Instabilité et flambement chapitre 11

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1 Instabilité et flambement chapitre Objectifs Comprendre le phénomène d instabilité Calculer la charge limite d une membrure rigide 6 Instabilité et flambement. Introduction. Stabilité d une membrure rigide.3 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne).4 Formule d Euler. Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée.6 Conception d une colonne.7 outre colonne (seulement.7.3).8 Déversement latéral des poutres (as de fichier).9 Voilement des sections à parois minces (as de fichier) 66

2 Instabilité Introduction Système en équilibre stable Système en équilibre neutre Système en équilibre instable 67 Instabilité Stabilité d une membrure rigide as de déformation Un chargement de tension définit un système en équilibre stable. Un chargement de compression met le système en équilibre instable. la membrure est articulée sur une rotule 68

3 Stabilité d une membrure rigide Membrure rigide retenue par un appui élastique our stabiliser la membrure sous un chargement en compression, on l attache à l aide d un ressort (appui élastique) Déterminer la force qui rend le système en équilibre neutre k Rappel: ressort F k 69 Stabilité d une membrure rigide. Membrure rigide retenue par un appui élastique. On applique une petite force latérale F; a membrure subit une rotation 3. On enlève la force F et la membrure demeure dans sa position inclinée si: M O k k k () k k F Ceci est la condition d équilibre neutre O O () (3) 7

4 équation d équilibre k a deu solutions :. = pour toute valeur de. = k pour toute valeur de << = k est appelé la charge critique cr. C est le chargement de transition entre la région d équilibre stable et celle d équilibre instable Région d équilibre instable cr k Région d équilibre neutre Comportement d un système idéal Région d équilibre stable Comportement d un système réel 7 Stabilité d une membrure rigide initialement inclinée Soit une membrure installée avec un décalage latéral qui représente les imperfections de la membrure. a membrure peut être déplacée d une distance de sa position verticale si : M O k e k ( e) ( k ) ( k ) e ( cr ) cr e k ( e) e / cr O 7

5 Stabilité d une membrure rigide initialement inclinée a condition d équilibre pour un système imparfait contenant un décalage initial est : e / cr où cr est la charge critique pour un système parfait. cr e e / cr 73 Eemple : Un vérin hydraulique articulé à sa base est chargé en compression. Déterminer la charge cr si le vérin est considéré comme une membrure rigide. outre cr Coulisseau Vérin k F outre Vérin k F rticulation F 3 3 E I ;k F 3 E I 3 E I ; k cr 3 3 E.. R des M 74

6 Rappel: En appliquant le théorème de Castigliano : a) es efforts internes entre et C M C M C d d E I E I y / y C B z V z M C 3 3 E I 7 roblème (pas dans le manuel) Calculer cr pour cette structure. es membrures B et BC sont rigides. a membrure DE est élastique et ne sert que de support latéral à la membrure B. es joints, D, B et C sont des rotules. E Solution B On applique une petite force latérale F a structure se déplace latéralement On enlève la force F et la structure demeure dans sa position inclinée si = cr C D 76

7 E E B C F B C D D cr cr k B État d équilibre neutre 77 F/ E cr C F C F B E F B F C D cr C F/ o M DC V F D B C cr Effort interne dans DC: MDC = F / F/ 78

8 Selon Castigliano, appliqué sur la membrure DE : M M DC d U C DC F E I F C où MDC = F / E 6 E I k C 3 3 C B C Rigidité équivalente de la structure D a membrure B est considérée rigide. our une membrure rigide retenue par un ressort, cr = k ou : cr U F d F F E I 3 E I F cr cr k B 6 E I 79 roblème (pas dans le manuel) Déterminer cr pour la membrure rigide C, en fonction des dimensions et. attache en B est une rotule. F B B C k Solution.. k k C k On applique une petite force latérale F. a structure se déplace d un angle. On enlève la force F et la structure demeure dans sa position inclinée si = cr B k C k 8

9 a membrure s incline d un angle : M B k ( ) k ( ) cr k B k k C Qu est-ce qui se passe lorsque k est très élevée? 8 Instabilité et flambement chapitre Objectifs Comprendre le développement mathématique de l équation différentielle d une membrure élastique (colonne) Démontrer les epressions de la charge critique cr en fonction des conditions limites d une membrure élastique Calculer la charge critique à l aide de la formule généralisée d Euler 8

