Calcul Formel et Numérique

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1 Cours de calcul numérique p. 1/55 Calcul Formel et Numérique INFO-F-205 Gianluca Bontempi C. Olsen, S. Ben Taieb Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212

2 Cours de calcul numérique p. 2/55 Équations différentielles ordinaires Une équation différentielle est une équation qui contient une ou plusieurs dérivées d une fonction inconnue. Le succès des équations différentielles ordinaires dans la science est conséquent au fait que la plupart des lois scientifiques sont facilement représentables en termes de taux de changement. Exemple: soit x un capital qui est investi à un taux d intérêt constant k. Supposons vouloir connaître l évolution temporelle du capital en sachant que la croissance du capital a lieu de manière continue. L évolution du capital peut être décrite par une équation du type y(t + dt) = y(t) + ky(t)dt y (t) = ky(t) Cette modélisation est très simplifié puisque elle se base sur plusieurs assomptions: par exemple le taux d intérêt est constant dans le temps et indépendant du montant.

3 Cours de calcul numérique p. 3/55 Equation différentielle Une équation différentielle est une équation qui contient une fonction inconnue y( ), ses dérivées y, y,, y (n) et des variables indépendantes. Forme implicite: F(t, y, y,, y (n) ) = 0 Forme explicite: y (n) = f(t, y, y,, y (n 1) ) Une solution y(t) de l équation différentielle est toute fonction satisfaisant l équation différentielle. Equation différentielle ordinaire: la fonction inconnue y ne dépend que d une seule variable indépendante. Equation aux dérivées partielles: la fonction inconnue y dépend de plusieurs variables indépendantes. Ordre de l équation différentielle: le plus grand ordre des dérivées de y qui apparaissent. équations différentielles ordinaires du premier ordre, c.à.d. où la plus grand dérivée est d ordre 1, scalaires.

4 Cours de calcul numérique p. 4/55 Exemples Oscillation d un ressort avec une constante de rappel k et une masse ponctuelle m y (t) + k m y(t) = 0 Equation de propagation d une onde dans le vide: 2 x 2 y(x, t) 1 2 c 2 y(x, t) = 0 t2

5 Cours de calcul numérique p. 5/55 Modèle de Lotka-Volterra Le modèle de Lotka-Volterra décrit l interaction entre deux espèces animales (par exemple proie-prédateur) dans un écosystème. { dl/dt = al blr dr/dt = cr + dlr où L(t) et R(t) représentent la densité de lapins et renards à l instant t, respectivement a est le taux de croissance des lapins en absence de prédateurs, c est le taux de décès des renards en absence de nourriture, d est le taux de reproduction d un renard par proie capturée b est le taux de capture.

6 Cours de calcul numérique p. 6/55 Simulation Lotka-Volterra Si a = 2, b = 0.001, c = 10, d = 0.002, et L(0) = 5000, R(0) = 100, l évolution est: Rabbits Foxes 8000 population time On remarque une variation stable et cyclique de la population. Script s_lotkavolterra.m

7 Cours de calcul numérique p. 7/55 Problème aux valeurs initiales Le problème aux valeurs initiales (aussi appelé problème de Cauchy) consiste à trouver la solution y(t), t I d une équation différentielle ordinaire (EDO) y (t) = dy = f(t, y(t)) dt satisfaisant la condition initiale y(t 0 ) = y 0 où f est une fonction donnée à valeur réelle définie sur le produit {I ], [} et continue par rapport aux deux variables. Si f ne dépend pas explicitement de t, l EDO est dite autonome.

