I. Variable aléatoire discrète

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Élisabeth Germaine Beauregard
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1 I. Variable aléatoire discrète a. Epreuve de Bernoulli Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : pile ou face, oui ou non, gagner ou perdre, etc. On notera S le succès et E l échec, les deux issues d une épreuve de Bernoulli, on note en générale P(S) = p et P(E) = q = p. b. Loi Binomiale B(n, p) Définition : La variable aléatoire qui associe le nombre de succès d une épreuve de Bernoulli réalisé un nombre n donné de fois de manière indépendante suit une loi binomiale. Notation : X B(n, p) on dit que X suit une loi binomiale de paramètre n le nombre de fois que l on réalise l épreuve de Bernoulli et p la probabilité du succès de cette épreuve. Proposition : Le nombre de k-combinaisons (k-liste différentes) d un ensemble contenant n éléments est donné par : n n(n )(n 2) n (k ) n! = = k k! k! (n k)!. Propriété (Des coefficients binomiaux) : Symétrie : Pour 0 k n on a n = n k n k Triangle de Pascal : pour 0 k n on a n + n + = n k k + k + Théorème : Pour tout k 0 ; n la probabilité d obtenir k succès en réalisant n fois l expérience est donnée par: P(X = k) = n k pk ( p) n k. c. Loi de Poisson P(λ) Définition : Soit λ R +. On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ et on note X~P(λ) si X est à valeurs dans N et pour tout k N P(X = k) = e λ λk k!.

2 Propriété : Soit X~P(λ) E(X) = λ V(X) = λ. II. Variable aléatoire continue a. Généralités Définition : Une variable aléatoire réelle à densité (ou continue) est une application définie dur un ensemble Ω et prenant less valeurs d un intervalle I de R. Définition : Soit f une fonction continue est positive sur un intervalle I = [a ; b] telle que : b f(t)dt = a On dit que X est une variable aléatoire réelle continue de densité f si pour tout x et x 2 de I avec x x 2 : x 2 P(x X x 2 ) = f(t)dt x. On définit ici une loi de probabilité P continue sur I, et f est appelée densité de probabilité de P sur I. Remarque : P(X x) = P(X < x). Définition : La fonction de répartition de la variable aléatoire réelle X est la fonction F X définie sur R qui à tout t associe : F X = P(X t) Remarque : La probabilité que X se trouve dans l intervalle [x ; x 2 ] est donc : P(x X x 2 ) = F X (x ) F X (x 2 ) Propriété : Soit X une variable aléatoire à densité de fonction de répartition F X et de densité f.. F X est croissante. 2. F X est continue sur R et dérivalble en tout point où f est continue (F X = f). 3. F X est à valeurs dans [0 ; ]. 4. lim t F X (t) = 0 et lim t + F X (t) =. 2

3 b. Loi normale N(m, σ) Définition : Soient m R et σ R +. La loi de probabilité d une variable aléatoire continue X est une loi normale ou la loi de Laplace-Gauss de paramètre m et, notée N(m, σ), si la densité de probabilité f est définie par : Propriété : f(x) = σ 2π e E(X) = λ V(X) = λ. c. Loi normale centré réduite N(0, ) 2 x m Définition : Si les paramètres d une loi normale sont respectivement 0 et, on dit que la loi est normale centrée réduite N(0, ). Théorème : Soit X~N(m, σ). En effectuant la changement de variable T = X m, on obtient une nouvelle variable aléatoire T telle que T~N(0, ). σ 2. III. Approximation d une loi binomiale σ a. Approximation d une loi Binomiale B(n, p) par une loi de poisson Théorème : Pour n «assez grand» (n > 30) et pour p proche de 0 ( 0,) tels que np( p) 0 on peut approcher la loi binomiale B(n, p) par une loi de Poisson P(λ) où λ = np. On a alors λk λ P(X = k) e k!. b. Approximation d une loi Binomiale B(n, p) par une loi Normale Théorème : Pour n «assez grand»(n 50) et pour p ni voisin de 0 ni voisin de, tels que np(p ) > 0. On peut approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi normale N(m, σ 2 ) où m = np et σ = np( p). On a alors : P(X = k) σ 2π e 2 x m σ 2. 3

4 I. Variables aléatoire discrètes Epreuve de Bernoulli - Loi Binomiale B(n, p) - Loi de Poisson P(λ) Exercice : Un magasin reçoit en moyenne 3 réclamations par jour. Calculer la probabilité pour que le premier lundi du mois prochain soient enregistrées : a) 0 réclamation? b) 2 réclamations? c) plus de 4 réclamations? Exercice 2 : La probabilité pour une ampoule électrique de claquer à son premier allumage est de 0,0. Sur un groupe de 00 ampoules, quelle est la probabilité d observer : 0 claquage? claquage? Plus de 2 claquages? Loi de poisson : Soit X~P(4) déterminer P(X = 2), P(X < 2) et P(X 2). II. Variables aléatoires continues Généralités - Loi normale N(m, σ) - Loi normale centré réduite N(0, ) Exercice 3 : utilisation de la table de la loi normale centrée réduite : Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur la masse en grammes des pots de Nutella produit par une machine. X suit la loi normale de moyenne 250 et d écart type 2. ) Quelle est la probabilité pour qu un pot de Nutella pèse plus de 252g? 2) Quelle est la probabilité pour qu un pot de Nutella pèse entre 246g et 254g? III. Approximation d une loi binomiale a. Approximation d une loi Binomiale B(n, p) par une loi de poisson Exercice 4 : COMPARAISON BINOMIALE/POISSON On a répertorié dans une usine le nombre d accidents mineurs subis par le personnel dans une journée de travail sur une période de 200jours. Ces accidents sont survenus indépendamment les uns des autres. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Nombre d accidents Nombre de jours ) Quel est le nombre moyen d accidents par jour? Interpréter le résultat 2) On décide d ajuster cette distribution par une loi de Poisson. a) Justifier cette décision et préciser cette loi b) Comparer avec un ajustement par la loi binomiale 3) Quel est le nombre théorique de jours où il se produit moins de 3 accidents? Comparer avec la réalité 4

5 b. Approximation d une loi Binomiale B(n, p) par une loi Normale Exercice 5 : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(00 ; 0,2). En utilisant une approximation de cette loi par une loi normale dont on précisera les paramètres, calculer une valeur approchée de P(X = 20), P(X 22), P(8 X 22) et de P(X > 8). Exercice 6 : Dans une revue on peut lire : «On estime à 60,5% le pourcentage de français partant au moins une fois en vacances dans le courant de l année». On considère 00 personnes prises au hasard avec remise dans la population française. Dans ce qui suit, tous les résultats seront arrondis à 0,0. ) On désigne par X la variable aléatoire mesurant, parmi ces 00 personnes, le nombre de celles qui ne partent pas en vacances dans le courant de l année. a. Déterminer la loi de X et préciser ces paramètres. b. Calculer l espérance et l écart-type de X. c. Calculer P(X = 45). 2) On décide d approcher cette loi par une loi normale. Soit Y cette variable aléatoire. a. Déterminer les paramètres de la loi Y. b. Calculer une valeur approchée de l évènement : «45 personnes parmi les 00 ne partent pas en vacances dans le courant de l année». i.e. P(44,5 Y 45,5). c. Calculer une valeur approchée de l évènement : «au plus 30 personnes parmi les 00 ne partent pas en vacances dans le courant de l année». i.e. P(Y 30,5). 5

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