Calcul de l angle de déviation de la lumière par le soleil Démonstration détaillée

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1 Calcul de l angle de déviation de la lumière par le soleil Démonstration détaillée Cette démonstration respecte la logique suivie par Einstein. Le détail des calculs a été reconstitué pas à pas afin de rendre compréhensible la démarche. Vous pouvez aussi accéder directement au papier original d Einstein. La figure ci-dessous représente l angle à calculer : l angle composé par les tangentes à la trajectoire initiale du rayon et là a trajectoire finale. Figure 1 Courbure de la lumière par le soleil Le rayon lumineux va de la gauche vers la droite. Il suit d abord une ligne droite puis se courbe de plus en plus en se rapprochant du soleil. La courbure est maximale quand la distance avec le soleil est minimale puis en s éloignant, il reprend progressivement une trajectoire en ligne droite. 1

2 Einstein se place dans le cadre du principe d équivalence, pierre angulaire de sa théorie. N oublions pas que ce principe n est valable que localement. Tout le long de la trajectoire de la lumière nous avons une succession de référentiels dans lesquels nous pouvons appliquer le principe d équivalence (accélération = gravité). Nous devons donc faire les calculs dans chacun de ces référentiels puis les lier les uns aux autres en les sommant. Voici un schéma qui traduit cette réalité compliquée. Figure 2 Schéma d intégration de chaque angle de déviation dans chaque référentiel ponctuel Chaque case représente une portion de l espace-temps dans lesquels le champ de gravitation est constant. Nous pouvons les identifier à des ascenseurs avec leurs deux cloisons verticales. La lumière entre par une cloison et ressort par l autre après avoir été déviée par un champ gravitationnel uniforme. Nous allons donc calculer pour chacun de ces référentiels la déviation du rayon lumineux puis nous allons sommer toutes ses déviations. Regardons la figure (2) : La loupe sur une case n est pas à l échelle. AB représente la distance parcourue par la lumière pendant un tout petit intervalle dt (c est la notation d une différentielle) selon l axe Ox. BC représente la déviation de la lumière vers le soleil pendant ce même intervalle. En effet, les particules qui composent la lumière (les photons) sont attirés par le champ de gravitation solaire. La longueur AB est infiniment plus grande que la longueur BC. Par exemple, dans un intervalle de temps d une seconde, la distance AB est de l ordre de km alors que la longueur BC est de l ordre de quelques millimètres. La tangente de l angle de déviation est égal au rapport BC/AB (comme l angle est très faible, on confond classiquement la tangente avec la valeur de l angle en radians). On a donc : α = BC/AB. Si c x et c y sont les com- 2

3 posantes de la vitesse selon les axes Ox et Oy ont peut alors écrire. α = c y /c x Figure 3 calcul de la déviation d un rayon lumineux Réglons immédiatement le cas de c x. On peut considérer que c x est presque égal à c vu que la déviation est extrêmement faible et que la vitesse de la lumière est extrêmement grande. Donc posons : c x = c. Pour c y, c est plus compliqué. En effet le champ de gravitation varie de la gauche vers la droite. Il n est jamais le même. Nous allons donc devoir trouver la formule applicable localement pour un petit référentiel, nous calculerons ensuite la déviation localement, puis nous sommerons dans tous nos référentiels individuels pour trouver la composante. Au point A, il y a un champ de gravitation φ = GM/r qui génère une accélération de la pesanteur égale à gradφ, soit GM/ ou encore, plus simplement g. Mais dans notre cas, cette accélération est fonction de la position de A. La figure ci-dessous montre que l angle θ varie tout le long de la traversée du voisinage du soleil. Nous allons prendre cette variable pour calculer c y. La composante selon Oy de l accélération de la pesanteur est g. Donc l accélération selon l axe Oy, auxquels les photons de lumière sont soumis, est égale à g ou encore à GM/ on peut ainsi exprimer la composante dc y par application de la formule : vitesse = accélération*temps. Soit dc y = GM dt Il s en suit : dα = dc y c = 1 c GM dt. 3

4 Et enfin, en intégrant sur la plage de variation de θ 1 GM α = dt c Cette formule signifie que nous allons sommer tous les petits angles dα depuis le moment où le rayon entre dans l influence du soleil jusqu au moment où il en sort. En réalité, il est toujours dans son influence et il y reste toujours (imaginez que la terre située à 150 millions du soleil subit le champ de gravitation solaire) d où une sommation entre + et -. C est ce que signifient les bornes inférieures et supérieures de l intégrale. Voici ci-dessous le détail expliqué du calcul intégral mais il n est pas utile de le comprendre. Nous quittons maintenant la physique pour «faire des maths». Jusqu ici nous avons parlé français, maintenant nous parlons une autre langue avec sa propre syntaxe, sa grammaire, ses raccourcis, ses tics. Ce n est qu une langue. On sort les constantes de l intégrale ce qui ne change rien à l intégrale. c r dt 2 Petit bricolage pour préparer un changement de variable. c dt dx dx On remplace dt/dx par 1/c et on le sort de l intégrale pour ne garder sous le signe intégrale que les variables. c 2 r dx 2 Ici on fait deux choses : On remplace banalement r par R/ dans l objectif de changer de variable d intégration (on veut passer de dx à dθ). A partir de l égalité x = Rtanθ, on déduit : dx = R cos 2 θ dθ dθ = (cos2 θ)dx/r. On introduit les deux expressions dans l intégrale. On change aussi les bornes pour exprimer les valeurs extrêmes de θ. c 2 +π/2 π/2 4 cos 3 θ R 2 R cos 2 θ dθ

5 On simplifie et on sort R de l intégrale. Rc 2 +π/2 π/2 dθ Après avoir réduit le contenu de l intégrale à une expression connue et sachant que la primitive de est sinθ. Rc 2 [sinθ]+π/2 π/2 Soit Rc (sin(+π 2 2 ) sin( π 2 )) Finalement α = 2 GM (1) Rc 2 Nous retrouvons bien la valeur de l angle de déviation que nous avons établie précédemment avec une approche strictement géométrique. Avec cette formule, Einstein vient de prouver qu il est possible de trouver une preuve de l influence du champ de gravitation sur la propagation de la lumière. Il conclut son papier par un appel aux astronautes de s intéresser à cette question même si le résultat pouvait leur apparaître «insuffisamment établi ou bizarre» signifiant ainsi qu il en reconnaissait l étrangeté mais ne qu il ne doutait pas de la véracité du calcul. Il lui faudra attendre huit ans. L expérience qu il réclamait en 1911 ne sera réalisée qu en 1919 par Eddington. Entre temps Einstein aura établi ses équations de la relativité générale et rectifié l erreur commise dans son premier calcul. En effet, le calcul que nous venons de faire est faux, Einstein le pressentait-il quand il parlait de considérations insuffisamment établies? Il y a toujours chez Einstein une intuition désarmante. Ref : voir le site : Reflections on relativity Page d accueil run:index.html 5