Cointégration et Modèle à Correction d Erreur. Riadh BEN JELILI

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1 Cointégration et Modèle à Correction d Erreur Riadh BEN JELILI

2 Exemples introductifs 1er exemple On considère deux variables y t et x t définies par : y t = t et x t = t²; t=1,,t. La tendance de y t est de type linéaire et celle de x t est quadratique. MCO pour T = 30 : y t = 5,92 +0,03 x t (8,5) (19,8) avec R² = 0,94 et DW = 0,057

3 2ème exemple On génère deux processus aléatoires : y t = y t-1 + ε 1t avec ε ~ 1t N(0;σ 2 1) x t = x t-1 + ε 2t avec ε ~ 2t N(0;σ 2 2) Sur 1000 régressions de y sur x, on obtient les résultats suivants : 670 sont significatives d après la statistique de Student, cependant la statistique de DW est toujours faible.

4 A retenir Le premier exemple illustre le danger d interpréter et d utiliser une régression entre deux variables affectées de tendances déterministes de degré différent : le modèle a un très mauvais pouvoir prédictif (très faible valeur du DW qui présage d une autocorrélation forte des erreurs). Le deuxième exemple illustre le risque de régresser entre elles deux séries affectées d une tendance stochastique : risque de régression fallacieuse ou spurious regression.

5 La théorie de la cointégration introduite par Granger (1986), et développée ensuite par un grand nombre d auteurs, peut être considérée comme une approche pour mettre en évidence des relations linéaires stables entre des séries temporelles non stationnaires.

6 Attraits de la théorie de la cointégration La possibilité d établir une combinaison linéaire stationnaire de variables qui ne le sont pas et qui, à première vue, devraient diverger l une de l autre lorsque le nombre d observations tend vers l infini. L existence de cette combinaison permet d avancer qu il existe une relation d équilibre de long terme entre les variables considérées. Rationaliser l utilisation des modèles à correction d erreurs (désignés par ECM). Le théorème de représentation de Granger (1983) précise dans ce cadre le lien, jusqu alors intuitif, entre cointégration et modèles à correction d erreurs.

7 Tests de cointégration basés sur les résidus et modèle ECM

8 1. Définitions Les composantes d une matrice Y de dimension (T,M), Y = (Y 1,,Y M ), sont cointégrées à l ordre (d,b) avec b > 0 si : 1. Toutes les composantes de Y sont intégrées à l ordre d, 2. Il existe un vecteur α de dimension (M,1) non nul tel que Yα est intégré à l ordre (d -b), α (1 -α 1 -α M )

9 Lorsque les M variables sont à l équilibre de long terme : α est appelé vecteur cointégrant; α n est pas unique dans la mesure où la relation (1) n est pas affectée par une transformation multiplicative par un scalaire; il existe au maximum M - 1 relations de cointégration; L espace de cointégration désigne l espace vectoriel engendré par les r vecteurs cointégrants, linéairement indépendants.

10 L erreur d équilibre : Si toutes les composantes de Y sont I(1), alors les M variables sont dites cointégrées s il existe un vecteur α tel que l erreur définie par (2) est I(0).

11 Réécriture normalisée de (2) en exprimant une composante de Y en fonction des M-1 autres composantes : Le résultat du test de cointégration est sensible à la normalisation effectuée en échantillon fini. L utilisation de différentes normalisations présente le risque de conclusions différentes quant à l existence de relations de cointégration entre deux variables ou plus.

12 2. Procédure de Engle et Granger (1987) : D abord vérifier que les composantes de Y sont intégrées de même ordre. Ensuite, effectuer un test de racine unitaire sur le résidu tiré de l estimation de (3) : Dans la mesure où la matrice X inclut une constante et un trend, ces derniers n ont pas à être introduits dans (4)

13 Test en tout point semblable au test de racine unitaire de DF. Seules les valeurs critiques diffèrent. MacKinnon (1991) permet de calculer ces valeurs à l aide de surfaces de réponse définies par : φ, φ 1 et φ 2 sont des valeurs tabulées.

14 Remarques importantes 1. D une manière générale, dans un modèle à une variable à expliquer et k variables explicatives, il peut exister k vecteurs de cointégration linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs de cointégration linéairement indépendants est appelé rang de la cointégration. 2. Si les variables sont de même ordre d intégration, l existence d un seul vecteur de cointégration est possible; en revanche, si les séries ne sont pas toutes intégrées du même ordre, on peut être certain que le vecteur de cointégration n est pas unique.

