Département de Mathématiques Année universitaire 2006/2007. TD 1. Géométrie par Jean-Pierre Dax

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1 Université de Metz Licence de Mathématiques U.F.R. M.I.M. Unité Géométrie affine et euclidienne Département de Mathématiques Année universitaire 2006/2007 TD 1. Géométrie par Jean-Pierre Dax Exercice 1. On considère un espace affine X. A un point A X et à un vecteur u X, on associe l unique point B X tel que AB = u. On note alors B = A + u = A + AB. 1) Montrer que (i) A X, A + 0 = A ; (ii) A X, u, v X, (A + u ) + v = A + ( u + v ). On dit que le groupe abélien ( X, +) opère sur l ensemble X. 2) Prouver que pour A, B X et u, v X, on a l équivalence Exercice 2. A + u = B + v u = AB + v Soit un espace affine X de dimension 2 sur un corps commutatif K. Soient 4 points distincts non alignés A, B, C, D X. On dit que ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC. On dit que les droites (AB) et (DC) sont parallèles si les vecteurs AB et DC sont colinéaires. 1) Prouver que ABCD est un parallélogramme ssi AD = BC. 2) Prouver que ABCD est un parallélogramme ssi (AB) (DC) et (AD) (BC). 3) On suppose que le corps K est de caractéristique différente de 2, c-à-d que 2 1 K 0 K. Soient U, V X distincts. Prouver qu il existe un point I X et un seul tel que IU + IV = O. On dit que I est le milieu de (U, V ) et l on note I = mil(u, V ). 4) On suppose toujours 2 1 K 0 K. Prouver que ABCD est un parallélogramme si et seulement si mil(a, C) = mil(b, D). Exercice 3. On considère un plan affine X. 1) Soient 2 droites parallèles distinctes D et D. Soit S X \ (D D ). Soient A, B D distincts. On note {A } = (SA) D, {B } = (SB) D. Prouver que l on a SA SA = SB SB = A B AB. 2) Soit C D \ {A, B}. On note {C } = (SC) D. Prouver que l on a A B AB = A C AC = B C BC.

2 3) Soit une droite D parallèle à D, distincte de D et D, telle que S / D. On note {A } = (SA) D, {B } = (SB) D. Prouver que l on a AA AA = BB BB. Ces résultats sont connus sous le nom de théorème de Thalès. Exercice 4. On considère un plan affine P et un espace affine X de dimension 3. 1) Montrer que par 2 points distincts de P passe une droite et une seule. 2) Montrer que par 3 points distincts de X passe un plan et un seul. 3) Montrer que par une droite de X et un point ne lui appartenant pas, passe un plan et un seul. Exercice 5 : faisceaux de droites dans un plan affine. Soit un plan affine P. A toute forme affine non constante ϕ sur P, on associe la droite D d équation ϕ = 0 ; on notera D : ϕ = 0. On considère 2 droites distinctes D 1 : ϕ 1 = 0 et D 2 : ϕ 2 = 0 du plan P. 1) On suppose dans cette question que D 1 D 2 = {A}. On appelle faisceau de droites de base (D 1, D 2 ), l ensemble F des droites de P passant par A. Montrer que F est l ensemble des droites ayant une équation de la forme λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 = 0 avec λ 1 0 ou λ ) On suppose maintenant que les droites D 1 et D 2 sont parallèles, et l on choisit leurs équations de façon que ϕ 1 = ϕ 2. On appelle faisceau de droites de base (D 1, D 2 ), l ensemble F des droites de P parallèles à D 1. Montrer que F est l ensemble des droites ayant une équation de la forme λ 1 ϕ 1 +λ 2 ϕ 2 = 0 avec λ 1 +λ ) Application. On considère deux droites D et D, d équations 2x 3y + 4 = 0 et x + 3y + 1 = 0. On note D D = {A} et on considère le point B(3, 8). Donner une équation de la droite (AB). Exercice 6 : faisceaux de plans dans un espace affine de dimension 3. Soit un espace affine X de dimension 3. A toute forme affine non constante ϕ sur X, on associe le plan P d équation ϕ = 0 ; on notera P : ϕ = 0. On considère 2 plans distincts P 1 : ϕ 1 = 0 et P 2 : ϕ 2 = 0 de l espace X. 1) On suppose dans cette question que P 1 P 2 est une droite D. On appelle faisceau de plans de base (P 1, P 2 ), l ensemble F des plans de X contenant D. Montrer que F est l ensemble des plans ayant une équation de la forme λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 = 0 avec λ 1 0 ou λ ) On suppose maintenant que les plans P 1 et P 2 sont parallèles, et l on choisit leurs équations de façon que ϕ 1 = ϕ 2. On appelle faisceau de plans de base (P 1, P 2 ), l ensemble F des plans de X parallèles à P 1. Montrer que F est l ensemble des plans ayant une équation de la forme λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 = 0 avec λ 1 + λ ) Application. Déterminer une représentation cartésienne du plan P contenant les 2 droites D { x + y z + 3 = 0 x y 2 = 0 D { 3x y z + 5 = 0 x + y z + 1 = 0.

