Étude globale d une fonction d une variable réelle à valeurs réelles

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1 Étude globale d une fonction d une variable réelle à valeurs réelles Contenus Item Capacités et commentaires fon1.1 Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction. fon1.2 Fonctions paires, impaires, périodiques. Interpréter géométriquement ces propriétés. Généralités sur les fonctions d une variable réelle à valeurs dans R Définitions, somme, produit, composée. fon1.3 Monotonie. Interpréter géométriquement. fon1.4 Fonctions majorées, minorées, bornées. Une fonction f est bornée si et seulement si f est majorée. Interpréter géométriquement. fon1.5 Extremum, extremum local.

2 fon2.1 Interpréter géométriquement la dérivée d une fonction en un point. Equation de la tangente en un point. Dérivation Équation de la tangente en un point. Application à l étude des variations d une fonction. Dérivée d une fonction réciproque. fon2.2 Dresser le tableau de variation d une fonction. À ce stade, un tableau de variation clairement présenté, accompagné de la détermination du signe de la dérivée et des valeurs ou limites aux bornes, vaut justification de bijectivité. fon2.3 Tracer le graphe d une fonction réciproque. fon3.1 Déterminer les symétries et les périodicités afin de réduire l ensemble d étude d une fonction. fon3.2 Déterminer les variations et les limites d une fonction Étude d une fonction Plan d étude d une fonction. fon3.3 Déterminer les extremums éventuels d une fonction. fon3.4 Tracer le graphe d une fonction fon3.5 Obtenir des inégalités grâce à une étude de fonction. Fonctions usuelles Valeur absolue, partie entière. Étude des fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances, circulaires directes et réciproques. Croissances comparées des fonctions logarithme népérien, puissances et exponentielle. fon4.1 Représenter graphiquement les fonctions valeur absolue et partie entière. fon4.2 Déterminer la dérivée, les variations et le graphe des fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances, circulaires directes et réciproques.. fon4.3 Comparer des fonctions au voisinage de l infini.

3 Calcul algébrique Contenus Item Capacités et commentaires Inégalités dans R Inégalités larges, inégalités strictes, intervalles de R. Opérations. Valeur absolue, inégalité triangulaire. Majoration, minoration et encadrement de sommes, de produits et de quotients. Équations, inéquations polynomiales et trigonométriques Équation du second degré, Factorisation d un polynôme dont une racine est connue. Cercle trigonométrique, valeurs usuelles, formules exigibles. cal1.1 cal1.2 cal1.3 cal1.4 cal2.1 cal2.2 cal2.3 Dresser un tableau de signes. Résoudre des inéquations. Interpréter graphiquement une inéquation du type f (x) λ. Interpréter sur la droite réelle des inégalités du type x-a b. Déterminer le signe d un trinôme. Factoriser un polynôme de degré inférieur à 3 dont une racine est connue. Utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des équations et inéquations trigonométriques. Exprimer cos(a-b), sin(a-b). Calcul de limites en un point ou à l infini Limite d une somme, d un produit, d un quotient, d un inverse. Exemples de formes indéterminées. Croissances comparées. Limite d une fonction composée. cal3.1 cal3.2 cal3.3 Lever, sur des exemples simples, certaines formes indéterminées à l aide de limites de taux d accroissement. Exemples classiques. Calculer une limite par encadrement ou par comparaison.

4 Calcul de dérivées et de primitives Dérivées des fonctions usuelles : x x n, exp, ln, cos, sin. Opération : somme, produit, quotient. Dérivation de t exp(φ(t)) avec φ fonction dérivable à valeurs complexes. Primitive sur un intervalle. Sommes et produits Notations et règles de calcul. Séparation d une somme en fonction de la parité des indices. Factorielle, coefficients binomiaux. Formule de Pascal. Formule du binôme de Newton. Factorisation de a 3 -b 3. Exemple de calcul de sommes : Σ k et Σ q k cal4.1 cal4.2 cal4.3 cal5.1 cal5.2 cal5.3 Maîtriser le calcul des fonctions dérivées dans des cas simples. Appliquer la formule (vou)'=u'.(v'ou) pour dériver une fonction composée. Reconnaître les expressions du type u'/u, u'.u n avec n dans N*, u'/u n, u'.(v'ou) où v est une fonction dérivable afin d en calculer les primitives. Effectuer un changement d indices. Reconnaître des sommes et produits télescopiques. Notations n! et coef bin (n k)