10 Instabilité et flambement. Introduction. Stabilité d une membrure rigide.3 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne).4 Formule d Euler. Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée.6 Conception d une colonne.7 outre colonne (seulement.7.3).8 Déversement latéral des poutres (as de fichier).9 Voilement des sections à parois minces (as de fichier) 83 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne) Démonstration de l équation différentielle d une colonne y q() v v v Flèche q( ) M M V M v O V V 84

11 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne) q F y V (V V ) q( ) si M O V v M M ( M M ) V ( V V ) V V dv q( ) (.) d O M M v En divisant partout par et en négligeant les termes du second ordre, on obtient, si : dm dv V (.6) d d 8 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne) q En dérivant (.6) par rapport à : d M dv d v (.6a) d d d de (.8), on sait : M EI d v d V M v O M M V V (.8) En remplaçant (.8) et (.) dans (.6-a): d 4v d v EI 4 q( ) (.) d d EI est constant le long de Si q() = d 4v d v EI 4 (.) d d Équation d une poutre -colonne (section.7.3) Fleion et compression Équation d une colonne élastique Compression seulement 86

12 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne) a solution générale de est de la forme : d 4v d v EI 4 (.) d d v( ) C C C3 sin(n ) C4 cos(n ) (.) où n = /EI Ci : constantes d intégration à déterminer à partir des conditions au rives. Il faut connaître au moins quatre de ces conditions. es quatre conditions seront: le déplacement latéral v la pente = dv/d le moment fléchissant M l effort tranchant V 87 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne) es quatre conditions sont. Déplacement latéral v. ente () 3. Moment fléchissant M M ( ) d v C3n sin(n) C4 n cos(n) (.3) E I d 4. Effort tranchant V v( ) C C C3 sin(n) C4 cos(n) (.) ( ) dv C C3n cos(n) C4 n sin(n) (.) d V ( ) C n E I (obtenu de.6) (.4) 88

13 Stabilité d une membrure élastique en compression (colonne) Démontrer les valeurs de qui rendent le système d équations instables (lorsque v ) pour différentes conditions limites d une colonne élastique v() cr cr cr v() v() Et autres Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué (référence) Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral bloqué Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué cr v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) ( ) C C3 n cos(n ) C4 n sin( n ) M( ) C3 n sin( n ) C 4 n cos(n ) EI V ( ) n C n EI EI Rappel Conditions limites À = : v() v() C C 4 (a) M() / E I C 4 n (b) À=: v() C C C3 sin( n ) C 4 cos(n ) M() / E I C3 n sin( n ) C 4 n cos(n ) (c) (d) 9

14 Systèmes au valeurs propres de 4 équations à 4 inconnues v() C C4 (a) M () / E I C4 n (b) v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) (c) M ( ) / E I C3 n sin( n ) C4 n cos(n ) (d) Il y a deu solutions possibles Solution a solution triviale C = C = C3 = C4 = Cette solution ne permet pas d obtenir cr 9 Systèmes au valeurs propres de 4 équations à 4 inconnues v() C C4 (a) M () / E I C4 n (b) v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) (c) M ( ) / E I C3 n sin( n ) C4 n cos(n ) (d) Solution es éq. a) et b) C4 C l' éq. d) C3 sin( n ) car n l' éq. c) C EI À = cr, le système est en état d équilibre neutre et la flèche a une valeur quelconque a valeur de C3 est donc arbitraire, mais non -nulle. C = C = C4 = et C3 9

15 Systèmes au valeurs propres de 4 équations à 4 inconnues v() C C4 (a) M () / E I C4 n (b) v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) (c) M ( ) / E I C3 n sin( n ) C4 n cos(n ) (d) Solution (suite) C uisque C3, D où : ; C ; C3 sin( n ) ; C4 sin(n ) =, ou n =,, 3,.,N N EI N cr EI n (Complément à la section.3.3 à.3. incl.) our trouver cr seulement, il est plus simple de solutionner le système au valeurs propres en écrivant les équations sous forme matricielle 93 Interprétation physique des solutions Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué (fig..) cr N cr cr / 4 E I N Instable cr E I N Stable v() / cr v( ) C3 sin / N cr v( ) C3 sin / cr 94

16 .3.3 Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué cr v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) ( ) C C3 n cos(n ) C4 n sin( n ) M( ) C3 n sin( n ) C 4 n cos(n ) EI V ( ) n C n EI EI v() M () /E I v() M ()/E I Rappel v() C - n C sin(n) cos(n) C3 - n sin n - n cos n C Colonne rotule-rotule, déplacement latéral bloqué v() M () /E I v() M ()/E I C - n C sin(n) cos(n) - n sin n - n cos n n sin(n) - n sin n n cr C3 v() C4 sin(n) - n sin n n ( n ) sin( n) n 4 sin( n) sin( n) n,,..., N n cr EI cr EI 96

17 .3. Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) (a) M( ) C3 n sin( n ) C 4 n cos(n ) EI ( ) C C3 n cos(n ) C 4 n sin( n ) (b) n (c) EI v() Conditions limites À = : v() C C4 () C C3 n À = : v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) M ( ) / E I C3 n sin( n ) C4 n cos(n ) Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué v() C C4 () C C3 n v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) M ( ) / E I v() () v( ) M ( ) EI n EI v() C3 n sin( n ) C4 n cos(n ) C n sin n C n sin n n cos n cos n C3 C4 98

18 .3. Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué C n sin n C n sin n n cos n Solution triviale : cos n C3 C4 v() C C C3 C4 v utre solution : dét = = n 3 cos (n ) n sin (n ) tg n n Colonne encastrée-rotule, déplacement latéral bloqué Solution (suite) Ceci est ce que l on appelle une équation transcendante. es méthodes de solution d une telle équation sont la méthode graphique ou la méthode itérative n,43 n EI f ( n ) n tg (n ) n f ( n ),43 cr EI n d où : E I cr /,7 3 /,43 f (n ) tg (n )

19 Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral permis à = * v( ) C C C3 sin( n ) C4 cos(n ) ( ) C C3 n cos(n ) C4 n sin( n ) M ( ) / E I C3 n sin( n ) C4 n cos(n ) V ( ) / E I C n cr Conditions au rives À = : v() C C4 () C C3 n À=: cr Fig..(f) V ( ) / E I C n ( ) C C3n cos(n ) C4 n sin(n ) *: Complément à la section.3 du manuel R de M Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral permis à = v() () V() EI () C n C - n n cos n C3 - n sin n C4 n - n n cos n - n sin n n ( n ) sin( n) sin( n) n,,..., N n n n cos(n) n cr EI cr - n sin n EI

20 Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral bloqué à = cr v() () v() C n C sin n cos n n cos n - n sin n () C3 v() C4 Fig..(c) n sin(n) n cos n cos(n) n sin(n) n cos n - n sin n n sin( n) cos(n) 3 Colonne encastrée-encastrée, déplacement latéral bloqué à = v() () v() () C n C sin n n cos n C3 cos n C4 - n sin n n sin( n) cos(n) n N vec N v() Fig..(c) Équation à résoudre avec méthode numérique Solution cr où N,,... n cr ( ) EI cr EI (,) 4

21 Formule d Euler On appelle la formule : cr EI la formule d Euler, mathématicien Suisse qui a développé le premier cette formule. Depuis, la formule d Euler a été généralisée sous la forme: EI cr K dans laquelle on appelle le facteur (K ) la longueur équivalente. K est la longueur de la colonne d Euler (rotule-rotule) qui a la même rigidité que celle considérée cr K, K,7 EI E I cr cr cr,7 v() K, cr K, E I, cr EI Fig...a) Fig...d et e) Fig...b) Fig...c) Fig...f) Rotule-rotule Encastré-libre ou encastré-rotule Déplacement latéral permis Encastré-rotule Encastré-encastré Encastré-encastré Déplacement latéral bloqué Déplacement latéral bloqué Déplacement latéral permis Déplacement latéral bloqué cr v() EI cr ou K, cr cr cr cr v() 6