3 Université de Metz Licence de Mathématiques U.F.R. M.I.M. Unité Géométrie affine et euclidienne Département de Mathématiques Année universitaire 2006/2007 Exercice 1. TD 2. Géométrie par Jean-Pierre Dax On considère un plan affine P. Soient des droites D i d équations ϕ i = 0, i [1, 3] ; ϕ i est donc une forme affine surjective sur P. Décrire la configuration géométrique de chacune des 7 assertions suivantes. On utilisera en particulier les résultats vus dans le TD1 sur les faisceaux de droites. 1) Le système (ϕ 1, ϕ 2 ) est lié. 2) Le système ( ϕ 1, ϕ 2 ) est lié et le système (ϕ 1, ϕ 2 ) est libre. 3) Le système ( ϕ 1, ϕ 2 ) est libre. 4) Pour tous i, j [1, 3] le système ( ϕ i, ϕ j ) est lié et le système (ϕ i, ϕ j ) est libre. 5) Le système ( ϕ 1, ϕ 2 ) est lié, le système ( ϕ 1, ϕ 3 ) est libre et le système (ϕ 1, ϕ 2 ) est libre. 6) Pour tous i, j [1, 3] le système ( ϕ i, ϕ j ) est libre et le système (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ) est lié. 7) Pour tous i, j [1, 3] le système ( ϕ i, ϕ j ) est libre et le système (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ) est libre. Exercice 2. Soient des plans affines P et Q sur un corps K. Soient des droites D 1, D 2, D 3 de P, deux à deux distinctes et concourantes en A P. Soient des droites 1, 2, 3 de Q, deux à deux distinctes et concourantes en B Q. 1) Montrer qu il existe un isomorphisme affine f de P sur Q tel que f(d i ) = i pour tout i [1, 3]. 2) Le résultat est-il encore vrai si l on considère 3 droites deux à deux distinctes et parallèles? 3) Le résultat est-il encore vrai si l on considère 4 droites deux à deux distinctes et concourantes? Exercice 3. Soit un espace affine X de dimension finie n. 1) Soient Y et Z des sous-espaces affines. Prouver que l on a { dim( Y + Z ) si Y Z ; dim < Y Z >= dim( Y + Z ) + 1 si Y Z =. 2) On suppose n 1. Montrer que l on peut trouver 3 sous-espaces affines Y, Z et T distincts deux à deux tels que dim < Y Z T >= dim( Y + Z + T ) et Y Z T =. Exercice 4. a) Soit K un corps de caractéristique 0, c est-à-dire tel que n 1 K 0 K pour tout n Z. Soit X un espace affine sur K. Soit Γ un sous-groupe fini du groupe affine GA(X). Prouver qu il existe A X tel que ϕ Γ, ϕ(a) = A, c-à-d prouver que Fix(ϕ). ϕ Γ b) Soit p est un nombre premier. Montrer que la conclusion de a) est fausse en général si K = Z/pZ [le corps des entiers modulo p] et X = Z/pZ. Déterminer l ensemble des points fixes de chaque transformation affine de Z/pZ.

