Exercices de mathématiques Première Pro. François BINET

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1 Exercices de mathématiques Première Pro François BINET 6 janvier 8

2 BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

3 Table des matières Premier degré. Exercices préliminaires de calcul Développements, Factorisations, Identités remarquables Inégalités et encadrements Transformations de formules Équations du premier degré Inéquations du premier degré Étude du signe d une équation Systèmes d inéquations à une inconnue Systèmes de deux équations à deux inconnues Apprentissage de la méthode par substitution Apprentissage de la méthode par combinaison (par addition) Apprentissage de la vérification des solutions trouvées Résolution graphique Résolution algébrique Inéquations à deux inconnues Systèmes d inéquations à deux inconnues Équations du second degré. Activités d approche Discriminant Étude du signe Somme et produit de racines Fonctions usuelles. Fonctions linéaires et affines Fonctions puissances Fonctions trigonométriques Additions et multiplications Comparaison de fonctions Dérivation. Introduction, nombre dérivé Fonctions dérivées Étude des variations

4 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

5 Chapitre Premier degré. Exercices préliminaires de calcul. Sans la calculatrice faire les calculs suivants :,+( ) ; (,) ; ( )+( ) ; +( ) ( )++( ). Simplifier les écritures suivantes : ; 8 ; ;,, ;. Effectuer les calculs suivants : ; +. Effectuer les calculs suivants : (,) ; (,) ( ) ; (, ) ( ) ; ( ) (, + ). Effectuer les calculs suivants : ; ( + ) ; + ; 7 + 7, 6. Calculer :,8 ; + ; 7 + ; ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) 7. Simplifier puis calculer ; ( ) ; ; 8. Exprimer en fonction de ou de les nombres suivants : ; 7 ; ; ; 7 ; 8 9. Écrire les quotients suivants avec un dénominateur entier : 7 ; + ; ; 8 ; ;. Calculer le produit : ( + ) ( ) et montrer que ( + ) et ( ) sont inverses l un de l autre.. Calculer les expressions a + b ; (a + b) ; a b ; (a + b) (a b) ; ( a b ) ; a b pour a = et b =. Développements, Factorisations, Identités remarquables. Développer et réduire les expressions suivantes : (a + ) ; a(a + ) ; (x ) ; (x ) ; (a + )(a ) ; (a + )(,a ) ; x(x ) ; x( x); (x + x + )(x + ) ; ( + x )(x ) ; (x + )(x ) ; (x )(x + ). Utiliser les produits remarquables pour développer les expressions suivantes : (x ) ; (x + ) ; (x + ) ; (x + ) ; (x + ) ; (x ) ; (x ) ; (x + ) ; (x )(x + ) ; (x + )(x ) ; (x )(x + ) ; (,x + )(,x ). Rechercher un facteur commun dans les expressions suivantes et les factoriser : x + x ; a + 6a; x x ; a b ; a + ab ; (x + ) + (x + ) ; (x )x + (x ) ; (x ) + (x )(x + ). Écrire les expression suivantes sous forme d un carré : x x + ; x + x + ; 9x 6x + ; 9x + 6x + ; x 8x + ; x + x + ; x x + ; x 6 + x +. Inégalités et encadrements 6. Sachant que,7 < <,7 donner un encadrement de + ; ; ; 7. Sachant que, < <, et, < <, donner un encadrement de + ; ; ;

6 .. TRANSFORMATIONS DE FORMULES CHAPITRE. PREMIER DEGRÉ. Transformations de formules 8. Compléter les transformations de formules : Le périmètre d un cercle p = π R exprimer R. Le volume d un cône V = π R h exprimer R puis R La quantité de chaleur Q = mc(θ θ ) exprimer θ = θ θ (B + b) h L aire d un trapèze A = exprimer h. Équations du premier degré 9. Exprimer l aire d un carré de coté cm dont on enlève aux quatre coins un petit carré de coté x.. Résoudre les équations suivantes : x + = ; x = ; x = ; x + = 9; x + = x + ; (x ) = x+7 ; (x+)( +) = ; x ( x) = ; x+7 (+x) = ; x+7 (x+) = 6. Déterminer les valeurs pour lesquelles l équation n est pas définie puis résoudre : x = ; + x = ; x = ; x+ x = ; x+ x = x ; x x+ =. Une somme de CFP est partagée entre personnes. La première reçoit CFP de plus que la deuxième qui reçoit CFP de plus que la troisième. Calculer la part de chacun.. Résoudre x + = (x ). Trouver deux nombres consécutifs dont la somme est 69.. Nicolas a 6 ans et son père 8. Dans combien de temps l age du père sera le double de l age du fils 6. Mettre les équations sous la forme y = ax+b : y = 6x ; y +9x = ; 6x y + = ; x+ y = 9 ; x + 7 = y 7. Donner le coefficient directeur et l ordonnée à l origine des fonctions affines suivantes : f(x) = x + 7 ; g(x) = x + ; y = 7x ; x + y = 6 ; 6x y + = ; x + y = 9 8. Dire des fonctions affines suivantes si elles sont croissantes ou décroisantes : y = x + 8 ; y = x ; y = x 9 ; y = x + 6 ; x y = 9. Retrouver les équations des représentations ci-dessous Inéquations du premier degré. Résoudre les inéquations suivantes : x ; x ; x > 9 ; x < ; x > ; x + ; x + ; x < ; x + > ; x > ; x < ; x > ;,6x,; x < ; x ; x > x + BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-6

7 CHAPITRE. PREMIER DEGRÉ.7. ÉTUDE DU SIGNE D UNE ÉQUATION.7 Étude du signe d une équation. Indiquer le signe des produits suivants pour x= et x= : a(x) = (x+) (x ); b(x) = ( x) (x+) (x+).. Sur quel intervalle les produits suivants sont-ils négatifs? : P(x) = (x+)(x+) ; Q(x) = (x )(x )(x )..8 Systèmes d inéquations à une inconnue. Résoudre les systèmes d inéquations suivants : { x + x + x ; { { x x + x < ; x.9 Systèmes de deux équations à deux inconnues.9. Apprentissage de la méthode par substitution. Exprimer l inconnue y en fonction de x dans les équations suivantes : x + y = ; x y = ; = y x ; x y = ; x + y = ; x y = { y x =. Mettre les équations du système sous la forme y = ax + b : y + x = 6. { Remplacer y par{ son expression{ en fonction de x{ de la première équation dans la seconde équation : y = x y = x + y = x y = x + x + y = ; x + y = ; x y = ; x + y =.9. Apprentissage de la méthode par combinaison (par addition) 7. Multiplier les deux membres des équations suivantes afin d obtenir le coefficient de y égal à : x + y = ; x y = ; x y = ; x + y = ; x y = ; x + y =.9. Apprentissage de la vérification des solutions trouvées 8. Faire correspondre à chaque couple proposé a(- ;) ;b( ;-) ;c( ;) ;d(;-) le système d équation qui lui convient { : { { { x + y = x + y = x y = x y = 9 x y = ; ; x + y = x + y = ; x + y =.9. Résolution graphique 9. Résoudre graphiquement le système suivant : { x y = y = 6 x BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-7

8 .. INÉQUATIONS À DEUX INCONNUES CHAPITRE. PREMIER DEGRÉ. Résoudre graphiquement le système suivant : 7y + 8 = 7 x y = x Résolution algébrique. { Résoudre les systèmes { suivant algébriquement { : { { { x y = x y = 6x + = y x y = x y = 6 x + y = 6 ; x + y = x + y = ; y + 6 = x ; 6x y = ; x + y = 8 ; x y =. Touver deux nombres dont la somme est 86 et la différence.. En roulant à 9 km/h j arriverai à h alors qu à km/h j arriverai à h. Quelle distance doit-il parcourir?. Un générateur (E=9V ;r=,ω) est branché sur un rhéostat de Ω. Déterminer la tension et l intensité.. CFP sont placés en partie à % et à 8%. L intérêt est de 7 CFP. Calculer les montants des parties. 6. Une somme de CFP est constitué de pièces de F et F. Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte.. Inéquations à deux inconnues 7. Résoudre graphiquement les deux inéquations suivantes : y > x et y < x BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-8

9 CHAPITRE. PREMIER DEGRÉ.. SYSTÈMES D INÉQUATIONS À DEUX INCONNUES. Systèmes d inéquations à deux inconnues y < x + 8. Dans le graphique ci-dessous, tracer le système d inéquations : y > x + y > x Trouver l unique couple solution appartenant à l ensemble des entiers naturels. 9. Dans le système ci-dessous donner les inéquations qui correspondent y > x. Dans le graphique ci-dessous, tracer le système d inéquations sur l intervalle [ ;] : y < 6 x > BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-9

10 .. SYSTÈMES D INÉQUATIONS À DEUX INCONNUES CHAPITRE. PREMIER DEGRÉ Une entreprise fabrique deux types de boitiers : type A : Cout de la main d oeuvre CFP; cout de la matière première : CFP. type B : Cout de la main d oeuvre 7 CFP; cout de la matière première : 6 CFP. La dépense journalière en matière première ne peut dépasser CFP et en main d oeuvre CFP. (a) Écrire les relations traduisant les contraintes. (b) Montrer que deux contraintes se remènent au système : (c) Résolvez graphiquement le système. (d) L entreprise peut-elle fabriquer en une journée : 9 boitiers de type A et boitiers de type B? 7 boitiers de type A et 6 boitiers de type B? Justifier en plaçant un point sur le graphique { y,x + 9 y x + 7 BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

