NOMBRES COMPLEXES. I Définition - Représentation géométrique. II Forme trigonométrique - Module - Argument. Exercice 01 Apprendre le cours!...

Transcription

1 NOMBRES COMPLEXES I Définition - Représentation géométrique Exercice 0 Apprendre le cours!... Exercice 0 Soit z + i ; z' i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' ; z - z' ; z - z' ; z.z' ; z (Si votre calculatrice permet de travailler sur les nombres complexes, vérifier le résultat) Exercice 0 Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z + i ; z + i ; z - + i ; z - i ; z 5 i z 6 -i ; z 7 ; z 8 -i - ; z 9 z - z ; z 0 z (z - z ) Exercice 0 Étant donné un point M d'affixe z a + bi, avec a et b réels. Placer le point M' d'affixe z' a - bi, le point M" d'affixe z" -a + bi, le point M"' d'affixe z"' -a - bi - z. Exercice 05 ) Calculer ( + i)( - i). En déduire la forme algébrique de + i ) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes : ; + i - i ; i Exercice 06 Soit z + 5i et z' - + i. Calculer z ; z' ; z + z' ; z + z' ; z + z' ; z. z' ; zz' ; zz'. Exercice 07 ) Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants : ; ; - i ; i ; + i + 7i - i 5 + i - i i ) Résoudre l'équation ( + i)z - i, donner la solution sous la forme algébrique. ) Le nombre complexe - i est-il solution de l'équation ( - i)z + + i 0? ) Le nombre complexe + i est-il solution de l'équation 5z - z + 0? 5 5 ) Écrire plus simplement le nombre complexe 7 + 5i 7 - i i 7 + 5i II Forme trigonométrique - Module - Argument Exercice 08 ) Calculer le module de chacun des nombres complexes : z + i z - i z 5 - i z TS Nombres complexes page / 8

2 z 5 i - z 6 i z 7-5 z 8 + i ) Donner les formes trigonométriques de : z + i z + i z - i z i Exercice 09 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; u, v ), on considère les points A et B d'affixes respectives a - i et b 5 - i. Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB. Exercice 0 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; u, v ). Les questions sont totalement indépendantes. ) Calculer le module des nombres complexes suivants : (7 + 5i)( + i) ; 7-5i - i ) Déterminer tous les points M d'affixe z tels que z z. ) On considère le point A d'affixe ( + i). Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z - ( + i) 5. ) Soit j - + i. Calculer j. Démontrer que j j. En déduire que j. (On dit que j est une racine cubique de ) ; (5 + i)( + i) + i Exercice Ecrire sous la forme trigonométrique (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ' ) et cos θ + i sin θ Exercice Soit z + i et z + i. Écrire z et z sous la forme trigonométrique. En déduire les formes trigonométriques de z x z ; z z ; (z ) ; z ; - z ; (z ) z Exercice On considère les nombres complexes : z e i π ; z e i π et Z z z. ) Donner la forme exponentielle de Z. ) Donner les formes algébriques de z et z. En déduire la forme algébrique de Z. ) En déduire les valeurs exactes de cos π et sin π. Exercice Écrire sous la forme exponentielle ou sous la forme trigonométrique les nombres complexes : a + i ; b - i ; c 5 + i 7 - i ; d - cos π 6 + i sin π 6 III Utilisation en Géométrie Exercice 5 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; u, v ), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b + i et c + + i TS Nombres complexes page / 8

