Mathématiques II. Polycopié d exercices. Mat 4

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1 POLYTECH MONTPELLIER Département Matériaux Mathématiques II [Pour le traitement du signal] Polycopié d exercices Mat 4

2 Feuille : Intégration et convolution des fonctions Exercice : / Déterminer si les fonctions suivantes sont intégrables sur l intervalle I : f (x) = sin x I = [; ] f 2 (x) = cos x I 2 = [; +[ f 3 (x) = I +x 3 = [; +[ f 4 (x) = I 2+cos x+x 4 4 = R f 5 (x) = tan x I 5 = ; 2 f 6 (x) = p x 2 I 6 = [; [ 2/ Déterminer si les fonctions suivantes sont de carré intégrable : f 7 (x) = e p x x I 7 = [2; +[ f 8 (x) = +jxj I 8 = R f 9 (x) = esin x x I 9 = [; +[ 3/ Déterminer les primitives ou intégrales suivantes : x + 3 (x + ) (x + 2) dx; sin (x) e 3x dx; x 2 ln xdx; sin x cos 3 x dx 3 x p x + dx Exercice 2 : / Soit f = [ ;] et g = [ a;a] avec a >. Calculer f g. Idem avec f (x) = exp (x) [;+[ (x) et g (x) = exp (x) [;+[ (x) : 2/ On pose f (x) = exp ( x 2 ). Calculer f f: Exercice 3 : Soit ' (x) = p exp 2 2 quelconque. / Montrez que g = ' f est dans C et calculer g : 2/ Déterminer lim! ' f (x) : x 2 : On admet que R ' 2 2 = : Soit f une fonction C 3/ Que se passe-t-il si f admet une discontinuité au point x? 2

3 Feuille 2 : Séries de Fourier Exercice : Déterminer la période et calculer les coe cients de Fourier (réels ou complexes) des fonctions suivantes : / f (x) = 8 sin (x) ; 2/ f 2 (x) = 3 sin (2x) 2 cos (5x) + 6 sin (x) ; 3/ f 3 (x) = cos 2 (x) : Exercice 2 : / Déterminer les coe cients de la série de Fourier de la fonction -périodique g (signal en créneaux) ci-dessous telle que pour tout x 2 [ =2; =2] : x 2 [ =4; =4] g (x) = x 2 [ =2; =4[ [ ]=4; =2] : En déduire les valeurs de P + n= et P + (2n+) 2 n= 2/ Déterminer les coe cients de la série de Fourier de la fonction 2-périodique et paire s (signal en dents de scie) dé nie pour x 2 [; ] par s (x) = x: 3/ Déterminer les coe cients de la série de Fourier de la fonction -périodique impaire h dé nie pour x 2 [; =2] par h (x) = x ( 2x=) : Exercice 3 : Soit n 2: On considère la fonction -périodique f qui vaut f (x) = 5 6 n ( n2 x 2 ) 2 pour x 2 n ; n et ailleurs. / Tracer cette fonction pour n petit et n grand. 2/ Que vaut R =2 f (x) dx? Que vaut f ()? =2 3/ Calculer les coe cients de Fourier de f: 4/ Que remarquez-vous quand n! +? : n 2 3

4 Feuille 3 : Transformée de Fourier Exercice : TF d une gaussienne L objectif de l exercice est de montrer que la transformée de Fourier de x 7! e x2 est 7! e 2. Notons g () cette transformée de Fourier. / Montrer que g () = : 2/ Montrer que g () = 2g () : Résoudre l équation di érentielle précédente et conclure. h i 3/ Déduire des questions précédentes la TF de x 7! p exp (x m) 2 : Exercice 2 : / Soient a; b > : Calculer les TF des fonctions L (R) suivantes : e ajxj ; jxj e ajxj ; h a (x) = 2a x 2 + a 2 2/ En utilisant le calcul de F (h a ), calculer la convolée h a h b et la TF F (h a h b ). Exercice 3 : En utilisant le Théorème de Parseval, calculer les intégrales suivantes : n sin (x) I = dx; n = 2; 3; 4; R x dx J = ( + x 2 ) 2 : R Exercice 4 : On cherche la solution F nulle en de l équation di érentielle : y (x) + y (x) = e 2jxj Supposons que F 2 L (R) et notons F b sa transformée de Fourier. / Montrer que F b () = : 2 2/ En déduire l expression de F (x). Exercice 5 : / Calculer la transformée de Laplace de la fonction : ' (x) = cos (x cos t) dt: 2/ Trouver les solutions de l équation de Bessel : xy (x) + y (x) + xy (x) = : 4

