Rochambeau Enseignement spécifique. Corrigé

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1 Rochambeau 05. Enseignement spécifique. orrigé EXERIE Partie A Le point U est le point d intersection de la parallèle à la droite OB passant par D et de la droite SB. S D E U O A B Les points A et E ne sont pas dans le plan BS et le point U est dans le plan BS car sur la droite BS. Donc, le plan AEU et le plan BS sont sécants en une droite passant par U. Le point V est un autre point commun aux plans AEU et BS car sur la droite S. Donc, le point V est un autre point de. On en déduit que la droite est la droite UV. La droite AE est une droite du plan AEU et la droite B est une droite du plan BS. Puisque les droites AE et B sont parallèles et que les plans AEU et BS sont sécants en la droite UV, le théorème du toit permet d affirmer que la droite UV est parallèle à la droite B. http :// c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

2 S V D E U O A B Le point A a pour coordonnées, 0, 0. D autre part, le point E est le symétrique du point B par rapport à O et le point B a pour coordonnées 0,,0. Donc le point E a pour coordonnées 0,,0. Le vecteur AE a pour coordonnées,,0. D autre part, le vecteur AK a pour coordonnées 6, 6,0. On en déduit que AK = AE et donc que le point K appartient à la droite AE. 6 Déterminons les coordonnées du point U. Le point U est le point de la droite SB de côte. La droite SB est la droite passant par S0,0, et de vecteur directeur BS0,,. Un système d équations paramétriques de le droite x = 0 SB est y = t, t R. La côte du point de coordonnées 0, t,+t est égale à si et seulement si t+ = z = +t ou encore t =. Pour t =, on obtient les coordonnées du point U : U 0,,. Vérifions enfin que le vecteur UK est orthogonal au vecteur AE. Le vecteur AE a pour coordonnées,,0 et le vecteur 5 UK a pour coordonnées 6 0, 6 5, ou encore 6, 5 6,. Par suite, AE. UK = = = 0. On a montré que le point K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. http :// c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

3 S V D E U O K A B Partie B Les points A, E et U ne sont pas alignés. Ils définissent donc un unique plan. x E y E + 5z E = = = 0. Donc le point E appartient au plan d équation x y+5z = 0. x A y A + 5z A = = = 0. Donc le point A appartient au plan d équation x y+5z = 0. x U y U +5z U = 0 +5 = +5 = 0. Donc le point U appartient au plan d équation x y+5z = 0. eci montre que le plan d équation x y+5z = 0 est le plan AEU ou encore que le plan AEU a pour équation x y+5z = 0. Un vecteur normal au plan EAU est le vecteur n de coordonnées,,5. La droite d est la droite passant par S0,0, et de vecteur normal n,,5. Un système d équations paramétriques de d est Soit Mt, t, + 5t, t R, un point de d. x = t y = t z = +5t, t R. M EAU t t+5+5t = 0 4t+ = 0 t = 4. http :// c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

4 Quand t =, on obtient les coordonnées du point H : 6 4 4, 6 4, H est le projeté orthogonal de S sur le plan EAU. SH = = = = 4. 4 Le volume de la pyramide SAUEV est V = = 5 = 0 9. Déterminons le volume de la pyramide SABE. Une diagonale du carré ABE a pour longueur et donc le côté du carré ABE a pour longueur =. L aire du carré ABE est donc = puis le volume de la pyramide SABE est V = =. Le volume du solide AUVEB est donc 0 9 = 8. Le plan AEU ne partage donc pas la pyramide SABE en deux 9 solides de même volume. http :// 4 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

5 EXERIE a x 0 = et y 0 = 4. Donc, A 0 ;4. x = 0,8x 0 0,6y 0 = 0,8 0,64 = 4,8 et y = 0,6x 0 +0,8y 0 = 0,6 +0,84 =,4. Donc A 4,8;,4. x = 0,8x 0,6y = 0,8 4,8 0,6,4 = 4,68 et y = 0,6x + 0,8y = 0,6 4,8 + 0,8,4 =. Donc A 4,68;,76. b Algorithme complété. Variables : i,x,y,t : nombres réels Initialisation : x prend la valeur y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de 0 à 0 onstruire le point de coordonnées x,y t prend la valeur x x prend la valeur 0,8 t 0,6 y. y prend la valeur 0,6 t+0,8 y. Fin Pour Remarque. L algorithme calcule les coordonnées des points A 0,..., A. c Graphique. 5 A 0 4 A A Il semble que tous les points A n soient sur le cercle de centre O et de rayon 5. a Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, z n = 5. z 0 = +4i et donc z 0 = +4 = 9+6 = 5 = 5. L égalité à démontrer est donc vraie quand n = 0. Soit n 0. Supposons que z n = 5. http :// 5 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