4 Exercice 5. Soit un X espace affine de dimension 3 muni d un repère cartésien R = (O; ı, j, k ). Trouver des représentations cartésiennes et paramétriques (sans déduire l une de l autre) 1) du plan (ABC) où A(1, 1, 1), B(2, 3, 1), C( 1, 2, 4) ; 2) de la droite D passant par A et B. Exercice 6. On considère un plan affine P muni d un repère cartésien R = (O; ı, j ). On considère les 4 droites D 1 : x + 2y = 1, D 2 : x + y = 2, D 3 : 2x + y = 3, D 4 : 3x + 2y = 1. En utilisant 2 faisceaux de droites, déterminer une équation de la droite D contenant D 1 D 2 et D 3 D 4, sans déterminer les coordonnées de ces singletons. Exercice 7. Soit un X espace affine de dimension 3 muni d un repère cartésien R = (O; ı, j, k ). On considère le point A(4, 1, 3). En utilisant un faisceau de plans, déterminer une représentation cartésienne du plan P passant par A et contenant la droite { x + y z + 3 = 0 D 4x y + 2z = 0. Exercice 8. Soit un espace affine X de dimension 3 muni d un repère cartésien R = (O; ı, j, k ). On considère les 4 points A(1, 2, 2), B( 1, 2, 1), C(3, 4, 4), D( 2, 3, 1). Ces 4 points sont-ils coplanaires? Si oui donner une équation cartésienne du plan qui les contient. Exercice 9. Soit un corps K. Soit n N. On note K n [X] l espace vectoriel des polynômes de degré n en une indéterminée X, à coefficients dans K. Montrer que le sous-ensemble des polynômes unitaires de degré n est un hyperplan affine de K n [X]. Indication : on pourra montrer que le sous-ensemble considéré est l image réciproque d un singleton par une forme linéaire surjective sur K n [X]. Exercice 10. Soit K un corps commutatif. On note K N l espace vectoriel des suites u = (u n ) n N d éléments de K. Soient a, b K fixés. On considère la partie D = { u K N n N, u n+1 = a u n + b }. Prouver que D est une droite affine de K N. Indication : on pourra montrer que D est l image de K par une application affine injective de K dans K N. Exercice 11. Soit E un espace vectoriel normé réel. 1) Soient C 1 et C 2 deux parties convexes de E. Soit D l ensemble des milieux des segments [M 1 M 2 ] lorsque M 1 C 1 et M 2 C 2. Montrer que D est convexe. 2) Soit C une partie convexe de E. Prouver que son intérieur C et son adhérence C sont des convexes.

5 Université de Metz Licence de Mathématiques U.F.R. M.I.M. Unité Géométrie affine et euclidienne Département de Mathématiques Année universitaire 2006/2007 TD 3. Géométrie par Jean-Pierre Dax Exercice 1 (théorème de Céva). Soit un triangle ABC d un plan affine X. On considère des points P (BC), Q (CA), R (AB), distincts des sommets A, B, C. Montrer que les droites (AP ), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et seulement si l on a la relation P B P C QC QA RA RB = 1. On utilisera les coordonnées barycentriques par rapport au repère affine (A, B, C), ainsi que la notion de faisceaux de droites. Exercice 2 (Examen ). Soit un espace affine X de dimension finie n. Soit f : X X un endomorphisme affine. On suppose que Fix f possède dans X un sous-espace vectoriel supplémentaire G stable pour f (c est-à-dire tel que f (G) G). 1) Prouver que l on a G = Im( f id X ). 2) Soit un point O X (fixé). Soit u X. On note F = t u f. Prouver que l on a l équivalence Fix F u O f(o) + Im( f id X ). 3) Montrer qu il existe u X et F Aff(X) uniques tels que f = t u F, u Fix f et Fix F. 4) Dans ce cas prouver que l on a f = F t u ; prouver aussi que, pour tout point O X, u est la projection de O f(o) sur Fix f dans la direction Im( f id X ). 5) Soit w un endomorphisme diagonalisable d un espace vectoriel E sur le corps K, de dimension finie n. Prouver que Fix w admet un sous-espace vectoriel supplémentaire V dans E stable pour w, c est-à-dire tel que w(v ) V. 6) Indiquer comment on peut introduire les notions de symétrie affine glissée et de dilatation affine glissée. Exercice 3 (théorème de Gergonne). Soit un triangle ABC d un plan affine X. On considère des points P (BC), Q (CA), R (AB), distincts des sommets A, B, C. On suppose que les droites (AP ), (BQ), (CR) sont concourantes en un point I. Prouver alors que l on a la relation P I P A + QI QB + RI RC = 1 (théorème de Gergonne) On utilisera les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).

6 Exercice 4. Soit X un espace affine sur un corps K. Soit h l homothétie de centre A X et de rapport λ K. 1) Soit k l homothétie de centre B X et de rapport µ K. Prouver en utilisant directement la définition d une homothétie que l application h k est une homothétie ou une translation et préciser ses éléments caractéristiques. 2) Soit t u la translation de vecteur u X. Prouver en utilisant directement la définition d une homothétie que h t u h 1 = t v où v est un vecteur que l on déterminera ; prouver également que h t u et t u h sont des homothéties et déterminer leurs éléments caractéristiques. Exercice 5. Déterminer la nature des endomorphismes affines f et g de R 3 définis par : x = x + 2y 2z 2 f y = 3y + 2z + 6 z = 4y + 3z + 6 Exercice 6. g x y = 2 z y = x + 3y 2 z z = x + y 2 + z Soit un plan affine P sur un corps K. Soient A, B, C 3 points non alignés. Montrer qu il existe un endomorphisme affine f du plan P et un seul tel que f(a) = B, f(b) = C, f(c) = A. On munit le plan P du repère affine R = (A, B, C). On note (x 0, x 1, x 2 ) les coordonnées barycentriques d un point M P dans le repère R. Déterminer les coordonnées barycentriques de f(m) dans le repère R. Déterminer l ensemble des points fixes de f. Exercice 7 (Examen ). Soit X un espace affine de dimension n sur un corps commutatif K. On considère un repère affine (A 0,..., A n ). On note A n+1 = A 0. Pour tout i [0, n] on se donne un point B i sur la droite (A i A i+1 ), distinct des points A i et A i+1. Pour tout i [0, n] on note λ i K le scalaire défini par (B i, 1) = Bar((A i, λ i ), (A i+1, 1 λ i )). Etablir entre les scalaires λ 0,..., λ n une relation donnant une condition nécessaire et suffisante pour que les points B 0,..., B n appartiennent à un même hyperplan affine de X. Donner dans ce cas la valeur du produit n B i A i. B i A i+1 i=0

7 Université de Metz Licence de Mathématiques U.F.R. M.I.M. Unité Géométrie affine et euclidienne Département de Mathématiques Année universitaire 2006/2007 Exercice 1 (examen ). TD 4. Géométrie par Jean-Pierre Dax Soit un espace affine euclidien X de dimension 3 muni d un repère orthonormé R = (O; e 1, e 2, e 3 ). On considère le plan P passant par le point A(1, 2, 3) et de direction orthogonale au vecteur (1, 1, 2). 1) Déterminer l équation cartésienne dans le repère R du plan P. 2) Déterminer l expression analytique dans le repère R de la projection orthogonale sur le plan P. Exercice 2. Soit un triangle direct ABC d un plan affine euclidien orienté P. On note a = BC, b = CA, c = AB, et on considère les angles (non orientés) Â = BAC, B = ĈBA, Ĉ = ÂCB. 1) On considère le repère affine R = (A, B, C). Prouver que les coordonnées barycentriques d un point M de P sont proportionnelles aux aires algébriques des triangles MBC, MCA et MAB. 2) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Que peut-on dire des aires algébriques des triangles GBC, GCA et GAB? 3) Déterminer en fonction de a, b, c, Â, B, Ĉ, les coordonnées barycentriques dans le repère affine R 1) du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ; 2) de l orthocentre H du triangle ABC [se ramener au cas précédent] ; 3) du centre I du cercle inscrit intérieurement au triangle ABC. Exercice 3. Soit un espace vectoriel euclidien E de dimension n. On considère le système de p vecteurs (f 1,..., f p ). Pour tout i {0,..., p} on note F i = Vect{f 1,..., f i }. a) Prouver que l on a la relation suivante entre déterminants de Gram b) Etablir la relation Γ(f 1,..., f p ) = Γ(f 1,..., f p ) = Γ(f 1,..., f p 1 ) d(f p, F p 1 ) 2. p d(f i, F i 1 ) 2. i=1 c) En déduire que Γ(f 1,..., f p ) 0 et que Γ(f 1,..., f p ) = 0 ssi (f 1,..., f p ) est lié. Exercice 4. a) On considère un plan affine euclidien P muni d un repère orthonormé (O; ı, j ). Soit le cercle d équation x 2 + y 2 2 a x 2 b y + c = 0 où a, b, c R, a 2 + b 2 c > 0. Déterminer une équation tangentielle de ce cercle, c est-à-dire une équation de la forme ϕ(u, v, w) = 0 où ϕ : (R 2 \ {0}) R R, et donnant une condition nécessaire et suffisante pour que la droite u x+v y +w = 0 soit tangente au cercle.

