TRANSMISSION DE CHALEUR AVANCÉE GMC751 CONVECTION NATURELLE INTERNE. Professeur Marcel Lacroix Université de Sherbrooke

Transcription

1 RANSMISSION DE CALEUR AVANCÉE GMC751 CONVECION NAURELLE INERNE Professer Marcel Lacroi Uniersité de Sherbrooke 1

2 CONVECION NAURELLE INERNE 1. CONVECION NAURELLE DANS UNE CAVIÉ RECANGULAIRE. EXEMPLE: OPIMISAION D UN MUR MULICOUCES Marcel Lacroi Conection natrelle interne

3 1. CONVECION NAURELLE DANS UNE CAVIÉ RECANGULAIRE Marcel Lacroi Conection natrelle interne 3

4 CAVIÉ RECANGULAIRE = δ t W Chaffage et détente Isolé (flide) g Refroidissement et compression C W > C L < << W =0 =0 Isolé =L 4

5 CAVIÉ RECANGULAIRE Soit ne caité rectanglaire de hater, de larger et de profonder por laqelle L W L < << W La températre de la paroi erticale de gache (chade) est constante et égale W et celle de la paroi erticale de droite (froide) est de C. Les parois horizontales sont adiabatiqes. Si L ~ δ t (caité étroite), le flide est stagnant et la chaler est transmise à traers la caité par condction. Si L >> δ t (caité large), la chaler est transmise à traers la caité par conection natrelle. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 5

6 CAVIÉ RECANGULAIRE: YPOÈSES Flide incompressible: la masse olmiqe ne dépend pas de la pression. Elle dépend totefois de la températre. Écolement newtonien, laminaire et bidimensionnel. Régime établi. Dissipation isqese négligeable. Raonnement négligé. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 6

7 Marcel Lacroi Conection natrelle interne 7 ÉQUAIONS DE CONSERVAION = 0 = 1 P ρ µ ρ [ ] ) ( g P = β ρ µ ρ = α (1) () (3) (4)

8 Marcel Lacroi Conection natrelle interne 8 ORDRES DE GRANDEUR ; ) ( 1 ) ( 1 ; ; ~ ; ~ O O t t t << δ δ δ Épaisser de la coche limite thermiqe le long des parois erticales

9 Marcel Lacroi Conection natrelle interne 9 ORDRE DE GRANDEUR Ordre de grander de l éqation d énergie (4): où ( 0 :températre référence) Ordre de grander de l éqation de continité (1): Sbstitons (6) dans (5) por obtenir ~ itesse erticale: ~, t t δ α δ α = (5) t ~ 0 δ = (6) ~ t δ α (7) W C = ~

10 10 ORDRE DE GRANDEUR Dérions maintenant l éqation (3) par et l éqation () par et sostraons les por éliminer les termes de pression: (8) g = β ρ µ Marcel Lacroi Conection natrelle interne (Inertie) (Frottement) (Archimède)

11 ORDRE DE GRANDEUR Sbstitons les granders caractéristiqes dans (8): δ t (Inertie) ~ µ, gβ 3 ρ δt δt (Frottement) (Archimède) Diisons le tot par le terme d Archimède et remplaçons la itesse erticale par l epression (7): (9) δt 4 Ra 1 (Inertie) Pr 1 ~ δ t 4 Ra 1,1 (Frottement), (Archimède) (10) Marcel Lacroi Conection natrelle interne 11

12 ORDRE DE GRANDEUR Le nombre de Raleigh est défini comme : Ra = βgρ αµ 3 Le nombre de Prandtl est: Pr = µ ρα Marcel Lacroi Conection natrelle interne 1

13 ORDRE DE GRANDEUR L eamen de (10) réèle qe la concrrence entre les forces d inertie et les forces de frottement est tranchée par les propriétés d flide, c est-à-dire le nombre de Prandtl Pr. Por les flides dont le nombre de Prandtl est de l ordre de 1 o pls grand (comme l air, l ea et les hiles), la coche limite est dominée par le frottement et les forces d Archimède. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 13

14 ORDRE DE GRANDEUR Pr 1 coche chaffée (o refroidie) motrice (frottement~archimède) coche non chaffée entraînée (frottement~inertie) δ t δ Marcel Lacroi Conection natrelle interne 14

15 ORDRE DE GRANDEUR Pr 1 Dans ce cas, l éqation (10) réèle: δ t ~ 1 4 La itesse ascendante le long de la paroi chaffée (et la itesse descendante le long de la paroi froide) est, de l éqation (7), Ra (11) α 1 ~ Ra δt = α (1) Marcel Lacroi Conection natrelle interne 15

16 ORDRE DE GRANDEUR: CALEUR RANSMISE PAR CONVECION La chaler transmise par conection natrelle de la paroi chaffée a flide ascendant (égale à la chaler transmise par conection natrelle d flide descendant à la paroi froide) est calclée ainsi: q h = kw 0 = 0 Recorons à (11) por estimer l ordre de grander de (13): d (13) q h 1 4 ~ kw d = kw Ra 0 δ t (14) Marcel Lacroi Conection natrelle interne 16