22 Formule d Euler On rencontre aussi la formule d Euler eprimée sous la forme où (K/r) est appelé le facteur d élancement r est le rayon de giration* où I est le second moment de surface de la section est l aire de cette section r cr E K r I our faire la conception des pièces en compression, il faut considérer : la stabilité de la pièce comme une colonne, cr la résistance du matériau dont est fabriquée la pièce, cr a résistance fait intervenir la notion de contrainte cr Flambement cr cr E K r Écoulement (chargement uniaial seul.) SY *: Voir ppendice C, manuel R des M 7 Contenu imites d applications de la formule d Euler (.4.) Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) Utiliser le code CNOR pour la conception d une colonne (.6) Utiliser le code CNOR pour la conception d une poutre-colonne (fleion dans plan et fleion dans plans) Introduction de notions avancées comme le déversement latéral, voilement, flambement de plaques minces (.8 et.9) 8

23 imites d application de la formule d Euler (.4.) cr c SY Sp ET = d /d Module tangent b c cr d d SY Sp b cr ET ( K / r ) E ( K / r ) E = / Module d Young a a K/r Cp où Sp est la limite de proportionnalité (fin du régime linéaire) en b : S E cr p ( K / r ) E Cp E K Cp Sp r p Note: - la formule d Euler est limitée au domaine élastique - le plus petit facteur d élancement possible est Cp 9 Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) e Conditions au rives v() = M() = - e / vma - équilibre est fait sur la structure déformée / v () Notes: - Ce n est pas un système au valeurs propres - e système est instable lorsque vma v() = M() = - e

24 Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) e Équations générales v() = C + C + C3sin(n) + C4cos(n) M() / EI = - C3nsin(n) - C4ncos(n) / vma / v () orsque = et = v() = C + C4 = M() / EI = - C4n = -e/ei = -en v() = C + C + C3sin(n) + C4cos(n) = M() / EI = - C3nsin(n) - C4ncos(n) = -en EI Rappel: n Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) e Représentation matricielle / vma / v () en en C n C sin n cos n C3 n sin n n cos n C4 Solution C4 = e C = -e C = C3 = e(-cosn)/sinn

25 Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) e Epression de la flèche devient (pas arbitraire) sin n v( ) e ( cos n) cos n sin n e sin n sin n( ) sin n v( ) sin n / vma / v () Flèche maimale à = / n sin e sec n vma e sin n vec la propriété: sinn = sin(n/) cos(n/) et: sec() = /cos() 3 Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) e Flèche maimale vma e sec EI Formule de la sécante Flèche devient instable (vma ) lorsque / donc, vma / v () cos(n/) = cos( /) cr EI EI cr Force en compression qui rend le système instable 4

26 Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) vec l epression du cr cr EI EI cr Rapport de charge / cr En remplaçant /EI dans l epression de la flèche maimale vma e sec cr e = e =. e =. Flèche maimale, vma Colonne rotule-rotule soumise à une charge ecentrée (.) e Évaluation de la contrainte maimale dans la colonne en fleion en compression σ ma / M mac (e vma )c I r bras de levier rayon de giration vma SY / v () hilosophie du code CNOR 6

27 Conception d une colonne (.6) Code: CNOR S6-969, CNOR S6.-m78, CNOR S6.-94 (ssociation canadienne de normalisation) 7 Conception d une colonne (.6) Code:CNOR S6-969 = délimité en 3 régions Colonnes trapues Facteur d élancement K Co r Contrainte Sa,6SY Colonnes moyennes Co K Cp r Similaire à Euler Co 3 SY 34, Cp E SY 9,6SY m K r E Cp K Co Sa,6SY m r Vérifie l écoulement aramètres: Colonnes élancées Sa K,9 r 6 Cp C p Co ~ Sp 8

