BC AC AB AC + AB AC AB b + c bc cos  b On déduit cos  b + c a, puis : bc b sin  cos + c a  bc 4b c 4b c b + c a 4b c bc b c + a bc + b + c a 4b c a b c b + c a a b + ca + b cb + c a 4b c b + c + a 6p bp cp ap 4b c Comme  ] ; π[, on a sin  >, donc : c D après b : sin  bc pp ap bp c a sin  abc pp ap bp c, donc, comme le deuième membre de cette égalité est symétrique en a,b,c, on conclut : a sin  b sin B c sin Ĉ Remarque : on peut obtenir ces égalités par une autre méthode En effet, en notant H le projeté orthogonal de C sur AB, on a : CH AC sin CAH b sin  et CH BC sin CBH a sin B, d où : a sin  b sin B d B c A H a En notant H le projeté orthogonal de C sur AB, on a : 33 En notant, les deu bissectrices de D et D,ona, pour tout point M,y : Dans le repère A; AB, AC, on dispose des coordon- 34 nées : S AB CH AB AC sin  cb sin  On conclut, d après b : M dm,d dm,d b C S pp ap bp c 3 + 4y y y y + 4 ou y y + 4 Les bissectrices sont donc les droites d équations : + 77y + 9, y + 59 A,, B,, C,, B,b, C c,, A a, a, où a,b,c R {,} 3 A B a, a et A C a,a, donc A B A C a a B C, b et B A, b, donc C A c, et C B c,, donc a On a : A,B,C alignés a b + a B C B A b b C A C B c c c b c + ab bc ac

375 D autre part : A B A C B C B A C A C B a a b b c c a bc + ab c Ainsi, G G α j A A j, donc G G est dirigée par j i I α i j α j A A j, qui ne dépend pas du choi de {I,J} c + ab ac bc 36 A b On forme les EC des droites AA, BB, CC : AA : a ay BB : b + y b CC : + cy c Ces trois droites sont concourantes ou parallèles si et seulement a a si : b b c c, D' M' E' D' c est-à-dire : c + ab + ac + bc abc D autre part : A B A C B C B A C A a C B a b b c c D B M E C D 35 On déduit : Par définition de G et G : i I i I i I i I c + ab + ac + bc abc α i G A i α j G A j j J i I α i G A i + α j G A j j J α i G G + G A i + α j G A j j J α i G G + Donc : α i G G j j j j α j G A j α j G A j α j G A + A A j n α j G A j α j A A j j α j A A j Considérons le repère affine R A ; AB, AC On a, dans R : A,, B,, C, Une équation cartésienne de BC est : + y Puisque et sont parallèles à BC, et ont des équations cartésiennes : + y λ, + y λ, λ,λ R On déduit les coordonnées de D,D,E,E, qui sont les points d intersection de et avec les aes de coordonnées : Dλ,, D λ,, E,λ, E,λ D où des équations cartésiennes de CD et EF : CD λ + y, BE + y λ, puis les coordonnées,y du point d intersection M de C D et BE : M,y CD BE λ + y + y λ y λ λ λ y λ λ λ + λ λ + 363

376 L énoncé sous-entend λ / pour l eistence de M λ De même, on obtient : M λ +, λ λ + On déduit que M et M sont sur la droite d équation y, et on conclut que A,M,M sont alignés 37 Soient M,N C, λ [ ; ], [ ] M N P bary λ λ Puisque M,N C, il eiste M,N C, M,N C tels que M resp N soit le milieu de [M M ] resp [N N ] On a alors, par associativité de la notion de barycentre : [ ] M N P bary λ λ [ ] [ ] bary bary M M N N bary λ λ [ ] M M N N bary λ λ λ λ [ ] [ ] bary bary M N M N bary λ λ λ λ En notant [ ] [ ] M N M N P bary, P bary, λ λ λ λ on a donc : P bary [ P P ], c est-à-dire que P est le milieu de [P P ] De plus, puisque M,N C et que C est convee, on a P C De même : P C On déduit P C et on conclut que C est convee 38 Notons O le centre de H Il eiste un repère affine R O ; i, j de A tel que i dirige D et j dirige l autre asymptote de H L hyperbole H admet, dans R, une équation cartésienne y a où a > est fié Autrement dit, H admet la représentation paramétrique : t, y a t, t R Puisque P,Q H, il eiste u,v R tel que : P a, a, Q v, a u v D La tangente en P à H est dirigée par le vecteur dérivé non nul, donc par, a, ou encore par u, a Une équation u cartésienne de la tangente en P à H est : X u u Y a a a X u + u Y a u u Le point d intersection R de cette tangente avec D est donné par : Y { X u a X u + u Y a u Y Ainsi : Ru, De même : Sv, On déduit le milieu I de R,S : I u + v, Montrons que I PQ, c est-à-dire que PI, QI est liée On a : det i PI, u + v u u + v v QI, j a a u v v u donc PI, QI est liée a u a v, On conclut que la droite PQ passe par le milieu I de R,S O R P I Q y H S 364

377 F 39 y C Q G M b A A B O a P E Passons par les nombres complees Notons par une minuscule l affie du point correspondant : Aa, Bb, On a, puisque M est le milieu de B,C : m b + c Puisque ABDE est un carré indirect, on a : AE Rot π/ AB, d où : e a i b a, et donc : e a i b a Puisque AC FG est un carré direct, on a : AG Rot π/ AC, d où : g a i c a, et donc : g a + i c a On déduit : g e a + i c a a i b a b + c i c + b a i a im a Il en résulte que EG se déduit de AM par la similitude directe de rapport et d angle π En particulier : AM EG 3 Soient,y R tels que > a, y > b, et P,, Q,y On a : A PQ a + b ay + b y y y b a D D où : b PQ + y + a Considérons l application f :]a ;+ [ R, f + b a L application f est de classe C sur ]a ;+ [ et, pour tout ]a ;+ [ : f + b b a b ab a a a 3 a 3 a 3 ab On en déduit le tableau de variations de f, en notant ab /3 + a a /3 a /3 + b /3 : a + f + f Le minimum de f, donc aussi de f, est obtenu en, et : f + b a + b ab /3 a/3 b 4/3 + b a /3 b 4/3 a /3 + b /3 3 On conclut que la longueur minimale cherchée est : a /3 + b /3 3/ 3 Notons t et t les ordonnées de M et M respectivement avec par eemple t > On a, en rappelant que c a + b : c a t c b, d où t b a b4 a 365

378 On a donc : 3 y T' P' y O M M c t c t c b4 a a + b a 4 + a b b 4 a b a + b } {{ } > a b a b D autre part, d après le cours, H est équilatère si et seulement si a b M F a c M Finalement, H est équilatère si et seulement si : M M c T H D après le cours, il eiste un repère orthonormé direct R O ; i, j tel que, dans R, E admette la représentation paramétrique : On a alors : a cos t, y b sin t, t R Fc,, F c, La tangente en M à E est dirigée par d M, d où une équation dt cartésienne de la tangente en M à E : a cos t a sin t y b sin t bcos t b cos t+ a sin ty ab Notons I le milieu de P,P, qui est aussi le point d intersection de PP et de y y Les coordonnées,y de P sont données par : { { a a b cos t+ a sin ty ab y b cos t sin t De même : P a, b + cos t sin t On en déduit les coordonnées du milieu I de P,P : b I, sin t D où : et IP a + b cos t IP sin t b IF c + c sin t + b sin t sin t a b sin t + b sin t a + b cos t sin t IP a + b sin t sin t I De même : IF IP On obtient : IP IP IF IF, donc P,P,F,F sont sur un même cercle de centre I, le cercle de diamètre [PP ] A' F' E O M F P A 33 a Notons f,,f n les éléments de G Soit O un point quelconque de E il en eiste au moins un ; notons A l isobarycentre de f O,, f n O Soit i {,,n} Puisque f i est affine, f i A est l isobarycentre de f i f O,,f i fn O Mais, d autre part, puisque G {f,,f n } est un groupe, les éléments 366

379 f i f,,f i f n sont deu à deu distincts et constituent G, et on a donc : f i A A b Puisque f n Id E, le groupe engendré par f, formé par les f k k Z est fini D après a, il eiste donc A E tel que : k Z, f k A A En particulier : f A A 34 K C H C' G B' A D E A' Considérons le repère affine R A ; AB, AC On a, dans R, les coordonnées : F A,, B,, C, Puisque D,E AB et que D,E a le même milieu que AB, il eiste λ R tel que : D λ,, Eλ, De même, il eiste µ,ν R tels que : Fµ, µ, G µ,µ, H,ν, K, ν On déduit les coordonnées de A,B,C : A λ, ν C µ, B λ + µ, µ + ν B, µ, On forme des équations cartésiennes des droites AA, BB, CC : M,y AA AM, AA liée y λ ν ν λy, M,y BB BM, BB liée λ + µ µ y µ λ + µ y µ λ + µ y µ, M,y CC CM, CC liée µ µ + ν y µ + ν µy On remarque, par eemple, que la somme des trois premiers membres de ces trois équations de droites est nulle Si AA et BB sont sécantes en un point noté M,alors, puisque la troisième équation est l opposée de la somme des deu premières équations, le point M est sur CC, ce qui montre que les trois droites sont concourantes Si AA et BB sont parallèles, alors, comme la troisième équation est l opposée de la somme des deu premières, la droite CC est parallèle à BB et à CC On conclut que les trois droites AA,BB,CC sont concourantes ou parallèles 35 B C'' C' A I D B' B'' Il y a un cercle et un seul, centré sur [BC] et tangent à AB et à AC, et le centre D de ce cercle est le point d intersection de [BC] et de la bissectrice intérieure de  Notons B,B les projetés orthogonau respectifs de I et D sur AC, C,C les projetés orthogonau respectifs de I et D sur AB En notant A l aire d un triangle, on a : { AABD AB DC cr A AAC D AC DB br A C 367