6 z n+ = x n+ +yn+ = 0,8x n 0,6y n +0,6x n +0,8y n = 0,64x n 0,8 0,6x n +0,6y n +0,6x n + 0,8 0,6x n +0,64y n = x n +y n = z n = 5 par hypothèse de récurrence. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, z n = 5 et donc que tous les points A n soient sur le cercle de centre O et de rayon 5. b Soit n un entier naturel. e iθ z n = cosθ+i sinθx n +iy n = 0,8+0,6ix n +iy n = 0,8x n +0,8iy n +0,6ix n 0,6y n = 0,8x n 0,6y n +i0,6x n +0,8y n = x n+ +iy n+ = z n+. c La suite z n n N est donc une suite géométrique de raison q = e iθ. On sait que pour tout entier naturel n, z n = z 0 q n = z 0 e iθ n = z0 e inθ. d Soit α un argument du nombre complexe z 0 = +4i. On a z 0 = 5 puis z 0 = i = 5 0,6+0,8i = 5 sinθ+i cosθ = 5 cos θ+ π +i sin θ+ π. eci montre qu un argument de z 0 est θ+ π. e D après les questions c et d, pour tout entier naturel n, z n = z 0 e inθ = 5e iθ+π e inθ = 5e inθ+θ+π = 5e in+θ+ π. Pour tout entier naturel n, un argument de z n est n+θ+ π et le module de z n est 5. 5cosθ = 5 0,8 = 4 et 5sinθ = 5 0,6 =. Donc, θ est un argument de 4+i. 5 A 0 4 A θ A Pour tout entier naturel n, A n+ est obtenu en faisant tourner A n autour de O d un angle de mesure θ dans le sens direct. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

7 EXERIE Partie A La probabilité demandée est P98 X 0. La calculatrice ou le cours fournit P98 X 0 = Pµ X µ+ = 0,95 à 0 près. SoitZ = X µ. De plus, Par symétrie, = X 00. On sait quezsuit la loi normale centré réduite loi normale de moyenne0et d écart-type P Z 98 X 0 X 00 Z. = P = P Z Z P Z P Z = P Z = P P Z Z. Puis, P98 X 0 = 0,97 P Z = 0,97 P Z = 0,985. La calculatrice fournit =, puis = 0,9 à 0 près. Partie B Représentons la situation par un arbre de probabilités. 0,98 0,5 0, 0, F F 0,0 0,90 0,0 0,80 F 0,0 La probabilité demandée est p F. D après la formule des probabilités totales, Par suite, p = pf p F +pf p F +pf p F = 0,5 0,98+0, 0,9+0, 0, = 0,9. p F = p F p = pf p F p = 0,5 0,98 0,9 = 0,5 arrondi à 0. Représentons de nouveau la situation par un arbre de probabilités. http :// 7 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

8 0,98 p F 0,0 p 0,90 F 0,0 D après la formule des probabilités totales, puis P = PF P F +PF P F = 0,98p+0,9 p = 0,08p+0,9, P = 0,9 0,08p+0,9 = 0,9 p = 0,0 0,08 p = 4. L entreprise doit acheter le quart de ses fèves au fournisseur et les trois quarts restant au fournisseur. http :// 8 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

9 EXERIE 4. Partie A La fonction u est dérivable sur ]0,+ [ en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0,+ [ et pour x > 0, u x = x +. La fonction u est strictement positive sur ]0,+ [ et donc la fonction u est strictement croissante sur ]0,+ [. Autre solution. La fonction u est strictement croissante sur ]0, + [ en tant que somme de fonctions strictement croissantes sur ]0, + [. u = ln = 0,... et u = ln =,09... Puisque u < 0 et u > 0 et que la fonction u est continue et strictement croissante sur [, ], un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d affirmer que la fonction u s annule une fois et une seule en un certain réel α de l intervalle [,]. D autre part, puisque u est strictement croissante sur ]0,+ [, pour x <, on a ux < u < 0 et pour x >, on a ux > u > 0. Donc la fonction u ne s annule pas sur ]0,[ et sur ],+ [. En résumé, la fonction u s annule une fois et une seule sur ]0,+ [, en un certain réel α élément de l intervalle [,]. Puisque u est strictement croissante sur ]0, + [, pour x < α, on a ux < uα ou encore ux < 0 et pour x > α, ux > uα ou encore ux > 0. Donc, la fonction u est strictement négative sur ]0,α[, strictement positive sur ]α,+ [ et s annule en α. Partie B lim = + et donc x 0, x>0 x lim x 0, x>0 =. En multipliant, on obtient lim x 0, x>0 =. D autre part, lim x x x 0, x>0 lnx = + et finalement lim fx = +. x 0, x>0 lnx = et donc lim lnx x 0, x>0 a La fonction f est dérivable sur ]0,+ [ et pour x > 0, f x = x lnx + +0 = lnx x x x + x x = lnx +x x = lnx+x x = ux x. Pour tout réel x de ]0,+ [, f x = ux x. b Pour tout réel x de ]0,+ [, x > 0. Donc, pour tout réel x de ]0,+ [, f x est du signe de ux. e signe a été étudié à la question de la partie A. On en déduit le tableau de variation de la fonction f. x 0 α + f x f fα Partie Soit x > 0. fx lnx = lnx + lnx = lnx lnx + x x x + lnx = lnx. x http :// 9 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.

10 Les abscisses des points communs à et sont les solutions de l équation fx = lnx. Soit x > 0. fx = lnx fx lnx = 0 lnx x lnx = 0 lnx = x = e. = 0 Les courbes et ont un point commun et un seul à savoir le point de coordonnées e, ln e ou encore e,. e lnx x dx = = e x lnx x ln e dx = [lnx ] e lnx ln e ln ln = =. e lnx x dx =. Soit x e. Alors, par croissance de la fonction ln sur ]0,+ [, lnx lne ou encore lnx puis lnx 0 et enfin fx lnx 0. Ainsi, la courbe est au-dessus de la courbe sur [,e ]. On en déduit que I est l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan comprise entre les droites d équations respectives x = et x = e d une part, et le courbes et d autre part. e http :// 0 c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés.