RÉSEAUX RÉCIPROQUES - INTRODUCTION

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1 RÉSEUX RÉCIPROQUES - INTRODUCTION Définition Si a 1, a 2 et a 3 sont les vecteurs de base d'un cristal, alors ce cristal est invariant par toute translation T = u 1 a 1 + u 2 a 2 + u 3 a 3 où u 1, u 2, u 3 sont des entiers. Toute propriété physique de ce cristal est invariante par T. Par exemple, la densité électronique nr () est une fonction périodique de r avec les périodes a 1, a 2 et a 3 ; on en déduit nr ( + T) = nr (). Cette fonction peut donc être développée en série de Fourier nr () = n G exp( i G r). G Nous devons trouver une famille de vecteurs G telle que nr () soit invariant par T. Il s agit des vecteurs G = v 1 a 1 + v 2 a 2 + v 3 a 3 où v 1, v 2, v 3 sont des entiers et a 1, a 2, a 3 sont définis par: a i a j = 2π δ ij ( δ ij = 1) si ( i = j) ( δ ij = 0) si ( i j) Le réseau construit à l aide des vecteurs a 1, a 2, a 3 s appelle le réseau réciproque du réseau cristallin considéré qui lui est souvent appelé réseau direct. ttention: * Le réseau réciproque est bien un réseau, c'est à dire un ensemble de points. Il n y a pas d atomes dans le réseau réciproque. utrement dit, deux cristaux de même réseau direct avec des motifs différents ont le même réseau réciproque. * La dimension du réseau direct est homogène à une longueur [L]. Celle du réseau réciproque est homogène à l inverse d une longueur [L -1 ]. Diffraction de rayons X La diffraction de rayons X est l expérience de référence pour présenter le réseau réciproque des cristaux puisque la figure observée est justement le réseau réciproque du cristal étudié. Nous en rappelons ici brièvement l histoire et les principes. Pour plus de détails sur le calcul des lois, et des figures de diffractions, nous recommandons au lecteur de consulter les TD sur la diffraction.

2 Max von Laue travaille sur le passage d ondes lumineuses à travers un arrangement périodique de particules. Il en conclue que, plus la longueur de l onde électromagnétique est courte (propriétés que les rayons X sont supposés posséder), plus il y a de chances de voir apparaître un phénomène d interférence ou de diffraction. Un cristal constitue un milieu idéal pour étudier cette thèse. Sommerfeld, Wien et d autres élèvent alors des objections à cette idée. Néanmoins, Friedriech (un assistant de Sommerfeld) et Knipping finissent par réussir à tester expérimentalement cette idée et à prouver qu elle est correcte. Von Laue pose alors la formulation mathématique et publie sa découverte en Il établit ainsi que les rayons X sont des ondes électromagnétiques. Ce résultat lui vaut le prix Nobel de physique en 1914 et prépare le travail de William et Bragg. Bragg dérive la théorie qui permet de déterminer l arrangement des atomes d un cristal (la structure cristalline) à partir de figures de diffraction obtenues en envoyant un rayonnement de longueur d onde λ suffisamment faible sur le cristal. En résumé, il considère qu un rayon incident (sous l angle θ) se réfléchit sur chacun des plans réticulaires parallèles et équidistants (séparés de la distance d). Chaque plan est supposé agir comme un miroir. Il en déduit la loi dite «loi de Bragg»: 2dsinθ = nλ. Celle-ci établit la condition d interférence constructive des ondes diffusées par des charges ponctuelles placées aux noeuds du réseau. Partant d une onde incidente de vecteur d onde k, l intensité de l onde diffusée de vecteur d onde k' met en jeu des facteurs de phase exp( i k r) avec k = k' k. Dans le calcul de cette intensité, ne sont conservés que les termes où r possède la périodicité du réseau. Ce facteur de phase vaut 1 quand k est un vecteur du réseau réciproque, ce qui conduit à une intensité non nulle de l onde diffusée. u contraire, on montre qu elle s annule très vite quand k diffère d un vecteur du réseau réciproque. Une figure de diffraction d un cristal est donc une carte du réseau réciproque de ce cristal. Exemple de réseau réciproque: Soit le réseau direct dessiné ci-dessous. B B* 3a 2π/3a * 2a π/a réseau direct réseau réciproque Ce réseau rectangulaire a pour vecteurs de base = 2ai et B = 3aj où i et j forment une base orthonormée. On pose = αi + β j et B = xi + yj les vecteurs de base du réseau réciproque.