5 Géométrie élémentaire du plan Contenus Item Capacités et commentaires Repérage dans le plan Repère orthonormé (ou orthonormal), Coordonnées cartésiennes, Coordonnées polaires. Produit scalaire Définition géométrique, Bilinéarité, Symétrie gp1.1 Maîtriser le lien entre la géométrie pure et la géométrie repérée. gp1.2 Passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes. gp2.1 Interpréter le produit scalaire en termes de projection orthogonale. gp2.2 Exprimer le produit scalaire dans une base orthonormale. gp2.3 Caractériser l orthogonalité de deux vecteurs. gp2.4 Déterminer une mesure d un angle non orienté. Déterminant Définition géométrique, Bilinéarité, Antisymétrie. gp3.1 Interpréter un déterminant en termes d aire orientée d un parallélogramme. gp3.2 Caractériser la colinéarité de deux vecteurs. gp3.3 Calculer le déterminant dans une base orthonormale directe.

6 Droites Définition, vecteur directeur, vecteur normal. Équation cartésienne et système d équations paramétriques. gp4.1 Passer d une représentation paramétrique à une représentation cartésienne et inversement. gp4.2 Déterminer l intersection de deux droites. gp4.3 Déterminer le projeté orthogonal d un point sur une droite. gp4.4 Calculer la distance d un point à une droite. gp5.1 Reconnaître une équation cartésienne de cercle. Cercles Définition, Equation cartésienne, Représentation paramétrique. gp5.2 Déterminer une équation d un cercle à partir de son centre et son rayon. gp5.3 Déterminer le Déterminer le centre et le rayon d un cercle à partir d une équation. gp5.4 Déterminer une équation d un cercle connaissant les extrémités d un diamètre.

7 Équations différentielles linéaires Contenus Item Capacités et commentaires ed1.1 Écrire et résoudre l équation homogène associée. Équations différentielles linéaires du premier ordre Équation y'+a(x)y=b(x) où a et b sont des fonctions continues définies sur un intervalle de R à valeurs réelles ou complexes. Existence et unicité de la solution d un problème de Cauchy. ed1.2 ed1.3 ed1.4 Utiliser le principe de superposition et/ou la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière. Déterminer la solution générale de l équation avec second membre comme la somme de la solution générale de l équation homogène et d une solution particulière. Décrire l ensemble des solutions. Les étudiants doivent savoir étudier des équations dans lesquelles la variable et la fonction inconnue sont représentés par d autres lettres que x et y. ed1.5 Déterminer la solution vérifiant une condition initiale donnée.

8 ed2.1 Donner l équation caractéristique. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants y"+ay'+by=f(x) où a et b sont des nombres réels et f est une application continue à valeurs dans R ou C. Existence et unicité de la solution d un problème de Cauchy. ed2.2 ed2.3 ed2.4 ed2.5 Résoudre l équation homogène, notamment dans le cas d une équation de la forme y"±w²y=0. Déterminer une solution particulière dans le cas d un second membre de la forme Ae rx avec A et r dans C. Utiliser le principe de superposition. Exprimer la solution générale de l équation avec second membre comme la somme de la solution générale de l équation homogène et d une solution particulière. ed2.6 Déterminer la solution vérifiant une condition initiale donnée.

9 Nombres complexes Contenus Item Capacités et commentaires L ensemble C des nombres complexes Parties réelle et imaginaire, forme algébrique. Notations Re(z), Im(z). Opérations sur les nombres complexes. Conjugaison. Le plan étant muni d un repère orthonormal, affixe d un point, d un vecteur ; image d un nombre complexe. On identifie C au plan usuel muni d un repère orthonormal direct. Module d un nombre complexe. co1.1 co1.2 co1.3 co1.4 Notations Re(z), Im(z). Interpréter géométriquement le conjugué d un nombre complexe. Interpréter géométriquement le module d un nombre complexe. Interpréter géométriquement z-a avec a et z dans C. Module d un produit et d un quotient. Inégalité triangulaire, cas d égalité. Ensemble U Définition de e iθ où θ est réel, formules d Euler. Description des éléments de U. Relation e ia e ib =e i(a+b). Formule de Moivre. co2.1 co2.2 Linéariser et factoriser des expressions trigonométriques. Retrouver les expressions de cos(nt) et sin(nt) en fonction de cos(t) et sin(t) pour de petites valeurs de n.

