CHAPITRE 12 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

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1 CHAPITRE 12 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE A) Perspective cavalière 1) Types de perspectives On ne peut représenter sur un solide sur un plan qu'en "trichant". On utilise généralement la perspective cavalière ou la perspective avec lignes de fuite (qui ressemble mieux à ce que l'on voit réellement). Les représentations de solides qui suivent seront faites en perspective cavalière. 2) Règles Les segments visibles sont dessinés en traits continus, les segments cachés en traits pointillés. Deux droites parallèles restent parallèles. Le milieu d'un segment est représenté par le milieu du segment dessiné. Dans un plan de face, les proportions doivent être respectées. ) Particularités Deux droites sécantes sur le dessin ne sont pas forcément sécantes en réalité. L'égalité de deux longueurs n'est conservée que dans un même plan vu de face. Les angles représentés ne sont conservés que dans un plan vu de face. B) Solides usuels 1) Pavé droit ou incliné Soit L = largeur, p = profondeur, h = hauteur et a = longueur de l'arête inclinée : V =L p h et S=2( L p + L h + p a) page 1 / 5

2 2) Sphère R étant le rayon de la sphère, on aura : V = 4 π R et S=4 π R 2 ) Cône droit ou incliné V = π R2 h et A=π R 2 +π R R 2 +h 2 =π R(R+ h 2 +R 2 ) (cône droit) 4) Pyramide droite ou inclinée Droite : Inclinée : page 2 / 5

3 V = Aire(Base) h et Aire = Aire(Base) + Somme des aires des triangles 4) Cylindre droit ou incliné V = 4 π R2 h et : A=2π R 2 +2π R h=2π R(R+h) (droit) ou A=2π R 2 +2π R L=2π R(R+ L) (incliné) C) Plans dans l'espace 1) Définition Un plan peut être défini par points, par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite, par deux droites parallèles, ou par deux droites sécantes. Il peut aussi être défini par un point et un vecteur orthogonal à ce plan. Si deux points A et B sont dans un plan, toute la droite (AB) s'y trouve aussi. ) Intersection de deux plans Deux plans non parallèles se coupent suivant une droite. Par tout point situé en dehors d'un plan P passe un plan et un seul parallèle au plan P. Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux. 4) Intersection d'un plan avec un solide On appelle "section plane" ou "coupe" ces intersections. Connaissant trois points de dette section, on peut parfois (polyèdre) trouver sa forme. page / 5

4 Exemple : Trouver les formes possibles de l'intersection d'un plan avec un cube, puis avec une sphère. D) Droites dans l'espace 1) Définition Une droite peut être défini par 2 points, par un vecteur dont elle est la direction et un point, ou par un point et un plan perpendiculaire à cette droite. Deux droites parallèles ou deux droites sécantes appartiennent à un même plan. Par tout point de l'espace passe une seule droite parallèle à une droite donnée. ) Intersection de deux droites Deux droites qui ne se coupent pas peuvent ne pas être parallèles. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. 4) Intersection de droites et de plans Une droite et un plan sont soit parallèles (et ne se coupent pas), soit sécants avec un unique point commun. Les droites intersections de deux plans parallèles avec un troisième plan sont parallèles entre elles. Si deux droites sécantes sont parallèles respectivement à deux autres droites sécantes, les plans qu'elles définissent sont parallèles aussi. 5) Autres propriétés des droites et des plans Une droite parallèle une droite d'un plan est dans ce plan ou est parallèle à ce plan. Si (d) est l'intersection de deux plans P1 et P2, toute droite de P1 parallèle à une droite de P2 est parallèle à (d). E) Les solides de Platon 1) Définitions Un polyèdre est un solide dont les bords sont plans, comme le cube, le pavé doit, les pyramides dont la base est un polygone, etc... Les solides de Platon sont les polyèdres réguliers. Contrairement aux polygones réguliers, qui existent pour n'importe quel nombre de côtés, il n existe que cinq polyèdres réguliers. Le tétraèdre a 4 faces, le cube en a 6, l'octaèdre en a 8, le dodécaèdre en a 12 et l icosaèdre en a 20. Voici leur forme : page 4 / 5

5 Remarque : Est-ce ici une perspective cavalière?. Chaque face a la même aire et ce sont des polygones réguliers.. On peut en faire des dés, puisque leur symétrie permet de donner autant de chances à chaque face de se retrouver en haut (ou en bas). L icosaèdre peut servir de dé de dix si on écrit deux fois chaque chiffre de 1 à 10 (ou de 100 en allant de 10 en 10). page 5 / 5