Chapitre : Puissances et racines
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- Gilles Morneau
- il y a 6 ans
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1 Chapitre : Puissances et racines I Les puissances Définition des puissances : Considérons un nombre et un nombre entier n. On a : n =. se lit " puissance n" ou " eposant n" avec n " " 4 = se lit " puissance 4 " ou " eposant 4" 3 = se lit " au cube " ou " puissance 3 " ² = se lit " au carré " ou " puissance 2 " = : 0 = = 2 = 3 = n = = ² = 3.. avec n " " Eemples : 2 0 = = 024 9,4 0 = ( 3,4 ) = 3,4 0 5 = c est un suivi de 5 zéros 0 5 = 0,000 0 c est un précédé de 5 zéros 5 2 = 5 5 = 25 = 0,04 n = : n = n = n 7 4 7² = Remarque : Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations. = n Eemple : ( 7 0 ) 4 8² = ( 3 ) 4 8² = = = 77 Règles des puissances : et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a : ) m n = m + n 2 ) m n = m n 3 ) n y n = ( y ) n 4 ) n y n = ( y ) n 5 ) ( m ) n = m n Remarque : Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des eemples simples. Ecriture scientifique : Tout nombre décimal peut s écrire comme le produit d un nombre n ayant qu un seul chiffre (pas égal à zéro) avant la virgule et d une puissance de di. Cette écriture s appelle une écriture scientifique. Eemples : ,0 = 5, , = 5, chiffres 6 zéros 0, = 2, = 2, Le rayon d un atome d hydrogène est d environ 0, mm = 5,3 0-8 mm L étoile polaire est à m de la Terre. (base de la petite ours, indique le nord)
2 II Les racines carrées Définition des racines carrées : Considérons un nombre positif. On note et on lit "racine carrée de " le nombre positif dont le carré est. Pour la calculer, on utilise la touche " " de la calculatrice. Eemples : 49 = 7 0 3,6 0 = 0 = Remarques : Puisqu un carré est toujours positif, la racine carrée d un nombre négatif n eiste pas. On peut aussi dire "radical" pour "racine carrée". Les racines carrées ont le même niveau de priorité que les puissances dans les calculs. Eemple : ( 8² 00 ) : 9 = ( 64 0 ) : 9 = : 9 = = 36 D autre part on a :,44 =,2 car,2 ² =,44 Remarque : Pour prouver que = y il suffit de vérifier que y ² = ² On a donc ² = et 8 ² 64 2 ( ) ² = = penser à : la racine carrée est l inverse du carré donc faire une racine carrée puis un carré revient à ne rien faire!! Propriété des racines carrées : et y étant des nombres positifs, on a : ) ² = ( ) ² = 2 ) y = y 3 ) y = y 4 ) ² y = y Preuve : ) déjà vu. 2 ) car ( y ) ² = ( ) ² ( y ) ² = y et c est donc bien vérifié d après la remarque précédente. 3 ) car ( y ) ² = ² y² = et c est donc bien vérifié d après la remarque précédente. y 4 ) On a : ² y = ² y d après 2 ) = y d après ) Eemples : 3 ² = 3 ( 7 ) ² = 7 (2 6 ) ² = 2² ( 6 ) ² = 4 6 = = 2 8 = 6 = = 25 9 = 5 3 = = 25 6 = = 3² 2 5² 2 = = 3 5 Remarque : On doit avoir ( 0,5 ) ² = 0,5 2 = = donc 0,5 est un nombre dont le carré est : c est donc. On a ainsi 0,5 =. C est pour cette raison que des règles des racines carrées ressemblent à celles de puissance. Application à la simplification des racines : Comme les fractions, on peut simplifier les racines carrées et obtenir des racines carrées "irréductibles". Eemples : 8 = 3² 2 = 3 2 (on a utiliser la propriété 3) 5 32 = 5 4² 2 = = = 5² ² 3 = = = 3 Eemple de développement : ( ) ( 3 5 ) + 2 = ² ² 3 = =