380 Comme D [BC], on obtient : AABC AABD + AAC D b + cr A Par rôles symétriques, on a aussi, en permutant les lettres : AABC b + cr A c + ar B a + br C De même : AIAB AB IC cr AIBC BC IA ar AICA CA IB br Comme I est intérieur au triangle ABC, on a, par addition d aires : AABC AIAB + AIBC + AICA On a donc : d où : puis : 36 a + b + cr a + b + cr AABC b + cr A c + ar B r A a + br C, b + c a + b + cr, r B a + b r C a + b + cr, c + a a + b + cr, + + b + c + c + a + a + b r A r B r C a + b + cr r T y P T' Puisque M est sur la demi-hyperbole de H contenant A, M a des coordonnées : a ch t,b sh t, t R Un vecteur tangent en M à H est obtenu par dérivation : a sh t,b ch t On en déduit une équation cartésienne de la tangente τ en M à H : τ + a ch t a sh t y b sh t bch t b ch t+ a sh ty+ ab On détermine les points d intersection de τ avec T et avec T : { a M,y τ T b ch t+ a sh ty+ ab { a y b + ch t, sh t { a M,y τ T b ch t+ a sh ty+ ab { a y b ch t sh t On obtient ainsi les coordonnées suivantes : Fc,, P a, b + ch t, P sh t d où FP FP a c, b + ch t sh t a c, b ch t sh t,, puis : a, b ch t sh t FP FP a c a c b a + c b On conclut : FP FP, M F' P' O F 37 y N N M P H O G Il eiste un repère orthonormé R O ; i, j tel que H ait pour équation dans R : a y, a >, b > fiés b Une représentation paramétrique de H est alors N 3 ε a ch t, y b sh t, ε {,}, t R 368

381 Notons M,y un point du plan t Le point courant N de P est paramétré par : N p t, t R dn t Un vecteur tangent en N à P est dt p,, ou encore τ t,p La normale en N à P passe par M si et seulement si : t t + py t, p ou encore : t 3 + p pt p y Cette équation du troisième degré, d inconnue t, admet au plus trois solutions réelles notées t,t,t 3 Notons N,N,N 3 les points de P de paramètres t,t,t 3, et G l isobarycentre de N,N,N 3 On calcule l ordonnée de G : y G 3 y N + y N + y N3 3 t + t + t 3, car le coefficient de t dans l équation est nul On conclut : G 38 a L équation générale d une conique Γ est : a + by + cy + d + ey + f, où a,,f R, a,b,c /,, La conique Γ est une hyperbole si et seulement si : b ac > Dans ce cas, les directions des deu asymptotes sont données par a + by + cy Ces deu directions sont orthogonales entre elles si et seulement si : c a De plus, on a alors b ac b + a > Ainsi, l équation générale d une hyperbole équilatère est : Γ a + by ay + d + ey + f, où a,b,d,e, f R, a,b /, On a : A Γ 3a + 4b + 4d + e + f B Γ a + d + f C Γ a d + f d f a e a b Ainsi, l équation générale des hyperboles équilatères passant par A,B,C est : a + by ay a + by a, où a,b R, a / En divisant par a et en notant λ d, l équation générale des a hyperboles équilatères passant par A,B,C est : où λ R Γ λ + λy y + λy, b Soit M,y un point du plan On a : λ R, M Γ λ λ R, y 4yλ + y y { y 4y y y { y y y { y + y 3 { y } {{ } A ou ou { ou y 3 { y } {{ } B { y ou { y } {{ } C On conclut que les hyperboles considérées passent toutes par un quatrième point fie, le point D, 3 369

382

383 Géométrie dans l espace 4 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 37 Énoncés des eercices 374 Du mal à démarrer? 376 Corrigés 378 Thèmes abordés dans les eercices Détermination des droites satisfaisant des conditions données Calculs de distances, d angles, de plans bissecteurs, de droites bissectrices, d aires de triangles, de volumes de tétraèdres Obtention d un SEC de la perpendiculaire commune à deu droites non coplanaires Calcul de la distance de deu droites Étude de sphères Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Résolution de questions élémentaires de géométrie dans l espace, sur les points, les droites, les plans Détermination de la perpendiculaire commune à deu droites non coplanaires Définition et propriétés des sphères Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre les questions élémentaires sur points, droites et plans dans l espace affine A 3 muni d un repère affine R O ; i, j On abrège représentation paramétrique en RP, équation cartésienne en EC, système d équations cartésiennes en SEC A 3 désigne l espace affine de dimension trois E 3 désigne l espace affine euclidien orienté de dimension trois La notation [E 3,R] par eemple, signifie que l étude se situe dans E 3, muni d un repère orthonormé direct R O ; i, j, k Appliquer les formules du cours : RP du plan passant par le point M,y,z et dirigé par une famille libre u u,u,u 3, vv,v,v 3 : + λu + µv y y + λu + µv,λ,µ R z z + λu 3 + µv 3 37

384 Chapitre 4 Géométrie dans l espace 37 Si l inconnue de la question est une droite D de A 3 ou de E 3 EC du plan passant par le point M,y,z et dirigé par une famille libre u u,u,u 3, vv,v,v 3 : u v y y u v z z u 3 v 3 EC du plan passant par trois points non alignés M i i,y i,z i, i {,,3} : 3 y y y y y 3 y z z z z z 3 z EC du plan passant par les points Aa,,, B,b,, C,,c situés sur les aes de coordonnées abc / : a + y b + z c Deu plans P a + by + cz + d, P a + b y + c z + d sont parallèles si et seulement si : k R, a ka, b kb, c kc Deu plans P a + by + cz + d, P a + b y + c z + d sont confondus si et seulement si : k R, a ka, b kb, c kc, d kd RP de la droite passant par le point Aa,b,c et dirigée par le vecteur non nul u α,β,γ : a + αt y b + βt, t R z c + γt Un vecteur directeur de la droite donnée par un SEC { a + by + cz + d a pour coordonnées,y,z obtenues a + b y + c z + d en résolvant le système associé sans second membre { a + by + cz a + b y + c z Définir D si D n est pas horizontale par un SEC du type { az + p y bz + q,a,b,p,q R4 Éventuellement, échanger les rôles des lettres,y,z dans un tel système Eercices 4, 4, 44

385 Les méthodes à retenir Appliquer les formules du cours : Distance de deu points M,y,z, M,y,z : M M + y y + z z Distance du point M,y,z au plan P a + by + cz + d : dm,p a + by + cz + d a + b + c Eercice 4 Distance du point M à la droite D passant par le point A et dirigée par le vecteur non nul u : dm,d AM u u Eercice 45 Pour résoudre les questions élémentaires sur points, droites et plans dans l espace affine euclidien orienté E 3 rapporté à un repère orthonormé direct R O ; i, j, k Un vecteur normal au plan P a + by + cz + d est u a,b,c EC du plan passant par le point M,y,z et orthogonal au vecteur non nul u a,b,c : a + by y + cz z Un vecteur directeur de la droite D de SEC { a + by + cz + d a + b y + c z + d est u u, où u a,b,c et u a,b,c L angle α [ ; π] de deu vecteurs non nuls v, v par : Eercice 43 est donné v v cos α v v L aire du triangle ABC est donnée par : AABC AB AC Eercice 4 Le volume du tétraèdre ABCD est donné par : VABCD [ AB, AC, AD] 6 Eercice 4 373

386 Chapitre 4 Géométrie dans l espace Pour déterminer le projeté orthogonal H d un point M sur un plan P ou sur une droite D Caractériser H par : H P et MH P Pour obtenir les équations cartésiennes des deu plans bissecteurs Π,Π de deu plans donnés P,P de E 3 Se rappeler que Π Π est l ensemble des points M de E 3 équidistants de P et P Eercice 4 Pour déterminer la perpendiculaire commune à deu droites D,D non coplanaires Pour calculer la distance de deu droites D,D de E 3 Pour former un SEC des bissectrices, de deu droites concourantes D,D de E 3 Un vecteur directeur v de est w u u, où u dirige D et u dirige D P P, où P est le plan contenant D et parallèle à w et P est le plan contenant D et parallèle à w Montrer la formule dd,d [ u, u, AA ] u u Eercice 46 où A resp A est un point de D resp D et u resp u dirige D resp D Eercice 47 Déterminer le point d intersection A de D et D et sont les droites passant par A et dirigées par u + u et u u, où u est un vecteur directeur de D et u est un vecteur directeur de D tels que u u Eercice 48 Énoncés des eercices 4 4 Calcul de l aire d un triangle, du volume d un tétraèdre [E 3,R] a Calculer l aire du triangle défini par : A,,, B,,, C,, b Calculer le volume du tétraèdre défini par : A,, 3, B3,,, C,,, D,, Calcul de la distance d un point à un plan [E 3,R] a Calculer la distance du point A,, 3 au plan P y z 4 b Calculer la distance du point A,, au plan P passant par le point B, 3, et dirigé par les vecteurs u,, et v,, 374

387 Énoncés des eercices Dunod La photocopie non autorisée est un délit Système d équations cartésiennes de la droite projetée orthogonale d une droite sur un plan [E 3,R] Déterminer un système d équations cartésiennes de la droite D projetée orthogonale de la droite D sur le plan P + y 3z { z + y z Équations cartésiennes des plans bissecteurs de deu plans [E 3,R] Soient P 4 + 4y 7z, P 8 4y + z 7 Former les équations cartésiennes des plans Π,Π bissecteurs de P,P Calculer la distance d un point à une droite [E 3,R] Calculer la distance du point A,, 3 à la droite D { + y + z y + 3z Former un système d équations cartésiennes de la perpendiculaire commune à deu droites [E 3,R] Former un SEC de la perpendiculaire commune au deu droites : { { + y 3z + 4 z D, D z + y z Distance de deu droites [E 3,R] Calculer la distance entre la droite D passant par A,, 3 et dirigée par u,, et la droite D passant par A,, et dirigée par u 3,, Former un système d équations cartésiennes des bissectrices de deu droites concourantes { { 5z + 3z + [E 3,R] On note : D y 3z 4, D y 5z 4 a Vérifier que D et D sont concourantes b Former un système d équations cartésiennes des bissectrices, de D et D Sphère circonscrite à un tétraèdre [E 3,R] Déterminer le centre Ω et le rayon R de la sphère S circonscrite au tétraèdre dont les faces ont pour équations cartésiennes : + y + z, + y z, y + z 4, + y + z 6 Droite rencontrant deu droites données et passant par un point donné { { y y [A 3,R] Soient A, 3,, D, D z z Montrer qu il eiste une droite D et une seule passant par A et rencontrant D et D et former un SEC de D Droites rencontrant trois droites données et orthogonales à un vecteur donné [E 3,R] Déterminer toutes les droites D rencontrant les trois droites D { z y et orthogonales à u, 4, 3 D { z y + 3 D 3 { z y + 375