5 Intégrales multiples Rappel des changements de variables principaux : -Cartésiennes-Polaires dxdy = rdrd en 2D -Cartésiennes-Cylindrique dxdydz = rdrddz en 3D -Cartésiennes-Sphérique dxdydz = r 2 sin drdd' en 3D avec 8 < : x = r sin cos ' y = r sin sin ' z = r cos -Formule générale de changement de variable (en 2D) : x 7! u et y 7! v x = x (u; v) et y = y (u; v). On a dxdy = jj (u; v)j dudv avec J (u; : Exercice : [Intégrales doubles] / Retrouver la surface de l ellipse d équation x2 + y2 = : a 2 b 2 2/ Soit le domaine du plan D dé ni par D = f(x; y) : x ; x 2 y p xg. Tracer D et calculer R R xdxdy: Que vaut selon vous R R ydxdy? Véri ez cela par le calcul. D D 3/ Soit = [; ] [; ] ;calculer R R y cos (xy) dxdy: 4/ Calculer R R A p dxdy avec A = f(x; y) : x 2; y 3g : x 2 +y2 Exercice 2 : [Intégrales triples] / Retrouver le volume de la sphère de rayon R à l aide d une intégrale triple. 2/ Retrouver le volume d un cône de révolution de hauteur h et de rayon de base R: 3/ Calculer le centre de gravité du domaine D de masse volumique constante et égale à avec D = f(x; y; z) : x 2 + y 2 ; z 5

6 Mat4 Une introduction aux distributions. Pourquoi des distributions à la place des fonctions Dans certaines situations physiques, les fonctions ne peuvent pas permettre de modéliser certains phénomènes, notamment ceux du type impulsionnel. Par exemple une charge ponctuelle à la surface d un conducteur ou une force mettant un solide en mouvement. Supposons donc que l on dispose d un système auquel on impulse une entrée f (quantité de mouvement, densité de charge...) dont l intégrale est constante (énergie, potentiel...) pendant une durée de temps de plus en plus courte " #. Pour que R " f soit constante il faut que f soit de plus en plus grande. Pour xer les idées imaginons que f se mette sous la forme d une fonction en escalier : f (x) = f " (x) = " fx"g: On voit qu en faisant tendre " vers on aboutit à un objet mathématique non identi é que nous noterons qui n est pas une fonction car il véri e : () = + (x) = si x 6= Cet objet est appelé distribution de Dirac en : Les fonctions f " sont elles aussi toutes des distributions mais sont également des fonctions... Nous voyons en première approche que les distributions vont englober certaines fonctions qui peuvent être irrégulières comme les f " (nous préciserons ce point plus loin) mais elles vont surtout permettre de dé nir une nouvelle forme de calcul intégral. En e et l aire sous le graphe de est nulle (si l on accepte la convention qu un trait, même in ni, est d aire nulle) pourtant l intégrale de vaut puisque pour tout " > ; R f " = Nous verrons également plus loin que les distributions nous permettront de forger un nouveau type de dérivation, notamment de dériver des fonctions discontinues... Avant de jeter les bases du formalisme associé aux distributions, il faut faire une dernière remarque, liée au chapitre sur la convolution. Soit ' une fonction que nous supposons su samment lisse. Calculons la convolée de ' et f " : ' f " (x) = ' (x t) f " (t) dt = " ' (x t) dt = " ' (x "s) ds après avoir posé t = "s: Il est alors aisé de voir que ' f " (x)! ' (x) quand "! : Tirons au moins de cela un enseignement : même si les distributions sont des objets assez abstraits, le calcul d intégrales du type R 'f peut être aisé et réserver de bonne surprises... 2 Fonctionnelles linéaires et espace D Nous avons vu dans le cas des espaces L 2 qu il était possible de dé nir un produit scalaire par une intégrale. Nous voyons que les fonctions f " sont de carré intégrable mais leur norme L 2 vaut = p " et tend vers +: Si l on veut dé nir l équivalent du produit scalaire pour une distribution comme il faut changer de point de vue. En général si f est 6

7 une distribution on devra se contenter de calculer des intégrales de la forme R f' quand ' est choisie dans un ensemble moins vaste que les fonctions de carré intégrable L 2 : Intuitivement comme f est plus générale qu une fonction, il semble logique d imposer davantage de contraintes sur ': De nition : On appelle fonctionnelle linéaire toute application T qui à une fonction ' associe un nombre réel noté T (') et qui est linéaire en '. Par exemple on véri e facilement que le choix de T x (') = ' (x ) où x appartient au domaine de dé nition de ' convient. Nous pouvons citer un autre exemple à partir du produit scalaire sur L 2 en prenant T g (') = R 'g où ' et g sont dans L 2 : De façon générale si ' 2 F où F est une famille de fonctions T (') = R f' est une fonctionnelle sur F dès lors que f est choisie de telle sorte que l intégrale R f' existe pour tout ' 2 F. Dans ce cas on peut identi er f et T: Exemple : prenons ' 2 L (R) et f telle que sup x jf (x)j < +: Nous voyons que R f' R jf'j supx jf (x)j R j'j et la fonctionnelle T est bien dé nie. De nition : On note D l ensemble des fonctions de R vers R dont le support est borné et qui sont indé niment dérivables. L ensemble D est un espace vectoriel. Exemple : La fonction ' dé nie par : ' (x) = si jxj > ' (x) = exp x 2 appartient à D (Pourquoi?). (Contre)exemple : Les fonction (x) = exp ( pas à D (Pourquoi?). 3 Distributions réelles. si jxj x 2 ) et f 2 (x) = 2 fx3gn appartiennent De nition : Une distribution est une fonctionelle linéaire continue sur l espace D. L ensemble des distributions est noté D : Cette dé nition est abstraite déjà explicitée dans le paragraphe précédent mais va être éclaircie. En e et nous allons examiner tout de suite deux grandes classes de distributions. Avant cela il faut noter que la dé ntion des distributions est très intimement liée à celle de D qui prend souvent le nom d espace de fonctions tests. Bien comprendre l e et d une distribution passe souvent par le calcul de T (') qui se ramène lui-même bien souvent au calcul d intégrales de la forme R f': 3. Deux types de distributions De nition : Une fonction f est dite localement sommable si elle est sommable sur tout ensemble borné. Exemple : f (x) = 2x est localement sommable alors que x! =x ne l est pas. Proposition : A toute fonction localement sommable f on peut associer une distribution T par T (') = ht; 'i = R f' pour ' 2 D. Une telle distribution T est dite régulière. Le premier exemple de distributions singulière est = qui peut se généraliser en a où a 2 R avec R a ' = ' (a) : De nition : Une distribution T est dite singulière si elle est la combinaison linéaire non nécessairement nie a + 2 a2 + ::: de distributions de Dirac. Un cas particulier important est constitué par le peigne de Dirac : P + n= n (faire un dessin pour comprendre l image du peigne). 7

8 3.2 Propriétés des distributions Soit T et S deux distributions et un scalaire, alors T + S et T sont également ds distributions avec ht + S; 'i = ht; 'i + hs; 'i et ht; 'i = ht; 'i : Il est possible de translater, de transposer des distributions, de changer d échelle. La multiplication par une fonction indé niment dérivable est possible et h T; 'i = ht; 'i mais la propriété sur laquelle nous allons insister est la dérivation. Proposition : Les distributions sont indé niment dérivables et toutes leurs dérivées sont également des distributions. La dérivée T de T est dé nie par ht ; 'i = ht; ' i et sa dérivée d ordre m s écrit T (m) ; ' = ( ) (m) T; ' (m) : Le principe est le suivant : comme les distributions ne sont dé nies généralement que via les fonctions tests, une intégration par partie donne ht ; 'i = T ' = [T '] T ' et comme ' est à support compact [T '] = [T '] + = d où la formule. Exemple : Déterminons la dérivée de = : Nous avons pour tout '; h ; 'i = h; ' i = ' () : Il est également possible d intégrer des distributions : la primitive d une distribution est toujours une distribution. 4 Exercices : Exercice : Montrer que pour tout " > il est possible de construire une fonction ' " 2 D telle que : ' " (x) = jxj < =2 " ' " (x) = jxj > =2 + " [Comencer par faire un dessin et bien reprendre les exemples du poly]. Exercice 2 : Soit ' une fonction test quelconque. La fonctionnelle f dé nie par hf; 'i = R j' (x)j dx est-elle une distribution? Pourquoi? Exercice 3 : Dériver au sens des distributions la fonction H de Heaviside, la fonction porte ; la fonction signe (x) : Exercice 4 : Quelle sont les limites dans D des deux suites dé nies par : f k (x) = g k (x) = sin(kx) x? k (k e x 2 +) et 8