3 Calculer c - a b - a et l'écrire sous la forme exponentielle. En déduire la nature du triangle ABC. Exercice 6 Le plan complexe est rapporté au repère (O; u, v ). On considère la translation t de vecteur w d'affixe w + i, l'homothétie h de centre A d'affixe a + i et de rapport - et la rotation r de centre B d'affixe b - i et d'angle π. Soit M le point d'affixe z. ) Soit M d'affixe z l'image de M par t. Donner l'affixe du vecteur MM. En déduire l'expression de z en fonction de z. ) Soit M d'affixe z l'image de M par h. Exprimer le vecteur AM en fonction du vecteur AM. En déduire l'expression de z en fonction de z. ) Soit M d'affixe z l'image de M par r. Déterminer BM et ( BM, BM BM ). En déduire le module et l'argument de z - b z - b. En déduire l'expression de z en fonction de z. ) Utiliser les résultats précédents pour trouver les affixes des images par t, h et r du point O. Exercice 7 Reconnaître la transformation du plan qui au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' avec : z' z - + i ; z' ( + i) z ; z' - z ; z'- i (z - i) ; z' - i z ; z' + i z + i. Exercice 8 Donner l'écriture complexe de la translation de vecteur V( ; ), de l'homothétie de centre A d'affixe - + i et de rapport - et de la rotation de centre B d'affixe - i et d'angle π 6. Exercice 9 Étant donnés A( + i) et B( - i), déterminer les affixes des points M tels que ABM soit un triangle équilatéral. IV Équation du second degré à coefficients réels Exercice 0 ) On considère l'équation (E) : z - z a) Montrer que : (E) (z - ) [(z - ) - )][(z - ) + ] 0. b) En déduire les solutions de (E). ) On considère l'équation (F) : z - z + 0. a) Montrer que : (F) (z - ) b) En remarquant que 9 - (i), trouver les solutions de (F). Exercice Résoudre dans CI, les équations : z - z ; z + z - 0 ; z - z + 0 ; z - 5z Exercice Résoudre dans CI, les équations : TS Nombres complexes page / 8

4 z + z ; z - ( + cos θ)z + + cos θ 0 où θ est un réel fixé ; z + z + 0 NOMBRES COMPLEXES Correction Exercices Exercice 0 z + i ; z' i - 5. z + z' + i + i i z - z' + i - (i - 5) + i - i i z - z' ( + i) - (i - 5) + 6i - i i z.z' ( + i)(i - 5) i i - 5i i i - - i z ( + i) + x x i + (i) + i + 9i + i i Exercice 0 z + i ; z + i ; z - + i ; z - i ; z 5 i ; z 6 -i ; z 7 ; z 8 -i - z 9 z - z ( + i) - ( + i) + 6i i -5 + i z 0 z (z - z ) (- + i)( - i - - i) (- + i)(- - i) - (i) + 5 M 9 M M M 5 M M 7 O M 0 M 8 M 6 M Exercice 0 M''(-a+bi) b M(a+bi) -a a TS Nombres complexes page / 8

5 M'''(-a-bi) Exercice 05 -b M'(a-bi) ) ( + i)( - i) () - -(i) 9 - (-) 9 + De l'égalité ( + i)( - i) on peut alors déduire - i La forme algébrique de + i est donc - i + i donc - i + i Le résultat peut être éventuellement vérifié par la calculatrice : ) On a ( + i)( - i) - (i) - (-) + Donc - i - i c'est-à-dire + i + i La forme algébrique de + i est donc ( - i)( + i) - (i) 9 - (-) 0 Donc + i 0 + i c'est-à-dire - i 0 - i La forme algébrique de - i est donc - i i i x (-i) - i donc - i i La forme algébrique de i est donc - i Les résultats peuvent être éventuellement vérifiés par la calculatrice : Exercice 06 Soient z + 5i et z' - + i. z - 5i z' - - i z + z' - 5i - - i - 8i z + z' + 5i - + i + 8i z + z' + 8i - 8i z. z' ( - 5i)(- - i) -6-9i + 0i +5i -6 + i i zz' ( + 5i)(- + i) i - 0i +5i -6 - i i TS Nombres complexes page 5 / 8

6 zz' - - i - + i Exercice 07 ) + 7i - 7i ( + 7i)( - 7i) - 7i - (7i) - 7i i - i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) + i ( - i)( + i) - i + - i ( - i)(5 - i) 5 + i (5 + i)(5 - i) 0-6i - 5i + i 0 - i (i) i i - i i( + i) ( - i)( + i) i - i - (i) i i + i i ( + i)(i) i i i ) ( + i)z - i z - i + i z ( - i)( - i) ( + i)( - i) - i - i + i z - i z - 5i - + L'équation a pour solution - 5 i z - 5 i ) Pour savoir si le nombre complexe - i est solution de l'équation ( - i)z + + i 0 on peut, soit résoudre l'équation, soit faire une vérification. Utilisons la deuxième méthode : avec z - i, on obtient ( - i)z + + i ( - i)( - i) + + i - i - i + i + + i - i i - i n'est donc pas solution de l'équation proposée. La résolution de l'équation donne comme unique solution - i ) Avec z + i 5, on obtient 5z - z i - + i i i i + 9i i - - 6i i i est donc une solution de l'équation. 5 Mais ce calcul ne prouve pas que c'est la seule solution. La résolution de l'équation (voir paragraphe V) donne solutions : + i - i et i 5 ) 7 - i i 7 + 5i ( 7 + 5i)( 7 + i) ( 7 - i)( 7 + i) + 7 i i i i + + ( 7 - i)( 7-5i) ( 7 + 5i)( 7-5i) i - 7 i TS Nombres complexes page 6 / 8