11 Chapitre Équations du second degré. Activités d approche. Donner les valeurs de x annulants les polynômes suivants : P(x) = (x + )(x + ) ; Q(x) = (x )(x + ) ; R(x) = (x )(7 x). Développer les polynômes suivants : P(x) = (x )(x + ) ; Q(x) = (x + )(x ) ; R(x) = (x + )(x + ) ; S(x) = (x + )(x ). Retrouver l identité remarquable permettant de factoriser les polynômes suivants : P(x) = x + x + ; Q(x) = x x + ; R(x) = x. À partir des résultats de l exercice précédent, indiquer quels sonts les racines de ces polynômes.. Indiquer dans les représentations graphiques des fonctions ci-dessous, les valeurs pour lesquelles la fonction s annule : fonction f(x) = x x fonction g(x) = (x x ) Discriminant 6. Dans les polynômes suivants, indiquer les valeurs de a,b et c figurant dans l expression ax + bx + c = : P (x) = x + x + ; P (x) = x + x ; P (x) = x + x + ; P (x) = x + x; P (x) = x + x ; P 6 (x) = +x 9x; P 7 (x) = x ; P 8 (x) = x +x +x ; P 9 (x) = x(x+,) ; P (x) = x (+ x )

12 .. ÉTUDE DU SIGNE CHAPITRE. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 7. Donner les racines des polynômes précédents. 8. Factoriser les polynômes précédents.. Étude du signe Les exercices de ce paragraphe sont à mettre en liaison avec les exercices du paragraphe.7 9. Donner à l aide d un tableau de signe le signe des polynômes suivants : P (x) = (x )(x + ) ; P (x) = (x + )(7 + x) ; P (x) = (x )(x ) ; P (x) = (x + )(x ) ;. Développez les cinqs polynômes précédents puis donner la valeur de a. En déduire le signe de part et d autre des racines.. Dans les représentations ci-dessous donner : (a) le signe de a, (b) le nombre de racine, (c) le signe du discriminant Donner l intervalle pour lequel les polynômes suivants sont positifs : P (x) = x x 7 ; P (x) = x x + ; P (x) = 8x + x +. Indiquer à partir des représentations graphiques ci-dessous, l intervalle pour laquelle la fonction est négative. BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

13 CHAPITRE. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ.. SOMME ET PRODUIT DE RACINES fonction f(x) = x x fonction g(x) = (x x ) fonction h(x) = x x Somme et produit de racines. À partir des trois fonctions f,g et h tracées dans l exercice précédent, mettre les polynômes sous la forme x Sx + P = et identifier les valeurs de S et P, puis compléter le tableau suivant. x x = (x x ) = x x + = a b c x x x Sx + P = x + x x x b a Valeur de S Valeur de P. En utilisant les expressions algébriques des racines, montrer la relation qui existe entre la somme des racines et les coefficients du polynôme. 6. En utilisant les expressions algébriques des racines, montrer la relation qui existe entre le produit des racines et les coefficients du polynôme. 7. En nommant S la somme des racines et P le produit des racines, exprimer le polynôme ax + bx + c = en fonction de S et P. 8. Dans les polynomes suivants, indiquer la somme et le produit des racines. (a) x 6x + 8 (b) x 6x + 9 (c) x + 8x = Résoudre les systèmes : { { x + x = 6 x + x = x x = 8 x x = 6 { x + x = x x = 8 c a BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

14 .. SOMME ET PRODUIT DE RACINES CHAPITRE. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

15 Chapitre Fonctions usuelles. Fonctions linéaires et affines. Parmi les fonctions suivantes, indiquer celles qui définissent des fonctions linéaires et des fonctions affines : f(x) = x ; g(x) = x ; h(x) =, x; u(x) = x ; v(x) = x; w(x) = x +. Dire si les fonctions suivantes sont croissantes ou décroissantes : f (x) =,x ; f (x) = x; f (x) = x ; f (x) = x ; f (x) = x ; f 6 (x) = x ; f 7 (x) = 7 x 8 ; f 8(x) = x + ; f 9(x) = 8 x;. Soit la fonction f définie par f(x) = x + Compléter le tableau de valeurs suivant : x - f(x),. Dans le cas d un moteur asynchrone la caratéristique mécanique en fonctionnement est du type ci-dessous (trait plein) : Déterminer les fonctions correspondantes et le point de fonctionnement de ce moteur en charge. La charge est indiquée en trait discontinu