28 Conception d une colonne (.6) Code:CNOR S6.-M78 = délimité en régions Introduction d un nouveau paramètre: (coefficient d élancement normalisé) K SY r E Déterminer la résistance pondérée (Cr) d une colonne Cr = SY (,) Vérifie l écoulement Cr = SY (,3, -, ) (, ) Cr = SY (-, +, ,87 -) ( ) Cr = SY (,9 +,877 -) ( 3,6) Cr = SY - (3,6 ) Similaire à Euler où est le coefficient d efficacité (e. =,6) 9 Conception d une colonne (.6) Norme S de l CNOR Conception d une colonne en acier selon la méthode CE CE: Calcul au états limites (résistance et charge pondérées) Résistance pondérée (Cr) est donnée par la formule empirique: Cr SY ( n ) / n = aire de la section de la colonne SY = limite d écoulement du matériau n = paramètre qui dépend du procédé de fabrication du profilé n =,34 pour profilés laminés à froid sans traitement de relaation des contraintes résiduelles (plus défavorable) n =,4 pour profilés avec traitement de relaation des contraintes résiduelles = coefficient de tenue de la colonne (selon la variabilité statistique de la résistance des matériau (e.,9)

29 Conception d une colonne (.6) Norme S de l CNOR Design d un élément structural en compression selon la méthode CE est acceptable si la charge pondérée est inférieure à la résistance pondérée D D ( WW T T ) Cr Résistance pondérée Charge pondérée D = charge permanente = charge d eploitation W = surcharge due au vent T = surcharge due au changements de température D,, W, T = facteurs de pondération des charges (e. =,) = coefficient de simultanéité des charges = coefficient de risque Dans notre cas: Cr outres-colonnes (.7) Structure chargée en compression et fleion w d 4v d v Équation fondamentale: EI 4 q( ) d d Solution de l équation: v( ) C C C3 sin n C4 cos n v p ( ) a solution eacte de l équation différentielle ne sera pas discutée dans ce cours. Nous aborderons une méthode de résolution approimative.

30 outres-colonnes (.7) Méthode de résolution approimative w Fleion seulement v*(): flèche avec = M*(): moment interne avec = v*() w Fleion et compression (amplification) v*() v() = v*()famp M() = M*()Famp v () Famp Facteur d amplification: Famp cr Charge critique (Euler),, /cr 3 outres-colonnes (.7)w Méthode de résolution approimative: v () Comparaison avec la solution eacte cr Fleion seulement (en utilisant Famp) v et M à la mi-longueur 4

31 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Fleion dans plans (selon le code CNOR) C Famp / z M z Famp / y M y, Cr M rz M ry C: charge aiale en compression sur la poutre-colonne Cr: charge aiale maimale permise en compression lorsque toutes les autres charges sont nulles Mz, My: moment de fleion maimal par rapport à z ou y, respectivement Mrz, Mry: moment de fleion maimal à l écoulement permis par rapport à z ou y, lorsque toutes les autres charges sont nulles; (MY)y ou (MY)z Famp/z, Famp/y: facteurs d amplification des moments de fleion par rapport à z ou y, respectivement outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Fleion dans plans (selon le code CNOR) V C =. Famp / z,/ y Formule d Euler C cr cr EI z, y (K) : Facteur de pondération à appliquer sur toutes les charges M Fleion plans: prendre le Cr le plus critique Identifier les ma à partir des diagrammes V et M Mz,y =.Mzma,yma C Famp / z M z Famp / y M y, Cr M rz M ry Cr SY ( n ) / n K SY rz, y E Moments de fleion au début de l écoulement Mrz,y =.Sz,y.SY Fleion plans: utiliser le plus grand rz, y I z, y Sz, y I z, y c 6

32 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Fleion dans plan (selon le code CNOR) () lan en compression uniquement C, Cr Calculé avec le de ce plan () lan en fleion et compression C Famp / i M i, Cri M ri Où i = z ou y 7 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné roblème: fleion dans plans QUESTION: Vérifier si le cadre a une capacité suffisante pour résister au chargement eterne illustrée Structure d acier (E = Ga, SY = 3 Ma) ondération de charge, =, Coefficient de tenue, =,9 cier laminé à froid (n =,34) ropriétés de la section Iy = 6,3 6 mm4 ; Sy = 3 mm3 Iz = 8,8 6 mm4 ; Sz = 8 3 mm3 = 36 mm Figure de l eemple.7 8

