3 ème : ENTRAINEMENT AU BREVET DES COLLEGES
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- Achille Larocque
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1 3 ème : ENTRAINEMENT AU BREVET DES COLLEGES Janvier 2012 Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 2 heures L emploi de la calculatrice est autorisé. En plus des 36 points prévus pour les 3 parties de l épreuve, la présentation, la rédaction, le soin seront évalués sur 4 pts.
2 Partie NUMERIQUE (sur 12 points) Exercice n 1 (/3 pts) : On considère les 3 nombres suivants : A = : 3 2 = = = = = 8 9 B = = = C = = = 17, = 1, / Calculer A et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible. 2 / Ecrire B sous la forme a 5, où a est un nombre entier. 3 / Calculer C et donner sa notation scientifique. Exercice n 2 (/4 pts) : On considère l expression D = (2x + 3)² + (2x + 3)(7x 2) 1 / Développer et réduire D. D = 4x² + 12x x² - 4x +21x 6 = 18x² +29x / Factoriser D. (2x + 3) [ (2x + 3) + (7x 2) ] = (2x + 3)(9x + 1) 3 / Résoudre l équation (2x + 3)(9x + 1) = 0. Signifie que 2x+3=0 ou 9x + 1=0 2x = -3 9x = -1 x = -1,5 et x = -1/9 sont solutions de l équation. 4 / Calculer D pour x = - 4. D = (-5)² + (-5) (-30) = = 175 Exercice n 2 (/5 pts) : Barème (pour éviter de jouer au LOTO!) :. 1 point par bonne réponse.. 0 point s il n y a pas de réponse.. - 0,5 si la réponse est fausse.. Si le total des points est négatif, l exercice sera noté 0. Question Réponse A Réponse B Réponse C (3x 2)² = 9x² - 4 9x² - 6x + 4 9x² - 12x + 4 Pour x = 2 5, l expression x² + 2x + 1 vaut : a pour valeur exacte Les nombres x, solutions de l inéquation 7x 5 < 4x + 1 sont : Sur la droite graduée ci-dessous, on a colorié les valeurs de x vérifiant : x < 2 x > 2 x < -2 x < -3 x > -3 x < -3
3 Partie GEOMETRIQUE (sur 12 points) Exercice n 1 (/8 pts) : La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. A et E appartiennent respectivement à [DB] et [DC] D On donne : AB = 5,4 cm ; BC = 7,2 cm AC = 9 cm ; AD = 2,6 cm les droites (AE) et (BC) sont parallèles. A E 1 / Faire une figure en vraie grandeur. ( Attention : laissez de la place pour la question 6 /!!) 2 / Calculer AE. On utilise le théorème de Thalès : (AE) // (BC) (BA) et (CE) sont sécantes en D. DA Donc DB =DE DC =AE BC 2,6 2,6+5,4 = AE 7,2 2,6 8 = AE 7,2 8AE=2,6 7,2 = 18,72 AE=2,34 cm 3 / Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. On utilise la réciproque du théorème de Pyhtagore. D une part, AC²=9²=81 D autre part, AB²+BC²=5,4²+7,2²=81 Donc ABC est rectangle en B 4 / Calculer l angle a ACB (valeur arrondie au degré près). Dans ABC rectangle en B Cos( a ACB)= BC = 7,2/9 = 0,8 AC a ACB=cos -1 (0,8) 37 5 / Calculer l aire du triangle BDC. A BDC = 7,2 (2,6+5.4) = 7,2 8 = 28,8 cm² / Construire la symétrie «complète» de cette figure par rapport au point B. B C
4 Exercice n 2 (/4 pts) : On considère la figure ci-dessous, qui n est pas en vraie grandeur. Les points B, C et D sont alignés. (AC) est la hauteur du triangle ABD issue de A. A cm 25 cm B C D 1 / Calculer la valeur exacte de BC, puis en donner la valeur arrondie au mm. On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C. AB² = BC² + AC² 30² = BC² + 25² 900 = BC² BC² = = 275 BC = ,6cm 2 / Calculer l arrondi au mm de la distance BD. Dans ACD rectangle en C tan( a CAD)= CD AC tan(49 )= CD 25 CD=25 tan(49 ) CD 28,8 cm BD = BC + CD = tan(49 ) 45,3cm PARTIE A PROBLEME (sur 12 points) Le cirque «Honskry» s'est installé en ville. Le chapiteau est constitué d'un cylindre de 20m de rayon et de hauteur 7,5m. Ce cylindre est surmonté d'un cône de révolution de hauteur [AO], tel que a ABO = 10 (voir schéma).
5 1) Montrer que l'aire de la piste, arrondie à l unité, est d'environ 1257 m². A = π 20² = 400π 1257m² 2) En déduire le volume du cylindre. V ,5 = 9427,5m 3 3) Démontrer que AB 20,3m ; puis que AO 3,5m. Dans AOB rectangle en O cos(10 ) = 20 AB AB=20 : cos(10 ) 20,3m tan(10 ) = AO 20 AO=20 tan(10 ) 3,5m 4) En déduire le volume du cône. V ,5 = 1466,5 m 3 3 5) Calculer alors le volume total du chapiteau. V + V = 9427,5+1466,5 = m 3 PARTIE B Pour maintenir le chapiteau, on tend des câbles [EG] et on plante des poteaux [HI]. On donne alors : EH = 2 m ; EG = 8 m ; EI = 1 m ; EF = 4 m. et GF = 7,5 m. 1) Démontrer que (HI) est parallèle à (GF). Les points G,H,E et F,I et E sont alignés dans cet ordre. D une part, EH/EG=2/8=0,25 D autre part, EI/EF=1/4=0,25 D après la réciproque du théorème de Thales, les droites (HI) et (GF) sont parallèles. 2) En déduire la longueur des poteaux [HI]. On utilise le théorème de Thales : (HG) et (IF) sont sécantes en E. (HI) // (GF) Donc HI/7,5 = 1/4 = 2/8 et donc HI = 7,5 :4 = 1,875m PARTIE C Les entrées «adultes» sont au prix de 5,2 et les entrées «enfants» au prix de 3. 1) a) Calculer la somme perçue pour la vente de 45 places «adultes», puis celle de la vente de 80 places «enfants». 45 5,2= 234 pour les adultes et 80 3=240 pour les enfants. b) Le cirque paye la location de son emplacement 100. Calculer alors son bénéfice total après paiement de la location =374 de bénéfice 2) a) On appelle x le nombre de places «enfants» vendues. Sachant qu'on a déjà vendu 60 places «adultes», exprimer, en fonction de x, le bénéfice que va réaliser le cirque après avoir payé la location. Le bénéfice est de 60 5,2 + 3x -100, c'est-à-dire x b) En déduire, dans ces conditions, le nombre de places «enfants» qu'il faut vendre pour réaliser un bénéfice de x = 485 3x = x = 273 : 3 = 91 Il faut vendre 91 places «enfants».
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