8 Cours de calcul numérique p. 8/55 La condition de Lipschitz Définition. La fonction f(t, y) satisfait la condition de Lipschitz par rapport à y si pour tout t I et pour tout y 1, y 2 f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) L y 1 y 2 où L > 0 est appelée la constante de Lipschitz. Théorème. Condition suffisante pour que f satisfait la condition de Lipschitz est que pour tout t I la dérivée de la fonction f par rapport à y soit continue. Si la dérivée de la fonction f par rapport à y est continue, alors le théorème de Lagrange (th. des accroissements finis) nous garantit que f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) = pour y 1 ξ y 2. Donc, si L = max satisfaite. f y (t, ξ) y 1 y 2 f y la condition de Lipschitz est

9 Cours de calcul numérique p. 9/55 Exemples TP Montrer que la fonction f(t, y) = t 2 cos 2 (y) + t sin 2 (y) définie pour t < 1 et y R, satisfait la condition de Lipschitz avec une constante L = 4. la fonction f(t, y) = y définie pour y R, ne satisfait pas la condition suffisante mais satisfait la condition de Lipschitz.

10 Cours de calcul numérique p. 10/55 Existence et unicité de la solution Théorème. Soit f(t, y) une fonction continue pour tout t I et pour tout y, qui satisfait la condition de Lipschitz. Alors, pour chaque valeur y 0, le problème aux valeurs initiales { y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 a une solution unique y(t) = y(t, y 0 ) C 1 pour tout t I. En plus y(t, y 1 ) y(t, y 0 ) exp L t t 0 y 1 y 0 c.-à-d. pour un petit L des petites variations de la condition initiale entrainent des petites variations de la solution.

11 Cours de calcul numérique p. 11/55 Solution analytique et numérique La solution analytique d une EDO est y(t) = y 0 + t t 0 f(τ, y(τ))dτ On ne sait intégrer qu un très petit nombre d EDO non linéaires. De plus, quand cela est possible, il n est pas toujours facile d exprimer la solution sous forme explicite. Pour cette raison nous considérons des méthodes pour la résolution numérique. Une méthode numérique ne retourne pas une fonction y(t) mais un tableau de valeurs ŷ(t) qui approchent la solution y(t) pour un ensemble de valeurs {t 0, t 1,...,t n } choisies à l avance. L ensemble des valeurs {y(t 0 ) = ŷ(t 0 ), ŷ(t 1 ),...,ŷ(t n )} représente la solution numérique du problème.

12 Cours de calcul numérique p. 12/55 Un exemple Considérons le simple exemple de EDO pour y(0) = 1. La solution analytique est connue dy dt = 2t y y(t) = 3 exp t 2t + 2 mais nous utiliserons cet exemple comme référence pour analyser la précision des différentes solutions numériques.

13 Cours de calcul numérique p. 13/55 Développement en série de Taylor Théorème. Si la fonction g(x) admet une dérivée d ordre k + 1 sur l intervalle ouvert (x 0 l, x 0 + l); il existe pour tout point x de cet intervalle un point ξ de cet intervalle tel que g(x) = g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + g (x 0 ) 2 En remplaçant g(x) par + 1 k! g(k) (x 0 )(x x 0 ) k + (x x 0 ) (k + 1)! g(k+1) (ξ)(x x 0 ) k+1 g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) k! g(k) (x 0 )(x x 0 ) k nous commettons une erreur dont la valeur absolue est bornée par g (k+1) (ξ) x x 0 k+1 (k + 1)!

14 Cours de calcul numérique p. 14/55 La méthode du développement de Taylor Nous calculons la relation entre y et t en développant la séries de Taylor autour du point t = t 0. y(t) y(t 0 ) + y (t 0 )(t t 0 ) + y (t 0 ) 2! En posant t t 0 = h, nous obtenons y(t 0 + h) y(t 0 ) + y (t 0 )h + y (t 0 ) 2! (t t 0 ) 2 + y (t 0 ) (t t 0 ) 3 3! h 2 + y (t 0 ) h 3 3!

