x + 3 Classes de Premières S Mathématiques 7 décembre 2016 Nom : Prénom : Classe : a) 2x² + 3x - 9 = 0 -6 x² = - 1 x - 3

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1 Nom : Prénom : Classe : Note : /30 Durée 2 heures Observations : Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. La calculatrice est autorisée. Exercice 1 : /6 pts 1) Résoudre dans les équations suivantes : a) 2x² + 3x - 9 = 0 b) -6 x² = - 1 x - 3 2) Résoudre dans les inéquations suivantes : a) -3x² + 7x 4 > 0 b) x² + 2x 3 x² + 2x Exercice 2 : Soit H l hyperbole d équation y = 6 et D la droite d équation y = 2x 1. /6 pts 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de H avec les axes du repère. 2) Conjecturer avec la calculatrice le nombre de points d intersection de l hyperbole H avec la droite D. 3) En résolvant une équation vérifier la conjecture émise. 4) Etudier les positions relatives de H et D. 1

2 Exercice 3 : /2 pts i=3 a) Calculer (2i + 1)² i=1 b) Exprimer à l aide du symbole la somme suivante : Exercice 4 : /4 pts Une machine est réglée pour produire des paquets de pâtes de 500 grammes. Pour vérifier le réglage de cette machine, on prélève un lot de 100 paquets que l on pèse. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-contre. 1) Déterminer la masse moyenne x d un paquet ainsi que l écart-type. 2) D après le protocole de maintenance de la machine, il faut procéder à un réglage si l intervalle [ x - 2 ; x + 2] contient moins de 95% des paquets produits. Faut-il régler la machine? Justifier votre réponse. Masse (g) Nombre de paquets Exercice 5 : 1) Soit f la fonction définie sur \ {1} par f(x) = 3x + 2 x - 1 de f dans un repère. a) Calculer le taux d accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h. b) f est-elle dérivable en 0? Dans l affirmative, calculer le nombre dérivable de f en 0. c) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d abscisse 0. d) Déterminer f (x). 2) Pour x la fonction g est définie par g(x) = (2x² + 1)(-3x + 5). Déterminer la fonction dérivée de g. On donnera la forme développée et réduite de g (x). /8 pts et C f la courbe représentative 2

3 Exercice 6 : Sur la figure ci-dessous, AB = 12, AH = 8, BH = 4 et CH = 6. /4 pts On pose AM = x, où x est un nombre réel compris entre 0 et 8. 1) Montrer que MN = 3x 4 et QB = x 2. 2) On note S(x) l aire du rectangle MNPQ en fonction de x. a) Déterminer S(x). b) En déduire la valeur de x pour laquelle l aire S(x) est maximale? Donner également la valeur maximale de cette aire. 3

4 Exercice 1 : /6 pts 1) Résoudre dans les équations suivantes : a) 2x² + 3x - 9 = 0 b) -6 x² = - 1 x - 3 2) Résoudre dans les inéquations suivantes : a) -3x² + 7x 4 > 0 b) x² + 2x 3 x² + 2x ) Le discriminant de cette équation du second degré est : = b² - 4ac = 3² - 42(-9) = = 81 = 9² Comme > 0, alors cette équation admet deux solutions distinctes : x1 = -b - 2a = = = -3 et x2 = -b + 2a = = 6 4 = 3 2 L ensemble des solutions de cette équation du second degré est donc S = -3; 3 2. Vérification graphique : On vérifie que les abscisses des points d intersection de la parabole avec l axe des abscisses sont -3 et

5 -6 b) x² = (x² - 9) + x - 3 x² - 9 x² (x 3)() = x² x² - 9 2x² + x 21 x² - 9 = 0 = 0 2x² + x 21 = 0 et x² x² + x 21 = 0 et x -3 et x 3 Le discriminant de l équation du second degré 2x² + x 21 = 0 est : = b² - 4ac = 1² - 42(-21) = = 169 = 13² Comme > 0, cette équation admet deux solutions : x1 = -b - 2a = = et x2 = -b + 2a = = 3 Comme 3 est une valeur interdite, l ensemble des solutions de l équation -6 x² = - 1 x - 3 est S = Vérification graphique : On trace les courbes d équation y = -6 x² et y = - 1 x - 3. On vérifie que le seul point d intersection des deux courbes a pour abscisse ) Résoudre dans les inéquations suivantes : 5