388 Chapitre 4 Géométrie dans l espace Reconnaître une application affine remarquable [A 3,R] Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l application affine f définie par la formule suivante, où M,y,z décrit A 3 et f M a pour coordonnées,y,z : y z + y y z + z + y + z Équations cartésiennes des sphères contenant un cercle donné et tangentes à une droite donnée [E 3,R] Former les équations cartésiennes des sphères contenant le cercle { { z z + 4 C et tangentes à la droite D + y y y z + 3 Droites rencontrant quatre droites données [A 3,R] Trouver toutes les droites D de l espace rencontrant les quatre droites { { { D y, y D z, z D 3, D 4 y 6z 45 Équation cartésienne d une sphère tangente à deu droites données en deu points donnés [E 3,R] Former une équation cartésienne de la sphère tangente en A,, à { { + y z D + y + z 3 y 3z 3 et tangente en A,, à D y z 4 Du mal à démarrer? 4 Appliquer les formules du cours : a A AB AC b V [ AB, AC, AD] 6 4 da,p a Appliquer la formule du cours : a + by + cz + d, avec les notations habituelles a + b + c b Déterminer une équation cartésienne de P, puis appliquer la formule du cours comme en a 43 Remarquer que D est l intersection de P et du plan P contenant D et orthogonal à P Appliquer la formule du cours : da,d AM u 45, u où M D et u D 46 D après le cours, en notant u resp u un vecteur directeur de D resp D, la perpendiculaire commune à D et D 47 est l intersection du plan P contenant D et parallèle à u u et du plan P contenant D et parallèle à u u En notant H,H les points d intersection de D et D avec leur perpendiculaire commune, montrer : 44 Un point M est dans Π Π si et seulement si : dm,p dm,p dd,d HH [ u, u, AA ] u u 376

389 Du mal à démarrer? 48 b En notant A le point d intersection de D et D, et u, u des vecteurs directeurs de D,D respectivement tels que u u, les bissectrices, de D et D sont les droites passant par A et dirigées par u + u, u u 49 Déterminer les coordonnées des quatre sommets A, B, C, D du tétraèdre, en résolvant quatre systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues Déterminer le centre Ω de S par : Ω A Ω B ΩC Ω D, puis le rayon R de S par R Ω A, par eemple 4 Montrer que D n est pas horizontale, donc admet un système d équations cartésiennes du type { az + p, a, b, p, q R 4 y bz + q Traduire les conditions de l énoncé, ce qui donne un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues 4 Montrer que, si une droite D convient, alors D n est pas horizontale, donc { D admet un système d équations cartésiennes du type,a,b,p,q R 4 Traduire les az + p y bz + q conditions de l énoncé, ce qui donne un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues 4 Remarquer que la matrice A associée à f vérifie A I 3 Déterminer l ensemble des points invariants par f et l ensemble des vecteurs anti-invariants par f 43 Déterminer un système d équations cartésiennes de l ae de C, d où les coordonnées du centre Ω de S, avec un paramètre Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre Ω et contenant C, puis traduire que D est tangente à S, par solution double d une équation du second degré 44 Montrer que, si D convient, alors D n est pas horizontale, donc D admet un système d équations cartésiennes du type { az + p D,a, b, p, q R 4 y bz + q Traduire les quatre conditions de l énoncé, ce qui donne un système de quatre équations à quatre inconnues 45 Le centre Ω de la sphère S considérée est le point d intersection de trois plans : le plan P contenant A et perpendiculaire à D, le plan P contenant A et perpendiculaire à D, le plan Π médiateur de A,A Former une équation cartésienne de chacun de ces trois plans et en déduire les coordonnées de Ω Le rayon R est ensuite donné par R Ω A Dunod La photocopie non autorisée est un délit 377

390 Corrigés des eercices a L aire A du triangle ABC est donnée par : A AB AC Ici : AB, AC, AB AC 5, 3 AB AC On conclut : A 3 b Le volume V du tétraèdre ABCD est donné par : V [ AB, AC, AD] 6 Ici : AB 3, AC, AD, d où : 4 [ AB, AC, AD] 3 4 L 3 L 3 L 3 On conclut : V 6 4 a On applique la formule du cours donnant la distance d un point à un plan défini par une équation cartésienne : da,p b Déterminons une équation cartésienne de P : M y P [ BM, u, v ] z y 3 z 5 3y + z 5 3y + z + 5 On applique alors la formule du cours donnant la distance d un point à un plan défini par une équation cartésienne : da,p On a D P P, où P est le plan contenant D et orthogonal à P Un point de D est A Un vecteur directeur de D est u Un vecteur non nul orthogonal à P est v 3 On forme une équation cartésienne de P : M y P [ AM, u, v ] z y + z y + + z 5 + 4y + z + 9 Finalement, un système d équations cartésiennes de D est : { + y 3z y + z + 9 On a, pour tout M, y, z E 3 : M Π Π dm,p dm,p 4 + 4y 7z 8 4y + z y 7z 8 4y + z y 7z 8 4y + z 7 ou 4 + 4y 7z 8 + 4y z + 7 4y + 4z 3 ou 6 3z 4

391 45 Appliquons la formule du cours donnant la distance d un point A à une droite définie par un point M et un vecteur directeur u : da,d AM u u Un point M de D est obtenu par eemple, pour z : { { + y y y, d où M,, Un vecteur directeur u de D est : 4 u 3 3 Comme est un point de D, une EC de P est 3 y z 4, c est-à-dire : 5 7y + z Finalement, un SEC de la perpendiculaire commune à D et D { 5y + 7z est : 5 7y + z 47 H A u D On calcule : 4 AM u, AM u , H' A' u' u , et enfin : da,d Puisque 5, un vecteur 3 directeur u de D est u 5 Et un vecteur directeur u de D est u D où w u 3 u qui dirige 4 la perpendiculaire commune à D et D Notons P resp P le plan contenant D resp D et parallèle à w Comme est un point de D, une EC de P est 3 y + 5 z 4, c est-à-dire : 5y + 7z Il eiste H D, H D tels que HH soit orthogonale à D et à D, et on a : dd,d HH On a : [ u, u, AA ] [ u, u, AH + HH + HA ] [ u, u, AH] +[ u, u, HH ] + [ u, u, H A ] } {{ } } {{ } u u HH Puisque u u et HH sont colinéaires, il en résulte : [ u, u, AA ] u u HH et donc : dd,d HH [ u, u, AA ] u u Ici : u, 3 u, AA, u u 5, 7 D' 379

392 38 [ u, u, AA ] u u AA , u u On conclut : dd,d a Il est clair que le point A 4 est sur D et sur D, donc D et D sont concourantes b Un vecteur directeur u de D est 5 u 3 et un vecteur directeur de D est 3 u 5 On a : u u D' u u A u u D u + u Les bissectrices, de D et D sont les droites passant par A et dirigées par u + u, u u On a : u + 8 u 8, u u En notant resp la droite passant par A resp A et dirigée par u + u resp u u, on a, pour tout point M, y, z de E 3 : M λ R, AM λ u + u 8λ { 4z λ R, y + 4 8λ y + 4 4z, z λ M µ R, AM µ u u µ { + y + 3 µ R, y + 4 µ z z D D Finalement, les deu bissectrices de D et D ont pour équations cartésiennes : { { 4z + + y + 3 y 4z 4, z 49 Calculons les coordonnées des quatre sommets A, B, C, D du tétraèdre : + y + z 3 3 A + y z y + z 3 y y + z 4 y z z + y + z y 4 3 B + y z + z 4 y 4 + y + z 6 z z + y + z z 5 3 C y + z 4 + y 5 y + y + z 6 y z 5 + y z z 5 3 D y + z 4 + y 7 y 4 + y + z 6 y z 5 Le centre Ω et le rayon R de la sphère S sont définis par : On a, en notant Ω, y, z : ΩA ΩB ΩC ΩD R ΩA ΩB 3 + y + + z y y y 4 + z + y + y + ΩA ΩC 3 + y + + z z + 6 y y + + z 5 y + 4 z + ΩA ΩD 3 + y + + z + 4y + z + 5 8y z y 4 + z 5 + y 36 y + z 3 Ainsi : Enfin : y + Ω z + y y + z 3 z R ΩA

393 4 Première méthode : Une droite D convient si et seulement si D P P,où P resp P est le plan passant par A et contenant D resp D Un point de D est B et un vecteur directeur de D est u Une EC de P est donc : M y P [ B M, AB, u ] z y 3 z + y z y + z Un point de D est B et un vecteur directeur de D est u Une EC de P est donc : M y P [ B M, AB, u ] z y 3 z y 5z y 5z 5 On conclut qu il y a une droite et une convenant, la droite { y + z D 6 + 3y 5z 5 Deuième méthode : La droite D cherchée n est pas horizontale, puisque D rencontre D et D qui sont deu droites horizontales situées dans deu plans horizontau distincts Donc D admet un système d équations cartésiennes du type : { az + p D y bz + q, a, b, p, q R4 On a : { a + p A D b + q 3 D D /,y,z R 3, y D D /,y,z R 3 y Ainsi : D convient z b + q a + p az + p y bz + q z b + q a + p az + p y bz + q a + p b + q 3 b + q a + p b + q a p a + p q a b + q 3 b p q a a + p b p 4p + a 3 a 6, p 3, b 4 3, q 3 Finalement, il y a une droite et une seule convenant : 6 z + 3 D y 4 3 z La droite cherchée D n est pas horizontale, puisque D doit rencontrer D et D qui sont deu droites horizontales situées dans deu plans horizontau distincts La droite D admet donc un système d équations cartésiennes du type { az + p D y bz + q,a, b, p, q R4 On a : D D / z y,y,z R 3, b + q a + p az + p y bz + q 38