15 Cours de calcul numérique p. 15/55 La méthode de Taylor (II) Dans le cas de notre exemple y = f(t, y) = 2t y, y(0) = 1, nous avons y(t 0 ) = y(0) = 1 y (t 0 ) = 2t 0 y(t 0 ) = 2(0) ( 1) = 1 y (t 0 ) = 2 y (t 0 ) = 2 1 = 3 y (t 0 ) = y (t 0 ) = 3 et par conséquent la solution de Taylor est y(h) = h 1.5h h 3 + erreur

16 Cours de calcul numérique p. 16/55 La méthode de Taylor: exemple Script s_taylor.m Analytical Taylor

17 Cours de calcul numérique p. 17/55 Considérations sur Taylor Le calcul des dérivées n est pas toujours simple. La forme analytique de l erreur est connue mais son calcul n est pas possible. Il est difficile de déterminer le nombre de termes du développement. Méthode nécessite un ordre élevé pour de grandes valeurs de h. Méthodes itératives sont utilisées en pratique.

18 Cours de calcul numérique p. 18/55 La méthode de Euler Puisque l erreur du développement de Taylor est petite si la quantité h est petite, la méthode d Euler propose de: décomposer l intervalle d intégration I =]t 0, t 0 + T[ en N h sous-intervalles I n = [t n, t n+1 ], où t n = t 0 + nh, n = 0,...,N h et h > 0 est dit le pas de discrétisation développer une méthode itérative où à chaque étape l approximation ŷ(t n+1 ) de la vraie solution y(t n+1 ) est calculée sur la base des 2 premiers termes du développement de Taylor limité à l ordre 1 autour de ŷ(t n )

19 Cours de calcul numérique p. 19/55 La méthode de Euler progressive La n-ième étape de la méthode de Euler progressive (aussi explicite) est ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n, ŷ(t n )) où ŷ(t 0 ) = y(t 0 ). En termes géométriques, la pente de la solution au début de l intervalle I n = [t n, t n+1 ] est utilisée pour calculer l incrément de la solution. y(t ) 1 y(t ) 1 y(t) y 0 t 0 t 1 t 2

20 Cours de calcul numérique p. 20/55 La méthode de Euler:exemple Script s_euler.m Analytical Euler h=0.05 Euler h=

21 Cours de calcul numérique p. 21/55 Analyse de la méthode de Euler L analyse d une méthode numérique de résolution d une équation différentielle concerne quatre propriétés: 1. Consistance. 2. Zéro-stabilité. 3. Convergence. 4. Stabilité absolue. On introduira et discutera les quatre notions dans le cas de la méthode de Euler.

22 Cours de calcul numérique p. 22/55 Erreur globale et locale On note e n+1 = y(t n+1 ) ŷ(t n+1 ) l erreur globale au noeud t n+1 pour n = 0, 1,.... On a e n+1 = y(t n+1 ) ŷ (t n+1 ) + ŷ (t n+1 ) ŷ(t n+1 ) où ŷ (t n+1 ) est la solution obtenue après un pas de la méthode d Euler en partant de la donnée initiale exacte y(t n ). Soit ǫ n+1 = y(t n+1 ) ŷ (t n+1 ) La quantité est dite erreur de troncature locale. τ n+1 = ǫ n+1 h

23 Cours de calcul numérique p. 23/55 Erreur globale et locale y( t n+1 ) y(t) ε n+1 * y ( t n+1 ) e n+1 y( t n ) y( t n ) y ( t n+1 ) t n t n+1

24 Cours de calcul numérique p. 24/55 Définition de consistance Soit τ(h) = max τ n+1(h) 0 n N h 1 l erreur de troncature globale. Définition (Consistance). Une méthode numérique de résolution des équations différentielles ordinaires est dite consistante si son erreur de troncature globale est un infiniment petit en h, ou O(h), c.à.d. lim τ(h) = 0 h 0 Définition (Consistance d ordre p). Une méthode numérique est dite consistante d ordre p pour un p entier positif, si t I, la relation τ(h) = O(h p ) pour h 0 est satisfaite.

25 Cours de calcul numérique p. 25/55 Ordre de convergence h h 2 h 3 error h log(error) 10 h 4 h h 2 h h 4 h h log(h) La convergence est autant plus rapide que l ordre p est grand.