6 a) -3x² + 7x 4 > 0 Le discriminant de l équation du second degré associée est : = b² - 4ac = 7² - 43)(-4) = = 1 = 1² Comme > 0, l équation -3x² + 7x 4 > 0 admet deux solutions : x1 = -b - 2a = (-3) = 4 -b + et x2 = = = a -6 Comme a = -3 < 0, alors l ensemble des solutions de l inéquation -3x² + 7x 4 > 0 est : S = 1 ; 4 3. Vérification graphique : On vérifie que les points de la parabole ayant une ordonnée positive ont une abscisse comprise entre 1 et 4 3. b) x² + 2x 3 x² + 2x x² + 2x 3 (x + 1)² 0 On remarque que -1 est une valeur interdite (car elle annule le dénominateur de la fraction.) Le discriminant de l équation x² + 2x 3 = 0 est : = b² - 4ac = 2² - 41(-3) = = 16 = 4² 6

7 Comme > 0, cette équation admet deux solutions : x1 = -b - 2a = On en déduit le tableau de signes suivant : -b + = -3 et x2 = = = 1 2a 2 x x² + 2x (x + 1)² x² + 2x 3 x² + 2x L ensemble des solutions de l inéquation S = [-3 ;-1[ ]-1 ;1]. Vérification graphique : x² + 2x 3 0 est donc : x² + 2x + 1 On vérifie que les points de la courbe ayant une ordonnée négative ont une abscisse comprise entre -3 et 1 avec -1 exclus. 7

8 Exercice 2 : Soit H l hyperbole d équation y = 6 et D la droite d équation y = 2x 1. /6 pts 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de H avec les axes du repère. 2) Conjecturer avec la calculatrice le nombre de points d intersection de l hyperbole H avec la droite D. 3) En résolvant une équation vérifier la conjecture émise. 4) Etudier les positions relatives de H et D. 1) f(0) = = 3 3 = 1 Donc le point A d intersection de H avec l axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ;1). f(x) = 0 6 = 0 6 = 0 et 0 x = - 3 et x -3 6 x = Donc l unique point B d intersection de H avec l axe des abscisses a pour coordonnées ; 0. Vérification graphique : 8

9 2) Avec cette fenêtre graphique : On obtient le graphique suivant : Il semble que l hyperbole d équation y = 6 deux points d intersection. et la droite d équation y = 2x 1 ont Plus précisément, en utilisant la commande Calculs/Intersection, on obtient : Les abscisses des points d intersection de l hyperbole et de la droite sont -1,5 et 2. 9

10 Avec GeoGebra, on obtient bien sûr le même résultat : 3) Pour déterminer le nombre de points d intersection et les abscisses de ces points de l hyperbole et de la droite, on résout l équation : 6 6 = 2x 1. = 2x 1 6 = ()(2x 1) et 0 6 = 2x² - x + 6x 3 et x -3 6 = 2x² + 5x 3 et x -3 2x² + 5x 3 6x 3 = 0 et x -3 2x² - x 6 = 0 et x -3 Le discriminant de l équation du second degré 2x² - x 6 = 0 est : 10

11 = b² - 4ac = (-1)² - 42(-6) = = 49 = 7² Comme > 0, cette équation admet deux solutions : x1 = -b - 2a = = - 3 -b + et x2 = = a 4 = 2. 6 Les solutions de l équation = 2x 1 sont donc 3 et 2. 2 Donc l hyperbole d équation y = 6 d intersections dont les abscisses sont 3 et ) On résout l inéquation 6 > 2x 1 6 > 2x (2x 1) > 0 et la droite l équation y = 2x 1 ont deux points (2x 1)() - 2x² + 6x x 3-2x² + 5x 3 6 2x² - 5-2x² + x + 6 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 Avec la question 3), on connait les solutions de l équation -2x² + x + 6 = 0 : - 3 et 2. 2 On établit un tableau de signes : x x² + x

12 -2x² + x On en déduit que l hyperbole est au dessus de la droite si x ] - ; -3[ ; 2 et l hyperbole est sous la droite si x -3 ; [2 ; + [. 12

13 Vérification graphique : Exercice 3 : /2 pts i=3 a) Calculer (2i + 1)² i=1 b) Exprimer à l aide du symbole la somme suivante : i=3 a) (2i + 1)² = (21 + 1)² + (22 + 1)² + (23 + 1)² = 3² + 5² + 7² = = 83 i=1 n = 5 b) = ² = 1 n=0 4 n 13

14 Exercice 4 : /4 pts Une machine est réglée pour produire des paquets de pâtes de 500 grammes. Pour vérifier le réglage de cette machine, on prélève un lot de 100 paquets que l on pèse. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-contre. 1) Déterminer la masse moyenne x d un paquet ainsi que l écart-type. 2) D après le protocole de maintenance de la machine, il faut procéder à un réglage si l intervalle [ x - 2 ; x + 2] contient moins de 95% des paquets produits. Faut-il régler la machine? Justifier votre réponse. Masse (g) Nombre de paquets La moyenne est : x = La variance est : V = = = 499,67 1( ,67)² + 4( ,67)² + + 2( ,67)² + 1( ,67)² 100 V = 390, = 3,9011 L écart-type est = V 1,9751 On retrouve ces résultats à l aide du menu STATS de la calculatrice : On retrouve les valeurs de x (la moyenne) et x (l écart-type). Remarque : 14