8 b) On considère un plan affine muni d un repère cartésien (O; ı, j ). Déterminer une équation tangentielle de la conique propre d équation a x 2 + b y c x y + 2 d x + 2 e y + f = 0 où a, b, c, d, e, f R, avec a, b, c non tous nuls. La conique est dite propre si la forme quadratique q(x, y, z, t) = a x 2 + b y c x y + 2 d x t + 2 e y t + f t 2 est non dégénérée (c est-à-dire sa matrice a un déterminant non nul). Indication : utiliser la notation matricielle. Exercices 5. On considère un espace affine euclidien X de dimension 3 muni d un repère orthonormé R = (O; ı, j, k ). On note (x, y, z) les coordonnées d un point M X. 1) On considère un cône de révolution C de sommet O, d axe = Oz et de demi-angle au sommet α ]0, π/2[ ; le cône est défini comme l ensemble des droites passant par O et faisant un angle α avec Oz. Déterminer l équation cartésienne du cône C. 2) Soit P le plan passant par A(0, 0, 1), perpendiculaire à Oyz et admettant le vecteur (0, sin θ, cos θ) dans sa direction, où θ ]0, π/2[. Déterminer un repère orthonormé R du plan P ainsi qu une équation cartésienne du plan P dans le repère R. 3) On considère l intersection Γ = C P. Déterminer l équation cartésienne de Γ dans le repère R. Montrer que Γ est une conique d excentricité e = cos θ cos α. Exercice 6. On considère un plan affine euclidien orienté P. Soit O P, D une droite affine de P et θ R \ 2πZ. On note sim D la symétrie orthogonale par rapport à D ; on note Rot O,θ la rotation de centre O et d angle θ. Enfin on note ϕ l application conjuguée de Rot O,θ par rapport à sim D, définie par ϕ = sim D Rot O,θ (sim D ) 1. Prouver que ϕ est une rotation dont on déterminera le centre O et l angle θ. On résoudra cet exercice en utilisant la notation complexe. Exercice 7 (examen ). Soit un triangle ABC d un plan affine euclidien P. On note r A, r B, r C les rotations de centres respectivement A, B, C, et d angles respectivement ( AB, AC), ( BC, BA), ( CA, CB). 1) On considère l application composée f = r A r B r C. Déterminer la nature de l isométrie f. Préciser ses éléments caractéristiques (en fonction de points associés classiquement à un triangle). 2) On considère la composée de symétries orthogonales g = sim (BC) sim (CA) sim (AB). Déterminer la nature de l isométrie g. Préciser ses éléments caractéristiques.

9 Exercice 8 (examen ). Soit X un espace affine euclidien euclidien orienté de dimension 3. Soit ABCD un tétraèdre régulier direct. On note ı = AB, j = AC, k = AD. On note s AB (resp. s AC, s AD ) les demi-tours (c est-à-dire les symétries orthogonales) par rapport aux droites (AB) (resp. (AC), (AD)). On note enfin ϕ = s AD s AC s AB. 1) Montrer que ϕ est une isométrie et préciser sa nature. 2) Déterminer les matrices de s AB, s AC, s AD puis celle de ϕ par rapport à la base directe ( ı, j, k ). 3) En déduire les éléments caractéristiques de l isométrie ϕ. ATTENTION : la base ( ı, j, k ) n est pas orthonormée! 4) On note Ω la partie (appelée réseau) de X définie par Ω = { M X a, b, c Z, AM = a ı + b j + c k }. Montrer que Ω est stable pour ϕ et que ϕ induit une bijection de Ω sur Ω.

