L5 : Théorèmes de Thalès. I Théorème de Thalès direct. Triangles en situation de Thalès :

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1 L5 : Théorèmes de Thalès I Théorème de Thalès direct Triangles en situation de Thalès : Pour appliquer le théorème de Thalès direct il faut avoir deux triangles déterminés par deux sécantes et deux parallèles, on M N dit alors que les triangles sont en situation de Thalès. Dans les deux figures les triangles et MN sont en situation de Thalès. Théorème direct de Thalès : SI N M les droites (M) et (N) sont sécantes en et les droites (MN) et () sont parallèles LORS il y a proportionnalité entre les longueurs des côtés des triangles et MN, c'est-à-dire : M = N = MN e qui signifie que : Longueurs des côtés du grand triangle Longueurs des côtés du petit triangle MN M N MN k réduction k grandissement k réduction = petit grand = M = N = MN (réduction si k < 1) k grandissement = 1 = grand k réduction petit = M = N = (agrandissement si k > 1) MN e théorème sert à calculer des longueurs.

2 Exemple : Sachant que (LM)//(IK), calculer IK et KL. On sait (KL) et (IM) sont sécantes en J et que (LM)//(IK) K I 30 cm L 14 cm M 15 cm J 10 cm donc les triangles LMJ et KJI sont en situation de Thalès alors on a l égalité des rapports suivants : Petit triangle JLM Grand triangle JKI KL n étant pas dans les rapports de Thalès, on cherchera d abord JL avant de calculer KL. D où et Donc IK = =35 cm et JL = =12 cm Donc KL = 30 JL = 18 cm II Théorème réciproque de Thalès : Théorème réciproque de Thalès : SI ' ' et si les points,, et,, sont «alignés dans LORS le même ordre», () // ( ) et de plus : ' ' ' ' Remarque : L hypothèse, «alignés dans le même ordre» est importante ; On a ci-contre :

3 D une part : = 1 3 D autre part = 1 3 donc = mais les points, et ne sont pas alignés dans le même ordre que, et. On constate alors que () et ( ) ne sont pas parallèles! Remarque : e théorème sert à prouver le parallélisme de deux droites. Le théorème direct sert à calculer et à prouver (par «contraposée») le non parallélisme. «,, et,, alignés dans le même ordre» signifie aussi «( ) et ( ) sécantes en» Exemple 1: Est-ce que les droites () et (DE) sont parallèles? d une part : E =3 2 = 1, D 3 E D autre part : D = 6 4 = 1,5 omme on sait que l égalité E = est vérifiée et que les points,, E et,, D D sont alignés dans le même ordre alors d après la réciproque de Thalès les droites () et (DE) sont parallèles. Exemple 2 : Est-ce que les droites () et (DE) sont parallèles? 3 E 2 D 3 d une part : E =3+2 2 = 2,5 6 D autre part : D = = 3

4 omme on sait que l égalité entre E et n est pas vérifiée alors les droites () D et (DE) ne sont pas parallèles (ontraposée du Théorème direct de Thalès). III grandissement et Réduction : Définition : Lorsque deux figures F et F ont la même forme et lorsque les longueurs des côtés de F sont proportionnelles aux longueurs des côtés de F, on dit que : o F est un agrandissement de F si le coefficient de proportionnalité est supérieur à 1. o F est une réduction de F si le coefficient de proportionnalité est inférieure à 1. e coefficient de proportionnalité est alors appelé rapport d agrandissement ou de réduction. Remarque : Si F est un agrandissement de F de rapport k lors F est une réduction de F de rapport 1 k. Voir exemple du chapitre I : Le triangle IJK est un agrandissement du triangle JLM de rapport 2,5. Le triangle JLM est une réduction du triangle IJK de rapport 1 = 1 2,5 = 0,4 2,5 Effectivement : JK 0,4 = 30 0,4 = 12 = JL JI 0,4 = 25 0,4 = 10 = JM Propriété : Lors d un agrandissement ou d une réduction, les angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. IV e que j ai appris à faire : ppliquer Thalès pour faire des calculs de longueur. alculer un rapport d agrandissement ou de réduction ppliquer Thalès pour prouver le parallélisme ou non de deux droites. Rédiger pour prouver, démontrer, justifier Exercices cours L5 Labomep : L5_Thalès Ex 4, 6, 11 et 12 Ex 1, 2, 3 et 6 Ex 10 Ex 4 Ex 11 Ex 5 Ex 4, 6, 11, 12 et 13 Ex 3, 5 et 6 Evaluation Vous Prof