7 Exercice 08 Pour la calculatrice TI89, le module d'un nombre complexe est donné, comme la valeur absolue d'un nombre réel par la fonction abs() ) z + i z + i z - i z - i + (-) + z 5 - i z 5 - i z z ( IR et la valeur absolue de est ) z 5 i - z 5 i i (-) + 7 z 6 i z 6 i 0 + i 0 + z 7-5 z (-5 IR et la valeur absolue de -5 est 5) z 8 + i z 8 + i + + ) La forme trigonométrique de z est une écriture z r(cos θ + i sin θ) avec r OM z et θ IR z + i on a alors r z OM + On peut écrire z + i + i cos π + i sin π La forme trigonométrique de z est z cos π + i sin π π M (+i) z + i on a alors r z OM + + On peut donc écrire z + i cos π 6 + i sin π 6 La forme trigonométrique de z est z cos π 6 + i sin π 6 π 6 M ( +i) z - i on a alors r z OM + (- ) + TS Nombres complexes page 7 / 8

8 On peut donc écrire z + i - cos - π + i sin - π La forme trigonométrique de z est z cos - π + i sin - π - π M (-i ) z i on a alors r z OM i On peut écrire z (0 + i) cos π + i sin π La forme trigonométrique de z est z cos π + i sin π M (i) π Exercice 09 On a OA a - i + (-) OB b 5 - i 5 + (-) 6 AB b - a 5 - i - ( - i) + i + On remarque que OA AB, donc le triangle OAB est isocèle de sommet principal A. De plus OA + AB OB, on en déduit que le triangle est rectangle en A. Le triangle OAB est donc rectangle isocèle en A. O B A TS Nombres complexes page 8 / 8

9 Exercice 0 ) On peut écrire (7 + 5i)( + i) 7( + 5i)( + i). Donc (7 + 5i)( + i) 7 x ( + 5i) x ( + i) 7 x + 5 x On en déduit (7 + 5i)( + i) 7 x x 9 On pourrait aussi écrire (7 + 5i)( + i) + i + 05i + 70i i i Donc (7 + 5i)( + i) (-9) La première méthode permet de faire des calculs plus simples. 7-5i - i 7-5i - i 7 x - 5i - i 7 + (-5) (-) 7 7 On pourrait aussi écrire 7-5i - i Alors (7-5i)( + i) ( - i)( + i) + i - 05i - 70i + 7-5i - i 9-9i 7( - i) 7 x - i 7 + (-) 7 7-7i 7( - i) (5 + i)( + i) + i 5 + i x + i + i On pourrait aussi écrire (5 + i)( + i) 5 + 5i + i + i + i + i Donc (5 + i)( + i) + i + 8i + i 6 + (-0) ( + 8i)( - i) ( + i)( - i) i + i - 8i 6-0i + 7 ) Soit M un point d'affixe z On peut écrire z z z z OM L'ensemble des points M tels que z z est donc le cercle de centre O et de rayon. ) A étant le point d'affixe ( + i) et M le point d'affixe z, on sait que z - ( + i) AM Alors z - ( + i) 5 AM 5 L'ensemble des points M tels que z - ( + i) 5 est donc le cercle de centre A et de rayon 5. ) j - + i, donc j j - + i - i + i - i i j On peut en déduire j j x j j x j j TS Nombres complexes page 9 / 8

