LEÇON N 69 : Fonctions polynômes.

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1 LEÇON N 69 : Fonctions polynômes. Pré-requis : Dérivabilité, continuité des fonctions numériques ; Notions d espaces vectoriels, de sous-espaces vectoriels ; Formule du binôme de Newton. On se place dans un corps K, généralement R ou C. On utilisera souvent l abus de langage consistant à désigner une fonction par son expression (on parlera de la fonction x 2 au lieu de x x 2 ) Fonction puissance Proposition 1 : Pour tout N, la fonction f : x x est continue et dérivable sur K. démonstration : La fonction x x est trivialement continue (utiliser a posteriori la définition de la continuité pour s en convaincre), donc f l est aussi en tant que produit de fonctions continues. Montrons encore la dérivabilité. Soit x 0 K. Alors pour tout x K différent de x 0, on a : 1 f (x) f (x 0 ) x x 0 (x x 0 ) x i x 1 i 0 f (x) f (x 0 ) 1 x x 0 x i x 1 i 0. f (x) f (x 0 ) Par passage à la ite, il vient alors que x x x 0 1 f 0 x x (x 0), 0 donc f est dérivable sur K, et pour tout x K, f (x) x 1. Corollaire 1 : Pour tout N, f est de classe C sur K. De plus, i N, x K, f (i) { ( 1) ( i + 1) x i si i 0 si i >. démonstration : On procède par récurrence sur l entier N : Initialisation : Si 0, alors pour tout élément x de K, f 0 (x) 1, et quelque soit l entier i, on aura nécéssairement f (i) 0 (x) 0. Les deux points sont alors vérifiés. Hérédité : Supposons le résultat vrai au rang et montrons qu il l est encore au rang + 1. Soit x K. D après la proposition 1, f +1 (x) ( + 1)x, donc par hypothèse de récurrence, f +1

2 2 Fonctions polynômes est C, et donc a fortiori f +1 aussi. De plus, pour tout i N, f (i) Ceci achève notre récurrence. +1 (x) ( f +1 (x)) (i 1) (i 1) ( + 1)f (x) { H.R. ( + 1) ( i + 2)x i+1 si i 1 0 si i 1 > { ( + 1) ( + 1 i + 1)x +1 i si i si i > + 1. Théorème 1 : Pour tout n N, la famille (1, x,..., x n ) est une famille libre de l espace vectoriel des applications de K K. démonstration : Soient n N, (λ 0,...,λ n ) K n+1. Supposons que x K, λ i x i 0. Alors pour tout x K (on peut se permettre d enlever 0 puisqu on veut faire x ), λ n x n λ i x i λ n λ i x i n. Or i n < 0 pour tout i {0,...,n 1}, donc par passage à la ite dans l égalité précédente, x λ i x i n 0 λ n 0. On montre de même que pour tout i {0,...,n 1}, λ i Fonctions polynômes Définition 1 : Soient a 0,...,a n K n+1. Alors l application P : K K définie par P(x) a x est appelée fonction polynôme de la variable x. Les nombres a 0,...,a n sont appelés coefficients de cette fonction polynôme. Si l on suppose a n 0, alors n est le degré de P (noté deg(p)) et a n est appelé coefficient dominant de P. Notations : On note P(K) l ensemble des fonctions polynômes P : K K et, pour n N, P n (K) le sous-ensemble de P(K) des fonctions polynômes de degré n.