5 V Exercices b. Détermine les longueurs IS et IT. c. Démontre que (ST) et (LN) sont parallèles EP 13 Le pavé ci contre a pour dimensions D = 3 cm, E = 6 cm et = 4 cm. La pyramide DHEG est coupée par un plan IJK parallèle à la base HEG. a. Sachant que IK = 2,4 cm, calculer DI. b. Quel est le rapport de réduction qui permet de passer de la pyramide DHGE à la pyramide DIKJ. c. Représenter le triangle IJK en vraie grandeur. d. alculer son périmètre. D 10 4 I K J H G E F

6 EF = petit triangle et HG = grand triangle Triangle EF Triangle HG

7 4 On sait que les droites (MG) et (NF) sont sécantes en E et les droites (MN) et (GF) sont parallèles,

8 On sait que () et (PR) sont perpendiculaires à la même droite () donc sont parallèles entre elles. De plus on sait que, (R) et (P) sont sécantes en. Donc d après le théorème de Thalès, on a : R = P = PR On sait que les droites () et (PR) et la sécante (P) déterminent des angles correspondants de même mesure alors () et (PR) sont parallèles. De plus on sait que, (R) et (P) sont sécantes en. Donc d après le théorème de Thalès, on a : R = P = PR EP On sait que EP est un parallélogramme et que dans un parallélogramme les côtés opposés sont parallèles donc () est parallèle à (PR). De plus on sait que, (R) et (P) sont sécantes en. Donc d après le théorème de Thalès, on a : R = P = PR On sait que EP est un parallélogramme et que dans u parallélogramme les côtés opposés sont parallèles donc est parallèle à (P). De plus on sait que, () et (EP) sont sécantes en R. Donc d après le théorème de Thalès, on a : RP RE = R R = P E

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10 24 dm 4 dm 18 dm 18 dm 3 dm omme on sait que LINU est un rectangle alors LIN est un triangle rectangle en I. Donc d après le théorème de Pythagore direct, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Donc LN² = LI² + IN² LN² = 24² + 18² = = 900 Donc LN = 900 =30 dm D une part : IS IL = = 5 6 D autre part : IT IN = = 5 6 omme on sait que l égalité IS IL = IT est vérifiée et IN que les points I, S, L d une part et I, T, N d autre part sont alignés dans le même ordre alors d après la réciproque de Thalès les droites (ST) et (LN) sont parallèles.

11 Exercice 12 Le pavé ci contre a pour dimensions D = 3 cm, E = 6 cm et = 4 cm. La pyramide DHEG est coupée par un plan IJK parallèle à la base HEG. a. Sachant que IK = 2,4 cm, calculer DI. b. Quel est le rapport de réduction qui permet de passer de la pyramide DHGE à la pyramide DIKJ. c. Représenter le triangle IJK en vraie grandeur. d. alculer son périmètre. 3 D 4 6 I 2,4 K J H G E F a) Plaçons-nous dans les triangles DIK et DHG qui sont en situation de Thalès, Donc on a l égalité des rapports : Donc = 3,6 cm b) Le rapport de réduction qui permet de passer de la pyramide DHGE à la pyramide DIKJ est le même que celui qui permet de passer du triangle DHG à DIK, il est donc égal à c) onnaissant le rapport de réduction qui permet de passer de la pyramide DHGE à la pyramide DIKJ, nous pouvons calculer : IJ = HE 0,6 = 3 cm 0,6 = 1,8 cm et construire le triangle IJK qui sera rectangle en I car la réduction de EHG (qui est en rectangle en H) conserve les angles pour IJK. J I K

12 d) Pour connaître le périmètre du triangle IJK, il faut d abord calculer JK. omme IJK est rectangle en I alors d après le Théorème de Pythagore JK² = IK² + IJ² JK² = 2,4² + 1,8² JK² = 5,76 + 3,24 Donc JK = = 3 cm Et donc le périmètre du triangle IJK sera de 3cm + 1,8cm + 2,4cm = 7,2 cm