26 Cours de calcul numérique p. 26/55 Preuve de consistance méthode de Euler Puisque pour la méthode de Euler progressive ŷ (t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n, y(t n )) et y(t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n, y(t n )) + y (ξ)h 2 /2 pour ξ [t n, t n+1 ], l erreur de troncature locale de la méthode de Euler progressive est τ n+1 = y(t n+1) ŷ (t n+1 ) h = y (ξ)h/2 Ceci implique, si la dérivée de f est continue et bornée, lim τ(h) = 0 h 0 c.à.d. la méthode de Euler progressive est consistante et d ordre 1.

27 Cours de calcul numérique p. 27/55 Zéro-stabilité Une méthode numérique est zéro-stable si elle est peu sensible à des petites perturbations des données. On demande la stabilité d une méthode numérique pour contrôler les inévitables erreurs introduites par l arithmétique finie des ordinateurs. On l appelle zéro-stabilité parce que cette propriété concerne le comportement de la méthode numérique dans le cas limite h 0, à la différence de la stabilité absolue qui concerne le comportement pour t n.

28 Cours de calcul numérique p. 28/55 Zéro-stabilité de la méthode de Euler Dans le cas spécifique de la méthode de Euler, considérons les deux solutions ŷ 1 et ŷ 2 telles que {ŷ1 (t n+1 ) = ŷ 1 (t n ) + hf(t n, ŷ 1 (t n )) ŷ 1 (t 0 ) = y 0 et {ŷ2 (t n+1 ) = ŷ 2 (t n ) + h [f(t n, ŷ 2 (t n )) + δ(t n+1 )] ŷ 2 (t 0 ) = y 0 + δ(t 0 ) Si pour toute perturbation δ(t k ) ǫ, 0 k N h, et h < h 0 il existe un C > 0 indépendant de ǫ tel que alors la méthode est zéro-stable. ŷ 1 (t) ŷ 2 (t) < Cǫ

29 Cours de calcul numérique p. 29/55 Zéro-stabilité des méthodes à un pas Théorème. Considérons une méthode générique explicite et à un pas ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hφ(t n, ŷ(t n )) Si la fonction d incrément Φ est lipschitzienne par rapport à sa seconde variable, avec une constante de Lipschitz indépendante de h et des noeuds t j [t 0, t 0 + T] alors la méthode est zéro-stable. Par conséquent, la méthode d Euler est zéro-stable pour une f lipschitzienne.

30 Cours de calcul numérique p. 30/55 Convergence Définition (Convergence). Une méthode est dite convergente si n = 0,...,N h y(t n ) ŷ(t n ) C(h) où C(h) est un infiniment petit en h. Si K > 0 tel que C(h) = Kh p la méthode est dite convergente avec un ordre p.

31 Visualisation de la convergence Traçons un graphe de l erreur e en fonction de h en échelle logarithmique log(e) log(h) Ceci signifie que le graphe porte en abscisse les valeurs de log(h) et en ordonnées les valeurs de log(e). Si e Ch p alors log(e) = log(c) + p log(h) Donc la pente de la droite log(e) en représentation logarithmique correspond à p. Cours de calcul numérique p. 31/55

32 Cours de calcul numérique p. 32/55 Estimation de la convergence Soient e i les erreurs pour certaines valeurs h i, i = 1,...,H. Nous formulons l hypothèse que e i Ch p i pour C indépendant de i. e i = Ch p i, e i 1 = Ch p i 1 e i e i 1 = ( hi h i 1 log ) p ( ei e i 1 ) = p log ( hi h i 1 ) Il s ensuit que p peut être estimé par la moyenne des valeurs p i = ( log ) e i e i 1 log ( hi h i 1 ) i = 2,...,H