3 Eercice : Calcule puis vérifie tes résultats en utilisant la touche «^» ou «y» de ta calculatrice. A = 2 5 B = ( 4 ) ² C = 4 ² D = 0 6 E = F = 5 G = 2 2 H = 0 3 I = 8, J = 50 K = 0 0 L = 7 M = 3 ² + 4 ² N = ( ) ² P = 0 ( 3) 3 Q = ² R = 3 5 (4 7 ) ² S = 8,0 0 4 T = U = 9, 0 5 V = 8,3 0 6 W =, 0 X = 6, Eercice 2 : Ecris avec des puissances. A = B = ( 4 ) ( 4 ) C = D = E = 0, Eercice 3 : Ecris avec que des multiplications et des divisions. A = 7 4 B = 0 C = 6 3 D = 3 ² 6 5 E = F = 5 4 G = ( 5 ) 4 H = I = Eercice 4 : Complète et retrouve la règle correspondante : Eemple 3 2 = = 7 3 J = Règle m n = 3 2 = = m n =... 2 y 2 = = = ( ) 2 y 2 = = ( ) ( ) = ( ) n y n = ( ) n y n = (. ) ( 3 ) 2 = = ( m ) n = Eercice 5 : Utilise les règles des puissances pour mettre sous la forme a n. A = B = C = D = E = F = 3 ² 5 ² G = ( 9 3 ) ² H = I = ² J = Eercice 6 : Trouve l écriture scientifique des nombres suivants (vérifier les résultats à la calculatrice). A = B = 0,004 7 C = 95,5 D = E = 0, F = G = , H = 7, Eercice 7 : Vue au brevet. Ecrire comme : A et B : des nombres entiers ; C : un nombre décimal ; D, E et F : en écriture scientifique. A = ( 2 ) ( 0 ² ) ² ( 0, ) 0 3 B = C = 3 ² ( 3) ² D = E = F = 2, Eercice 8 : Complète les tableau suivants Valeurs eactes Valeurs arrondies à 0, près 6 2,4 ² ² ,4 08,7 Eercice 9 : Calcule sans calculatrice et donne le résultat en fraction irréductible. 36 A = 8 ² B = C = D = 4,2 ² 00 E = 4 7 ² F = G = 8, 0 H = I = J = 4 2 ² ² K = L = M = 2 8 N = 7 7 P = ²
4 Eercices pour préparer le contrôle Eercice : Eercice de préparation au brevet (7 points) Eercice 2 : On considère les epressions suivantes A = 65 ( 25 5 ) 5 + 3,2 0 6 ( 7 5 ) ² B = ( ) 702 ( 7 8 ) C = D = 2 ² 2 8 E = F = ( 8 3 ) 5 G = H = 3 6 ( 3 4 ) I = 0, J = a ) Calcule A et B b ) Mets de C à H sous la forme a n c ) Ecris I et J en écriture scientifique Eercice 3 : Simplifie les epressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls) 50 A = 4 9² 2 ( 8 ) ² 9 B = C = D = E = F = G = ( ) ( 9 3 ) H = ( ) ² I = ( 0 9 ) ( ) Eercice 2 : On considère les epressions suivantes A = 65 ( 25 5 ) 5 + 3,2 0 6 ( 7 5 ) ² A = ( 8 ) ² A = A = Résultats des eercices de préparation au contrôle B = ( ) 702 ( 7 8 ) B = ( ) B = ( ) + 0 B = + = C = = 6 5 D = 2 ² 2 8 = 2 6 E = = 36 7 F = ( 8 3 ) 5 = 8 5 G = = 5 8 H = 3 6 ( 3 4 ) = = = 3 2 I = 0, =,08 0 J = = 3, 0 4 Eercice 3 : Simplifie les epressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls) On doit trouver A = B = C = D = E = F = G = H = I = qui est bien de la forme a + b c car = A = 4 9² 2 ( 8 ) ² 9 A = A = A = B = B = B = B = = 50 C = = = D = C = = = = 5 4 = D = 3 2 = E = E = 4 3² ² E = E = G = ( ) ( 9 3 ) G = ² G = G = I = ( 0 9 ) ( ) = 0² 9² = 0 9 = F = F = 3 6 3² 6 + 5² F = F = H = ( ) ² H = 9 5² H = H =