15 En pratique, pour tester une éventuelle cointégration entre plusieurs variables, il convient tout d abord de la tester sur l ensemble des k+1 variables, puis, en cas de cointégration, de la tester par combinatoire entre les variables.

16 3. L utilisation de la méthode en 2 étapes se heurte à des biais pouvant survenir en échantillon fini lors de l estimation de α dans la première étape. Une solution envisageable est alors celle proposée par Saikkonen (1991) et Stock et Watson (1993). Elle consiste à introduire dans l équation (3) des avances et des retards de la différence première de chacune des variables faisant partie de Y* :

17 Stock et Watson (1993) : les estimateurs obtenus par MCO ou MCG à partir de (3) sont asymptotiquement équivalents à ceux obtenus par estimation par le maximum de vraisemblance.

18 Théorème de représentation de Granger Ce théorème précise le lien étroit existant entre ECM et cointégration. Il associe la présence d une relation de cointégration à l existence d une représentation ECM qui permet de corriger les écarts afin de converger vers la cible de long terme. Il fournit une justification à l utilisation de ce type de spécification dynamique, en établissant que tout système cointégré admet une représentation ECM :

19 dont la dynamique peut être enrichie par l introduction de retards supplémentaires de Y *. La méthode en deux étapes de Engle-Granger consiste ainsi à obtenir en une première étape une estimation de α et à la substituer à α dans (5). La deuxième étape consiste ensuite à estimer par les MCO l équation (5).

20 Remarques : 1. Un indicateur de la qualité de l estimation de (5) réside dans le R² : si la valeur du R² est suffisamment proche de 1, alors les propriétés des estimateurs tirés de (5) ne doivent pas être mauvaises. 2. La méthode à deux étapes basée sur le théorème de représentation n est valable que pour des variables I(1) et dans le cadre de la cointégration déterministe (absence de trend).

21 3. Le coefficient δ, exprimant la force de rappel vers l équilibre, doit être significativement négatif; dans le cas contraire, il convient de rejeter une spécification de type ECM. En effet, le mécanisme de correction d erreur ou de rattrapage qui permet de tendre vers la relation de long terme irait alors en sens contraire et s éloignerait de la cible de long terme.

22 3. Test de cointégration de Shin (1994) Extension à la cointégration du test développé dans Kwiatowski, Phillips, Schmidt et Shin (1992) destiné à tester la stationnarité sous l hypothèse nulle. + = + = = t t t t t t t t t t t v r u r Z t y 1 ρ ρ ρ ϖ β λ ω

23 Il s agit de la forme de cointégration la plus générale incluant une constante et un trend. La cointégration peut être également testée sur une relation où figure seulement une constante, voire sur une relation sans constante ni trend. Comme pour le test KPSS, l hypothèse nulle testée est : 2 = 0 σ v

24 Utilisée de façon complémentaire aux statistiques de test de Engle-Granger, la statistique de Shin permet d établir la taxinomie suivante : Hypothèse nulle : noncointégration Engle et Granger (1987) H 0 acceptée H 0 rejetée Hypothèse nulle : cointégration Shin (1994) H 0 acceptée H 0 rejetée Pas de conclusion Non cointégration Cointégration Formes alternatives

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26 Désavantages de la méthode en deux étapes : Banerjee, Dolado, Hendry et Smith (1986) ont montré que les estimations à distance finie (petits échantillons), issues de la méthode à deux étapes sont biaisées. La procédure Engle et Granger ne permet pas de différencier plusieurs vecteurs cointégrants.

27 Tests de cointégration basés sur le maximum de vraisemblance et modèle VECM

28 1. Représentation vectorielle à correction d erreur VECM Si le vecteur de cointégration est unique, nous pouvons employer la méthode en deux étapes proposée par Engle et Granger. Toutefois, le plus souvent, le vecteur de cointégration n est pas unique et les estimations des MCO de cette méthode ne sont plus consistants quels que soient les vecteurs de cointégration

29 Cas de deux variables D après le théorème de la représentation de Granger, si deux variables x et y sont I(1) et cointégrées, alors la représentation VECM suivante existe :

30 Si les coefficients δ et δ ne sont pas significativement différents de 0, nous ne pouvons pas retenir l hypothèse d une cointégration et la représentation ECM n est pas valide.