3 Calculons d abord. = 2π Par définition, ce vecteur est défini par. B = 0 Ce qui conduit au système de deux équations à deux inconnues α et β: La solution est donc = Calculons maintenant B ( π a) i vec le même raisonnement, on obtient: 2aα = 2π 3aβ = 0 B = 0 B B = 2π 2ax = 0 3ay = 2π B = ( 2π 3a) j. Le réseau réciproque est donc un réseau rectangulaire. Il est dessiné ci-dessus. Zone de Brillouin Comme le réseau direct, le réseau réciproque peut être obtenu par juxtaposition de mailles élémentaires construites sur ses vecteurs de base a 1, a 2, a 3. Toutefois, surtout en théorie des bandes d énergie, la symétrie des bandes d énergie E(k) conduit à utiliser une autre maille élémentaire appelée zone de Brillouin. En particulier, la symétrie d inversion centre cette zone sur un noeud du réseau. Elle est formée des points plus proches du noeud central que tout autre noeud du réseau. Pour tracer une zone de Brillouin, la technique consiste à: - joindre un noeud du réseau à ses voisins les plus proches (premiers et parfois seconds voisins). - couper chaque segment ainsi tracé par son plan bissecteur. La zone ainsi déterminée est la zone du Brillouin. Exemple de zone de Brillouin: Soit le réseau rectangulaire précédemment pris en exemple. Dans le réseau réciproque, on choisit un noeud central. On trace les segments le joignant à ses 4 premiers voisins (par exemple ). On trace leur médiatrice (M pour le voisin ). Celles-ci délimitent la surface grisée. Puis on trace les segments joignant les 4 seconds voisins (par exemple B) et leur médiatrice (MB). On constate que celles-ci ne diminuent pas la surface précédemment décrite. La surface grisée est donc la première zone de Brillouin du réseau rectangulaire. Il s agit de la surface définie par -π/2a<x<+π/2a et -π/3a<y<+π/3a.

4 M zone de Brillouin d un réseau rectangulaire segment joignant le noeud central à un 1er voisin 2π/3a π/a MB B médiatrice d un segment «1er voisin» segment joignant le noeud central à un 2nd voisin Zone de Brillouin du réseau cubique à faces centrées: Le réseau réciproque du cubique à faces centrées est le réseau cubique centré. Ses noeuds sont représentés par des points sur les figures ci-dessous. Les 8 noeuds premiers voisins du noeud choisi comme centre (point blanc) sont sur les coins du cube dessiné. En prenant le noeud repéré par, le plan bissecteur comprend la surface noeud central noeuds du réseau réciproque B premiers voisins seconds voisins Intersection I grisée. L ensemble des plans bissecteurs des premiers voisins se recoupent pour définir un volume délimité par des triangles. Ce volume n est pas encore la zone de Brillouin. En effet, l intersection «I» se situe sur le segment joignant le noeud central au noeud second voisin «B». Le plan bissecteur de ce segment va venir tronquer le volume défini à partir des seuls premiers voisins. Le volume obtenu en prenant en compte tous les seconds voisins est alors la zone de Brillouin du cubique à faces centrées.

5 noeud central noeuds du réseau réciproque premiers voisins seconds voisins

6 RÉSEUX RÉCIPROQUES - EXERCICES 1) Vérifier que, à trois dimensions, les vecteurs de formules génératrices a b c = 2π c a b = 2π c = a b 2π a ( b c) a ( b c) a ( b c) sont les vecteurs de base du réseau réciproque si a, b et c sont les vecteurs de base du réseau direct. 2) Quel est le réseau réciproque du réseau réciproque? 3) Déterminer le volume de la maille élémentaire du réseau réciproque en fonction du volume de la maille élémentaire du réseau direct. 4) Un réseau plan a pour vecteurs de base a = 2i et b = i+ 2j où i et j forment une base orthonormée. Déterminer les vecteurs de base du réseau réciproque. Représenter les deux réseaux. Dessiner la zone de Brillouin. 5) Quel est le réseau réciproque du réseau cubique centré? 6) Les vecteurs de base d un réseau hexagonal sont: a a a = -- ( i + 3 j) b = -- ( i + 3 j) c = ck 2 2 où ( i, j, k ) est une base orthonormée. Préciser les angles qu ils forment. Déterminer son réseau réciproque. 7) Déterminer la zone de Brillouin du graphite.