5 Devoir facultatif : racine n ième et puissance rationnelle Les nombres fractionnaires sont aussi appelés les nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s écrire m où m et n sont des nombres entiers relatifs. n Définition : Soient un nombre et n un nombre entier positif. On appelle "racine n ième de " et on note " n " le nombre positif qui à la puissance n donne. Eemple : = 2 car 2 8 = 256 Remarques : - la "racine carrée" n est autre que la "racine 2 e " - la "racine 3 e " se dit plutôt la "racine cubique" - comme pour les racines carrées, on peut utiliser sa calculatrice pour les trouver Eercice : calcule A = 4 8 B = 3 8 C = D = 3 2,67 E = 8 On voudrait définir le nombre 3 : on doit avoir ( 3 ) 3 = 3 3 = = Donc, 3 est un nombre qui au cube donne : c est donc 3. Ainsi, 3 = 3 Plus généralement, on a : Définition : Soient un nombre et n un nombre entier positif. On définit n par n = n Eemple : = = 0 Eercice 2 : calcule en réécrivant d abord l epression avec des puissances n ième A = 64 3 B = C = D = 625 0,25 E = ,2 On voudrait maintenant définir le nombre m n : on doit avoir ( n ) m = n m = m n Définition : Soient un nombre et m, n des nombres entiers positifs. On définit m n par m n = ( n ) m Eemple : = ( 3 000) 5 = 0 5 = Remarque : puisque tout nombre décimal peut s écrire en écriture fractionnaire (eemple : ,78 = ), on vient donc de définir en particulier les puissances de nombres décimau. 000 Eercice 3 : calcule A = B = C = D = 44,5 E = 8 2,25 Remarques : cette généralisation de la notion de puissance n est pas vraiment terminée car il faudrait vérifier qu ainsi définie, tout est bien cohérent. Il faudrait par eemple vérifier que 3 6 = 2 vous savez donc combien vaut 5 4,64 mais pas encore 5 π ce qui est chose beaucoup plus délicate. Bien qu en pratique nous n utilisons quasiment que des nombres rationnels (sauf π et quelques rares autres), il se trouve que ces nombres ne représentent qu une infime partie des nombres en général (nombres réels). A vrai dire, les nombres rationnels représentent eactement 0 % des nombres réels si si, mais ça c est une autre histoire.
6 Correction du devoir facultatif : racine n ième et puissance rationnelle Eercice : calcule A = 4 8 = 3 B = 3 8 = 2 C = = 4 D = 3 2,67 = 2,3 E = 8 = Eercice 2 : calcule en réécrivant d abord l epression avec des puissances n ième A = 64 3 = 3 64 = 4 Eercice 3 : calcule A = = ( 3 728)² = 44 B = = = 3 B = = ( 9 52) 0 = 024 C = = = 0 C = = ( 4 256) 3 = 64 D = 625 0,25 = = = 5 D = 44,5 = = ( 44 ) 3 = 926 E = ,2 = = = 6 E = 8 2,25 = = ( 4 8) 9 = 9 683
7 Eercice supplémentaire : Les lapins triples leur population en 8 mois. Au début, il y avait 2 lapins (un mâle et une femelle). ) Combien y aura-t-il de lapins au bout de 8 mois? 2 ) Combien y aura-t-il de lapins au bout de 2 ans? 3 ) Combien y aura-t-il de lapins au bout de 5 ans et 3 mois? 4 ) Combien y aura-t-il de lapins au bout de n 8 mois? Eercice supplémentaire : Un compte bancaire est rémunéré à 5% par an, c'est-à-dire qu à la fin d une année il y aura 5% d argent en plus sur ce compte par rapport au début de cette année. M. LAMBERT place 000 sur ce compte. ) Combien y aura-t-il sur le compte au bout d un an? 2 ) Combien y aura-t-il sur le compte au bout de 2 ans? 3 ) Combien y aura-t-il sur le compte au bout de 5 ans? 4 ) Combien y aura-t-il sur le compte au bout de n ans?
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