394 D D /,y,z R 3, z y + 3 q p + 3 az + p y bz + q D D 3 /,y,z R 3, z y + b + q a + p + az + p y bz + q a u D 4 b a + 4b 3 3 Ainsi : b + q a + p q p + 3 D convient b + q a p + a + 4b 3 La résolution de ce système linéaire de quatre équations à quatre inconnues donne : a 4, p 4, b 5 4, q 7 On conclut qu il y a une droite et une seule convenant : 4z + 4 D y 5 4 z En notant A, on a A I Pour tout M,y,z de A 3, on a : f M M + y + z, donc l ensemble des invariants de f P + y + z D autre part, pour tout u,y,z de R 3 : f u y z u z + y + 3z est le plan { y z Finalement, f est la symétrie par rapport au plan P + y + z, parallèlement à { y D z { 43 z Le centre ω du cercle C + y est ω,,, et l ae de C est la droite d équations cartésiennes { Le centre Ω de la sphère S est sur la normale en ω y au plan de C, donc Ω a des coordonnées Ω,, λ, λ R Un point de C est, par eemple, A,, On en déduit une équation cartésienne de S : M,y,z S ΩM ΩA + y + z λ + + λ La droite D est tangente à S si et seulement si l équation au z de D S admet une racine double Cette équation est : z z + + z λ + λ 6z + 6 λz + 8 3z + 8 λz + 9 On a, en notant le discriminant de cette équation du second degré d inconnue z : 8 λ 8 8 λ ± 8 λ 8 ± 6 3 On conclut qu il y a deu sphères et deu seulement convenant Ces sphères ont pour équations cartésiennes : + y + z 8 + 6ε 3, ou encore : + y + z y 7 ε 3, ε {,}, ε {,} 44 Si D convient, puisque D rencontre D et D 3 qui sont dans des plans horizontau distincts, il est clair que D n est pas horizontale c est-à-dire : non parallèle à Oy, donc { az + p admet un SEC y bz + q, a,b,p,q R4 D D / y,y,z z R3, az + p q y bz + q D D /,y,z y R3, az + p y bz + q { az + p z R, bz + q b / et a b + p, car q 38

395 3 D D 3 / z,y,z R3, az + p a + p y bz + q 6z 4 D D 4 /,y,z y 6z R3, az + p y bz + q { 6z az + p z R, 6z bz + q b + 6 / et a + 6 pb + 6 Il reste à résoudre le système d équations q, b /, p + a b, a + p, b / 6, a + 6 pb + 6 On obtient b + b 6, b ou 3, puis on déduit a et p Finalement, il y a deu droites et deu seulement convenant, celles ayant pour SEC : 3 z + 3 3, z + 3 y z + y 3z + 45 Notons P resp P le plan contenant A resp A et perpendiculaire à D resp D, et Π le plan médiateur de A,A Pour qu une sphère S soit tangente en A à D et tangente en A à D, il faut et il suffit que son centre Ω soit le point d intersection de P,P,Π, et que son rayon soit ΩA 5 Comme, un vecteur directeur de 3 3 D est u 5,,3 De même, un vecteur directeur de D est u,4, 3 On en déduit les EC de P et P : P 5 + y + 3z, P + 4y + 3z + Enfin : M,y,z Π AM A M + y + z + y + + z + y + z 5 + y + 3z On en déduit Ω par résolution de + 4y 3z 3 y + z ; 76 on obtient Ω 37, 5 37, 5 37 On calcule : ΩA Finalement, une EC de la sphère cherchée est : ou encore : 76 + y 5 + z , + y + z y + 37 z

396

397 Courbes du plan 5 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 385 Énoncés des eercices 388 Du mal à démarrer? 39 Corrigés 39 Thèmes abordés dans les eercices Tracé de la courbe représentative d une fonction Tracé d une courbe donnée par une représentation paramétrique Tracé d une courbe donnée en polaires Reconnaître une courbe Calcul de l abscisse curviligne, de la longueur, du rayon de courbure Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Plan d étude et méthodes pour le tracé d une courbe d équation y f Plan d étude et méthodes pour le tracé d une courbe donnée par une représentation paramétrique t, y yt Plan d étude et méthodes pour le tracé d une courbe donnée en polaires par ρ ρθ Formule donnant l abscisse curviligne Méthode ou formule donnant le rayon de courbure Les méthodes à retenir On abrège représentation paramétrique en RP, équation cartésienne en EC Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour tracer une courbe Γ d EC y f Suivre le plan classique : a Étude de f : Détermination de l ensemble de définition de f, qui est souvent un intervalle ou une réunion d intervalles Recherche d éventuelles symétries ou propriétés géométriques de Γ : f est-elle paire, impaire, périodique? 3 Étude au bornes des intervalles 4 Étude de la dérivation de f, détermination des zéros de f et du signe de f 5 Tableau de variations à trois lignes, f, f consignant les résultats précédents 385

398 Chapitre 5 Courbes du plan b Étude de Γ : Détermination des éventuelles branches infinies et de leur nature Étude des points remarquables : points en lesquels f n est pas définie, point d arrêt, demi-tangentes en un point anguleu 3 Étude des points d infleion et de la concavité, si le contete le permet 4 Tracé de Γ Eercices 5, Pour tracer une courbe Γ définie par une RP t, y yt Pour tracer une courbe donnée en polaires par ρ ρθ Suivre le plan classique : a Étude de,y : Détermination des ensembles de définition de,y, qui sont souvent des intervalles ou des réunions d intervalles Recherche d éventuelles symétries ou propriétés géométriques de Γ, par la considération de changements de paramètre du genre t t, t, ce qui permet de déterminer un ou des intervalles t d étude pour,y 3 Étude au bornes des intervalles 4 Étude de la dérivation de,y, détermination des zéros de,y, et des signes de t,y t en fonction de t 5 Tableau de variations à cinq lignes t, t, t, yt, y t consignant les réultats précédents b Étude de Γ : Détermination des éventuelles branches infinies et de leur nature Détermination des points stationnaires, de leur nature, et de l allure de Γ au voisinage de ces points 3 Détermination des points multiples et de leurs tangentes 4 Étude des points remarquables : points en lesquels ou y n est pas défini, point d arrêt, 5 Étude des points d infleion et de la concavité, si le contete le permet 6 Tracé de Γ Eercices 5, 53, 5, 5, 53, 58 a Suivre le plan classique : a Étude de ρ : Détermination de l ensemble de définition de ρ Recherche d éventuelles symétries ou propriétés géométriques de Γ, par la recherche de périodes, antipériodes, formules faisant intervenir ρθ et ρα θ, pour α fié à trouver 3 Valeurs de θ annulant ρ, signe de ρθ, limites de ρ au bornes des intervalles 4 Étude facultative des variations de ρ 5 Tableau consignant les résultats précédents

399 Les méthodes à retenir b Étude de Γ : Est-ce que O Γ, et, si oui, détermination de la ou des tangentes en O à Γ Étude des éventuelles branches infinies asymptotes, branches paraboliques, spirales, points asymptotes 3 Détermination des points multiples 4 Étude facultative de la concavité et des points d infleion 5 Tracé de Γ Eercices 58, 59, 54, 55 Pour reconnaître une courbe sur une représentation paramétrique Pour traduire que deu courbes C,Γ sont tangentes Les courbes que l on doit savoir reconnaître sont les droites et les coniques Éliminer le paramètre pour obtenir une EC, puis reconnaître la courbe sur cette EC Eercice 56 Écrire qu il eiste un point M C Γ tel que les tangentes en M à C et à Γ soient confondues Eercice 57 Si Γ est donnée par une RP t, y yt, appliquer la formule du cours : s t t + y t Pour calculer l abscisse curviligne s en tout point M d une courbe Γ Calculer ensuite s par une primitivation Si Γ est donnée en polaires par ρ ρθ, montrer : Eercice 54 s θ ρθ + ρ θ Calculer ensuite s par une primitivation Eercice 56 Si Γ est donnée par une RP t, y yt, t [a ; b], appliquer la formule du cours : Pour calculer la longueur lγ d une courbe lγ b s t dt b a a t + y t dt Eercice 54 Si Γ est donnée en polaires par ρ ρθ, θ [θ ; θ ], montrer : lγ θ θ s θ dθ θ θ ρθ + ρ θ dθ Eercice

400 Chapitre 5 Courbes du plan Tenir compte d éventuelles symétries Vérifier que le résultat obtenu est et que son ordre de grandeur est cohérent avec le tracé de Γ Pour calculer le rayon de courbure R en un point d une courbe Γ donnée par une RP t, y yt Pour calculer le rayon de courbure R en un point d une courbe Γ donnée en polaires par ρ ρθ On peut : ou bien calculer successivement, y, s + y, s, tan ϕ y, ϕ, R s ϕ ou bien appliquer directement la formule : R + y 3 y y ou bien utiliser une formule de Frénet On peut : ou bien calculer successivement Eercice 5 ρ, s ρ + ρ, s, tan V ρ ρ, V, ϕ + V, R s ϕ ou bien appliquer directement la formule : R ρ + ρ 3 ρ + ρ ρρ Énoncés des eercices Eemple de tracé de courbe d équation y f Tracer la courbe Γ d équation y f, où f 3 6 Eemple de tracé d une courbe donnée par une représentation paramétrique { t t Tracer la courbe Γ de représentation paramétrique yt t 3 + 3t Eemple de tracé d une courbe donnée par une représentation paramétrique t t ln t Tracer la courbe Γ de représentation paramétrique yt ln t t Eemple de calcul de l abscisse curviligne en tout point d un arc paramétré a Calculer l abscisse curviligne en tout point Mt de l arc paramétré Γ défini par : t t, yt 3 t + 3, en prenant pour origine des abscisses curvilignes le point de Γ correspondant à t b En déduire la longueur L de la partie de Γ correspondant à t [ ; 4] 388

401 Énoncés des eercices Eemple de tracé de courbe d équation y f Tracer la courbe Γ d équation y f, où : f + e Reconnaître une courbe sur une représentation paramétrique Reconnaître et tracer la courbe Γ de représentation paramétrique : t t, y t t, t R {,} Deu courbes tangentes entre elles Déterminer une CNS sur λ R pour que les courbes représentatives C λ de f λ : e + λ et Γ de g : ln soient tangentes On eprimera le résultat en faisant intervenir le réel α tel que α e α Eemple de tracé d une courbe en polaires Tracer la courbe Γ définie en polaires par : ρ tan θ Eemple de tracé d une courbe en polaires Tracer la courbe Γ définie en polaires par : ρ tan θ 3 Eemple d étude d un arc paramétré au voisinage d un point stationnaire Étudier et tracer au voisinage de t la courbe Γ de représentation paramétrique : t t u du, yt u + t u u 3 + du Eemple de calcul de rayon de courbure Calculer le rayon de courbure en tout point Mt de l arc paramétré Γ défini par : ] π cos t + ln sin t, y sin tcos t, t 4 ; π [ Eemple de tracé d une courbe donnée par une représentation paramétrique Tracer la courbe Γ de représentation paramétrique : Dunod La photocopie non autorisée est un délit t t + t, yt t t Eemple de tracé d une courbe donnée par une représentation paramétrique, points doubles Tracer la courbe Γ de représentation paramétrique : t cos 3t, yt sin t Eemple de tracé d une courbe en polaires Tracer la courbe Γ définie en polaires par : ρ Eemple de tracé d une courbe en polaires Tracer la courbe Γ définie en polaires par : ρ cos θ cos θ sin θ cos θ cos θ 389