33 Cours de calcul numérique p. 33/55 Preuve de convergence méthode d Euler Puisque y (t) = f (t, y(t)) y(t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n, y(t n )) + h2 2 f (ξ n, y(ξ n )) et ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n, ŷ(t n )) alors y(t n+1 ) ŷ(t n+1 ) = y(t n ) ŷ(t n ) + h (f(t n, y(t n )) f(t n, ŷ(t n ))) + h2 2 f (ξ n, y(ξ n ))

34 Cours de calcul numérique p. 34/55 Preuve convergence méthode d Euler (II) En posant e n = y(t n ) ŷ(t n ), il ensuit de la condition de Lipschitz que f(t, y) f(t, ŷ) L y ŷ e n+1 e n + hl y(t n ) ŷ(t n ) + h2 2 f (ξ n, y(ξ n )) Si nous supposons que f est continue et bornée et définissons M 2 = max t 0 t t 0 +T y (t) = max f (t) t 0 t t 0 +T il ensuit que e n+1 e n (1 + }{{} hl ) + h2 2 M 2 δ }{{} µ

35 Cours de calcul numérique p. 35/55 Preuve convergence méthode d Euler (III) On peut montrer le théorème suivante: Théorème. Soit d n une suite de réels positifs telle que Si δ > 0 et µ > 0, alors pour tout n 0 d n+1 d n (1 + δ) + µ n = 0, 1,... d n exp nδ d 0 + µ expnδ 1 δ Grâce au théorème, en posant δ = hl et µ = h 2 M 2 /2, on obtient puisque e 0 = 0. e n exp nhl e 0 + hm 2 exp nhl 1 2L = expl(t n t 0 ) 1 L M 2 2 h

36 Cours de calcul numérique p. 36/55 Preuve convergence méthode d Euler (IV) Étant donné t n t 0 T on obtient max y(t n ) ŷ(t n ) explt 1 0 n N h L M 2 2 h L erreur de la méthode d Euler est bornée par une constante fois h. L erreur est alors infiniment petite en h. En plus, puisque l erreur de troncature locale τ(h) (M 2 /2)h, on déduit que l erreur globale tend vers zéro avec le même ordre que l erreur de troncature locale. Donc, faut-il toujours prendre le plus petit h?

37 Cours de calcul numérique p. 37/55 Erreur d arrondi et méthode d Euler Jusqu ici, nous avons fait l hypothèse que tous les calculs sont en arithmétique exacte. En réalité, pour chaque étape de la méthode d Euler ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + h(f(t n, ŷ(t n )) + ǫ n ) + ρ n En supposant ǫ n ǫ et ρ n ρ, pour tout n et h h 0, on obtient que max y(t n ) ŷ(t n ) explt 1 0 n N h L ( M2 2 h + ǫ + ρ h Les erreurs d arrondi sont autant plus importantes que le pas de discrétisation est petit. La présence d erreurs d arrondi ne permet pas de conclure que l erreur tend vers zéro quand h 0. )

38 Cours de calcul numérique p. 38/55 Arrondi et Euler: exemple Il existe une valeur optimale (non nulle) h opt de h qui minimise l erreur: pour h < h opt, l erreur d arrondi domine l erreur de troncature et l erreur globale augmente. Script s_euler_arr.m: nous considérons un pas de discrétisation décroissant, de h = 0.1 à h = pour une base b = 10 et 2 chiffres significatifs. On remarque une amélioration suivie d une dégradation de la solution y(t) t

39 Cours de calcul numérique p. 39/55 Stabilité absolue Jusqu ici nous avons considéré un intervalle d intégration I fixé et borné supérieurement. La notion de stabilité absolue concerne les propriétés de la méthode numérique pour t n. L analyse de stabilité absolue sera faite pour un problème de Cauchy linéaire (aussi appelé problème test) { y (t) = λy(t) y(0) = 1 pour λ R, λ < 0, où la solution analytique est et lim t y(t) = 0. y(t) = exp λt