17 CALEUR RANSMISE PAR CONVECION L éqation (14) montre qe la pissance transmise est 1 proportionnelle à 4 Ra. Les dierses corrélations empiriqes disponibles por le calcl de la pissance thermiqe transmise dans ne caité étroite ( > L) ressemblent à l epression (14). Elles font totes apparaître cette dépendance a nombre de Raleigh. De pls, por des raisons pratiqes, le nombre de Raleigh dans les corrélations empiriqes est défini en fonction de la différence de températre entre la paroi chade et la paroi froide: = W C Marcel Lacroi Conection natrelle interne 17

18 CORRÉLAION DE GILL Par eemple, la corrélation de Gill est semblable à (14): q h = 1 4 0,364 kw ( W C ) Ra, (15) où Ra, = βgρ( W C ) αµ 3 (16) Marcel Lacroi Conection natrelle interne 18

19 CALEUR RANSMISE DANS UNE CAVIÉ Le nombre de Nsselt dans les caités est défini ainsi: qh N = (17) q où q k est la chaler transmise par condction à traers la caité soit: kw q ( ) k = W C (18) L La corrélation de Gill por le nombre de Nsselt est obtene en sbstitant (15) et (18) dans (17): N = Marcel Lacroi Conection natrelle interne 19 k L 0 1 4,364 Ra, (19)

20 CRIÈRE DES CAVIÉS On a énoncé, a débt de ce chapitre, ne règle approimatie por distinger ne caité étroite ( L ~ δ d ne caité large. t ) ( L >> δt ) L epression (11) permet préciser cette distinction. Une caité large (la conection natrelle domine la condction) est ne caité a sein de laqelle la coche limite thermiqe est distincte soit, selon (11): δ t L 1 4 ~ < Ra, (0) Marcel Lacroi Conection natrelle interne 0

21 EXEMPLE: OPIMISAION D UN MUR MULICOUCES Marcel Lacroi Conection natrelle interne 1

22 W W t b C q briqe k b g air k a t a = L W C

23 MUR MULICOUCES Soit n mr constité de mltiples parois de briqes séparées par des lames d air. Le mr compte n1 parois de briqes de condctiité k b dont l épaisser de chacne est de t b. Par conséqent, il compte n lames d air de condctiité k a dont l épaisser de chacne est de t a. On en dédit qe l épaisser totale d mr est de: L nt ( n 1) = (1) a t b La hater d mr est de et sa profonder est de W. La températre sr les srfaces etérieres de gache et de droite d mr sont de W et C respectiement. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 3

24 MUR MULICOUCES La contrainte (économiqe) dans ce problème est la masse totale de briqe. Elle est fie. L épaisser totale de la briqe est de L 0. Par conséqent, l épaisser de chacne des parois de briqes est assi fie et égale à t b = L 0 /(n1). Il s agit alors de déterminer l épaisser des lames d air (t a ) min qi minimise la pissance thermiqe q transmise à traers le mr. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 4

25 MUR MULICOUCES Si l épaisser des lames d air est petite, la chaler est transmise à traers l air par condction. À mesre qe l épaisser de la lame d air agmente, la résistance de condction croît. otefois, a-delà d ne épaisser de lame 1 4 d air ta ~ Ra, θ (oir l éqation (11) de la section précédente), des moements de conection natrelle apparaissent et la résistance thermiqe se met à diminer. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 5

26 MUR MULICOUCES Notez ici qe le nombre de Raleigh est basé sr la différence de températres θ qi règne à traers ne lame d air (et non à traers tot le mr ): 3 gβρ θ Ra = (), θ µα Parce qe l air est n bon isolant (k a << k b ), on pet spposer qe = (3) W C nθ Marcel Lacroi Conection natrelle interne 6

27 MUR MULICOUCES La résistance thermiqe totale d mr lorsqe les lames d air sont stagnantes est de nta ( n 1) tb R = (4) k W k W a La résistance thermiqe totale d mr lorsqe la conection s établit dans les lames d air (oir la définition (17) de la section précédente) est de nta ( n 1) tb R = (5) k WN k W a b b Marcel Lacroi Conection natrelle interne 7

28 MUR MULICOUCES Si le mr ne contenait acne lame d air (t a =0), sa résistance thermiqe serait de L0 R = (6) k ( kbw ) Normalisons la résistance (5) par rapport à la résistance (6): kbnta R = 1 (7) k L N a 0 Marcel Lacroi Conection natrelle interne 8

29 MUR MULICOUCES Lorsqe l épaisser de la lame est très petite (t a tend ers zéro), N = 1 et la résistance normalisée (7) deient égale à kbnta R = 1 (8) k L a La résistance croît linéairement en fonction de t a. 0 Marcel Lacroi Conection natrelle interne 9

30 MUR MULICOUCES À l inerse, lorsqe l épaisser de la lame d air 1 4 dépasse ne certaine grander ( ta > Ra, θ ), la résistance (7) deient, après aoir remplacé le nombre de Nsselt par la corrélation de Gill, où R = Ra k b n 4 0,364 k L Ra, = a 1 La résistance thermiqe est ici indépendante de l épaisser t a Marcel Lacroi Conection natrelle interne 30 1, 3 gβρ µα (9)

31 MUR MULICOUCES L épaisser optimale de la lame d air (t a ) min se troe à l intersection des éqations (8) et (9): ( t 1 1 ) 3n 4Ra 4 a min, (10) Recorir à des lames d air por lesqelles t a > (t a ) min est intile. Non selement elles n agmenteront pas la résistance thermiqe totale d mr mais en pls, elles le rendront pls olmine. Marcel Lacroi Conection natrelle interne 31