10 Université de Metz Licence de Mathématiques U.F.R. M.I.M. Unité Géométrie affine et euclidienne Département de Mathématiques Année universitaire 2006/2007 TD 5. Géométrie par Jean-Pierre Dax Exercice 1 (examen ). On considère un plan affine euclidien X orienté muni d un repère orthonormé direct R = (O; e 1, e 2 ). On considère les applications affines f, g : X X définies par f(o)(1, 2), g(o)(1, 1) et par les matrices dans la base B = ( e 1, e 2 ) données par Mat( f) = 1 [ ] 3 4, Mat( g) = [ ] Prouver que f (resp. g) est une isométrie ; déterminer sa nature et sa décomposition canonique. Exercice 2. Soit un espace affine euclidien X orienté de dimension 3 muni d un repère orthonormé direct R = (O; e 1, e 2, e 3 ). On considère les applications affines f, g, h : X X définies par f(o)(1, 2, 3), g(o)(1, 1, 1), h(o)(1, 1, 1) et par les matrices dans la base B = ( e 1, e 2, e 3 ) données par Mat( f) = , Mat( g) = , Mat( 7 9 h) = Prouver que f (resp. g, h) est une isométrie ; déterminer sa nature et ses éléments caractéristiques. Indication : une fois prouvé que f est une isométrie, on commencera par calculer r = dim Fix f, puis Fix f ; si Fix f, on cherchera la décomposition canonique de f. De même pour g et h. Exercice 3 (rotation dans l espace). Soit un espace affine euclidien orienté X de dimension 3 muni d un repère orthonormé direct R = (O; e 1, e 2, e 3 ). 1) On considère la droite affine passant par le point A(a, b, c) et de vecteur directeur unitaire k = (α, β, γ). Soit M X, M(x, y, z). On note H = p (M). Déterminer (sans calculer les coordonnées de H) en fonction de x, y, z, a, b, c, α, β, γ les composantes du vecteur HN = k HM. Prouver que l application M X N X est une isométrie et indiquer sa nature. 2) On considère la rotation affine r d axe orienté par k, d angle θ mod 2π. On note M = r(m). Déterminer les coordonnées x, y, z de M en fonction de x, y, z, a, b, c, α, β, γ, θ. Indication : utiliser la relation HM = cos θ HM + sin θ k HM..

11 Exercice 4. Soit un espace affine euclidien X de dimension 3. On considère des droites D i, i [1, 4], supposées non coplanaires 2 à 2. On considère les demi-tours r i d axe D i, i [1, 4]. On note la perpendiculaire commune à D 1 et D 2. On note {A i } = D i, i [1, 2]. 1) Prouver que r 2 r 1 est un vissage d axe, d angle 2 ( D 1, D 2 ), de vecteur 2 A 1 A 2. Prouver que ce vissage n est pas une translation. 2) On suppose dans cette question que r 2 r 1 = r 3 r 4. Prouver alors que D 3 et D 4 sont perpendiculaires à. 3) En déduire que r 3 r 2 r 1 est un demi-tour si et seulement si D 3 est perpendiculaire à. Exercice 5. Soit un plan affine euclidien orienté X. On considère des points A, B, A, B X tels que A B, A B. 1) Prouver, en utilisant la notation complexe, qu il existe une similitude directe f de X et une seule telle que f(a) = A, f(b) = B. 2) On suppose dorénavant les droites (AB) et (A B ) transversales. Prouver que f admet un centre de similitude Ω et un seul (c est-à-dire un unique point fixe). 3) On note I le point d intersection des droites (AB) et (A B ). On suppose que I A, B, A, B. Les cercles IAA et IBB passent par I ; on note J leur second point d intersection. Prouver que l on a les relations suivantes entre mesures d angles orientés : où θ désigne l angle de la similitude. ( ΩA, ΩA ) ( ΩB, ΩB ) θ mod 2π, ( IA, IA ) ( IB, IB ) θ mod π, 3) Prouver que Ω = J (si J I, ne pas oublier de prouver que Ω I). 4) En déduire une construction géométrique du centre Ω de la similitude f. 5) Soient Ω, Ω X, R, R R + tels que Ω Ω, R R. On considère les cercles Γ = C(Ω, R) et Γ = C(Ω, R ). Déterminer l ensemble L des centres des similitudes directes g telles que g(γ) = Γ. Exercice 6. Soit un plan affine euclidien orienté P. Soit f la rotation de centre A P et d angle θ R \ 2πZ. Soit g une symétrie orthogonale par rapport à la. 1) On suppose que A. Prouver que g f est une symétrie droite. Construire géométriquement sur une figure son axe. 2) On suppose que A. Prouver que g f est une symétrie glissée de vecteur non nul. Construire géométriquement sur une figure son axe et son vecteur.