16 .. FONCTIONS PUISSANCES CHAPITRE. FONCTIONS USUELLES. Fonctions puissances. Soit la fonction f définie par f(x) = x sur l intervalle [- ;]. calculer f(-) ;f() ;f(,) ;f() et tracer la courbe représentative de f dans le repère ci-dessous : Soit la fonction f définie par h(x) = sur l intervalle [- ;].Compléter le tableau de valeurs suivant : x x h(x) tracer la courbe représentative de h dans le repère ci-dessous : Soit la fonction f définie par h(x) = x sur l intervalle [ ;].Compléter le tableau de valeurs suivant : x h(x) tracer la courbe représentative de h dans le repère ci-après : BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-6

17 CHAPITRE. FONCTIONS USUELLES.. FONCTIONS PUISSANCES Indiquer à quelle fonction correspondent les tracés ci-dessous :f(x) = x g(x) = x et h(x) = x Représenter graphiquement la fonction f(x) = et la droite d équation y = x, sur l intervalle x [ ;[ ];] puis résoudre graphiquement x = x, dans le repère ci-dessous : x f(x) BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-7

18 .. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAPITRE. FONCTIONS USUELLES. Fonctions trigonométriques. Donner le tableau de variation des courbes ci-dessus et ci-dessous : BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-8

19 CHAPITRE. FONCTIONS USUELLES.. ADDITIONS ET MULTIPLICATIONS. Additions et multiplications Ce paragraphe traite des additions de fonctions et des multiplications de fonctions par une constante.. Réaliser l addition des fonctions suivantes Tracer les fonctions suivantes sur le même graphique : f(x) = x + ; g(x) = x + ; h(x) = f(x) + g(x) ; u(x) = g(x) et v(x) = f(x) BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7-9

20 .. COMPARAISON DE FONCTIONS CHAPITRE. FONCTIONS USUELLES. Comparaison de fonctions. Dans les représentations ci-dessous indiquer les intervalles où les fonctions sont positives ou nulles f(x) = x g(x) = + x h(x) = x x +. Dans les représentations ci-après indiquer les intervalles où les fonctions vérifient f > g f(x) = x g(x) = x g(x) = + x f(x) = x f(x) = x x + g(x) = + x. Tracer les fonctions f(x) = x et g(x) = f(x) et donner l intervalle où f g BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

21 Chapitre Dérivation. Introduction, nombre dérivé. Déterminer pour chaque tangente aux courbes suivantes : les coordonnées du point de la courbe où l on a tracé la tangente, le coefficient directeur de la tangente Pour les trois fonctions précédentes, établir un tableau de variations sur les intervalles donnés. pour f(x) = x x + sur l intervalle [ ;], pour g(x) = x sur l intervalle [ ;], pour h(x) = x sur l intervalle [ ;].. Quel lien peut-on faire entre la pente de la tangente (son coefficient directeur) et le sens de variation de la fonction?. Établir les fonctions dérivées des trois fonctions f,g et h sur les intervalles considérés.. Calculer les nombres dérivés des fonctions f,g et h pour les valeurs de x correspondant aux abscisses des points déterminer à l exercice. 6. Que remarque-t-on entre le coefficient directeur des tangentes et les nombres dérivés associés? 7. Sur le graphique ci-dessous :

22 .. FONCTIONS DÉRIVÉES CHAPITRE. DÉRIVATION fonction f(x) = x x fonction g(x) = (x x ) fonction h(x) = x x (a) Exprimer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessus. (b) Tracer les tangentes d abscisses respectives : pour f : en x=, pour g : en x=- et x=, pour h : en x=-; x=- et x=. (c) Donner l équation de chacune des tangentes ci-dessus.. Fonctions dérivées 8. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : Sur l intervalle ] ;+ [ la fonction f(x) = x + x x + 7 Sur l intervalle ];+ [ la fonction g(x) = x Sur l intervalle R la fonction (x + x + ) (x + ) Sur l intervalle R { } la fonction x + x + x + Sur l intervalle R {} la fonction x. Étude des variations 9. Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes tracées précédemment : f(x) = x x sur l intervalle [ ;], g(x) = (x x ) sur l intervalle [ ;], h(x) = x x + sur l intervalle [ ;], f(x) = x x + sur l intervalle [ ;]. BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -

23 CHAPITRE. DÉRIVATION.. ÉTUDE DES VARIATIONS La fonction ci-dessus a pour expression f(x) = x x + x et on l étudie sur l intervalle [ ;]. (a) Exprimer la dérivée f de la fonction f. (b) Étudier le signe de cette dérivée qui est une équation du second degré. (c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. (d) Exprimer la dérivée seconde f de la fonction f. (e) Indiquer pour quelle valeur x i cette dérivée seconde s annule. (f) Calculer sous forme fractionnaire le nombre dérivé en ce point que l on notera f (x i ) (g) Exprimer l équation de la tangente en ce point x i (les coefficients de la droite seront mis exclusivement sous forme fractionnaire). BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 -