15 L histogramme de répartition du nombre de paquets : Nombre de paquets Se rapproche d une distribution de probabilité que nous étudierons cette année (la loi binomiale). 2) I95% = [ x - 2 ; x + 2] [499,67-21,9751 ; 499, ,9751] I95% [495,72 ;503,62] Le nombre de paquets qui n appartiennent pas à cet intervalle est : 1 (celui de 495 g) + 2 (celui de 504 g) + 1 (505 g) = 4 Donc le pourcentage de paquets qui appartiennent à I95% est Il n est donc pas nécessaire de régler la machine. = 0,96 > 95%. 15

16 Exercice 5 : 1) Soit f la fonction définie sur \ {1} par f(x) = 3x + 2 x - 1 de f dans un repère. a) Calculer le taux d accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h. b) f est-elle dérivable en 0? Dans l affirmative, calculer le nombre dérivable de f en 0. c) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d abscisse 0. d) Déterminer f (x). 2) Pour x la fonction g est définie par g(x) = (2x² + 1)(-3x + 5). Déterminer la fonction dérivée de g. On donnera la forme développée et réduite de g (x). 1) a) Pour h réel non nul, r(h) = r(h) = f(0 + h) f(0) h 3h h 2 1 5h = h - 1 h h- 1 1 h = 5 h b) lim r(h) = h0 0-1 = -5 = 3h + 2 h h /8 pts et C f la courbe représentative = 3h + 2 1) +2(h h - 1 h h Comme cette limite est finie, f est dérivable en 0 et le nombre dérivable de f en 0 est f (0) = lim h0 r(h) = -5 c) Une équation de la tangente à Cf au point d abscisse 0 est de la forme : Soit y = -5x 2 y = f (0)(x 0) + f(0) 16

17 Vérification graphique : d) f en tant que fonction homographique est dérivable sur son ensemble de définition \ {1}. f est de la forme u avec u(x) = 3x + 2 et v(x) = x 1 v Pour x \ {1}, f (x) = Or u (x) = 3 et v (x) = 1 Donc f (x) = 3(x 1) (3x + 2)1 (x 1)² u (x)v(x) u(x)v (x). [v(x)]² = 3x 3-3x 2 (x 1)² = -5 (x 1)² Remarque : on peut vérifier la réponse de la question 1) b) : f (0) = -5 (0 1)² = -5 2) g est une fonction polynôme (de degré 3), elle est donc dérivable sur. g est de la forme uv avec u(x) = 2x² + 1 et v(x) = -3x + 5 Pour x, g (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) Or u (x) = 4x et v (x) = -3 Donc g (x) = 4x(-3x + 5) + (2x² + 1)(-3) g (x) = -12x² + 20x 6x² - 3 = -18x² + 20x 3 17

18 Exercice 6 : /4 pts Sur la figure ci-dessous, AB = 12, AH = 8, BH = 4 et CH = 6. On pose AM = x, où x est un nombre réel compris entre 0 et 8. 1) Montrer que MN = 3x 4 et QB = x 2. 2) On note S(x) l aire du rectangle MNPQ en fonction de x. a) Déterminer S(x). b) En déduire la valeur de x pour laquelle l aire S(x) est maximale? Donner également la valeur maximale de cette aire. 1) Les droites (MN) et (HC) étant perpendiculaires à la même droite (AB) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AMN et AHC : Soit x 8 = MN 6 D où : MN = 6 8 x = 3x 4 AM AH = AN AC = MN HC. De même les droites (PQ) et (HC) étant perpendiculaires à la même droite (AB) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BPQ et BCH : Soit QB 4 = QP 6 BQ BH = BP BC =QP HC. 18

19 D où : QB = 2 3 QP Or QP = MN car les côtés opposés du rectangle MNPQ sont de même longueur. Donc QB = 2 3 MN = 2 3 3x 4 x 2 2) a) S(x) = MNMQ MQ = AB AM QB = 12 x x 2 = x Donc S(x) = 3x x b) S(x) = 9 8 x² + 9x = ax² + bx + c avec a = -9 et b = 9. 8 Le sommet T de la parabole représentant la fonction du second degré représentant la fonction S dans un repère a pour coordonnées : S( ; ) avec : = - b 2a = = = 4 et = S() = S(4) = = 3(12 6) = 36 = 18 Comme a < 0, alors S admet un maximum en x = = 4 et la valeur de ce maximum est = 18. Animation Geogebra illustrant l exercice 19