40 Cours de calcul numérique p. 40/55 Méthode absolument stable Définition. Une méthode numérique pour l approximation du problème test est absolument stable si lim ŷ(t n) = 0 t n Définition (Région de stabilité absolue). La région de stabilité absolue de la méthode numérique pour l approximation du problème test y = λy est le sous-ensemble A = {z = hλ R : lim t n ŷ(t n) = 0}

41 Cours de calcul numérique p. 41/55 Stabilité absolue et Euler progressive La méthode d Euler progressive appliquée au problème test (f(t, y) = λy) donne le schéma itératif ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n, ŷ(t n )) = ŷ(t n ) + hλŷ(t n ) = (1 + hλ)ŷ(t n ) avec y(t 0 ) = ŷ(t 0 ) = 1. En procédant par récurrence sur n on a ŷ(t n ) = (1 + hλ) n Alors la méthode est absolument stable si et seulement si 1 + hλ < 1, ce qui revient à 0 < h < 2 λ où λ < 0 Autrement, la méthode d Euler progressive est instable.

42 Cours de calcul numérique p. 42/55 Stabilité abs. et Euler progressive Considérons la méthode d Euler progressive appliquée au problème de Cauchy y (t) = 5y(t), y(0) = 1, pour h = 0.31 et h = h=0.31, h*lambda= h=0.41, h*lambda= time time Script s_eul_stababs.m.

43 Cours de calcul numérique p. 43/55 Méthodes à un pas et explicites La méthode d Euler progressive est une méthode à un pas et explicite. Définition. Une méthode numérique pour la résolution d une EDO est dite à un pas si n 0, ŷ n+1 ne dépend que de ŷ n. Autrement le schéma est une méthode multi-pas (où à pas multiples). Définition. Une méthode numérique pour la résolution d une EDO est dite explicite si la valeur ŷ n+1 peut être calculée directement à l aide des valeurs précédentes ŷ k, k n (ou une partie d entre elles). Une méthode est dite implicite si ŷ n+1 n est définie que par une relation implicite faisant intervenir la fonction f.

44 Cours de calcul numérique p. 44/55 Autres méthodes à un pas Méthode d Euler rétrograde ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n+1, ŷ(t n+1 )) Cette méthode est implicite, d ordre 1 et demande la résolution d une équation non linéaire. En retour, la méthode est absolument stable pour tout h ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n, ŷ(t n+1 )) = ŷ(t n ) + hλŷ(t n+1 ) ŷ(t n+1 ) = 1 1 hλŷ(t n) ŷ(t n+1 ) = 1 (1 hλ) n Méthode d Euler modifiée où du trapèze ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + h 2 [f(t n, ŷ(t n )) + f(t n+1, ŷ(t n+1 ))] Cette méthode est implicite et d ordre 2. Elle est aussi absolument stable pour tout h.

45 Cours de calcul numérique p. 45/55 Méthodes prédicteur-correcteur La méthode vise à combiner la stabilité de la méthodes implicite et la rapidité computationnelle de la méthode explicite. Deux étapes: ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n+1, ŷ n + hf(t n, ŷ n )) 1. Prédiction (par Euler explicite): ŷ p (t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n, ŷ n ) 2. Correction (par Euler implicite): ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + hf(t n+1, ŷ p (t n+1 )) Un autre exemple de méthode prédicteur-correcteur est la méthode de Heun où ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + h/2 [f(t n, ŷ n ) + f(t n+1, ŷ n + hf(t n, ŷ n ))] Dans ce cas la prediction est effectué par la méthode d Euler progressive et la correction par la méthode du trapèze.

46 Cours de calcul numérique p. 46/55 Euler prédicteur-correcteur: exemple Analytical Euler h=0.1 Euler pred/corr h=

47 Cours de calcul numérique p. 47/55 Méthodes de Runge Kutta Les méthodes de Runge Kutta (RK) sont des méthodes à un pas qui augmentent leur précision en augmentant le nombre d évaluations de la fonction f à chaque pas de temps. Ils existent versions explicites et implicites de la méthode. La méthode classique pour construire une méthode RK explicite d ordre s consiste à faire en sorte que les termes jusqu à l ordre s du développement de Taylor de la solution exacte y(t n+1 ) coïncident avec ceux de la solution approchée ŷ(t n+1 ) (en supposant que on parte de la solution exacte y(t n )). La méthode RK d ordre 1 est la méthode d Euler.