10 Exercice (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ' ) cos θ cos θ' + i cos θ sin θ' + i sin θ cos θ' + i sin θ sin θ' cos θ cos θ' - sin θ sin θ'+ i (cos θ sin θ' + sin θ cos θ' )' cos(θ + θ') + i sin(θ + θ') (En utilisant les formules d'addition) (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ' ) a donc pour forme trigonométrique cos(θ + θ') + i sin(θ + θ') cos θ + i sin θ cos θ - i sin θ cos(-θ) + i sin(-θ) (cos θ + i sin θ)(cos θ - i sin θ) cos θ + sin cos(-θ) + i sin(-θ) θ a donc pour forme trigonométrique cos(-θ) + i sin(-θ) cos θ + i sin θ Exercice z + i, on a donc z + i + i + On peut alors écrire z + i + i cos π + i sin π La forme trigonométrique de z est cos π + i sin π z + i, on peut donc écrire z + i cos π + i sin π La forme trigonométrique de z est cos π + i sin π On peut alors écrire z x z cos π + i sin π x cos π + i sin π cos π + π + i sin π + π Donc la forme trigonométrique de z x z est : z x z cos 7π + i sin 7π cos π z + i sin π z cos π + i sin π cos π - π + i sin π - π cos - π + i sin - π Donc la forme trigonométrique de z z est : cos - π z z + i sin - π (z ) cos π + i sin π ( ) cos π + i sin π 8 x cos π + i sin π Donc la forme trigonométrique de (z ) est : (z ) 6 cos π + i sin π La forme trigonométrique de z est cos π + i sin π Donc la forme trigonométrique de z est z cos - π + i sin - π La forme trigonométrique de z est cos π + i sin π Donc la forme trigonométrique de - z est - z cos π + π + i sin π + π La forme trigonométrique de - z est - z cos π + i sin π TS Nombres complexes page 0 / 8

11 On a z cos π + i sin π, donc (z ) cos π + i sin π ( ) cos π x + i sin π x donc (z ) 8 cos π + i sin π z cos π + i sin π donc z cos - π + i sin - π (z ) 8 cos π + i sin π / cos - π + i sin - π 8 cos π + π + i sin π + π z La forme trigonométrique de (z ) z est cos 5π + i sin 5π 6 6 Exercice ) On a z e i π et, donc Z z e i π z e i π e i π ( - π ) e i π Z a pour forme exponentielle e i π ) z e i π cos π + i sin π + i. La forme algébrique de z est z + i z e i π cos π + i sin π + i. La forme algébrique de z est z + i On a Z z z z z z z z z z z z (car z est un nombre complexe de module ) Donc Z + i - i La forme algébrique de Z est Z i 6 - ) On sait aussi que Z e i π cos π + i sin π. - i + 6 i On a donc cos π + i sin π i La forme algébrique d'un nombre complexe étant unique, on en déduit que : cos π 6 + et sin π i 6 - Exercice Avec la TI 89, pour obtenir les nombres complexes sous la forme exponentielle, sélectionner MODE Format Complexe POLAIRE (les angles doivent être exprimés en radians) Avec la TI 89, pour obtenir les nombres complexes sous la forme algébrique, sélectionner MODE Format Complexe RECTANGULAIRE a + i, donc a Donc a + i + i cos π 6 + i sin π 6 La forme trigonométrique de a est a cos π 6 + i sin π 6 La forme exponentielle de a est a e i π 6 TS Nombres complexes page / 8

12 b - i On peut exprimer de façon immédiate le numérateur et le dénominateur sous la forme trigonométrique ou exponentielle : e i 0 et - i e - i π (voir dessin) On en déduit b e i 0 e - i π e i π La forme trigonométrique de b est b cos π + i sin π - π La forme exponentielle de b est b e i π -i c 5 + i 7 - i Le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas s'exprimer de façon simple sous la forme trigonométrique ou exponentielle. Cherchons d'abord la forme algébrique de c. c 5 + i (5 + i )(7 + i ) 5 + 0i + 77i - x i 7 - i (7 - i )(7 + i ) x 97 La forme trigonométrique de c apparaît alors de façon quasi immédiate : c - + i cos π + i sin π La forme trigonométrique de c est c cos π + i sin π La forme exponentielle de c est c e i π -+i - + i π d - cos π 6 + i sin π 6 - e i π 6 Attention, d n'est pas ainsi écrit sous la forme trigonométrique ou exponentielle puisque - est un nombre réel négatif. Sachant que - e i π, on peut écrire d e i π e i π 6 e i π + ( π 6 ) e i 7π 6 e - i 5π 6 La forme trigonométrique de d est d cos 7π + i sin 7π 6 6 La forme exponentielle de d est d e i 7π 6 TS Nombres complexes page / 8