402 Chapitre 5 Courbes du plan Eemple de calcul de l abscisse curviligne en tout point d une courbe donnée en coordonnées polaires Calculer l abscisse curviligne en tout point Mθ de la courbe Γ définie en coordonnées polaires par ρ th θ, en prenant comme origine des abscisses curvilignes le point de Γ correspondant à θ Deu courbes de même longueur Montrer que l'ellipse E d'équation 4a + y et la courbe Γ d'équation polaire a ρ a sin θ a R + ont la même longueur Courbe orthoptique de l astroïde { a cos a Soit a R + Tracer la courbe C de représentation paramétrique 3 t y a sin 3 t, appelée astroïde b Déterminer et tracer la courbe Γ orthoptique de C, c est-à-dire l ensemble des points d où l on peut mener au moins deu tangentes à C orthogonales Alignement de points sur une cubique a Tracer la courbe paramétrée C : t + t, y t t, appelée strophoïde + t droite b α Former une CNS portant sur les fonctions symétriques élémentaires de t,t,t 3 pour que les points Mt i i 3 de C soient alignés β On appelle tangentiel d un point Mt de C le point Mt de C en lequel la tangente en Mt à C recoupe C Calculer t en fonction de t Montrer que les tangentiels de trois points alignés de C sont aussi alignés Du mal à démarrer? 5 Pour l étude de la branche infinie lorsque ±, former un développement asymptotique de f 5 Pour l étude du point stationnnaire, correspondant à t, déterminer les vecteurs dérivés successifs V, V 3, par utilisation de développements limités en, déjà fournis par des polynômes 53 Remarquer que le changement de t en permet de faire t apparaître une symétrie a Calculer t, y t, s t t + y t 54, puis st par un calcul de primitive b L s4 s 55 Calculer f et étudier le signe de ϕ + e + e, par étude des variations de ϕ Pour étudier les branches infinies lorsque ±, former un développement asymtotique de f 56 Éliminer t entre et y, pour obtenir une équation cartésienne de Γ et reconnaître alors Γ 57 Les courbes C λ et Γ sont tangentes en un point { fλ g d abscisse si et seulement si : f λ g Éliminer λ entre les deu équations 39

403 Du mal à démarrer? 58 Remarquer que ρ est π-périodique et impaire Pour l étude de la branche infinie lorsque θ π, former l ordonnée Y θ du point courant de Γ dans le repère orthonormé direct O ; OX,OY où O,OX π [π] : 59 Y θ ρθsin θ π Remarquer que ρ est 3π -périodique et impaire Pour l étude de la branche infinie lorsque θ 3π 4, former l ordonnée Y θ du point courant de Γ dans le repère orthonormé direct O ; OX,OY où O,OX 3π [π] : 4 Y θ ρθsin θ 3π, et étudier la limite de Y θ, en utili- 4 sant le changement de variable α θ 3π 4 54 Pour l étude de la branche infinie, lorsque θ θ où θ Arctan, former l ordonnée Y θ du point courant de Γ dans le repère orthonormé direct O ; OX,OY où O,OX θ [π] : Y θ ρθsin θ θ, et utiliser le changement de variable α θ θ, pour chercher la limite de 55 Y θ lorsque θ θ Pour l étude de la branche infinie, lorsque θ π 3, former l ordonnée Y θ du point courant de Γ dans le repère orthonormé direct O ; OX,OY où O,OX π 3 Y θ ρθsin θ π, 3 et utiliser le changement de variable α θ π 3 pour chercher la limite de Y θ lorsque θ π 3 Pour l étude des points doubles, résoudre : [π] : Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 Calculer t, y t, puis former les DL de, y, et en déduire les DL 3 de, y 5 Calculer t, y t, puis s t t + y t D autre part, calculer tan ϕt y t t, d où ϕt puis ϕ t Enfin : Rt s t ϕ t 5 Pour l étude du point stationnaire, correspondant à t, former des DL 3 de t et yt, en utilisant le changement de variable h t + Pour l étude du point double, résoudre le système : t u, yt yu, t u, en faisant intervenir la somme S t + u et le produit P tu Pour l étude de la branche infinie, lorsque t ±, déterminer lim On peut préciser le tracé de Γ en cherchant yt t ± t une parabole asymptote Π, c est-à-dire une parabole d équation ay + by + c où a,b,c R 3 est à trouver tel que t a yt + byt + c t ± 53 Pour l étude des points doubles, résoudre le système d équations : t t, yt yt d inconnue t,t R, avec, par eemple, à l aide du graphique : ] t 5π [ ] 6 ; π et t ; π [ 4 56 ρθ + kπ ρθ ou ρθ + kπ + π ρθ, d inconnue k,θ Z R Montrer qu en polaires : s θ ρθ + ρ θ Ensuite, on peut primitiver pour déduire sθ 57 Utiliser une représentation paramétrique de E pour eprimer la longueur L de E par une intégrale D autre part, en, 58 polaires, s θ ρθ + ρ θ, et eprimer la longueur L de Γ par une intégrale Enfin, montrer que ces deu intégrales sont égales b Former une équation cartésienne de la tangente T t en un point quelconque Pt de C Pour un point quelconque M,y du plan, former l équation d inconnue t traduisant M T t Cette équation admet deu solutions t,u d où deu tangentes T t et T u à C et passant par M Traduire T t T u 59 b α L intersection de C et d une droite d équation u + vy + h se traduit par une équation du troisième degré en t Faire intervenir les fonctions symétriques élémentaires σ, σ, σ 3 des trois solutions de cette équation On obtiendra la CNS : σ β Calculer t en fonction de t en appliquant la CNS précédente au triplet t, t, t, puis calculer la fonction symétrique élémentaire σ de t,t,t 3, et appliquer α en réciproque 39

404 Corrigés des eercices 5 et : f est définie, continue sur R, dérivable sur R {,6}, R {,6}, f d où le tableau de variations de f : 4, f f 3 4 Au voisinage de ± : f o 6, + o donc Γ admet pour asymptote la droite D y, et, au voisinage de + resp, Γ est au-dessous resp dessus de D Les limites de et y en + et en, et les valeurs de et y en et, sont immédiates, d où le tableau de variations : t y + y + + Étude du point stationnaire { t Le système d équations, d inconnue t R, admet y t une solution et une seule, t, donc Γ admet un point stationnaire et un seul A, correspondant à t On a :, y Pour étudier l allure de Γ au voisinage de t, on effectue des développement limités en, qui sont ici immédiats, puisque et y sont des polynômes : { t + t y yt + 3t + t 3 V y D G j O i 4 6 O A 5 et y sont de classe C sur R et, pour tout t R : t t, y t 6t + 6t 6tt + G 39

405 d k M Avec les notations du cours, Vk, on a donc dt k V, V!, V 3 3! Ainsi, le plus petit 3 entier p tel que V p / est p, et le plus petit entier q > p tel que V p, V q est libre est q 3 On conclut que A est un point de rebroussement de première espèce et que la tangente en A à Γ est dirigée par V Étude des branches infinies La courbe Γ admet deu branches infinies, lorsque t et lorsque t + yt t 3 On a : t ±, donc Γ admet t t ± t t ± une branche parabolique de direction asymptotique y y 53 Def Def y ];+ [ On remarque : t ];+ [, yt, y t t, t donc Γ admet la ème bissectrice pour ae de symétrie, et on peut restreindre l'étude à t [;+ [ Les applications,y sont dérivables sur [;+ [, et : t + ln t t [;+ [, y t ln t, t d'où le tableau de variations : t e y e e + y + 54 a Les applications et y sont de classe C sur ] [ ] ;+ et, pour tout t [ ;+ : t t, y t t + d où, en notant st l abscisse curviligne en tout point de paramètre t de Γ : s t t + y t t + 4t + 4t + 8t + 4 4t +, puis, comme s t : s t t + On en déduit s par primitivation, avec s par hypothèse ] de l énoncé : t [ ;+, t t [ ] t st s u du u + du u + t + t + t b On a : L s4 s Def f R, f est dérivable sur R et : R, f ϕ, + e où ϕ + e + e L application ϕ est dérivable sur R et : R, ϕ + 3 e, d où le tableau de variations de ϕ, puis celui de f : + ϕ + ϕ + e e y O e G + f f Au voisinage de : Comme f, on peut compléter f par continuité en en posant f 393

406 f et f + e e donc Γ admet O pour point anguleu +, Au voisinage de ± : f + + e o o o o, donc Γ admet pour asymptote D y et, au voisinages 4 de + et de, Γ est au-dessus de D D j O y 56 Les courbes que l on doit savoir reconnaître sont les droites et les coniques Essayons d obtenir une équation cartésienne de Γ Soit M,y un point du plan Supposons M Γ Il eiste alors t R {,} tel que : On a donc : y t t t, y t t i G Réciproquement, supposons y y Si /, notons t y On a alors : y y t t t t Si t /, alors t t, puis y t t t y Si t, alors, y y, puis, Le point, y est par ailleurs obtenu pour t dans la représentation paramétrique Si, alors y + y, y {,} Le couple, y est obtenu pour t Mais pour le couple, y, il n eiste pas t R {,} tel que t t, y t On peut cependant considérer que t le couple, y est obtenu pour t ± Finalement, Γ est la courbe d équation cartésienne y y, privée éventuellement du point, On a, pour tout,y R, en utilisant une mise sous forme canonique d un trinôme : y y y y + 4 y + On conclut que Γ est une hyperbole équilatère, de centre Ω,, d asymptotes d équations y ±, et pas- sant, par eemple, par le point O y Si /, alors t y, puis : t t y y y y, O d où y y, puis, en simplifiant par : y y 394 Si, alors t, puis y, donc l égalité y y est vérifiée G G