31 Si la représentation à correction d erreur existe, les relations précédentes peuvent s écrire :

32 Généralisation de la représentation VECM La méthode de cointégration à la Johansen considère un modèle vectoriel autorégressif VAR(p) à M variables, p retards et T observations écrit sous la forme matricielle : Y t = Π1Yt 1 + Π 2Yt Π pyt p + µ + t ε, (6)

33 L équation (6) peut être réécrite sous la forme de différences : Y t = p 1 j= 1 Γ Y j t j + ΠY t p + µ + ε, t (7) Γ j = ( I Π Π... Π ), j = 1,..., p 1 M 1 2 j ( I Π Π Π ) Π =... M 1 2 p

34 Objet de la méthode à la Johansen Déterminer si la matrice Π de dimension (M,M) permet d informer sur les relations de long terme entre les variables Y mt, m = 1,...,M et t = 1,...,T, de Y.

35 1er cas : Le rang de Π est égal à 0 : il n existe aucune relation de cointégration entre les variables ;

36 2ème cas : Le rang de Π est égal à M : le vecteur Y t est stationnaire et la matrice Π est de rang plein;

37 3ème cas : Le rang de Π ( noté R) est compris entre 1 et M-1 : il existe des matrices α et β de dimensions (M,R) telles que Π = αβ. Il existe donc R relations ou vecteurs de cointégration contenus dans β, appelé espace de cointégration. β contient ainsi les paramètres des vecteurs de cointégration tandis que α contient les poids associés à ces vecteurs, désigne ainsi le poids de la relation de cointégration i dans l équation j, avec i = 1,...,R, j = 1,...,M.

38 Dans ce dernier cas, la représentation ECM est valide, soit : (8), 1 1 t p t p j j t j t e Y Y ε µ α Γ = = avec ' t Y t e β =

39 Pour estimer les matrices α et β tel que Π=αβ Johansen (1988,1989) propose d utiliser la méthode du maximum de vraisemblance, sous l hypothèse de normalité des erreurs de l équation (8).

40 2. Test de relation de cointégration à la Johansen Le rang de la matrice Π détermine donc le nombre de relations de cointégration. Johansen (1988, 1989) propose deux tests fondés sur les valeurs propres les plus élevées de la matrice Π (Tests de ratio de vraisemblance ou LR).

41 Test de la trace A partir des valeurs propres de la matrice Π, on calcule la statistique suivante pour tester l hypothèse nulle selon laquelle il existe au plus r vecteurs cointégrants (soit M - r racines unité) : λ trace = 2 Log(1 ˆ λ ) ( Log( L ) = nc ) Log( Lc ) T M i= r+ 1 i r = 0,1,2,.., M 2, M 1

42 Cette statistique suit une loi de probabilité (similaire à un Khi deux) tabulée à l aide de simulations par Johansen et Juselius (1990). Le test fonctionne par exclusion d hypothèses alternatives.

43 Rang de Π égal à 0 (r=0), H 0 : r=0 vs H 1 : r>0 Si λ trace > à la valeur critique tabulée, on rejette H 0 et on passe au test suivant. Rang de Π égal à 1 (r=1), H 0 : r=1 vs H 1 : r>1 Si λ trace > à la valeur critique, on rejette H 0 et on passe au test suivant. Rang de Π égal à 2 (r=2), H 0 : r=2 vs H 1 : r>2 Si λ trace > à la valeur critique, on rejette H 0 et on passe au test suivant, etc.

44 Si, après avoir refusé les différentes hypothèses nulles à la fin de la procédure on teste, H 0 : r=m-1 vs H 1 : r=m Si λ trace > à la valeur critique tabulée, on rejette H 0 et le rang de la matrice est r=m; il n existe pas de relation de cointégration car les variables sont toutes I(0).

45 Test de la valeur propre maximale Pour tester l hypothèse d existence d au plus r vecteurs cointégrants contre l hypothèse alternative de r+1 vecteurs cointégrants, la statistique est : λ 1 ˆ λ max = TLog( r+ 1 ) r = 0,1,2,.., M 2, M 1

46 Cette statistique teste l hypothèse nulle de l existence de q relations de cointégration contre q+1

47 Remarque Ces tests permettent de déterminer le nombre de relations de cointégration; cependant ils n indiquent pas les variables qui sont cointégrées.