13 Exercice 5 A, B et C ayant pour affixes respectives a, b + i et c + + i c - a b - a + + i - + i - + i i ( + i)i i - + i - - i e - i π On sait que AC AB c - a b - a et ( AB, AC) arg c - a b - a donc [π] AC AB e - i π donc AC AB donc ( AB, AC) arg e - i π - π [π] On en déduit que le triangle ABC est équilatéral. B C A Exercice 6 ) M est l'image de M par t, on a donc MM u Sachant que MM a pour affixe z - z, on en déduit que z - z + i Donc z z + + i et par conséquent MM a pour affixe + i. ) M est l'image de M par h, on a donc par définition AM - AM. Sachant que AM a pour affixe z - a et que AM a pour affixe z - a, on en déduit z - a - (z - a), donc z - - i - (z - - i) c'est-à-dire z - - i - z + + 6i donc z - z + + 6i + + i On obtient finalement z - z i ) M est l'image de M par r, on a donc par définition BM BM et ( BM, BM ) π [π] Donc BM BM et ( BM, BM ) π [π] TS Nombres complexes page / 8

14 On sait que BM BM z - b z - b et ( BM, BM ) arg z - b z - b On en déduit que z - b z - b a pour module et pour argument π On a donc z - b z - b e i π donc z - b e i π (z - b) c'est-à-dire z - + i + i (z - + i) donc z + i z - - i + i i On obtient finalement z + i z i - i ) O a pour affixe 0. Les résultats précédents permettent de donner les affixes de t(o), h(o) et r(o). t(o) a pour affixe z i donc t(o) a pour affixe + i h(o) a pour affixe z - x i donc h(o) a pour affixe 5 + 0i r(o) a pour affixe z + i donc r(o) a pour affixe - - i - i x i - i Exercice 7 z' z - + i est de la forme z' z + b avec b - + i L'application est la translation de vecteur V d'affixe b - + i z' ( + i) z z' + i z z' e i π z z' - 0 e i π (z - 0) L'application est la rotation de centre O et d'angle π. z' - z (z' - 0) (-)(z - 0) L'application est l'homothétie de centre O et de rapport -. C'est aussi la rotation de centre O et d'angle π : on peut écrire (z' - 0) e i π (z - 0) et aussi la symétrie centrale de centre O. z'- i (z - i) L'application est l'homothétie de centre Ω d'affixe i et de rapport. z' - i z z' e - i π z L'application est la rotation de centre O et d'angle - π. z' + i z + i z' + i (z + ) z' + e i π (z + ) L'application est la rotation de centre Ω d'affixe - et d'angle π. TS Nombres complexes page / 8

15 Exercice8 Le vecteur V( ; ) a pour affixe + i L'écriture complexe de la translation de vecteur V est donc z' z + + i L'homothétie de centre A d'affixe - + i et de rapport - est caractérisée par : z' - (- + i) - [z - (- + i)] c'est-à-dire z' + - i -z - + i donc z' -z - + i - + i L'écriture complexe de l'homothétie de centre A d'affixe - + i et de rapport - est z' -z - + i La rotation de centre B d'affixe - i et d'angle π est caractérisée par : 6 z' - ( - i) e i π 6 [z - ( - i)] c'est-à-dire z' - + i + i (z - + i) z' - + i + i z - + i - i + i donc z' + i z - + i - i i La rotation de centre B d'affixe - i et d'angle π a pour écriture complexe : 6 z' + i z - + i - 5i Exercice Étant donnés deux points distincts A et B, il existe deux points C et D répondant à la question. C π B A - π On peut caractériser C comme étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle π D et D comme étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle - π. C étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle π, on a : z C - z A e i π (z B - z A ) donc z C e i π (z B - z A ) + z A On obtient z C + i ( - i - - i) + + i + i ( - i) + + i donc z C - i + i i + + i - TS Nombres complexes page 5 / 8