407 57 y C λ [ ρ est dérivable sur θ [ ; π ; π [ et : [, ρ θ + tan θ > θ π O α G ρ θ + ρθ + λ L équation au des points d intersection de C λ et Γ est : e + λ ln Les courbes C λ et Γ sont tangentes si et seulement si cette équation admet au moins une solution double, c est-à-dire si et seulement s il eiste ] ;+ [ tel que : e + λ ln e, où la deuième équation a été obtenue à partir de la première par dérivation Puisque ρ et que ρ est continue en, C passe par O et la tangente en O à C est π Branche infinie θ : On calcule l ordonnée Y θ d un point de C, dans le repère orthonormé direct O; OX, OY défini par O, < OX π [π] : Y θ ρθ sin θ π ρθ cos θ sin θ Comme Y θ θ π +, C admet pour asymptote la droite d équation Y dans le repère O; OX, OY y C On a, pout tout ] ;+ [ : e e L application ϕ :[;+ [ R, e est dérivable sur [ ;+ [ et, pour tout [ ;+ [ : ϕ + e >, donc ϕ est strictement croissante sur [ ;+ [ De plus : ϕ < et lim ϕ + > + D après le théorème de la bijection monotone, l équation e admet une solution et une seule, notée α On conclut que C λ et Γ sont tangentes si et seulement si λ α α, où α ] ;+ [ est le réel tel que α eα La calculatrice fournit des valeurs approchées de α et λ : α,567, λ,33 58 a ρ est π-périodique ; on fera donc varier θ dans un intervalle de longueur π, puis on effectuera la symétrie par rapport à O De plus, ρ est impaire ; on fera donc varier θ dans [ ; π [, puis on effectuera la symétrie par rapport à y y 59 θ dans -- O ρ est 3π -périodique et impaire ; on fera donc varier [ ; 3π ], puis on effectuera la symétrie par rapport à 4 y y, puis des rotations trois de centre O et d angle 3π [π] [ ρ est dérivable sur ; 3π [ et : 4 ρ θ + tan θ >

408 396 Étude en 3 π 4 : L ordonnée Y θ d un point de C dans le repère orthonormé direct O; OX, OY,défini par 3π O, OX [π], est 4 donnée par : Y θ ρθ sin θ 3π 4 À l aide du changement de variable α θ 3π 4 θ 3π, 4 on a : 3π Y θ tan α sin α sin α tan α 3 α α3 6 + oα3 α 3 + 7α3 8 + oα α + oα Donc C admet pour asymptote la droite D d équation Y 3 dans O; OX, OY et, quand θ 3π, C est au-dessus 4 de D X Y θ 3π/4 ρ θ + ρθ D + 5 Les applications,y sont de classe C sur ] ;+ [, et, pour tout t ] ;+ [ : y C 3 t t t +, y t t t 3 + Comme et y, le point de paramètre t est un point stationnaire de Γ De plus :, y Pour étudier l allure de Γ au voisinage de, on cherche, avec les notations du cours, le plus petit entier p tel que Vp / et le plus petit entier q > p tel que V p, V q soit libre, où on a noté d k M V k dt pour tout k k N, et où M t,yt est le point courant de Γ À cet effet, on forme des DL de et y Notons h t, de sorte que t + h et h t Commençons par former les DL de et y : t t t + + h h + h + h + + h + h h + h h + h + h + h + h + oh h + h h h + oh h + oh, d où, par primitivation d un DL pour une fonction de classe C et puisque : De même : t h h3 6 + oh3 y t t t h + h 3 + h + h + 3h + 3h + h 3 puis : Ainsi : h + h + 3 h + 3 h + h3 h + h h + h + 3 h + oh 3 h + oh h h + oh, yt h h3 3 + oh3 t h 6 h3 + oh 3 yt h 3 h3 + oh 3, d où : / V /, donc p, / puis /6 V 3 non colinéaire à V, donc q 3 /3

409 Puisque p est pair et que q est impair, le point O de Γ est un point de rebroussement de première espèce De plus, la tangente en O à Γ est dirigée par V, donc est la première bissectrice B du repère Enfin : yt t 6 h3 + oh 3, donc, si h < resp h >, on a yt t > resp <, donc la partie de Γ correspondant à t < resp t > est au-dessus resp dessous de B y t < V B 5 est C sur R et : t R, t + t y est C sur R et : t R, y t + t 3 t y y + + t O G t > Γ admet un point non régulier et un seul, correspondant à t, et qui est A, 3 En notant h t +, on obtient des DL 3 de t et y : 5 I d où : Les applications et y sont de classe C ] π 4 ; π [, et, pour tout t I : t cos t sin t + cos t sin t cos t cos t, sin t y t cos t sin t cos t, cos t sin t sin t sur t + h, yt + h h + h + h + 3h + 4h 3 + oh 3 3 3h 4h 3 + oh 3 D après le théorème de Taylor-Young, on en déduit, en notant d k M V k dt : k V,, V!, 3, V3 3!, 4 s t t + y t cos t cos t sin + cos t t cos t sin t ] π Comme t I 4 ; π [ ] π, on a t cos t <, et d autre part, sin t >, d où : D autre part : s t cos t sin t cos t sin t tan ϕt y t t sin t tan t, cos t donc ϕt t [π], puis ϕ t On conclut : Rt s t t cos ϕ t sin t [ ; π, donc Avec les notations du cours, p, q 3, donc A est un point de rebroussement de ère espèce, et la tangente en A est dirigée par V Point double : t u Considérons le système d équations S yt yu, t / u d inconnue t,u R En notant S t + u, P tu, on a : t u + t u S t u + u t t / u + t + u + t + u S P t u t / u t / u 397

410 { S P : t,u sont solutions de X + X +, donc t u, eclu on retrouve ici le point de rebroussement de Γ { S P : t,u sont solutions de X + X, donc t, u + à l ordre près Pour calculer les coordonnées de ce point double, on peut remarquer : t u t + u t + u + t + u S + S P, yt yu S S P P t + u yt + yu t + u t u 5 Étude au voisinage de ± : On a : yt t t t t + t t ± t t ± Donc Γ admet comme direction asymptotique, mais sans asymptote Cherchons une éventuelle parabole asymptote à Γ,c est-à-dire une parabole Π d équation ay + by + c, a,b,c R 3, telle que, lorsqu on coupe Γ et Π par une droite parallèle à, la distance entre les deu points d intersection tende vers lorsque t tend vers ± À cet effet, pour t fié, considérons le point Mt de Γ de coordonnées t,yt et le point Pt de Π situé sur la même horizontale que Mt, c est-à-dire Pt a yt + byt + c,yt, et notons δt PM t a yt + byt + c On a : yt O y Pt t ayt + byt + c Mt P G δt t + t a t + b t t + c t Donc : t + t 4at + bt + c 4a b t t + a t 4 4at + bt c + 4a t δt t ± + b t a t 4 4a a b 4 c b c La parabole Π d équation 4 y + y est donc asymptote à Γ De plus, δt t + t, donc, lorsque 4t 4 t t + resp, Γ est à droite resp à gauche de Π 53 y j -- O i Def Def y R t ± P G est π -périodique, y est π-périodique ; une période commune à et y est π, d où une étude sur un intervalle de lon- 3 gueur π pour obtenir toute la courbe est paire et y est impaire ; on fera donc varier t dans [; π], puis on effectuera la symétrie par rapport à t [; π], π t t et yπ t yt [ On fera donc varier t dans ; π ], puis on effectuera la symétrie par rapport à O et y sont dérivables sur [ t ; π ], [ ; π ] et : t 3 sin 3t, y t cos t 398

411 t π 4 + y 3 y + π 3 π y 3 Points doubles 6 5 Pour t,t ] π; π] tel que t < t, on a : { t t yt yt 3t 3t [π] t t [π] ou et ou 3t 3t [π] t π t [π] [ ] π t t t 3 t [π] ou [ ] et π ou t t t π 3 t [π] L obtention de certains points doubles ceu correspondants au points d intersection avec et y y est immédiate, par eemple pour : t 5π 6, t π 6 Graphiquement, il y a un point double unique dans le er quadrant ouvert, correspondant à un couple t,t tel que : 5π 6 < t < π et < t < π On résout alors le système de 4 congruences avec ces inégalités supplémentaires : [ ] π t t t 3 t [π] ou [ ] et π ou t t t π 3 t [π] 5π et 6 < t < π < t < π 4 5π 6 < t < π < t < π 4 t t π 3 t t + π t 7π t π, d où les coordonnées de ce point double :, 54 ρ est π-périodique et, pour tout θ, ρπ + θ ρθ ; on fera donc varier θ dans [; π] pour obtenir la courbe Le dénominateur de ρθ s annule dans [; π] pour θ θ, où θ Arctan ρ est dérivable et : ρ θ 4 cos θ sin θ cos θ sin θ + cos θ sin θ + cos θ cos θ sin θ cos θ3 cos θ sin θ, cos θ sin θ qui est du signe de cos θ, puisque 3 cos θ sin θ > θ θ π/ π ρ θ + + ρθ Branche infinie, θ θ : + L ordonnée Y θ d un point de C dans le repère orthonormé direct O; OX, OY O,,défini par < OX θ [π], est donnée par : Y θ ρθ sinθ θ En notant α θ θ θ θ, on a : Y θ cos θ + α tan θ + α sin α cos θ tan θ sin θ θ cos θ cos α sin θ sin αsin α + tan α tan α 5 5 cos α sin α tan α cos α α + oα α + oα α + oα 5 5 θ θ 5 399

412 Donc C admet pour asymptote la droite D d équation Y 5 dans le repère O; OX, OY, et, quand θ θ + 5 resp θ, C se trouve au-dessus resp dessous de D, dans le repère O; OX, OY Y O D 55 ρ est π-périodique et paire ; on fera donc varier θ dans [; π], puis on effectuera la symétrie par rapport à Pour tout θ de [; π] : θ θ [π] cos θ cos θ ou θ π 3 θ θ [π] ρ est dérivable sur [; π] ρ θ y α X { } π et : 3 C sin θ 4 cos θ cos θ cos θ θ Arccos /4 π/3 π ρ θ + + ρθ + + / 8/9 Étude en π 3 : Dans le repère orthonormé direct O; OX, OY défini par π O, OX [π], l ordonnée Y θ d un point de C est 3 donnée par : Y θ ρθ sin θ π 3 En notant α θ π 3 θ π, on a : 3 sin α Y θ π 4π cos 3 + α cos 3 + α sin α 3 cos α sin α + 3 cos α sin α α + oα 3 3 α α + oα 4 α + oα Donc C admet pour asymptote la droite D d équation Y 3 dans le repère O; OX, OY, et, quand 9 θ π+ 3 resp π 3, C est au-dessus resp dessous de D, dans le repère O; OX, OY Points doubles : Les éventuels points doubles sont obtenus en résolvant les deu équations : ρθ + kπ ρθ ou ρθ + kπ + π ρθ, d inconnue θ,k R Z Pour θ [ π; ], on a : ρθ + π ρθ cos θ X D y θ 3π 4 ou θ π 4 C Étude en : On a : yθ ρθ sin θ sin θ cos θ cos θ θ + oθ 3 θ + oθ θ + 3θ +, θ + Y O donc C admet une branche parabolique de direction asymptotique 4