10 Arguments d un nombre complexe non nul Arguments d un nombre complexe non nul. Arguments d un produit, d un quotient. co3.1 co3.2 Écrire un nombre complexe non nul sous la forme z=re iθ où r>0 et θ est un réel (forme trigonométrique). Interpréter géométriquement un argument d un nombre complexe, coordonnées polaires. Exponentielle complexe Définition de l exponentielle d un nombre complexe. co4.1 co4.2 Relation e z.e z' =e z+z' Résoudre une équation du type e z =e z' Racines n-ième Description des racines n-ième d un nombre complexe. Racines de l unité : définition, description, propriétés. co5.1 co5.2 Résoudre l équation z n =λ. Représenter géométriquement les racines de l unité. Notation Un. Équation du second degré dans C Racines carrées. Équation du second degré. co6.1 Déterminer les racines carrées d un nombre complexe sous forme algébrique et trigonométrique. co6.2 Résoudre une équation du second degré dans C.

11 Géométrie élémentaire de l'espace Contenus Item Capacités et commentaires Repérage dans l espace Repère orthonormé de l espace, coordonnées cartésiennes. Produit scalaire Définition géométrique, Bilinéarité, Symétrie. ge1.1 Maîtriser le lien entre la géométrie pure et la géométrie repérée. ge2.1 Exprimer le produit scalaire dans une base orthonormale directe. Produit vectoriel dans l espace orienté Définition géométrique, Bilinéarité, Antisymétrie. ge3.1 Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires. ge3.2 Exprimer le produit vectoriel dans une base orthonormale directe. Produit mixte dans l espace orienté Définition du produit mixte de trois vecteurs. Trilinéarité et antisymétrie. ge4.1 Déterminer si trois vecteurs sont coplanaires. ge4.2 Interpréter le produit mixte de trois vecteurs comme le volume d'un parallélépipède. Notation.

12 ge5.1 Déterminer une équation cartésienne ou un système d équations paramétriques d un plan. Passer d une représentation à l autre. Plans et droites Différents modes de définition d un plan et d'une droite. Distance d un point à un plan, distance d un point à une droite. ge5.2 ge5.3 Déterminer un vecteur directeur d une droite définie comme intersection de deux plans. Déterminer un système d équations cartésiennes ou un système d équations paramétriques d une droite. Passer d une représentation à l autre. ge5.4 Étudier des intersections. ge5.5 Déterminer le projeté orthogonal d un point sur une droite, sur un plan. ge6.1 Reconnaître une équation de sphère. Sphères Définition, équation cartésienne en repère orthonormé. ge6.2 ge6.3 Déterminer une équation d une sphère à partir de son centre et de son rayon. Déterminer le centre et le rayon d une sphère à partir d une équation. ge6.4 Déterminer l intersection d une sphère et d un plan.

13 Systèmes linéaires Contenus Item Capacités et commentaires Systèmes linéaires. Équation linéaire à p inconnues. Système linéaire à n équations et p inconnues. Système homogène. Matrice A d un système linéaire. Opérations élémentaires sur les lignes d un système ou d une matrice.systèmes équivalents sys1.1 Interprétations géométriques dans le plan et dans l espace. sys1.2 Maîtriser la notion de système équivalent. Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan sys2.1 sys2.2 Reconnaître et exploiter des matrices échelonnées dans le cadre de l étude de systèmes linéaires. Déterminer la matrice échelonnée réduite en lignes associée à un système donné. Description de l algorithme du pivot de Gauss-Jordan. sys3.1 Résoudre un système compatible. Ensemble des solutions d un système linéaire Structure de l ensemble des solutions. Rang d un système linéaire. Systèmes compatibles et incompatibles. sys3.2 sys3.3 sys3.4 L ensemble des solutions d un système S est soit vide, soit de la forme X0 +Sh où X0 est une solution particulière de S et Sh l ensemble des solutions du système homogène associé à S. Déterminer des conditions de compatibilité pour un système donné. Application aux problèmes d intersection en géométrie du plan et de l espace.