16 D étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle - π, on a : z D - z A e - i π (z B - z A ) donc z D e - i π (z B - z A ) + z A On obtient z D - i ( - i - - i) + + i - i ( - i) + + i donc z D - i - i i - + i - - Il y a donc deux points M tels que ABM soit un triangle équilatéral, ce sont les points d'affixe + + i - et - + i - - Exercice Avec la calculatrice TI89, pour résoudre une équation dans IR, on utilise la commande solve() ou en français résol() disponible à partir du menu Algebra (F). Pour résoudre une équation dans CI, on utilise la commande csolve() ou en français résolc() disponible à partir du menu Algebra-Complex (F) ) a) On peut écrire z - z (z - ) -, donc z - z - 5 (z - ) (z - ) - 9 On a donc z - z (z - ) (z - ) - 0 Donc (E) (z - ) [(z - ) - ][(z - ) + ] 0 b) On obtient (E) (z - 5)(z + ) 0 z 5 ou z - L'équation (E) a donc deux solutions qui sont - et 5. (On aurait pu retrouver ce résultat en utilisant le discriminant) ) a) On peut écrire z - z (z - ) -, donc z - z + (z - ) - + (z - ) + 9 On a donc (F) (z - ) b) On peut remarquer que (i) -9, donc - (i) 9 Alors (F) (z - ) - (i) 0 [(z - ) - i][(z - ) + i] 0 (z - - i)(z - + i) 0 z + i ou z - i L'équation (F) a donc deux solutions qui sont + i et - i. (Les deux solutions sont des nombres complexes conjugués) TS Nombres complexes page 6 / 8

17 Exercice (retour au cours) z - z Le discriminant est (- ) - ()(5) (i) donc δ avec δ i < 0, l'équation z - z a donc deux solutions complexes conjuguées qui sont : z -b - δ et z a -b + δ a Soit z - i - i et z + i L'équation z - z a pour solutions z - i et z + i z + z - 0 Le discriminant est - ()(-) (5) donc δ avec δ 5 > 0, l'équation z + z - 0 a donc deux solutions réelles qui sont z -b - δ a z L'équation z + z - 0 a pour solutions z - et z et z -b + δ a -8 - et z z - z + 0 Le discriminant est (-) - ()() , l'équation z - z + 0 a donc une solution (double) réelle qui est : z - b a z 8 L'équation z - z + 0 a pour solution z z - 5z Le discriminant est (- 5) - ()(7) (i ) donc δ avec δ i < 0, l'équation z - 5z a donc deux solutions complexes conjuguées qui sont : z -b - δ a et z -b + δ a Soit z 5 - i et z 5 + i L'équation z - 5z a pour solutions z 5 - i et z 5 + i TS Nombres complexes page 7 / 8

18 Exercice L'équation z + est définie pour z 0. On peut alors écrire : z z + z z + z + z z - z + 0 z On est alors ramené à une équation du second degré à coefficients réels, que l'on peut résoudre en cherchant le discriminant (- ) - ()() - - (i ) L'équation a donc pour solutions : z - i et z + i z - ( + cos θ)z + + cos θ 0 Cette équation est une équation du second degré à coefficients réels, que l'on peut résoudre en cherchant le discriminant [- ( + cos θ)] - ()( + cos θ) ( + cos θ) - 8( + cos θ) donc + 8 cos θ + cos θ - 8-8cos θ cos θ - (cos θ - ) - sin θ (i sin θ) L'équation a donc pour solutions : c'est-à-dire z + cos θ - i sin θ ( + cos θ) - i sin θ z + cos θ + i sin θ et z Remarques : Le résultat obtenu avec la calculatrice n'est pas correct, celle-ci semble considérer que cos θ - est positif, ce qui, en général, n'est pas le cas. Pour utiliser une variable comme paramètre, il faut que cette variable ne contienne pas de données. Si la variable θ contient des données, on peut effacer ces données en utilisant la commande DelVar θ, en Français SupVar θ (menu F Other) et z ( + cos θ) + i sin θ z + z + 0 Posons Z z, on obtient alors l'équation (E) : Z + Z + 0 (E) est une équation du second degré à coefficients réels. On peut la résoudre en calculant - x 6 - L'équation (E) a donc deux solutions qui sont Z et Z On peut alors écrire z + z + 0 z - ou z - Donc z + z + 0 z - i ou z i ou z -i ou z i L'équation z + z + 0 a donc quatre solutions qui sont - i ; i ; -i ; i TS Nombres complexes page 8 / 8