413 Donc C admet deu points doubles, symétriques par rapport à ; celui qui est situé dans le premier quadrant correspond à θ 3π 4 et à θ π 4 56 Soit C une courb d équation polaire ρ ρθ Alors { ρθ cos θ C admet la représentation paramétrique y ρθ sin θ, d où, avec des hypothèses de régularité : { θ ρθ sin θ + ρ θ cos θ y θ ρθ cos θ + ρ θ sin θ, et donc : s θ θ + y θ ρ θ + ρ θ On peut ainsi retenir que, pour une courbe en coordonnées polaires, l abscisse curviligne est donnée par la formule : Dans notre eemple : s θ ρ θ + ρ θ s θ th θ + th θ + th θ, d où, en choisissant O correspondant à θ comme origine des abscisses curvilignes : θ sθ θ + th ϕ dϕ [ ϕ th ϕ th ϕ dϕ ] θ θ th θ 57 Une représentation paramétrique de E est { a cos t, t [; π], d où la longueur L y a sin t de E : π L 4 t + y t dt π 4a 4 sin t + cos t dt a y a G E a La longueur L de Γ est, puisque Γ est symétrique par rapport à, à y y et à la première bissectrice : π 4 L 8 ρ θ + ρ θ dθ 8a [uθ] 4a π 4 π sin θ + 4 cos θ dθ sin u + 4 cos u du π [ t π ] 4a cos t + 4 sin t dt u L 58 a et y sont π-périodiques ; on obtient donc toute la courbe C en faisant varier t dans un intervalle de longueur π est paire et y est impaire ; on fera donc varier t dans [; π], puis on effectuera la symétrie par rapport à Comme : t [; π], π t t, yπ t yt, [ on fera varier t dans ; π ], puis on effectuera la symétrie par rapport à y y Enfin, puisque : [ t ; π ] π π, t yt, y t t, [ on fera varier t dans ; π ], puis on effectuera la symétrie par 4 rapport à la ère bissectrice et y sont dérivables et : t [ ; π ], 4 t 3a cos t sin t, y t 3a sin t cos t t π/4 3a y a y + a a 3a 4

414 Étude en : y t t tan t, t donc C admet pour tangente en a, C y a a Enfin, pour tracer Γ, remarquer qu en notant v π t, on a : 4 a cos v cos v M Γ v R, y a, sin v cos v et donc Γ admet l équation polaire : ρ a cos θ G b Soit Pt C ; un vecteur tangent en Pt à C est dp dt 3a cos t sin t, 3a sin t cos t, si sin t cos t /, donc l équation cartésienne de la tangente en Pt à C est : y a sin 3 t cos t + a cos 3 t sin t,c est-à-dire : sin t + y cos t a sin t cos t 59 a C y Soit M,y un point du plan L équation au t des points de contact des tangentes menées de M à C est, d après le résultat précédent : sin t + y cos t a sin t cos t Soient t,u deu solutions de cette équation La tangente T t resp T u en Pt resp Pu à C est dirigée par cos t, sin t resp cos u, sin u On a : T t T u cos t cos u + sin t sin u -- O Ainsi : M Γ cos u t u π + t [π] { cos u sin t sin u cos t ou { cos u sin t sin u cos t ε,t {,} R, { sin t + y cos t a sin t cos t ε cos t εy sin t a sin t cos t ε,t {,} R, { asin t + ε cos tsin t cos t y acos t ε sin tsin t cos t On peut remarquer que la courbe correspondant à ε est la même que celle correspondant à ε,grâce au changement de paramètre t t π b α Les trois points Mt i i 3 de C sont alignés si et seulement s il eiste u,v,h R {,} R tels que t,t,t 3 soient les solutions de l équation d inconnue t R : u t + t + vt t + t + h, c est-à-dire : vt 3 + h ut + vt + u + h En notant σ t + t + t 3, σ t t + t t 3 + t t 3, σ 3 t t t 3, fonctions symétriques élémentaires de t,t,t 3, la condition précédente revient à : u,v,h R {,} R, c est-à-dire finalement : σ vσ h u, σ, vσ 3 u + h, 4

415 β Le calcul de t en fonction de t s obtient en eprimant la condition du b α pour le triplet t,t,t : t + tt + tt, ou encore : t + t t + t t Si les points Mt i i 3 de C sont alignés, alors σ, et, en notant σ t t + t t 3 + t t 3 : t + t t + t C t 3 y σ 4 3 t t + t + 4 t σ + t 4 σ t + σ 3 σ 3 6 t t -- t' 3 t' O t t Comme 6 t t t + t + t 3 t t + t t 3 + t t 3 3t t t 3, on obtient : σ 4 σ + σ σ 3σ 3 + σ, σ 3 σ 3 t' donc les points Mt i i 3 sont alignés 43

416

417 Inde alphabétique Dunod La photocopie non autorisée est un délit abscisse curviligne, 387 addition, 4 aire, 84, 373 aire d une partie de R, 84 aire du tétraèdre, 373 aire du triangle, 373 alternance, 3 angle, 335, 355, 373 anneau, 5 antipériode, 386 application linéaire, 48, 7, 8, 8, 83 argument de divisibilité, 9 associativité de la notion de barycentre, 355 ae 335 A B barycentre, 355 base, 48, 7, 73 base orthonormale, 334 bijectif, 83 bijection, bijective, 8 bijectivité, 96 binôme de Newton,, 5 bissectrice, 356, 374 borne, 375, 385 borne inférieure, 6 borne supérieure, 6 bornée fonction, 49 branche infinie, 386, 387 C cardinal,, 73 cercle, changement de fonction inconnue, 5, 7 changement d inconnue,, changement de paramètre, 386 changement de variable,,, 8, 98, 4, 5, 34, 35, 36, 5, 7, 7, 84 changement de variables par translation, 69 coefficient binomial, 3,, 48 coefficients indéterminés, 5, 33, 34 colonne, 97, 39, 3 comatrice, 3 combinaison linéaire, 48, 7, 73, 334 composé nombre, 3 composition, 4, 8 concavité, 386, 387 condition au bords, 5 congruence, 3 conique, 355, 356, 387 conjugué, 5 constante, 6 continuité, 69 convergence d une suite, 3 convee, 6 conveité, 6 coordonnées polaires, 7 cosinus, 3 courbe orientée du plan, 83 cylindrique, 84 DL opération sur, 4 DL usuel, 4 décomposition en éléments simples, 6, 34, 5 décomposition primaire, 3, 33 définition bifocale, 356 définition monofocale, 356 degré, 48 demi-tangente, 386 dénombrement, 5 dénombrer, dérivabilité, 59 dérivation, 4, 385 dérivée, 59, dérivée n-ème, 6 dérivées partielles premières, 7 dérivées partielles secondes, 7 déterminant d un endomorphisme, 3 déterminant d ordre n, 3 déterminant d ordre trois ou quatre, 39 D 45

418 Inde alphabétique déterminant d une matrice carrée, 3 déterminant d une matrice triangulaire, 3 développement asymptotique, 5 développement d une fonction, 5 développement limité, 4, 5 développement remarquable, développer, 39, 3 dimension 48, 73, 83 dimension finie, 7, 73, 83 dimension du noyau, 97 distance, 37, 373, 374 distance de deu points, 355, 356 distance d un point à une droite, 355 divise, 3, 49 diviseur, 33 divisibilité, 3, 48 division euclidienne, 48, 49, 5 droite, 37, 373, 387 droites concourantes, 354, 374 droites horizontales, 37 droites parallèles, 354 E EC, 354, 37, 37, 375, 377 écriture algébrique, écriture décimale, 3 écriture trigonométrique, ED, 49 ED de Bernoulli, 5 ED non linéaire, 5 ED à variables séparables, 5 EDL, 49, 5 EDL normalisée, avec second membre, sur un intervalle, 5 EDL normalisée, sans second membre, sur un intervalle,49 EDL non normalisée, avec ou sans second membre, 5 EDL sans second membre associée, 5 EDL, 49 EDL à coefficients constants et avec second membre, 5 EDL à coefficients constants et sans second membre, 5 EDL sans second membre associée, 5 EDP, 7 EDP, 7 égalité d ensembles, 95 élément, 7 éléments caractéristiques, 335 élément simple, 5 élévation au carré, emboîter les intégrales simples, 84 emboîter les sommations simples, encadrement, 9 endomorphisme, 97 endomorphisme orthogonal, 334, 336 engendré, 7 engendré par une partie, 4 ensemble, 95 ensemble de définition, 385, 386 ensemble fini, entier, 9 entier naturel, 9 entier premier, 3 équation, 9, 96, équation caractéristique, 3, 5 équation cartésienne, 356 équation au dérivées partielles du premier ordre EDP, 7 équation différentielle, 5, 49 équation diophantienne, 3 équation fonctionnelle, 47, 6, 8, 5 équation à une inconnue réelle, 48, 6 équation intégrale, 5 équation linéaire, 49 équation linéaire du premier ordre, 49 équation linéaire du deuième ordre, 49 équation polaire, 356 équation polynomiale, 97, 3 équation du premier degré,, équation du second degré,, équivalent simple d une fonction en un point, 4 équivalent simple d une intégrale, 5 espace vectoriel, 48 ev, 7 eistence d une solution d une équation f, 48 eponentielle, 97 epression logarithmique d une fonction hyperbolique réciproque, 98 etrémum local, 7 facteur irréductible, 49 facteur mettre en, 3, 48, 49 factorielle, factoriser, 49 famille génératrice, 8 famille génératrice finie, 73 famille libre, 7, 73, 37 fini, 5 fonction admettant une limite finie, 48 fonction circulaire, 98 fonction circulaire réciproque, 98 fonction directe, cos, sin, tan, cotan, 98 fonction directe, ch, sh, th, coth, 97 fonction deu égales sur un intervalle, 98 fonction hyperbolique, 97, 98 fonction implicite, 5 F 46