33 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution Identifier s il y a fleion dans ou plans (diagramme V et M) lan -y (fleion autour de z) 8 kn 3 kn =4m y Vy Mz Mzma = 3 kn * 4m = kn.m Condition limite: encastrée libre (K = ) 9 Simulation ÉF (vue de profil) Déformation amplifiée fois 3

34 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution Identifier s il y a fleion dans ou plans (diagramme V et M) roblème hyperstatique: trouver MB =? lan -z (fleion autour de y) 6 kn () pproche énergétique avec Castigliano () Truc du point d infleion [voir document supplémentaire sur le site] M = MB = kn.m 8 MB, kn kn =4m z, M 8 Vz My Myma = M = MB = kn.m Condition limite: encastrée encastrée avec déplacement latéral permis (K = ) 3 Simulation ÉF (vue de face) Déformation amplifiée. fois 3

35 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution ondération de toutes les charges C = α. =, * 8 = kn Mz = α. Mzma =, * = 8 kn.m My = α. Myma =, * = 7, kn.m Valeurs à utiliser pour tous les autres calculs Capacité de résistance des colonnes en compression pure (calcul de Cr) lan -y: lan -z: K 4,8 7, r z K 4 9, 4 r y Coefficients d élancement our la fleion dans plans: prendre la valeur la plus grande 33 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution Capacité de résistance des colonnes en compression pure (calcul de Cr) (suite) K SY 3,8, 47 r E 3 Cr SY n / n, (, 47,68 ) /,34 Cr 47,4 kn n =,34 (pas de traitement pour relaer les contraintes résiduelles) 34

36 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution Capacité de résistance des colonnes en fleion seulement: plan -y (fleion autour de z) u début de l écoulement (MY)z Mrz = SzSY =, = 8,8 kn.m cr / z EI z ( K) 3 8,8 6, 4 Formule d Euler cr / z 79,84 kn rendre K dans le plan approprié Famp / z, 6 C cr / z 79,84 Facteur d amplification 3 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution Capacité de résistance des colonnes en fleion seulement: plan -z (fleion autour de y) u début de l écoulement (MY)y Mry = SySY =,9 3 3 = 39,38 kn.m cr / y EI y ( K) 3 6,3 6, 4 Formule d Euler cr / y 783, 4 kn rendre K dans le plan approprié Famp / y,8 C cr / y 783, 4 Facteur d amplification 36

37 outres-colonnes (.7.4) Chargement combiné Solution Capacité de résistance des colonnes C Famp / z M z Famp / y M y, Cr M rz M ry Rappel du code CNOR, 6 8,8 7,,9 47,4 8, 8 39,38 Donc, le cadre possède une capacité de résistance suffisante. 37 Déversement latéral des poutres (.8) Eemple d une poutre encastrée-libre Moment fléchissant: Mz Flambement Fleion latérale Rotation autour de l ae longitudinal Mz ² d ² m² où m² d² EI y GJ Rectangulaire outre en I ( M z )cr EI y GJ fleion fleion E ( M z )cr EI y GJ I y Cw w torsion Coefficient de gauchissement fleion 38

38 Voilement ou flambement local des sections à parois minces (.9) Solution théorique (domaine élastique) cr K E b ( ) t où K = condition d appui b/t = rapport d élancement de la plaque Considération d ordre pratique b B t SY où B = constante qui dépend de la partie considérée dans la section (phénomène localisé) 39 Illustration du flambement Flambement d un rail causé par l élévation de température (Source: MEC 43 Mécanique des Milieu Continus I, Jean-Jacques Marigo, école olytechnique) Flambement d une canette métallique (Source: ETUDE DE RESISTNCE U FMBEMENT DE CNETTES METIQUES, ENSM ère année, Mécanique des Matériau Solides) Flambement d une colonne (Source: Interdisciplinary Research Drivers and Serendipity Factor: n pplied Mechanics erspective, Chih-Kung ee & al.) 4

39 Formulaire type à l eamen Instabilité et flambement cr cr r EI K cr E K r I Code CNOR Fleion plans Fleion plan Cr SY n n K SY r E Famp C cr C Famp M z Famp M y Cr M rz M ry C C Famp / i M i,, Cr Cri M ri 4 4

40 43 44