48 Cours de calcul numérique p. 48/55 Méthode de RK explicite d ordre 2 La forme itérative de la méthode est ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + h(b 1 K 1 + b 2 K 2 ) K 1 = f(t n, ŷ(t n )) K 2 = f(t n + hc 2, ŷ(t n ) + hc 2 K 1 ) où les coefficients doivent vérifier b 1 + b 2 = 1 c 2 b 2 = 1/2 Il s ensuit que on peut choisir de façon arbitraire un des coefficients. Notons que la méthode RK2 est consistante et convergente d ordre p = 2

49 Cours de calcul numérique p. 49/55 Interprétation de la méthode RK2 explicite Soit b 1 = 0, b 2 = 1, c 2 = 1/2. La méthode devient ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + h(k 2 ) K 2 = f(t n + h/2, ŷ(t n ) + h/2f(t n, ŷ(t n ))) Ceci corresponde à calculer d abord l évolution suite à un demi-pas d intégration ŷ(t n+1/2 ) = ŷ(t n ) + h/2f(t n, ŷ(t n )) et la dérivée au milieu d un pas d intégration f(t n + h/2, ŷ(t n ) + h/2f(t n, ŷ(t n ))) Cette dérivée est utilisée à la place de la dérivée en t n.

50 Cours de calcul numérique p. 50/55 Runge Kutta d ordre 2:exemple Script s_rk2.m Analytical Euler h=0.1 RK2 h= y(t) t

51 Runge Kutta d ordre 4 K 1 = f(t n, ŷ(t n )) K 2 = f(t n h, ŷ(t n) K 1) K 3 = f(t n h, ŷ(t n) K 2) K 4 = f(t n + h, ŷ(t n ) + K 3 ) ŷ(t n+1 ) = ŷ(t n ) + h 6 (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) Notons que la pente est obtenue par une moyenne pondérée de pentes : K 1 est la pente au début de l intervalle ; K 2 est la pente au milieu de l intervalle, en utilisant la pente K 1 ; K 3 est la pente au milieu de l intervalle en utilisant la pente K 2 ; K 4 est la pente à la fin de l intervalle, en utilisant K 3. Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donné aux pentes au point milieu. La méthode est consistante et convergente d ordre 4. Cours de calcul numérique p. 51/55

52 Cours de calcul numérique p. 52/55 Stabilité absolue des méthodes RK Dans le case d une méthode RK explicite d ordre s = 2, la méthode est absolument stable ssi R(hλ) < 1 où R(hλ) = 1 + hλ (hλ)2

53 Cours de calcul numérique p. 53/55 Stabilité absolue pour RK2 En posant b 1 = b 2 = 0.5, c 2 = 1, puisque ŷ n+1 = ŷ n + h 2 (K 1 + K 2 ) K 1 = f n = λŷ n K 2 = f(t n + h, ŷ n + hk 1 ) = λ(ŷ n + hλŷ n ) on obtient ŷ n+1 = ŷ n + (hλ h2 λ 2 )ŷ n Par récurrence sur n on retrouve la condition de stabilité absolue 1 + hλ (hλ)2 < 1

54 Cours de calcul numérique p. 54/55 Stabilité absolue pour RK2 Considérons la méthode RK2 appliquée au problème de Cauchy y (t) = 5y(t), y(0) = 1, 1 Runge Kutta 2nd order:h =0.3 R(h λ) = y(t) Script s_rk2_stab.m t

55 Cours de calcul numérique p. 55/55 Stabilité absolue pour RK2 3 Runge Kutta 2nd order:h =0.5 R(h λ) = y(t) t