14 Polynômes Contenus Item Capacités et commentaires Polynômes à une indéterminée Ensemble K[X] des polynômes d indéterminée X et à coef dans K. Degré d un polynôme. Coefficient dominant, polynôme unitaire. Fonction polynomiale associée à un polynôme. pol1.1 Opérations : somme, produit et composée. pol1.2 Degré d une somme et d un produit. Bases de l arithmétique dans K[X] pol2.1 Divisibilité dans K[X]. pol2.2 Division euclidienne dans K[X]. Effectuer une division euclidienne dans K[X]. pol3.1 Polynôme dérivé. Opérations : somme produit. Dérivation pol3.2 Dérivées d ordre supérieur. Formule de Leibniz. pol3.3 Formule de Taylor.

15 Racines pol4.1 pol4.2 pol4.3 Déterminer les racines d un polynôme. Caractériser les racines par la divisibilité. Multiplicité d une racine. Caractérisation par les valeurs des dérivées successives en a de l ordre de multiplicité de la racine a. Polynôme scindé sur K. Théorème de d Alembert-Gauss (admis). Somme et produit des racines d un polynôme Expressions de la somme et du produit des racines d un polynôme en fonction de ses coefficients. co5.1 Cas du degré 2. co5.2 Cas du degré 3.

16 Calcul matriciel Contenus Item Capacités, connaissances et commentaires mat1.1 La j -ème colonne de AB est le produit de A par la j -ème colonne de B et la i -ème ligne de AB est le produit de la i -ème ligne de A par B. Espaces de matrices. Ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K. Opérations sur les matrices. Application à l écriture matricielle d un système linéaire. Puissances d une matrice carrée. Formule du binôme. Matrices carrées inversibles. Inverse. mat1.2 Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul et le produit matriciel n est pas commutatif. mat1.3 Matrice inversible et calcul de l'inverse. mat1.4 Inverse du produit de matrices inversibles. mat1.5 Formule du binôme.

17 mat2.1 Interprétation des opérations élémentaires sur les lignes d une matrice au moyen des matrices élémentaires. Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel Matrices élémentaires : matrices de transvection, de dilatation. Inversibilité desmatrices élémentaires. Calcul de l inverse d une matrice carrée par résolution d un système linéaire et méthode du pivot de Gauss. mat2.2 mat2.3 Traduction matricielle de l algorithme de Gauss-Jordan : pour toute matrice rectangulaire A à coefficients dans K, il existe une matrice E produit de matrices élémentaires et une unique matrice échelonnée réduite R telles que A=ER. Notation A ~ A'. Pour A dans Mn(K), équivalence des propriétés suivantes : A est inversible ; Le système AX=0 n admet que la solution nulle ; A ~ In ; Pour tout B, le système AX=B admet une unique solution ; Pour tout B, le système AX=B admet au moins une solution. Matrices carrées remarquables et transposition Matrices diagonales et triangulaires. Transposée et opérations. mat3.1 Stabilité par les opérations. mat3.2 Matrices symétriques et antisymétriques.

18 Dénombrement Contenus Item Capacités, connaissances et commentaires dén1.1 Définition et formule d union disjointe. Cardinal d un ensemble fini Définition et notation du cardinal d'un ensemble. Opérations sur les ensembles et les cardinaux : union disjointe, union quelconque, complémentaire et produit cartésien. dén1.2 dén1.3 dén1.4 Si B est une partie de l ensemble fini A alors B est finie et Card(B) Card(A) ; il y a égalité si et seulement si A = B. Démontrer l égalité de deux ensembles finis. Déterminer la solution générale de l équation avec second membre comme la somme de la solution générale de l équation homogène et d une solution particulière. Décrire l ensemble des solutions. Si A et B sont deux ensembles finis de même cardinal et f une application de A dans B alors f est injective si et seulement si f est surjective, si et seulement si f est bijective. dén1.5 Cardinal de l ensemble des parties d un ensemble fini. Dénombrement Nombre de p-uplets (ou p-listes) d éléments distincts d un ensemble à n éléments. Nombre de permutations d un ensemble à n éléments. Nombre de parties à p éléments d un ensemble à n éléments. dén2.1 dén2.2 Reconnaître des situations de dénombrement relevant du cadre de recherche du nombre de p-uplets d éléments distincts d un ensemble à n éléments. Reconnaître des situations de dénombrement relevant du cadre de recherche du nombre de parties à p éléments d un ensemble à n éléments.