419 Inde alphabétique Dunod La photocopie non autorisée est un délit fonction nulle, 8 fonction partielle, 69, 7 fonction rationnelle, 35 fonction rationnelle en ch et sh, 35, 36 fonction rationnelle en cos et sin, 36 fonction réciproque, 5 fonction réciproque, Argch, Argsh, Argth, Argcoth, 98 fonction sans limite ni finie ni infinie, 48 fonction symétrique, 5 fonction symétrique élémentaire, 5 fonction de deu variables réelles, 69, 7 forme canonique, 35, 5 forme mise sous canonique d un trinôme, 3 forme différentielle, 83 forme indéterminée, 3, 4, 69 forme algébrique des nombres complees, forme trigonométrique des nombres complees, forme,,, 4 forme, 4 formulaire de trigonométrie circulaire, 98 formule, 5 formule fondamentale de l analyse, 8 formule du binôme de Newton, 3,, 48, 96 formule du double produit vectoriel, 335 formule de Grassmann, 73 formule de Leibniz, 6 fraction rationnelle, 5, 5 G Gram matrice de, 334 groupe, 4 groupe fini, 5 groupes isomorphes, 5 groupes non isomorphes, 5 hyperbole, 355 identité remarquable, 3, 49, 5 image, 7, 8, 83 image directe, 96 image réciproque, 96 imaginaire pur, impaire, 385 imparité, 5 inclusion de sev, 7 indice impair, 3 indice pair, 3 inégalité, 9, 3 inégalité de Cauchy-Schwarz,,, 79, 334 H I inégalité de Cauchy-Schwarz pour des intégrales, 98 inégalité de conveité, 6 inégalité de Jensen, 6 inégalité de Minkowski, inégalité portant sur une fonction ou une intégrale, 8 inégalité portant sur une ou des intégrales, 79 inégalité de Taylor-Lagrange, 8 inégalité triangulaire,, 5 inégalité triangulaire renversée, inégalité à une variable réelle, 6, 98 inégalité à plusieurs variables réelles, 6 inéquation du premier degré, inéquation du second degré, injective, 4, 5, 8 injectivité, 96 intégrale avec bornes particulières, 36 intégrale curviligne, 83 intégrale dépendant d un paramètre au bornes, 8 intégrale double, 84 intégrale simple, 84 intégrale triple, 84 intégration par parties, 8, 5 interne, 4 intersection d une famille d ensemble, 96 intersection de sev, 7 inverse d une fonction, 4 inverse d une matrice carrée inversible, 96, 98 inversibilité, 96 inversible matrice carrée, 96, 97, 98, 3 inversion d une permutation, irrationnel, 3 irréductible, 49 isomorphisme de groupes, 5 libre famille, 7 liée famille, 7 ligne, 39, 3 limite 3, 69 limite d intégrale, 8, 5 limite de la dérivée à côté, 6 limiter les valeurs des inconnues, 9 linéaire, 8, 8 linéariser, 6, 35 linéarité de l intégration, 8 logarithme, 98 logarithme de base quelconque, 97 logarithme népérien, 97 loi eterne, 4, 8 loi interne, 3 loi interne associative, 4 loi interne non associative, 4 loi interne commutative, 4 loi interne non commutative, 4 L 47

420 Inde alphabétique lois usuelles, 4 longueur, 356, 387 majoration de type géométrique, 3 matrice antisymétrique, 98 matrices carrées semblables, 96, 97 matrice -colonne, 96 matrice diagonale, 96 matrice de Gram, 334 matrice nilpotente, 96 matrice orthogonale, 335 matrice symétrique, 98 matrice triangulaire, 96, 98 matrice triangulaire supérieure, 98 matrice trigonale, 96 méthode de multiplication puis remplacement, 5 méthode de variation de la constante, 5 méthode des divisions euclidiennes successives, 49 monotone, 6 morphisme de groupes, 5 multilinéarité, 3 multiplication, 4 M nature, 335 neutre, 4 nombre complee, 3, 48, 5, 356 nombre complee de module, 3 norme euclidienne, 33 noyau, 7, 8, 83 O opérations, 8 opérations sur les sev, 7 opérations sur les suites convergentes, 9 ordre de multiplicité, 49 orthogonal, 334, 373 orthogonal droit, 335 orthogonalité, 334 P paire, 385 parité, 3, 5 partie imaginaire, partie réelle, partie entière,, 48, 5 période, 386 périodique, 48, 385 permutation de symboles, N perpendiculaire commune, 374 pgcd, 3, 49 piles découper en,84 plan, 37 plans bissecteurs, 373 plans parallèles, 37, 374 point, 355, 37, 373 points alignés, 354 points non alignés, 37 point anguleu, 386 point d arrêt, 386 point critique, 7 point équidistant, 356, 373 point d infleion, 386, 387 point multiple, 386 point remarquable, 386 point stationnaire, 386 point fie, 3, 48 polaires, 84, 386, 387, 388 polynôme, 48 polynôme irréductible, 49 polynômes premiers entre eu, 49 polynôme réciproque, 5 ppcm, 3 prépondérance classique, 3 primitivation, 4 primitive d une fonction rationnelle en ch et en sh,35 primitive d une fraction rationnelle, 34 a + b primitive d une fraction rationnelle et en n c + d, 35 primitive du produit d un polynôme par un cosinus ou un sinus, 34 primitive du produit d un polynôme par une eponentielle, 33 primitive du produit d un polynôme, d une eponentielle, et d un cosinus ou sinus, 34 primitiver par parties, 33 primitives usuelles, 8 principe de superposition des solutions, 5 produit,, produit de facteurs irréductibles, 49, 5 produit de facteurs premiers entre eu deu à deu, 3 produit mite, 335 produit scalaire, 334, 335, 356 produit vectoriel, 335 projecteur, 8 projecteur orthogonal, 335 projeté orthogonal, 335, 355, 373 puissance, 96 Q dense dans R, 48 quantité conjuguée, quotient, 49 Q 48

421 Inde alphabétique Dunod La photocopie non autorisée est un délit R racine d une équation dépendant d un paramètre n N, 5 racine n-ème de dans C, 3 radical, raisonner par l absurde, 3, 3 rang d une application linéaire, 8, 83 rang d une matrice, 97 rangée, 39, 3 rationnel, 48 rayon de courbure, 388 récurrence,, 3, 6, 9, 3, 48 réel, réfleion, 335 relation de Chasles, 8, 5 relation de récurrence, 3 repère affine, 353 repère orthonormé direct, 353 représentation paramétrique, 356, 387 reste, 48, 49 réunion, 96 rôles symétriques, rotation, 335 RP, 354, 37, 37, 386, 387, 388 SEC, 37 séparation de cas, 7 sev, 7 sev de dimension finie, 73 sev engendré par les colonnes, 97 sev engendré par une famille, 73 signature, simplifier, 5 sinus, 3 solution évidente, 5 solution générale, 5 solution particulière, 5 solution raccord des, 5 sommation, 48 sommation classique, sommation d entiers, sommation d'une progression géométrique, 3 sommation double, sommation géométrique,, 5 sommation triple, somme, somme de nombres tous positifs ou nuls, somme de Riemann, 8, 8 somme de sev, 7 sous-anneau, 5 sous-groupe, 4 sphérique, 84 S stable par addition, 7 stable par loi eterne, 7 suite adjacente, 3 suite convergente, 3 suite croissante, 3 suite croissante et majorée, 3 suite décroissante, 3 suite décroissante et minorée, 3 suite divergente, 3 suite etraite, 3 suite récurrente du type u n+ f u n, 3 suite récurrente linéaire du premier ordre ou du second ordre, à coefficients constants et avec second membre, 3 suite récurrente linéaire du second ordre, 3 suites usuelles, 3 supplémentaire, 7 surjective, 5, 8 surjectivité, 96 symétrie, 385, 386, 388 symétrie orthogonale, 335 symétrique, 4 système affine, 3 système d équations, 98 système d'équations symétrique,, système de congruences simultanées à une inconnue, 33 T tableau de variation, 385, 386 tangente, 355, 386, 387 tau d accroissement, 59 terme diagonal, 96 terme d une matrice, 96 théorème d encadrement, 9 théorème de Bezout, 49 théorème de composition des applications de classe C ou C n, ou C, 7 théorème de Fubini, 84 théorème de Gauss, 49 théorème de Pythagore, 356 théorème de Rolle, 6, 6 théorème de Taylor-Young, 5 théorème des accroissements finis, 6 théorème des valeurs intermédiaires, 48 théorème du rang, 83, 97 théorème général, 3, 59, 69, 7 théorème général de dénombrement, théorème général sur les limites, 48 théorème limite de la dérivée, 6 théorème sur les opérations sur les fonctions dérivables, 59 trace de matrices carrées, 98 tranches découper en, 84 transposée d une matrice, 98 49

422 Inde alphabétique transposition,, 98 triangle, 356 triangle rectangle, 356 tridiagonale matrice, 3 trinôme, 3 trinôme bicarré, 3, 5 troncature, 4 variation, 6, 6, 8, 98, 5, 5, 386 variation d une fonction, 48 vecteur, 355 V vecteur directeur, 354, 37, 373, 374 vecteur normal, 373 volume, 373 zéro d une fonction, 6 zéro d ordre α eactement, 48 zéro d ordre α au moins, 48 zéro d un polynôme, 5 zéro d un polynôme de C[X], 5 zéro d un polynôme scindé, 49, 5 zéro rationnel, 49 Z 4

423 J INTÈGRE Série Monier Jean-Marie Monier LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Cet ouvrage de méthodes et d eercices propose un entraînement progressif et complet qui vous aidera, tout au long de l année, à passer du cours au eercices et à assimiler le programme de mathématiques de re année MPSI JEAN-MARIE MONIER est professeur en classe de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon Toutes les méthodes à retenir présentées de façon synthétique étape par étape Plus de 5 énoncés d eercices, avec indice de difficulté, couvrant l intégralité du programme de MPSI Des indications pour bien démarrer la résolution des eercices Des corrigés complets pour tous les eercices Dans la série Monier, sont également disponibles des ouvrages de cours complets : ISBN wwwdunodcom