3 Fonctions polynômes 3 Proposition 2 : Soient f n i1 a i x i P n (K), g m j1 b j x j P m (K) et α K. Alors (i) f + g : x (ii) αf : x max(n,m) (a + b ) x et deg(f + g) max ( deg(f), deg(g) ) ; αa x et deg(αf) deg(f) ; n+m (iii) fg : x a u b v x et deg(fg) deg(f) + deg(g), (u,v) où {(i, j) {1,..., n} {1,..., m} i+j } pour tout entier {0,..., n+ m}. démonstration : Le seul point à poser quelques problèmes est le (iii). C est donc logiquement sur celui-ci que nous allons nous attarder! Soit x K. Alors ( ) m (fg)(x) a i x i b j x j j0 (a 0 + a 1 x + + a n x n )(b 0 + b 1 x + + b m x m ) a 0 b 0 + x[a 0 b 1 + a 1 b 0 ] + x 2 [a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ] + + x n+m [a n b m ] n+m a u b v x. (u,v) De plus, a n, b m 0 a n b m 0 deg(fg) n + m deg(f) + deg(g). Théorème 2 : Si f est une fonction polynôme, alors f est de classe C. Pour tout entier n, si f est de plus de degré n, alors pour tout N, { deg(f () ) n si n f () 0 si > n. démonstration : f a x P(K) est une combinaison linéaire de fonctions C (corollaire 1), donc est aussi C. Supposons alors f de degré n. Pour tout entier et tout x K, { n f () (x) a p (x p ) () p a p! p (p )! xp si n 0 si > n p0 { n p0 a p+ (p+)! p! x p si n 0 si > n, et on en déduit que lorsque n, deg(f () ) n. Proposition 3 : Soit f P n (R). Alors x f(x) signe(a n) et x f(x) signe(a n)( 1) n.

4 4 Fonctions polynômes démonstration : Pour tout x K, on a f(x) a 0 + a 1 x + + a n x n (a n 0) ( a n x n 1 + a a n x + + a ) 0 a n x }{{ n, } x ± 1 et les deux résultats découlent de cette dernière égalité. Proposition 4 : Soit a K. La famille ( (x a) n) engendre P(K). n N démonstration : Soient x K et n N. On a simultanément ( (x a) n n ce qui suffit à démontrer le théorème. ) ( a) n x et x n ( (x a) + a ) n ( ) n (a) n (x a), Théorème 3 (formule de Taylor) : Soient f P n (K) et a K. Alors f(x) f () (a) (x a).! démonstration : f P n (K), donc d après la proposition précédente, on a pour tout x K f(x) b p (x a) p. Le théorème 2 et sa démonstration nous permettent d exhiber la dérivée -ième de f : x K, f () (x) p0 p b p p! (p )! (x a)p. En particulier, pour x a, l égalité f () (a)! b nous donne b pour tout {0,...,n} d où le résultat, en remplaçant b par ce qu on vient de trouver dans la première égalité Racines Définition 2 : Soient f P(K) et α K. On dit que α est une racine de f si f(α) 0. Théorème 4 : Soient f P(K) et α K. Alors α est racine de f si et seulement si f est divisible par (x α).

5 Fonctions polynômes 5 démonstration : " " : Soit x K. Alors f(x) (x α)g(x) par hypothèse, donc f(α) 0. " " : Puisque α est racine de f, donc f(α) 0. Soit x K. Alors f(x) f(x) f(α) a (x α) 1 (x α) 1 a x ( 1 a α ) x i α 1 i x i α 1 i. a 1 a (x α ) Posons g(x) n 1 a 1 xi α 1 i, qui est un polynôme de degré. On a donc bien factorisé f(x) par (x α). 1 Conséquence : Un polynôme de degré n admet au plus n racines. Corollaire 2 : Soit f un polynôme de degré n impair. Alors f admet au moins une racine réelle. démonstration : D après la proposition 3, si a n > 0 (resp. < 0), alors x x f(x) (resp. ) et f(x) (resp. ). Donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe α R tel que f(α) 0. Corollaire 3 : Soient f P n (R). Alors f se factorise en un produit de polynômes de degré un ou deux. démonstration : Pour cette démonstration, on s autorise à faire un petit détour par C. En effet, puisque f est un polynôme à coefficients réels, il existe a C tel que f(a) 0. Si a est lui-même réel, alors f se factorise par (x a) (théorème 4), sinon a a et f se factorise alors par le produit (x a)(x a) x 2 x(a + a) + aa x 2 2R(a)x + a 2 qui est à coefficients réels. On réitère alors ce procédé au polynôme issu de la factorisation.